Вопросы к экзамену. Алгоритм приведения матрицы к ступенчатому виду

196 Глава 9. Линейные пространства

где не все k i , 1i r + 1, равны нулю. Если быk r +1 = 0, то нетривиальная линейная комбинацияk 1 α 1 +. . . +k r α r = 0, равная

нулю, означала бы, что система α 1 , . . . , α r линейно зависима, что противоречит предположению.

Итак, k r +1 = 0, и поэтому
β =	−k1		+ . . .+	−kr	αr .
	k r +1			k r +1

Лемма 9.2.13 (единственность представления элемента линейного пространства K V в виде линейной комбинации линейно независимой системы элементов).Пусть {α 1 , . . . , α r } - линейно независимая система элементов линейного пространства K V и

β = k1 α1 + . . .+ kr αr = k1 α1 + . . .+ kr αr , ki , ki K.

Тогда k1 = k1 ,. . . , kr = kr .

Доказательство. Действительно,

(k1 − k1 ) α1 + . . .+ (kr − kr ) αr = 0 ,

и поэтому k 1 − k 1 = 0,. . . ,k r − k r = 0.

9.3. Максимальные линейно независимые подсистемы систем элементов линейных пространств, базис линейного пространства

Пусть S K V . Наиболее важные для нас случаи: а)S - конечное подмножество элементов вK V ;

б) S =K V .

Подсистема v1 , . . . , vr SK Vназывается максимальной линейно независимой подсистемойв S, если:

1) v 1 , . . . , v r - линейно независимая система;

2) v 1 , . . . , v r , v - линейно зависимая система для всякогоv S , или, что эквивалентно,

2) любой элемент v S является линейной комбинацией элементовv 1 , . . . , v r .

Максимальная линейно независимая подсистема v 1 , . . . , v r вS =K V (если вK V существует такаяконечная система) называетсябазисом линейного пространстваK V . Линейное пространствоK V с конечным базисомv 1 , . . . , v r называетсяконечномерным линейным пространством (при этом будет показано, что любой другой базис линейного пространства содержит то же самое число элементов).

Пример 9.3.1. Как мы уже видели, система строк

ε1 = (1 ,0 , . . . ,0) , ε2 = (0 ,1 , . . . ,0) ,

εn = (0 ,0 , . . . ,1)

является базисом линейного пространства строк K n .

Лемма 9.3.2. Любую линейно независимую подсистему v1 , . . . , vr в S Kn можно дополнить до максимальной линейно независимой подсистемы в S Kn .

Доказательство. Если v1 , . . . , vr - максимальная линейно независимая подсистема в S Kn , то все доказано. Если нет, то най-

дётся элемент v S такой, чтоv 1 , v 2 , . . . , v r , v =v r +1 - линейно независимая подсистема вS . После конечного числа шагов процесс

остановится, так как любые системы из n + 1 элементов в линейном пространствеK n оказываются линейно зависимыми.

Следствие 9.3.3. Любой ненулевой элемент0 = v S Kn дополняем до максимальной линейно независимой подсистемы в S.

Следствие 9.3.4. В S= R n (или S= Kn для бесконечного поля K) бесконечно много различных базисов. Если поле K конечно, |K|= q(например, K= Z 2 ) , то число элементов в Kn равно qn , и поэтому число базисов в Kn конечно. Найдите их число.

Замечание 9.3.5. Пусть строкиa 1 , . . . , a s K n линейно независимы,s < n . Тогда существуют такие строкиa s +1 , . . . , a n K n ,

что {a 1 , . . . , a n } - базис линейного пространстваK n . Практическое нахождение строкa s +1 , . . . , a n можно осуществить следующим образом. Запишем строкиa 1 , . . . , a s по столбцам и приведём полученную матрицу к ступенчатому виду:ϕ (a 1 , . . . , a s ) =A ступ , где

(a 1 , . . . , a s ), A ступ Mn,s (K ),ϕ - последовательность элементарных преобразований строк. Так как строкиa 1 , . . . , a s линейно независи-

мы, то в A ступ имеется ровноs ненулевых строк (первыеs строк).

а остальные элементы равны 0, i =s + 1, . . . , n . Припишем эти столбцы справа к матрицеA ступ . ПустьB Mn (K ) - полученная матрица. Применяя к матрицеB последовательность элементарных преобразо-

ваний строк, обратную к, приходим к матрице ˜ . При этом˜ -

ϕ B (B)

матрица, в которой первые s строк - этоa 1 , . . . , a s , а последующие строки дополняют их до базиса линейного пространстваK n .

9.4. Замечание о линейной выражаемости конечных систем элементов в линейном пространстве

Пусть K V - линейное пространство,S 1 K V ,S 2 K V . Будем говорить, что системаS 2 элементовu 1 , . . . , u s линейно выражается через системуS 1 элементовv 1 , . . . , v r , если каждый элементu i S 2 , 1i s , является линейной комбинацией элементовv 1 , . . . , v r системыS 1 ,

u i= m ijv j, m ijK.

Если к тому же система S 3 элементовw 1 , . . . , w t линейно выражается через системуS 2 ,

	wk = lki ui , lki K,1 k t,
w k= i =1 l kiu i= i =1 j =1 (l kim ij) v j		J =1i =1l ki m ij

т. е. система S 3 линейно выражается через системуS 1 .

Системы S 1 иS 2 называютсяэквивалентными , если они линейно выражаются друг через друга (обозначение:S 1 S 2 ).

Следствие 9.4.1. Отношение «быть эквивалентными системами», S1 S2 , является отношением эквивалентности.

Следствие 9.4.2. Если элемент vK V является линейной комбинацией элементов v1 , . . . , vr системы S1 , S1 S2 , где S2 - система элементов u1 , . . . , us , то элемент v является линейной комбинацией элементов u1 , . . . , us системы S2 .

Следствие 9.4.3. Любая(конечная) система элементов SK V эквивалентна своей максимальной линейно независимой подсистеме.

Следствие 9.4.4. Любые две(конечные) максимально независимые подсистемы любой системы SK V эквивалентны.

Замечание 9.4.5. ЕслиA, B Mm,n (K ) и матрицаB получена из матрицыA конечным числом элементарных преобразований 1-го, 2-го и 3-го типов, то каждая строка матрицыB является линейной комбинацией строк матрицыA (поскольку от матрицыB мы можем вернуться к матрицеA с помощью элементарных преобразований строк 1-го, 2-го и 3-го типов, то каждая строка матрицыA является линейной комбинацией строк матрицыB ). Таким образом, в линейном пространстве строкK n системы строкA 1 , . . . , A m матрицыA иB 1 , . . . , B m матрицыB линейно выражаются друг через друга.

Теорема 9.4.6 (основная теорема о линейной зависимости).

Пусть в линейном пространстве K V линейно независимая система элементов v1 , . . . , vr линейно выражается через другую систему элементов u1 , . . . , us . Тогда r s.

Доказательство. Допустим противное: пустьr > s . В силу нашего предположения

v1 = a11 u1 + . . .+ a1 s us ,

vr = ar 1 u1 + . . .+ ars us , aij K.

200 Глава 9. Линейные пространства

Так как r > s , тоr строк

(a11 , . . . , a1 s ) ,

(ar 1 , . . . , ars )

в линейном пространстве строк K s линейно зависимы: найдётся их линейная комбинация с коэффициентамиk 1 , . . . , k r , гдеk i = 0 для некоторогоi , равная нулевой строке (0, . . . , 0)K s . Но тогда и линейная комбинация элементовv 1 , . . . , v r с этими же коэффициентами

k 1 , . . . , k r , равна нулю,k 1 v 1 +. . . +k r v r = 0. Таким образом, система элементовv 1 , . . . , v r линейно зависима, что приводит нас к противо-

Следствие 9.4.7. Две эквивалентные конечные линейно независимые системы в линейном пространствеK V содержат равное число элементов.

Следствие 9.4.8. Для системы SK V , гдеK V - конечномерное линейное пространство, любые две(конечные) максимальные линейно независимые подсистемы содержат одинаковое число элементовr(S) , называемоерангом системы S.

Следствие 9.4.9. Если S= K V иK V - конечномерное линейное пространство, то любые два базиса вK V состоят из одного и того же числа элементов n, это число n называется размерностью линейного пространстваK V , обозначение: dim K V= n.

Как мы видели ранее, одним из базисов в линейном пространстве строк K K n является система строк

ε1 = (1 ,0 , . . . ,0) ,

εn = (0 ,0 , . . . ,1) ,

и поэтому dim K K n =n .

Следствие 9.4.10. Если в конечномерном линейном пространствеK V одна система элементов S1 линейно выражается через другую систему S2 , тоr(S1 ) r(S2 ) .

Следствие 9.4.11. Если в линейном пространствеK V система M из m элементов имеет ранг r, то любая её подсистема S из s элементов(s m) имеет ранг не меньше чем r+ s − m.

Доказательство. Действительно, еслиR - максимальная линейно независимая подсистема вM ,|R| =r , тоR \ (R ∩S )M \S , и поэтому|R \ (R ∩ S )| m − s . Следовательно,|R ∩ S| r − (m − s ) =

R+ s − m.

Следствие 9.4.12. Для системы строк v1 , . . . , vr Kn следующие условия эквивалентны:

1) система строк v 1 , . . . , vr является базисом линейного пространства строк Kn (т. е. максимальной линейно независимой подсистемой строк в Kn ; и тогда r= n);

2) каждая строка v K n единственным образом представляется в виде линейной комбинации

v = λ1 v1 + . . .+ λr vr , λ1 , . . . , λr K

(и тогда r= n);

3) r = n и система строк v1 , . . . , vn линейно независима;

4) r = n и каждая строка v Kn представима в виде линейной комбинации

v = λ1 v1 + . . .+ λn vn , λ1 , . . . , λn K.

Доказательство. Мы уже показали, что 1) = 2). Покажем, что 2) = 1). Еслиv 1 , . . . , v r - линейно зависимая система строк,λ 1 v 1 +. . . +λ r v r = 0 с некоторымλ i = 0, то нулевая строка имеет два различных представления

0 = 0 · v1 + . . .+ 0 · vr = λ1 v1 + . . .+ λr vr , λi = 0 .

При этом r =n , так как любые базисы вK n содержатn элементов. Ясно, что 1) = 3). Покажем, что 3) = 1). Для любой строкиv K n система строкv 1 , . . . , v n , v линейно зависима (n + 1> n ). Так

202 Глава 9. Линейные пространства

как v 1 , . . . , v n - линейно независимая система, тоv =λ 1 v 1 +. . . +λ n v n для некоторыхλ 1 , . . . , λ n K .

Ясно, что 1) = 4). Покажем, что 4) = 1). Допустим, что v 1 , . . . , v n - линейно зависимая система. Тогда её максимально линейно независимая подсистемаv i 1 , . . . , v ir ,r < n , является максимальной линейно независимой подсистемой вK n , что противоречит

r = n.

9.5. Единственность главного ступенчатого вида матрицы

Теорема 9.5.1. Пусть A, B, CM m,n (K) , B и C - ступенчатые матрицы, полученные из ненулевой матрицы A конечным числом элементарных преобразований строк 1-го, 2-го и 3-го типов. Тогда:

1) системы строк {B 1 , . . . , Bm } матрицы B и {C1 , . . . , Cm } матрицы C в линейном пространстве строк Kn линейно выражаются друг через друга(другими словами, линейные оболоч-

ки строк матриц A, B и C в Kn совпадают: A1 , . . . , Am = = B1 , . . . , Bm = C1 , . . . , Cm , см. с.107);

2) числа r1 и r2 ненулевых строк в ступенчатых матрицах B и C соответственно совпадают(при этом r= r1 = r2 = = dim K A1 , . . . , Am ; другие интерпретации числа r= r(A) будут даны в теореме9.16.1 о ранге матрицы);

3) лидеры строк ступенчатых матриц B и C располагаются в одних и тех же столбцах ;

4) если B и C - главные ступенчатые виды ненулевой матрицы

A M m,n (K) , то B= C.

Доказательство.

1) В силу замечания 9.4.5, в линейном пространстве строк K n

системы строк {A1 , . . . , Am }матрицы Aи {B1 , . . . , Bm }матрицы Bлинейно выражаются друг через друга. Аналогично, системы строк

{A1 , . . . , Am }матрицы Aи {C1 , . . . , Cm }матрицы Cтакже линейно выражаются друг через друга. Принимая во внимание транзитив-

ность линейной выражаемости систем строк (см. следствие 9.4.2), по-

лучаем, что системы строк {B 1 , . . . , B m } матрицыB и{C 1 , . . . , C m } матрицыC линейно выражаются друг через друга. Следовательно,

A1 , . . . , Am = B1 , . . . , Bm = C1 , . . . , Cm .

2) Так как ненулевые строки ступенчатой матрицы образуют максимально независимую подсистему строк, то из 1) следует, что r 1 =r 2 (см. следствие 9.4.10), при этом

r = r1 = r2 = dim B1 , . . . , Bm =

Dim C1 , . . . , Cm = dim A1 , . . . , Am .

3) Пусть лидеры r ненулевых строкB 1 , B 2 , . . . , B r ступенчатой матрицыB расположены в столбцах с номерамиk 1 , k 2 , . . . , k r ,

k1 < k2 < . . . < kr , а лидеры rненулевых строк C1 , C2 , . . . , Cr ступенчатой матрицы Cрасположены в столбцах с номерами l1 , l2 , . . . , lr ,

l1 < l2 < . . . < lr . Так как системы строк {B1 , B2 , . . . , Br }, {C1 , C2 , . . . , Cr }линейно выражаются друг через друга, то, в си-

			и следствия 3.5.6, k 1	L 1 (k 1 min{l i }	L 1 ;
l 1 min{k i } =k 1 ).
			B2 = λ2 j Cj , C2 = µ2 j Bj ,
	λ 21=
			µ 21 . Применяя наше	рассуждение для

{B 2 , . . . , B r } и{C 2 , . . . , C r } , которые линейно выражаются друг через друга, получаем, чтоk 2 =l 2 .

Продолжая этот процесс, убеждаемся в том, что k 3 =l 3 , . . . ,

k r= l r.

4) В 2) и 3) доказано, что число ненулевых строк r и номера

столбцов l 1 , . . . , l r , 1l 1 < l 2 < . . . < l r n , в которых находятся главные неизвестные главных ступенчатых видовB иC , определе-

ны однозначно. Таким образом, разбиения на главные и свободные неизвестные, определяемые ступенчатыми видами B иC , совпадают. Поскольку главные неизвестные однозначно выражаются через свободные (в эквивалентных однородных системах линейных уравнений с главными ступенчатыми матрицамиB иC ), при этом главный ступенчатый вид определяется этим выражением однозначно (см. замечание 3.6.9), тоB =C .

Замечание 9.5.2 (матричное доказательство п. 4 теоремы о единственности главного ступенчатого вида). Для A M m,n (K )

существуют такие обратимые матрицы F, G Mm (K ) (произведения матриц, соответствующих элементарным преобразованиям строк), что

A = F · B= G · C.

Следовательно,

B = D		C, где D= F− 1 G.

Используя определение главного ступенчатого вида и переставляя столбцы матриц B иC , имеем:

где Q Mn (K ) (матрицаQ - обратимая матрица, соответствующая последовательности элементарных преобразований столбцов; мы уже доказали в п. 2 и 3, что числаr и столбцыj 1 , . . . , j r , в которых стоят лидеры строк, одинаковы для ступенчатых матрицB иC , соответственно; нулевые блоки могут отсутствовать (еслиk =r =m )). Следовательно, матрицаD имеет следующий блочный вид:

где матрица ˜ Mm,m−r (K ) (еслиr < m ) состоит из произвольных элементов поляK . Поэтому, умножаяD на

и приравнивая к

получаем, что = Mm−r,n−r (K ). Умножая (9.1) справа наQ − 1 , получаемB =C .

9.6. Изоморфизм линейных пространств

Пусть K U ,K V - линейные пространства над полемK . Биективное отображение

f : K U →K V,

для которого

f (u 1 +u 2 ) =f (u 1 ) +f (u 2 ),

f (ku) = kf(u)

для всех u 1 , u 2 , u K U ,k K , называетсяизоморфизмом линейных пространствK U иK V (в этом случае будем говорить, что линейные

пространства K U иK V изоморфны , обозначение:K U K V ).

Упражнение 9.6.1. ОтношениеU V является отношением

K = K

{f (e1 ) , . . . , f(en ) } - базис вK V , и поэтомуdim K V= n= dim K U .

Доказательство.

1) Если v K V , тоf (u ) =v для некоторогоu K U . Пустьu =k 1 e 1 +. . . +k n e n , гдеk 1 , . . . , k n K . Тогда

v = f(u) = k1 f(e1 ) + . . .+ kn f(en ) .

2) Пусть k 1 f (e 1 ) +. . . +k n f (e n ) = 0 дляk 1 , . . . , k n K . Тогда

0 = k1 f(e1 ) + . . .+ kn f(en ) = f(k1 e1 + . . .+ kn en ) ,

и поэтому

k1 e1 + . . .+ kn en = 0 ,

следовательно, k 1 =k 2 =. . . =k n = 0.

Итак, в силу 1) и 2), {f (e 1 ), . . . , f (e n )} - базис линейного пространстваK V .

Любую матрицу можно привести к ступенчатой матрице, выполнив конечное число элементарных преобразований.

Теорема доказывается конструктивно путем перебора конечного числа возможных матриц с нулевыми элементами.

Пример. Приведем к ступенчатому виду следующую матрицу: .

На первом шаге выполним следующие элементарные преобразования над матрицей : к элементам второй строки прибавим элементы первой строки и результат запишем во вторую строку; из элементов третьей строки вычтем элементы первой строки, а результат запишем в третью строку. В итоге матрица преобразуется к виду . На последнем шаге из третьей строки полученной матрицы вычтем вторую строку, умноженную на 3, и запишем в третью строку, в результате чего получим ступенчатую матрицу:

.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Твитнуть

Все темы данного раздела:

Линейное пространство
Множество элементов любой природы называется линейным или векторным пространством, а его элементы

Множество числовых функций
Рассмотрим множество числовых функций, определенных на некотором промежутке. Любым двум функциям и

Множество всех полиномов степени не выше
Элементами множества являются полиномы вида

Теорема (о существовании и единственности разности элементов)
Для любых двух векторов линейного пространства, существует такой единственный вектор

Теорема (об условиях равенства нулю произведения числа на вектор)
Произведение числа на вектор равно нулевому вектору тогда и только тогда, когда число равно нулю или вектор равен нулевому вектору. Доказательство.Пусть число

Определители матриц и их свойства
Определители вводятся только для квадратных матриц как некоторое правило, формирующее значение определителя по элементам матрицы. Если элементы матрицы числа, то определитель будет

Теорема (о разложении определителя по любой строке или столбцу)
Определитель порядка равен сумме произведений элементов любой его строки или столбца на соответствующие алгебраи

Доказательство
Напишем формулу разложения определителя по первой строке. Вид этой формулы не за

Теорема (об определителе произведения двух матриц)
Определитель произведения двух матриц равен произведению определителей матриц сомножителей. Теоре

Системы линейных уравнений
Общая система из линейных алгебраических уравнений с

Теорема (о существовании и единственности обратной матрицы)
Любая квадратная матрица имеет единственную обратную матрицу, вычисляемую по формуле, тогда и только тогда, ког

Доказательство
Докажем, что условие, является достаточным условием для существования обратной матрицы. На главно

Теорема Крамера
Если в квадратной системе уравнений определитель матрицы коэффициентов не равен нулю, то система имеет единственное решение, которое находится либо матричным способомпо формуле

Доказательство
В соответствии с теоремой о существовании и единственности обратной матрицы, для невырожденной матрицы коэффициентов нашей системы существует единственная обратная матрица

Базис множества векторов и всего линейного пространства
Система векторов называется ба

Теорема (о единственности разложения по данному базису)
Разложение любого вектора по базису

Теорема (о линейных свойствах координат векторов)
При сложении любых двух векторов их координаты в данном базисе складываются, а при умножении любого вектора на любое число координаты умножаются на это число. Доказательство

Доказательство
По определению базиса это означает, что любая строка или столбец матрицы могут быть представлены в виде линейной комбинации базисных строк или базисных столбцов, причем единственным образом. Все ра

Доказательство
Покажем достаточность условия второго следствия. Если строки матрицы линейно зависимы, то по свойству системы зависимых векторов одна из строк является линейной комбинацией остальн

Теорема (о ранге ступенчатой матрицы)
Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк. Доказательство.Ненулевые, ступенчатые строки линейно независимы, что можно показать, составив линейную комб

Теорема (о равносильных переходах)
Любое конечное число элементарных преобразований системы переводят ее в систему, равносильную исходной системе. Доказательство теоремы следует непосредственно из оп

Доказательство
Ранг матрицы коэффициентов системы по определению всегда меньше или равен числа уравнений или числа неизвестных исх

Исследование и решение однородных систем уравнений
Однородная система всегда совместна, так как имеет нулевое (тривиальное) решение

Доказательство
Необходимость.Пусть есть конечномерное пространство размерности

Теорема (о виде общего решения неоднородной системы уравнений)
Решение неоднородной системы уравнений всегда может быть представлено как сумма общего решения соответствующей

Векторная алгебра
Под векторной алгеброй обычно понимают раздел линейной алгебры, изучающий геометрические векторы на плоскости и реальном пространстве. В математике и ее приложениях встречаются разл

Евклидовы пространства
Определение.Скалярным произведением двух любых векторов линейного пространства называется правило, по которому каждой упорядоченной паре векторов

Теорема (неравенство Коши – Буняковского)
Для любых двух векторов и е

Доказательство
Пусть есть ортогональная система ненулевых векторов евклидова пространства. Предположим, что выполняется ра

Теорема Грама-Шмидта (о существовании ортонормированного базиса)
Во всяком -мерном евкли

Теорема (основные свойства ортонормированного базиса)
1. Координаты произвольного вектора в ортонормированном базисе равны скалярным произведениям этого вектора на соответствующие векторы этого базиса. 2. Скалярное произведение двух

Определение
Каноническим базисом в пространстве трехмерных геометрических векторов называют векторы

Векторное и смешанное векторно-скалярное произведения
Определение.Векторным произведением двух геометрических векторов и

Теорема (условие равенства векторного произведения нулевому вектору)
Векторное произведение двух геометрических векторов и

Теорема (о модуле векторного произведения)
Модуль векторного произведения двух векторов и

Таким образом, смешанное произведение трех компланарных (лежащих в одной плоскости) векторов равно нулю
Рассмотрим далее скалярное произведение вектора на вектор

Линейные геометрические объекты
Определение.Пусть есть некоторый ненулевой вектор, а

Лекция 11. Единственность главного ступенчатого вида. Совместность и решения систем

1. Единственность главного ступенчатого вида

Теперь докажем важную теорему о единственности главного ступенчатого вида.

Теорема 1. Пусть B и C главные ступенчатые матрицы, элементарными преобразованиями полученные из некоторой матрицы A. Тогда B= C.

Доказательство. Будем рассматривать матрицуA , как матрицуоднородной системыS . Однородная системаS 1 , отвечающая матрицеB , равносильна однородной системеS , а однородная системаS 2 , отвечающей матрицеC , также равносильнаS . Поэтому системыS 1 иS 2 равносильны. Предположим, чтоB =6 C , тогда найдется такоеi , что столбцы матрицыB с номерами 1; : : : ; i ¡ 1 равны соответствующим столбцам матрицыC , а i -й столбецB не равен i -му столбцуC .

Предположим сначала, что i = 1, т.е. у главных ступенчатых матрицB иC первые столбцы различны. Однако первый столбец главной ступенчатой матрицы или нулевой, или в нем на первом месте стоит 1, а остальные элементы нули. Так как первые столбцы у матрицB иC различны, то (например) уC первый столбец нулевой, а уB первый элемент первого столбца единица (а остальные элементы нули). Но тогда системаS 2 имеет решениеx 1 = 1,x 2 =x 3 =: : : =x n = 0, котороене является решением системыS 1 , что противоречит равносильности этих систем.

Пусть теперь i > 1. Рассмотрим три случая.

² i -й столбец главный и вB и вC . Тогда он имеет один и тот же номерk (как главный столбец) и вB и вC . Но у k -го главного столбца наk -м месте стоит единица, а остальные элементы нули. Значит эти столбцы вB и вC равны. Противоречие.

² i -й столбец главный вB и не главный вC . Пусть этот столбец, как главный столбец в матрицеB , имеет номерk . Тогда в матрицеC нашему столбцу предшествуетk ¡ 1 главный столбец.

Следовательно, в i -м столбце матрицыC может быть лишьk ¡ 1 ненулевой элементa 1 ; : : : ; a k¡ 1 . Пусть первыеk ¡ 1 главных столбцов имеют вB (и вC ) номераi 1 ; : : : ; i k¡ 1 . Рассмотрим решение системыS 2 :

xi 1 = ¡a1 ; xi 2 = ¡a2 ; : : : ; xi k¡ 1 = ¡ak¡ 1 ; xi = 1 ;

а неизвестные, с номерами отличными от i 1 ; : : : ; i k¡ 1 ; i , равны нулю. Тогда это решениене является решением k -го уравнения системыS 1 . Противоречие.

² i -й столбец не главный и вB и вC . Пустьi 1 ; : : : ; i k номера главных столбцов слева от i -го, и пусть элементы i -го столбца равны (¯ 1 ; : : : ; ¯ k ; 0; : : : ) в матрицеB и (° 1 ; : : : ; ° k ; 0: : : ) в матрицеC . Рассмотрим решение системыS 1 :

xi 1 = ¡¯1 ; : : : ; xi k = ¡¯k ; xi = 1 ;

а остальные неизвестные равны нулю. Пусть 1 6 j 6k . Подставим это решение в j -е уравнение системыS 2 . В этом уравнении коэффициенты при всех главных неизвестных, кромеx i j , равны нулю, коэффициент приx i j равен 1, а коэффициент приx i равен° j . Подстановка дает равенство¡¯ j +° j = 0. Таким образом, i -е столбцы вB иC равны. Противоречие.

Теорема доказана.

2. Совместность системы и число решений

Определение 1. Приведем матрицу системы к главному ступенчатому виду. Неизвестные, отвечающие главным столбцам, называютсяглавными неизвестными . Остальные неизвестные (если они есть) называютсясвободными неизвестными .

Теорема 2. Если в матрице неоднородной системы (приведенной к главному ступенчатому виду) последний столбец главный, то система несовместна. В противном случае система совместна. Если система совместна и каждая неизвестная главная, то система имеет единственное решение. В противном случае система имеет бесконечно много решений.

Доказательство. Если последний столбец главной ступенчатой матрицы главный, то строка, в которой стоит соответствующий главный элемент имеет вид 0; : : : ; 0; 1. Этой строке отвечает уравнение (преобразованной) системы 0¢ x 1 +¢ ¢ ¢ + 0¢ x n = 1. То-есть система не имеет решений.

Пусть теперь система либо однородна, либо неоднородна, но последний столбец главной ступенчатой матрицы не является главным. Имеется две возможности: либо все неизвестные главные, либо есть свободные неизвестные. В первом случае главный ступенчатый вид матрицы системы таков:

		¢ ¢¢ ¢¢ ¢		b 21					¢ ¢¢ ¢¢ ¢
B .. ... . ...			.. .	.. .			B .. ... . ...
B 0 0							B 0 0

т.е. система имеет единственное решение x 1 =b 1 ,x 2 =b 2 ,...,x n =b n (илиx 1 =¢ ¢ ¢ =x n = 0).

Пусть теперь система имеет свободные неизвестные. Приведем матрицу системы к главному ступенчатому виду B . Рассмотрим систему с матрицейB и перенесем свободные неизвестные в правую часть системы. Тогда система будет иметь следующий вид:

		c 1+ свободные неизвестные
		c 2+ свободные неизвестные
		c r+ свободные неизвестные

Здесь r число ненулевых строк матрицыB ,i 1 ; : : : ; i r номера главных столбцов, аc 1 ; : : : ; c r элементы последнего столбца матрицыB (если система неоднородна).

Теперь, выбрав значения свободных неизвестных, мы найдем и значения главных неизвестных, т.е. построим решение системы. Любое решение системы может быть получено выбором значений свободных неизвестных и каждый выбор таких значений дает решение системы. Так как имеется бесконечное количество способов задать значения свободных неизвестных, то, тем самым, система имеет бесконечное количество решений. Обратите внимание, что доказана совместность неоднородной системы, если последний столбец не главный. ¤

3. Формула общего решения

Итак, либо система не имеет решений, либо система имеет ровно одно решение, либо она имеет их бесконечно много. Как записать решения системы в последнем случае. Есть стандартный способ сделать это.

Сначала мы (используя главную ступенчатую матрицу) выразим главные неизвестные через свободные.

Пример. Матрица:

				x 2+ 2 x 3 3+			X 5 5
Главные неизвестные,	выраженные через свободные:
				x1 = 1 ¡ x3 ¡2 x5
				x2 = 2 ¡2 x3 ¡ x5
				x4 = 3 ¡ x5
				0x .. . 1
				Bx n C

вместо главных неизвестных напишем их выражения через свободные.

Продолжение примера.

0x 2

0 2¡ 2x 3

¡ x5 1

1 ¡ x 3

¡ x5

Bx 4 C

Теперь представим этот столбец в виде суммы столбцов:

0 x 1 1 0 1 1 0 ¡ 2 1 0 3 1 0 ¡ 2 1 B B x 2 C C B B 0 C C B B 1 C C B B 0 C C B B 0 C C B B x 3 C C = B B 0 C C + x 2 B B 0 C C + x 3 B B 1 C C + x 5 B B 0 C C : @ x 4 A @ ¡ 1 A @ 0 A @ 0 A @ 1 A

x 5 0 0 0 1

Продолжение примера.

0x 2 1

0 2¡ 2x 3

¡ x5

0¡ 2 1

0¡ 1 1

1 ¡ x3

¡ x5

Bx 4 C

C B3 C

Это и есть стандартная запись общего решения системы в случае бесконечного числа решений.

Такую форму записи общего решения системы мы будем называть векторной формой . Нетрудно видеть, что векторную форму можно строить прямо по главной ступенчатой матрице.

Алгоритм построения векторной формы. Рассмотрим совместную систему и приведем ее матрицу к главному ступенчатому виду A . Пусть главные столбцы (главные неизвестные) имеют номераi 1 ; : : : ; i r , а свободные неизвестные имеют номераj 1 ; : : : ; j s . И те и другие номера идут в порядке возрастания иr +s =n , гдеn количество неизвестных. В каждом столбце позиции с номерамиi 1 ; i 2 ; : : : мы будем называть главными позициями, а позиции с номерамиj 1 ; j 2 ; : : : свободными позициями. Нулевые строки матрицыA (если они есть) мы удалим.

Столбец неизвестных есть следующая сумма столбцов:

² столбец свободных членов, в котором на свободных позициях стоят нули, а на главных позициях расставлены элементы последнего столбца матрицы A в порядке возрастания номеров (если система однородна, то этот столбец состоит из одних нулей, и мы его исключаем из рассмотрения);

² второе слагаемое это столбец, умноженный на x j 1 , в котором на j 1 -м месте стоит 1, в остальных свободных позициях находятся нули, а в главных позициях размещены элементы j 1 -го столбцаA с обратным знаком в порядке возрастания номеров;

² третье слагаемое это столбец, умноженный на x j 2 , в котором на j 2 -м месте стоит 1, в остальных свободных позициях стоят нули, а в главных позициях размещены элементы j 2 -го столбцаA с обратным знаком в порядке возрастания номеров;

Пример. Пусть матрица неоднородной системы приведена к главному ступенчатому виду

½ x 4

0 ¢ ¢ x 2

0 ¢ ¢ x 3

1 ¢ x5

2 x 2

3 x 3

2 ¢ x5

Здесь x 1 иx 4 главные неизвестные,x 2 ,x 3 иx 5 свободные неизвестные. Главные позиции это первая и четвертая, свободные позиции это вторая третья и пятая. Решение в векторной форме записывается так:

Определение 2. Столбец свободных членов в векторной записи решения системы (в случае неоднородной системы) мы будем называть частным решением. Остальные столбцы мы будем называть базисными столбцами.

Замечание. Частное решение в самом деле является решением системы при нулевых значениях свободных неизвестных. Базисные столбцыне являются решениями неоднородной системы, ноявляются решениями, если система однородна.

• Определители и их свойства.
• Вычисление определителей.
• В данной лекции рассматриваются основные положения...

Подробнее о программе

• Определители и их свойства. В данной лекции рассматривается понятие определителя матрицы и связанные с этим понятием определения. Вводится понятие линейной комбинации строк и транспонированной матрицы. Приведены примеры решения задач, а также упражнения для самостоятельного решения
• Вычисление определителей. В данной лекции рассматриваются примеры вычисления определителей. Приведены определения минора, алгебраического дополнения и определителя Вандермонда. Рассмотрены примеры решения задач и приведены упражнения для самостоятельного решения
• Линейные преобразования линейных пространств столбцов. Данная лекция посвящена линейным преобразованиям линейных пространств столбцов, задаваемых прямоугольной матрицей. Рассмотрены основные определения, приведены доказательства базовых теорем и упражнения для самостоятельного рассмотрения
• Линейное пространство M_m,n (K) прямоугольных матриц размера mxn. В данной лекции рассматриваются основные положения и определения алгебры матриц. Рассматривается способ умножения матриц, приведены примеры, доказаны основные теоремы. Также представлены задачи для самостоятельного решения
• Многочлены от матриц, теорема Гамильтона-Кэли. Обратная матрица. В данной лекции основное внимание уделено понятию многочленов от матриц, а также рассмотрена теорема Гамильтона-Кэли. Приведены основные понятия, в частности, очень важное определение обратной матрицы. Приведены примеры решения задач, доказаны основные теоремы, а также предоставлены задачи для самостоятельного рассмотрения
• Свойства линейного пространства. В данной лекции рассматриваются линейные пространства. Рассмотрены основные свойства линейных пространств, основные зависимости и возможные действия в них. Приведено также очень важное понятие базиса, доказаны основные теоремы и предоставлены задачи для самостоятельного решения
• Единственность главного ступенчатого вида матрицы. В данной лекции речь идет о единственности главного ступенчатого вида матрицы. Приведены примеры ступенчатых матриц, рассмотрено понятие изоморфизма линейных пространств, доказана обратимость матрицы перехода. Также приведены доказательства основных теорем и предоставлены задачи для самостоятельного решения
• Линейные подпространства линейных пространств. В данной лекции рассматриваются линейные подпространства линейных пространств, приведены определения их суммы и их пересечения, рассмотрено понятие линейной оболочки элементов линейного пространства. Приведены доказательства основных теорем и задачи для самостоятельного рассмотрения
• Проективная размерность подпространств и проективная геометрия. Теорема о ранге матрицы. В данной лекции рассматриваются базовые понятия проективной геометрии. Приведено очень важное определение ранга матрицы, определена размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений. Приведены также доказательства основных теорем, а также предоставлены задачи для самостоятельного решения
• Собственные числа и собственные векторы матрицы. В данной лекции рассматриваются понятия собственных чисел и собственных векторов матрицы. Приведены основные определения, доказаны основные теоремы. Также приведены примеры решения задач и предоставлены задачи для самостоятельного решения
• Экзамен

Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие ее преобразования:

I. Перестановка двух столбцов (строк) матрицы.

II. Умножение всех элементов одного столбца (строки) матрицы на одно и то же число, отличное от нуля.

III. Прибавление к элементам одного столбца (строки) соответствующих элементов другого столбца (строки), умноженных на одно и то же число.

Матрица B , полученная из исходной матрицы A конечным числом элементарных преобразований, называется эквивалентной . Это обозначается A\sim B .

Элементарные преобразования применяются для упрощения матриц, что будет в дальнейшем использоваться для решения разных задач.

Покажем, как при помощи элементарных преобразований можно привести матрицу к ступенчатому виду (рис. 1.4). Здесь высота каждой "ступеньки" составляет одну строку, символом 1 (единицей) обозначены единичные элементы матрицы, символом * - обозначены элементы с произвольными значениями, остальные элементы матрицы нулевые. К ступенчатому виду можно привести любую матрицу, причем достаточно использовать только элементарные преобразования строк матрицы .

\begin{gathered}\left(\!\!\begin{array}{*{20}{c}} 0&\cdots&0&1&\ast&\ast&\cdots&\ast&\ast&\ast&\cdots&\ast&\ast&\ast&\cdots&\ast\\ 0&\cdots&0&0&1&\ast&\cdots&\ast&\ast&\ast&\cdots&\ast&\ast&\ast&\cdots&\ast\\ 0&\cdots&0&0&0&0&\cdots&0&1&\ast&\cdots&\ast&\ast&\ast&\cdots&\ast\\ \vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\cdots&\vdots&\vdots&\cdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\cdots&\vdots&\vdots&\cdots&\ddots&\vdots&\ast&\ast&\cdots&\ast\\ 0&\cdots&0&0&0&0&\cdots&0&0&0&\cdots&0&1&\ast&\cdots&\ast\\ 0&\cdots&0&0&0&0&\cdots&0&0&0&\cdots&0&0&0&\cdots&0\\ \vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\cdots&\vdots&\vdots&\cdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&0&0&0&0&\cdots&0&0&0&\cdots&0&0&0&\cdots&0 \end{array}\!\!\right)\\ \mathsf{Ris.~1.4}\end{gathered}

Алгоритм приведения матрицы к ступенчатому виду

Чтобы привести матрицу к ступенчатому виду (рис. 1.4), нужно выполнить следующие действия.

1. В первом столбце выбрать элемент, отличный от нуля (ведущий элемент ). Строку с ведущим элементом (ведущая строка ), если она не первая, переставить на место первой строки (преобразование I типа). Если в первом столбце нет ведущего (все элементы равны нулю), то исключаем этот столбец, и продолжаем поиск ведущего элемента в оставшейся части матрицы. Преобразования заканчиваются, если исключены все столбцы или в оставшейся части матрицы все элементы нулевые.

2. Разделить все элементы ведущей строки на ведущий элемент (преобразование II типа). Если ведущая строка последняя, то на этом преобразования следует закончить.

3. К каждой строке, расположенной ниже ведущей, прибавить ведущую строку, умноженную соответственно на такое число, чтобы элементы, стоящие под ведущим оказались равными нулю (преобразование III типа).

4. Исключив из рассмотрения строку и столбец, на пересечении которых стоит ведущий элемент, перейти к пункту 1, в котором все описанные действия применяются к оставшейся части матрицы.

Пример 1.29. Привести к ступенчатому виду матрицы

A=\begin{pmatrix}3&9\\2&4\end{pmatrix}\!,\quad B=\begin{pmatrix}0&2&3\\2&4&6\end{pmatrix}\!,\quad C=\begin{pmatrix}2&4\\3&5\\6&7\end{pmatrix}\!.

Решение. В первом столбце матрицы A выбираем ведущий элемент a_{11}=3\ne0 . Делим все элементы первой строки на a_{11}=3 (или, что то же 1 1. самое, умножаем на \tfrac{1}{a_{11}}=\tfrac{1}{3} ):

A=\begin{pmatrix}\boxed{3}&9\\2&4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}\!.

Прибавим ко второй строке первую, умноженную на (-2):

\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&3\\0&-2\end{pmatrix}\!.

Первый столбец и первую строку исключаем из рассмотрения. В оставшейся части матрицы имеется один элемент (-2), который выбираем в качестве ведущего. Разделив последнюю строку на ведущий элемент, получаем матрицу ступенчатого вида

\begin{pmatrix}1&3\\0&\boxed{-2}\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix}\!.

Преобразования закончены, так как ведущая строка последняя. Заметим, что получившаяся матрица является верхней треугольной.

В первом столбце матрицы B выбираем ведущий элемент b_{21}=2\ne0 . Меняем местами строки, ставя ведущую строку на место первой, и делим элементы ведущей строки на ведущий элемент 2:

B=\begin{pmatrix}0&2&3\\2&4&6\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}\boxed{2}&4&6\\0&2&3\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&2&3\\0&2&3\end{pmatrix}\!.

Пункт 3 алгоритма делать не надо, так как под ведущим элементом стоит нуль. Исключаем из рассмотрения первую строку и первый столбец. В оставшейся части ведущий элемент - число 2. Разделив ведущую строку (вторую) на 2, получаем ступенчатый вид:

B\sim \begin{pmatrix}1&2&3\\0&\boxed{2}&3\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&1,\!5\end{pmatrix}\!.

Преобразования закончены, так как ведущая строка последняя.

В первом столбце матрицы C выбираем ведущий элемент c_{11}=2\ne0 . Первая строка - ведущая. Делим ее элементы на c_{11}=2 . Получаем

C= \begin{pmatrix}\boxed{2}&4\\3&5\\6&7\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&2\\3&5\\6&7\end{pmatrix}\!.

Ко второй и третьей строкам прибавим первую, умноженную на (-3) и на (-6) соответственно:

C\sim \begin{pmatrix}\boxed{1}&2\\3&5\\6&7\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&2\\0&-1\\0&-5\end{pmatrix}\!.

Обратим внимание на то, что полученная матрица еще не является матрицей ступенчатого вида, так как вторую ступеньку образуют две строки (2-я и 3-я) матрицы. Исключив 1-ю строку и 1-й столбец, ищем в оставшейся части ведущий элемент. Это элемент (-1). Делим вторую строку на (-1), а затем к третьей строке прибавляем ведущую (вторую), умноженную на 5:

C\sim \begin{pmatrix}1&2\\0&\boxed{-1}\\0&-5\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&2\\0&1\\0&-5\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&2\\0&1\\0&0\end{pmatrix}\!.

Исключим из рассмотрения вторую строку и второй столбец. Поскольку исключены все столбцы, дальнейшие преобразования невозможны. Полученный вид - ступенчатый.

Замечания 1.8.

1. Говорят, что матрица имеет ступенчатый вид также и в случае, когда на месте ведущих элементов (обозначенных на рис. 1.4 единицей) стоят любые отличные от нуля числа.

2. Считается, что нулевая матрица имеет ступенчатый вид.

Пример 1.30. Привести к ступенчатому виду матрицу

A=\begin{pmatrix}0&1&1&1&1&1\\0&1&1&2&3&2\\0&2&2&1&2&1\\0&4&4&4&6&4\end{pmatrix}

Решение. Первый столбец матрицы A - нулевой. Исключаем его из рассмотрения и исследуем оставшуюся часть (последние 5 столбцов):

A=\begin{pmatrix}0\!&\vline\!\!&1&1&1&1&1\\0\!\!&\vline\!\!&1&1&2&3&2\\0\!\!&\vline\!\!&2&2&1&2&1\\0\!\!&\vline\!\!&4&4&4&6&4\end{pmatrix}

Берем в качестве ведущего элемент a_{12}=1 . Прибавляем ко второй строке первую, умноженную на (-1); к третьей строке - первую, умноженную на (-2); к четвертой строке - первую, умноженную на (-4). Тем самым "обнуляются" все элементы второго столбца, расположенные ниже ведущего элемента:

A\sim \begin{pmatrix}0&1&1&1&1&1\\ 0&0&0&1&2&1\\ 0&0&0&-1&0&-1\\ 0&0&0&0&2&0\end{pmatrix}\!.

Полученная матрица не имеет ступенчатого вида, так как одна из ступенек имеет высоту в три строки. Продолжаем преобразования. Первую строку и второй столбец исключаем из рассмотрения. Поскольку первый столбец в оставшейся части матрицы нулевой, исключаем его. Теперь оставшаяся часть матрицы - это матрица (размеров 3\times3 ), образованная элементами, расположенными в последних трех строках и трех столбцах полученной матрицы. В качестве ведущего элемента выбираем a_{24}=1 . К третьей строке прибавляем вторую. Получаем матрицу

A\sim \begin{pmatrix}0&1&1&1&1&1\\ 0&0&0&1&2&1\\ 0&0&0&0&2&0\\ 0&0&0&0&2&0\end{pmatrix}\!.

Вторую строку и четвертый столбец исключаем из рассмотрения. Берем элемент a_{35}=2 в качестве ведущего. Делим третью строку на число 2 (умножаем на 0,5):

A\sim \begin{pmatrix}0&1&1&1&1&1\\ 0&0&0&1&2&1\\ 0&0&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&2&0\end{pmatrix}\!.

К четвертой строке прибавляем третью, умноженную на (-2):

A\sim \begin{pmatrix}0&1&1&1&1&1\\ 0&0&0&1&2&1\\ 0&0&0&0&2&0\\ 0&0&0&0&0&0\end{pmatrix}\!.

Третью строку и четвертый столбец исключаем из рассмотрения. Поскольку в оставшейся части матрицы все элементы (один) нулевые, преобразования закончены. Матрица приведена к ступенчатому виду (см. рис. 1.4).

Замечание 1.9. Продолжая выполнять элементарные преобразования над строками матрицы, можно упростить ступенчатый вид, а именно привести матрицу к упрощенному виду (рис. 1.5).

\begin{gathered}\left(\!\!\begin{array}{*{20}{c}} 0&\cdots&0&1&0&\ast&\cdots&\ast&0&\ast&\cdots&\ast&0&\ast&\cdots&\ast\\ 0&\cdots&0&0&1&\ast&\cdots&\ast&0&\ast&\cdots&\ast&0&\ast&\cdots&\ast\\ 0&\cdots&0&0&0&0&\cdots&0&1&\ast&\cdots&\ast&0&\ast&\cdots&\ast\\ \vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\cdots&\vdots&\vdots&\cdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\cdots&\vdots&\vdots&\cdots&\ddots&\vdots&0&\ast&\cdots&\ast\\ 0&\cdots&0&0&0&0&\cdots&0&0&0&\cdots&0&1&\ast&\cdots&\ast\\ 0&\cdots&0&0&0&0&\cdots&0&0&0&\cdots&0&0&0&\cdots&0\\ \vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\cdots&\vdots&\vdots&\cdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&0&0&0&0&\cdots&0&0&0&\cdots&0&0&0&\cdots&0 \end{array}\!\!\right)\\ \mathsf{Ris.~1.5}\end{gathered}

Здесь символом 1 обозначены элементы матрицы, равные единице, символом * - обозначены элементы с произвольными значениями, остальные элементы матрицы нулевые. Заметим, что в каждом столбце с единицей остальные элементы равны нулю.

Пример 1.31. Привести к упрощенному виду матрицу

A=\begin{pmatrix}0&1&1&1&1&1\\ 0&0&0&1&2&1\\ 0&0&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&0&0\end{pmatrix}\!.

Решение. Матрица имеет ступенчатый вид. Прибавим к первой строке третью, умноженную на (-1), а ко второй строке третью, умноженную на (-2):

A\sim\begin{pmatrix}0&1&1&1&0&1\\ 0&0&0&1&0&1\\ 0&0&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&0&0\end{pmatrix}\!.

Теперь к первой строке прибавим вторую, умноженную на (-1). Получим матрицу упрощенного вида (см. рис. 1.5):

A\sim\begin{pmatrix}0&1&1&0&0&0\\ 0&0&0&1&0&1\\ 0&0&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&0&0\end{pmatrix}\!.

Замечание 1.10. При помощи элементарных преобразований (строк и столбцов) любую матрицу можно привести к простейшему виду (рис. 1.6).

\begin{gathered} \begin{pmatrix} 1&\cdots&0&0&\cdots&0\\ \vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&1&0&\cdots&0\\ 0&\cdots&0&0&\cdots&0\\ \vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&0&0&\cdots&0 \end{pmatrix}_{m\times n}=\begin{pmatrix}E_r&O\\O&O\end{pmatrix}\!.\\ \mathsf{Ris.~~1.6}\end{gathered}

Левый верхний угол матрицы представляет собой единичную матрицу порядка r~(0\leqslant r\leqslant\min\{m,n\}) , а остальные элементы равны нулю. Считается, что нулевая матрица уже имеет простейший вид (при r=0 ).

Пример 1.32. Привести матрицу A=\begin{pmatrix}1&2&3\\ 2&4&5\end{pmatrix} к простейшему виду.

Решение. В качестве ведущего элемента возьмем a_{11}=1 . Ко второй строке прибавим первую, умноженную на (-2):

A\sim\begin{pmatrix}1&2&3\\ 0&0&-1\end{pmatrix}\!.

Ко второму столбцу прибавим первый, умноженный на (-2), а к третьему -первый, умноженный на (-3):

A\sim\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&0&-1\end{pmatrix}\!.

Умножим все элементы последнего столбца на (-1) и переставим его на место второго:

A\sim\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&1&0\end{pmatrix}\!.

Таким образом, исходная матрица A при помощи элементарных преобразований приведена к простейшему виду (см. рис. 1.6).

Свойства элементарных преобразований матриц

Подчеркнем следующие свойства элементарных преобразований матриц .

Теорема 1.1 о приведении матрицы к ступенчатому виду . Любую матрицу при помощи элементарных преобразований ее строк можно привести к ступенчатому (или даже упрощенному) виду.

Следствие (о приведении матрицы к простейшему виду). Любую матрицу при помощи элементарных преобразований ее строк и столбцов можно привести к простейшему виду.

Замечания 1.11

1. Преобразования, обратные к элементарным, являются элементарными . В самом деле, если в матрице поменяли местами два столбца (преобразование I типа), то исходную матрицу можно получить, еще раз поменяв местами эти столбцы. Если столбец матрицы умножили на число \lambda\ne0 (преобразование II типа), то для получения исходной матрицы надо этот столбец умножить на обратное число \tfrac{1}{\lambda}\ne0 . Если к i-му столбцу матрицы прибавили j-й столбец, умноженный на число \lambda , то для получения исходной матрицы достаточно к i-му столбцу матрицы прибавить j-й столбец, умноженный на противоположное число (-\lambda ).

2. В теореме 1.1 говорится о приведении матрицы к ступенчатому (упрощенному) виду при помощи элементарных преобразований только ее строк, не используя преобразования ее столбцов. Чтобы привести произвольную матрицу к простейшему виду (следствие теоремы 1.1), нужно использовать преобразования и строк, и столбцов матрицы.

3. Рассмотрим следующую модификацию пункта 3 метода Гаусса. Ведущий элемент, выбранный в п. 1 метода Гаусса, определяет ведущую строку и ведущий столбец матрицы (он находится на их пересечении). Делим все элементы ведущей строки на ведущий элемент (см. п.2 метода Гаусса). Прибавляя ведущую строку, умноженную на соответствующие числа, к остальным строкам матрицы (аналогично п.3 метода Гаусса), делаем равными нулю все элементы ведущего столбца, за исключением ведущего элемента. Затем, прибавляя полученный ведущий столбец, умноженный на соответствующие числа, к остальным столбцам матрицы, делаем равными нулю все элементы ведущей строки, за исключением ведущего элемента. При этом получаем ведущие строку и столбец, все элементы которых равны нулю, за исключением ведущего элемента, равного единице.

Модифицированный таким образом метод Гаусса называется методом Гаусса-Жордана . Его применение позволяет сразу получить простейший вид матрицы, минуя ее ступенчатый вид.