Какие зависимости существуют между синусом косинусом. Основные тригонометрические тождества, их формулировки и вывод
Земной поверхности. На суше равнины занимают около 20% площади, наиболее обширные из них приурочены и .Все равнины характеризуются малыми колебаниями высот и незначительными уклонами (склоны достигают 5°). По абсолютной высоте различают следующие равнины: низменности - абсолютная высота их от 0 до 200 м (Амазонская);
- возвышенности - от 200 до 500 м над уровнем океана (Среднерусская);
- нагорные, или плоскогорья - свыше 500 м над уровнем океана ();
- равнины, лежащие ниже уровня океана, называются депрессиями (Прикаспийская).
По общему характеру поверхности равнины бывают горизонтальные, выпуклые, вогнутые, плоские, холмистые.
По происхождению равнин различают следующие типы:
- морские аккумулятивные (см. ). Такова, например, низменность с ее осадочным чехлом из морских молодых напластований;
- материковые аккумулятивные . Они образовались следующим образом: у подножия гор отлагаются выносимые с них потоками воды продукты разрушения . Такие равнины имеют небольшой наклон к уровню моря. К ним чаще всего относят краевые низменности;
- речные аккумулятивные . Они образуются вследствие отложения и накопления рыхлых пород, принесенных ();
- абразионные равнины (см. Абразия). Они возникли в результате разрушения берегов деятельностью моря. Эти равнины возникают тем быстрее, чем слабее горные породы и чаще волнения, ;
- структурные равнины . Они имеют очень сложное происхождение. В далеком прошлом они были горными странами. В течение миллионов лет горы разрушались внешними силами, иногда до стадии почти равнин (пенепленов), затем в результате возникли трещины, разломы, по которым излилась на поверхность ; она, как броня, прикрыла прежние неровности рельефа, ее же собственная поверхность сохранилась ровной или ступенчатой в результате излияния траппов. Это и есть структурные равнины.
Поверхность равнин, получающих достаточное увлажнение, расчленена долинами рек, испещрена сложными системами балок и .
Изучение происхождения равнин и современных форм их поверхности имеет очень важное хозяйственное значение, так как равнины густо заселены и освоены человеком. На них располагается множество населенных пунктов, густая сеть путей сообщения, большие и угодья. Поэтому именно с равнинами приходится иметь дело при освоении новых территорий, проектировании строительства населенных пунктов, путей сообщения, промышленных предприятий. В результате хозяйственной деятельности человека рельеф равнин может существенно меняться: засыпаются овраги, сооружаются насыпи, при добыче открытым способом образуются карьеры, а около шахт вырастают созданные человеком холмы из пустой породы - терриконы.
На изменение рельефа равнин океана влияют:
- , извержения , разломы земной коры. Создаваемые ими неровности преобразуются внешними процессами. Осадочные породы, оседая на дно, выравнивают его. Больше всего накапливается у подножия материкового склона. В центральных же частях океана этот процесс происходит медленно: за тысячу лет создается слой в 1 мм;
- природные течения, которые размывают и переносят рыхлые породы, иногда образуют подводные дюны.
Наиболее крупные равнины на Земле
«Теорема синусов и косинусов» - 1) Запишите теорему синусов для данного треугольника: Найдите угол В. Запишите формулу для вычисления: Теорема синусов: Найдите длину стороны ВС. Теоремы синусов и косинусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. 2) Запишите теорему косинусов для вычисления стороны МК: Самостоятельная работа:
«Решение тригонометрических неравенств» - Все значения y на промежутке MN. 1. Строим графики функций: Остальные промежутки. Прямая y=-1/2 пересекает синусоиду в бесконечном числе точек, а тригонометрический круг - в точке А. бесконечного множества промежутков. А на синусоиде, ближайший к началу координат промежуток значений x, при которых sinx>-1/2,
«Тригонометрические формулы» - Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение. Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму. Формулы сложения. По тригонометрическим функциям угла?. Формулы двойных углов. Сложив почленно равенства (3) и (4), получим: Выведем вспомогательные формулы, позволяющие находить.
«Решение простейших тригонометрических неравенств» - cos x. Методы решения тригонометрических неравенств. sin x. Тригонометрическими неравенствами называются неравенства, содержащие переменную в аргументе тригонометрической функции. Решение простейших тригонометрических неравенств.
«Sin и cos» - Верно ли,что косинус 6,5 больше нуля? Синус 60° равен?? Верно ли что соs? х - siп? х = 1? Раздел математики, изучающий свойства синуса, косинуса… Урок по алгебре и началам анализа в 10 классе. Решение тригонометрических уравнений и неравенств. Абсцисса точки на единичной окружности. Отношение косинуса к синусу…
«Теорема косинусов для треугольника» - Устная работа. Неизвестные элементы. Треугольник. Квадрат стороны треугольника. Сформулируйте теорему косинусов. Теорема. Теорема косинусов. Решение задач на клеточной бумаге. Углы и стороны. Сформулировать теорему косинусов. Задачи по готовым чертежам. Данные, указанные на рисунке.
Всего в теме 21 презентация
Открытый урок по алгебре и началам анализа по теме: «Зависимость между синусом и косинусом одного и того же угла» (10 класс)
Цель: восприятие учащимися и первичное осознание нового учебного материала, осмысливание связей и отношений в объектах изучения
Образовательная : вывод формул зависимости между синусом и косинусом одного и того же угла (числа); обучение применению этих формул для вычисления значений синуса, косинуса по заданному значению одного из них.
Развивающая : учить анализировать, сравнивать, строить аналогии, обобщать и систематизировать, доказывать и опровергать, определять и объяснять понятия, развивать и совершенствовать умения применять имеющиеся у учащихся знания в различных ситуациях; развивать грамотную математическую речь учащихся, умение давать лаконичные формулировки
Воспитательная: воспитание добросовестного отношения к труду и положительного отношения к знаниям, воспитывать у учащихся аккуратность, умение слушать, высказывать свое мнение; культуру поведения.
Здоровье-сберегающая : создание комфортного психологического климата на уроке, атмосферы сотрудничества: ученик – учитель.
Знания и умения: определений основных тригонометрических функций (синуса, косинуса); знаков тригонометрических функций по четвертям; множества значений тригонометрических функций; основных формул тригонометрии. У мение правильно выбрать нужную формулу для решения конкретного задания; работать с простыми дробями; выполнять преобразование тригонометрических выражений.
Ход урока
Проверить готовность учащихся к уроку. Открытие на компьютерах сайта учителя(Приложение 1).
Устная работа по пройденной теме : «Знаки синуса, косинуса и тангенса»
На доске:
Задание:
Расставить номера четвертей координатной плоскости и определить знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Самостоятельная работа по теме: «Знаки синуса, косинуса и тангенса»
Учащиеся открывают на сайте раздел «Задания к уроку по тригонометрии». Самопроверка
(Учащиеся выполняют задание №1, проверяют свои работы и оцениваю себя)
Объяснение нового материала
На доске:
х = … α , … ≤ cos α≤ … 2)* tg α = , α≠ …
y = … α, … ≤ sin α≤ … ctg α = , α≠ …
Задание: дописать формулы
Учитель : «Мы с вами изучили каждое понятие отдельно. Как вы считаете какую тему далее логично изучить?»
( Предполагаемый ответ: «Зависимость между этими понятиями»)
Формулируется тема урока: «Зависимость между синусом и косинусом одного и того же угла»
Учитель : «Есть несколько путей решения этой проблемы»
Используя уравнение единичной окружностиИспользуя теорему Пифагора
Учитель : «Давайте рассмотрим оба и выберем наиболее рациональный»
На доске:
Учащиеся выводят равенство cos 2 α + sin 2 α = 1
Учитель : «Мы получили равенство справедливое при любых значениях, входящих в него букв. Как называют такие равенства?»
( Предполагаемый ответ : тождества)
Учитель : «Вспомните, как называется тождество cos 2 α + sin 2 α = 1 »
Закрепление изученного материала
А) Учитель: «Откройте учебник стр.147, № 457(2;4)»(вызванные учащиеся решают у доски)
Б) Учитель: «Приступите к выполнению задания №2. Работаем по вариантам» (Обсуждение полученных результатов)
На доске:
1 вариант 2 вариант
Учитель: «В данных формулах перед корнем стоят знаки « ±» . От чего зависит какой знак ставить в формуле?»
(Предполагаемый ответ: «От того, в какой четверти расположен угол поворота точки P(1;0)»)
В) Учитель: «Приступите к выполнению задания №3». (Учащиеся решают задания, проверка на доске)
Подведение итогов урока
Учитель: «Молодцы! Итог урока мы подведем с помощью кроссворда» (Задание 4) (Учащиеся работают в парах за компьютером)
7) Рефлексия в форме анкетирования (приложение 2)
Учитель: «Сделайте вывод о своей работе на уроке, заполнив тест».
§25, №456, 457(1;3),460(1;3).
Доклад
Попробуем отыскать зависимость между основными тригонометрическими функциями одного и того же угла.
Соотношение между косинусом и синусом одного и того же угла
На следующем рисунке представлена система координат Оху с изображенной в ней частью единичной полуокружности ACB с центром в точке О. Эта часть является дугой единичной окружности. Единичная окружность описывается уравнением
- x 2 +y 2 =1.
Как уже известно ординату у и абсциссу х можно представить в виде синуса и косинуса угла по следующим формулам:
- sin(a) = у,
- cos(a) = х.
Подставив эти значения в уравнения единичной окружности имеем следующее равенство
- (sin(a)) 2 + (cos(a)) 2 =1,
Данное равенство, выполняется при любых значениях угла а. Оно называется основное тригонометрическое тождество.
Из основного тригонометрического тождества, можно выразить одну функцию через другую.
- sin(a) = ±√(1-(cos(a)) 2),
- cos(a) = ±√(1-(sin(a)) 2).
Знак в правой части этой формулы определяется знаком выражения, которое стоит в левой части этой формулы.
Например.
Вычислить sin(a), если cos(a)=-3/5 и pi Воспользуемся формулой приведенной выше: