Главная

Чехов

А радиус окружности; б длину каждой из дуг АD; в отношение дуг вписанной в треугольник АВС окружности заключ. Учебный год

А радиус окружности; б длину каждой из дуг АD; в отношение дуг вписанной в треугольник АВС окружности заключ. Учебный год

Работа добавлена на сайт сайт: 2016-03-05

Задачи к устному экзамену по геометрии

9 класс

2012-2013 учебный год

Найдите площадь параллелограмма АВС D , если известно, что S ∆ BOC =10 см 2 , где О точка пересечения диагоналей.
Диагонали АС и BD четырехугольника АВС D пересекаются в точке М так, что АМ=МС, ВМ:М D =2:5. Найдите площадь четырехугольника АВС D , если площадь треугольника АВМ равна 8.
ABCD со сторонами АВ= и AD =6. Найдите: а) радиус окружности; б) длину каждой из дуг А D ; в) отношение дуг вписанной в треугольник АВС окружности, заключенных между точками касания.
Центры трех попарно касающихся окружностей совпадают с вершинами треугольника со сторонами 5 см, 6 см и 7 см. Найдите радиусы этих окружностей.
Из вершины тупого угла параллелограмма проведены высоты к его сторонам, расстояние между основаниями высот равно 52. Найдите стороны параллелограмма, если его высоты равны 56 и 60.
Выпуклый четырехугольник вписан в окружность. Диагональ АС является биссектрисой угла ВА D и пересекается с диагональю В D в точке К. Найдите длину КС, если ВС=4, АК=6.
В координатной плоскости проведена окружность радиуса 4 с центром в начале координат. Прямая, заданная уравнением, пересекает ее в точках А и В. Найдите сумму длин отрезка АВ и меньшей дуги АВ.
В выпуклом равностороннем шестиугольнике АВС DEF углы при вершинах А, C , и E прямые. Найдите площадь шестиугольника, если его сторона равна.
ABCD параллелограмм. А(1;1), В(7;3), С(3;4). Найдите: а) координаты четвертой вершины; б) запишите уравнение окружности с диаметром АВ и определите взаимное расположение этой окружности и точки С; в) расстояние от точки С до окружности с диаметром АВ.
Основание равнобедренного треугольника равно 18, высота, проведенная к основанию равна 24. Из конца основания через середину высоты проведена прямая до пересечения с боковой стороной. Найдите длину получившегося отрезка.
Хорда окружности пересекает диаметр под углом, равным 30 0 и делит его на отрезки, равные а и b . Найдите расстояние от центра окружности до этой хорды.
В окружность вписан прямоугольник ABCD со сторонами АВ= и AD =6. Найдите отношение дуг вписанной в треугольник АВС окружности, заключенных между точками касания.
На катетах АС и ВС треугольника АВС, как на сторонах, построены вне треугольника АВС равносторонние треугольники АСМ и ВСК. Докажите, что АК=ВМ=МК и найдите угол между прямыми АК и ВМ.
Трапеция с основаниями 14 и 40 вписана в окружность радиуса 25. Найдите высоту трапеции.
В треугольнике АВС А=27 0 , В=17 0 0 , КСВ=17 0 . Найдите: а) углы треугольника МСК; б) периметр треугольника МСК; в) расстояние между основаниями высот треугольников МСА и ВСК, опущенных соответственно из вершин М и К.
Один из углов параллелограмма в 5 раз больше другого, а одна из диагоналей является его высотой. Найдите: а) углы параллелограмма. б) отношение неравных сторон параллелограмма.
Даны векторы. Вычислите координаты и абсолютную величину вектора.
Треугольник АВС равносторонний. Лучи АК, ВЕ, СМ попарно пересекаются внутри треугольника, причем углы ВАК, СВЕ и АСМ равны. Являются ли точки К, Е и М вершинами равностороннего треугольника? Ответ обоснуйте.
Треугольник АВС вписан в окружность радиуса 12. Известно, что АВ=6, ВС=4. Найдите: а) величину АС; б) площадь треугольника АВС.
Даны две равные касающиеся окружности. Под каким углом пересекаются прямые, одна из которых касается этих окружностей, а другая проходит через центр одной из окружностей и касается другой.
В параллелограмме лежат две окружности. Одна из них, радиуса 3, вписана в параллелограмм, а другая касается двух его сторон и первой окружности. Расстояние между точками касания, лежащими на одной стороне параллелограмма, равно 3. Найдите его площадь.
Прямая пересекает боковую сторону АС, основание ВС и продолжение боковой стороны АВ равнобедренного треугольника АВС в точках К, Р и М соответственно. При этом треугольники СКР и ВМР равнобедренные. Найдите эти углы.
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 8 см, а один из углов равен 120 0 . Найдите длину окружности, описанной около этого треугольника.
В ромбе ABCD D BAD =72 0 . Найдите: а) углы четырехугольника АМС D ; б) отношение ВМ:АВ.
В ромбе АВС D из вершины его острого угла А, равного 60 0 , проведены высоты, пересекающие продолжение сторон ВС и С D соответственно в точках E и F . Найдите длину отрезка EF если сторона ромба равна 8.
В параллелограмме АВС D острый угол равен 30 0 . Найдите диагональ АС, если АВ=, S ABCD =20.
, АВ=12. Отношение квадратов длин диагоналей равно 1,3. Найдите: а) СВ; б) периметр трапеции; в) расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до каждой из ее сторон.
В параллелограмме АВС D проведены биссектрисы углов А и С, пересекающие стороны ВС и А D в точкам М и N соответственно. Докажите, что АМ=С N .
Окружности с центрами О 1 и О 2 пересекаются в точках А и В. Известно, что АО 1 В=90 0 , АО 2 В=60 0 , О 1 О 2 = а . Найдите радиусы окружностей.
Точка К середина медианы В F треугольника АВС. Прямая АК пересекает сторону ВС в точке D . Докажите, что BD =1\3ВС.
Один из углов треугольника равен 60 0 . Найдите расстояние между проекциями середины противоположной стороны треугольника на две другие его стороны, если высоты треугольника, опущенные на эти стороны равны 2 и 4.
Найдите площадь трапеции АВС D , если ее меньшее основание ВС=12, АВ=С D , D =45 0 и высота трапеции равна 8.
АВС D параллелограмм с периметром 28 см. АМ биссектриса острого угла А. Точка М делит сторону ВС на отрезки ВМ и МС такие, что ВМ:МС=3:1. Найдите: а) стороны параллелограмма; б) в каком отношении биссектриса угла В делит отрезок АМ; в) расстояние между точками пересечения биссектрис углов А и В и углов С и D .
Определите количество сторон правильного многоугольника, у которого сумма всех его внешних углов с одним из внутренних равна 495 0 .
В равнобедренном треугольнике АВС (АВ=ВС) высота АЕ=12, а основание АС=15. Найдите: а) площадь треугольника АВС; б) радиус вписанной и описанной окружностей; в) б) длины отрезков на которые биссектриса АК делит боковую сторону треугольника.
Найдите длины двух смежных сторон параллелограмма, если известно, что их сумма равна 8, а сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна 68.
Дан квадрат АВС D . Вершины К и М равностороннего треугольника АМК расположены на отрезках CD и ВС соответственно. Докажите, что МК║ BD .
В трапеции АВС D основания ВС=4 и А D =9. Известно, что АВ=ВС, АС= CD . Найдите периметр трапеции.
В трапеции ABCD боковая сторона АВ равна основанию ВС и равна половине основания AD Найдите градусную меру угла ACD .
ABCD параллелограмм. А(1;1), В(7;3), С(3;4) Найдите расстояние от точки С до окружности с диаметром АВ.
СН высота правильного треугольника с катетами АС=3 и ВС=4. Разложите вектор СН по векторам СА и СВ.
Можно ли сложить паркет из правильных пятиугольников? Из каких правильных многоугольников можно сложить паркет?
Один из углов параллелограмма в 5 раз больше другого, а одна из диагоналей является его высотой. Найдите: а) углы параллелограмма; б) отношение неравных сторон параллелограмма; в) отношение диагоналей параллелограмма.
Катеты прямоугольного треугольника 3 и 6. Найдите биссектрису прямого угла.
В треугольнике АВС АВ=7, ВС=5, АС=6, О центр вписанной окружности. Разложите вектор СО по векторам СА и СВ.
В треугольнике АВС известно что D АВ, ЕВС, причем. Докажите, что DE ║ AC .
Две окружности с центрами А и В радиусов 2 и 1 касаются друг друга. Точка С лежит на прямой касающейся каждой из окружностей, и находится на расстоянии от середины отрезка АВ. Найдите площадь треугольника АВС, если известно, что она больше 2.
Найдите координаты точки С(x ; y ), если она принадлежит оси абсцисс и одинаково удалена от точек А(-14;5) и В(3;8).
Высота треугольника равна 12. Его основание равно 14, а сумма боковых сторон 28. Найдите радиус вписанной и описанной окружностей.
Докажите, что точки пересечения двух окружностей симметричны относительно прямой, соединяющей их центры.
Даны точки А(-6;0) и В(2;0). Найдите множество точек, из которых отрезки ОА и ОВ видны под равными углами.
Окружность радиуса 2 касается внешним образом другой окружности в точке А. Общая касательная к обеим окружностям, проведенная через точку А, пересекается с другой общей касательной в точке В. Найдите длину второй окружности, если АВ=4.
Постройте трапецию по двум основаниям и двум диагоналям.
Постройте треугольник по его медианам.
Постройте параллелограмм по двум диагоналям и углу между ними.
Определите вид четырехугольника МАКР и найдите его площадь, если М(2;2), А(5;3), К(6;6), Р(3;5).
Найдите площадь фигуры, ограниченной дугами трех попарно касающихся окружностей радиусами 1,1, .
Найдите угол между векторами
.
D перпендикулярен АВ. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники DBC и DAC , соответственно равны R и r / Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АВС.
У квадрата со стороной а срезали углы так, что получился правильный 8-угольник. Найдите: а) радиус окружности, вписанной в этот 8-угольник; б) сторону 8-угольника; в) радиус окружности, описанной около 8-угольника.
Даны точки А(5;-7), В(5;3), С(-7;7). Докажите, что медианы треугольника АВС, проведенные из вершин А и В, взаимно перпендикулярны.
Окружность, касающаяся гипотенузы прямоугольного треугольника, а также продолжений обоих катетов, имеет радиус, равный q . Найдите периметр треугольника.
В прямоугольном треугольнике АВС (угол С прямой), С D высота, а один из катетов вдвое больше другого. В треугольнике АС D и ВС D проведены биссектрисы D К и D Р соответственно, КР=4. Найдите: а) площадь треугольника АВС; б) радиус вписанной и описанной окружностей.
В прямоугольной трапеции АВС D (А D и ВС основания) А=90 0 , А D =6, ВС=2, АВ=3. Найдите скалярное произведение векторов.
В трапеции АВС D А=В=90 0 , DA =2 CB , АВ=12. Отношение квадратов длин диагоналей равно 1,3. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до каждой из ее сторон.
В треугольник со сторонами 14, 10, 6 вписан полукруг с диметром, лежащим на большей стороне. Найдите площадь полукруга.
Фигура ограничена дугами двух равных окружностей, стягиваемых общей хордой. Длина хорды равна радиусу окружностей и равна 1. Сделайте рисунки возможной фигуры и найдите периметры и площади получившихся фигур.
В треугольнике АВС А=45 0 , Ав=7, АС=4 . Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ВАА 1 , если АА 1 высота треугольника.
Найдите площадь треугольника АВС, если АС=3, ВС=4, а медианы АК и ВМ взаимно перпендикулярны.
Даны точки А(4;5), В(7;-4), С(-1;0). Найдите координаты точки пересечения высот треугольника АВС.
К окружности радиуса R проведены 4 касательные, образующие ромб, большая диагональ которого равна 4 R . Найдите площадь каждой из фигур, ограниченных двумя касательными, проведенными из общей точки, и меньшей дугой окружности, лежащей между точками касания.
Найдите площадь круга, вписанного в данный сектор, если радиус сектора равен R , а дуга содержит: а) 60 0 , б) 90 0 ; в) 120 0
Центры вписанной и описанной окружностей симметричны относительной одной из сторон треугольника. Найдите углы треугольника.
Докажите, что в равнобедренной трапеции прямые, соединяющие середины противолежащих сторон, перпендикулярны.
Две параллельные хорды равны 14 дм и 40 дм, а расстояние между ними 39 дм. Найдите площадь круга.
В треугольнике АВС А=27 0 , В=17 0 . АВ=30 см. Точки М и К лежат на отрезке АВ (М между А и К) так, что АМС=126 0 , КСВ=17 0 . Найдите расстояние между основаниями высот треугольников МСА и ВСК, опущенных соответственно из вершин М и К.
На стороне АВ треугольника АВС выбрана точка М так, что АМ:МВ=2:7. Прямая М N параллельна прямой АС и пересекает сторону ВС в точке N . Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника МВ N равна 49.
Гипотенуза прямоугольного треугольника делится на отрезки 5 и 12 точкой касания вписанной в треугольник окружности. На какие отрезки делит катет треугольника биссектриса его меньшего угла?
В прямоугольном треугольнике АВС А=, =, а радиус вписанной окружности равен. Найдите расстояние от вершины С до точки касания вписанной окружности и катета АВ.
АВС D параллелограмм с периметр 28 см. АМ биссектриса острого угла А. Точка М делит сторону ВС на отрезки ВМ и МС, ВМ:МС=3:1. Найдите сторону параллелограмма; в каком отношении биссектриса угла В делит отрезок АМ; расстояние между точками пересечения биссектрис углов А и В и углов С и D .
Углы треугольника составляют арифметическую прогрессию. Найдите градусную меру угла, лежащего против средней по величине стороны угла; два других угла, если один из них в 5 раз больше другого. Какой угол образует с каждой из сторон треугольника биссектриса его большего угла?
Перпендикуляр, опущенный из середины одного катета прямоугольного треугольника на гипотенузу, равен 6, а середина гипотенузы отстоит от этого же катета на 7,5. Найдите сторону данного треугольника.
Дан треугольник АВС и точка О точка пересечения его медиан. Докажите, что.
В трапеции АВС D известны боковые стороны АВ=27, CD =28 и верхнее основание ВС=5. Известно, что cos BCD . Найдите: а) диагонали трапеции; б) площадь трапеции; в) высоту трапеции.
Сторона ромба равна 13, одна из диагоналей 24. Найдите вторую диагональ ромба.
Расстояния от точки окружности до концов ее диаметра равны 18 и 24. Найдите радиус окружности.
Найдите длины длин двух смежных сторон параллелограмма, если известно, что их сумма равна 8, а сумма квадратов длин диагоналей параллелограмма равна 68.
В ромбе ABCD со стороной 8 проведена прямая АМ, делящая угол ВА D в отношении 1:2. Точка М лежит на стороне ВС. BAD =72 0 . Найдите длину АМ.
Хорда окружности пересекает ее диаметр под углом 30 0 и делится им на части равные 12 и 6. Найдите расстояние от середины хорды до диаметра.
На стороне АВ параллелограмма АВСD как на диаметре построена окружность, проходящая через точку пересечения диагоналей и середину АD . Найдите угла параллелограмма.
Катет равнобедренного прямоугольного треугольника АВС (угол С прямой) равен 1. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых величина постоянна и равна 4.
Треугольник АВС задан координатами своих вершин. Найдите координаты точки М пересечения биссектрисы угла А со стороной ВС.
Углы при основании AD трапеции ABCD равны 600 и 300 , . Найдите периметр и площадь трапеции.
Найдите площадь трапеции , основания которой 16 см и 28 см, а диагонали 17 см и 39 см.
В параллелограмме ABCD острый угол 450 . Найдите диагональ BD , если СВ=.
Стороны прямоугольника 5 и 7. Биссектрисы углов, прилежащих к большей стороне, делит противолежащую сторону на три части. Найдите длины частей.
Сумма и разность векторов имеют координаты соответственно. Найдите: а) угол между векторами; б) разложите по векторам вектор
Найдите угол между единичными векторами, если известно, что векторы перпендикулярны.
Хорда длиной 48 см перпендикулярна диаметру и делит его на отрезки в отношении 9:16. Найдите радиус окружности.
В треугольнике АВС на сторонах АВ и ВС лежат точки М и N соответственно так, что АМ: МВ = 1: 2, CN: NB = 1: 3. Найдите отношение площади четырехугольника AMNC к площади треугольника АВС
Угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины наибольшего угла, равен 120 . Найдите углы этого треугольника, если его наибольший угол в 4 раза больше наименьшего.
Найдите площадь треугольника, если две его стороны равны 35 см и 14 см, а биссектриса угла между ними равна 12 см.
Найдите площадь треугольника, одна из сторон которого равна 12 см, а к ней прилежащие углы 300 и 750 .
В треугольнике АВС. Найдите: а) косинус угла В; б) длину медианы СМ; в) площадь треугольника АВС.
В равнобедренном треугольнике угол при основании равен 750 . Найдите боковую сторону этого треугольника, если его площадь равна 16 см2 .
Найдите длины диагоналей параллелограмма, если известно, что их сумма равна 20, а сумма квадратов длин двух смежных сторон параллелограмма равна 109.
Через вершину В равнобедренного треугольника АВС параллельно основанию АС проведена прямая ВD. Через точку К середину высоты ВH проведен луч АК, пересекающий прямую ВD в точке D, а сторону ВС в точке N. Определите, в каком отношении точка N делит сторону ВС.
Одна из сторон треугольника равна 1, а два его угла равны. Найдите все значения, которые может принимать площадь треугольника.
Катет прямоугольного треугольника равен 28 см. Точка, принадлежащая гипотенузе, удалена от каждого из катетов на 12 см. Найдите периметр треугольника.
Найдите площадь трапеции, основания которой 6 см и 26 см, а боковые стороны 12 см и 16см.
В ромбе ABCD . Точка К лежит на стороне ВС так, что угол ВАК равен половине угла КАD. Найдите длину отрезка АК, если длина диагонали АС равна а.
В треугольнике АВС АВ = 35, ВС = 120, АС = х. а) Чему равен наибольший угол треугольника при х = 150? б) при каком значении х угол АВС равен? в) Каковы допустимые значения х? г) при каких значениях х треугольник АВС прямоугольный, остроугольный, тупоугольный.
В параллелограмме диагональ равна 4 и делит угол на углы. Найдите периметр параллелограмма.
В треугольнике АВС АВ = АС = а, . Найдите: а) ВС; б) высоту, опущенную из вершины В; в) биссектрису угла С; г) радиус вписанной окружности; д) радиус описанной окружности. В треугольнике АВС точка М является серединой стороны ВС. Точка О лежит на отрезке АМ так, что МО:АО=1:2, прямая ВО пересекает сторону треугольника АС в точке К. Площадь четырехугольника ОМСК равна 1. Найти площадь треугольника АВС.
Медианы АА1 и ВВ1 треугольника АВС равны 9см и 12 см. Они пересекаются в точке О. . Найдите третью медиану.
Из вершины тупого угла ромба проведен перпендикуляр к стороне. Этот перпендикуляр пересекает диагональ ромба под углом 600 . Найдите длину этой диагонали, если длина перпендикуляра равна 6 см.
Даны две вершины равностороннего треугольника А(1;-1) и В(-1;3). Найдите координаты третьей вершины и площадь треугольника.
В параллелограмме АВСD точки K середина ВС, О точка пересечения диагоналей. Упростите:

В прямоугольном треугольнике АВС проведена высота СD к гипотенузе АВ. Найдите AB, если BC = 2 см; АD = 1 см.
На стороне АВ параллелограмма АВСD как на диаметре построена окружность, проходящая через точку пересечения диагоналей и середину стороны AD. Найдите углы параллелограмма.
В треугольнике АВС на стороне АС взята точка М, так, что АС = 9. Найдите АВ и отношение площадей треугольников АВМ и АВС.
В равнобокой трапеции большее основание равно 75 см, боковая сторона равна 20см и диагональ равна 65см. Найдите площадь трапеции.
В треугольнике расстояние от точки пересечения медиан до вершин треугольника равны 25, 14 и 25. Определите вид треугольника и найдите его периметр.
Биссектриса прямого угла делит гипотенузу прямоугольного треугольника на части, равные м и м. Определите его площадь.
В равнобедренном прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, на 2 меньше катета. Найдите площадь треугольника, радиус вписанной в треугольник и описанной около него окружностей.
На плоскости даны точки А(-1;1), В(1;1). Найдите множество точек С на плоскости таких что. Изобразите это множество
Диагонали параллелограмма 13 и 15, высота 12. Найдите стороны параллелограмма и его площадь.
Центр окружности, описанной около равнобедренного треугольника, делит медиану, проведенную к основанию, в отношении 25:7. Боковая сторона треугольника равна 40 см. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник.
Точка касания вписанной окружности делит гипотенузу треугольника на отрезки 4 см и 6 см. Найдите радиусы описанной и вписанной окружностей.
В прямоугольном треугольнике радиусы описанной и вписанной окружностей соответственно равны 10 см и 4 см. Найдите периметр треугольника.
Даны вектора Разложите вектор; вектор по векторам.
Даны точки А(-2;0), В(2;2), С(4;-2), D (0;-4). Разложите вектор по координатным векторам
В трапеции ABCD (BC и AD основания) ВС=6, AD =8, О точка пересечения диагоналей, М середина ВС, К середина AD , F точка пересечения прямых AB и CD . Найдите такое число х , если оно существует, что: .
Периметр прямоугольника равен 46. Биссектриса прямого угла делит диагональ в отношении 8:15. Найдите длину окружности, описанной около прямоугольника.
Основания прямоугольной трапеции равны 21 и 28. Найдите радиус окружности, вписанной в трапецию.
Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, равна 32 см, а радиус окружности, вписанной в треугольник равен 12 см. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.
Высота ромба, проведенная из вершины тупого угла, делит его сторону на отрезки 7 и 18. Найдите площадь круга, вписанного в ромб.
В равнобедренной трапеции периметр равен 64, разность оснований равна 18, а высота относится к боковой стороне как 4:5. Найдите площадь трапеции.
Две стороны треугольника равны 75 и 78, а высота, проведенная к третьей стороне, делит ее в отношении 7:10. Найдите периметр, площадь и высоты треугольника.
В прямоугольном треугольнике АВС проведена высота СН к гипотенузе. Точка Н делит гипотенузу в отношении 1: 3, считая от точки А. Найдите длину гипотенузы, если катет АС = а
Катет прямоугольного треугольника равен 15, а косинус противолежащего угла равен. Найдите периметр треугольника и радиус вписанной в треугольник и описанной около него окружностей.
Пусть вектор Разложите вектор
">Биссектриса СК угла " xml:lang="en-US" lang="en-US">BCD "> параллелограмма ABCD делит сторону " xml:lang="en-US" lang="en-US">AD "> на отрезки АК = 3см и КD = 5cм. Найдите периметр этого параллелограмма.
Около окружности описана прямоугольная трапеция. Точка касания делит большую боковую сторону на отрезки 9 и 16. Найдите основания и площадь трапеции.
Даны точки А(1;1), В(3;-5), С(-1;3). Вычислите:

а) длины медиан треугольника АВС;

б) координаты точки пересечения медиан;

в) площадь треугольника.

Из точки окружности проведены диаметр и хорда длиной 30. Проекция хорды на диаметр относится к радиусу окружности как 18:25. Найдите радиус окружности.
Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 400 . Одна из боковых сторон служит диаметром полуокружности, которая делится другими сторонами на три дуги. Найдите градусные меры этих дуг.
В равнобедренном треугольнике центр вписанного круга делит высоту в отношении 17:15. Найдите радиус этого круга и площадь треугольника, если основание треугольника равно 60.
В треугольнике со сторонами 4 см, 5 см и 8 см найдите длину медианы, проведенной из вершины большего угла.
В треугольнике АВС угол С прямой. На катете ВС взята точка М так, что 2МС = ВС, и вне треугольника проведен отрезок МН перпендикулярный ВС так, что МН = 0,5АС. Докажите, что отрезки АВ и СН параллельны. Найдите отношение площадей треугольников АВС и МСН.
В треугольнике АВС на стороне АС взята точка М так, что, АМ = 4, АС = 9. Найдите АВ и отношение площадей треугольников АВМ и АВС.
На сторонах АВ, ВС и СА треугольника АВС отмечены соответственно точки М, Н и К так, что 4АМ = АВ, 3НС = ВН. В каком отношении прямая МН делит отрезок ВК?
В равнобедренном треугольнике АВС АВ = АС = 13 см, ВС = 10 см. Найдите расстояние от точки пересечения медиан треугольника до вершины А.
Высота, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна 5, а один из катетов 13. Найдите гипотенузу, второй катет и отрезки, на которые высота делит гипотенузу.
">Верно ли, что если диагональ четырехугольника делит его на два равных треугольника, то это параллелограмм. Ответ обоснуйте.
Можно ли в разностороннем треугольнике провести прямую так, чтобы она отсекла от него треугольник, ему подобный, и не была параллельна ни одной его стороне? Можно ли это сделать, если треугольник равнобедренный, но не равносторонней? Если он равносторонний?
Диагонали прямоугольной трапеции взаимно перпендикулярны. Найдите меньшее основание трапеции, если ее высота равна 2, а большее основание 3.
Пусть а и b длины двух отрезков. Используя циркуль и линейку, постройте отрезок, длина которого равна.
Длина солнечной тени от дерева равна 24м. Вертикальный шест высотой 1м 50 см в тот же момент отбрасывает тень длиной 1м 60 см. Какова высота дерева?
Из отрезков длиной 3, 6, 7, 9, 14, 18 составьте два подобных треугольника и найдите отношение длин биссектрис меньших углов этих треугольников.
Биссектриса СD прямого угла треугольника АВС делит гипотенузу на отрезки 15 и 20. Найдите площадь треугольника.
В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) ВМ биссектриса, СЕ медиана, которые пересекаются в точке О. Площадь четырехугольника АЕОМ равна 1. Найдите площадь треугольника АВС.
Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки 7см и 24см. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник.
В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) ВМ биссектриса, СЕ медиана, которые пересекаются в точке О. Площадь треугольника ВЕО равна 1. Найдите площадь треугольника АВС.
Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 4. А гипотенуза равна 26. Найдите площадь треугольника.
Дан треугольник АВС. Сколько найдется таких точек М, что треугольники АВМ, ВМС и САМ равновелики?
АС и СВ катеты, СН высота. НК и ВС параллельны. Найдите отношение АК:КС, если АС:СВ=4:5
Диагонали ромба равны 14 и 48. Найдите высоту ромба, длину вписанной в ромб окружности.
Катеты треугольника относятся как 20:21, а разность между радиусами описанной и вписанной окружностями равна 17. Найдите: периметр треугольника, площадь треугольника, радиусы вписанной и описанной окружностей.
Докажите справедливость формулы:
В равнобокой трапеции, площадь которой равна, одно из оснований в два раза больше другого. Диагональ трапеции является биссектрисой острого угла. Найдите периметр и высоту трапеции.
Точка М делит сторону АВ треугольника АВС в отношении 1: 2, считая от точки А. Точка Р делит сторону СВ треугольника АВС в отношении 1: 2, считая от точки В. Отрезки СМ и АР пересекаются в точке Е. В каком отношении точка Е делит отрезок АР?
Треугольник АВС со сторонами 13, 14 и 15 разбит на три треугольника отрезками, соединяющими точку пересечения медиан М с вершинами треугольника. Найдите площадь треугольника ВМС.
Около круга радиуса 12 описана равнобокая трапеция с боковой стороной 25. Найдите периметрии трапеции.
Основания равнобокой трапеции равны 8 и 18. Найдите радиус окружности, вписанной в трапецию.
Разность длин описанной и вписанной окружностей правильного треугольника равна. Найдите площадь треугольника, площадь круга вписанного в треугольник и площадь круга, описанного около треугольника.
Угол между двумя радиусами в 4 раза больше, чем угол между хордой, стягивающей концы этих радиусов, и одним из радиусов. Найдите длину меньшей из дуг, стягиваемых этой хордой, если площадь сектора, ограниченного этой дугой, равна 48π.
Площадь вписанного в правильный многоугольник круга в 4 раза меньше площади круга, описанного около многоугольника. Найдите периметр многоугольника, если его площадь равна.
В прямоугольный треугольник, катеты, которого относятся как 3:4, вписан полукруг с центром на гипотенузе, площадь которого 72π. Найдите периметр треугольника.
В круговой сектор с соответствующим ему центральным углом 600 , вписан круг радиуса r . Найдите площадь сектора.
Основания равнобокой трапеции 8 и 18. Найдите площадь круга вписанного в трапецию.
В полукруг вписана трапеция с меньшим основанием 14, параллельным диаметру, и высотой 24. Найдите площадь полукруга.
Окружность радиуса 4 разогнута в дугу окружности радиуса 10. Найдите площадь получившегося сектора.
В треугольнике АВС: . Найдите длину дуги окружности с центром в точке А, касающейся стороны ВС, заключенную внутри треугольника.
Трапеция АВСD вписана в окружность (ВС и АD основания), ВС=2, АD =, . Найдите длины дуг окружности, концами которых являются соседние вершины трапеции.
В трапеции АВСD основание AD = 10см, ВС = 2см, диагонали АС и BD пересекаются в точке О. Найти диагональ АС, если АО = 4 см.
В параллелограмме ABCD проведены биссектрисы углов А и С, пересекающие стороны ВС и AD в точках М и N соответственно. Докажите, что АМ = CN.
Хорды AB и CD пересекаются в точке Е. Найдите длины отрезков СЕ и DE, если АЕ = 3см, ВЕ = 6 см, CD = 11 см.
Докажите, что если четырехугольник ABCD описан около окружности, то суммы его противоположных сторон равны.
В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 20 см, а косинус одного из углов равен 0,8. Найдите длину катета, противолежащего данному углу.
Определите вид четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон трапеции. Может ли этот четырехугольник быть квадратом?
Найдите углы АВС с вершинами в точках А(- 1;2), В(1;5), С(5;3).
Найдите площадь прямоугольного треугольника с гипотенузой 13 см и катетом 12 см.
Сколько сторон имеет правильный многоугольник, у которого сумма всех его внешних углов с одним из внутренних равна?
Диагональ ромба равна его стороне, а ее длина равна 6 см. Найдите вторую диагональ и углы ромба.
Найдите площадь треугольника по его сторонам и прилежащим к ней углам.
Найдите углы равнобедренного треугольника, если внешний угол при вершине равен.
Найдите площадь трапеции ABCD, если ее меньшее основание ВС = 12 см, АВ = CD, и высота трапеции равна 8см.
Прямая MN параллельная стороне АС АВС пересекает стороны АВ и ВС в точках M и N. Найдите длину отрезка СN, если MN = 8c м, BC = 15c м, АС = 12 см.
Трапеция ABCD c основаниями АD и ВС вписана в окружность с диаметром АD . Найдите углы трапеции, если диагонали пересекаются под углом.
В окружность вписан прямоугольник, стороны которого равны 12 см и 16 см. Найдите длину окружности.
Стороны прямоугольника 7 см и 5 см. Биссектрисы углов, прилежащих к большей стороне, делят противолежащую сторону на три части. Найдите длины этих частей.
М точка пересечения биссектрис АВС. . Найдите углы АМС.
Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 15см, 24см и 15см.
Даны векторы. Найдите координаты и длину вектора.
Из точки Н на гипотенузе АВ АВС, восстановлен перпендикуляр НК к гипотенузе. Точка К лежит на прямой АС. Найдите длину отрезка НК, если АВ = 13см, ВС = 12см, НВ = 6см.
На основании АС равнобедренного АВС отмечена точка К, а на сторонах АВ и ВС точки М и Р соответственно, причем РК = МВ, . Докажите, что КМВР- параллелограмм.
Основания трапеции 9 см и 15см. Найдите длину отрезка, соединяющего середины диагоналей этой трапеции.
Угол А равнобедренного АВС равен. Найдите угол между прямой, содержащей его высоту, проведенную из вершины В, и прямой, содержащей биссектрису угла А.
В ромбе ABCD из вершины А угла, равного, проведены высоты, пересекающие продолжения сторон ВС и СD в точках Е и F соответственно. Найдите длину отрезка ЕF, если сторона ромба равна 8 см.
Диагональ квадрата равна 14 см. Найдите расстояние от вершины квадрата до диагонали и площадь квадрата.
Даны векторы. Найдите координаты векторов.
Центры попарно пересекающихся окружностей совпадают с вершинами треугольника со сторонами 5см, 6см и 7 см. Найдите радиусы окружностей.
Основание равнобедренного треугольника равно 12 см, а медиана, проведенная к основанию равна 8 см. Найдите высоту, опущенную на боковую сторону.
Составьте уравнение окружности с центром на прямой х = 3, касающейся оси ординат в точке (0;2). Найдите точки пересечения окружности с прямой у = х.
В АВС, АВ = ВС. На сторонах АВ и ВС взяты точки М и Р соответственно, а на стороне АС точки К и Н так, что четырехугольник МРНК является квадратом со стороной а. Найдите АС.
Составьте уравнение окружности с центром в точке А(- 2;1), проходящей через точку В(4;7).
Найдите длину биссектрисы АК прямоугольного АВС с катетами АС =12см и ВС = 5см.
Угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины наибольшего угла треугольника, равен. Найдите углы этого треугольника, если его наибольший угол в четыре раза больше наименьшего.
Какую часть площади правильного треугольника составляет площадь вписанного в него круга?
В АВС. Точка Е лежит на стороне ВС и АЕ = m. Найдите АС.
В параллелограмме MNKP МN = 4, МР = 6, NР = 2. Найдите МК.
Четырехугольник АВСD вписан в окружность. Известно, что. Найдите углы четырехугольника.
Площадь ромба равна S. Найдите площадь четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон ромба.
Найдите длину отрезка общей касательной к двум касающимся окружностям радиусов R и r.
Сторона треугольника, противолежащая углу, равна см, а наименьший угол треугольника равен. Найдите наименьшую сторону треугольника.
В треугольник со сторонами 12см, 9см и 6см вписана окружность. Найдите отрезки, на которые точки касания делят стороны треугольника.
Катет прямоугольного треугольника равен10см, а противолежащий ему угол равен. Найдите высоту треугольника, опущенную на гипотенузу.
На стороне АВ АВС выбрана точка М так, что АМ: МВ = 2: 7. Прямая МН параллельна АС и пересекает сторону ВС в точке Н. Найдите площадь АВС, если площадь МНВ равна 49 кв.см.
Основание треугольника равно 7см, а противолежащий угол равен. Найдите боковые стороны треугольника, если их сумма равна 13 см.
Четырехугольник МНКР задан координатами его вершин. М(- 6;1), Н(2;5), К(4;- 1), Р(- 4;- 5). Докажите, что МНКР параллелограмм и найдите длины его диагоналей.
Концы отрезка АВ лежат на параллельных прямых a и b соответственно. Известно, что АВ = 12сми прямая АВ образует с прямой а угол. Найдите расстояние от точки В до прямой а.
Диагонали АС и BD четырехугольника АВСD пересекаются в точке М так, что АМ = МС, ВМ: МD = 2: 5. Найдите площадь четырехугольника АВСD, если площадь треугольника АВМ равна 8 кв. см.
Найдите длину окружности с центром в вершине правильного треугольника со стороной, равной, и касающейся его стороны.
Найдите длину средней линии трапеции, диагонали которой перпендикулярны и равны 6см и 8см.
Периметр правильного четырехугольника, вписанного в окружность, на см меньше периметра правильного четырехугольника, описанного около этой окружности. Найдите радиус окружности.
Около правильного треугольника описана окружность и в него вписана окружность. Найдите площадь меньшего круга и длину окружности, ограничивающей его, если радиус большей окружности равен см.
Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.
Биссектриса угла А треугольника АВС пересекает сторону ВС в точке К. На стороне АВ отмечена точка Н так, что АН = НК. Найдите углы треугольника АНК, если известно, что, а разность углов ВАС и АСВ равна.
Через точку К, лежащую на стороне АВ треугольника АВС, параллельно биссектрисе угла А проведена прямая, которая пересекает продолжении стороны АС за точку А в точке М. Докажите, что МА = АК.

Задачи к устному экзамену по геометрии

Класс

учебный год

1. Найдите площадь параллелограмма АВСD, если известно, что S ∆ BOC =10 см 2 , где О – точка пересечения диагоналей.

2. Диагонали АС и BD четырехугольника АВСD пересекаются в точке М так, что АМ=МС, ВМ:МD=2:5. Найдите площадь четырехугольника АВСD, если площадь треугольника АВМ равна 8.

3. В окружность вписан прямоугольник ABCD со сторонами АВ= и AD=6. Найдите: а) радиус окружности; б) длину каждой из дуг АD.

4. Центры трех попарно касающихся окружностей совпадают с вершинами треугольника со сторонами 5 см, 6 см и 7 см. Найдите радиусы этих окружностей.

5. Из вершины тупого угла параллелограмма проведены высоты к его сторонам, расстояние между основаниями высот равно 52. Найдите стороны параллелограмма, если его высоты равны 56 и 60.

6. Выпуклый четырехугольник вписан в окружность. Диагональ АС является биссектрисой угла ВАD и пересекается с диагональю ВD в точке К. Найдите длину КС, если ВС=4, АК=6.

7. В координатной плоскости проведена окружность радиуса 4 с центром в начале координат. Прямая, заданная уравнением , пересекает ее в точках А и В. Найдите сумму длин отрезка АВ и меньшей дуги АВ.

8. В выпуклом равностороннем шестиугольнике АВСDEF углы при вершинах А, C, и E – прямые. Найдите площадь шестиугольника, если его сторона равна .

9. ABCD – параллелограмм. А(1;1), В(7;3), С(3;4). Найдите координаты четвертой вершины.

10. Основание равнобедренного треугольника равно 18, высота, проведенная к основанию равна 24. Из конца основания через середину высоты проведена прямая до пересечения с боковой стороной. Найдите длину получившегося отрезка.

11. Хорда окружности пересекает диаметр под углом, равным 30 0 и делит его на отрезки, равные а и b . Найдите расстояние от центра окружности до этой хорды.

12. В окружность вписан прямоугольник ABCD со сторонами АВ= и AD=6. Найдите отношение дуг вписанной в треугольник АВС окружности, заключенных между точками касания.

13. На катетах АС и ВС треугольника АВС, как на сторонах, построены вне треугольника АВС равносторонние треугольники АСМ и ВСК. Докажите, что АК=ВМ=МК и найдите угол между прямыми АК и ВМ.

14. Трапеция с основаниями 14 и 40 вписана в окружность радиуса 25. Найдите высоту трапеции.

15. В треугольнике АВС А=27 0 , В=17 0 . АВ=30 см. Точки М и К лежат на отрезке АВ (М – между А и К) так, что АМС=126 0 , КСВ=17 0 . Найдите углы и периметр треугольника МСК.

16. Один из углов параллелограмма в 5 раз больше другого, а одна из диагоналей является его высотой. Найдите: а) углы параллелограмма. б) отношение неравных сторон параллелограмма.

17. Даны векторы . Вычислите координаты и абсолютную величину вектора .

18. Треугольник АВС равносторонний. Лучи АК, ВЕ, СМ попарно пересекаются внутри треугольника, причем углы ВАК, СВЕ и АСМ равны. Являются ли точки К, Е и М вершинами равностороннего треугольника? Ответ обоснуйте.

19. Треугольник АВС вписан в окружность радиуса 12. Известно, что АВ=6, ВС=4. Найдите: а) величину АС; б) площадь треугольника АВС.

20. Даны две равные касающиеся окружности. Под каким углом пересекаются прямые, одна из которых касается этих окружностей, а другая проходит через центр одной из окружностей и касается другой.

21. В параллелограмме лежат две окружности. Одна из них, радиуса 3, вписана в параллелограмм, а другая касается двух его сторон и первой окружности. Расстояние между точками касания, лежащими на одной стороне параллелограмма, равно 3. Найдите его площадь.

22. Прямая пересекает боковую сторону АС, основание ВС и продолжение боковой стороны АВ равнобедренного треугольника АВС в точках К, Р и М соответственно. При этом треугольники СКР и ВМР – равнобедренные. Найдите эти углы.

23. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 8 см, а один из углов равен 120 0 . Найдите длину окружности, описанной около этого треугольника.

24. В ромбе ABCD со стороной 8 проведена прямая АМ, делящая угол ВАD в отношении 1:2. Точка М лежит на стороне ВС. BAD=72 0 . Найдите: а) углы четырехугольника АМСD; б) отношение ВМ:АВ.

25. В ромбе АВСD из вершины его острого угла А, равного 60 0 , проведены высоты, пересекающие продолжение сторон ВС и СD соответственно в точках E и F. Найдите длину отрезка EF если сторона ромба равна 8.

26. В параллелограмме АВСD острый угол равен 30 0 . Найдите диагональ АС, если АВ= , S ABCD =20 .

27. В трапеции АВСD А= В=90 0 , DA=2CB, АВ=12. Отношение квадратов длин диагоналей равно 1,3. Найдите: а) СВ; б) периметр трапеции.

28. В параллелограмме АВСD проведены биссектрисы углов А и С, пересекающие стороны ВС и АD в точкам М и N соответственно. Докажите, что АМ=СN.

29. Окружности с центрами О 1 и О 2 пересекаются в точках А и В. Известно, что АО 1 В=90 0 , АО 2 В=60 0 , О 1 О 2 =а . Найдите радиусы окружностей.

30. Один из углов треугольника равен 60 0 . Найдите расстояние между проекциями середины противоположной стороны треугольника на две другие его стороны, если высоты треугольника, опущенные на эти стороны равны 2 и 4.

31. Найдите площадь трапеции АВСD, если ее меньшее основание ВС=12, АВ=СD, D=45 0 и высота трапеции равна 8.

32. АВСD – параллелограмм с периметром 28 см. АМ – биссектриса острого угла А. Точка М делит сторону ВС на отрезки ВМ и МС такие, что ВМ:МС=3:1. Найдите: а) стороны параллелограмма; б) в каком отношении биссектриса угла В делит отрезок АМ; в) расстояние между точками пересечения биссектрис углов А и В и углов С и D.

33. Определите количество сторон правильного многоугольника, у которого сумма всех его внешних углов с одним из внутренних равна 495 0 .

34. В равнобедренном треугольнике АВС (АВ=ВС) высота АЕ=12, а основание АС=15. Найдите: а) площадь треугольника АВС; б) радиус вписанной и описанной окружностей.

35. Найдите длины двух смежных сторон параллелограмма, если известно, что их сумма равна 8, а сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна 68.

36. Дан квадрат АВСD. Вершины К и М равностороннего треугольника АМК расположены на отрезках CD и ВС соответственно. Докажите, что МК║BD.

37. В трапеции АВСD основания ВС=4 и АD=9. Известно, что АВ=ВС, АС=CD. Найдите периметр трапеции.

38. ABCD – параллелограмм. А(1;1), В(7;3), С(3;4) Найдите расстояние от точки С до окружности с диаметром АВ.

39. СН – высота правильного треугольника с катетами АС=3 и ВС=4. Разложите вектор СН по векторам СА и СВ.

40. Можно ли сложить паркет из правильных пятиугольников? Из каких правильных многоугольников можно сложить паркет?

41. Один из углов параллелограмма в 5 раз больше другого, а одна из диагоналей является его высотой. Найдите отношение диагоналей параллелограмма.

42. Катеты прямоугольного треугольника 3 и 6. Найдите биссектрису прямого угла.

43. В треугольнике АВС АВ=7, ВС=5, АС=6, О – центр вписанной окружности. Разложите вектор СО по векторам СА и СВ.

44. В треугольнике АВС известно что D АВ, Е ВС, причем . Докажите, что DE║AC.

45. Две окружности с центрами А и В радиусов 2 и 1 касаются друг друга. Точка С лежит на прямой касающейся каждой из окружностей, и находится на расстоянии от середины отрезка АВ. Найдите площадь треугольника АВС, если известно, что она больше 2.

46. Найдите координаты точки С(x;y ), если она принадлежит оси абсцисс и одинаково удалена от точек А(-14;5) и В(3;8).

47. Высота треугольника равна 12. Его основание равно 14, а сумма боковых сторон 28. Найдите радиус вписанной и описанной окружностей.

48. Докажите, что точки пересечения двух окружностей симметричны относительно прямой, соединяющей их центры.

49. Даны точки А(-6;0) и В(2;0). Найдите множество точек, из которых отрезки ОА и ОВ видны под равными углами.

50. Окружность радиуса 2 касается внешним образом другой окружности в точке А. Общая касательная к обеим окружностям, проведенная через точку А, пересекается с другой общей касательной в точке В. Найдите длину второй окружности, если АВ=4.

51. Постройте трапецию по двум основаниям и двум диагоналям.

52. Постройте треугольник по его медианам.

53. Постройте параллелограмм по двум диагоналям и углу между ними.

54. Определите вид четырехугольника МАКР и найдите его площадь, если М(2;2), А(5;3), К(6;6), Р(3;5).

55. Найдите площадь фигуры, ограниченной дугами трех попарно касающихся окружностей радиусами 1,1, .

56. Найдите угол между векторами
.

57. В прямоугольном треугольнике АВС (угол С – прямой), СD перпендикулярен АВ. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники DBC и DAC, соответственно равны R и r/ Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АВС.

58. У квадрата со стороной а срезали углы так, что получился правильный 8-угольник. Найдите: а) радиус окружности, вписанной в этот 8-угольник; б) сторону 8-угольника; в) радиус окружности, описанной около 8-угольника.

59. Даны точки А(5;-7), В(5;3), С(-7;7). Докажите, что медианы треугольника АВС, проведенные из вершин А и В, взаимно перпендикулярны.

60. Окружность, касающаяся гипотенузы прямоугольного треугольника, а также продолжений обоих катетов, имеет радиус, равный q. Найдите периметр треугольника.

61. В прямоугольном треугольнике АВС (угол С – прямой), СD – высота, а один из катетов вдвое больше другого. В треугольнике АСD и ВСD проведены биссектрисы DК и DР соответственно, КР=4. Найдите: а) площадь треугольника АВС; б) радиус вписанной и описанной окружностей.

62. В прямоугольной трапеции АВСD (АD и ВС – основания) А=90 0 , АD=6, ВС=2, АВ=3. Найдите скалярное произведение векторов .

63. В трапеции АВСD А= В=90 0 , DA=2CB, АВ=12. Отношение квадратов длин диагоналей равно 1,3. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до каждой из ее сторон.

64. В треугольник со сторонами 14, 10, 6 вписан полукруг с диметром, лежащим на большей стороне. Найдите площадь полукруга.

65. Фигура ограничена дугами двух равных окружностей, стягиваемых общей хордой. Длина хорды равна радиусу окружностей и равна 1. Сделайте рисунки возможной фигуры и найдите периметры и площади получившихся фигур.

66. В треугольнике АВС А=45 0 , Ав=7, АС=4 . Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ВАА 1 , если АА 1 – высота треугольника.

67. Найдите площадь треугольника АВС, если АС=3, ВС=4, а медианы АК и ВМ взаимно перпендикулярны.

68. Даны точки А(4;5), В(7;-4), С(-1;0). Найдите координаты точки пересечения высот треугольника АВС.

69. К окружности радиуса R проведены 4 касательные, образующие ромб, большая диагональ которого равна 4R. Найдите площадь каждой из фигур, ограниченных двумя касательными, проведенными из общей точки, и меньшей дугой окружности, лежащей между точками касания.

70. Найдите площадь круга, вписанного в данный сектор, если радиус сектора равен R, а дуга содержит: а) 60 0 , б) 90 0 ; в) 120 0

71. Центры вписанной и описанной окружностей симметричны относительной одной из сторон треугольника. Найдите углы треугольника.

72. Докажите, что в равнобедренной трапеции прямые, соединяющие середины противолежащих сторон, перпендикулярны.

73. Две параллельные хорды равны 14 дм и 40 дм, а расстояние между ними 39 дм. Найдите площадь круга.

74. В треугольнике АВС А=27 0 , В=17 0 . АВ=30 см. Точки М и К лежат на отрезке АВ (М – между А и К) так, что АМС=126 0 , КСВ=17 0 . Найдите расстояние между основаниями высот треугольников МСА и ВСК, опущенных соответственно из вершин М и К.

75. На стороне АВ треугольника АВС выбрана точка М так, что АМ:МВ=2:7. Прямая МN параллельна прямой АС и пересекает сторону ВС в точке N. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника МВN равна 49.

76. Гипотенуза прямоугольного треугольника делится на отрезки 5 и 12 точкой касания вписанной в треугольник окружности. На какие отрезки делит катет треугольника биссектриса его меньшего угла?

77. В прямоугольном треугольнике АВС А= , = , а радиус вписанной окружности равен . Найдите расстояние от вершины С до точки касания вписанной окружности и катета АВ.

78. АВСD – параллелограмм с периметр 28 см. АМ – биссектриса острого угла А. Точка М делит сторону ВС на отрезки ВМ и МС, ВМ:МС=3:1. Найдите сторону параллелограмма; в каком отношении биссектриса угла В делит отрезок АМ; расстояние между точками пересечения биссектрис углов А и В и углов С и D.

79. Углы треугольника составляют арифметическую прогрессию. Найдите градусную меру угла, лежащего против средней по величине стороны угла; два других угла, если один из них в 5 раз больше другого. Какой угол образует с каждой из сторон треугольника биссектриса его большего угла?

80. Перпендикуляр, опущенный из середины одного катета прямоугольного треугольника на гипотенузу, равен 6, а середина гипотенузы отстоит от этого же катета на 7,5. Найдите сторону данного треугольника.

81. Дан треугольник АВС и точка О – точка пересечения его медиан. Докажите, что .

82. В трапеции АВСD известны боковые стороны АВ=27, CD=28 и верхнее основание ВС=5. Известно, что cos BCD . Найдите: а) диагонали трапеции; б) площадь трапеции.

83. В ромбе ABCD со стороной 8 проведена прямая АМ, делящая угол ВАD в отношении 1:2. Точка М лежит на стороне ВС. BAD=72 0 . Найдите длину АМ.

84. Хорда окружности пересекает ее диаметр под углом 30 0 и делится им на части равные 12 и 6. Найдите расстояние от середины хорды до диаметра.

85. На стороне АВ параллелограмма АВСD как на диаметре построена окружность, проходящая через точку пересечения диагоналей и середину АВ. Найдите угла параллелограмма.

86. Катет равнобедренного прямоугольного треугольника АВС (угол С – прямой) равен 1. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых величина постоянна и равна 4.

87. Треугольник АВС задан координатами своих вершин . Найдите координаты точки М пересечения биссектрисы угла А со стороной ВС.

88. Углы при основании AD трапеции ABCD равны 60 0 и 30 0 , . Найдите периметр и площадь трапеции.

89. Найдите площадь трапеции, основания которой 16 см и 28 см, а диагонали – 17 см и 39 см.

90. Стороны прямоугольника 5 и 7. Биссектрисы углов, прилежащих к большей стороне, делит противолежащую сторону на три части. Найдите длины частей.

91. Сумма и разность векторов имеют координаты соответственно . Найдите: а) угол между векторами ; б) разложите по векторам вектор

92. Найдите угол между единичными векторами , если известно, что векторы перпендикулярны.

93. Хорда длиной 48 см перпендикулярна диаметру и делит его на отрезки в отношении 9:16. Найдите радиус окружности.

94. Составьте уравнение окружности с центром на прямой х = 3, касающейся оси ординат в точке (0;2). Найдите точки пересечения окружности с прямой у = х.

95. В треугольнике АВС на сторонах АВ и ВС лежат точки М и N соответственно так, что АМ: МВ = 1: 2, CN: NB = 1: 3. Найдите отношение площади четырехугольника AMNC к площади треугольника АВС

96. Угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины наибольшего угла, равен 12 0 . Найдите углы этого треугольника, если его наибольший угол в 4 раза больше наименьшего.

97. Найдите площадь треугольника, если две его стороны равны 35 см и 14 см, а биссектриса угла между ними равна 12 см.

98. Найдите площадь треугольника, одна из сторон которого равна 12 см, а к ней прилежащие углы – 30 0 и 75 0 .

99. В треугольнике АВС . Найдите: а) косинус угла В; б) длину медианы СМ; в) площадь треугольника АВС.

100. В равнобедренном треугольнике угол при основании равен 75 0 . Найдите боковую сторону этого треугольника, если его площадь равна 16 см 2 .

101. Даны вектора Разложите вектор ; вектор по векторам .

102. Через вершину В равнобедренного треугольника АВС параллельно основанию АС проведена прямая ВD. Через точку К – середину высоты ВH проведен луч АК, пересекающий прямую ВD в точке D, а сторону ВС в точке N. Определите, в каком отношении точка N делит сторону ВС.

103. Одна из сторон треугольника равна 1, а два его угла равны . Найдите все значения, которые может принимать площадь треугольника.

104. Катет прямоугольного треугольника равен 28 см. Точка, принадлежащая гипотенузе, удалена от каждого из катетов на 12 см. Найдите периметр треугольника.

105. Найдите площадь трапеции, основания которой 6 см и 26 см, а боковые стороны – 12 см и 16см.

106. В ромбе ABCD . Точка К лежит на стороне ВС так, что угол ВАК равен половине угла КАD. Найдите длину отрезка АК, если длина диагонали АС равна а.

107. В треугольнике АВС АВ = 35, ВС = 120, АС = х. а) Чему равен наибольший угол треугольника при х = 150? б) при каком значении х угол АВС равен ? в) Каковы допустимые значения х? г) при каких значениях х треугольник АВС прямоугольный, остроугольный, тупоугольный.

108. В параллелограмме диагональ равна 4 и делит угол на углы . Найдите периметр параллелограмма.

109. В треугольнике АВС АВ = АС = а, . Найдите: а) ВС; б) высоту, опущенную из вершины В; в) биссектрису угла С; г) радиус вписанной окружности; д) радиус описанной окружности. В треугольнике АВС точка М является серединой стороны ВС. Точка О лежит на отрезке АМ так, что МО:АО=1:2, прямая ВО пересекает сторону треугольника АС в точке К. Площадь четырехугольника ОМСК равна 1. Найти площадь треугольника АВС.

110. Медианы АА 1 и ВВ 1 треугольника АВС равны 9см и 12 см. Они пересекаются в точке О. . Найдите третью медиану.

111. Из вершины тупого угла ромба проведен перпендикуляр к стороне. Этот перпендикуляр пересекает диагональ ромба под углом 60 0 . Найдите длину этой диагонали, если длина перпендикуляра равна 6 см.

112. Даны две вершины равностороннего треугольника А(1;-1) и В(-1;3). Найдите координаты третьей вершины и площадь треугольника.

113. В прямоугольном треугольнике АВС проведена высота СD к гипотенузе АВ. Найдите AB, если BC = 2 см; АD = 1 см.

114. На стороне АВ параллелограмма АВСD как на диаметре построена окружность, проходящая через точку пересечения диагоналей и середину стороны AD. Найдите углы параллелограмма.

115. В треугольнике АВС на стороне АС взята точка М, так, что АС = 9. Найдите АВ и отношение площадей треугольников АВМ и АВС.

116. В равнобокой трапеции большее основание равно 75 см, боковая сторона равна 20см и диагональ равна 65см. Найдите площадь трапеции.

117. Диагонали прямоугольной трапеции взаимно перпендикулярны. Найдите меньшее основание трапеции, если ее высота равна 2, а большее основание 3.

118. В треугольнике расстояние от точки пересечения медиан до вершин треугольника равны 25, 14 и 25. Определите вид треугольника и найдите его периметр.

119. Биссектриса прямого угла делит гипотенузу прямоугольного треугольника на части, равные м и м. Определите его площадь.

120. В равнобедренном прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, на 2 меньше катета. Найдите площадь треугольника, радиус вписанной в треугольник и описанной около него окружностей.

121. На сторонах АВ, ВС и СА треугольника АВС отмечены соответственно точки М, Н и К так, что 4АМ = АВ, 3НС = ВН. В каком отношении прямая МН делит отрезок ВК?

122. Диагонали параллелограмма 13 и 15, высота 12. Найдите стороны параллелограмма и его площадь.

123. Центр окружности, описанной около равнобедренного треугольника, делит медиану, проведенную к основанию, в отношении 25:7. Боковая сторона треугольника равна 40 см. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник.

124. Точка касания вписанной окружности делит гипотенузу треугольника на отрезки 4 см и 6 см. Найдите радиусы описанной и вписанной окружностей.

125. В прямоугольном треугольнике радиусы описанной и вписанной окружностей соответственно равны 10 см и 4 см. Найдите периметр треугольника.

126. Периметр прямоугольника равен 46. Биссектриса прямого угла делит диагональ в отношении 8:15. Найдите длину окружности, описанной около прямоугольника.

127. Основания прямоугольной трапеции равны 21 и 28. Найдите радиус окружности, вписанной в трапецию.

128. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, равна 32 см, а радиус окружности, вписанной в треугольник равен 12 см. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.

129. Высота ромба, проведенная из вершины тупого угла, делит его сторону на отрезки 7 и 18. Найдите площадь круга, вписанного в ромб.

130. В равнобедренной трапеции периметр равен 64, разность оснований равна 18, а высота относится к боковой стороне как 4:5. Найдите площадь трапеции.

131. Две стороны треугольника равны 75 и 78, а высота, проведенная к третьей стороне, делит ее в отношении 7:10. Найдите периметр, площадь и высоты треугольника.

132. Катет прямоугольного треугольника равен 15, а косинус противолежащего угла равен . Найдите периметр треугольника и радиус вписанной в треугольник и описанной около него окружностей.

133. Пусть вектор Разложите вектор

134. Около окружности описана прямоугольная трапеция. Точка касания делит большую боковую сторону на отрезки 9 и 16. Найдите основания и площадь трапеции.

135. Даны точки А(1;1), В(3;-5), С(-1;3). Вычислите:

a. а) длины медиан треугольника АВС;

b. б) координаты точки пересечения медиан;

c. в) площадь треугольника.

136. Из точки окружности проведены диаметр и хорда длиной 30. Проекция хорды на диаметр относится к радиусу окружности как 18:25. Найдите радиус окружности.

137. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 40 0 . Одна из боковых сторон служит диаметром полуокружности, которая делится другими сторонами на три дуги. Найдите градусные меры этих дуг.

138. В равнобедренном треугольнике центр вписанного круга делит высоту в отношении 17:15. Найдите радиус этого круга и площадь треугольника, если основание треугольника равно 60.

139. В треугольнике со сторонами 4 см, 5 см и 8 см найдите длину медианы, проведенной из вершины большего угла.

140. В треугольнике АВС угол С прямой. На катете ВС взята точка М так, что 2МС = ВС, и вне треугольника проведен отрезок МН перпендикулярный ВС так, что МН = 0,5АС. Докажите, что отрезки АВ и СН параллельны. Найдите отношение площадей треугольников АВС и МСН.

141. В треугольнике АВС на стороне АС взята точка М так, что , АМ = 4, АС = 9. Найдите АВ и отношение площадей треугольников АВМ и АВС.

142. На сторонах АВ, ВС и СА треугольника АВС отмечены соответственно точки М, Н и К так, что 4АМ = АВ, 3НС = ВН. В каком отношении прямая МН делит отрезок ВК?

143. В равнобедренном треугольнике АВС АВ = АС = 13 см, ВС = 10 см. Найдите расстояние от точки пересечения медиан треугольника до вершины А.

144. Высота, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна 5, а один из катетов 13. Найдите гипотенузу, второй катет и отрезки, на которые высота делит гипотенузу.

145. Можно ли в разностороннем треугольнике провести прямую так, чтобы она отсекла от него треугольник, ему подобный, и не была параллельна ни одной его стороне? Можно ли это сделать, если треугольник равнобедренный, но не равносторонней? Если он равносторонний?

146. Диагонали прямоугольной трапеции взаимно перпендикулярны. Найдите меньшее основание трапеции, если ее высота равна 2, а большее основание 3.

147. Пусть а и b – длины двух отрезков. Используя циркуль и линейку, постройте отрезок, длина которого равна .

148. Длина солнечной тени от дерева равна 24м. Вертикальный шест высотой 1м 50 см в тот же момент отбрасывает тень длиной 1м 60 см. Какова высота дерева?

149. Из отрезков длиной 3, 6, 7, 9, 14, 18 составьте два подобных треугольника и найдите отношение длин биссектрис меньших углов этих треугольников.

150. Биссектриса СD прямого угла треугольника АВС делит гипотенузу на отрезки 15 и 20. Найдите площадь треугольника.

151. В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) ВМ – биссектриса, СЕ – медиана, которые пересекаются в точке О. Площадь четырехугольника АЕОМ равна 1. Найдите площадь треугольника АВС.

152. Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки 7см и 24см. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник.

153. Дан треугольник АВС. Сколько найдется таких точек М, что треугольники АВМ, ВМС и САМ равновелики?

154. В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) ВМ – биссектриса, СЕ – медиана, которые пересекаются в точке О. Площадь треугольника ВЕО равна 1. Найдите площадь треугольника АВС.

155. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 4. А гипотенуза равна 26. Найдите площадь треугольника.

156. Дан треугольник АВС. Сколько найдется таких точек М, что треугольники АВМ, ВМС и САМ равновелики?

157. АС и СВ – катеты, СН – высота. НК и ВС параллельны. Найдите отношение АК:КС, если АС:СВ=4:5

158. Диагонали ромба равны 14 и 48. Найдите высоту ромба, длину вписанной в ромб окружности.

159. Катеты треугольника относятся как 20:21, а разность между радиусами описанной и вписанной окружностями равна 17. Найдите: периметр треугольника, площадь треугольника, радиусы вписанной и описанной окружностей.

160. Докажите справедливость формулы:

161. В равнобокой трапеции, площадь которой равна , одно из оснований в два раза больше другого. Диагональ трапеции является биссектрисой острого угла. Найдите периметр и высоту трапеции.

162. Точка М делит сторону АВ треугольника АВС в отношении 1: 2, считая от точки А. Точка Р делит сторону СВ треугольника АВС в отношении 1: 2, считая от точки В. Отрезки СМ и АР пересекаются в точке Е. В каком отношении точка Е делит отрезок АР?

163. Треугольник АВС со сторонами 13, 14 и 15 разбит на три треугольника отрезками, соединяющими точку пересечения медиан М с вершинами треугольника. Найдите площадь треугольника ВМС.

164. Около круга радиуса 12 описана равнобокая трапеция с боковой стороной 25. Найдите периметрии трапеции.

165. Основания равнобокой трапеции равны 8 и 18. Найдите радиус окружности, вписанной в трапецию.

учебный год

1. Найдите площадь параллелограмма АВСD, если известно, что S∆BOC=10 см2, где О – точка пересечения диагоналей.

3..png" width="129" height="23 src=">, пересекает ее в точках А и В. Найдите сумму длин отрезка АВ и меньшей дуги АВ.

8. В выпуклом равностороннем шестиугольнике АВСDEF углы при вершинах А, C, и E – прямые. Найдите площадь шестиугольника, если его сторона равна DIV_ADBLOCK81">

11. Хорда окружности пересекает диаметр под углом, равным 300 и делит его на отрезки, равные а и b . Найдите расстояние от центра окружности до этой хорды.

12..png" width="11" height="19 src=">.png" width="11" height="19 src=">.png" width="136" height="22 src=">. Вычислите координаты и абсолютную величину вектора DIV_ADBLOCK82">

23. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 8 см, а один из углов равен 1200. Найдите длину окружности, описанной около этого треугольника.

24. В ромбе ABCD со стороной 8 проведена прямая АМ, делящая угол ВАD в отношении 1:2. Точка М лежит на стороне ВС..png" width="32" height="21 src=">.png" width="11" height="19 src=">.png" width="11" height="19 src=">АО1В=900, DIV_ADBLOCK83">

30. Один из углов треугольника равен 600. Найдите расстояние между проекциями середины противоположной стороны треугольника на две другие его стороны, если высоты треугольника, опущенные на эти стороны равны 2 и 4.

31. Найдите площадь трапеции АВСD, если ее меньшее основание ВС=12, АВ=СD, DIV_ADBLOCK84">

39. СН – высота правильного треугольника с катетами АС=3 и ВС=4. Разложите вектор СН по векторам СА и СВ.

42. Катеты прямоугольного треугольника 3 и 6. Найдите биссектрису прямого угла.

43. В треугольнике АВС АВ=7, ВС=5, АС=6, О – центр вписанной окружности. Разложите вектор СО по векторам СА и СВ.

44..png" width="10" height="19 src=">.png" width="21" height="30 src="> от середины отрезка АВ. Найдите площадь треугольника АВС, если известно, что она больше 2.

46. Найдите координаты точки С(x; y ), если она принадлежит оси абсцисс и одинаково удалена от точек А(-14;5) и В(3;8).

48. Докажите, что точки пересечения двух окружностей симметричны относительно прямой, соединяющей их центры.

49. Даны точки А(-6;0) и В(2;0). Найдите множество точек, из которых отрезки ОА и ОВ видны под равными углами.

51. Постройте трапецию по двум основаниям и двум диагоналям.

52. Постройте треугольник по его медианам.

53. Постройте параллелограмм по двум диагоналям и углу между ними.

54. Определите вид четырехугольника МАКР и найдите его площадь, если М(2;2), А(5;3), К(6;6), Р(3;5).

55..png" width="243" height="24 src=">
.png" width="11" height="19 src=">А=900, АD=6, ВС=2, АВ=3. Найдите скалярное произведение векторов DIV_ADBLOCK86">

63. В трапеции АВСD .png" width="11" height="19 src=">В=900, DA=2CB, АВ=12. Отношение квадратов длин диагоналей равно 1,3. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до каждой из ее сторон.

66..png" width="19" height="21 src="> . Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ВАА1, если АА1 – высота треугольника.

67. Найдите площадь треугольника АВС, если АС=3, ВС=4, а медианы АК и ВМ взаимно перпендикулярны.

68. Даны точки А(4;5), В(7;-4), С(-1;0). Найдите координаты точки пересечения высот треугольника АВС.

73. Две параллельные хорды равны 14 дм и 40 дм, а расстояние между ними 39 дм. Найдите площадь круга.

74. В треугольнике АВС .png" width="11" height="19 src=">В=170. АВ=30 см. Точки М и К лежат на отрезке АВ (М – между А и К) так, что .png" width="11" height="19 src=">КСВ=170. Найдите расстояние между основаниями высот треугольников МСА и ВСК, опущенных соответственно из вершин М и К.

77..png" height="25 src=">.png" height="25 src=">, а радиус вписанной окружности равенDIV_ADBLOCK88">

81. Дан треугольник АВС и точка О – точка пересечения его медиан. Докажите, что .png" width="11" height="19 src=">BCD.png" width="11" height="19 src=">BAD=720. Найдите длину АМ.

84. Хорда окружности пересекает ее диаметр под углом 300 и делится им на части равные 12 и 6. Найдите расстояние от середины хорды до диаметра.

86. Катет равнобедренного прямоугольного треугольника АВС (угол С – прямой) равен 1..png" width="172" height="19 src="> . Найдите координаты точки М пересечения биссектрисы угла А со стороной ВС.

88. Углы при основании AD трапеции ABCD равны 600 и 300, DIV_ADBLOCK89">

91..png" width="118" height="19 src=">..png" width="37" height="20 src=">.png" width="40" height="22 src=">.png" width="175" height="25 src=">. Найдите: а) косинус угла В; б) длину медианы СМ; в) площадь треугольника АВС.

100. В равнобедренном треугольнике угол при основании равен 750. Найдите боковую сторону этого треугольника, если его площадь равна 16 см2.

101..png" width="144" height="22 src=">.png" width="31" height="19 src=">.

103..png" width="75 height=19" height="19">. Точка К лежит на стороне ВС так, что угол ВАК равен половине угла КАD. Найдите длину отрезка АК, если длина диагонали АС равна а.

107. В треугольнике АВС АВ = 35, ВС = 120, АС = х. а) Чему равен наибольший угол треугольника при х = 150?.png" width="64" height="21 src=">. Найдите периметр параллелограмма.

110. Медианы АА1 и ВВ1 треугольника АВС равны 9см и 12 см. Они пересекаются в точке О. DIV_ADBLOCK91">

113. В прямоугольном треугольнике АВС проведена высота СD к гипотенузе АВ. Найдите AB, если BC = 2 см; АD = 1 см.

115..png" width="25 height=41" height="41">м и м. Определите его площадь.

122. Диагонали параллелограмма 13 и 15, высота 12. Найдите стороны параллелограмма и его площадь.

127. Основания прямоугольной трапеции равны 21 и 28. Найдите радиус окружности, вписанной в трапецию.

132. Катет прямоугольного треугольника равен 15, а косинус противолежащего угла равен DIV_ADBLOCK93">

133..png" width="343" height="22 src=">

135. Даны точки А(1;1), В(3;-5), С(-1;3). Вычислите:

a. а) длины медиан треугольника АВС;

b. б) координаты точки пересечения медиан;

c. в) площадь треугольника.

137. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 400. Одна из боковых сторон служит диаметром полуокружности, которая делится другими сторонами на три дуги. Найдите градусные меры этих дуг.

139. В треугольнике со сторонами 4 см, 5 см и 8 см найдите длину медианы, проведенной из вершины большего угла.

141. В треугольнике АВС на стороне АС взята точка М так, чтоDIV_ADBLOCK94">

147. Пусть а и b – длины двух отрезков. Используя циркуль и линейку, постройте отрезок, длина которого равна .

153. Дан треугольник АВС. Сколько найдется таких точек М, что треугольники АВМ, ВМС и САМ равновелики?

156. Дан треугольник АВС. Сколько найдется таких точек М, что треугольники АВМ, ВМС и САМ равновелики?

157. АС и СВ – катеты, СН – высота. НК и ВС параллельны. Найдите отношение АК:КС, если АС:СВ=4:5

158. Диагонали ромба равны 14 и 48. Найдите высоту ромба, длину вписанной в ромб окружности.

160..png" width="37" height="21 src=">, одно из оснований в два раза больше другого. Диагональ трапеции является биссектрисой острого угла. Найдите периметр и высоту трапеции.

164. Около круга радиуса 12 описана равнобокая трапеция с боковой стороной 25. Найдите периметрии трапеции.

165. Основания равнобокой трапеции равны 8 и 18. Найдите радиус окружности, вписанной в трапецию.

Справочник олимпиадника. Треугольники

1 . Если сумма стороны треугольника и высоты, опущенной на эту сторону, есть величина постоянная для данного треугольника, то есть , то такой треугольник равносторонний.

2 . Если треугольник остроугольный, и ортоцентр делит каждую из высот в одном и том же отношении, то треугольник равносторонний, то есть из равенства AH:HA 1 =BH:HB 1 =СH:HC 1 (для остроугольного треугольника) следует, что .

3. Два равносторонних треугольника ABC и CDE расположены по одну сторону от прямой АЕ и имеют единственную общую точку С. Пусть M, N и К - середины отрезков BD, АС и СЕ соответственно. Тогда треугольник MNK - равносторонний.

4. Через вершину С равностороннего треугольника ABC проведена произвольная прямая, К и М - проекции точек А и В на эту прямую, Р - середина АВ. Тогда треугольник КМР - равносторонний.

5. Треугольник Наполеона. Центры правильных треугольников, построенных внешним (внутренним) образом на сторонах произвольного треугольника, образуют правильный треугольник.

6 . Три прямые, проходящие через точку О, образуют друг с другом углы в 60°. Тогда проекции произвольной точки, отличной от О, на эти прямые являются вершинами правильного треугольника.

7 . Сумма расстояний от произвольной точки правильного треугольника до его сторон есть величина постоянная, равная высоте тругольника.

8. Из всех треугольников с заданным периметром наибольшую площадь имеет правильный треугольник.

9 . Из всех треугольников с заданной площадью наименьший периметр имеет правильный треугольник.

10. Обобщённая теорема Пифагора. Пусть CD - высота прямоугольного треугольника ABC, проведенная из вершины прямого угла. Тогда треугольники ABC, CBD и ACD подобны. Если , и - соответствующие линейные элементы этих треугольников, то

11. В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла С проведена высота CD. Если r – радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, r 1 – радиус окружности, вписанной в треугольник ACD , r 2 – радиус окружности, вписанной в треугольник CBD , то r 1 +r 2 +r=CD

12. В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит пополам угол между медианой и высотой, проведённых из той же вершины.

13 . Квадрат величины, обратной высоте, опущенной на гипотенузу, в прямоугольном треугольнике, равен сумме квадратов величин, обратных катетам.

14. Если m a и m b – медианы, проведённые к катетам прямоугольного треугольника, m c – медиана, проведённая к гипотенузе, тогда справедливо равенство m a 2 +m b 2 =5m c 2 . Следствие. Квадрат радиуса окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен одной шестой суммы квадратов всех его медиан.

15 . Если окружность, вписанная в прямоугольный треугольник, делит гипотенузу на отрезки длиной m и n, то площадь данного треугольника находится по формуле S=mn .

16. На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника ABC с катетами ВС=а и АС=b во внешнюю сторону построен квадрат АВКМ. Тогда расстояние от точки С до центра квадрата равно .

17. На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника ABC во внешнюю сторону построен квадрат с центром в точке О, тогда СО есть биссектриса прямого угла.

18 . Сумма расстояний от произвольной точки основания равнобедренного треугольника до боковых сторон постоянная, равная высоте треугольника, проведённой к боковой стороне.

19 . Отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой, лежащей на противоположной стороне, меньше большей из двух других сторон.

20. Расстояние между любыми двумя точками, взятыми на сторонах треугольника, не больше наибольшей из его сторон.

21. Сумма расстояний от любой точки внутри треугольника до трёх его вершин больше полупериметра, но меньше периметра треугольника.

22. Пусть и - углы треугольника, причём, . Тогда 60˚, ≥60°, 0°< <90°.

23 . а) если треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 таковы, что АВ = A 1 B 1 , AС = A 1 C 1 и BAC > B 1 A 1 C 1 , то ВС > B 1 C 1 .

б) если треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 таковы, что АВ=A 1 B 1 , АС =A 1 C 1 и ВС>B 1 C 1 , то угол BAC > угла B 1 A 1 C 1 .

24 . Пусть AA 1 - медиана треугольника ABC. Угол А острый тогда и только тогда, когда AA 1 > .

25. Медиана треугольника ABC, проведённая из вершины А, меньше полусуммы сторон АВ и АС, но больше их полуразности.

26 . Сумма трёх медиан треугольника меньше периметра, но больше трёх четвертей периметра треугольника.

27 . Медианы и перпендикулярны тогда и только тогда, когда a 2 +b 2 =5c 2 .

28 . Медианы и перпендикулярны тогда и только тогда, когда .

29 . Если медианы и перпендикулярны, то .

30. Если медианы и перпендикулярны, то .

31. Если , , - медианы треугольника, проведённые к сторонам a, b, c соответственно, то выполняются следующие соотношения: , , http://www.itmathrepetitor.ru/wp-content/plugins/latex/cache/tex_4a7393b5774f748db0e359b9c7420a65.gif" style="vertical-align: middle; border: none; " class="tex" alt="p .

32 . > , > , > .

Следствие (уточнение оценки в следствии к 31.). Сумма медиан треугольника находится в пределах между тремя четвертями периметра и периметром треугольника,

то есть .

33 . Сумма медиан треугольника не меньше, чем удевятеренный радиус окружности, вписанный в треугольник, то есть .

34 . Удвоенная сумма медиан треугольника не превосходит удевятеренный радиус окружности, описанной около треугольника, то есть .

35 . В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BD и СЕ. Если BF и CG - перпендикуляры, опущенные из вершин В и С на прямую ED, то EF=DG.

36 . Точка Торричелли. На сторонах треугольника ABC построены вне треугольника равносторонние треугольники ВСА 1 , CAB 1 , АВС 1 , и проведены отрезки AA 1 , BB 1 и СС 1 . Тогда

а) эти отрезки равны;

б) эти отрезки пересекаются в одной точке;

в) если эта точка находится внутри треугольника ABC, то сумма её расстояний до трёх вершин треугольника равна каждому из отрезков АА 1 , ВВ 1, СC 1 .

г) если эта точка находится внутри треугольника АВС ,то из этой точки каждая сторона треугольника АВС видна под углом 120 0 .

д) для остроугольного треугольника точка Торричели является точкой, для которой сумма расстояний до вершин треугольника минимальна.

37 . Прямая Эйлера. В любом треугольнике точка Н пересечения высот (ортоцентр), центр О описанной окружности и точка М пересечения медиан (центр тяжести) лежат на одной прямой, причём точка М расположена между точками О и Н, и МН=2МО.

38 . Теорема Менелая. Дан треугольник ABC. Некоторая прямая пересекает его стороны АВ, ВС и продолжение стороны АС в точках C, A,B соответственно. Тогда

39 . Теорема Чевы. Пусть точки A 1 , B 1 и С 1 принадлежат соответственно сторонам ВС, АС и АВ ABC. Отрезки AA 1 , BB 1 , CC 1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

40. Если площадь треугольника ABC равна S, то площадь треугольника, стороны которого равны медианам треугольника ABC, равна .

41 . Через некоторую точку, взятую внутри треугольника, проведены три прямые, параллельные сторонам. Эти прямые разбивают треугольник на шесть частей, три из которых - треугольники с площадями S 1 , S 2 , S 3 . Тогда площадь данного треугольника равна

42. Пусть Н- ABC, тогда

а) радиусы окружностей,описанных около треугольников ABC, АНВ, ВНС и АНС, равны между собой.

б) расстояние между серединами отрезков ВС и АН равно радиусу описанной окружности треугольника ABC.

в) расстояние от ортоцентра до вершины треугольника вдвое больше расстояния от центра описанной окружности до стороны, противоположной этой вершине.

г) точка, симметричная ортоцентру относительно стороны треугольника, лежит на описанной окружности треугольника.

д) А – точка пересечения высот треугольника ВСН, В - точка пересечения высот треугольника АСН, С- точка пересечения высот треугольника АВН.

43 . Если каждое из оснований высот треугольника проецируется на его стороны, тогда длина отрезка, соединяющего проекции, не зависит от выбора высоты.

44 . Если из вершины С остроугольного треугольника ABC опущена высота СН, а из точки Н опущены перпендикуляры НМ и HN на стороны ВС и АС соответственно, тогда треугольники MNC и ABC подобны.

45 . Если точки К и Р симметричны основанию Н высоты ВН ABC относительно его сторон АВ и ВС , тогда точки пересечения отрезка КР со сторонами АВ и ВС (или их продолжениями) - основания высот треугольника ABC .

46 . Расстояние между основаниями высот, опущенных на две стороны треугольника, равно произведению третьей стороны на модуль косинуса угла, противолежащего этой стороне, то есть , , .

Замечание. Треугольник CA 1 B 1 подобен треугольнику САВ с коэффициентом подобия, равным; треугольник АВ 1 С 1 подобен треугольнику АВС с коэффициентом подобия, равным . Аналогично остальные

47 . Свойства ортотреугольника (то есть треугольника с вершинами в основаниях высот данного треугольника).

а) высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами углов его ортотреугольника.

б) если точки A 1 , B 1 и С 1 на сторонах соответственно ВС, АС и АВ остроугольного треугольника ABC таковы, что

BA 1 C 1 = CA 1 B 1 , CB 1 A 1 = AB 1 C 1 и AC 1 B 1 = BB 1 A 1 ,

то А 1 В 1 С 1 - ортотреугольник треугольника ABC.

в) точки касания вписанного в данный треугольник круга соединены отрезками и в полученном треугольнике проведены высоты. Тогда прямые, соединяющие основания этих высот, параллельны сторонам исходного треугольника.

г) Задача Фаньяно. Треугольник наименьшего возможного периметра с вершинами на сторонах данного остроугольного треугольника- это ортотреугольник данного треугольника.

48 . Если AD - биссектриса треугольника ABC, то

а)

б) AD 2 = АВ АС - BD CD.

49 . Теорема Штейнера - Лемуса. Если две биссектрисы треугольника равны, то он равнобедренный.

50. Продолжения биссектрис остроугольного треугольника ABC A 1, B 1, C 1 . Тогда высоты треугольника A 1 B 1 C 1 лежат на прямых AA 1, BB 1 , СС 1 .

51. Продолжения высот остроугольного треугольника ABC пересекают описанную окружность этого треугольника в точках A 1 , B 1 ,C 1 . Тогда биссектрисы треугольника A 1 B 1 C 1 лежат на прямых AA 1 , BB 1 , CC 1 .

52. Теорема Гаусса. Если продолжения сторон АВ, АС и ВС ABC пересекают прямую l в точках С, В и А, то середины отрезков АА, ВВ и СС лежат на одной прямой.

53 . На двух сторонах треугольника вне его построены квадраты. Тогда отрезок, соединяющий концы сторон квадратов, выходящих из одной вершины треугольника, в два раза больше медианы треугольника, выходящей из той же вершины.

54 . Через точку М на высоте AD произвольного треугольника ABC проводятся прямые ВМ и СМ, которые пересекают стороны АС и АВ в точках Р и Q соответственно. Тогда AD - биссектриса угла PDQ.

55 . Если окружность, вписанная в треугольник ABC, касается стороны ВС в точке М, то окружности, вписанные в треугольники АВМ и АСМ, касаются отрезка AM в одной точке.

56 . Окружность девяти точек. В любом треугольнике девять точек - середины сторон, основания высот и середины отрезков от вершин до ортоцентра - лежат на одной окружности.

Центр окружности Эйлера точка Е - середина отрезка ОН, где О- центр описанной окружности, Н - ортоцентр треугольника.

Диаметр окружности Эйлера равен радиусу описанной окружности.

57 . Окружность касается стороны ВС ABC в точке М, а продолжения сторон АВ и АС - в точках N и Р соответственно. Вписанная окружность этого треугольника касается стороны ВС в точке К, а стороны АВ - в точке L. Тогда

а) отрезок AN равен полупериметру треугольника ABC;

б) отрезок AL равен разности полупериметра и стороны ВС;

в) ВК = СМ;

г) NL = ВС.

58 . На сторонах ВС, СА, и АВ ABC взяты соответственно точки A,B и g, причём АС= AB, ВА= ВС и СА = CB. Тогда a, b и С - точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника.

59 . Пусть р - полупериметр, a S - площадь треугольника.

а) Если r - радиус вневписанной окружности треугольника, касающейся стороны, равной а , то .

б) Если r - радиус вписанной окружности треугольника, a - радиусы вневписанных окружностей, то и .

60. Если прямая, проходящая через точку А и центр О вписанной окружности треугольника ABC, вторично пересекает описанную окружность этого треугольника в точке М, ВОМ и СОМ равнобедренные.

61 . Теорема Мансиона. Отрезок, соединяющий центры вписанной и вневписанной окружностей треугольника, делится описанной окружностью пополам.

62. Формула Эйлера. Если O 1 ,O 2 - центры вписанной и описанной окружностей треугольника ABC, а r и R - радиусы этих окружностей то O 1 O 2 = .

63. Около равностороннего треугольника ABC описана окружность, и на дуге ВС взята произвольная точка М. Тогда AM = ВМ + СМ.

64. Основание каждой высоты треугольника проектируется на боковые стороны треугольника,тогда шесть полученных точек лежат на одной окружности.

65. Вписанная окружность касается сторон АВ и АС ABC в точках М и N. Пусть Р - точка пересечения прямой MN и биссектрисы угла В (или её продолжения),тогда угол BPC = 90°.

66 .Окружность с центром О на стороне ВС равностороннего треугольника ABC касается сторон АВ и АС в точках Р и. Q соответственно. Касательная к окружности пересекает эти стороны в точках М и N, а отрезки ОМ и ON пересекают отрезок PQ в точках Е и F. Тогда EF = MN/2.

67 . В любом треугольнике радиус описанной окружности не меньше удвоенного радиуса вписанной окружности, причём равенство достигается тогда и только тогда, когда треугольник равносторонний.

68 . Пусть О - центр описанной окружности треугольника ABC, Н - точка пересечения высот. Тогда угол HAB равен углу OAC.

69 . Если ВМ и CN - высоты треугольника ABC, a O - центр описанной окружности треугольника, то ОA перпендикулярно MN.

70. а) Точка Жергонна. В треугольник вписана окружность. Точки касания со сторонами треугольника соединены с противоположными вершинами. Тогда три полученных отрезка пересекаются в одной точке.

б) Точка Нагеля. В любом треугольнике отрезки, соединяющие вершины с точками касания вневписанных окружностей с противоположными сторонами, пересекаются в одной точке.

71. В любом треугольнике ABC середина стороны ВС лежит на отрезке, соединяющем точку пересечения высот с точкой окружности, описанной около этого треугольника, диаметрально противоположной вершине А, и делит этот отрезок пополам.

72. Площадь треугольника не больше полупроизведения любых двух его сторон, то есть . >

81. Площадь треугольника не меньше квадрата радиуса вписанной окружности, умноженного на , то есть .

Вопрос: Помогите, очень нужно 1.через вершину В равностороннего треугольника АВС к его плоскости проведен перпендикуляр ДВ длиной 4корень3см. Найдите угол между прямой АД и плоскостью треугольника, если его площадь равна 4корень3см 2.Сторона ВС равностороннего треугольника АВС принадлежит плоскости альфа, а расстояние от вершины А до плоскости альфа равен 1см. Зайдите угол между плоскостями АВС и альфа, яльщо плоскость треугольника АВС равна 4 корень 3 разделены на 3 см

Помогите, очень нужно 1.через вершину В равностороннего треугольника АВС к его плоскости проведен перпендикуляр ДВ длиной 4корень3см. Найдите угол между прямой АД и плоскостью треугольника, если его площадь равна 4корень3см 2.Сторона ВС равностороннего треугольника АВС принадлежит плоскости альфа, а расстояние от вершины А до плоскости альфа равен 1см. Зайдите угол между плоскостями АВС и альфа, яльщо плоскость треугольника АВС равна 4 корень 3 разделены на 3 см

Ответы:

1 S(ABC)=1/2*AB²*sin60 1/2*AB²*√3/2=4√3 AB²=16 AB=4 tg

Похожие вопросы

Помогите пожалуйста по английскому языку
Подскажите пожалуйста слово (враги) как его проверить и записать еще 3 слово на это правило. и слово (обидит) его нужно разделить по слогам и записать 2 однокоренных слово
Напишите характеристику Степана Разина по алгоритму
Помогите решить 24 ,25 . Буду очень благодарен
Во сколько раз скорость распространения первой волны больше скорости распростра??ения второй, если ее длина в 5,4 раза, а период в 2 раза больше? (2,7)
Сущ с суфиксом оньк....................
Переведите текст пожалуйста.
По 2 предложения на 10 трпанспортов на английском
Позначте рядок, у якому всі словосполучення за будовою прості: А буду крізь сльози сміятись, працювати напружено, мокрий від дощу; Б пропустити через хворобу, поезії Лесі Українки, написати листа товаришеві; В сузір’я Чумацький Шлях, буду вивчати наполегливо, живе близько від мене; Г вивчати протягом року, виростити в саду, запропонувати цікаві ідеї; Д Зовсім незважаючи на негоду, захоплюватися сучасною поезією, рідна мова.
Пунктуационная ошибка допущена в предложении 1.Со всех сторон плескалась вода, и гудело равнодушное море. 2.По дороге шли пешеходы и двигались нескончаемым потоком автомобили. 3. После восхода набежала туча, и брызнул короткий дождь. 4.Лишь изредка с веток падал снег, да подрагивали верхушки деревьев.

Разделы