Теорема Нётер. Непрерывные пространственно-временные симметрии (глобальные симметрии). Группа Лоренца. Группа Пуанкаре

Симметрия - инвариантность(неизменность) структуры, свойств, формы, состояния системы. относительно данного преобразования. Понятие симметрии неразрывно связано с представлениями о красоте. «Все симметричное автоматически красиво». Однако, в природе может наблюдаться небольшое нарушение симметрии. Состояние физической системы определяется оператором Гамильтона (гамильтонианом) или оператором Лагранжа (лагранжианом) для полей.

Преобразования симметрии для физической системы являются преобразования, не меняющие гамильтониана или лагранжиана системы. В математике такие преобразования составляют группу.

Теорема Нётер: Для каждой физической системы, уравнения которой могут быть получены из вариационного принципа, каждому однопараметрическому непрерывному преобразованию симметрии отвечает один закон сохранения некоторой физической величины.

Теорема Нётер самое универсальное средство, позволяющее находить законы сохранения в лагранжевой классической механике, теории поля, квантовой теории.

Из физических представлений об однородности и изотропии пространства-времени следует, что для любой замкнутой системы действие должно быть инвариантно относительно преобразований группы Пуанкаре. В силу теоремы Нётер это приводит к существованию 10 фундаментальных сохраняющихся величин: энергии, трех компонентов импульса, и 6 компонент 4-момента импульса.

Эти сохраняющиеся физические величины являются генераторами этих преобразований. В физике симметрии делятся на геометрические и внутренние. Геометрические симметрии подразделяются на непрерывные и дискретные. Преобразования, отвечающие геометрическим симметриям, в четырехмерном прострастве-времени содержат пространственные и временные сдвиги, вращения, зеркальные отражения координатных осей.

Непрерывныепространственно-временные симметрии (глобальные симметрии)

1.Перенос (сдвиг) системы, как целого в пространстве понимается как реальный перенос физической системы или параллельный перенос системы отсчета. Симметрия физических законов относительно сдвигов в пространстве означает эквивалентность всех точек пространства (однородность пространства). Ему соответствует закон сохранения импульса в замкнутой системе.

2. Изменение начала отсчета времени (сдвиг во времени). Симметрия относительно сдвига во времени означает эквивалентность всех моментов времени (однородность времени). Ему соответствует закон сохранения энергии в замкнутой системе.

3. Поворот системы как целого в пространстве. Симметрия относительно поворотов означает эквивалентность всех направлений в пространстве (изотропность пространства). «В пространстве нет выделенных направлений». Ему соответствует закон сохранения углового момента(момента импульса) замкнутой системы.

4.Переход к системе отсчета, движущейся относительно данной системы с постоянной (по величине и направлению) скоростью. Симметрия относительного этого преобразования означает, в частности, эквивалентность всех инерциальных систем отсчета. Ему соответствует закон сохранения равномерного и прямолинейного движения центра инерции в инерциальной системе координат.

Эти четыре непрерывные симметрии отражают свойства плоского 4–мерного пространства Минковского с псевдоэвклидовой метрикой. Преобразования 1 и 2 –сдвиги, 3 и 4 –повороты в пространстве Минковского.

Группа Лоренца – группа вещественных линейных однородных преобразований. 4-векторов пространства Минковского М 4 сохраняющих скалярное произведение:

где - метрический тензор в М 4 (подразумевается суммирование по повторяющимся индексам). Группа Лоренца является подгруппой группы Пуанкаре (группы симметрии пространства-времени в отсутствие гравитации). Инвариантность действия относительно преобразований группы Лоренца отражает изотропность пространства-времени и влечет за собой сохранение 4-тензора момента.

Группа Лоренца-шестипараметрическая группа Ли. Имеется три независимых пространственных вращения на угол в плоскости :

и три независимых (частных) преобразования Лоренца –гиперболические повороты (бусты ) на угол в плоскости :

здесь и их циклические перестановки: 2,3,1 ; 3,2,1.

Трансформационные свойства физического поля по отношению к преобразованиям группы Лоренца задают спин частицы: скаляру соответствует спин , спинору – спин , вектору спин .

ПУАНКАРЕ ГРУППА (неоднородная группа Лоренца) - группа всех вещественных преобразований 4-век-торов пространства Минковского М 4 вида где L - преобразование из Лоренца группы , а - 4-вектор смещения (трансляции). Элемент П. г. обычно обозначается {a , L}, а закон композиции имеет вид

П. г. играет чрезвычайно важную роль в релятивистской , являясь группой её глобальной . Она была введена в 1905 А. Пуанкаре (Н. Poincare). Как и группа Лоренца, П. г. имеет четыре компоненты связности, различаемые значениями и знаком, а именно: и . Это - неабелева, некомпактная группа Ли. Наиб. важной является компонента, представляющая собой множество преобразований содержащая единичное преобразование. В дальнейшем речь будет идти именно об этой группе.

Группа- 10-параметрическая; к шести генераторам группы Лоренца добавляются четыре генератора трансляций. Ли алгебра П. г. определяется перестановочными соотношениями для генераторов:

где- метрич. тензор. 10 генераторов П. г. являются осн. динамич. величинами в релятивистской механике. Величину наз. вектором энергии-импульса или 4-импульсом; 3-вектор есть угл. момент. В для любого оператора А (х )

В частности, эволюция во времени определяется оператором P 0 , или гамильтонианом системы.

В докладе, опубликованном в "Заметках Академии наук" З июня
1905 года, Пуанкаре комментирует группу преобразований, найденную им при анализе уравнений Лоренца. Он подчеркивает, что главным моментом, оказавшимся в основе принципа относительности, является инвариантность уравнений электромагнитного поля.

Действительно Лоренц предложил двухступенчатую замену переменных, связывающую координаты события {x,y,z,t} в одном инерциальном репере с координатами этого же события {х", у", z", t"} в другом инерциальном репере, движущемся по отношению к первому. В то время как Пуанкаре связал координаты {x, y, z, t} с координатами {х", у", z", t"} единым преобразованием. Это преобразование симметрично и обратимо: никакой репер не имеет привилегированного характера и в этом суть релятивизма. Немедленное следствие: постоянство скорости света.

Именно этому преобразован он дал имя Лоренца, ставшее классическим. В заметке 5 июня он писал: "Множество всех этих преобразований вместе со всеми поворотами пространства должно обладать групповыми свойствами для того, чтобы удовлетворять принципу относительности".

Термин имеет специальное употребление в теории групп преобразований в геометрии после работ Феликса Клейна 1872 года. С теорией групп в то время были знакомы лишь несколько математиков самого высокого уровня и некоторые кристаллографы. Поэтому этой теорией воспользовался Пуанкаре, который ею владел, а не Лоренц.

Последствия того открытия, что в основе релятивизма лежит специальная группа, были весьма значительными, так как из этого следовало, что y 2 +y 2 +z 2 -c 2 t 2 является инвариантом этой групп, преобразования которой в пространстве четырех измерений x, y, z, ict являются вращениями. Эта группа, которой Пуанкаре дал название Группа Лоренца, и которую современные физики именуют Группа Пуанкаре, является основой специальной теории относительности.

Итак, в своей заметке 5 июня 1905 года Пуанкаре дал новую форму преобразованиям, предложенным Лоренцем и установил их групповую природу. В силу этих преобразований уравнения Максвелла инвариантны и этим удовлетворяется принцип относительности: в этом и состоит главный момент . Основы теории относительности были сформированы.

В это время 26 сентября 1905 года "Annalen der Physik" (Берлин-Лейпциг) публикуют статью Альберта Эйнштейна, озаглавленную "К электродинамике движущихся тел". Рукопись, подписанная Эйнштейном и его женой Милевой Марич (см. Science & Vie N 871, р. 32), была получена редакцией 30 июня 1905 года, то есть более трех недель спустя заметки Пуанкаре. Эта рукопись была немедленно уничтожена после ее публикации. Родившийся в 1879 году Эйнштейн получил образование в Цюрихском Политехникуме, после чего поступил в патентное бюро Берна.

В его статье можно найти то, о чем в течение десяти лет Пуанкаре дискутировал с Лоренцем и что уже неоднократно публиковалось: ненужность эфира, абсолютного пространства и абсолютного времени, условность понятия одновременности, принцип относительности, постоянство скорости света, синхронизация часов световыми сигналами, преобразования Лоренца, инвариантность уравнений Максвелла, и так далее. К уже известному Эйнштейн добавил формулы релятивистского эффекта Доплера и аберрации, которые немедленно вытекают из преобразований Лоренца.

Таким образом, независимый исследователь, никогда ничего не публиковавший по обсуждаемому вопросу прежде, якобы переоткрыл практически мгновенно то, что ученые класса Лоренца и Пуанкаре смогли установить только после десяти лет усилий. Более того, вопреки научной этике в своей статье Эйнштейн не делает никаких ссылок на работы предшественников, что особенно поразило Макса Борна. При этом Эйнштейн, который читал по-французски так же хорошо, как и по-немецки, знал работу Пуанкаре и "Наука и гипотеза", а также, без сомнения, и все другие статьи Лоренца и Пуанкаре.

Это не помешало Эйнштейну стать в глазах общественности творцом теории относительности, что обрекало Пуанкаре на забвение. Такое произошло под влиянием немецкой школы и благодаря научному авторитету Планка и фон Лауе. В 1907 году Планк писал: "Принцип относительности намеченный Лоренцем и в наиболее общем виде сформулированный Эйнштейном,...". Пуанкаре был уже полностью проигнорирован.

Этому два главных объяснения. Прежде всего конфликт двух кланов: Пуанкаре был математиком, а не физиком. Мог ли профессор математики с высоты своей кафедры давать советы тем, кто внизу ведет тяжелую борьбу с грубой реальностью практики? Затем конфликт наций: в начале века наука была немецкой (Рентген, Герц, Планк, Вайи и др.), как могли немцы получать уроки от французов?

Хотя Эйнштейн и работал в Берне, но родился он в Ульме, в Баварии. Он принадлежал немецкой школе. Поэтому он и стал знаменитым. Потом американцы, склонные все преувеличивать до абсурда, сделали из него самого Великого ученого человечества.

В этом избытке почестей есть, однако, небольшая осечка. Пуанкаре умер в 1912 году, в этом же году, а затем и в последующих, Эйнштейн выдвигался на Нобелевскую премию по теории относительности. В конце концов он получил эту премию, но не за эту теорию, а за фотоэффект. Для премии по теории относительности было существенное препятствие: Лоренц, престиж которого в шведской Академии наук был огромен, и который лучше, чем кто-либо знал о приоритете Пуанкаре в генезисе релятивизма.