Изучением классического механического движения в физике занимается кинематика. В отличие от динамики, наука изучает, почему движутся тела. Она отвечает на вопрос, как они это делают. В данной статье рассмотрим, что такое ускорение и движение с постоянным ускорением.

Понятие об ускорении

Когда тело движется в пространстве, за некоторое время оно преодолевает определенный путь, который является длиной траектории. Чтобы рассчитать этот путь, пользуются понятиями скорости и ускорения.

Скорость как физическая величина характеризует быстроту во времени изменения пройденного пути. Скорость направлена по касательной к траектории в сторону перемещения тела.

Ускорение — это несколько более сложная величина. Говоря кратко, она описывает изменение скорости в рассматриваемый момент времени. Математическое выглядит так:

Чтобы яснее понять эту формулу, приведем простой пример: предположим, что за 1 секунду движения скорость тела увеличилась на 1 м/с. Эти цифры, подставленные в выражение выше, приводят к результату: ускорение тела в течение этой секунды было равно 1 м/с 2 .

Направление ускорения совершенно не зависит от направления скорости. Его вектор совпадает с вектором результирующей силы, которая вызывает это ускорение.

Следует отметить важный момент в приведенном определении ускорения. Эта величина характеризует не только изменение скорости по модулю, но и по направлению. Последний факт следует учитывать в случае криволинейного движения. Далее в статье будет рассматриваться только прямолинейное движение.

Скорость при движении с постоянным ускорением

Ускорение является постоянным, если оно в процессе движения сохраняет свой модуль и направление. Такое движение называют равноускоренным или равнозамедленным — все зависит от того, приводит ли ускорение к увеличению скорости или к ее уменьшению.

В случае движения тела с постоянным ускорением определить скорость можно по одной из следующих формул:

Первые два уравнения характеризуют равноускоренное перемещение. Отличие между ними заключается в том, что второе выражение применимо для случая ненулевой начальной скорости.

Третье уравнение — это выражение для скорости при равнозамедленном движении с постоянным ускорением. Ускорение при этом направлено против скорости.

Графиками всех трех функций v(t) являются прямые. В первых двух случаях прямые имеют положительный наклон относительно оси абсцисс, в третьем случае этот наклон является отрицательным.

Формулы пройденного пути

Для пути в случае движения с ускорением постоянным (ускорение a = const) получить формулы несложно, если вычислить интеграл от скорости по времени. Проделав эту математическую операцию для записанных выше трех уравнений, мы получим следующие выражения для пути L:

L = v 0 *t + a*t 2 /2;

L = v 0 *t - a*t 2 /2.

Графиками всех трех функций пути от времени являются параболы. В первых двух случаях правая ветвь параболы возрастает, а для третьей функции она постепенно выходит на некоторую константу, которая соответствует пройденному пути до полной остановки тела.

Решение задачи

Двигаясь со скоростью 30 км/ч, автомобиль начал ускоряться. За 30 секунд он прошел расстояние 600 метров. Чему было равно ускорение автомобиля?

В первую очередь переведем начальную скорость из км/ч в м/с:

v 0 = 30 км/ч = 30000/3600 = 8,333 м/с.

Теперь запишем уравнение движения:

L = v 0 *t + a*t 2 /2.

Из этого равенства выразим ускорение, получим:

a = 2*(L - v 0 *t)/t 2 .

Все физические величины в этом уравнении известны из условия задачи. Подставляем их в формулу и получаем ответ: a ≈ 0,78 м/с 2 . Таким образом, двигаясь с ускорением постоянным, автомобиль за каждую секунду увеличивал свою скорость на 0,78 м/с.

Рассчитаем также (для интереса), какую скорость он приобрел через 30 секунд ускоренного движения, получаем:

v = v 0 + a*t = 8,333 + 0,78*30 = 31,733 м/с.

Полученная скорость равна 114,2 км/ч.

Положение тел относительно выбранной системы координат принято характеризовать радиусом-вектором , зависящим от времени. Тогда положение тела в пространстве в любой момент времени можно найти по формуле:

.

(Напомним, что в этом и заключается основная задача механики.)

Среди множества различных видов движения самым простым является равномерное – движение с постоянной скоростью (нулевым ускорением), причем неизменным должен оставаться вектор скорости (). Очевидно, что такое движение может быть только прямолинейным. Именно при равномерном движении перемещение вычисляется по формуле:

Иногда тело движется по криволинейной траектории так, что модуль скорости остается постоянным () (такое движение нельзя назвать равномерным и к нему нельзя применить формулу). В этом случае пройденный путь может быть вычислен по простой формуле:

Примером такого движения является движение по окружности с постоянной по модулю скоростью .

Более сложным является равноускоренное движение – движение с постоянным ускорением (). Для такого движения справедливы две формулы кинематики:

из которых можно получить две дополнительные формулы, которые часто могут быть полезны при решении задач:

;

Равноускоренное движение не обязательно должно быть прямолинейным. Необходимо лишь, чтобы вектор ускорения оставался постоянным. Примером равноускоренного, но не всегда прямолинейного движения, является движение с ускорением свободного падения (g = 9,81 м/с 2), направленным вертикально вниз.

Из школьного курса физики знакомо и более сложное движение – гармонические колебания маятника, для которого формулы – не справедливы.

При движении тела по окружности с постоянной по модулю скоростью оно движется с так называемым нормальным (центростремительным ) ускорением

направленным к центру окружности и перпендикулярным скорости движения.

В более общем случае движения по криволинейной траектории с меняющейся скоростью ускорение тела можно разложить на две взаимно перпендикулярные составляющие и представить в виде суммы тангенциального (касательного) и нормального (перпендикулярного, центростремительного) ускорения:

,

где – орт вектора скорости и орт нормали к траектории; R – радиус кривизны траектории.

Движение тел всегда описывается относительно какой-либо системы отсчета (СО). При решении задач необходимо выбрать наиболее удобную СО. Для поступательно движущихся СО формула

позволяет легко переходить от одной СО к другой. В формуле – скорость тела относительно одной СО; – скорость тела относительно второй СО; – скорость второй СО относительно первой.

Вопросы для самопроверки и задачи

1) Модель материальной точки: в чем ее суть и смысл?

2) Сформулируйте определение равномерного, равноускоренного движения.

3) Сформулируйте определения основных кинематических величин (радиуса-вектора, перемещения, скорости, ускорения, тангенциального и нормального ускорения).

4) Напишите формулы кинематики равноускоренного движения, выведите их.

5) Сформулируйте принцип относительности Галилея.

2.1.1. Прямолинейное движение

Задача 22. (1) Автомобиль движется по прямолинейному участку дороги с постоянной скоростью 90 . Найти перемещение автомобиля за 3,3 мин и его положение в этот же момент времени, если в начальный момент времени автомобиль находился в точке, координата которой равна 12,23 км, а ось Ox направлена 1) вдоль движения автомобиля; 2) против движения автомобиля.

Задача 23. (1) Велосипедист движется по загородной дороге на север со скоростью 12 в течение 8,5 мин, затем он, свернув направо на перекрестке, проехал еще 4,5 км. Найти перемещение велосипедиста за время его движения.

Задача 24. (1) Конькобежец движется прямолинейно с ускорением 2,6 , и за 5,3 с его скорость увеличилась до 18 . Найти начальное значение скорости конькобежца. Какое расстояние пробежит спортсмен за это время?

Задача 25. (1) Автомобиль движется прямолинейно, притормаживая перед знаком ограничения скорости 40 с ускорением 2,3 Сколько времени длилось такое движение, если перед началом торможения скорость автомобиля была равна 70 ? На каком расстоянии от знака водитель начал тормозить?

Задача 26. (1) С каким ускорением движется поезд, если на пути 1200 м его скорость возросла от 10 до 20 ? Сколько времени затратил поезд на этот путь?

Задача 27. (1) Тело, брошенное вертикально вверх, вернулось на землю через 3 с. Какова была начальная скорость тела? На какой максимальной высоте оно побывало?

Задача 28. (2) Тело на веревке поднимают с поверхности земли с ускорением 2,7 м/с 2 вертикально вверх из состояния покоя. Через 5,8 с веревка оборвалась. Сколько времени двигалось тело до земли после того, как оборвалась веревка? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Задача 29. (2) Тело начинает двигаться без начальной скорости с ускорением 2,4 Определить путь, пройденный телом за первые 16 с от начала движения, и путь, пройденный за последующие 16 с. С какой средней скоростью двигалось тело эти 32 с?

2.1.2. Равноускоренное движение в плоскости

Задача 30. (1) Баскетболист бросает мяч в кольцо со скоростью 8,5 под углом 63 о к горизонту. С какой скоростью мяч попал в кольцо, если долетел до него за 0,93 с?

Задача 31. (1) Баскетболист бросает мяч в кольцо. В момент броска мяч находится на высоте 2,05 м, а через 0,88 с падает в кольцо, расположенное на высоте 3,05 м. С какого расстояния от кольца (по горизонтали) произведен бросок, если мяч был брошен под углом 56 о к горизонту?

Задача 32. (2) Мяч брошен горизонтально со скоростью 13 , спустя некоторое время его скорость оказалась равной 18 . Найти перемещение мяча за это время. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Задача 33. (2) Тело брошено под некоторым углом к горизонту с начальной скоростью 17 м/с. Найти величину этого угла, если дальность полета тела в 4,3 раза больше максимальной высоты подъема.

Задача 34. (2) Бомбардировщик, пикирующий со скоростью 360 км/ч, сбрасывает бомбу с высоты 430 м, находясь по горизонтали на расстоянии 250 м от цели. Под каким углом должен пикировать бомбардировщик? На какой высоте окажется бомба спустя 2 с от начала падения? Какую скорость она будет иметь в этой точке?

Задача 35. (2) Самолет, летевший на высоте 2940 м со скоростью 410 км/ч, сбросил бомбу. За какое время до прохождения над целью и на каком расстоянии от нее самолет должен сбросить бомбу, чтобы попасть в цель? Найти модуль и направление скорости бомбы спустя 8,5 с от начала ее падения. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Задача 36. (2) Снаряд, выпущенный под углом 36,6 о к горизонту, дважды был на одной и той же высоте: спустя 13 и 66 с после вылета. Определить начальную скорость, максимальную высоту подъема и дальность полета снаряда. Сопротивлением воздуха пренебречь.

2.1.3. Движение по окружности

Задача 37. (2) Грузило, движущееся на леске по окружности с постоянным тангенциальным ускорением, к концу восьмого оборота имело скорость 6,4 м/с, а после 30 с движения его нормальное ускорение стало 92 м/с 2 . Найти радиус этой окружности.

Задача 38. (2) Мальчик, катающийся на карусели, движется при остановке карусели по окружности радиусом 9,5 м и проходит путь 8,8 м, имея в начале этой дуги скорость 3,6 м/с, а в конце – 1,4 м/с. Определить полное ускорение мальчика в начале и конце дуги, а также время его движения по этой дуге.

Задача 39. (2) Муха, сидящая на краю лопасти вентилятора, при его включении движется по окружности радиусом 32 см с постоянным тангенциальным ускорением 4,6 см/с 2 . Через сколько времени после начала движения нормальное ускорение будет вдвое больше тангенциального и чему будет равна линейная скорость мухи в этот момент времени? Сколько оборотов муха сделает за это время?

Задача 40. (2) При открывании двери ручка из состояния покоя движется по окружности радиусом 68 см с постоянным тангенциальным ускорением, равным 0,32 м/с 2 . Найти зависимость полного ускорения ручки от времени.

Задача 41. (3) Для экономии места въезд на один из высочайших в Японии мостов устроен в виде винтовой линии, обвивающей цилиндр радиусом 65 м. Полотно дороги составляет с горизонтальной плоскостью угол 4,8 о. Найти ускорение автомобиля, движущегося по этой дороге с постоянной по модулю скоростью, равной 85 км/ч?

2.1.4. Относительность движения

Задача 42. (2) Два корабля движутся относительно берегов со скоростью 9,00 и 12,0 узлов (1 узел = 0,514 м/с), направленной под углом 30 и 60 о к меридиану соответственно. С какой скоростью второй корабль движется относительно первого?

Задача 43. (3) Мальчик, который может плавать со скоростью, в 2,5 раза меньшей скорости течения реки, хочет переплыть эту реку так, чтобы его как можно меньше снесло вниз по течению. Под каким углом к берегу мальчик должен плыть? На какое расстояние его снесет, если ширина реки равна 190 м.

Задача 44. (3) Два тела одновременно начинают двигаться из одной точки в поле силы тяжести с одинаковой скоростью, равной 2,6 м/с. Скорость одного тела направлена под углом π/4, а другого – под углом –π/4 к горизонту. Определить относительную скорость этих тел через 2,9 с после начала их движения.

Движение. Теплота Китайгородский Александр Исаакович

Прямолинейное движение с постоянным ускорением

Такое движение возникает, согласно закону Ньютона, тогда, когда в сумме на тело действует постоянная сила, подгоняющая или тормозящая тело.

Хотя и не вполне точно, такие условия возникают довольно часто: тормозится под действием примерно постоянной силы трения автомашина, идущая с выключенным мотором, падает с высоты под действием постоянной силы тяжести увесистый предмет.

Зная величину результирующей силы, а также массу тела, мы найдем по формуле a = F /m величину ускорения. Так как

где t – время движения, v – конечная, а v 0 – начальная скорость, то при помощи этой формулы можно ответить на ряд вопросов такого, например, характера: через сколько времени остановится поезд, если известна сила торможения, масса поезда и начальная скорость? До какой скорости разгонится автомашина, если известна сила мотора, сила сопротивления, масса машины и время разгона?

Часто нам бывает интересно знать длину пути, пройденного телом в равномерно-ускоренном движении. Если движение равномерное, то пройденный путь находится умножением скорости движения на время движения. Если движение равномерно-ускоренное, то подсчет величины пройденного пути производится так, как если бы тело двигалось то же время t равномерно со скоростью, равной полусумме начальной и конечной скоростей:

Итак, при равномерно-ускоренном (или замедленном) движении путь, пройденный телом, равен произведению полусуммы начальной и конечной скоростей на время движения. Такой же путь был бы пройден за то же время при равномерном движении со скоростью (1/2)(v 0 + v ). В этом смысле про (1/2)(v 0 + v ) можно сказать, что это средняя скорость равномерно-ускоренного движения.

Полезно составить формулу, которая показывала бы зависимость пройденного пути от ускорения. Подставляя v = v 0 + at в последнюю формулу, находим:

или, если движение происходит без начальной скорости,

Если за одну секунду тело прошло 5 м, то за две секунды оно пройдет (4?5) м, за три секунды – (9?5) м и т.д. Пройденный путь возрастает пропорционально квадрату времени.

По этому закону падает с высоты тяжелое тело. Ускорение при свободном падении равно g , и формула приобретает такой вид:

если t подставить в секундах.

Если бы тело могло падать без помех каких-нибудь 100 секунд, то оно прошло бы с начала падения громадный путь – около 50 км. При этом за первые 10 секунд будет пройдено всего лишь (1/2) км – вот что значит ускоренное движение.

Но какую же скорость разовьет тело при падении с заданной высоты? Для ответа на этот вопрос нам понадобятся формулы, связывающие пройденный путь с ускорением и скоростью. Подставляя в S = (1/2)(v 0 + v )t значение времени движения t = (v ? v 0)/a , получим:

или, если начальная скорость равна нулю,

Десять метров – это высота небольшого двух- или трехэтажного дома. Почему опасно прыгнуть на Землю с крыши такого дома? Простой расчет показывает, что скорость свободного падения достигнет значения v = sqrt(2·9,8·10) м/с = 14 м/с? 50 км/ч, а ведь это городская скорость автомашины.

Сопротивление воздуха не намного уменьшит эту скорость.

Выведенные нами формулы применяются для самых различных расчетов. Применим их, чтобы посмотреть, как происходит движение на Луне.

В романе Уэллса «Первые люди на Луне» рассказывается о неожиданностях, испытанных путешественниками в их фантастических прогулках. На Луне ускорение тяжести примерно в 6 раз меньше земного. Если на Земле падающее тело проходит за первую секунду 5 м, то на Луне оно «проплывет» вниз всего лишь 80 см (ускорение равно примерно 1,6 м/с 2).

Прыжок с высоты h длится время t = sqrt(2h /g ). Так как лунное ускорение в 6 раз меньше земного, то на Луне для прыжка понадобится в sqrt(6) ? 2,45 раз больше времени. Во сколько же раз уменьшается конечная скорость прыжка (v = sqrt(2gh ))?

На Луне можно безопасно прыгнуть с крыши трехэтажного дома. В шесть раз возрастает высота прыжка, cделанного с той же начальной скоростью (формула h = v 2 /(2g )). Прыжок, превышающий земной рекорд, будет под силу ребенку.

автора Гулиа Нурбей Владимирович

4. Движение и сила

Из книги Новейшая книга фактов. Том 3 [Физика, химия и техника. История и археология. Разное] автора Кондрашов Анатолий Павлович

Из книги Теория Вселенной автора Этэрнус

Из книги Занимательно об астрономии автора Томилин Анатолий Николаевич

9. Движение Луны Луна обращается вокруг Земли с периодом в 27 дней 7 часов 43 минуты и 11,5 секунды. Этот период называется звездным, или сидерическим, месяцем. Точно с таким же периодом обращается Луна и вокруг собственной оси. Поэтому понятно, что к нам постоянно обращена

Из книги Эволюция физики автора Эйнштейн Альберт

Эфир и движение Принцип относительности Галилея справедлив для механических явлений. Во всех инерциальных системах, движущихся относительно друг друга, применимы одни и те же законы механики. Справедлив ли этот принцип и для немеханических явлений, особенно тех, для

Из книги Физика на каждом шагу автора Перельман Яков Исидорович

Движение по кругу Раскройте зонтик, уприте его концом в пол, закружите и бросьте внутрь мячик, скомканную бумагу, носовой платок – вообще что-нибудь легкое и неломкое. Произойдет нечто для вас неожиданное. Зонтик словно не пожелает принять подарка: мяч или бумажный ком

Из книги Движение. Теплота автора Китайгородский Александр Исаакович

Движение относительно Закон инерции приводит нас к выводу о множественности инерциальных систем.Не одна, а множество систем отсчета исключают «беспричинные» движения.Если одна такая система найдена, то сразу же найдется и другая, движущаяся поступательно (без

Из книги Системы мира (от древних до Ньютона) автора Гурев Григорий Абрамович

Движение по окружности Если точка движется по окружности, то движение является ускоренным, уже хотя бы потому, что в каждый момент времени скорость меняет свое направление. По величине скорость может оставаться неизменной, и мы остановим внимание именно на подобном

Из книги 1. Современная наука о природе, законы механики автора Фейнман Ричард Филлипс

Реактивное движение Человек движется, отталкиваясь от земли; лодка плывет потому, что гребцы отталкиваются веслами от воды; теплоход также отталкивается от воды, только не веслами, а винтами. Также отталкиваются от земли и поезд, идущий по рельсам, и автомашина, –

Из книги Фарадей. Электромагнитная индукция [Наука высокого напряжения] автора Кастильо Сержио Рарра

VI. Движение твердых тел Момент силы Попробуйте рукой привести во вращение тяжелое маховое колесо. Тяните за спицу. Вам будет тяжело, если вы ухватитесь рукой слишком близко к оси. Переместите руку к ободу, и дело пойдет легче.Что же изменилось? Ведь сила в обоих случаях

Из книги автора

Как выглядит тепловое движение Взаимодействие между молекулами может иметь большее или меньшее значение в «жизни» молекул.Три состояния вещества – газообразное, жидкое и твердое – различаются одно от другого той ролью, которую в них играет взаимодействие

Из книги автора

ПРЕВРАТИТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСТВО В ДВИЖЕНИЕ Фарадей заметил в опытах Эрстеда одну маленькую деталь, которая, как казалось, содержала ключ к пониманию проблемы.Он догадался, что магнетизм электрического тока всегда отклоняет стрелку компаса в одну сторону. Например, если

«Класс!ная физика» переезжает с "народа"!
«Класс!ная физика» - это сайт для тех, кто любит физику, учится сам и учит других.
«Класс!ная физика» - всегда рядом!
Интересные материалы по физике для школьников, учителей и всех любознательных.

Исходный сайт "Класс!ная физика" (class-fizika.narod.ru) с 2006 года входит в выпуски каталога «Образовательные ресурсы сети-интернет для основного общего и среднего (полного) общего образования», одобрено Министерством образования и науки РФ, Москва.

Читай, познавай, исследуй!
Мир физики интересен и увлекателен, он приглашает всех любознательных в путешествие по страницам сайта «Класс!ная физика».

А для начала - наглядная карта физики, которая показывает, откуда берут начало и как связаны между собой различные области физики, что они изучают, и для чего они нужны.
Карта Физики создана по видеоролику The Map of Physics от Доминика Вилиммана канала Domain of Science.

Физика и секреты художников

Тайны мумий фараонов и изобретения Ребрандта, подделки шедевров и секреты папирусов Древнего Египта - искусство скрывает в себе много тайн, но современные физики с помощью новых методов и приборов находят объяснения все большему числу удивительных секретов прошлого......... читать

Азбука физики

Всемогущее трение

Оно - всюду, да куда без него и денешься?
А вот три помощника-богатыря: графит, молебденит и тефлон. Эти удивительные вещества, обладающие очень высокой подвижностью частиц, применяются в настоящее время в качестве великолепной твердой смазки......... читать

Воздухоплавание

"Так поднимаются к звездам!" - начертано на гербе основателей воздухоплавания братьев Монгольфье.
Известный писатель Жюль Верн летал на воздушном шаре всего лишь 24 минуты, но это помогло ему создать увлекательнейшие художественные произведения......... читать

Паровые двигатели

"Этот могучий исполин был трёхметрового роста: гигант с лёгкостью тянул фургон с пятерыми пассажирами. На голове у Парового Человека была труба дымохода, откуда валил густой чёрный дым... всё, даже лицо, было сделано из железа, и все это непрерывно скрежетало и грохотало..." О ком это? Кому эти дифирамбы? ......... читать

Тайны магнита

Фалес Милетский наделял его душой, Платон сравнивал его с поэтом, Орфей находил его подобным жениху... В эпоху Возрождения магнит считали отображением неба и приписывали ему способность искривлять пространство. Японцы считали, что магнит - это сила, которая поможет повернуть к вам фортуну......... читать

По ту сторону зеркала

Знаете ли Вы, сколько интересных открытий может подарить "зазеркалье"? У изображения Вашего лица в зеркале правая и левая половины переставлены местами. А ведь лица редко бывают полностью симметричными, поэтому окружающие видят Вас совершенно иным. Задумывались ли Вы над этим? ......... читать

Секреты обыкновенного волчка

"Сознание того, что чудесное было рядом с нами, приходит слишком поздно." - А.Блок.
Знаете ли Вы, что малайцы могут часами завороженно наблюдать за вращением волчка. Однако, требуется немалое умение, чтобы правильно раскрутить его, ведь вес малайского волчка может достигать нескольких килограммов......... читать

Изобретения Леонардо да Винчи

" Я хочу создавать чудеса!"-говорил он и спрашивал себя: "Но скажи мне, сделано ли тобою хоть что-нибудь?" Леонардо да Винчи писал свои трактаты тайнописью с помощью обыкновенного зеркала, поэтому его зашифрованные рукописи впервые смогли прочитать лишь три столетия спустя.........