Основные теории графов. Теория графов: основные определения

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели урока:

Оборудование:

• компьютерный класс, оснащенный современной техникой, видеопроектор, экран;
• компьютеры с ОС Windows XP, программа Microsoft Office 2003 PowerPoint;
• оборудование доски (тема урока, новые термины). Раздаточный материал.

План урока.

II. Изложение нового материала. (10 мин.)

III. Закрепление материала. Практическая работа. (15-20 мин.)

IV. Подведение итога урока.(2 мин)

V. Домашнее задание.

I. Организационный момент. Актуализация знаний.

Здравствуйте! Наш урок называется “Графы”. Мы познакомимся с понятие “Графы”, научимся их изображать и решать задачи по этой теме.

II Изложение нового материала.

Первая работа по теории графов принадлежит Леонарду Эйлеру (1736 г.), хотя термин “граф” впервые ввел в 1936 году венгерский математик Денеш Кениг. Графами были названы схемы, состоящие из точек и соединяющих эти точки отрезков прямых или кривых (примеры графов изображены на рисунке 1)

С помощью графов часто упрощалось решение задач, сформулированных в различных областях знаний: в автоматике, электронике, физике, химии и др. С помощью графов изображаются схемы дорог, газопроводов, тепло- и электросети. Помогают графы в решении математических и экономических задач.

Граф – (от греческого grapho – пишу) - это средство наглядного представления элементов объекта связей между ними. Это замечательные математические объекты, с их помощью можно решать очень много различных, внешне не похожих друг на друга задач.

Граф – это некоторая информационная модель

Граф состоит из вершин или узлов, связанных дугами или отрезками - рёбрами. Линия может быть направлена, т. е. иметь стрелку (дуга), если не направлена – ребро. Две вершины, соединённые дугой или ребром называются смежными.

Примеры графов (Слайд 4, 5, 6)

Задание 1 (Слайд 7):

Между девятью планетами солнечной системы установлено космическое сообщение. Рейсовые ракеты летают по следующим маршрутам:

Земля – Меркурий; Плутон – Венера; Земля – Плутон; Плутон – Меркурий; Меркурий – Венера; Уран – Нептун; Нептун – Сатурн; Сатурн – Юпитер; Юпитер – Марс; Марс – Уран.

Можно ли долететь на рейсовых ракетах с Земли до Марса?

Решение: Нарисуем схему условия: планеты изобразим точками, а маршруты ракет – линиями.

Теперь сразу видно, что долететь с Земли до Марса нельзя.

Две вершины, соединённые дугой или ребром называются смежными. Каждому ребру или дуге соотносится какое-нибудь число. Число может обозначать расстояние между населёнными пунктами, время перехода от одной вершины к другой и т. д.

Задание 2 (9 слайд) – решение у доски. Маша пришла в зоопарк и хочет увидеть как можно больше зверей. По какой тропинке ей надо идти? Желтая, красная, зеленая?

Задание 3 (11 слайд) – решение у доски. Пять футбольных команд А, Б, В, Г, Д должны сыграть в матчи друг с другом. Уже сыграли А с Б, В, Г; Б с А, В, Д. сколько матчей уже сыграно? Сколько осталось сыграть?

Представление графов (Слайд 12)

Граф может быть представлен в виде списка дуг (АВ; 7), графически или с помощью таблицы.

Списки дуг	Графическая форма	Табличная форма
(АВ; 7),		А В С А 3 В 4 С 3 4

III. Закрепление материалы: учащимся предлагается разделить на группы и выполнить задания. Работая в малой группе, ученики обсуждают модели, основываясь на теоретических знаниях, полученных в начале урока. Тем самым достигается повторение и закрепление материала.

Задание 2 (Слайд 13)

IV. Итог урока

Ребята, какие новые слова вы сегодня узнали? (Граф, вершина графа, ребра графа.)

Что могут обозначать вершины графа? (Города; объекты, которые; связаны.)

Что обозначают ребра графа (Пути, движения, направления)

Приведите пример, где в жизни мы можем с ними встретиться?

Как изображаются графы?

V. Домашнее задание. (Слайд 15)

Теория графов - это один из подразделов математики, главным отличительным признаком которого является геометрический метод в изучении объектов. Основателем ее принято считать Л. Эйлера.

Применение теории графов до конца 19 века сводилось к решению занимательных задач и не привлекало значительного всеобщего внимания. Начиная с 20 века, когда теория графов сформировалась в самостоятельную математическую дисциплину, она нашла широкое применение в таких областях науки, как кибернетика, физика, логистика, программирование, биология, электроника, транспортные и коммуникационные системы.

Основные понятия теории графов

Базовым является граф. В терминологии можно встретить такое понятие, как сеть, идентичное графу. Последнее - это непустое количество точек, то есть вершин, и отрезков, то есть ребер, оба конца которых соответствуют заданному количеству точек. Теория графов не вкладывает определенного смысла в значения ребер и вершин. Например, города и соединяющие их дороги, где первые - это вершины графа, а вторые - ребра. Большее значение в теории уделяется дугам. Если у ребра есть направление, то оно имеет название дуги, если граф с ориентированными ребрами, он называется орграфом.

В терминологии теории так же выделяют следующие понятия:

Подграфом называется граф, все ребра и вершины которого находятся среди вершин и ребер.

Связный граф - тот, у которого для двух разных вершин существует соединяющая их цепь.

Взвешенный связный граф - тот, у которого задана весовая функция.

Дерево - связный граф, без циклов.

Остов - подграф, являющийся деревом.

При изображении графа на плоскости используется определенная система обозначений: выбранной вершине соответствует точка на простейшей поверхности, и если между вершинами находится ребро, то соответствующие точки объединяются отрезком. Если же граф ориентированный, эти отрезки заменяются стрелками.

Но не стоит сравнивать изображение графа с ним самим, т.е с абстрактной структурой, потому что одному графу можно придать не одно графическое представление. Рисунок на плоскости дан для того, чтобы увидеть, какие пары вершин объединяются ребрами, а какие нет.

Среди некоторых задач теории графов выделяют:

1. Задача о кротчайшей цепи (замена оборудования, размещение мест скорой помощи и телефонных станций).
2. Задача о максимальном потоке (упорядочение движения в динамической сети, распределение работ, организация пропускной способности).
3. Задача о покрытиях и упаковках (размещение диспетчерских пунктов).
4. Раскраска в графах (размещение памяти на электронно-вычислительных машинах).
5. Связь сетей и графов (создание коммуникационной сети, анализ сетей связи).

В настоящее время невозможно программировать большинство задач без знания теории графов. Это облегчает и упрощает работу с ЭВМ.

Программирование использует множество структур и универсальных методов для решения задач, и одним из них является теория графов. Ее значение сложно переоценить. Теория графов в программировании позволяет упростить поиск информации, оптимизировать программы, преобразовать и распределить данные. Благодаря алгоритмам теории возникает возможность применения и их оценки в использовании для решения конкретных задач, осуществлять модификацию алгоритма, не уменьшая степени математической достоверности конечного варианта программы.

Важным свойством управляющей системы или модели является совокупность при наборе действий и единиц данных. Эти структуры являются единственными частями программ и преобразующейся ими информации. Поэтому графы являются основой конструкцией для программиста.

Теория графов находит применение, например, в геоинформационных системах (ГИС). Существующие или вновь проектируемые дома, сооружения, кварталы и т. п. рассматриваются как вершины, а соединяющие их дороги, инженерные сети, линии электропередачи и т. п. - как рёбра. Применение различных вычислений, производимых на таком графе, позволяет, например, найти кратчайший объездной путь или ближайший продуктовый магазин, спланировать оптимальный маршрут.

Теория графов содержит большое количество нерешённых проблем и пока не доказанных гипотез.

Основные сферы применения теории графов:

В химии (для описания структур, путей сложных реакций, правило фаз также может быть интерпретировано как задача теории графов); компьютерная химия - сравнительно молодая область химии, основанная на применении теории графов. Теория графов представляет собой математическую основу хемоинформатики. Теория графов позволяет точно определить число теоретически возможных изомеров у углеводородов и других органических соединений;

В информатике и программировании (граф-схема алгоритма);

В коммуникационных и транспортных системах. В частности, для маршрутизации данных в Интернете;

В экономике;

В логистике;

В схемотехнике (топология межсоединений элементов на печатной плате или микросхеме представляет собой граф или гиперграф).

Выделяют особый вид графа, дерево. Дерево - это связный ациклический граф. Связность означает наличие путей между любой парой вершин, ацикличность - отсутствие циклов и то, что между парами вершин имеется только по одному пути. На Рис 1.3 представлено двоичное дерево .

Двоичное дерево - древовидная структура данных, в которой каждый узел имеет не более двух потомков (детей). Как правило, первый называется родительским узлом , а дети называются левым и правым наследниками .

Матричное представление графов. Матрица инциденций.

Развитие алгоритмических подходов к анализу свойств графов требует определенных способов описания графов, более пригодных для практических вычислений, в том числе с использованием ЭВМ. Рассмотрим три наиболее распространенных способа представления графов.

Предположим, что все вершины и все ребра неориентированного графа или все вершины и все дуги (включая петли) ориентированного графа пронумерованы начиная с единицы. Граф (неориентированный или ориентированный) может быть представлен в виде матрицы типа , где- число вершин, а- число ребер (или дуг). Для неориентированного графа элементы этой матрицы задаются следующим образом:

Для ориентированного графа элементы матрицы задаются так:

Матрицу типа, определенную указанным образом, называютматрицей инциденций.

Пример получения матрицы инциденций. Для изображенного ниже графа (Рис. 2.1 а Рис 2.1 б).

Рис 2.1 а Рис. 2.1 б

Матрица смежности.

Несмотря на то, что представление графа в виде матрицы инциденций играет весьма большую роль в теоретических исследованиях, практически этот способ весьма неэффективен. Прежде всего, в матрице в каждом столбце только два ненулевых элемента, что делает этот способ представления графа неэкономным при большом количестве вершин. Кроме того, решение практических задач с помощью матрицы инциденций весьма трудоемко.

Оценим, например, временные затраты на решение с помощью матрицы инциденций такой простой задачи в ориентированном графе: для данной вершины найти ее "окружение" - множество преемников и множество предшественников вершины, т.е. множество всех вершин, непосредственно достижимых из, и множество всех вершин, из которых она непосредственно достижима.

Для решения этой задачи на матрице инциденций ориентированного графа нужно идти по строке с номером до появления ненулевого элемента (+1 или –1). В случае если обнаружена +1, в соответствующем столбце надо найти строку, в которой записано число –1. Номер строки, в которой стоит это число, дает номер вершины, непосредственно достижимой из данной вершины. Если обнаружена –1, в столбце надо найти строку, в которой записана 1, и получить номер вершины, из которой непосредственно достижима данная вершина. Для получения всего "окружения" надо проделать указанный поиск для всех ненулевых элементов k-й строки. Наиболее трудоемкой процедурой является поиск ненулевого элемента в столбце. Число таких процедур поиска равно степени вершины. Будем в этом случае говорить, что сложность алгоритма анализа окружения вершинысоставляет(порядка).

Можно увидеть, что поиск "окружения" всех вершин займет время порядка произведения числа вершин ориентированного графа на сумму степеней всех вершин, которая, как можно показать, пропорциональна числу дуг ориентированного графа. Таким образом, сложность алгоритма поиска "окружения" составляет , т.е. поиск занимает время порядка произведения числа вершин на число дуг.

Более эффективной матричной структурой, представляющей граф, служит матрица смежности вершин , или булева матрица графа. Это квадратная матрица В порядка n , элементы которой определяют следующим образом:

для неориентированного графа:

для ориентированного графа:

Для изображенного ниже графа (Рис. 2.2 а ) матрицей инциденций будет матрица, представленная на (Рис 2.2 б).

Теория графов – это раздел дискретной математики, изучающий объекты, представимые в виде отдельных элементов (вершин) и связей между ними (дуг, рёбер).

Теория графов берет начало с решения задачи о кенигсбергских мостах в 1736 году знаменитым математиком Леонардом Эйлером (1707-1783: родился в Швейцарии, жил и работал в России).

Задача о кенигсбергских мостах.

В прусском городке Кенигсберг на реке Прегал семь мостов. Можно ли найти маршрут прогулки, который проходит ровно 1 раз по каждому из мостов и начинается и заканчивается в одном месте?

Граф, в котором найдется маршрут, начинающийся и заканчивающийся в одной вершине, и проходящий по всем ребрам графа ровно один раз, называется Эйлеровым графом.

Последовательность вершин (может быть с повторением), через которые проходит искомый маршрут, как и сам маршрут, называется Эйлеровым циклом .

Задача о трех домах и трех колодцах.

Имеется три дома и три колодца, каким-то образом расположенные на плоскости. Провести от каждого дома к каждому колодцу тропинку так, чтобы тропинки не пересекались. Эта задача была решена (показано, что решения не существует) Куратовским (1896 – 1979) в 1930 году.

Задача о четырех красках. Разбиение плоскости на непересекающиеся области называется картой . Области карты называются соседними, если они имеют общую границу. Задача состоит в раскрашивании карты таким образом, чтобы никакие две соседние области не были закрашены одним цветом. С конца XIX века известна гипотеза, что для этого достаточно четырех красок. Гипотеза не доказана до сих пор.

Суть опубликованного решения состоит в том, чтобы перебрать большое, но конечное число (около 2000) типов потенциальных контрпримеров к теореме о четырех красках и показать, что ни один случай контрпримером не является. Этот перебор был выполнен программой примерно за тысячу часов работы суперкомпьютера.

Проверить «вручную» полученное решение невозможно – объем перебора выходит за рамки человеческих возможностей. Многие математики ставят вопрос: можно ли считать такое «программное доказательство» действительным доказательством? Ведь в программе могут быть ошибки…

Таким образом, остается уповать на программистскую квалификацию авторов и верить, что они все сделали правильно.

Определение 7.1. Графом G = G (V , E ) называется совокупность двух конечных множеств: V – называемого множеством вершин и множества E пар элементов из V, т.е. EÍV´V, называемого множеством рёбер , если пары неупорядочены, или множеством дуг , если пары упорядочены.

В первом случае граф G (V , E ) называется неориентированным , во втором – ориентированным.

ПРИМЕР. Граф с множеством вершин V = {а,b,с} и множеством ребер Е ={{а, b}, {b, с}}

ПРИМЕР. Граф, у которого V = {a,b,c,d,e} и Е = {{а, b}, {а, е}, {b, е}, {b, d}, {b, с}, {с, d}},

Если e=(v 1 ,v 2), еÎЕ, то говорят, что ребро е соединяет вершины v 1 и v 2 .

Две вершины v 1 ,v 2 называются смежными , если существует соединяющее их ребро. В этой ситуации каждая из вершин называется инцидентной соответствующему ребру.

Два различных ребра смежны , если они имеют общую вершину. В этой ситуации каждое из ребер называется инцидентным соответствующей вершине.

Число вершин графа G обозначим v , а число ребер - e :

.

Геометрическое представление графов следующее:

1) вершина графа – точка в пространстве (на плоскости);

2) ребро неориентированного графа – отрезок;

3) дуга ориентированного графа – направленный отрезок.

Определение 7.2. Если в ребре e=(v 1 ,v 2) имеет место v 1 =v 2 , то ребро е называется петлёй . Если в графе допускается наличие петель, то он называется графом с петлями или псевдографом .

Если в графе допускается наличие более одного ребра между двумя вершинами, то он называется мультиграфом .

Если каждая вершина графа и (или) ребра помечена, то такой граф называется помеченным (или нагруженным ). В качестве пометок обычно используются буквы или целые числа.

Определение 7.3. Граф G  (V  , E  ) называется подграфом (или частью ) графа G (V ,E ), если V  V , E  E . Если V  = V , то G  называется остовным подграфом G .

Пример 7 . 1 . Дан неориентированный граф.

Определение 7.4. Граф называется полным , если любые две его вершины соединены ребром. Полный граф с n вершинами обозначается через K n .

Графы К 2 , К 3, К 4 и К 5 .

Определение 7.5. Граф G =G (V , E ) называется двудольным , если V можно представить как объединение непересекающихся множеств, скажем V =A B , так что каждое ребро имеет вид (v i , v j ), где v i A и v j B .

Каждое ребро связывает вершину из А с вершиной из В, но никакие две вершины из А или две вершины из В не являются связанными.

Двудольный граф называется полным двудольным графом K m , n , если A содержит m вершин, B содержит n вершин и для каждого v i A , v j B имеем (v i , v j )E .

Таким образом, для каждого v i A , и v j B имеется связывающее их ребро.

K 12 K 23 K 22 K 33

Пример 7 . 2 . Построить полный двудольный граф K 2,4 и полный граф K 4 .

Граф единичного n -мерного куба В n .

Вершины графа - n-мерные двоичные наборы. Рёбра соединяют вершины, отличающиеся одной координатой.

Пример:

Книга К.Бержа - первая по теории графов на русском языке. Между тем в последние годы интерес к теории резко усилился как со стороны математиков, так и представителей самых различных дисциплин. Это объясняется тем, что методы теории графов успешно решают многочисленные задачи теории электрических цепей, теории транспортных цепей, теории информации, кибернетики и др.
В книге Бержа теория графов излагается последовательно, начиная с самых основ. Предполагается, что читатель обладает весьма скромными математическими познаниями, хотя и имеет некоторую математическую культуру. В текст включены многочисленные, зачастую забавные, примеры. Книга может быть использована для первоначального изучения теории графов. Математики-профессионалы также найдут в ней много интересного.

Алгорифм для непосредственного выявления эйлерова цикла.
[Флёрн (Fleury)]. Рассмотрим связный мультиграф G, все вершины которого имеют четную степень, и постараемся нарисовать его одним росчерком, не прибегая в процессе построения к исправлениям уже начерченной части траектории. Достаточно придерживаться следующего правила:
1 Выходим из произвольной вершины а; каждое пройденное ребро зачеркиваем.
2 Никогда не идем по такому ребру и, которое в рассматриваемый момент является перешейком (т.е. при удалении которого граф, образованный незачеркнутыми ребрами, распадается на две компоненты связности, имеющие хотя бы по одному ребру),

Соблюдая это правило, мы всегда будем находиться в благоприятном положении, потому что когда мы находимся в х = а, граф (из незачеркнутых ребер) имеет две вершины нечетной степени: х и а; если отбросить изолированные вершины, то останется связный граф, который в силу теоремы 1 имеет эйлерову цепь, начинающуюся в х.

Содержание
Введение
Глава 1. Основные определения
Множества и многозначные отображения
Граф. Пути и контуры
Цепи и циклы
Глава 2. Предварительное изучение квазиупорядоченности
Квазипорядок, определяемый графом
Индуктивный граф и базы
Глава 3. Порядковая функция и функция
Гранди для бесконечного графа
Общие соображения относительно бесконечных графов
Порядковая функция
Функции Гранди
Операции над графами
Глава 4. Основные числа теории графов
Цикломатическое число
Хроматическое число
Число внутренней устойчивости
Число внешней устойчивости
Глава 5. Ядра графа
Теоремы существования и единственности
Приложение к функциям Гранди
Глава 6. Игры на графе
Игра Ним
Общее определение игры (с полной информацией)
Стратегии
Глава 7. Задача о кратчайшем пути
Процессы по этапам Некоторые обобщения
Глава 8. Транспортные сети
Задача о наибольшем потоке Задача о наименьшем потоке
Задача о потоке, совместимом с множеством значений
Бесконечные транспортные сети
Глава 9. Теорема о полустепенях
Полу степени исхода и захода
Глава 10. Паросочетание простого графа
Задача о наибольшем паросочетании
Дефицит простого графа
Венгерский алгорифм
Обобщение на бесконечный случай
Приложение к теории матриц
Глава 11. Факторы
Гамильтоновы пути и гамильтоновы контуры
Нахождение фактора
Нахождение частичного графа с заданными полустепенями
Глава 12. Центры графа
Центры
Радиус
Глава 13. Диаметр сильно связного графа
Общие свойства сильно связных графов без петель
Диаметр
Глава 14. Матрица смежности графа
Применение обычных матричных операций
Задачи на подсчет
Задача о лидере
Применение булевых операций
Глава 15. Матрицы инциденций
Вполне унимодулярные матрицы
Вполне унимодулярные системы
Цикломатические матрицы
Глава 16. Деревья и прадеревья
Деревья
Аналитическое исследование
Прадеревья
Глава 17. Задача Эйлера
Эйлеровы циклы Эйлеровы контуры
Глава 18. Паросочетание произвольного графа
Теория чередующихся цепей
Нахождение частичного графа с заданными степенями вершин
Совершенное паросочетание
Приложение к числу внутренней устойчивости
Глава 19. Фактороиды
Гамильтоновы циклы и фактороиды
Необходимое и достаточное условие существования фактороида
Глава 20. Связность графа
Точки сочленения
Графы без сочленений
h-связные графы
Глава 21. Плоские графы
Основные свойства
Обобщение
Добавления
I. Off общей теории, игр
II. О транспортных задачах
III. Об использовании, понятия потенциала в транспортных сетях
IV. Нерешенные задачи, и недоказанные предположения
V. О некоторых основных принципах подсчета (Ж. Риге)
VI. Дополнения к русскому переводу (А.А. Зыков и Г.И. Кожухин)
Литература
Теория графов и книга К. Бержа (послесловие к русскому переводу)
Указатель символов
Именной указатель
Предметный указатель.

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Теория графов и её применение, Берж К. - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.