Какой числовой промежуток называется отрезком. Числовые отрезки, интервалы, полуинтервалы и лучи называют числовыми промежутками

В) Числовая прямая

Рассмотрим числовую прямую (рис. 6):

Рассмотрим множество рациональных чисел

Каждое рациональное число изображается некоторой точкой на числовой оси. Так, на рисунке отмечены числа .

Докажем, что .

Доказательство. Пусть существует дробь : . Мы вправе считать эту дробь несократимой. Так как , то - число четное: - нечетное. Подставляя вместо его выражение, найдем: , откуда следует, что - четное число. Получили противоречие, которое доказывает утверждение.

Итак, не все точки числовой оси изображают рациональные числа. Те точки, которые не изображают рациональные числа, изображают числа, называемые иррациональными .

Любое число вида , , является либо целым, либо иррациональным.

Числовые промежутки

Числовые отрезки, интервалы, полуинтервалы и лучи называют числовыми промежутками.

Представим на координатной прямой числа a и b , а также число x между ними.

Множество всех чисел, отвечающих условию a ≤ x ≤ b , называется числовым отрезком илипросто отрезком . Обозначается так: [a; b ]-Читается так: отрезок от a до b.

Множество чисел, отвечающих условию a < x < b , называется интервалом . Обозначается так: (a; b )

Читается так: интервал от a до b.

Множества чисел, отвечающих условиям a ≤ x < b или a < x ≤ b , называются полуинтервалами . Обозначения:

Множество a ≤ x < b обозначается так:[a; b ),-читается так: полуинтервал от a до b , включая a .

Множество a < x ≤ b обозначается так:(a; b ],-читается так: полуинтервал от a до b , включая b .

Теперь представим луч с точкой a , справа и слева от которой - множество чисел.

a , отвечающих условию x ≥ a , называется числовым лучом .

Обозначается так: [a; + ∞ )-Читается так: числовой луч от a до плюс бесконечности.

Множество чисел справа от точки a , отвечающих неравенству x > a , называется открытым числовым лучом .

Обозначается так: (a; + ∞ )-Читается так: открытый числовой луч от a до плюс бесконечности.

a , отвечающих условию x ≤ a , называется числовым лучом от минус бесконечности до a .

Обозначается так:(- ∞; a ]-Читается так: числовой луч от минус бесконечности до a .

Множество чисел слева от точки a , отвечающих неравенству x < a , называется открытым числовым лучом от минус бесконечности до a .

Обозначается так: (- ∞; a )-Читается так: открытый числовой луч от минус бесконечности до a .

Множество действительных чисел изображается всей координатной прямой. Его называют числовой прямой . Обозначается она так: (- ∞; + ∞ )

3)Линейные уравнения и неравенства с одной переменной,их решения:

Равенство, содержащее переменную, называют уравнением с одной переменной, или уравнением с одним неизвестным. Например, уравнением с одной переменной является равенство 3(2х+7)=4х-1.

Корнем или решением уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство. Например, число 1 является решением уравнения 2х+5=8х-1. Уравнение х2+1=0 не имеет решения, т.к. левая часть уравнения всегда больше нуля. Уравнение (х+3)(х-4) =0 имеет два корня: х1= -3, х2=4.

Решить уравнение - значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Уравнения называются равносильными, если все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения и наоборот, все корни второго уравнения являются корнями первого уравнения или, если оба уравнения не имеют корней. Например, уравнения х-8=2 и х+10=20 равносильны, т.к. корень первого уравнения х=10 является корнем и второго уравнения, и оба уравнения имеют по одному корню.

При решении уравнений используются следующие свойства:

Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получите уравнение, равносильные данному.

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Уравнение ах=b, где х – переменная, а и b – некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.

Если а¹0, то уравнение имеет единственное решение .

Если а=0, b=0, то уравнению удовлетворяет любое значение х.

Если а=0, b¹0, то уравнение не имеет решений, т.к. 0х=b не выполняется ни при одном значении переменной.
Пример 1. Решить уравнение: -8(11-2х)+40=3(5х-4)

Раскроем скобки в обеих частях уравнения, перенесем все слагаемые с х в левую часть уравнения, а слагаемые, не содержащие х, в правую часть, получим:

16х-15х=88-40-12

Пример 2. Решить уравнения:

х3-2х2-98х+18=0;

Эти уравнения не являются линейными, но покажем, как можно решать такие уравнения.

3х2-5х=0; х(3х-5)=0. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, получаем х1=0; х2= .

Ответ: 0; .

Разложить на множители левую часть уравнения:

х2(х-2)-9(х-2)=(х-2)(х2-9)=(х-2)(х-3)(х-3), т.е. (х-2)(х-3)(х+3)=0. Отсюда видно, что решениями этого уравнения являются числа х1=2, х2=3, х3=-3.

с) Представим 7х, как 3х+4х, тогда имеем: х2+3х+4х+12=0, х(х+3)+4(х+3)=0, (х+3)(х+4)=0, отсюда х1=-3, х2=- 4.

Ответ: -3; - 4.
Пример 3. Решить уравнение: ½х+1ç+½х-1ç=3.

Напомним определение модуля числа:

Например: ½3½=3, ½0½=0, ½- 4½= 4.

В данном уравнении под знаком модуля стоят числа х-1 и х+1. Если х меньше, чем –1, то число х+1 отрицательное, тогда ½х+1½=-х-1. А если х>-1, то ½х+1½=х+1. При х=-1 ½х+1½=0.

Таким образом,

Аналогично

а) Рассмотрим данное уравнение½х+1½+½х-1½=3 при х£-1, оно равносильно уравнению -х-1-х+1=3, -2х=3, х= , это число принадлежит множеству х£-1.

b) Пусть -1 < х £ 1, тогда данное уравнение равносильно уравнению х+1-х+1=3, 2¹3 уравнение не имеет решения на данном множестве.

с) Рассмотрим случай х>1.

х+1+х-1=3, 2х=3, х= . Это число принадлежит множеству х>1.

Ответ: х1=-1,5; х2=1,5.
Пример 4. Решить уравнение:½х+2½+3½х½=2½х-1½.

Покажем краткую запись решения уравнения, раскрывая знак модуля «по промежуткам».

х £-2, -(х+2)-3х=-2(х-1), - 4х=4, х=-2Î(-¥; -2]

–2<х£0, х+2-3х=-2(х-1), 0=0, хÎ(-2; 0]

0<х£1, х+2+3х=-2(х-1), 6х=0, х=0Ï(0; 1]

х>1, х+2+3х=2(х-1), 2х=- 4, х=-2Ï(1; +¥)

Ответ: [-2; 0]
Пример 5. Решить уравнение: (а-1)(а+1)х=(а-1)(а+2), при всех значениях параметра а.

В этом уравнении на самом деле две переменных, но считают х–неизвестным, а а–параметром. Требуется решить уравнение относительно переменной х при любом значении параметра а.

Если а=1, то уравнение имеет вид 0×х=0, этому уравнению удовлетворяет любое число.

Если а=-1, то уравнение имеет вид 0×х=-2, этому уравнению не удовлетворяет ни одно число.

Если а¹1, а¹-1, тогда уравнение имеет единственное решение .

Ответ: если а=1, то х – любое число;

если а=-1, то нет решений;

если а¹±1, то .

Б)Линейные неравенства с одной переменной.

Если переменной х придать какое-либо числовое значение, то мы получим числовое неравенство, выражающее либо истинное, либо ложное высказывание. Пусть, например, дано неравенство 5х-1>3х+2. При х=2 получим 5·2-1>3·2+2 – истинное высказывание (верное числовое высказывание); при х=0 получаем 5·0-1>3·0+2 – ложное высказывание. Всякое значение переменной, при котором данное неравенство с переменной обращается в верное числовое неравенство, называется решением неравенства. Решить неравенство с переменной – значит найти множество всех его решений.

Два неравенства с одной переменной х называются равносильными, если множества решений этих неравенств совпадают.

Основная идея решения неравенства состоит в следующем: мы заменяем данное неравенство другим, более простым, но равносильным данному; полученное неравенство снова заменяем более простым равносильным ему неравенством и т.д.

Такие замены осуществляются на основе следующих утверждений.

Теорема 1. Если какой-либо член неравенства с одной переменной перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, оставив при этом без изменения знак неравенства, то получится неравенство, равносильное данному.

Теорема 2. Если обе части неравенства с одной переменной умножить или разделить на одно и то же положительное число, оставив при этом без изменения знак неравенства, то получится неравенство, равносильное данному.

Теорема 3. Если обе части неравенства с одной переменной умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному.

Линейным называется неравенство вида ax+b>0 (соответственно ax+b<0, ax+b³0, ax+b£0), где а и b – действительные числа, причем а¹0. Решение этих неравенств основано на трех теоремах равносильности изложенных выше.

Пример 1. Решить неравенство: 2(х-3)+5(1-х)³3(2х-5).

Раскрыв скобки, получим 2х-6+5-5х³6х-15,

Цели:

• Обучающие : формировать умения работать с числовыми промежутками, изображать на координатной прямой промежуток и множество чисел, удовлетворяющих неравенству; прививать навыки графической культуры.
• Развивающие : развитие логического мышления, способности самостоятельно решать учебные задачи, развитие любознательности учащихся, познавательного интереса к предмету.
• Воспитательные : воспитание интереса к математике через использование и применение ИКТ; создание условий для формирования коммуникативных навыков.

Оборудование: Учебник “Алгебра-8” под ред. С.А.Теляковского; компьютер; проектор, экран, Презентация .

Тип урока: комбинированный

Формы работы: фронтальная, индивидуальная

ХОД УРОКА

1. Организационный момент (Презентация )

Здравствуйте, ребята, сегодня у нас на уроке гости, но мы не будем волноваться и продуктивно поработаем.

2. Актуализация опорных знаний, умений и навыков (слайды 2-4).

Устная работа

Проводится с помощью демонстрации презентации с заданиями.

1) Между какими целыми числами заключено число:

А) 1,3 Б) - 5,5 В)

2) Между какими целыми числами заключено число:

А) √3; Б) √15; В) √72.

Прочитайте неравенство и назовите несколько значений переменной, удовлетворяющее данному неравенству:

А) x < - 3;
Б) x > 7;
В) - 1 < x < 1

Как называется Множество всех чисел, удовлетворяющих данному условию?

3. Закрепление изученного материала (слайд 5)

1) Определение числового промежутка. Множество всех чисел, удовлетворяющих данному условию, называется числовым промежутком

2) (слайд 6) Тема нашего урока «Числовые промежутки».
(слайд 7) «Луч», «открытый луч», «отрезок», «интервал» - это всё числовые промежутки.
Часто при решении задачи мы рисуем схему по ее условию, а затем составляем уравнение. И схема и уравнение - это математические модели ситуации, описанной в задаче.
Схема - графическая модель, уравнение - аналитическая модель.
Аналогично дело обстоит и с числовыми промежутками.
Числовой промежуток - это все числа, соответствующие определенному условию.
Условие соответствует какой-либо математической ситуации. Можно построить как графическую, так и аналитическую модель, кроме того сделать еще и символическую запись.
Например, все числа меньшие 3.

В данном случае числовым промежутком будет открытый луч, графическая модель будет такая:
Аналитической моделью является строгое неравенство х < 3, а символическая запись (- ∞; 3).
Графическими моделями для числовых промежутков являются: луч, открытый луч, отрезок, интервал.
Аналитическими моделями: строгие, нестрогие неравенства, а так же двойные неравенства
3) (слайд 8) Проверка домашнего задания
4) (слайд 9) Работа с Цифровыми ресурсами из school-collection.edu.ru–71
а) изобразите на координатной прямой числовые промежутки (Задание 1)
б) запишите промежутки, изображенные на рисунке

4. Физминутка (слайды 10, 11)

5) (слайд 12) Светофор - разноуровневые задания
6) (слайд 14) - тестовые задания (сколько чисел принадлежит промежутку)
7) (слайд 15) - задания на сопоставления с последующей проверкой
8) работа по учебнику стр. 185

Работа по вариантам:

1 вар 2 вар

№815(а) №815(б)
№816(а) №816(б)
№819(а) №819(б)
№825(а) №825(б)
№823(а) №823(б)

Самопроверка

5. Итог урока

Итак, подведем итог нашего урока. Ответим на вопросы.
Дайте определение числового промежутка.
Перечислите виды числовых промежутков. Приведите примеры

К числовым промежуткам относятся лучи, отрезки, интервалы и полуинтервалы.

Виды числовых промежутков

В таблице a и b - это граничные точки, а x - переменная, которая может принимать координату любой точки, принадлежащей числовому промежутку.

Граничная точка - это точка, определяющая границу числового промежутка. Граничная точка может как принадлежать числовому промежутку, так и не принадлежать ему. На чертежах граничные точки, не принадлежащие рассматриваемому числовому промежутку, обозначают незакрашенным кругом, а принадлежащие - закрашенным кругом.

Открытый и замкнутый луч

Открытый луч - это множество точек прямой, лежащих по одну сторону от граничной точки, которая не входит в данное множество. Открытым луч называется именно из-за граничной точки, которая ему не принадлежит.

Рассмотрим множество точек координатной прямой, имеющих координату, большую 2, а значит расположенных правее точки 2:

Такое множество можно задать неравенством x > 2. Открытые лучи обозначаются с помощью круглых скобок - (2; +∞), данная запись читается так: открытый числовой луч от двух до плюс бесконечности.

Множество, которому соответствует неравенство x < 2, можно обозначить (-∞; 2) или изобразить в виде луча, все точки которого лежат с левой стороны от точки 2:

Замкнутый луч - это множество точек прямой, лежащих по одну сторону от граничной точки, принадлежащей данному множеству. На чертежах граничные точки, принадлежащие рассматриваемому множеству, обозначаются закрашенным кругом.

Замкнутые числовые лучи задаются нестрогими неравенствами. Например, неравенства x ⩾ 2 и x ⩽ 2 можно изобразить так:

Обозначаются данные замкнутые лучи так: , читается это так: числовой луч от двух до плюс бесконечности и числовой луч от минус бесконечности до двух. Квадратная скобка в обозначении показывает, что точка 2 принадлежит числовому промежутку.

Отрезок

Отрезок - это множество точек прямой, лежащих между двумя граничными точками, принадлежащими данному множеству. Такие множества задаются двойными нестрогими неравенствами.

Рассмотрим отрезок координатной прямой с концами в точках -2 и 3:

Множество точек, из которых состоит данный отрезок, можно задать двойным неравенством -2 ⩽ x ⩽ 3 или обозначить [-2; 3], такая запись читается так: отрезок от минус двух до трёх.

Интервал и полуинтервал

Интервал - это множество точек прямой, лежащих между двумя граничными точками, не принадлежащими данному множеству. Такие множества задаются двойными строгими неравенствами.

Рассмотрим отрезок координатной прямой с концами в точках -2 и 3:

Множество точек, из которых состоит данный интервал, можно задать двойным неравенством -2 < x < 3 или обозначить (-2; 3), такая запись читается так: интервал от минус двух до трёх.

Полуинтервал - это множество точек прямой, лежащих между двумя граничными точками, одна из которых принадлежит множеству, а другая не принадлежит. Такие множества задаются двойными неравенствами:

Обозначаются данные полуинтервалы так: (-2; 3] и [-2; 3), читается это так: полуинтервал от минус двух до трёх, включая 3 , и полуинтервал от минус двух до трёх, включая минус два.

Числовой интервал

Промежуток , открытый промежуток , интервал - множество точек числовой прямой, заключённых между двумя данными числами a и b , то есть множество чисел x , удовлетворяющих условию: a < x < b . Промежуток не включает концов и обозначается (a ,b ) (иногда ]a ,b [ ), в отличие от отрезка [a ,b ] (замкнутого промежутка), включающего концы, то есть состоящего из точек .

В записи (a ,b ) , числа a и b называют концами промежутка. Промежуток включает все вещественные числа , промежуток - все числа меньшие a и промежуток - все числа большие a .

Термин промежуток используется в составе сложных терминов:

• при интегрировании - промежуток интегрирования ,
• при уточнении корней уравнения - промежуток изоляции
• при определении сходимости степенных рядов - промежуток сходимости степенного ряда .

Кстати, в английском языке словом interval называется отрезок . А для обозначения понятия интервала используется термин open interval .

Литература

• Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. М.: «Астрель», «АСТ», 2002

См. также

Ссылки

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Числовой интервал" в других словарях:

От лат. intervallum промежуток, расстояние: В музыке: Интервал отношение высот двух тонов; отношение звуковых частот этих тонов. В математике: Интервал (геометрия) множество точек прямой, заключённых между точками А и В,… … Википедия

< x < b. Промежуток не включает концов и обозначается (a,b)… … Википедия

Промежуток, открытый промежуток, интервал множество точек числовой прямой, заключённых между двумя данными числами a и b, то есть множество чисел x, удовлетворяющих условию: a < x < b. Промежуток не включает концов и обозначается (a,b)… … Википедия

Промежуток, или более точно, промежуток числовой прямой множество вещественных чисел, обладающее тем свойством, что вместе с любыми двумя числами содержит любое, лежащее между ними. С использованием логических символов, это определение… … Википедия

Напомним определения некоторых основных подмножеств действительных чисел. Если, то множество называется отрезком расширенной числовой прямой R и обозначается через, то есть В случае отрезок … Википедия

Последовательность Числовая последовательность это последовательность элементов числового пространства. Числовые пос … Википедия

МИКРОСКОП - (от греч. mikros малый и skopeo смотрю), оптический инструмент для изучения малых предметов, недоступных непосредственному рассмотрению невооруженным глазом. Различают простой М., или лупу, и сложный М., или микроскоп в собственном смысле. Лупа… … Большая медицинская энциклопедия

ГОСТ Р 53187-2008: Акустика. Шумовой мониторинг городских территорий - Терминология ГОСТ Р 53187 2008: Акустика. Шумовой мониторинг городских территорий оригинал документа: 1 Дневной оценочный уровень звука. 2 Вечерний оценочный максимальный уровень звука. 3 Ночной оценочный уровень звукового давления … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Отрезком может называться одно из двух близких понятий в геометрии и математическом анализе. Отрезок множество точек, к … Википедия

Коэффициент корреляции - (Correlation coefficient) Коэффициент корреляции это статистический показатель зависимости двух случайных величин Определение коэффициента корреляции, виды коэффициентов корреляции, свойства коэффициента корреляции, вычисление и применение… … Энциклопедия инвестора