Математические основы квантовой механики. Что означает слово квант? Законы квантовой механики

Квантовая механика микрочастицы, не ограниченная полуклассическим приближением, строится на математическом основании, использующем гильбертого пространство функций , то есть множество функций, для которых определено скалярное произведение в интегральной форме.

Основные положения

Состояние частицы описывается волновой функцией. Множество возможных состояний образует гильбертого пространство.

Волновая функция получается в результате решения уравнения Шредингера.

Физическая величина описывается оператором, действующим в гильбертовом пространстве.

Если состояние частицы является собственной функцией оператора, то есть функция восстанавливается при действии оператора, то результатом измерения величины является собственное значение оператора. Разложение волновой функции по ортонормированному базису собственных функций оператора дает вероятности возможных результатов измерения физической величины.

Квантовая механика в общем случае не дает однозначных результатов для поведения и характеристик частицы, но лишь вероятности этих результатов.

Волновая функция

Состояние частицы описывает комплексная волновая функция  (пси), являющаяся амплитудой вероятности обнаружения частицы:

Детектор частиц регистрирует
. Физический смысл имеют:

– вероятность обнаружения частицы в момент t в объеме
около точки;

– плотность вероятности – вероятность обнаружения частицы в момент t в единичном объеме около точки r .

Выполняется нормировка вероятности

.

Волновая функция:

1) Определена с точностью до постоянного фазового множителя. Состояния
и
, где
, физически не различимы, поскольку
;

2) Квадратично интегрируема, существует
;

3) Удовлетворяет принципу суперпозиции . Если возможны состояния
и
, то возможно состояние

,

где
– комплексные числа, определяющие вероятность обнаружения состояний 1 и 2.

ОператорЫ

Физическая величина A (координата, импульс, энергия и другие) описывается линейным оператором . Исключением является время, которое считается параметром. Подразумевается, что правее оператора находится функция, на которую он действует.

Рассмотрим явный вид операторов координаты и импульса в координатном представлении. Обоснование вида будет дано далее.

Оператор координаты

,
. (2.1)

Действие оператора координаты сводится к умножению функции на координату.

Оператор проекции импульса

,
. (2.2)

Действие оператора импульса сводится к дифференцированию функции по координате и умножению на
.

Свойства линейных операторов:

Умножение на число с

Число можно вынести из под знака действия оператора.

Линейность

где и – числа. Действие оператора на сумму функций равно сумме действий оператора на каждую функцию.

Сложение (вычитание) операторов

. (2.5)

Действие суммы операторов на функцию равно сумме действий каждого оператора на функцию.

Умножение оператора на оператор

Вначале действует ближайший к функции оператор, затем на полученную функцию действует оператор, находящийся левее. Перемножаемые операторы в общем случае не перестановочны, например:

,

.

Перестановочное соотношение , или коммутатор операторов

.

Операторы икоммутируют, если
.

,
,

. (2.7)

С точки зрения автора программы, главной математической основой квантовой механики является спектральная теорема. К большому сожалению, данная теорема, как правило, не входит в курс лекций, читаемых для студентов-физиков. С другой стороны, студентам-математикам не объясняется её смысл с точки зрения квантовой механики. Предлагаемый курс предназначен, прежде всего, для заполнения этого пробела. В конце курса предполагается коснуться теории некоммутативных операторных графов и рассказать о их связи с квантовыми кодами, исправляющими ошибки.

1. Борелевские меры $\mu$ на действительной прямой. Разложение $\mu$ в сумму непрерывной, точечной и сингуларной составляющей. Регулярные меры $\mu$. Пространство непрерывных функций с компактным носителем $C(X)$ на локально компактном Хаусдорфовом пространстве $X$. Теорема Рисса-Маркова-Какутани.
2. Операторы Гильберта-Шмидта и ядерные операторы в гильбертовом пространстве. Спектральное разложение. Теорема Лидского.
3. Меры на решетке ортогональных проекторов. Теорема Глизона.
4. Проекторозначные меры. Положительные операторнозначные меры. Теорема Наймарка о дилатации.
5. Аксиоматика Макки квантовой механики. Квантовые состояния и измерения.
6. Проекторы как квантовые события. Квантовые состояния, ассоциированные с мерами на проекторах.
7. Измерения, ассоциированное с наблюдаемыми (самосопряженными операторами) в силу спектральной теоремы.
8. Пространство волновых функций $L^2(\mu)$, ассоциированных с квантовой наблюдаемой. Формула Борна. Случай квантовых наблюдаемых, являющихся линейными комбинациями операторов координаты и импульса.
9. Квантовые случайные величины. Рандомизация. Теорема Холево об общем виде измерения.
10. Соотношение неопределенностей Шредингера-Робертсона для измерений с конечными вторыми моментами.
11. Тензорные произведения гильбертовых пространств. Составные квантовые системы. Сцепленные и сепарабельные состояния.
12. Классические и квантовые корреляции. Неравенство Белла-Клаузера-Хорна-Шимони. Граница Цирельсона.
13. Квантовые каналы передачи информации. Разложение Крауса. Кодирование и декодирование классической и квантовой информации
14. Линейные пространства, состоящие из ограниченных операторов в гильбертовом пространстве. Теорема об общем виде некоммутативного операторного графа, ассоциированного с квантовым каналом.
15. Квантовые коды, исправляющие ошибки. Квантовые антиклики.

Книга Неймана является первым н до сих пор единственным доведённым до конца опытом изложения аппарата квантовой механики с той последовательностью и строгостью, которой требуют обычно при построении математической теории. Поэтому только существованию этой книги мы обязаны нашей уверенностью в том, что квантовая механика представляет собой логически непротиворечивую схему. В частности, именно в этой книге изложено доказательство знаменитой теоремы о невозможности ввести "скрытые параметры" без кардинальной перестройки всей квантовой механики.
Таким образом, книга будет чрезвычайно ценной для всех глубоко изучающих квантовую механику, в первую очередь для студентов старших курсов и аспирантов, как физиков, так и математиков, а также для научных работников этих же дисциплин.

Возникновение теории преобразований.
Здесь не место указывать на огромные успехи, достигнутые квантовой теорией в период с 1900 по 1925 гг. в ходе развития, над которым господствуют имена Планка, Эйнштейна и Бора).

К концу этого процесса развития представилось ясным и не оставляющим никаких сомнений, что все элементарные процессы, т. е. все происходящее в атомно-молекулярном масштабе, управляются «прерывными» законами квантов. Почти для всех задач имелись и количественные квантово-теоретические методы, которые большей частью вели к результатам, более или менее хорошо согласующимся с опытом. И что имело наибольшее принципиальное значение-само мышление теоретико-физического исследования восприняло ту идею, что господствующий во всем доступном восприятию макрокосмиче-ском мире принцип непрерывности («natura non facit saltus») возникает лишь в результате процесса усреднения в по существу своему прерывном мире - благодаря тому, что человек обычно сразу аппер-цепирует только сумму многих квадрильонов элементарных процессов, так что истинная природа единичного процесса оказывается полностью завуалированной все нивелирующим законом больших чисел.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода
Введение
Глава I. Вводные замечания
1. Возникновение теории преобразований
2. Первоначальные формулировки квантовой механики
3. Эквивалентность двух теорий: Теория преобразований
4. Эквивалентность двух теорий: Гильбертово пространство
Глава II. Общие свойства абстрактного гильбертова пространства
1. Определение абстрактного пространства Гильберта
2. Геометрия гильбертова пространства
3. Отступление: Об условиях А.-Е
4. Замкнутые линейные многообразия
5. Операторы в гильбертовом пространстве
6. Проблема собственных значений
7. Продолжение
8. Предварительное рассмотрение проблемы собственных значений
9 Отступление: О существовании и единственности решения проблемы собственных значений
10. Коммутирующие операторы
11. Шпур
Глава III. Квантовомеханическая статистика
1. Статистические утверждения квантовой механики
2. Статистическая "интерпретация
3. Одновременная измеримость и измеримость вообще
4. Соотношения неопределенности
5. Проекционные операторы как утверждения
6. Теория излучения
Глава IV. Дедуктивное построение теории
1. Принципиальное обоснование статистической теории
2. Доказательство статистических формул
3. Выводы из экспериментов
Глава V. Общее рассмотрение
1. Измерение и обратимость
2. Термодинамические вопросы
3. Вопросы обратимости и равновесия
4. Макроскопическое измерение
Глава VI. Процесс измерения
1. Постановка задачи
2. Составные системы
8. Обсуждение процесса измерения
Дополнен ие. Доказательство эргодической теоремы и H-теоремы в новой механике (Zs. f. Phys. 57, 30-70 (1929))
Введение
I. Квантовомеханическая формулировка основных понятий статистической механики Гиббса
II. Проведение доказательств
III. Обсуждение результатов
Приложение.

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Математические основы квантовой механики, Иоганн фон Нейман, 1964 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

(В этой главе содержатся сведения из математики, необходимые при чтении остальных глав книги. Однако в этих главах есть целый ряд разделов, которые можно читать без детального знания таких сведений, так что не следует отчаиваться, если они покажутся трудными. )

В первой главе уравнение Шредингера для атомной частицы было получено из классического уравнения, соответствующего гармонической стоячей волне, и соотношения де Бройля. Для систем, содержащих много частиц, а также при наличии внешнего электрического и магнитного полей, необходим более общий подход к уравнениям квантовой механики.

Основы квантовой механики лучше всего рассматривать в виде совокупности постулатов, из которых можно вывести уравнения движения. Тогда сами постулаты находят подтверждение в согласии решений полученных уравнений с экспериментом. Рассмотрим систему из n частиц, которая классически описывается заданием в каждый момент времени значений 3n обобщенных координат (q) и 3n обобщенных импульсов (р). Чтобы описывать такую систему в квантовой механике, вводят следующие постулаты:

Постулат 1 . Систему частиц можно характеризовать функцией Ψ(q 1 ... q 3n , t), называемой волновой функцией, через которую определяются все измеряемые величины для системы. Физический смысл имеет величина Ψ * Ψdq 1 ... dq 3n , определяющая вероятность нахождения координат частиц в интервале между *) q 1 ... q 3n и q 1 + dq 1 ... q 3n + dq 3n .

*) (Хотя при изложении теории атома водорода авторы оговорили, что они ограничиваются рассмотрением состояний с отрицательной энергией, здесь, в более строгом изложении, отметим, что данное толкование волновой функции применимо только для функций, которые могут быть подчинены условию нормировки (6.1). Существуют и такие состояния, волновые функции которых квадратично неинтегрируемы и, следовательно, не могут удовлетворять этому условию; в таких случаях величина Ψ * Ψ определяет лишь относительные, но не абсолютные вероятности (см. примечание на стр. 100). - Прим. ред. )

Поскольку каждая частица непременно должна быть в какой-то точке пространства, интегрирование плотности вероятности по всему пространству должно давать единицу. Это выражается условием нормировки

∫ Ψ * Ψ dυ = 1, (6.1)

где dυ = dq 1 ... dq 3n и интеграл берется по всему 3n-мерному пространству.

Постулат 2 . Каждой физически наблюдаемой величине в квантовой механике сопоставляется линейный оператор; обозначим его, например, β . Тогда среднее значение этой наблюдаемой величины определяется как *)

b‾ = ∫ Ψ * β Ψ dυ. (6.2)

*) (Если необходимо преобразовать какую-либо функцию f(х) в другую функцию g(x), то алгебраически это выражается соотношением β f(х) = g(x), где β - оператор. Например,

[+2]x 3 = 2 + х 3 (а); [х] х 3 = х 4 (б); [√] x 3 = x 3 / 2 (в);

X 3 = 3x 2 (г).

Во всех этих выражениях оператор заключен в квадратные скобки. Операторы действуют на функции, расположенные справа от них. Оператор называется линейным, если выполнены условия

β = β f(х) + β g(х) и β kf(х) = kβ f(x),

где k - постоянная. В указанных примерах только (б) и (г) - линейные операторы.)

Правило построения квантовомеханических операторов заключается в следующем: классическое выражение для рассматриваемой величины записывается в переменных р и q, тогда соответствующий квантовомеханический оператор получается заменой p k на

Приведем несколько примеров средних значений вида (6.2).

а) Среднее значение координаты х отдельной частицы

б) Среднее значение x-компоненты импульса отдельной частицы

Следует отметить, что если оператор β - алгебраическая функция координат, как в уравнении (6.3), то не существенно, где именно он расположен в подынтегральном выражении. Если же β - дифференциальный оператор, то его нужно поместить между функциями Ψ * и Ψ так, чтобы он действовал только на функцию Ψ.

Постулат 3 . Для системы, полная энергия которой неизменна во времени (консервативная система), классическое выражение энергии, записанное в переменных q, р, известно как функция Гамильтона. Соответствующий оператор в квантовой механике (т. е. оператор энергии) называется оператором Гамильтона, или гамильтонианом, и обозначается символом

Для консервативных систем волновая функция удовлетворяет уравнению

Ψ(q, t) = EΨ(q, t), (6.5)

где Е - энергия системы - постоянная величина, не зависящая от координат и времени t *).

*) (Консервативная система может и не обладать определенным значением энергии, а характеризоваться некоторым вероятностным распределением по энергии. Волновая функция такого состояния не удовлетворяет уравнению (6.5). Плотность вероятности Ψ 2 будет зависеть от времени, но распределение по энергии остается постоянным. - Прим. ред. )

Заметим, что в обеих частях уравнения (6.5) содержится одна и та же функция Ψ(q, t). Уравнение (6.5) есть уравнение для собственных функций оператора

Е - собственное значение оператора

Ψ - соответствующая собственная функция.

В качестве простого примера уравнения типа (6.5) имеем

Собственные функции оператора

есть e kx , а его собственные значения равны k. С математической точки зрения совершенно бессмысленно сокращать обе части уравнения (6.6) на е kх [или обе части уравнения (6.5) на Ψ] потому, что оператор имеет смысл в уравнении только в том случае, если он действует на функцию.

Постулат 4 . В более общем случае волновая функция удовлетворяет уравнению

Оно называется временным уравнением Шредингера, которое в отличие от уравнения (6.5) справедливо и в том случае, если гамильтониан зависит от времени.

Если функция Ψ известна в некоторый момент времени, то это уравнение позволяет получить значения функции и во все последующие моменты времени. Однако в этой книге не будут рассматриваться процессы, развивающиеся во времени, и такое уравнение не встретится в следующих главах.

Для консервативных систем Ψ удовлетворяет как уравнению (6.5), так и уравнению (6.7), поэтому

Это уравнение имеет в качестве общего решения вид

Поскольку для консервативных систем гамильтониан не содержит времени, можно, подставив выражение (6.9) в уравнение (6.5), сократить на экспоненциальный множитель обе части уравнения и получить, что

Ψ(q) = EΨ(q). (6.10)

Уравнение (6.10) представляет собой записанное в общем виде уравнение Шредингера для так называемого стационарного состояния системы, т. е. состояния, энергия которого не изменяется во времени. Для стационарного состояния можно получить среднее значение любой наблюдаемой величины, используя не зависящие от времени волновые функции Ψ(g), а не более сложные функции Ψ(q, t), так как выражение (6.2) для стационарного состояния имеет вид

если оператор β не зависит от времени.

Функция Гамильтона для электрона с потенциальной энергией V записывается в виде

Тогда, используя правило, определяемое постулатом 2, получим гамильтониан этой системы

а уравнение (6.10), после простых преобразований, приобретает вид

Уравнение (6.14) совпадает с уравнением Шредингера, приведенным в первой главе.

Допустим, что известны два решения уравнения (6.10):

Ψ а = Е а Ψ а;

Ψ b = Е b Ψ b . (6.15)

Если первое уравнение умножим на постоянную λ, а второе - на постоянную μ и сложим, то получим

(λΨ а + μΨ b) = λE a Ψ a + μE b Ψ b . (6.16)

Если правую часть уравнения (6.16) можно было бы представить в виде произведения k(λΨ а + μΨ b), где k - постоянная, то λΨ a + μΨ b также была бы собственной функцией оператора

Однако в общем случае это не так, поэтому линейные комбинации собственных функций сами не являются собственными функциями. Единственным исключением является случай, когда Е а = Е b , так что

(λΨ a + μΨ b) = Е а (λΨ а + μΨ b). (6.17)

Если две или больше собственных функций соответствуют одному и тому же собственному значению, то оно называется вырожденным. В таком случае любая линейная комбинация собственных функций также является собственной функцией гамильтониана. Эта теорема была использована в гл. 3 при переходе от комплексных р- и d-атомных орбиталей к действительным.

Наблюдаемые величины, характеризующие атомные системы, могут быть двух типов: 1) величины, значения которых определены точно, например энергия, которая для любой ограниченной системы имеет только дискретные (квантованные) значения, и 2) величины, для которых в результате любого измерения можно определить по распределению вероятности лишь среднее значение *). Если наблюдаемая величина, характеризуемая оператором β , относится к первому типу, то это означает, что волновые функции системы, являющиеся собственными функциями гамильтониана, есть также и собственные функции оператора β , т. е.

β Ψ = bΨ. (6.18)

*) (Это разделение физических величин на две группы не имеет абсолютного характера: величины, обладающие вполне определенными значениями в некотором состоянии, в других состояниях характеризуются лишь вероятностным распределением значений. - Прим. ред. )

Если же наблюдаемая величина относится ко второму типу, то

β Ψ ≠ bΨ, (6.19)

хотя оператор β и может иметь набор собственных функций (не совпадающих с Ψ). Однако и в этом случае среднее значение наблюдаемой величины можно вычислять по формуле (6.2).

Условием того, что функция Ψ удовлетворяет равенству (6.18), является коммутативность операторов и β , т. е. равенство

βH = Hβ . (6.20)

В общем случае операторы не коммутируют; например, если

и Β = х, то

ΑΒ - ΒΑ = 1. (6.21)

Докажем теперь, что если два оператора коммутируют, то существует набор таких функций, которые являются одновременно собственными функциями обоих операторов. Обозначим собственные функции оператора Α через θ, а собственные функции оператора Β через χ, тогда

Αθ i = а i θ i , (6.22)

Βχ j = b j χ j . (6.23)

Умножая равенство (6.23) слева на Α, получим

ΑΒχ j = Αb j χ j = b j Αχ j . (6.24)

Но если ΑΒ = ΒΑ, то выражение (6.24) превращается в

Β(Αχ j) = b j (Αχ j). (6.25)

Уравнение (6.25) означает, что Αχ j является собственной функцией оператора Β с собственным значением b j . Однако χ j , по определению, есть собственная функция оператора Β с тем же собственным значением b j . Поэтому Αχ j и χ j отличаются постоянным множителем согласно выражению

Αχ j = kχ j , (6.26)

или, если χ j принадлежит набору вырожденных собственных функций, Αχ j является линейной комбинацией функций этого набора:

Αχ j = kχ j + k"χ j" + k″χ j″ , + ...

В невырожденном случае из равенства (6.26) следует, что χ j есть собственная функция оператора Α, т. е. является одной из функций набора 6. В вырожденном случае всегда можно выбрать такие линейные комбинации функций χ j , которые являются собственными функциями оператора Α (и, конечно, оператора Β). Пусть, например, имеет место случай двукратного вырождения и

Αχ j = aχ j + bχ j" ,

Αχ j" = cχ j + dχ j" .

Тогда, если ввести новые постоянные λ, μ, k, k", определенные четырьмя уравнениями

kλ = λa + μc, kμ = λb + μd,

k"μ = μa - λc, kλ = λd - μb,

то окажется, что

Α(λχ j + μχ j") = k(λχ j + μχ j"),

Α(μχ j - λχ j") = k"(χ j - λχ j"),

и эти уравнения определяют собственные функции оператора Α.

Перестановочные соотношения между операторами являются основой многих важных результатов, получаемых в квантовой механике. Например, если два оператора не коммутируют, то не существует набора функций, которые одновременно являются собственными функциями обоих операторов, и, следовательно, нельзя провести такой эксперимент, в котором можно точно измерить величины, соответствующие обоим операторам. Принцип неопределенности Гейзенберга, сформулированный в гл. 1, является примером этого. Поскольку операторы х и

не коммутируют [см. равенство (6.21)], частица не может иметь одновременно точные значения и координаты х и импульса р х.

В квантовой механике класс собственных функций всегда ограничен функциями однозначными, непрерывными и нормированными *) (назовем их функциями класса Q). Эти условия необходимо наложить на собственные функции для того, чтобы плотность вероятности была функцией, ведущей себя надлежащим образом. В результате измерений получаются действительные числа, поэтому надо также наложить соответствующее ограничение на операторы, т. е. потребовать, чтобы для всех квантовомеханических операторов средние значения, вычисленные по выражению (6.2), были действительными. Если

b‾ = ∫ Ψ * ΒΨ dυ, (6.27)

то, беря комплексно сопряженные величины от обеих частей равенства, получим

(b‾) * = ∫ ΨΒ * Ψ * dυ,. (6.28)

*) (Условие нормировки собственных функций является слишком жестким и должно быть заменено требованием конечности ее значений во всей области изменения переменных. Свойством квадратичной интегрируемости обладают только собственные функции оператора, соответствующие дискретным собственным значениям. - Прим. ред. )

Но если (b‾ = b‾) * , что справедливо только для действительных чисел, то

∫ Ψ * ΒΨ dυ = ∫ ΨΒ * Ψ * dυ. (6.29)

В более общем случае можно показать, что оператор должен удовлетворять условию

∫ Ψ 1 * ΒΨ 2 dυ = ∫ Ψ 2 Β * Ψ 1 * dυ, (6.30)

где Ψ 1 и Ψ 2 - произвольные функции класса Q.

Оператор, удовлетворяющий условию (6.30) для любых функций класса Q, называется эрмитовским *). Если строить квантовомеханический оператор на основе классического выражения для наблюдаемой величины, используя постулат 2, то необходимо расположить отдельные члены в операторе таким образом, чтобы он был эрмитовским. Например, если классическое выражение имеет вид хр х, то квантовомеханический оператор записывается не как

(этот оператор не является эрмитовским), а в виде

(эрмитовский оператор). Другими словами, основываются на симметризованном классическом выражении

Можно действовать и иначе, исходя из выражения х 1/2 p х x 1/2 , однако только эксперимент покажет, какое из этих выражений дает правильный вид квантовомеханического оператора.

*) (Такой оператор часто называют также самосопряженным. - Прим. перев. )

Собственные функции и собственные значения эрмитовских операторов обладают тремя важными свойствами:

1. Собственные значения эрмитовских операторов действительны. Это следует из соотношений (6.27)-(6.29), если Ψ - собственная функция оператора Β.

2. Если две собственные функции эрмитовского оператора соответствуют различным собственным значениям, то эти функции ортогональны, т. е. если

ΒΨ 1 = b 1 Ψ 1 (6.31)

ΒΨ 2 = b 2 Ψ 2 , (6.32)

∫ Ψ 2 * Ψ 1 dυ = 0. (6.33)

Чтобы доказать это соотношение, возьмем комплексно сопряженные величины от обеих частей равенства (6.32):

Β * Ψ 2 * = b 2 Ψ 2 * . (6.34)

Умножим обе части равенства (6.31) слева на Ψ 2 * и проинтегрируем по всему пространству; аналогично умножим обе части равенства (6.34) слева на Ψ 1 и также проинтегрируем; вычитая полученные выражения одно из другого, имеем

∫ Ψ 2 * ΒΨ 1 dυ - ∫ Ψ 1 Β * Ψ 2 * dυ = (b 1 - b 2) ∫ Ψ 2 * Ψ 1 dυ. (6.35)

Но в силу эрмитовости оператора Β левая часть равенства (6.35) обращается в нуль. Отсюда следует, что если b 2 ≠ b 1 , то выполняется уравнение (6.33).

Понятие ортогональности встречается в векторной алгебре; если два вектора а и b образуют между собой угол 90°, то скалярное произведение векторов обращается в нуль, т. е. а·b = 0, и векторы называют ортогональными. Это означает, что если выразить вектор а через другие векторы пространства, то это выражение не будет содержать вектора b; иначе говоря, векторы а и b совершенно независимы друг от друга. Аналогично если собственные функции ортогональны, то это означает, что они независимы: ни одна из них не содержит примеси другой.

Попытаемся представить одну из собственных функций эрмитовского оператора в виде линейной комбинации всех остальных собственных функций, т. е.

Ψ 1 = ∑ i≠1 с i1 Ψ. (6.36)

Тогда, умножая обе части равенства (6.36) на Ψ j * (j ≠ 1) и интегрируя по всему пространству, получим

∫ Ψ j * Ψ 1 dυ = ∑ i≠1 с i1 ∫ Ψ j * Ψ i dυ. (6.37)

Однако в силу условия ортогональности собственных функций левая часть равенства обращается в нуль, а единственный, отличный от нуля интеграл в правой части получается при i = j. Отсюда следует, что с j1 = 0, что и означает линейную независимость функций Ψ 1 и Ψ j , причем это верно для любых j.

Условия ортогональности и нормировки собственных функций можно объединить в одно выражение

∫ Ψ i * Ψ j dυ = δ ij , (6.38)

где δ ij называется символом Кронекера: он равен нулю, если i ≠ j и единице, когда i = j. Набор функций, удовлетворяющих условию (6.38), называется ортонормированным.

3. Собственные функции Θ i эрмитовского оператора образуют полную систему функций, по которой можно разложить любую функцию, удовлетворяющую тем же граничным условиям, что и собственные функции. Таким образом, разложение

Ψ = ∑ i c i Θ i (6.39)

является точным, если суммирование проведено по всем собственным функциям (это бесконечная сумма). Доказательства этого утверждения в общем виде не существует, однако оно справедливо для эрмитовских операторов, встречающихся в квантовой механике. Как будет видно из следующего раздела, а также из других глав этой книги, метод разложения по некоторой системе функций является наиболее распространенным способом получения приближенных решений уравнения Шредингера.