Площадь октаэдра. Октаэдр - правильные многогранники (методическая разработка)
Правильный октаэдр имеет 8 треугольных граней, 12 рёбер, 6 вершин, в каждой его вершине сходятся 4 ребра.
Размеры
Если длина ребра октаэдра равна а , то радиус сферы, описанной вокруг октаэдра, равен:
r u = a 2 2 ≈ 0.7071067 ⋅ a {\displaystyle r_{u}={\frac {a}{2}}{\sqrt {2}}\approx 0.7071067\cdot a} ,радиус вписанной в октаэдр сферы может быть вычислен по формуле:
r i = a 6 6 ≈ 0.4082482 ⋅ a . {\displaystyle r_{i}={\frac {a}{6}}{\sqrt {6}}\approx 0.4082482\cdot a.}| Центрированы | Ребром | Нормалью к грани |
Вершиной | Гранью |
|---|---|---|---|---|
| Образ |  |
 |
||
| Проективная симметрия |
Сферическая мозаика
Октаэдр можно представить, как сферическую мозаику и спроецировать на плоскость с помощью стереографической проекции . Эта проекция конформна , сохраняет углы, но не длины и площадь. Отрезки на сфере отображаются в дуги окружностей на плоскости.
 |
 треугольно -центрированная |
| Ортогональная проекция | Стереографическая проекция |
|---|
Декартовы координаты
Октаэдр с длиной ребра 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} может быть помещён в начало координат, так что его вершины будут лежать на осях координат. Декартовы координаты вершин тогда будут
(±1, 0, 0); (0, ±1, 0); (0, 0, ±1).
Октаэдр уникален среди платоновых тел в том, что только он имеет чётное число граней при каждой вершине. Кроме того, это единственный член этой группы, который имеет плоскости симметрии, не пересекающие ни одну грань.
Если использовать стандартную терминологию многогранников Джонсона , октаэдр можно назвать квадратной бипирамидой . Усечение двух противоположных вершин приводит к усечённой бипирамиде .
- Октаэдр можно вписать в тетраэдр, притом четыре из восьми граней октаэдра будут совмещены с четырьмя гранями тетраэдра, все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести ребер тетраэдра.
- Октаэдр можно вписать в куб, притом все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести граней куба.
- В октаэдр можно вписать куб, притом все восемь вершин куба будут расположены в центрах восьми граней октаэдра.
Однородное раскрашивание и симметрия
Имеется 3 однородных раскрашивания октаэдра, названных по их цветам граней: 1212, 1112, 1111.
Группой симметрии октаэдра является O h с порядком 48, трёхмерная гипероктаэдральная группа . В подгруппы этой группы входят D 3d (порядка 12), группа симметрии треугольной антипризмы , D 4h (порядка 16), группа симметрии квадратной бипирамиды , и T d (порядка 24), группа симметрии . Эти симметрии можно подчеркнуть путём различного раскрашивания граней.
| Название | Октаэдр | Полностью усечённый тетраэдр (Тетратетраэдр) |
Треугольная антипризма | Квадратная бипирамида | Ромбическая бипирамида |
|---|---|---|---|---|---|
| Рисунок (Раскраска граней) |
 (1111) |
 (1212) |
 (1112) |
 (1111) |
 (1111) |
| Диаграмма Коксетера | = | ||||
Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!
Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.
Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.
Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.
Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.