Построение графика функции у f kx. Как построить график функции у = f(kx), если известен график функции — Гипермаркет знаний

>> Как построить график функции у = f(kx), если известен график функции

§13. Как построить график функции у = f(kx), если известен график функции

В этом параграфе мы познакомимся еще с одним преобразованием, позволяющим, зная график функции у = /(х), довольно быстро строить график функции у = f(Ах), где к - любое действительное число (кроме нуля). Рассмотрим несколько случаев.

Задача 1. Зная график функции у = f(х), построить график функции у - f(кх), где к - положительное число.
Чтобы вам было проще понять суть дела, рассмотрим конкретный пример, когда к =2. Как построить график функции у = f(2х), если известен график функции у = f(х)?

Пусть на графике функции у = f(x) имеются точки (4; 7) и (-2; 3). Это значит, что f(4) = 7 и f(-2) = 3. Куда переместятся точки, когда мы строим график функции у = f(2х)? Смотрите (рис. 50): если х =2, то у = f(2х) = f(2 2) = f(4) = 7. Значит, на графике функции у = f(2х) есть точка (2; 7). Далее, если х = -1, то у = f(2х) = Д-1- 2) = f(-2) = 3. Значит, на графике функции у = f(2х) есть точка (-1; 3). Итак, на графике функции у = f(х)есть точки (4; 7) и (-2; 3), а на графике функции у = f(2х) есть точки (2; 7) и (- 1; 3), т.е. точки с той же ординатой.

но в два раза меньшей (по модулю) абсциссой. Так же обстоит дело и с другими точками графика функции у = f(x), когда мы переходим к графику функции у = f(2х) (рис. 51). Такое преобразование называют обычно сжатием к оси у с 1 коэффициентом 2.

Вообще, график функции у = f(кх) получается из графика функции у-f(х) с помощью сжатия к оси у с коэффициентом к. Отметим, что при этом преобразовании остается на месте точка пересечения графика функции у = f(х) с осью у (если х =0, то и кх =0).

Впрочем, если к < 1, то предпочитают говорить не о сжатии с коэффициентом к, а о растяжении от оси у с коэффициентом

Пример 1. Построить графики функций:

Решение: а) Построим полуволну графика функции у = sin x и осуществим ее растяжение от оси у с коэффициентом 2; получим одну полуволну искомого графика функции (рис. 52). Затем построим весь график (рис. 53).

б) Построим полуволну графика функции у =соs х и осуществим ее сжатие к оси у с коэффициентом 2; получим одну полуволну искомого графика функции у=соs 2х (рис. 54). Затем построим весь график (рис. 55).

Задача 2. Зная график функции у = f(х), построить график функции у = f(kх), где к =-1. Иными словами, речь идет о построении графика функции у = f(-x).

Предположим, что на графике функции у = f(х) есть точки (3; 5) и (-6; 1). Это значит, что f(З) = 5, а f(-6) = 1. Соответственно на графике функции у = f(-х)имеется точка (-3; 5), так как при подстановке в формулу у = f(-х) значения х = -3 получим у = f(З) = 5. Аналогично убеждаемся, что графику функции у = f(-х) принадлежит точка (6; 1).

Итак, точке (3; 5), принадлежащей графику функции у = f(х), соответствует точка (-3; 5), принадлежащая графику функц ии у = f(-х); точке (-6; 1), принадлежащей графику функции у = f(х), соответствует точка (6; 1), принадлежащая графику функции у = f(-х). Указанные пары точек симметричны относительно оси у (рис. 56).

Обобщая эти рассуждения, приходим к следующему выводу: график функции у = f(-х) можно получить из графика функции " у = f(х) с помощью преобразования симметрии относительно оси у.

Замечание. Если речь идет о построении графика функции у = f(-х), то обычно сначала проверяют, является ли функция у = f(х)четной или нечетной. Если у = f(х) - четная функция, т.е. f(-х)= f(х), то график функции у = f(-х) совпадает с графиком функции у = f(х). Если у = f(х) - нечетная функция, т.е. f(-х) = -f(х), то вместо графика функции у = f(-х) можно построить график функции у = -f(х).

Задача 3. Зная график функции у = f(х), построить график функции у = f(кх), где к - отрицательное число.
Так как в этом случае справедливо равенство f(кх) = f(-\к\х), то речь идет о построении графика функции у = f(-\к\х). Это можно сделать в три шага:

1) построить график функции у =f(х);
2) осуществить его сжатие (или растяжение) к оси у с коэффициентом | к |;
3) сжатый (или растянутый) график подвергнуть преобразованию симметрии относительно оси у.

Пример 2. Построить график функции у = -3 соs (~2х).

Решение. Заметим прежде всего, что соз (-2х)=соз2х.
1) Построим график функции у =созх, точнее, одну полуволну графика (рис. 57а. Все предварительные построения обозначены пунктирными линиями).
2) Осуществим растяжение построенного графика от оси х с коэффициентом 3; получим одну полуволну графика функции у=Зсоs х.
3) Подвергнем построенную полуволну графика функции у = 3 соs х преобразованию симметрии относительно оси х; получим полуволну графика функции у = -Зсоs х.
4) Осуществим для полуволны графика функции у =-Зсоs х сжатие к оси у с коэффициентом 2; получим полуволну графика функции у = -Зсоs2х (на рис. 57а сплошная линия).
5) С помощью полученной полуволны построим весь график (рис. 576).

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн , Математика в школе скачать

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

Параллельный перенос.

ПЕРЕНОС ВДОЛЬ ОСИ ОРДИНАТ

f(x) => f(x) - b
Пусть требуется построить график функции у = f(х) - b. Нетрудно заметить, что ординаты этого графика для всех значений x на |b| единиц меньше соответствующих ординат графика функций у = f(х) при b>0 и на |b| единиц больше - при b 0 или вверх при b Для построения графика функции y + b = f(x) следует построить график функции y = f(x) и перенести ось абсцисс на |b| единиц вверх при b>0 или на |b| единиц вниз при b

ПЕРЕНОС ВДОЛЬ ОСИ АБСЦИСС

f(x) => f(x + a)
Пусть требуется построить график функции у = f(x + a). Рассмотрим функцию y = f(x), которая в некоторой точке x = x1 принимает значение у1 = f(x1). Очевидно, функция у = f(x + a) примет такое же значение в точке x2, координата которой определяется из равенства x2 + a = x1, т.е. x2 = x1 - a, причем рассматриваемое равенство справедливо для совокупности всех значений из области определения функции. Следовательно, график функции у = f(x + a) может быть получен параллельным перемещением графика функции y = f(x) вдоль оси абсцисс влево на |a| единиц при a > 0 или вправо на |a| единиц при a Для построения графика функции y = f(x + a) следует построить график функции y = f(x) и перенести ось ординат на |a| единиц вправо при a>0 или на |a| единиц влево при a

Примеры:

1.y=f(x+a)

2.y=f(x)+b

Отражение.

ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИИ ВИДА Y = F(-X)

f(x) => f(-x)
Очевидно, что функции y = f(-x) и y = f(x) принимают равные значения в точках, абсциссы которых равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку. Иначе говоря, ординаты графика функции y = f(-x) в области положительных (отрицательных) значений х будут равны ординатам графика функции y = f(x) при соответствующих по абсолютной величине отрицательных (положительных) значениях х. Таким образом, получаем следующее правило.
Для построения графика функции y = f(-x) следует построить график функции y = f(x) и отразить его относительно оси ординат. Полученный график является графиком функции y = f(-x)

ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИИ ВИДА Y = - F(X)

f(x) => - f(x)
Ординаты графика функции y = - f(x) при всех значениях аргумента равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку ординатам графика функции y = f(x) при тех же значениях аргумента. Таким образом, получаем следующее правило.
Для построения графика функции y = - f(x) следует построить график функции y = f(x) и отразить его относительно оси абсцисс.

Примеры:

1.y=-f(x)

2.y=f(-x)

3.y=-f(-x)

Деформация.

ДЕФОРМАЦИЯ ГРАФИКА ВДОЛЬ ОСИ ОРДИНАТ

f(x) => k f(x)
Рассмотрим функцию вида y = k f(x), где k > 0. Нетрудно заметить, что при равных значениях аргумента ординаты графика этой функции будут в k раз больше ординат графика функции у = f(x) при k > 1 или 1/k раз меньше ординат графика функции y = f(x) при k Для построения графика функции y = k f(x) следует построить график функции y = f(x) и увеличить его ординаты в k раз при k > 1(произвести растяжение графика вдоль оси ординат) или уменьшить его ординаты в 1/k раз при k
k > 1 - растяжение от оси Ох
0 - сжатие к оси OX

ДЕФОРМАЦИЯ ГРАФИКА ВДОЛЬ ОСИ АБСЦИСС

f(x) => f(k x)
Пусть требуется построить график функции y = f(kx), где k>0. Рассмотрим функцию y = f(x), которая в произвольной точке x = x1 принимает значение y1 = f(x1). Очевидно, что функция y = f(kx) принимает такое же значение в точке x = x2, координата которой определяется равенством x1 = kx2, причем это равенство справедливо для совокупности всех значений х из области определения функции. Следовательно, график функции y = f(kx) оказывается сжатым (при k 1) вдоль оси абсцисс относительно графика функции y = f(x). Таким образом, получаем правило.
Для построения графика функции y = f(kx) следует построить график функции y = f(x) и уменьшить его абсциссы в k раз при k>1 (произвести сжатие графика вдоль оси абсцисс) или увеличить его абсциссы в 1/k раз при k
k > 1 - сжатие к оси Оу
0 - растяжение от оси OY

Работу выполнили Чичканов Александр, Леонов Дмитрий под руководством Ткач Т.В, Вязовова С.М, Островерховой И.В.
©2014

Материал, представленный в видеоуроке, является продолжением темы построения графиков функций путем различных преобразований. Мы рассмотрим, как строится график функции y= f (kx ), если известен график функции у= f (x ) . В данном случае k - любое действительное число, не равное нулю.

Вначале рассмотрим случай, когда k - положительное число. Для примера построим график функции у= f (3 x ) , если график функции у= f (х) у нас есть. На рисунке на оси координат изображен график у= f (х ), на котором есть точки с координатами А и В. Выбирая произвольные значения х и подставляя их в функцию у= f (3 x ), находят соответствующие значения функции у . Таким образом, получают точки графика функции у= f (3 x ) А 1 и В 1 , у которых ординаты такие же, как у точек А и В. То есть мы можем сказать, что из графика функции у= f (x ) путемсжатия с коэффициентом k к оси ординат можно получить график функции y= f (kx ) . Важно отметить, что точки пересечения с осью ординатпри сжатии остаются на прежнем месте.

В случае, когда k - отрицательное число, график функции y= f (kx ) преобразовывается из графика функции у= f (x ) путем растяжения от оси ординат с коэффициентом 1/ k .

1) вначале строится часть волны графика функции у = sin х (см. рисунок);

2) т.к. k = 2, выполняется сжатие графика функции у= sinx к оси ординат, коэффициент сжатия равен 2. Находим точку пересечения с осью x . Т.к. график функции у = sin х пересекает ось абсцисс в точке π, то график функции у = sin 2 х пересекает ось абсцисс в точке π/k = π/2.Аналогичным способом находятся все остальные точки графика функции у = sin 2x и по этим точкам строится весь график.

Рассмотрим 2-й пример - построение графика функции у = cos (x/2) .

1) строим часть волны графика функции у = cosх (см. рисунок);

2) т.к. k =1/2, выполняем растяжение графика функции у = sin х от оси ординат с коэффициентом ½.

Найдем точку пересечения графика с осью х . Т.к. график функции у = cos х пересекает ось абсцисс в точке π/2, то график функции у = cos (x/2) пересекает ось абсцисс в точке π. Таким же образом находим все остальные точки графика функции у = cos (x/2) , построим по этим точкам весь график.

Далее рассмотрим вариант построения графика функции y = f (kx ), где k - число отрицательное. Например, при k = -1 функция y = f (kx ) = f (- x ). На рисунке изображен график у= f (х), на котором есть точки с координатами А и В. Выбрав произвольные значения х и подставив их в функцию y = f (- x ), находим соответствующие значения функции у . Получим точки графика функции y = f (- x ) А 1 и В 1 , которые будут симметричны точкам А и В относительно оси ординат. То есть при использовании симметрии относительно оси ординат из графика функции у= f (kx ) получаем график функции y= f (- x ).

Переходим к построению графика функции y = f (kx ) при k<0 на примере функции у = 4 sin (- x/2).

1) построим часть волны графика у = sin х ;

2) т.к. k = 4, выполним растяжение полуволны графика относительно оси абсцисс, где коэффициент растяжения равен 4;

3) выполним симметричное преобразование относительно оси абсцисс;

4) произведем растяжение от оси ординат (коэффициент растяжения равен 2);

5) завершим построение всего графика.

В данном видеоуроке мы подробно рассмотрели, каким образом поэтапно можно построить график функции y= f (kx ) при разных значениях k .

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:

Сегодня познакомимся с преобразованием, которое поможет научиться строить график функции у = f (kx)

(игрек равен эф от аргумента, который представляет произведение ка и икс), если известен график функции у = f (x) (игрек равно эф от икс), где ка - любое действительное число (кроме нуля)».

1) Рассмотрим случай, когда k - положительное число на конкретном примере, когда k = 3.То есть нужно построить график функции

у = f (3x) (игрек равен эф от трех икс), если известен график функции у = f (x). Пусть на графике функции у = f (x) есть точка А с координатами (6; 5) и В с координатами (-3; 2). Это значит, что f (6) = 5 и f (- 3) = 2 (эф от шести равно пяти и эф от минус трех равно двум). Проследим за перемещением этих точек при построении графика функции у = f (3x).

Возьмем произвольное значение х = 2, вычислим у, подставив значение х в график функции у = f (3x) , получим, что у = 5. (на экране: у = f (3x) = f (3∙2)= f (6) = 5.) То есть на графике функции у= f (3x) есть точка с А 1 координатами (2; 5). Если же х = - 1, то подставив значение х в график функции у = f (3x), получим значение у= 2.

(На экране: у = f (3x) = f (- 1∙ 3) = f (- 3) = 2.)

То есть на графике функции у= f (3x) есть точка с координатами В 1 (- 1; 2). Итак, на графике функции у = f (3x) есть точки с той же ординатой, что и на графике функции у = f (x), при этом абсцисса точки в два раза меньше по модулю.

То же будет справедливо и для других точек графика функции у = f (x), когда мы будем переходить к графику функции у = f (3x).

Обычно такое преобразование называют сжатием к оси у(игрек) с коэффициентом 3.

Следовательно, график функции у = f (kx) получается из графика функции у = f (x) с помощью сжатия к оси у(игрек) с коэффициентом k. Заметим, что при таком преобразовании на месте остается точка пересечения графика функции у = f (x) с осью ординат.

Если же k меньше единицы, то говорят не о сжатии с коэффициентом k, а о растяжении от оси у с коэффициентом (то есть, если k = , то говорят о растяжении с коэффициентом 4).

ПРИМЕР 1. Построить график функции у = sin 2x (игрек равен синусу двух икс).

Решение. Вначале построим полуволну графика у = sin x на промежутке от ноля до пи. Так как коэффициент равен двум, а значит k - положительное число больше единицы, значит осуществим сжатие графика функции у = sin x к оси ординат с коэффициентом 2. Найдем точку пересечения с осью ОХ. Если график функции у = sin x пересекает ось ОХ в точке π, то график функции у = sin 2x будет пересекать в точке (π: k =π: 2 =)(пи делим на ка равно пи деленное на два равно пи на два). Аналогичным способом найдем все остальные точки графика функции у = sin2 x. Так, точке графика функции у = sin x с координатами (;1) будет соответствовать точка графика функции у = sin 2x с координатами (;1). Таким образом получим одну полуволну графика функции у = sin 2x. Используя периодичность функции построим весь график.

ПРИМЕР 2. Построить график функции у = cos (игрек равен косинусу частного икс и двух).

Решение. Вначале построим полуволну графика у = cos x. Так как k - положительное число меньше е единицы, значит осуществим растяжение графика функции у = cos x от оси ординат с коэффициентом 2.

Найдем точку пересечения с осью ОХ. Если график функции у = cos x пересекает ось ОХ в точке, то график функции у = cos будет пересекать в точке π. (: k =π: = π). Аналогичным способом найдем все остальные точки графика функции у = cos. Таким образом получим одну полуволну искомого графика функции. Используя периодичность функции построим весь график.

Рассмотрим случай, когда k равно минус единице. То есть нужно построить график функции у = f (-x) (игрек равен эф от минус икс), если известен график функции у = f (x). Пусть на графике есть точка А с координатами (4; 5) и точка В (-5; 1). Это значит, что f (4) = 5 и f (- 5) = 1.

Так как при подстановке в формулу у = f (-x) вместо х = - 4 получим у = f (4) = 5, то на графике функции у = f (-x) есть точка с координатами А 1

(- 4 ; 5) (минус четыре, пять). Аналогично, графику функции у = f (-x) принадлежит точка В 1 (5; 1).То есть графику функции у = f (x) принадлежат точки А(4; 5) и В(-5; 1), а графику функции у = f (-x) принадлежат точки А 1 (- 4; 5) и В 1 (5; 1). Эти пары точек симметричны относительно оси ординат.

Следовательно, график функции у = f (-x) с помощью преобразования симметрии относительно оси ординат можно получить из график функции у = f (x).

3) И, наконец, рассмотрим случай, когда k - отрицательное число. Учитывая, что равенство f (kx) = f (- |k|x) (эф от произведения ка на икс равно эф от произведения минус модуля ка и икса) справедливое, то речь идет о построении графика функции у = f (- |k|x), который можно построить поэтапно:

1) построить график функции у = f (x);

2) построенный график подвергнуть сжатию или растяжению к оси ординат с коэффициентом |k| (модуль ка);

3) осуществить преобразование симметрии относительно оси у

(игрек) полученного во втором пункте графика.

ПРИМЕР 3. Построить график функции у = 4 sin (-) (игрек равно четыре, умноженное на синус частного минус икс на два).

Решение. Прежде всего вспомним, что sin(- t) = -sint(синус от минус тэ равно минус синусу тэ), значит, у = 4 sin (-) = - 4 sin (игрек равен минус четырем, умноженным на синус частного икс на два). Строить будем поэтапно:

1) Построим одну полуволну графика функции у= sinх.

2) Осуществим растяжение построенного графика от оси абсцисс с коэффициентом 4 и получим одну полуволну графика функции

у= 4sinх(игрек равно четыре, умноженное на синус икс).

3) К построенной полуволне графика функции у= 4sinх применим преобразование симметрии относительно оси х(икс) и получим полуволну графика функции у= - 4sinх.

4) Для полуволны графика функции у= - 4sinх осуществим растяжение от оси ординат с коэффициентом 2; получим полуволну графика функции - 4 sin .

5) С помощью полученной полуволны построим весь график.

2. Если же 0 < k < 1, то точка лежит враз дальше от осиOY по сравнению с точкой
(рис. 3.8). Таким образом, происходит сжатие или растяжение графика функции.

Y Y

y

y

0 x X 0 x X

Рис. 3.7 Рис. 3.8

Правило 2. Пусть k > 1. Тогда график функции f(kx) получается из графика функции f(x) путем его сжатия вдоль оси OX в k раз (иначе: его сжатием к оси OY в k раз).

Пусть 0 < k < 1. Тогда график f(kx) получается из графика f(x) путем его растяжения вдоль оси OX в раз.

Примеры. Построить графики функций: 1)
и
;

2)
и
.

Y Y

p/2 (2) (1) (3)

2 -1 0 ½ 1 2 x 0 p/2 p 2p x

Рис. 3.9 Рис. 3.10

Замечание. Обратите внимание: точка , лежащая на осиOY, остается на месте. Действительно, всякой точке N(0, y) графика f(x) соответствует точка
графикаf(kx).

График функции
получается растяжением графика функции
от осиOY в 2 раза. При этом снова точка остается без изменения (кривая (3) на рис. 3.9).

Построение графика функции y=f(-x).

Функции f(x) и f(-x) принимают равные значения для противоположных значений аргумента x. Следовательно, точки N(x;y) и M(-x;y) их графиков будут симметричны относительно оси OY.

Правило 3. Чтобы построить график f(-x), надо график функции f(x) зеркально отразить относительно оси OY.

Примеры. Построить графики функций
и
.

Решения показаны на рис. 3.11 и 3.12.

Y
Y

Рис. 3.11 Рис. 3.12

Построение графика функции y=f(-kx), где k > 0.

Правило 4. Строим график функции y=f(kx) в соответствии с правилом 2. График функции f(kx) зеркально отражаем от оси OY в соответствии с прави-

лом 3. В результате получим график функции f(-kx).

Примеры. Построить графики функций

.

Решения показаны на рис. 3.13 и 3.14.

p

1/2 0 1/2 x -p/2 0 p/2 x

Рис. 3.13 Рис. 3.14

Построение графика функции
, гдеA > 0. Если A > 1, то для каждого значения
ордината заданной функции в А раз больше, чем ордината основной функцииf(x). В этом случае происходит растяжение графика f(x) в А раз вдоль оси OY (иначе: от оси OX).

Если же 0 < A < 1, то происходит сжатие графика f(x) в раз вдоль осиOY (или от оси OX).

Правило 5. Пусть A > 1. Тогда график функции
получается из графикаf(x) путем его растяжения в А раз вдоль оси OY (или от оси OX).

Пусть 0 < A < 1. Тогда график функции
получается из графикаf(x) путем его сжатия в раз вдоль осиOY (или к оси OX).

Примеры. Построить графики функций 1)
,
и 2)
,

.

Y
Y

2

1

1
0 p/2 p p/3 p x

Рис. 3.15 Рис. 3.16

Построение графика функции
.

Для каждого
точкиN(x,y) функцииf(x) иM(x, -y) функции -f(x) симметричны относительно осиOX, поэтому получаем правило.

Правило 6. Для построения графика функции
надо график
зеркально отразить относительно осиOX.

Примеры. Построить графики функций
и
(рис. 3.17 и 3.18).

Y Y

1

0 1 x 0 π /2 π 3π/2 2π x

Рис. 3.17 Рис. 3.18

Построение графика функции
, гдеA>0.

Правило 7. Строим график функции
, гдеA>0, в соответствии с правилом 5. Полученный график отражаем зеркально от оси OX в соответствии с правилом 6.

Построение графика функции
.

Если B>0, то для каждого
ордината заданной функции наB единиц больше, чем ордината f(x). Если же B<0, то для каждого
ордината первой функции уменьшается наединиц по сравнению с ординатойf(x). Таким образом, получаем правило.

Правило 8. Чтобы построить график функции
по графикуy=f(x), надо этот график перенести вдоль оси OY на В единиц вверх, если B>0, или на единиц вниз, еслиB<0.

Примеры. Построить графики функций: 1) и

2)
(рис. 3.19 и 3.20).

Y

2

2

0 x 0 π/2 π 3π/2 2π x

Рис. 3.19 Рис. 3.20

Схема построения графика функции .

Прежде всего запишем уравнение функции в виде
и обозначим
. Тогда график функциистроим по следующей схеме.

Строим график основной функции f(x).

В соответствии с правилом 1 строим график f(x-a).

Путем сжатия или растяжения графика f(x-a) с учетом знака k по правилам 2-4 строим график функции f .

Обратите внимание: сжатие или растяжение графика f(x-a) происходит относительно прямой x=a (почему?)

Обратите внимание: на каждом шаге построения в качестве графика основной функции выступает предыдущий график.

Пример. Построить график функции
. Здесьk=-2, поэтому
. Учитывая нечетность
, имеем
.

(рис. 3.21).

π/2

π/2

1 0 1/2 3/2 x 0 1 3/2 2 x

-π/2 -π/2

Рис. 3.21 Рис. 3.22

Y Y

π/2

0 1 3/2 2 x -π/2 0 π/2 x

Рис. 3.23 Рис. 3.24

Задача 2.

Построение графиков функций, содержащих знак модуля.

Решение этой задачи также состоит из нескольких этапов. При этом необходимо помнить определение модуля:

Построение графика функции
.

Для тех значений
, для которых
, будет
. Поэтому здесь графики функций
иf(x) совпадают. Для тех же
, для которыхf(x)<0, будет
. Но график -f(x) получается из графика f(x) зеркальным отражением от оси OX. Получаем правило построения графика функции
.

Правило 9. Строим график функции y=f(x). После этого ту часть графика f(x), где
, оставляем без изменения, а ту его часть, гдеf(x)<0, зеркально отражаем от оси OX.

Замечание. Обратите внимание, что график
всегда лежит выше осиOX или касается ее.

Примеры. Построить графики функций

(рис. 3.24, 3.25, 3.26).

Y Y

2

Рис. 3.25 Рис. 3.26

Построение графика функции
.

Так как
, то
, то есть задана четная функция, график которой симметричен относительно осиOY.

Правило 10. Строим график функции y=f(x) при
. Отражаем построенный график от осиOY. Тогда совокупность двух полученных кривых даст график функции
.

Примеры. Построить графики функций

(рис.3.27, 3.28, 3.29)

Y Y Y

-π/2 0 π/2 x -2 0 2 x -1 1 x

Рис. 3.27 Рис. 3.28 Рис. 3.29

Построение графика функции
.

Строим график функции
по правилу 10.

Строим график функции
по правилу 9.

Примеры. Построить графики функций
и
.

Отрицательную часть графика отражаем от оси OX. График
изображен на рис. 3.30.

Y Y

2 0 2 x -1 0 1 x

Рис. 3.30 Рис. 3.31

2. Строим график функции
(рис. 3.29).

Отражаем отрицательную часть графика от оси OX. График
изображен на рис. 3.31.

При построении графика функции, содержащей знаки модуля, весьма существенно знать промежутки знакопостоянства функции. Поэтому решение каждой задачи необходимо начинать с определения этих промежутков.

Пример. Построить график функции
.

Область определения . Выраженияx+1 и x-1 изменяют свои знаки в точках x=-1 и x=1. Поэтому область определения разобьем на четыре промежутка:

Учитывая знаки x+1 иx-1, имеем

;

;

.

Таким образом, функцию можно записать без знаков модуля следующим образом:

Функциям
соответствуют гиперболы, а функцииy=2 – прямая линия. Дальнейшее построение можно провести по точкам (рис. 3.32).

Y

4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x

Замечание. Обратите внимание, что при x=0 функция не определена. Говорят, что функция в этой точке терпит разрыв. На рис. 3.32 это отмечено стрелками.

Задача 3. Построение графика функции, заданной несколькими аналитическими выражениями.

В предыдущем примере функцию
мы представили несколькими аналитическими выражениями. Так, в промежутке
она изменяется по закону гиперболы
; в промежутке
, кромеx=0, это линейная функция; в промежутке
снова имеем гиперболу
. Подобные функции часто будут встречаться в последующем. Рассмотрим простой пример.

Путь поезда от станции А до станции B состоит из трех участков. На первом участке он набирает скорость, то есть в промежутке
его скорость
, где
. На втором участке он движется с постоянной скоростью, то естьv=c, если
. Наконец, при торможении его скорость будет
. Таким образом, в промежутке
скорость движения изменяется по закону