Примеры на тему движение в противоположных направлениях. Видеоурок «Движение в противоположных направлениях
§ 1 Движение в противоположных направлениях
В этом уроке мы познакомимся с задачами на движение в противоположных направлениях.
При решении любой задачи на движение мы сталкиваемся с такими понятиями, как «скорость», «время» и «расстояние».
Скорость - это расстояние, которое преодолевает объект за единицу времени. Измеряется скорость в км/ч, м/сек и т.д. Обозначается латинской буквой ʋ.
Время - это время, за которое объект преодолевает определенное расстояние. Измеряется время в секундах, минутах, часах и т.д. Обозначается латинской буквой t.
Расстояние - это путь, который преодолевает объект за определенное время. Измеряется расстояние в километрах, метрах, дециметрах и т.д. Обозначается латинской буквой S.
В задачах на движение эти понятия взаимосвязаны. Так, чтобы найти скорость, необходимо расстояние разделить на время: ʋ = S: t. Чтобы найти время, надо расстояние разделить на скорость: t = S: ʋ. А чтобы найти расстояние, скорость умножают на время: S = ʋ · t.
При решении задач на движение в противоположных направлениях, используют еще одно понятие «скорость удаления».
Скорость удаления - это расстояние, на которое удаляются объекты за единицу времени. Обозначается ʋуд..
Чтобы найти скорость удаления, зная скорости объектов, надо найти сумму этих скоростей: ʋуд. = ʋ1 + ʋ2. Чтобы найти скорость удаления, зная время и расстояние, необходимо расстояние разделить на время: ʋуд. = S: t.
§ 2 Решение задач
Рассмотрим взаимосвязь понятий «скорость», «время» и «расстояние» при решении задач на движение в противоположных направлениях.
ЗАДАЧА 1. Грузовой и легковой автомобили отправились от автостанции в разных направлениях. За одно и то же время грузовик проехал 70 км, а легковой автомобиль - 140 км. С какой скоростью двигался легковой автомобиль, если скорость грузовика - 35 км/ч?
Изобразим движение грузового и легкового автомобиля на схеме.
Скорость грузового автомобиля обозначим буквой ʋ1 = 35 км/ч. Скорость легкового автомобиля обозначим буквой ʋ2 = ? км/ч. Время в пути обозначим буквой t. Расстояние, которое проехал грузовой автомобиль - буквой S1 = 70 км. Расстояние, которое проехал легковой автомобиль - S2 = 140 км.
Разберем первый вариант.
Поскольку, чтобы найти неизвестную скорость, необходимо знать расстояние, которое проехал легковой автомобиль, а оно известно и равно 140 км, и знать время движения, которое не указано в условиях задачи, то необходимо найти это время.Из условия задачи нам известно расстояние, которое проехал грузовой автомобиль S1 = 70 км и скорость грузового автомобиля ʋ1 = 35 км/ч. Используя эти данные, мы можем найти время. t = S1: ʋ1 = 70: 35 = 2 часа. Зная время и расстояние, которое проехал легковой автомобиль, мы сможем узнать скорость легкового автомобиля, так как ʋ2 = S2: t = 140: 2 = 70 км/ч. Получили, что скорость легкового автомобиля равна 70 км/ч.
Рассмотрим второй вариант.
Поскольку, чтобы найти неизвестную скорость, необходимо знать скорость грузового автомобиля, из условий задачи она известна, и скорость удаления, которая не оговаривается условиями задачи, то надо найти скорость удаления. Чтобы найти скорость удаления автомобилей, можно расстояние, которое проехали оба автомобиля, разделить на время. ʋуд. = S: t . Расстояние, которое проехали оба автомобиля, равно сумме расстояний S1 и S2. S = S1 + S2 = 70 + 140 = 210 км. Время можно узнать, разделив расстояние, которое проехал грузовой автомобиль, на его скорость. t = S1: ʋ1 = 70: 35 = 2 часа. Значит, ʋуд. = S: t = 210: 2 = 105 км/ч. Теперь, зная скорость удаления, можем найти скорость легкового автомобиля. ʋ2 = ʋсбл. - ʋ1 = 105 - 35 = 70 км/ч. Получили, что скорость легкового автомобиля равна 70 км/ч.
ЗАДАЧА 2. Два человека в одно и то же время вышли из поселка в разных направлениях. Один двигался со скоростью 6 км/ч, скорость другого была 5 км/ч. Сколько часов понадобится, чтобы расстояние между ними стало 33 км?
Изобразим движение людей на схеме.
Скорость первого человека обозначим буквой ʋ1 = 5 км/ч. Скорость второго человека обозначим буквой ʋ2 = 6 км/ч. Расстояние, которое они прошли, обозначим буквой S = 33 км. Время - буквой t = ? часов.
Чтобы ответить на поставленный вопрос задачи, необходимо знать расстояние и скорость удаления, так как t = S: ʋуд.. Поскольку расстояние нам известно из условия задачи, надо найти скорость удаления. ʋуд. = ʋ1 + ʋ2 = 5 + 6 = 11 км/ч. Теперь зная скорость удаления, можем найти неизвестное время. t = S: ʋуд = 33: 11 = 3 ч. Получаем, что понадобилось 3 часа, чтобы расстояние между людьми стало 33 км.
ЗАДАЧА 3. Два поезда одновременно начали движение в противоположных направления с разных станций, расстояние между которыми составляет 25 км. Один двигался со скоростью 160 км/ч. На каком расстоянии друг от друга поезда будут через 4 часа, если скорость другого поезда - 130 км/ч?
Покажем движение поездов на схеме.
Скорость первого поезда обозначим буквой ʋ1 = 130 км /ч. Скорость второго поезда обозначим ʋ2 = 160 км/ч. Расстояние между станциями обозначим буквой Sм = 25 км. Время - буквой t = 4 часа. А искомое расстояние - буквой S = ? км.
Чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо знать расстояние между станциями, расстояние, которое проехал первый поезд, и расстояние, которое проехал второй поезд, так как S = Sм + S1 + S2. Расстояние между станциями известно из условия задачи, а расстояния S1 и S2 нет, но их можно найти, используя другие данные задачи. Однако искомое расстояние можно найти более рациональным путем, а именно сложив расстояние между станциями и общее расстояние, которое проехали оба поезда, так как S = Sм + Sоб.. Поскольку расстояние между станциями известно из условия задачи, надо найти общее расстояние. Для этого необходимо время умножить на скорость удаления. Sоб = t · ʋуд. А скорость удаления равна сумме скоростей поездов. ʋуд. = ʋ1 + ʋ2 = 160 + 130 = 290 км/ч. Теперь можем найти общее расстояние Sоб = t · ʋуд.= 4 · 290 = 1160 км.Зная общее расстояние, можем найти искомое расстояние. S = Sм + Sоб = 25 + 1160 = 1185 км. Получили, что через 4 часа расстояние между поездами будет составлять 1185 км.
§ 3 Краткие итоги по теме урока
При решении задач на движение в противоположных направлениях, следует помнить, что в задачах такого типа выполняются следующие условия:
1)объекты начинают свое движение одновременно в противоположных направлениях, а значит, находятся в пути одинаковое количество времени; время обозначается латинской буквой t = S: ʋуд;
2)расстояние S - это сумма всех расстояний, оговоренных условиями задачи;
S = S1 + S2 + Sмили S = ʋуд. · t;
3)объекты удаляются с определенной скоростью - скоростью удаления, обозначающейся латинской буквой ʋуд. = S: t или ʋуд = ʋ1 + ʋ2, соответственно
ʋ1 = S1: t и ʋ2 = S2: t.
Список использованной литературы:
- Петерсон Л.Г. Математика. 4 класс. Часть 2. / Л.Г. Петерсон. – М.: Ювента, 2014. – 96 с.: ил.
- Математика. 4 класс. Методические рекомендации к учебнику математики «Учусь учиться» для 4 класса / Л.Г. Петерсон. – М.: Ювента, 2014. – 280 с.: ил.
- Зак С.М. Все задания к учебнику математики для 4 класса Л.Г. Петерсон и комплекту самостоятельных и контрольных работ. ФГОС. – М.: ЮНВЕС, 2014.
- CD-ROM. Математика. 4 класс. Сценарии уроков к учебнику к 2 части Петерсон Л.Г. – М.: Ювент, 2013.
Использованные изображения:
>> Урок 27. Движение в противоположных направлениях
1. Из пунктов А и В, расстояние между которыми 6 км, вышли одновременно в противоположных направлениях 2 пешехода. Скорость первого пешехода 3 км/ч, а скорость второго пешехода 5 км/ч. Как изменяется расстояние между ними за 1 час? Чему оно будет равно через 1 ч, 2 ч, 3 ч, 4 ч? Произойдет ли встреча? Закончи рисунок и заполни таблицу. Запиши формулу зависимости расстояния между пешеходами d от времени движения t.
2. Реши задачу двумя способами. Объясни, какой из них удобнее и почему?
Из двух городов, находящихся на расстоянии 65 км друг от друга, вышли одновременно в противоположных направлениях два автомобиля. Один из них шел со скоростью 80 км/ч, а другой - 110 км/ч. На каком расстоянии друг от друга будут автомобили через 3 часа после выезда?
3. одной пристани одновременно в противоположных направлениях отплыли 2 катера. Через 3 ч расстояние между ними стало равно 168 км. Найди скорость второго катера, если известно, что скорость первого катера составляет 25 км/ч.
4. Составь по схемам взаимно обратные задачи и реши их:
5. Придумай задачу на движение в противоположных направлениях, в которой надо найти:
а) скорость одного из движуицихся объектов;
б) первоначальное расстояние между ними; в) время движения.
6. Из двух городов, удаленных друг от друга на 1680 км, вышли одновременно навстречу друг другу 2 поезда. Первый поезд проходит все это расстояние за 21 ч, а второй поезд - за 28 ч. Через сколько часов поезда встретятся?
7. Подбери выражения, соответствующие данной задаче, и поставь рядом с ним знак "+". Остальные выражения зачеркни.
8. Реши уравнения:
а) (а 16 - 720): 30 = 400 - 392;
б) (95 - 380: b) + 35 = 16 + 94.
9. Переменные х и у связаны зависимостью: у = (х - 2) х + х 3.
| х | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| у |
Что ты замечаешь? Попробуй зависимость между переменными х и у выразить более простой формулой.
10. а) Расшифруй высказывание известного американского ученого и предпринимателя Томаса Эдисона, автора свыше 1000 изобретений!
б) Запиши последовательно остатки от деления данных чисел в пустые клетки - и ты узнаешь годы жизни Томаса Эдисона:
1) 76: 15 4) 322: 35 7) 19 203: 96
2) 176: 24 5) 470: 67 8) 74 429: 92
3) 148: 16 6) 609: 75
11. Ледокол 3 дня пробивал себе путь во льдах. В первый день он проплыл всего пути, во второй день - оставшегося пути, а в третий день - оставшиеся 90 км. Какой путь проплыл ледокол за 3 дня пути? Сколько километров он проплыл в первый и во второй день?
12. Составь программу действий и вычисли:
а) (600: 30 - 7) 5 - (24 - 4 4) (32: 16) + 60: 4 10;
б) 500 - (28 5 + 25 4 - 120: 2) : 6 - (28: 14 + 420: 140) 30.
13*. Старинная задача.
Одного мужика спросили, сколько у него денег. Он ответил: "Мой брат втрое богаче меня, отец втрое богаче брата, дед втрое богаче отца, а у всех нас ровно 1000 р. Вот и узнайте, сколько у меня денег ".
14*. Игра "Найди неизвестный рисунок".
Петерсон Людмила Георгиевна. Математика. 4 класс. Часть 2. - М.: Издательство "Ювента", 2005, - 64 с.: ил.
Рефераты, домашняя работа по математике скачать , учебники скатать бесплатно, онлайн уроки, вопросы и ответы
Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные урокиУрок математики в 4-ом классе.
Тема урока:
«Решение задач на движение в противоположных направлениях».
Цели урока:
Научить решать задачи на движение в противоположных направлениях;
Научить составлять обратные задачи на движение в противоположных направлениях;
Совершенствовать вычислительные навыки;
Развивать внимание, память и логическое мышление;
Формировать навыки работы в малых группах;
воспитывать ответственное отношение к учебному труду.
Оборудование:
учебник «Математика 4 класс» (под ред. М.И. Моро), интерактивная доска, презентация «Движение в противоположных направлениях», карточки с величинами и карточки для работы в парах, таблица «Движение».
Ход урока:
1.Организационный момент.
- Добрый день, ребята! Я рада приветствовать вас на уроке царицы наук – МАТЕМАТИКЕ. Я желаю, чтобы урок принес вам радость общения с друг другом и чтобы каждый ушел с урока с весомым багажом знаний. А теперь улыбнитесь и пожелайте друг другу успешной работы.
2.Устный счет.
а) Игра «Найди лишнее» :
Вам нужно выбрать те величины, которые используются
в задачах на движение.
Кг, км, т, с, км/ч, см, сут, м, ц, ч, мин, м/мин, км/c, м/с, дм
(на доске карточки).
п/о км, с, км/ч, м, ч, мин, м/мин, км/с, м/с
б) – На какие 3 группы можно разделить данные единицы измерения?
п/о Единицы скорости, времени и расстояния.
Для решения каких задач мы используем эти величины?
п/о Для решения задач на движение.
Умеете ли вы решать такие задачи?
Сейчас проверим.
в) Задачи на движение:
Слайд 2
«Улитка ползет со скоростью 5 м/ч. Какое расстояние она преодолеет за 4 ч?»
Слайд 3
«Черепаха за 10 мин проползет 40 м. С какой скоростью ползет черепаха?»
Слайд 4
«Верблюд передвигается по пустыне со скоростью 9 км/ч. За какое время он пройдет 54 км?»
Слайд 5
«Заяц за 3 ч пробегает 72 км. С какой скоростью бежит заяц?»
Слайд 6
«Голубь летит со скоростью 50 км/ч. Какое расстояние пролетит голубь за 6 ч?»
Слайд 7
«Орел летит со скоростью 30 м/с.
За какое время он пролетит 270 м?»
п/о - 20 м; 4 м/мин; 6 ч; 24 км/ч; 300 км; 9с.
3.Сообщение темы и целей урока:
Сегодня мы продолжаем работу с задачами на движение
и познакомимся с новым видом задач «Движение
в противоположных направлениях».
4.Объяснение нового материала.
Откройте учебники на странице 27, найдите № 135 и прочитайте первую задачу.
Слайд 8
«Из поселка вышли одновременно два пешехода и пошли в противоположных направлениях. Средняя скорость одного пешехода 5 км/ч, другого – 4 км/ч. На каком расстоянии друг от друга будут пешеходы через 3 ч?»
5 км/ч 4 км/ч
Км
- Что известно? Что нужно найти? Как находим расстояние?
п/о Известны скорости и время. Найти надо расстояние. Чтобы найти расстояние, надо скорость умножить на время.
- Чтобы найти расстояние, что находим 1-ым действием?
п/о Скорость удаления.
- Записываем решение.
Слайд 9
9 ∙ 3 = 27 (км) – расстояние
Ответ: расстояние – 27 километров.
- Прочитайте вторую задачу.
Слайд 10
«Из поселка вышли одновременно в противоположных направлениях два пешехода. Средняя скорость одного пешехода 5 км/ч, другого – 4 км/ч. Через сколько часов расстояние между ними будет 27 км?»
5 км/ч 4 км/ч
27 км
- Что известно? Что нужно найти? Как находим время?
п/о Известны скорости и расстояние. Найти надо время. Чтобы найти время, надо расстояние разделить на скорость.
- Чтобы найти время, что находим 1-ым действием?
п/о Скорость удаления.
Записываем решение.
Слайд 11
п/о 5 + 4 = 9 (км/ч) – скорость удаления
27: 9 = 3 (ч)
Ответ: время – 3 часа.
- Прочитайте третью задачу.
Слайд 12
«Из поселка вышли одновременно в противоположных направлениях два пешехода. Через 3 ч расстояние между ними было 27 км. Первый пешеход шел со средней скоростью 5 км/ч. С какой скоростью шел второй пешеход?
5 км/ч? км/ч
27 км
Что известно? Что нужно найти? Как находим скорость?
п/о Известны расстояние, одна из скоростей и время. Найти надо вторую скорость. Чтобы найти неизвестную скорость, надо от общей скорости отнять известную.
- Чтобы найти неизвестную скорость, что находим 1-ым действием?
п/о Скорость удаления.
- Записываем решение.
Слайд 13
п/о 27: 3 = 9 (км/ч) – скорость удаления
9 – 5 = 4 (км/ч)
Ответ: скорость – 4 километра в час.
- Похожи ли эти задачи?
п/о Это задачи на движение в противоположном направлении.
- Чем отличаются эти задачи?
п/о Если в задаче № 1 неизвестно расстояние, то в задаче № 2 оно дано. Но известное в задаче № 1, станет неизвестным в задаче
№ 2.
- Как называются такие задачи?
п/о Обратные.
Слайд 14
5.Физкультминутка.
Руки в стороны – в полет (руки в стороны)
Отправляем самолет,
Правое крыло вперед (поворот вправо)
Левое крыло вперед (поворот влево)
Раз, два, три, четыре (прыжки на месте)
Полетел наш самолет.
6.Первичное закрепление материала.
Прочитайте задачу № 143 на стр. 28.
«Два лыжника вышли из поселка одновременно и пошли в противоположных направлениях. Один из них шел со средней скоростью 12 км/ч, а другой – 10 км/ч. Через сколько часов расстояние между ними будет 44 км? Какое расстояние пройдет за это время каждый лыжник?»
Что в задаче известно?
п/о Направление, скорость и общее расстояние.
Что нужно узнать?
п/о Время движения и расстояние, которое пройдет каждый лыжник.
Выполним чертеж к этой задаче.
12 км/ч 10 км/ч
Км? км
44 км? ч
Если расстояние и время у этих лыжников общее. Что нужно узнать первым действием?
п/о Общую скорость.
Подумайте, как будет называться такая скорость, если при встречном движении мы говорим о скорости сближения?
п/о Скорость удаления.
Верно. Находим скорость удаления, т. е. На сколько километров удалятся друг от друга лыжники за 1 час.
Зная расстояние и скорость, как узнать время?
п/о Нужно расстояние разделить на скорость удаления.
Зная время и скорость каждого лыжника, мы можем узнать расстояние, которое проехал каждый лыжник. Как это сделать?
п/о Нужно скорость умножить на время.
Запишите решение этой задачи.
п/о 1) 12 + 10 = 22 (км/ч) – скорость удаления
2) 44: 22 = 2 (ч) – время
3) 12 ˑ 2 = 24 (км) – 1 лыжник
4) 10 ˑ 2 = 20 (км) – 2 лыжник
Ответ: через 2 часа, 24 км и 20 км.
7.Работа над пройденным материалом.
а) Работа в парах:
Какой ряд быстрее решит примеры?
Счет «Цепочка»:
1 парта - 480: 6 =
2 парта - 80: 20 =
3 парта - 4 х 50 =
4 парта - 200 х 4 =
5 парта - 800: 20 =
п/о 80, 4, 200, 800, 40.
б) Работа по учебнику: № 138 (самостоятельная работа).
1 вариант – 1 строка
10000 – 2178 ∙ 6: 4 + 267 =10000 – 13068: 4 + 267 = 10000 – 3267 +267 = 6733 + 267 = 7000
240 ∙ 3 + 4540: 20 = 720 + 227 = 947
2 вариант – 2 строка
487 ∙ 8 + 45270: 3: 10 = 3896 + 15090: 10 = 3896 + 1509 = 5405
560: 7 + (3820 – 850) = 80 + 2970 = 3050
в) Задача на смекалку (устно), беседа о ПДД (дополнительное задание).
«Из школы вышли два ученика и пошли в разные стороны. Первый шел со скоростью 2 м/мин, а второй – 3 м/мин. Через сколько минут расстояние между ними будет 10 метров?»
п/о Решение: 1) 2 + 3 = 5 (м/мин) – скорость удаления
2) 10: 5 = 2 (мин)
Ответ: через 2 минуты расстояние между ними будет 10 метров.
Когда ребята шли из школы домой, то они должны были соблюдать правила дорожного движения.
Что вы им посоветуете?
(Ответы детей.)
8.Итог урока:
Что нового узнали на уроке? Чему научились?
п/о Научились решать задачи на движение в противоположных направлениях.
С какой скоростью движутся объекты при движении в противоположных направлениях?
п/о Объекты движутся со скоростью удаления.
Самооценка.
Как вы считаете хорошо ли вы усвоили материал сегодняшнего урока? Если да, то встаем, а если не очень – поднимаем правую руку.
На последующих уроках мы с вами продолжим работу над задачами на движение.
(Выставление оценок.)
Домашнее задание:
стр. 27 № 136.
- Спасибо за урок. Урок окончен.
Индивидуальная работа по карточкам
1 вариант. ВЕЛИЧИНЫ:
1. Переведи в метры 45 км 40м = __________м
2.Сколько метров в 1/2 части километра? ______м
3.Подчеркни: что больше 190 минут или 3 часа?
2 вариант. ВЕЛИЧИНЫ:
1. Переведи в метры 35 км 600м = _________ м
2.Сколько метров в 1/4 части километра? _______м
3.Подчеркни: что больше 130 минут или 2часа?
1 ряд
Счет «Цепочка»:
1 парта - 480: 6 =
2 парта - 80: 20 =
3 парта - 4 х 50 =
4 парта - 200 х 4 =
5 парта - 800: 20 =
2 ряд
Счет «Цепочка»:
1 парта - 480: 6 =
2 парта - 80: 20 =
3 парта - 4 х 50 =
4 парта - 200 х 4 =
5 парта - 800: 20 =
3 ряд
Счет «Цепочка»:
1 парта - 480: 6 =
2 парта - 80: 20 =
3 парта - 4 х 50 =
4 парта - 200 х 4 =
5 парта - 800: 20 =
кг км т с км/ч см сут м ц ч мин м/мин км/c м/с дм Слайд 2
Улитка ползёт со скоростью 5 м/ч. Какое расстояние она преодолеет за 4 ч? 5 ∙ 4 = 20 (м)
Черепаха за 10 мин проползёт 40 м. С какой скоростью ползёт черепаха? 40: 10 = 4 (м/мин)
Верблюд передвигается по пустыне со скоростью 9 км/ч. За какое время он пройдёт 54 км? 54: 9 = 6 (ч)
Заяц за 3 ч пробегает 72 км. С какой скоростью бежит заяц? 72: 3 = 24 (км/ч)
Голубь летит со скоростью 50 км/ч. Какое расстояние пролетит голубь за 6 ч? 50 ∙ 6 = 300 (км)
Орёл летит со скоростью 30 м/с. За какое время он пролетит 270 м? 270: 30 = 9 (с)
ДВИЖЕНИЕ В ПРОТИВОПОЛОЖНЫХ НАПРАВЛЕНИЯХ? На каком расстоянии друг от друга будут п ешеходы через 3 часа? 5 км / ч 4 км / ч
ДВИЖЕНИЕ В ПРОТИВОПОЛОЖНЫХ НАПРАВЛЕНИЯХ 1) 5 + 4 = 9 (км / ч) – СКОРОСТЬ УДАЛЕНИЯ 2) 9 х 3 = 27 (км) Ответ: 27 километров.
ДВИЖЕНИЕ В ПРОТИВОПОЛОЖНЫХ НАПРАВЛЕНИЯХ 27 км С какой скоростью шел второй пешеход? 5 км / ч?
ДВИЖЕНИЕ В ПРОТИВОПОЛОЖНЫХ НАПРАВЛЕНИЯХ 1) 27: 3 = 9 (км / ч) – СКОРОСТЬ УДАЛЕНИЯ 2) 9 – 5 = 4 (км / ч) Ответ: 4 километра в час.
ДВИЖЕНИЕ В ПРОТИВОПОЛОЖНЫХ НАПРАВЛЕНИЯХ 27 км Через сколько часов расстояние между ними будет 27 км? 5 км / ч 4 км / ч
ДВИЖЕНИЕ В ПРОТИВОПОЛОЖНЫХ НАПРАВЛЕНИЯХ 1) 5 + 4 = 9 (км / ч) – СКОРОСТЬ УДАЛЕНИЯ 2) 27: 9 = 3 (ч) Ответ: через 3 часа.
Математика - довольно сложный предмет, но в школьном курсе ее придется пройти абсолютно всем. Особое затруднение у учеников вызывают задачи на движение. Как решать без проблем и массы потраченного времени, рассмотрим в данной статье.
Отметим, что если потренироваться, то эти задания не будут вызывать никаких трудностей. Процесс решения можно выработать до автоматизма.
Разновидности
Что имеется ввиду под таким типом задания? Это довольно-таки простые и нехитрые задачи, которые включают в себя следующие разновидности:
- встречное движение;
- вдогонку;
- движение в противоположном направлении;
- движение по реке.
Предлагаем каждый вариант рассмотреть в отдельности. Конечно же, разбирать будем исключительно на примерах. Но прежде, чем перейдем к вопросу, как на движение, стоит ввести одну формулу, которая будет нам необходима при решении абсолютно всех заданий этого типа.
Формула: S=V*t. Немного пояснений: S - это путь, буквой V обозначается скорость движения, а буква t означает время. Все величины можно выражать через эту формулу. Соответственно, скорость равна пути, разделенному на время, а время - это путь, поделенный на скорость.
Движение навстречу
Это самый распространенный тип задач. Чтобы понять суть решения, рассмотрим следующий пример. Условие: "Два друга на велосипедах отправились одновременно друг другу навстречу, при этом путь от одного дома до другого составляет 100 км. Каково будет расстояние через 120 минут, если известно, что скорость одного - 20 км в час, а второго - пятнадцать". Переходим к вопросу, как решить задачу на встречное движение велосипедистов.
Для этого нам необходимо ввести еще один термин: "скорость сближения". В нашем примере она будет равна 35 км в час (20 км в час + 15 км в час). Это и будет первое действие в решении задачи. Далее умножаем скорость сближения на два, так как они двигались два часа: 35*2=70 км. Мы нашли расстояние, на которое сблизятся велосипедисты через 120 минут. Осталось последнее действие: 100-70=30 километров. Этим вычислением мы нашли расстояние между велосипедистами. Ответ: 30 км.
Если вам непонятно, как решить задачу на встречное движение, используя скорость сближения, то воспользуйтесь еще одним вариантом.
Второй способ
Сначала мы находим путь, который проехал первый велосипедист: 20*2=40 километров. Теперь путь 2-го друга: пятнадцать умножаем на два, что равняется тридцати километрам. Складываем расстояние, пройденное первым и вторым велосипедистом: 40+30=70 километров. Мы узнали, какой путь преодолели они совместно, поэтому осталось из всего пути вычесть пройденный: 100-70=30 км. Ответ: 30 км.
Мы рассмотрели первый тип задачи на движение. Как решать их, теперь понятно, переходим к следующему виду.
Движение в противоположном направлении
Условие: "Из одной норки в противоположном направлении ускакали два зайца. Скорость первого - 40 км в час, а второго - 45 км в час. Как далеко они будут друг от друга через два часа?"
Здесь, как и в предыдущем примере, возможно два варианта решения. В первом мы будем действовать привычным способом:
- Путь первого зайца: 40*2=80 км.
- Путь второго зайца: 45*2=90 км.
- Путь, который они прошли совместно: 80+90=170 км. Ответ: 170 км.
Но возможен и другой вариант.
Скорость удаления
Как вы уже успели догадаться, в этом задании, аналогично первому, появится новый термин. Рассмотрим следующий тип задачи на движение, как решать их с помощью скорости удаления.
Ее мы в первую очередь и найдем: 40+45=85 километров в час. Осталось выяснить, каково расстояние, разделяющее их, поскольку все остальные данные уже известны: 85*2=170 км. Ответ: 170 км. Мы рассмотрели решение задач на движение традиционным способом, а также с помощью скорости сближения и удаления.
Движение вдогонку
Давайте рассмотрим пример задачи и попробуем вместе ее решить. Условие: "Два школьника, Кирилл и Антон, ушли из школы и двигались со скоростью 50 метров в минуту. Костя вышел за ними через шесть минут со скоростью 80 метров в минуту. Через какое количество времени Костя догонит Кирилла и Антона?"
Итак, как решать задачи на движение вдогонку? Здесь нам понадобится скорость сближения. Только в этом случае стоит не складывать, а вычитать: 80-50=30 м в минуту. Вторым действием узнаем, сколько метров разделяет школьников до выхода Кости. Для этого 50*6=300 метров. Последним действием находим время, за которое Костя догонит Кирилла и Антона. Для этого путь 300 метров необходимо разделить на скорость сближения 30 метров в минуту: 300:30=10 минут. Ответ: через 10 минут.
Выводы
Исходя из сказанного ранее, можно подвести некоторые итоги:
- при решении задач на движение удобно использовать скорость сближения и удаления;
- если речь идет о встречном движении или движении друг от друга, то эти величины находятся путем сложения скоростей объектов;
- если перед нами задача на движение вдогонку, то употребляем действие, обратное сложению, то есть вычитание.
Мы рассмотрели некоторые задачи на движение, как решать, разобрались, познакомились с понятиями "скорость сближения" и "скорость удаления", осталось рассмотреть последний пункт, а именно: как решать задачи на движение по реке?
Течение
Здесь могут встречаться опять же:
- задачи на движение навстречу друг другу;
- движение вдогонку;
- движение в противоположном направлении.
Но в отличие от предыдущих задач, у реки есть скорость течения, которую не стоит игнорировать. Здесь объекты будут двигаться либо по течению реки - тогда эту скорость стоит прибавить к собственной скорости объектов, либо против течения - ее необходимо вычесть из скорости движения объекта.
Пример задачи на движение по реке
Условие: шел по течению со скоростью 120 км в час и вернулся обратно, при этом затратил время меньше на два часа, чем против течения. Какова скорость водного мотоцикла в стоячей воде?" Нам дана скорость течения, равная одному километру в час.
Переходим к решению. Предлагаем составить таблицу для наглядного примера. Примем скорость мотоцикла в стоячей воде за х, тогда скорость по течению равна х+1, а против х-1. Расстояние туда и обратно равняется 120 км. Получается, что время, затраченное на движение против течения равно 120:(х-1), а по течению 120:(х+1). При этом известно, что 120:(х-1) на два часа меньше, чем 120:(х+1). Теперь можем переходить к заполнению таблицы.
Что мы имеем: (120/(х-1))-2=120/(х+1) Домножим каждую часть на (х+1)(х-1);
120(х+1)-2(х+1)(х-1)-120(х-1)=0;
Решаем уравнение:
Замечаем, что здесь два варианта ответа: +-11, так как и -11 и +11 дают в квадрате 121. Но наш ответ будет положительным, поскольку скорость мотоцикла не может иметь отрицательного значения, следовательно, можно записать ответ: 11 км в час. Таким образом, мы нашли необходимую величину, а именно скорость в стоячей воде.
Мы рассмотрели все возможные варианты задач на движение, теперь при их решении у вас не должно возникать проблем и затруднений. Для их решения необходимо узнать основную формулу и такие понятия, как "скорость сближения и удаления". Наберитесь терпения, отработайте эти задания, и успех придет.
Цели урока:
1. Образовательные:
· научить решать задачи на движение в противоположных направлениях;
· научить составлять задачи на движение в противоположных направлениях.
2. Развивающие:
· Развивать логическое мышление, память, внимание, навыки устных и письменных вычислений, самоанализа и самоконтроля;
· Развивать познавательный интерес, умение переносить знания в новые условия.
3. Воспитательные:
· Создать условия для воспитания коммуникативной культуры, умение выслушивать и уважать мнения других;
· Воспитывать ответственность, любознательность, усидчивость, познавательную активность, доброе отношение к своим одноклассникам;
· Формировать потребность в здоровом образе жизни.
Формирование УУД:
· Личностные действия: (самоопределение, смыслообразование, нравственно-этическая ориентация);
· Регулятивные действия: (целеполагание, планирование, прогнозирование, контроль, коррекция, оценка, саморегуляция);
· Познавательные действия: (общеучебные, логические, постановка и решение проблемы);
· Коммуникативные действия: (планирование учебного сотрудничества, постановка вопросов, разрешение конфликтов, управление поведением партнера, умение с достаточной точностью и полнотой выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации).
Оборудование:
· Карточки для работы на разных этапах урока
· Презентация
· Пирамидка для составления модели человечества
· Учебник и рабочая тетрадь
ХОД УРОКА
I. Самоопределение к деятельности.
урок математика задача учебный
Долгожданный дан звонок,
Начинается урок,
Он пойдет ребятам впрок.
Постарайтесь все понять
II. Актуализация знаний.
Предлагаю определить, чему будет посвящён наш сегодняшний урок. Для этого сначала найдите значения выражений:
500*60:100= (а) 36 542_2 000 820
4000*3:100=(ч)* 30329 621
953-720+42=(з)(и)(д)
Итак, сегодня речь пойдёт о задачах, мы продолжаем знакомиться с темой движения.
Какие знания и умения необходимы для успешного решения задач?
Уметь правильно выбирать арифметические действия, при возможности используя формулы.
Быстро и безошибочно производить вычисления.
Для тренировки безошибочных вычислений какие бы вы предложили задания?
Я предлагаю устный счёт.
В Невельском районе Псковской области на берегу озера Сенница расположена деревня Дубокрай, известная древнейшими археологическими находками. На дне озера рядом с деревней в 1982 году А. М. Микляевым и другими петербургскими археологами была найдена древнейшая лыжа, дата изготовления которой была оценена в 2330 годом (2615--2160 лет) до н. э., сделана она из вяза, конечно, это не такая лыжа, какую используют наши спортсмены на Олимпиаде в Сочи, но возможно это её родоначальник.
Для упражнения в правильном выборе арифметических действий какие задания могут быть полезны?
Блицтурнир.
Верно, начнем блицтурнир.
Лыжник за t ч пробежал 10 км. Какова его скорость?
V = 10 км: t ч
За какое время биатлонист, двигаясь на лыжах со скоростью 30 км/ч, пройдёт s км?
T = S км: 30 км/ч
Конькобежец бежал со скоростью х м/мин и был на дистанции 5 мин. Какое расстояние он преодолел?
S = x м/мин * 5 мин
Бобслеист за 3 мин проехал s км. С какой скоростью он двигался?
v = S км: 3 мин
Саночник ехал по трассе со скоростью 135 км/ч, преодолевая расстояние в s км. За какое время он преодолел дистанцию?
t = S км: 135 км/ч
Сноубордист съезжает со склона скоростью 100 км/ч. Какое расстояние он преодолеет, если затратит на дорогу t мин?
S = 100 км/ч * t мин
Составьте выражение и найдите его значение:
Из пунктов А и В, расстояние между которыми 6 км, вышли одновременно в противоположных направлениях 2 пешехода. Скорость первого пешехода 3 км/ч, а скорость второго пешехода 5 км/ч. Как изменяется расстояние между ними за 4 часа? Произойдет ли встреча?
III. Постановка учебной задачи.
Какое задание выполняли?
Находили расстояние между двумя пешеходами через 4 часа после их выхода.
Как они двигались?
Одновременно в противоположных направлениях.
Почему вы не смогли найти это расстояние?
У нас нет алгоритма его выполнения.
Что же нам сделать, чтобы решить задачу - поставьте перед собой цель.
Нам надо построить алгоритм нахождения расстояния между объектами при движении в противоположных направлениях.
Сформулируйте тему урока.
Движение в противоположных направлениях.
IV. "Открытие нового знания".
№1, стр. 93.
Прочитайте задачу.
Из пунктов А и В, расстояние между которыми 6 км, вышли одновременно в противоположных направлениях 2 пешехода. Скорость первого пешехода 3 км/ч, а скорость второго пешехода 5 км/ч. Как изменяется расстояние между ними за 1 час? Чему оно будет равно через 1 ч, 2 ч, 3 ч, 4 ч? Произойдет ли встреча? Закончи рисунок и заполни таблицу. Запиши формулу зависимости расстояния между пешеходами d от времени движения t.
Какое расстояние было между двумя пешеходами в самом начале?
Какова их скорость удаления? Заполните в учебнике.
V уд. = 3 + 5 = 8 (км/ч)
Что показывает скорость удаления 8км/ч?
Она показывает, что 2 пешехода за каждый час удаляются на 8 км.
Как же узнать, каким оно стало через 1 час?
Надо 8 км прибавить к 6 км, получим 14 км.
Потом они отдалятся еще на 8 км, потом еще на 8 км и т.д.
Как же определить расстояние через 2 ч, 3 ч?
Надо к 6 прибавить 8 * 2, 8 * 3.
Закончите заполнение таблицы.
6 + (3 + 5) * 2 = 22
6 + (3 + 5) * 3 = 30
6 + (3 + 5) * 4 = 38
6 + (3 + 5) * t = d
Запишите формулу расстояния d между 2 пешеходами в момент времени t.
d = 6 + (3 + 5) * t, или d = 6 + 8 * t
Произойдет ли встреча?
Нет, поскольку пешеходы вышли одновременно в противоположных направлениях.
Полученное равенство фиксируется на доске:
d = 6 + (3 + 5) * t
Обозначьте первоначальное расстояние (6 км) буквой s, а скорости 2 пешеходов (3 км/ч и 5 км/ч) - v 1 и v 2 и запишите полученное равенство в обобщенном виде.
Число 6 закрывается в равенствах на доске буквой s, а числа 3 и 5 - буквами v 1 и v 2 . Получается формула, которую на данном уроке можно использовать как опорный конспект:
d = s + (v 1 + v 2) * t
Эту формулу можно перевести с математического языка на русский в форме правила:
· Чтобы при одновременном движении в противоположных направлениях найти расстояние между двумя объектами в данный момент времени, можно к первоначальному расстоянию прибавить скорость удаления, умноженную на время в пути.
Данное правило не должно заучиваться формально - это малопродуктивно, а должно воспроизводиться как выражение в речи смысла построенной формулы.
V. Первичное закрепление.
Организуется комментированное решение задач на использование введенных алгоритмов: сначала фронтально, затем в группах или парах.
№2, стр. 93.
Решите задачу двумя способами. Объясните, какой из них удобнее и почему? Из двух городов, находящихся на расстоянии 65 км друг от друга, вышли одновременно в противоположных направлениях два автомобиля. Один из них шел со скоростью 80 км/ч, а другой -- 110 км/ч. На каком расстоянии друг от друга будут автомобили через 3 часа после выезда?
1) 80 + 110 = 190 (км/ч) - скорость удаления автомобилей;
2) 190 * 3 = 570 (км) - увеличилось расстояние за 3 ч;
3) 65 + 570 = 635 (км).
65 + (80 + 110) * 3 = 635 (км).
1) 80 * 3 = 240 (км) - проехал 1 автомобиль за 3 ч;
2) 110 * 3 = 330 (км) - проехал 2 автомобиль за 3 ч;
3) 65 + 240 + 330 = 635 (км).
65 + 80 * 3 + 110 * 3 = 635 (км).
Ответ: через 3 ч расстояние между автомобилями станет равно 635 км.
№4, стр. 94.
Составьте по схемам взаимно обратные задачи и решите их:
1 и 2 выполняются фронтально.
3 и 4 выполняются в группах или парах.
1) 10 + (15 + 20) * 2 = 80 (км);
2) (80 - 10) : 2 - 20 = 15 (км/ч);
3) 80 - (15 + 20) * 2 = 10 (км);
4) (80 - 10) : (15 + 20) = 2 (ч).
VI. Самостоятельная работа.
Учащиеся проводят самоконтроль и самооценку усвоения ими построенного алгоритма. Они самостоятельно решают задачу на новый вид движения, проверяют и оценивают правильность своего решения и убеждаются в том, что новый способ действий ими освоен. В случае необходимости ошибки корректируются.
№3, стр. 94.
Решите задачу двумя способами. Объясните, какой из них удобнее и почему?
От одной пристани одновременно в противоположных направлениях отплыли 2 катера. Через 3 ч расстояние между ними стало равно 168 км. Найди скорость второго катера, если известно, что скорость первого катера составляет 25 км/ч.
1) 168: 3 = 56 (км/ч) - скорость удаления катеров;
2) 56 - 25 = 31 (км/ч).
56 - 168: 3 = 31 (км/ч).
1) 25 * 3 = 75 (км) - проплыл 1 катер за 3 ч;
2) 168 - 75 = 93 (км) - проплыл 2 катер за 3 ч;
3) 93: 3 = 31 (км/ч).
(168 - 25 * 3) : 3 = 31 (км/ч).
Ответ: скорость 2 катера равна 31 км/ч.
VII. Включение в систему знаний и повторение.
Выполняются задания на закрепление ранее изученного материала.
№6, стр. 94.
Из двух городов, удаленных друг от друга на 1680 км, вышли одновременно навстречу друг другу 2 поезда. Первый поезд проходит все это расстояние за 21 ч, а второй поезд -- за 28 ч. Через сколько часов поезда встретятся?
1) 1680: 21 = 80 (км/ч) - скорость 1 поезда;
2) 1680: 28 = 60 (км/ч) - скорость 2 поезда;
3) 80 + 60 = 140 (км/ч) - скорость сближения;
4) 1680: 140 = 12 (ч).
1680: (1680: 21 + 1680: 28) = 12 (ч).
Ответ: поезда встретятся через 12 часов.
1) 420: (420: 21 + 420: 28) = 12 (ч);
2) 672: (672: 21 + 672: 28) = 12 (ч);
3) 1260: (1260: 21 + 1260: 28) = 12 (ч).
Время до встречи поездов не зависит от расстояния между городами (лишнее данное).
VIII. Домашняя работа.
Дома по новой теме нужно выучить опорные конспекты - то есть новую формулу и придумать и решить свою задачу на новый вид движения - движение в противоположных направлениях, аналогичную №2.
Дополнительно по желанию можно выполнить задачу №7.
№7, стр. 94
Подбери выражения, соответствующие данной задаче, и поставь рядом с ним знак "+". Остальные выражения зачеркни.