Определение и свойства корня n ой степени. Корень степени n: основные определения
Здоровье - самое бесценное, что у нас есть, ведь его не купишь за деньги. Здоровье - это не просто отсутствие болезней, это состояние нашего полного благополучия. Сегодня День здоровья, поэтому хочется каждому пожелать, чтобы здоровыми были тело, дух, отношения с другими людьми и самим собой. Будьте здоровы!
Поздравляю всех с Днем здоровья! Жить здоровым, сильным и крепким это здорово! Поэтому в такой полезный, важный и приятный праздник, хочется пожелать всем людям на планете, крепкого здоровья, жизненных сил, энтузиазма, побольше улыбок и смеха, любви и позитива! Хочется пожелать вам дорогие, не лениться заботиться о своем физическом и душевном здоровье и не забывать отдыхать и радоваться жизни!
Поздравляем Вас с Днём здоровья, желаем Вам отличного самочувствия, новых побед, радости и удовольствия от спортивных занятий. Чувствуйте себя на долгие годы активными, бодрыми и деятельными.
Поздравляю с Днём здоровья и желаю всегда любить себя, следить за своим здоровьем, каждое утро просыпаться с новыми силами и отличным настроением, каждый день иметь большой потенциал и отличное здоровье по всем параметрам. Всех благ в жизни и хорошего самочувствия в любую погоду, в любой компании, в любом месте, в любой час.
В День здоровья самое первое и важное что можно пожелать это крепкого здоровья и отменного иммунитета. Пусть болезни отступают стороной. А в жизнь приходят только «здоровые дни» и позитивное настроение.
Во всемирный день здоровья желаю вам крепких нервов, душевных и физических сил. Избегайте всего вредного, ведь на свете нет ничего дороже собственного здоровья, разве что только здоровье ваших близких. С праздником! Не болейте, закаляйтесь и дышите полной грудью!
Конечно в день Здоровья желаем мы здоровья! Будьте благополучны, чтобы всегда чувствовали себя на 18 лет, бодрыми, веселыми, счастливыми! И пусть спорт вам в этом помогает и станет лучшим другом!
В день здоровья Вам желаем, чтобы организм всегда был сильным, крепким. Чтоб работал, как слаженный механизм и никогда не подводил. Чтоб Вы всегда могли принять участье в эстафете и всем потомкам рассказать в чем секрет долголетия.
В день здоровья желаю, чтобы ваш взгляд был зорким, слух - отличным. Пусть ноги бегают и не устают, а желудок и печень справляются с любой работой. А мотор - сердце - никогда не барахлит и будет в эксплуатации как минимум 100 лет!
С днем здоровья! И пусть у каждого из нас оно будет крепким и не дает поводов посещать врачей! Будьте искренними, добрыми, веселыми, жизнерадостными и благополучными во всех сферах жизни!
Дай Бог здоровья вам и счастья,
Любви - подснежника лесного,
вы расцветали снова, снова.
Дай Бог вам мудрости в решениях
И умножения лучших качеств,
С детьми прекрасных отношений
И понимания чудачеств
Дай Бог вам радости от дела
и бой выигрывать с тоскою,
Чтоб море ласки не мелело
И никогда не знать покоя.
Здоровья Вам! К чертям недуг!
Живите век, не зная слез,
И если трудно будет вдруг,
Мы просим Вас не вешать нос!
В здоровом теле дух здоровый,
Мы Вам желаем так держать,
Быть нам опорой и основой,
Своих позиций не сдавать!
Здоровья вам отменного
счастья здоровенного,
благополучия каждодневного!
От души желаем не болеть,
Счастье полное иметь,
Никогда не волноваться,
В жизни чаще улыбаться,
Чтобы старость не подкралась,
Чтобы молодость осталась,
Чтобы, сердце реже ныло,
Чтобы радость в доме жила.
Здоровья крепкого на годы
А много радостных минут
А мимолетные невзгоды
пусть словно тучи уплывут
Семейной дружбы и согласия,
Успехов в жизни и труде
А главнее - большого счастья
Мы пожелать хотим тебе.
Желаем, чтоб жизнь никогда не кончалась,
Беда и печаль на пути не встречались,
Вечного счастья, хороших друзей,
Успехов, здоровья и солнечных дней!
Желаем здоровья - ведь часто его не хватает,
Веселья желаем - оно никогда не мешает.
Удачи желаем - она ведь приходит нечасто,
И просто желаем огромного личного счастья!
Прожить желаю без таблеток,
Примерно десять пятилеток.
Затем на фруктах и кефире
Еще лет десять и четыре.
Ни разу больше не болеть,
Год сотый тоже одолеть!
Здоровья, радости и смеха,
Везде во всем Тебе успеха
И счастья столько, сколько надо,
Чтобы душа была бы рада,
И чтобы весело жилось
И что задумано - сбылось.
Желаем долгих лет и крепкого здоровья,
Молодости, силы, красоты,
Пусть всегда не только в день рождения
Исполняются заветные мечты!
Стихи пожелания здоровья
Здоровья, счастья и удачи
От всей души мы Вам желаем!
И мы уверены, мы знаем,
Что будет так, а не иначе!
Желаем здоровья на долгие годы,
Пусть мимо пройдут все печали- невзгоды.
Пусть радостью, счастьем искрятся глаза
И только от смеха сверкают глаза!
Желаем в боге возрастать, В его вернейшем слове.
Его глубины познавать, И жить по божьей воле.
Крепкого здоровья Вам,
Цветущей жизни, как весна,
Богатого хозяйства, как щедрая осень,
Крепкой семьи, как морозная зима!
Желаем здоровья сибирского,
Спокойствия олимпийского,
Успехи в делах пусть умножатся,
И жизнь, словно песня, сложится!
Здоровья крепкого на годы
А много радостных минут
А мимолетные невзгоды
пусть словно тучи уплывут.
Желаем здоровья, любви и тепла,
Чтоб жизнь интересной и долгой была,
Чтоб в доме уют был, любовь да совет,
Чтоб дом защищен был от горя и бед.
Желаем счастья и здоровья!
Желаем бодрости и сил!
Чтоб каждый день обычной жизни
Вам только радость приносил.
Огня, душевной теплоты,
Здоровья, радости, веселья
И исполнения мечты.
Желаем также вам успеха,
И верных, преданных друзей,
Большого счастья в личной жизни
И честно пройденных путей!
В этот день январский,
В день особый этот,
Пожелать хотим мы
Солнечного света,
И тепла, и ласки,
и здоровья тоже,
Пусть печаль, невзгоды
Век Вас не тревожат.
Поживите с нами
Еще много лет!
Дружеский и теплый
Вам от нас привет!
Прекрасного здоровья, доброты!
Внимания, любви, тепла и счастья!
Пусть сбудутся надежды и мечты,
Приятно удивляет жизнь почаще!
И радует удача день за днем,
Мир станет ярче, а дела – успешней!
И ждет уютный, светлый дом,
В котором все поймут и все поддержат!
Пусть здоровье, радость, счастье
с вами дружат навсегда,
Пусть суровые несчастья
стороной обходят вас,
Пусть морщинки вас не старят,
пусть не трогает беда,
Пусть природа вам подарит долгие лета!
Пусть здоровье, счастье, радость
С вами дружат каждый час.
Пусть суровые несчастья
Стороной обходят Вас!
Стихи пожелания здоровья
Желаю бодрости всегда
И человеческого счастья,
Желаю жить и никогда
Не замечать, что годы мчатся
желаю радости душевной,
Успехов в жизни повседневной,
Здоровья крепкого всегда
не падать духом никогда.
Желаю бодрости всегда
И человеческого счастья,
Желаю жить и никогда
Не замечать, что годы мчатся.
Желаю радости душевной,
Успехов в жизни повседневной,
Здоровья крепкого всегда,
Не падать духом никогда.
Желаю быть всегда здоровой,
Всегда улыбкой день встречать,
Не знать обид, болезней, горя
И никогда не унывать!
Пусть здоровье, счастье, радость.
Будут рядом каждый час,
А суровое ненастье
Стороной обходит Вас.
И морщинки пусть не старят,
Пусть не трогает беда,
А природа пусть подарит
Жизнь на долгие года.
Желаем душевного личного счастья,
Чтоб в дверь не стучали беда и ненастья!
Желаем, чтоб любилось и мечталось,
Беда чтоб обходила стороной,
Чтобы душа красивой оставалась,
А ты всегда была бы молодой!
Желаем мира на земле,
И хлеба-соли на столе,
И чтоб здоровье крепким было,
И никогда не подводило,
Чтоб стучалась радость в дом
Утром, вечером и днем!
Желаю здоровья, бодрости,
Огромной женской гордости,
Уменья быть красивой,
Казаться всем счастливой.
Любить без вздохов, вечно,
Растить детей сердечно.
И жить не годы, а века.
И не стареть Вам никогда.
Всем сердцем желаем здоровья.
Успехов во всем и везде,
и чтобы сердечною болью
Тебя не пронзали года.
Чтоб дальше душа не старела.
Светились улыбкой глаза,
И только от счастья большого
Тихонько катилась слеза.
Спасибо за то, что ты есть,
За то, что твой голос весенний
Приходит, как добрая весть,
В минуты тревог и сомнений.
Пусть будет в жизни все, что нужно,
Чем жизнь бывает хороша -
Любовь, здоровье, счастье, дружба
И вечно добрая душа.
Чтоб боль и горе не встречались,
И чтобы радость не кончалась!
Желаю здоровья, тепла и добра,
Чтоб бед, неудач отступила пора,
Чтоб жить не тужить до 100 лет довелось,
Пусть сбудется все, что еще не сбылось.
Желаем света и добра,
Друзей хороших и тепла.
Жить долго весело и смело
Чтоб никогда не надоело.
Смеяться, верить и любить,
А главное здоровой быть.
Желаю красоты, здоровья
И ясных дней, что счастьем хороши
и сохранить до старости глубокой
И жизни вкус, и молодость души.
Чтоб солнце светило и сердце любило,
Чтоб невзгоды и беды
Превратились только в победы.
Стихи пожелания здоровья
Дай бог здоровья вам и счастья,
Любви - подснежника лесного,
чтоб, находясь в весенней власти.,
вы расцветали снова, снова.
Дай бог вам мудрости в решениях
И умножения лучших качеств,
С детьми прекрасных отношений
И понимания чудачеств
Дай бог вам радости от дела
и бой выигрывать с тоскою,
Чтоб море ласки не мелело
И никогда не знать покоя.
Желаю много лет прожить
И с горем не встречаться,
Кто сердцу мил, того любить
И с ним на век остаться.
Желаем благодатных дел
И жизнь достойную, без бед,
Чтоб утешение найти
В своих делах, в своем пути!
Желаем от людей привета,
Сердечности, тепла и света,
Надежных чувств и доброты,
Здоровья, силы, красоты!
Счастья мы желаем и здоровья,
И чтоб на все хватило сил.
Чтоб каждый день тебе с любовью
Только радость жизни приносил.
Желаю забыть про болезни, невзгоды,
Здоровою быть еще долгие годы,
Чтобы радость дарили Вам люди сполна,
Чтобы в сердце царили покой и весна!
Желаем здоровья, желаем успеха,
Побольше улыбок, веселого смеха!
Тебе желаю жизни долгой,
Желаю радости, тепла,
И если уж печаль, - то только
Легка пусть будет и светла.
Счастья, здоровья, радости, богатства,
Свет в твоем окошке, звонкий детский смех,
Море пожеланий посылаю вкратце,
Будь на этом празднике красивее всех!
Живи и здравствуй много лет,
Своим умом нас удивляй.
Желаем над собой побед,
Не вешай нос, не унывай!
Вокруг работы и забот
И дел всегда невпроворот.
И дачу, да и огород
Ты улучшай из года в год!
И пусть тепло умелых рук
Родных и близких согревает,
И сердца пламенного стук
Талант в них яркий зажигает!
Вдохновения и здоровья
На долгие века!
Пусть будет настроение
Приподнятым у Вас!
Безоблачной погода,
Во всех делах везет,
В любое время года
В душе цветет весна!
О, Боже, какой мужчина! Живи ты всегда красиво!
Ты не просто женщина, не просто женщина! Ты - богиня!
Спокойной ночи, милый! Я тебя люблю
Примите мои самые искренние пожелания доброго здоровья, счастья, благополучия, бодрости духа, долголетия, успехов и неиссякаемой жизненной энергии! Желаю Вам удачи во всех начинаниях, верных и точных решений, исполнения самых заветных желаний!
От сердца в лучший праздник
Примите пожелания наши,
Слова, согретые любовью:
Вам долгих лет, тепла желаем,
Улыбок, доброго здоровья!
Пусть станет жизнь красивей, ярче,
Поможет всем мечтам сбываться!
Успехов, радости, удачи,
Благополучия и счастья!
Как сегодня нам хочется
Пожелать от души
Вам здоровья и радости
и всех благ на пути.
Пусть Вас добрые люди
Окружают всегда
И улыбок, и радости,
Пожелаем мы Вам!
Венок лавровый мы Вам дарим
Слов теплых много говорим
И шлем пожелания удачи,
Счастья, радости, здоровья
Вам до глубокой старости.
Голосовые пожелания хорошего дня
Пусть сердце возрасту не поддается.
Пусть не страшат летящие года
Пусть счастливо и весело живется.
И пусть здоровье будет крепче.
Желаем радости и счастья,
Здоровья крепкого на век
Старайтесь больше улыбаться
Улыбка Вам всегда нужна.
Желаем удачи,
Тепла и добра,
Чтоб все неудачи
Сгорели дотла!
Чтоб жить - не тужить
До ста лет довелось,
Пусть сбудется то,
Что еще не сбылось!
Желаем Вам от всей души
Навечно доброго здоровья,
Любви хорошей бесконечной,
Большой надежды, крепкой веры,
И счастья полного без меры,
В работе прочного успеха,
А в жизни - искреннего смеха.
Прекрасного здоровья, доброты!
Внимания, любви, тепла и счастья!
Пусть сбудутся надежды и мечты,
Приятно удивляет жизнь почаще!
И радует удача день за днем,
Мир станет ярче, а дела – успешней!
И ждет уютный, светлый дом,
В котором все поймут и все поддержат!
Вдохновения и здоровья
На долгие века!
Пусть будет настроение
Приподнятым у Вас!
Безоблачной погода,
Во всех делах везет,
В любое время года
В душе цветет весна!
Прикольные голосовые открытки от Владимира Путина
Путин исполняет желания в День рождения
Путин поздравляет с юбилеем
Путин поздравляет и дарит Ладу Калину и ЙотаФон
Смс пожелания здоровья
Пускай как вешняя вода
Еще сто лет бегут года
А Вы живите, молодейте,
Душой и сердцем не старейте!
Желаем не болеть
И конечно не стареть.
Никогда не унывать
Ну а в целом - так держать!
Желаем солнечного света
Друзей за праздничным столом.
Пусть будет жизнь твоя согрета
Любовью, радостью, теплом.
И как всегда напомним снова
Тебе о главном - будь здорова!
Желаем счастья много-много
Улыбок радостный букет,
Друзей надежных и веселых,
Счастливой жизни, долгих лет.
И чтобы всем чертям назло
Жилось, любилось и везло!
Желаем света и добра.
Друзей хороших и тепла.
Жить долго весело и смело
Чтоб никогда не надоело.
Смеяться, верить и любить,
А главное здоровой быть.
Много слов хороших хочется сказать,
Счастья и здоровья пожелать,
Сердцем и душою вечно не стареть
И прожить на свете много-много лет.
Пусть будет меньше дней ненастья.
Тревог, обид, болезней, бед.
Здоровья, радости и счастья
Желаем Вам на много лет.
Уважая обычай старинный.
Говорю в этот радостный день:
Пусть твой жизненный путь будет длинным.
Без несчастий, утрат и потерь!!!
Желаю много счастья, много лет,
И никаких на свете бед!
Лишь веселья, лишь успехов
И здоровья без помех,
И желаю всяких благ,
Пусть же будет только так!
Всем сердцем желаем здоровья.
Успехов во всем и везде,
и чтобы сердечною болью
Тебя не пронзали года.
Спасибо за то, что ты есть,
За то, что твой голос весенний
Приходит, как добрая весть,
В минуты тревог и сомнений.
Поздравительная открытка
Пусть в твои дороги не войдут тревоги,
Пусть не встанет горе на твоем пути,
Пусть же не устанет и не перестанет
Счастье всю дорогу за тобой идти!
Пусть каждый день несет Вам радость,
Успех в труде, уют в семье.
Пусть не приходит в гости старость,
Живите долго на земле!
Желаем мира на земле,
И хлеба-соли на столе,
И чтоб здоровье крепким было,
И никогда не подводило,
Чтоб стучалась радость в дом
Утром, вечером и днем!
Красивые пожелания счастья и здоровья
Счастья желаем, здоровья, успехов,
Hежности, ласки, радости, смеха,
Желаем с родными мирно прожить,
С песней по жизни идти, не тужить!
Желаем счастья, светлых дней,
Здоровья, что всего ценней,
Дороги жизни подлинней
И много радости на ней!
Здоровья, радости и смеха,
Везде во всем Тебе успеха
И счастья столько, сколько надо,
Чтобы душа была бы рада,
И чтобы весело жилось
И что задумано - сбылось.
Желаем, чтоб жизнь никогда не кончалась,
Беда и печаль на пути не встречались,
Вечного счастья, хороших друзей,
Успехов, здоровья и солнечных дней!
Желаем здоровья - ведь часто его не хватает,
Веселья желаем - оно никогда не мешает.
Удачи желаем - она ведь приходит нечасто,
И просто желаем огромного личного счастья!
Желаем счастья и добра,
Желаем жизни полной,
Желаем радости с утра
До самой ночи поздней.
Желаем в жизни все успеть,
И не стареть, а молодеть.
Здоровье, бодрость сохранить
И много-много лет прожить.
Поздравляю: сегодня мы будем разбирать корни — одну из самых мозговыносящих тем 8-го класса.:)
Многие путаются в корнях не потому, что они сложные (чего там сложного-то — пара определений и ещё пара свойств), а потому что в большинстве школьных учебников корни определяются через такие дебри, что разобраться в этой писанине могут разве что сами авторы учебников. Да и то лишь с бутылкой хорошего виски.:)
Поэтому сейчас я дам самое правильное и самое грамотное определение корня — единственное, которое вам действительно следует запомнить. А уже затем объясню: зачем всё это нужно и как это применять на практике.
Но сначала запомните один важный момент, про который многие составители учебников почему-то «забывают»:
Корни бывают чётной степени (наш любимый $\sqrt{a}$, а также всякие $\sqrt{a}$ и даже $\sqrt{a}$) и нечётной степени (всякие $\sqrt{a}$, $\sqrt{a}$ и т.д.). И определение корня нечётной степени несколько отличается от чётной.
Вот в этом грёбаном «несколько отличается» скрыто, наверное, 95% всех ошибок и недопонимания, связанного с корнями. Поэтому давайте раз и навсегда разберёмся с терминологией:
Определение. Корень чётной степени n из числа $a$ — это любое неотрицательное число $b$ такое, что ${{b}^{n}}=a$. А корень нечётной степени из того же числа $a$ — это вообще любое число $b$, для которого выполняется всё то же равенство: ${{b}^{n}}=a$.
В любом случае корень обозначается вот так:
\{a}\]
Число $n$ в такой записи называется показателем корня, а число $a$ — подкоренным выражением. В частности, при $n=2$ получим наш «любимый» квадратный корень (кстати, это корень чётной степени), а при $n=3$ — кубический (степень нечётная), который тоже часто встречается в задачах и уравнениях.
Примеры. Классические примеры квадратных корней:
\[\begin{align} & \sqrt{4}=2; \\ & \sqrt{81}=9; \\ & \sqrt{256}=16. \\ \end{align}\]
Кстати, $\sqrt{0}=0$, а $\sqrt{1}=1$. Это вполне логично, поскольку ${{0}^{2}}=0$ и ${{1}^{2}}=1$.
Кубические корни тоже часто встречаются — не надо их бояться:
\[\begin{align} & \sqrt{27}=3; \\ & \sqrt{-64}=-4; \\ & \sqrt{343}=7. \\ \end{align}\]
Ну, и парочка «экзотических примеров»:
\[\begin{align} & \sqrt{81}=3; \\ & \sqrt{-32}=-2. \\ \end{align}\]
Если вы не поняли, в чём разница между чётной и нечётной степенью — перечитайте определение ещё раз. Это очень важно!
А мы тем временем рассмотрим одну неприятную особенность корней, из-за которой нам и потребовалось вводить раздельное определение для чётных и нечётных показателей.
Зачем вообще нужны корни?
Прочитав определение, многие ученики спросят: «Что курили математики, когда это придумывали?» И вправду: зачем вообще нужны все эти корни?
Чтобы ответить на этот вопрос, вернёмся на минутку в начальные классы. Вспомните: в те далёкие времена, когда деревья были зеленее, а пельмени вкуснее, основная наша забота была в том, чтобы правильно умножать числа. Ну, что-нибудь в духе «пять на пять — двадцать пять», вот это вот всё. Но ведь можно умножать числа не парами, а тройками, четвёрками и вообще целыми комплектами:
\[\begin{align} & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end{align}\]
Однако суть не в этом. Фишка в другом: математики — людишки ленивые, поэтому им было в лом записывать умножение десяти пятёрок вот так:
Поэтому они придумали степени. Почему бы вместо длинной строки не записать количество множителей в виде верхнего индекса? Типа вот такого:
Это же очень удобно! Все вычисления сокращаются в разы, и можно не тратить кучу листов пергамента блокнотиков на запись какого-нибудь 5 183 . Такую запись назвали степенью числа, у неё нашли кучу свойств, но счастье оказалось недолгим.
После грандиозной пьянки, которую организовали как раз по поводу «открытия» степеней, какой-то особо упоротый математик вдруг спросил: «А что, если нам известна степень числа, но неизвестно само число?» Вот, действительно, если нам известно, что некое число $b$, допустим, в 5-й степени даёт 243, то как нам догадаться, чему равно само число $b$?
Проблема эта оказалась гораздо более глобальной, чем может показаться на первый взгляд. Потому что выяснилось, что для большинства «готовых» степеней таких «исходных» чисел нет. Судите сами:
\[\begin{align} & {{b}^{3}}=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & {{b}^{3}}=64\Rightarrow b=4\cdot 4\cdot 4\Rightarrow b=4. \\ \end{align}\]
А, что если ${{b}^{3}}=50$? Получается, что нужно найти некое число, которое будучи трижды умноженное само на себя даст нам 50. Но что это за число? Оно явно больше 3, поскольку 3 3 = 27 < 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 > 50. Т.е. это число лежит где-то между тройкой и четвёркой, но чему оно равно — фиг поймёшь.
Именно для этого математики и придумали корни $n$-й степени. Именно для этого ввели значок радикала $\sqrt{*}$. Чтобы обозначить то самое число $b$, которое в указанной степени даст нам заранее известную величину
\[\sqrt[n]{a}=b\Rightarrow {{b}^{n}}=a\]
Не спорю: зачастую эти корни легко считаются — мы видели несколько таких примеров выше. Но всё-таки в большинстве случаев, если вы загадаете произвольное число, а затем попробуете извлечь из него корень произвольной степени, вас ждёт жестокий облом.
Да что там! Даже самый простой и всем знакомый $\sqrt{2}$ нельзя представить в привычном нам виде — как целое число или дробушка. А если вы вобьёте это число в калькулятор, то увидите вот это:
\[\sqrt{2}=1,414213562...\]
Как видите, после запятой идёт бесконечная последовательность цифр, которые не подчиняются никакой логике. Можно, конечно, округлить это число, чтобы быстро сравнить с другими числами. Например:
\[\sqrt{2}=1,4142...\approx 1,4 \lt 1,5\]
Или вот ещё пример:
\[\sqrt{3}=1,73205...\approx 1,7 \gt 1,5\]
Но все эти округления, во-первых, довольно грубые; а во-вторых, работать с примерными значениями тоже надо уметь, иначе можно словить кучу неочевидных ошибок (кстати, навык сравнения и округления в обязательном порядке проверяют на профильном ЕГЭ).
Поэтому в серьёзной математике без корней не обойтись — они являются такими же равноправными представителями множества всех действительных чисел $\mathbb{R}$, как и давно знакомые нам дроби и целые числа.
Невозможность представить корень в виде дроби вида $\frac{p}{q}$ означает, что данный корень не является рациональным числом. Такие числа называются иррациональными, и их нельзя точно представить иначе как с помощью радикала, либо других специально предназначенных для этого конструкций (логарифмов, степеней, пределов и т.д.). Но об этом — в другой раз.
Рассмотрим несколько примеров, где после всех вычислений иррациональные числа всё же останутся в ответе.
\[\begin{align} & \sqrt{2+\sqrt{27}}=\sqrt{2+3}=\sqrt{5}\approx 2,236... \\ & \sqrt{\sqrt{-32}}=\sqrt{-2}\approx -1,2599... \\ \end{align}\]
Естественно, по внешнему виду корня практически невозможно догадаться о том, какие числа будут идти после запятой. Впрочем, можно, посчитать на калькуляторе, но даже самый совершенный калькулятор дат нам лишь несколько первых цифр иррационального числа. Поэтому гораздо правильнее записать ответы в виде $\sqrt{5}$ и $\sqrt{-2}$.
Именно для этого их и придумали. Чтобы удобно записывать ответы.
Почему нужны два определения?
Внимательный читатель уже наверняка заметил, что все квадратные корни, приведённые в примерах, извлекаются из положительных чисел. Ну, в крайнем случае из нуля. А вот кубические корни невозмутимо извлекаются абсолютно из любого числа — хоть положительного, хоть отрицательного.
Почему так происходит? Взгляните на график функции $y={{x}^{2}}$:
График квадратичной функции даёт два корня: положительный и отрицательныйПопробуем с помощью этого графика посчитать $\sqrt{4}$. Для этого на графике проведена горизонтальная линия $y=4$ (отмечена красным цветом), которая пересекается с параболой в двух точках:${{x}_{1}}=2$ и ${{x}_{2}}=-2$. Это вполне логично, поскольку
С первым числом всё понятно — оно положительное, поэтому оно и есть корень:
Но что тогда делать со второй точкой? Типа у четвёрки сразу два корня? Ведь если возвести в квадрат число −2, мы тоже получим 4. Почему бы тогда не записать$\sqrt{4}=-2$? И почему учителя смотрят на подобные записи так, как будто хотят вас сожрать?:)
В том-то и беда, что если не накладывать никаких дополнительных условий, то квадратных корней у четвёрки будет два — положительный и отрицательный. И у любого положительного числа их тоже будет два. А вот у отрицательных чисел корней вообще не будет — это видно всё по тому же графику, поскольку парабола нигде не опускается ниже оси y , т.е. не принимает отрицательных значений.
Подобная проблема возникает у всех корней с чётным показателем:
- Строго говоря, корней с чётным показателем $n$ у каждого положительного числа будет сразу две штуки;
- Из отрицательных чисел корень с чётным $n$ вообще не извлекается.
Именно поэтому в определении корня чётной степени $n$ специально оговаривается, что ответ должен быть неотрицательным числом. Так мы избавляемся от неоднозначности.
Зато для нечётных $n$ такой проблемы нет. Чтобы убедиться в этом, давайте взглянем на график функции $y={{x}^{3}}$:
Кубическая парабола принимает любые значения, поэтому кубический корень извлекается из любого числаИз этого графика можно сделать два вывода:
- Ветви кубической параболы, в отличие от обычной, уходят на бесконечность в обе стороны — и вверх, и вниз. Поэтому на какой бы высоте мы ни проводили горизонтальную прямую, эта прямая обязательно пересечётся с нашим графиком. Следовательно, кубический корень можно извлечь всегда, абсолютно из любого числа;
- Кроме того, такое пересечение всегда будет единственным, поэтому не нужно думать, какое число считать «правильным» корнем, а на какое — забить. Именно поэтому определение корней для нечётной степени проще, чем для чётной (отсутствует требование неотрицательности).
Жаль, что эти простые вещи не объясняют в большинстве учебников. Вместо этого нам начинают парить мозг всякими арифметическими корнями и их свойствами.
Да, я не спорю: что такое арифметический корень — тоже надо знать. И я подробно расскажу об этом в отдельном уроке. Сегодня мы тоже поговорим о нём, поскольку без него все размышления о корнях $n$-й кратности были бы неполными.
Но сначала надо чётко усвоить то определение, которое я дал выше. Иначе из-за обилия терминов в голове начнётся такая каша, что в итоге вообще ничего не поймёте.
А всего-то и нужно понять разницу между чётными и нечётными показателями. Поэтому ещё раз соберём всё, что действительно нужно знать о корнях:
- Корень чётной степени существует лишь из неотрицательного числа и сам всегда является неотрицательным числом. Для отрицательных чисел такой корень неопределён.
- А вот корень нечётной степени существует из любого числа и сам может быть любым числом: для положительных чисел он положителен, а для отрицательных — как намекает кэп, отрицательный.
Разве это сложно? Нет, не сложно. Понятно? Да вообще очевидно! Поэтому сейчас мы немного потренируемся с вычислениями.
Основные свойства и ограничения
У корней много странных свойств и ограничений — об этом будет отдельный урок. Поэтому сейчас мы рассмотрим лишь самую важную «фишку», которая относится лишь к корням с чётным показателем. Запишем это свойство в виде формулы:
\[\sqrt{{{x}^{2n}}}=\left| x \right|\]
Другими словами, если возвести число в чётную степень, а затем из этого извлечь корень той же степени, мы получим не исходное число, а его модуль . Это простая теорема, которая легко доказывается (достаточно отдельно рассмотреть неотрицательные $x$, а затем отдельно — отрицательные). О ней постоянно талдычат учителя, её дают в каждом школьном учебнике. Но как только дело доходит до решения иррациональных уравнений (т.е. уравнений, содержащих знак радикала), ученики дружно забывают эту формулу.
Чтобы детально разобраться в вопросе, давайте на минуту забудем все формулы и попробуем посчитать два числа напролом:
\[\sqrt{{{3}^{4}}}=?\quad \sqrt{{{\left(-3 \right)}^{4}}}=?\]
Это очень простые примеры. Первый пример решит большинство людишек, а вот на втором многие залипают. Чтобы без проблем решить любую подобную хрень, всегда учитывайте порядок действий:
- Сначала число возводится в четвёртую степень. Ну, это как бы несложно. Получится новое число, которое даже в таблице умножения можно найти;
- И вот уже из этого нового числа необходимо извлечь корень четвёртой степени. Т.е. никакого «сокращения» корней и степеней не происходит — это последовательные действия.
Раберёмся с первым выражением: $\sqrt{{{3}^{4}}}$. Очевидно, что сначала надо посчитать выражение, стоящее под корнем:
\[{{3}^{4}}=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]
Затем извлекаем корень четвёртой степени из числа 81:
Теперь сделаем то же самое со вторым выражением. Сначала возводим число −3 в четвёртую степени, для чего потребуется умножить его само на себя 4 раза:
\[{{\left(-3 \right)}^{4}}=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)=81\]
Получили положительное число, поскольку общее количество минусов в произведении — 4 штуки, и они все взаимно уничтожится (ведь минус на минус даёт плюс). Дальше вновь извлекаем корень:
В принципе, эту строчку можно было не писать, поскольку и ежу понятно, что ответ получится один и тот же. Т.е. чётный корень из той же чётной степени «сжигает» минусы, и в этом смысле результат неотличим от обычного модуля:
\[\begin{align} & \sqrt{{{3}^{4}}}=\left| 3 \right|=3; \\ & \sqrt{{{\left(-3 \right)}^{4}}}=\left| -3 \right|=3. \\ \end{align}\]
Эти вычисления хорошо согласуются с определением корня чётной степени: результат всегда неотрицателен, да и под знаком радикала тоже всегда стоит неотрицательное число. В противном случае корень не определён.
Замечание по поводу порядка действий
- Запись $\sqrt{{{a}^{2}}}$ означает, что мы сначала возводим число $a$ в квадрат, а затем извлекаем из полученного значения квадратный корень. Следовательно, мы можем быть уверены, что под знаком корня всегда сидит неотрицательное число, поскольку ${{a}^{2}}\ge 0$ в любом случае;
- А вот запись ${{\left(\sqrt{a} \right)}^{2}}$, напротив, означает, что мы сначала извлекаем корень из некого числа $a$ и лишь затем возводим результат в квадрат. Поэтому число $a$ ни в коем случае не может быть отрицательным — это обязательное требование, заложенное в определение.
Таким образом, ни в коем случае нельзя бездумно сокращать корни и степени, тем самым якобы «упрощая» исходное выражение. Потому что если под корнем стоит отрицательное число, а его показатель является чётным, мы получим кучу проблем.
Впрочем, все эти проблемы актуальны лишь для чётных показателей.
Вынесение минуса из-под знака корня
Естественно, у корней с нечётными показателями тоже есть своя фишка, которой в принципе не бывает у чётных. А именно:
\[\sqrt{-a}=-\sqrt{a}\]
Короче говоря, можно выносить минус из-под знака корней нечётной степени. Это очень полезное свойство, которое позволяет «вышвырнуть» все минусы наружу:
\[\begin{align} & \sqrt{-8}=-\sqrt{8}=-2; \\ & \sqrt{-27}\cdot \sqrt{-32}=-\sqrt{27}\cdot \left(-\sqrt{32} \right)= \\ & =\sqrt{27}\cdot \sqrt{32}= \\ & =3\cdot 2=6. \end{align}\]
Это простое свойство значительно упрощает многие вычисления. Теперь не нужно переживать: вдруг под корнем затесалось отрицательное выражение, а степень у корня оказалась чётной? Достаточно лишь «вышвырнуть» все минусы за пределы корней, после чего их можно будет умножать друг на друга, делить и вообще делать многие подозрительные вещи, которые в случае с «классическими» корнями гарантированно приведут нас к ошибке.
И вот тут на сцену выходит ещё одно определение — то самое, с которого в большинстве школ и начинают изучение иррациональных выражений. И без которого наши рассуждения были бы неполными. Встречайте!
Арифметический корень
Давайте предположим на минутку, что под знаком корня могут находиться лишь положительные числа или в крайнем случае ноль. Забьём на чётные/нечётные показатели, забьём на все определения, приведённые выше — будем работать только с неотрицательными числами. Что тогда?
А тогда мы получим арифметический корень — он частично пересекается с нашими «стандартными» определениями, но всё же отличается от них.
Определение. Арифметическим корнем $n$-й степени из неотрицательного числа $a$ называется такое неотрицательное число $b$, что ${{b}^{n}}=a$.
Как видим, нас больше не интересует чётность. Взамен неё появилось новое ограничение: подкоренное выражение теперь всегда неотрицательно, да и сам корень тоже неотрицателен.
Чтобы лучше понять, чем арифметический корень отличается от обычного, взгляните на уже знакомые нам графики квадратной и кубической параболы:
Область поиска арифметического корня — неотрицательные числаКак видите, отныне нас интересуют лишь те куски графиков, которые расположены в первой координатной четверти — там, где координаты $x$ и $y$ положительны (или хотя бы ноль). Больше не нужно смотреть на показатель, чтобы понять: имеем мы право ставить под корень отрицательное число или нет. Потому что отрицательные числа больше в принципе не рассматриваются.
Возможно, вы спросите: «Ну и зачем нам такое кастрированное определение?» Или: «Почему нельзя обойтись стандартным определением, данным выше?»
Что ж, приведу всего одно свойство, из-за которого новое определение становится целесообразным. Например, правило возведения в степень:
\[\sqrt[n]{a}=\sqrt{{{a}^{k}}}\]
Обратите внимание: мы можем возвести подкоренное выражение в любую степень и одновременно умножить на эту же степень показатель корня — и в результате получится то же самое число! Вот примеры:
\[\begin{align} & \sqrt{5}=\sqrt{{{5}^{2}}}=\sqrt{25} \\ & \sqrt{2}=\sqrt{{{2}^{4}}}=\sqrt{16} \\ \end{align}\]
Ну и что в этом такого? Почему мы не могли сделать это раньше? А вот почему. Рассмотрим простое выражение: $\sqrt{-2}$ — это число вполне нормальное в нашем классическом понимании, но абсолютно недопустимо с точки зрения арифметического корня. Попробуем преобразовать его:
$\begin{align} & \sqrt{-2}=-\sqrt{2}=-\sqrt{{{2}^{2}}}=-\sqrt{4} \lt 0; \\ & \sqrt{-2}=\sqrt{{{\left(-2 \right)}^{2}}}=\sqrt{4} \gt 0. \\ \end{align}$
Как видите, в первом случае мы вынесли минус из-под радикала (имеем полное право, т.к. показатель нечётный), а во втором — воспользовались указанной выше формулой. Т.е. с точки зрения математики всё сделано по правилам.
WTF?! Как одно и то же число может быть и положительным, и отрицательным? Никак. Просто формула возведения в степень, которая прекрасно работает для положительных чисел и нуля, начинает выдавать полную ересь в случае с отрицательными числами.
Вот для того, чтобы избавиться от подобной неоднозначности, и придумали арифметические корни. Им посвящён отдельный большой урок, где мы подробно рассматриваем все их свойства. Так что сейчас не будем на них останавливаться — урок и так получился слишком затянутым.
Алгебраический корень: для тех, кто хочет знать больше
Долго думал: выносить эту тему в отдельный параграф или нет. В итоге решил оставить здесь. Данный материал предназначен для тех, кто хочет понять корни ещё лучше — уже не на среднем «школьном» уровне, а на приближенном к олимпиадному.
Так вот: помимо «классического» определения корня $n$-й степени из числа и связанного с ним разделения на чётные и нечётные показатели есть более «взрослое» определение, которое вообще не зависит от чётности и прочих тонкостей. Это называется алгебраическим корнем.
Определение. Алгебраический корень $n$-й степени из числа любого $a$ — это множество всех чисел $b$ таких, что ${{b}^{n}}=a$. Для таких корней нет устоявшегося обозначения, поэтому просто поставим чёрточку сверху:
\[\overline{\sqrt[n]{a}}=\left\{ b\left| b\in \mathbb{R};{{b}^{n}}=a \right. \right\}\]
Принципиальное отличие от стандартного определения, приведённого в начале урока, состоит в том, что алгебраический корень — это не конкретное число, а множество. А поскольку мы работаем с действительными числами, это множество бывает лишь трёх типов:
- Пустое множество. Возникает в случае, когда требуется найти алгебраический корень чётной степени из отрицательного числа;
- Множество, состоящее из одного-единственного элемента. Все корни нечётных степеней, а также корни чётных степеней из нуля попадают в эту категорию;
- Наконец, множество может включать два числа — те самые ${{x}_{1}}$ и ${{x}_{2}}=-{{x}_{1}}$, которое мы видели на графике квадратичной функции. Соответственно, такой расклад возможен лишь при извлечении корня чётной степени из положительного числа.
Последний случай заслуживает более подробного рассмотрения. Посчитаем парочку примеров, чтобы понять разницу.
Пример. Вычислите выражения:
\[\overline{\sqrt{4}};\quad \overline{\sqrt{-27}};\quad \overline{\sqrt{-16}}.\]
Решение. С первым выражением всё просто:
\[\overline{\sqrt{4}}=\left\{ 2;-2 \right\}\]
Именно два числа входят в состав множества. Потому что каждое из них в квадрате даёт четвёрку.
\[\overline{\sqrt{-27}}=\left\{ -3 \right\}\]
Тут мы видим множество, состоящее лишь из одного числа. Это вполне логично, поскольку показатель корня — нечётный.
Наконец, последнее выражение:
\[\overline{\sqrt{-16}}=\varnothing \]
Получили пустое множество. Потому что нет ни одного действительного числа, которое при возведении в четвёртую (т.е. чётную!) степень даст нам отрицательное число −16.
Финальное замечание. Обратите внимание: я не случайно везде отмечал, что мы работаем с действительными числами. Потому что есть ещё комплексные числа — там вполне можно посчитать и $\sqrt{-16}$, и многие другие странные вещи.
Однако в современном школьном курсе математики комплексные числа почти не встречаются. Их вычеркнули из большинства учебников, поскольку наши чиновники считают эту тему «слишком сложной для понимания».