Что такое строгие и нестрогие неравенства. Двойные, тройные и т.п
«Числовые неравенства» - Если a>b и m<0, то am
«Решение показательных неравенств» - Структура урока. Когда показательное неравенство не имеет решений? Альберт Эйнштейн. 1 Область определения функции. 3. Промежутки сравнения значений функции с единицей. Убывает на всей области определения, 8. При любых действительных значениях х и у; a>0, a?1; b>0, b?1. План лекции. Как решаются неравенства, сводящиеся к квадратным?
«Решение дробно-рациональных неравенств» - Решите неравенство. Знаменатель. Решение. Выколотые и невыколотые точки. Назовите числа. Числитель и знаменатель. Назовите выколотые и невыколотые точки. Точки. Найти «нули». Луч. Домножать на знаменатель, содержащий неизвестное. Решение дробно-рациональных неравенств. Определить знак. Решите. Выражение.
«Решение систем неравенств» - Закрепление. Записать неравенства, множеством решения которых служат промежутки. Решение систем неравенств. Повторение. Отрезки. Полуинтервалы. Чтобы решить систему линейных неравенств, достаточно решить каждое из входящих в неё неравенство и найти пересечение множеств их решений. Интервалы. Математический диктант.
«Показательные неравенства» - Что нужно учесть при решении показательных неравенств? Решение простейших показательных неравенств. Что нужно учесть при решении простейших показательных неравенств? Решение неравенства. Решение простейших показательных неравенств. Решите неравенство. Знак неравенства. Неравенство, содержащее неизвестную в показателе степени, называется показательным неравенством.
«Числовые неравенства и числовые промежутки» - Самостоятельная работа. Числовой луч. Неравенство. Проверка. Числовые промежутки. Понятие числового промежутка. Числовой отрезок. Множество действительных чисел. Полуинтервал. Изобразите промежутки на координатной прямой. Числовой промежуток. Открытый луч. Назовите промежутки. Множество всех чисел. Число.
Всего в теме 38 презентаций
Задача 1. Турист прошёл в первый день более 20 км, а во второй более 25 км, значит, можно утверждать, что за два дня турист прошёл более 45 км. Задача 2. Длина прямоугольника меньше 13 см, а ширина меньше 5 см, значит, можно утверждать, что площадь этого прямоугольника меньше 65 см² При решении различных задач часто приходится складывать или умножать неравенства, т. е. складывать или умножать отдельно левые и правые части неравенств.
B и c > d, то а + с > b + d Примеры: 3 > 2,5 5 > 4 " title="При рассмотрении этих примеров надо применять следующие теоремы о сложении и умножении неравенств: Теорема 1. При сложении неравенств одинакового знака получается неравенство того же знака: если а > b и c > d, то а + с > b + d Примеры: 3 > 2,5 5 > 4 " class="link_thumb"> 3 При рассмотрении этих примеров надо применять следующие теоремы о сложении и умножении неравенств: Теорема 1. При сложении неравенств одинакового знака получается неравенство того же знака: если а > b и c > d, то а + с > b + d Примеры: 3 > 2,5 5 > 4 1,2 6,5 1,8 b и c > d, то а + с > b + d Примеры: 3 > 2,5 5 > 4 "> b и c > d, то а + с > b + d Примеры: 3 > 2,5 5 > 4 1,2 6,5 1,8 b и c > d, то а + с > b + d Примеры: 3 > 2,5 5 > 4 " title="При рассмотрении этих примеров надо применять следующие теоремы о сложении и умножении неравенств: Теорема 1. При сложении неравенств одинакового знака получается неравенство того же знака: если а > b и c > d, то а + с > b + d Примеры: 3 > 2,5 5 > 4 "> title="При рассмотрении этих примеров надо применять следующие теоремы о сложении и умножении неравенств: Теорема 1. При сложении неравенств одинакового знака получается неравенство того же знака: если а > b и c > d, то а + с > b + d Примеры: 3 > 2,5 5 > 4 ">
B, c > d и а, b, c, d положительные числа, тогда а с > b d. Примеры: 3,2 > 3,1 3 > 2 9,6 > 6,2 1,8 b, c > d и а, b, c, d положительные числа, тогда а с > b d. Примеры: 3,2 > 3,1 3 > 2 9,6 > 6,2 1,8 4 Теорема 2. При умножении неравенств одинакового знака, у которых левые и правые части положительны, получается неравенство того же знака: а > b, c > d и а, b, c, d положительные числа, тогда а с > b d. Примеры: 3,2 > 3,1 3 > 2 9,6 > 6,2 1,8 b, то а² > b². а > b а² > b² b, c > d и а, b, c, d положительные числа, тогда а с > b d. Примеры: 3,2 > 3,1 3 > 2 9,6 > 6,2 1,8 b, c > d и а, b, c, d положительные числа, тогда а с > b d. Примеры: 3,2 > 3,1 3 > 2 9,6 > 6,2 1,8 b, то а² > b². а > b а² > b²"> b, c > d и а, b, c, d положительные числа, тогда а с > b d. Примеры: 3,2 > 3,1 3 > 2 9,6 > 6,2 1,8 b, c > d и а, b, c, d положительные числа, тогда а с > b d. Примеры: 3,2 > 3,1 3 > 2 9,6 > 6,2 1,8 title="Теорема 2. При умножении неравенств одинакового знака, у которых левые и правые части положительны, получается неравенство того же знака: а > b, c > d и а, b, c, d положительные числа, тогда а с > b d. Примеры: 3,2 > 3,1 3 > 2 9,6 > 6,2 1,8
B и n натуральное, то Например, из неравенства 5 > 3 следует неравенство 5³ > 3³. Блиц-опрос. Сложить почленное неравенства: 1) 12 > 2,5 и 1 > 313 > 0,5 2) 5 b и n натуральное, то Например, из неравенства 5 > 3 следует неравенство 5³ > 3³. Блиц-опрос. Сложить почленное неравенства: 1) 12 > 2,5 и 1 > 313 > 0,5 2) 5 5 Аналогично, если а, b положительные числа, а > b и n натуральное, то Например, из неравенства 5 > 3 следует неравенство 5³ > 3³. Блиц-опрос. Сложить почленное неравенства: 1) 12 > 2,5 и 1 > 313 > 0,5 2) 5 2 и 0 > 5 4 > 7 b и n натуральное, то Например, из неравенства 5 > 3 следует неравенство 5³ > 3³. Блиц-опрос. Сложить почленное неравенства: 1) 12 > 2,5 и 1 > 313 > 0,5 2) 5 b и n натуральное, то Например, из неравенства 5 > 3 следует неравенство 5³ > 3³. Блиц-опрос. Сложить почленное неравенства: 1) 12 > 2,5 и 1 > 313 > 0,5 2) 5 2 и 0 > 5 4 > 7"> b и n натуральное, то Например, из неравенства 5 > 3 следует неравенство 5³ > 3³. Блиц-опрос. Сложить почленное неравенства: 1) 12 > 2,5 и 1 > 313 > 0,5 2) 5 b и n натуральное, то Например, из неравенства 5 > 3 следует неравенство 5³ > 3³. Блиц-опрос. Сложить почленное неравенства: 1) 12 > 2,5 и 1 > 313 > 0,5 2) 5 title="Аналогично, если а, b положительные числа, а > b и n натуральное, то Например, из неравенства 5 > 3 следует неравенство 5³ > 3³. Блиц-опрос. Сложить почленное неравенства: 1) 12 > 2,5 и 1 > 313 > 0,5 2) 5
2,5 и 8 > 396 > 7,5 2) 5 2 и 30 >5120 > 10 5) 14 > 3 и 0 > 5Умножение невозможно 6) а > 3 и b > 5a b > 15 7) а > 4 и b > 6 Умножение не" title="Блиц-опрос.Выполнить умножение неравенств: 1) 12 > 2,5 и 8 > 396 > 7,5 2) 5 2 и 30 >5120 > 10 5) 14 > 3 и 0 > 5Умножение невозможно 6) а > 3 и b > 5a b > 15 7) а > 4 и b > 6 Умножение не" class="link_thumb"> 6 Блиц-опрос.Выполнить умножение неравенств: 1) 12 > 2,5 и 8 > 396 > 7,5 2) 5 2 и 30 >5120 > 10 5) 14 > 3 и 0 > 5Умножение невозможно 6) а > 3 и b > 5a b > 15 7) а > 4 и b > 6 Умножение невозможно 2,5 и 8 > 396 > 7,5 2) 5 2 и 30 >5120 > 10 5) 14 > 3 и 0 > 5Умножение невозможно 6) а > 3 и b > 5a b > 15 7) а > 4 и b > 6 Умножение не"> 2,5 и 8 > 396 > 7,5 2) 5 2 и 30 >5120 > 10 5) 14 > 3 и 0 > 5Умножение невозможно 6) а > 3 и b > 5a b > 15 7) а > 4 и b > 6 Умножение невозможно"> 2,5 и 8 > 396 > 7,5 2) 5 2 и 30 >5120 > 10 5) 14 > 3 и 0 > 5Умножение невозможно 6) а > 3 и b > 5a b > 15 7) а > 4 и b > 6 Умножение не" title="Блиц-опрос.Выполнить умножение неравенств: 1) 12 > 2,5 и 8 > 396 > 7,5 2) 5 2 и 30 >5120 > 10 5) 14 > 3 и 0 > 5Умножение невозможно 6) а > 3 и b > 5a b > 15 7) а > 4 и b > 6 Умножение не"> title="Блиц-опрос.Выполнить умножение неравенств: 1) 12 > 2,5 и 8 > 396 > 7,5 2) 5 2 и 30 >5120 > 10 5) 14 > 3 и 0 > 5Умножение невозможно 6) а > 3 и b > 5a b > 15 7) а > 4 и b > 6 Умножение не">
4, b > 2, то 2 а b + 8 > 24. Решение. а > 4, b > 2, а b ______, 2 а b________, 2 а b + 8 ________. > 8> 16 > 24 Задача 2. Одна из сторон прямоугольника а больше 2, но меньше 5 ед.; другая сторона b больше 3, но меньше" title="Задача 1. Доказать, что если а > 4, b > 2, то 2 а b + 8 > 24. Решение. а > 4, b > 2, а b ______, 2 а b________, 2 а b + 8 ________. > 8> 16 > 24 Задача 2. Одна из сторон прямоугольника а больше 2, но меньше 5 ед.; другая сторона b больше 3, но меньше" class="link_thumb"> 7 Задача 1. Доказать, что если а > 4, b > 2, то 2 а b + 8 > 24. Решение. а > 4, b > 2, а b ______, 2 а b________, 2 а b + 8 ________. > 8> 16 > 24 Задача 2. Одна из сторон прямоугольника а больше 2, но меньше 5 ед.; другая сторона b больше 3, но меньше 10 ед. Каким числом квадратных единиц может быть площадь S этого прямоугольника? Решение. По условию 2 4, b > 2, то 2 а b + 8 > 24. Решение. а > 4, b > 2, а b ______, 2 а b________, 2 а b + 8 ________. > 8> 16 > 24 Задача 2. Одна из сторон прямоугольника а больше 2, но меньше 5 ед.; другая сторона b больше 3, но меньше"> 4, b > 2, то 2 а b + 8 > 24. Решение. а > 4, b > 2, а b ______, 2 а b________, 2 а b + 8 ________. > 8> 16 > 24 Задача 2. Одна из сторон прямоугольника а больше 2, но меньше 5 ед.; другая сторона b больше 3, но меньше 10 ед. Каким числом квадратных единиц может быть площадь S этого прямоугольника? Решение. По условию 2 4, b > 2, то 2 а b + 8 > 24. Решение. а > 4, b > 2, а b ______, 2 а b________, 2 а b + 8 ________. > 8> 16 > 24 Задача 2. Одна из сторон прямоугольника а больше 2, но меньше 5 ед.; другая сторона b больше 3, но меньше" title="Задача 1. Доказать, что если а > 4, b > 2, то 2 а b + 8 > 24. Решение. а > 4, b > 2, а b ______, 2 а b________, 2 а b + 8 ________. > 8> 16 > 24 Задача 2. Одна из сторон прямоугольника а больше 2, но меньше 5 ед.; другая сторона b больше 3, но меньше"> title="Задача 1. Доказать, что если а > 4, b > 2, то 2 а b + 8 > 24. Решение. а > 4, b > 2, а b ______, 2 а b________, 2 а b + 8 ________. > 8> 16 > 24 Задача 2. Одна из сторон прямоугольника а больше 2, но меньше 5 ед.; другая сторона b больше 3, но меньше">
(больше) и 0,23, 0,54 с строгие неравенства. Наряду со знаками строгих неравенств > и (больше) и 0,23, 0,54 с строгие неравенства. Наряду со знаками строгих неравенств > и 8 Неравенства со знаками > (больше) и 0,23, 0,54 с строгие неравенства. Наряду со знаками строгих неравенств > и (больше) и 0,23, 0,54 с строгие неравенства. Наряду со знаками строгих неравенств > и (больше) и 0,23, 0,54 с строгие неравенства. Наряду со знаками строгих неравенств > и (больше) и 0,23, 0,54 с строгие неравенства. Наряду со знаками строгих неравенств > и (больше) и 0,23, 0,54 с строгие неравенства. Наряду со знаками строгих неравенств > и title="Неравенства со знаками > (больше) и 0,23, 0,54 с строгие неравенства. Наряду со знаками строгих неравенств > и
B или a = b, т. е а не меньше b. Точно так же неравенство a b означает, что a b или a = b, т. е а не меньше b. Точно так же неравенство a b означает, что a 9 Неравенство a b означает, что a > b или a = b, т. е а не меньше b. Точно так же неравенство a b означает, что a b или a = b, т. е а не меньше b. Точно так же неравенство a b означает, что a b или a = b, т. е а не меньше b. Точно так же неравенство a b означает, что a b или a = b, т. е а не меньше b. Точно так же неравенство a b означает, что a b или a = b, т. е а не меньше b. Точно так же неравенство a b означает, что a title="Неравенство a b означает, что a > b или a = b, т. е а не меньше b. Точно так же неравенство a b означает, что a
Записать условие задачи с помощью неравенств. 1)Рост Антона (h cm) не превышает роста Коли, равного 165 см, но больше роста Маши, равного 147 см. 2) Число дней в году (m) не меньше 365 и не больше) Чайник «Тефаль» (модель 208) вмещает (а л) не больше 1,7 л воды. 147____h_____ ____m_____165. а _____1,7.
Блиц-опрос. Записать условие задачи с помощью неравенства: 1) Сумма чисел х и 3 меньше 1 _________ 2) Разность чисел х и 8 больше 19 ________ 3) Произведение чисел 10 и х не больше 15 ________ 4) Утроенная сумма чисел х и 7 не больше числа 15 _________________
Сегодня мы узнаем, как использовать метод интервалов для решения нестрогих неравенств. Во многих учебниках нестрогие неравенства определяются следующим образом:
Нестрогое неравенство - это неравенство вида f (x ) ≥ 0 или f (x ) ≤ 0, которое равносильно совокупности строгого неравенства и уравнения:
В переводе на русский язык это значит, что нестрогое неравенство f (x ) ≥ 0 - это объединение классического уравнения f (x ) = 0 и строгого неравенства f (x ) > 0. Другими словами, теперь нас интересуют не только положительные и отрицательные области на прямой, но и точки, где функция равна нулю .
Отрезки и интервалы: в чем разница?
Прежде чем решать нестрогие неравенства, давайте вспомним, чем интервал отличается от отрезка:
- Интервал - это часть прямой, ограниченная двумя точками. Но эти точки не принадлежат интервалу. Интервал обозначается круглыми скобками: (1; 5), (−7; 3), (11; 25) и т.д.;
- Отрезок - это тоже часть прямой, ограниченная двумя точками. Однако эти точки тоже являются частью отрезка. Отрезки обозначаются квадратными скобками: , [−7; 3], и т.д.
Чтобы не путать интервалы с отрезками, для них разработаны специальные обозначения: интервал всегда обозначается выколотыми точками, а отрезок - закрашенными. Например:
На этом рисунке отмечен отрезок и интервал (9; 11). Обратите внимание: концы отрезка отмечены закрашенными точками, а сам отрезок обозначается квадратными скобками. С интервалом все иначе: его концы выколоты, а скобки - круглые.
Метод интервалов для нестрогих неравенств
К чему была вся эта лирика про отрезки и интервалы? Очень просто: для решения нестрогих неравенств все интервалы заменяются отрезками - и получится ответ. По существу, мы просто добавляем к ответу, полученному методом интервалов, границы этих самых интервалов. Сравните два неравенства:
Задача. Решите строгое неравенство:
(x − 5)(x + 3) > 0
Решаем методом интервалов. Приравниваем левую часть неравенства к нулю:
(x
− 5)(x
+ 3) = 0;
x
− 5 = 0 ⇒ x
= 5;
x
+ 3 = 0 ⇒ x
= −3;
Справа стоит знак плюс. В этом легко в этом убедиться, подставив миллиард в функцию:
f (x ) = (x − 5)(x + 3)
Осталось выписать ответ. Поскольку нас интересуют положительные интервалы, имеем:
x ∈ (−∞; −3) ∪ (5; +∞)
Задача. Решите нестрогое неравенство:
(x − 5)(x + 3) ≥ 0
Начало такое же, как и для строгих неравенств: работает метод интервалов. Приравниваем левую часть неравенства к нулю:
(x
− 5)(x
+ 3) = 0;
x
− 5 = 0 ⇒ x
= 5;
x
+ 3 = 0 ⇒ x
= −3;
Отмечаем полученные корни на координатной оси:
В предыдущей задаче мы уже выяснили, что справа стоит знак плюс. Напомню, в этом легко убедиться, подставив миллиард в функцию:
f (x ) = (x − 5)(x + 3)
Осталось записать ответ. Поскольку неравенство нестрогое, а нас интересуют положительные значения, имеем:
x ∈ (−∞; −3] ∪ ∪ ∪ , а (−∞; −3] ∪
Задача. Решите неравенство:
x (12 − 2x )(3x + 9) ≥ 0
x
(12 − 2x
)(3x
+ 9) = 0;
x
= 0;
12 − 2x
= 0 ⇒ 2x
= 12 ⇒ x
= 6;
3x
+ 9 = 0 ⇒ 3x
= −9 ⇒ x
= −3.
x
≥ 6 ⇒ f
(x
) = x
(12 − 2x
)(3x
+ 9) → (+) · (−) · (+) = (−) < 0;
x
∈ (−∞ −3] ∪ .
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.