Решетки Браве

В кристаллическом веществе частицы, его слагающие (атомы, ионы, молекулы) расположены в пространстве закономерно, периодически повторяясь. Частицы располагаются по узлам кристаллической решетки. Элементы решетки – ряды, плоские сетки и узлы.

В 1848г. кристаллограф Огюст Браве доказал, что из любой кристаллической решетки можно выделить так называемую элементарную ячейку (параллелепипед повторяемости; решетка Браве).

Всю кристаллическую решетку можно получить путем трансляции (переноса) параллелепипеда повторяемости в пространстве.

Принципы выбора элементарной ячейки :

1) Симметрия ячейки должна отвечать максимально возможному числу элементов симметрии ячейки этого вещества.

2) Элементарная ячейка должна содержать максимальное число прямых углов, или равных углов и равных ребер.

3) Объем ячейки должен быть минимальным.

Форма ячейки изменяется в зависимости от соотношения параметров. Кроме того, вид ячейки изменяется в зависимости от расположения атомов в этих элементарных ячейках.

Различают следующие виды решеток Браве:

Таблица 7.1 – Зависимость формы ячеек от сингоний

Сингония и примеры	Принцип изменения	Тип решетки Браве
Р	С	F	J
Триклинная K 2 Gr 2 O 7	Форма ячейки - косоугольный параллелепипед (или комбинация трех пинакоидов). a≠b≠c Ðα≠Ðβ≠Ðg
Моноклинная S b	Сочетание трех пинакоидов a≠b≠c Ðα=Ðβ=90 о ≠ Ðg
Ромбическая S a	Сочетание трех пинакоидов в виде «кирпичика» a≠b≠c Ðα=Ðβ=Ðg=90 o
Тригональная (ромбоэдри-ческая) As, Bi	Форма элементарной ячейки – ромбоэдр. Координатные ребра ромбоэдра образуют одинаковые косые углы с главной осью симметрии L 3 a=b=c Ðα=Ðβ=Ðg≠90 о
Тетрагональная Sn b , TiO 2	Форма ячейки – сочетание тетрагональной призмы и пинакоида a=b≠c Ðα=Ðβ=Ðg=90 o
Гексагональная Zn, Cd	В качестве примитивной ячейки принимается ромбическая призма, длинное ребро которой параллельно оси L 6 , а угол в основании составляет 120 о** a=b≠c Ðα=Ðβ=90 о, Ðg=120 o
Кубическая Cu, Fe, NaCl	Форма ячейки – куб a=b=c Ðα=Ðβ=Ðg=90 o

** В связи с тем, что такая элементарная ячейка не соответствует симметрии кристалла, гексагональную решетку можно описать в виде трех ромбических призмочек, соединенных в гексагональную призму. И такая ячейка превращается в базоцентрированную.

Итак, все возможные варианты простых решеток, состоящих из атомов одного типа, можно описать одной из 14-ти решеток Браве. В случае сложных структур описывают решетки по разным типам атомов, а сложную решетку представляют в виде 2-х или 3-х взаимопроникающих простых решеток.

Например, решетку галита (NaCl) описывают как две гранецентрированные кубические решетки, одна из которых по ионам Na + , другая – по ионам Cl - , встроенные друг в друга и сдвинутые на ½ пространственной диагонали куба.

Более детальная классификация структур производится по 230 группам симметрии Федорова. В этих группах кроме уже известных элементов симметрии (осей, плоскостей, центров) добавляются элементы симметрии самой решетки (это – плоскости скользящего отражения, винтовые оси симметрии, трансляция).

БРАВЕ РЕШЁТКИ - классификация решёток параллельных переносов, учитывающая как их точечную, так и параллельно-переносную . Всего существует 14 типов Б. р., названных по имени О. Браве (A. Bravais), строго обосновавшего эту классификацию. Решёткой наз. совокупность точек пространства (узлов) с целочисленными координатами относительно фиксированной системы координат, построенной на трёх базисных векторах а, b, с - осн. репере решётки. Решётка однозначно определяется осн. репером, однако осн. репер в данной решётке может быть выбран бесконечным числом способов и его связь с точечной группой симметрии решётки - её голоэдрией - не всегда явно видна. Поэтому для представления решёток используют репер Браве - систему координат, построенную на векторах решётки, совпадающих с наиб. симметричными в данной голоэдрии направлениями. Выбор таких векторов может быть неоднозначным и существуют дополнит. правила: сначала выбираются векторы, совпадающие с осями симметрии, затем - самые короткие векторы, не образующие острых углов между собой. Параметры реперов Браве (длины а, 6, с, его векторов и углы между векторами b и с, а и с, а и b соответственно) в каждой из 7 сингоний (совокупностей решёток с одинаковой голоэдрией) имеют ограничения, указанные в табл., в к-рой также приведены обозначения всех Б. р., распределённые по соответств. сингониям.

	Сингония	Параметры репера Браве	Обозначения Браве решёток
			международные	физические
	Триклинная
	Моноклинная
	Ромбическая
	Ромбоэдрическая
	Тетрагональная
	Гексагональная
	Кубическая

Параллелепипед, построенный на репере Браве, наз. параллелепипедом Браве. Если узлы решётки находятся только в вершинах параллелепипеда Браве, то он и соответствующая ему решётка наз. примитивными (Р -решётки). В нек-рых решётках в параллелепипед Браве попадают дополнит. узлы. Такие параллелепипеды (и решётки) возможны 4 сортов: 1) базоцентрированные С или бокоцентрированные В (А) - дополнит. узлы в центрах граней, построенных на векторах а и b , а и с, b и с соответственно и на параллельных им гранях; 2) дважды центрированные гексагональные (ромбоэдрические) R - дополнит. узлы на главной диагонали параллелепипеда Браве в точках с координатами 2 / 3 , 1 / 3 , 1 / 3 и 1 / 3 , 2 / 3 , 2 / 3 ; 3) гранецентрированные F - дополнит. узлы в центрах всех граней параллелепипеда Браве; 4) объёмноцентрированные I - дополнит. узел в центре параллелепипеда Браве.

Две решётки относятся к одному и тому же типу Браве, если их параллелепипеды Браве одинаковы и имеют одинаковую центрировку. На рис. представлены все типы Б. р., причём в одной строке расположены решётки с одинаковыми параллелепипедами Браве, а в одном столбце - решётки с одинаковым типом центри-ровок. Около каждого параллелепипеда Браве указан символ соответствующей группы Браве - полной совокупности преобразований симметрии соответствующей решётки. Имеется 14 абстрактно-неизоморфных таких групп (14 из 73 симморфных фёдоровских групп). Группы Браве - основа теоретико-группового определения типов Б. р.: две решётки относятся к одному и тому же типу Браве, если их полные группы преобразований симметрии изоморфны. В скобках на рис. приведены стандартные символы соответствующих типов Б. р. В двумерном случае (в случае плоскости) имеется 5 типов Б. р.: р2, р2тт, с2тт, p4mm, р6тm .

Название Б. р. данного типа складывается из названия голоэдрии и способа центрировки (напр., кубическая объёмноцентрированная решётка). Во всех решётках, исключая триклинные и моноклинные, выше приведённые правила ограничения параметров репера Браве обеспечивают его однозначность. Реперы Браве для ромбоэдрической и гексагональной голоэдрий совпадают, но для ромбоэдрической голоэдрии возможно собственно ромбоэдрич. описание: a=b=с, Во всякой моноклинной центрированной решётке параллелепипед Браве может быть выбран как объёмно-центрированным, так и базо- или бокоцентрированным. Если все преобразования симметрии голоэдрии записать в виде матриц в осн. репере решётки, то получим конечную группу целочисленных унимодулярных матриц - арифметич. голоэдрию. Две решётки относятся к одному и тому же типу Браве, если их арифметич. голоэдрии целочисленно эквивалентны.

Или трансляционная группа , которыми может быть получена вся бесконечная кристаллическая решётка. Все кристаллические структуры описываются 14 решётками Браве, число которых ограничивается симметрией .

Типы решёток Браве

Разделяют двухмерные и трёхмерные решётки Браве.

• Пять двухмерных решёток Браве

Обозначение $mm$ указывает на наличие двух плоскостей зеркального отражения.

• Четырнадцать трёхмерных решёток Браве обычно подразделяются на семь систем, в соответствии с семью различными типами элементарных ячеек: триклинной, моноклинной, ромбической, тетрагональной, кубической, тригональной и гексагональной. Каждая из систем характеризуется своим соотношением осей a ,b ,c и углов $\backslash alpha,\; \backslash beta,\; \backslash gamma$.

Кристаллографическая система	Число ячеек в системе	Символ ячейки	Характеристики элементарной ячейки
Триклинная	1	P	$a\; \backslash not=\; b\; \backslash not=\; c;\; \backslash alpha\; \backslash not=\; \backslash beta\; \backslash not=\; \backslash gamma$
Моноклинная	2	P , C	$a\; \backslash not=\; b\; \backslash not=\; c;\; \backslash alpha\; =\; \backslash gamma\; =\; 90^\backslash circ\; \backslash not=\; \backslash beta$
Ромбическая	4	P , C , I , F	$a\; \backslash not=\; b\; \backslash not=\; c;\; \backslash alpha\; =\; \backslash beta\; =\; \backslash gamma\; =\; 90^\backslash circ$
Тетрагональная	2	P , I	$a\; =\; b\; \backslash not=\; c;\; \backslash alpha\; =\; \backslash beta\; =\; \backslash gamma\; =\; 90^\backslash circ$
Кубическая	3	P , I , F	$a\; =\; b\; =\; c;\; \backslash alpha\; =\; \backslash beta\; =\; \backslash gamma\; =\; 90^\backslash circ$
Тригональная	1	R
Гексагональная	1	P	$a\; =\; b\; \backslash not=\; c;\; \backslash alpha\; =\; \backslash beta\; =\; 90^\backslash circ;\; \backslash gamma\; =\; 120^\backslash circ$

Решётка Браве и структура кристалла

Решётка Браве является математической моделью, отражающей трансляционную симметрию кристалла. В общем случае, решётка Браве не совпадает с реальным кристаллом, а узлы не соответствуют атомам. Поэтому следует отличать кристаллическую решётку и решётку Браве.

Построение типов решётки Браве

Понятие решётки Браве связано с основными трансляционными векторами . Основным трансляционным вектором называется минимальный в данном направлении вектор перехода из данной точки в ближайшую эквивалентную. В трёхмерном случае таких некомпланарных векторов будет три (обозначим $\backslash vec\; a\_1$, $\backslash vec\; a\_2$, $\backslash vec\; a\_3$).

Задав нулевую точку, строим совокупность точек по правилу: $\backslash vec\; a\; =\; n\_1\backslash vec\; a\_1\; +\; n\_2\backslash vec\; a\_2\; +\; n\_3\backslash vec\; a\_3$, где $n\_1,\backslash \; n\_2,\backslash \; n\_3$ − произвольные целые числа. Получившаяся решётка - решётка Браве.

Элементарная ячейка

Элементарная ячейка решётки Браве - параллелепипед , построенный на основных векторах трансляции. Выбор этих векторов неоднозначен (см. рис.), но объём элементарной ячейки $\backslash Omega=\; \backslash left(\backslash vec\; a\_1\; \backslash cdot\; \backslash left[\; \backslash vec\; a\_2\; \backslash times\; \backslash vec\; a\_3\; \backslash right]\; \backslash right)$ не зависит от выбора трансляционных векторов. Это связано с инвариантностью получающегося детерминанта относительно сложения и вычитания строк.

На элементарную ячейку решётки Браве приходится один узел.

Элементарную ячейку можно задать и другими способами. Например, в форме ячейки Вигнера-Зейтца наглядно видно, что на ячейки приходится один узел.

По симметрии элементарной ячейки выделяют сингонии в кристаллографии и физике твёрдого тела.

Напишите отзыв о статье "Решётка Браве"

Отрывок, характеризующий Решётка Браве

Но когда событие принимало свои настоящие, исторические размеры, когда оказалось недостаточным только словами выражать свою ненависть к французам, когда нельзя было даже сражением выразить эту ненависть, когда уверенность в себе оказалась бесполезною по отношению к одному вопросу Москвы, когда все население, как один человек, бросая свои имущества, потекло вон из Москвы, показывая этим отрицательным действием всю силу своего народного чувства, – тогда роль, выбранная Растопчиным, оказалась вдруг бессмысленной. Он почувствовал себя вдруг одиноким, слабым и смешным, без почвы под ногами.
Получив, пробужденный от сна, холодную и повелительную записку от Кутузова, Растопчин почувствовал себя тем более раздраженным, чем более он чувствовал себя виновным. В Москве оставалось все то, что именно было поручено ему, все то казенное, что ему должно было вывезти. Вывезти все не было возможности.
«Кто же виноват в этом, кто допустил до этого? – думал он. – Разумеется, не я. У меня все было готово, я держал Москву вот как! И вот до чего они довели дело! Мерзавцы, изменники!» – думал он, не определяя хорошенько того, кто были эти мерзавцы и изменники, но чувствуя необходимость ненавидеть этих кого то изменников, которые были виноваты в том фальшивом и смешном положении, в котором он находился.
Всю эту ночь граф Растопчин отдавал приказания, за которыми со всех сторон Москвы приезжали к нему. Приближенные никогда не видали графа столь мрачным и раздраженным.
«Ваше сиятельство, из вотчинного департамента пришли, от директора за приказаниями… Из консистории, из сената, из университета, из воспитательного дома, викарный прислал… спрашивает… О пожарной команде как прикажете? Из острога смотритель… из желтого дома смотритель…» – всю ночь, не переставая, докладывали графу.
На все эта вопросы граф давал короткие и сердитые ответы, показывавшие, что приказания его теперь не нужны, что все старательно подготовленное им дело теперь испорчено кем то и что этот кто то будет нести всю ответственность за все то, что произойдет теперь.
– Ну, скажи ты этому болвану, – отвечал он на запрос от вотчинного департамента, – чтоб он оставался караулить свои бумаги. Ну что ты спрашиваешь вздор о пожарной команде? Есть лошади – пускай едут во Владимир. Не французам оставлять.
– Ваше сиятельство, приехал надзиратель из сумасшедшего дома, как прикажете?
– Как прикажу? Пускай едут все, вот и всё… А сумасшедших выпустить в городе. Когда у нас сумасшедшие армиями командуют, так этим и бог велел.
На вопрос о колодниках, которые сидели в яме, граф сердито крикнул на смотрителя:
– Что ж, тебе два батальона конвоя дать, которого нет? Пустить их, и всё!
– Ваше сиятельство, есть политические: Мешков, Верещагин.
– Верещагин! Он еще не повешен? – крикнул Растопчин. – Привести его ко мне.

К девяти часам утра, когда войска уже двинулись через Москву, никто больше не приходил спрашивать распоряжений графа. Все, кто мог ехать, ехали сами собой; те, кто оставались, решали сами с собой, что им надо было делать.
Граф велел подавать лошадей, чтобы ехать в Сокольники, и, нахмуренный, желтый и молчаливый, сложив руки, сидел в своем кабинете.
Каждому администратору в спокойное, не бурное время кажется, что только его усилиями движется всо ему подведомственное народонаселение, и в этом сознании своей необходимости каждый администратор чувствует главную награду за свои труды и усилия. Понятно, что до тех пор, пока историческое море спокойно, правителю администратору, с своей утлой лодочкой упирающемуся шестом в корабль народа и самому двигающемуся, должно казаться, что его усилиями двигается корабль, в который он упирается. Но стоит подняться буре, взволноваться морю и двинуться самому кораблю, и тогда уж заблуждение невозможно. Корабль идет своим громадным, независимым ходом, шест не достает до двинувшегося корабля, и правитель вдруг из положения властителя, источника силы, переходит в ничтожного, бесполезного и слабого человека.
Растопчин чувствовал это, и это то раздражало его. Полицеймейстер, которого остановила толпа, вместе с адъютантом, который пришел доложить, что лошади готовы, вошли к графу. Оба были бледны, и полицеймейстер, передав об исполнении своего поручения, сообщил, что на дворе графа стояла огромная толпа народа, желавшая его видеть.

Цифровой ресурс может использоваться для обучения в рамках программы средней школы (углубленного уровня).

Компьютерная модель иллюстрирует математические модели строения кристаллических тел. Демонстрируются ромбическая, тригональная, триклинная и кубическая решетки.

Краткая теория

Решетка Браве является математической моделью, отражающей трансляционную симметрию кристалла. Все многообразие кристаллов может быть описано с помощью 14 типов кристаллических решеток – решеток Браве . Их принято группировать в семь систем – сингоний , различающихся видом элементарной ячейки: триклинную, моноклинную, ромбическую, тетрагональную, тригональную, гексагональную и кубическую.

Понятие решетки Браве связано с основными трансляционными векторами . Основным трансляционным вектором называется минимальный в данном направлении вектор перехода из данной точки в ближайшую эквивалентную. В трехмерном случае таких некомпланарных векторов будет три (обозначим , , ). Задав нулевую точку, можно построить совокупность точек по правилу:

Работа с моделью

Компьютерная программа позволяет наблюдать принцип построения решеток Браве (Общие сведения ) и общий вид четырех вариантов решеток. Демонстрируются ромбическая, тригональная, триклинная и кубическая решетки.

Данная модель может быть применена в качестве иллюстрации на уроках изучения нового материала в 10 классе по теме «Кристаллические тела». В общем курсе физики так подробно кристаллические решетки не рассматриваются. Поэтому оптимально эту модель использовать на элективных курсах и в классах, изучающих физику углубленно.

Пример планирования урока с использованием модели

Тема «Кристаллические тела»

Цель урока: рассмотреть физические свойства кристаллов с точки зрения их молекулярного строения, ввести понятия моно и поликристаллы, анизотропия.

№ п/п Этапы урока Время, мин Приемы и методы 1 Организационный момент 2 2 Анализ контрольной работы по теме «Термодинамика» 20 Фронтальная беседа 3 Объяснение нового материала по теме «Строение, свойства кристаллических тел» 20 Объяснение нового материала с использованием модели «Решетки Браве» 4 Объяснение домашнего задания 3

Таблица 1.

Примеры вопросов и заданий

Кубическая система (3). Кубическая система содержит те решетки Бравэ, точечная группа которых совпадает с группой симметрии куба (рис.8). Три решетки Бравэ с неэквивалентными пространственными группами обладают кубической точечной группой: простая кубическая, объемно-центрированная кубическая и гранецентрированная кубическая.

Рассмотрим объемно-центрированную кубическую (о. ц. к) решетку, которая получается, если к простой кубической решетке (ее узлы обозначены как А ) добавить по точке В в центр каждого куба (рис.9).

Если исходная простая кубическая решетка порождается основными векторами

где , , – три ортогональных единичных вектора, направленных вдоль осей x, y, z соответственно, то в качестве тройки основных векторов для о.ц.к. решетки можно выбрать векторы (рис. 10)

, ,

Существует и более симметричный набор (рис. 11):

, , .

Примитивная ячейка, построенная на этих векторах, представлена на рис. 12. Ее объем в два раза меньше объема условной ячейки. Более наглядный вид той же ячейки представлен на рис. 13, здесь понятно, что она представляет собой ромбоэдр (параллелепипед с одинаковыми ребрами, равными половине объемной диагонали условной ячейки о.ц.к.).

Примитивную ячейку о.ц.к. можно выбрать в виде ячейки Вигнера - Зейтца. На рис. 14 окружающий ее куб представляет собой условную о. ц. к. ячейку, в центре и в вершинах которой расположены точки решетки. Шестиугольные грани рассекают пополам отрезки прямых, соединяющие центральную точку с вершинами куба (эти отрезки изображены сплошными линиями). Квадратные грани рассекают пополам отрезки прямых, соединяющие центральную точку с центральными точками каждой из шести соседних кубических ячеек (на фигуре эти линии не показаны).

Рассмотрим гранецентрированную кубическую (г. ц. к.) решетку Браве. Чтобы построить г. ц. к. решетку Браве, нужно добавить к простой кубической решетке на рис.8 по одной дополнительной точке в центре каждой грани.

Она состоит из четырех взаимопроникающих простых кубических решеток, расположенных таким образом, как показано на рис. 15.

Симметричный набор основных векторов (рис. 16) для г.ц.к. решетки имеет вид:

, , .

Построенная на этих векторах примитивная элементарная ячейка – ромбоэдр с шестью гранями в форме ромбов, все ребра которого равны половине диагонали грани условной ячейки г.ц.к. ( /2а) (углы между и , и , и равны 60 о). Она обладает более низкой симметрией, чем условная ячейка г.ц.к. на рис.8 и ее объем в 4 раза меньше объема условной ячейки.

Ячейка Вигнера - Зейтца для г.ц.к. решетки представлена на рис. 18. Окружающий ее куб не является условной кубической ячейкой, показанной на рис. 8, точки решетки расположены в центре этого куба и в центре каждого из 12 его ребер. Каждая из 12 (конгруэнтных) граней перпендикулярна прямой, соединяющей центральную точку с центром ребра.

Г. ц. к. и о. ц, к. решетки Бравэ особенно важны потому, что именно такими кристаллическими решетками (с одним атомом или ионом в каждом узле решетки)тобладает большинство твердых тел. Кристаллов с простой кубической решеткой, однако, чрезвычайно мало - из элементов при нормальных условиях ею обладает только α-фаза полония.

Тетрагональная система (2). Чтобы понизить симметрию куба, можно взять его за противоположные грани и вытянуть в прямую призму с квадратным основанием, но с высотой, не равной сторонам квадрата (рис.8). Группа симметрии такого объекта есть тетрагональная группа. Растягивая подобным образом простую кубическую решетку, можно получить простую тетрагональную решетку Бравэ. Последняя определяется как решетка Бравэ, порождаемая тройкой взаимно перпендикулярных основных векторов, из которых лишь два имеют равную длину. Третью ось называют с-осью. Растягивая аналогичным образом объемноцентрированную и гранецентрированную кубические решетки, удается получить лишь одну решетку тетрагональной системы - центрированную тетрагональную.

Ромбическая система (4). Переходя к менее симметричным деформациям куба, мы можем понизить тетрагональную симметрию, преобразовав в прямоугольники квадратные грани. В результате получается объект с тремя взаимно перпендикулярными ребрами неравной длины (рис.8), группу симметрии которого называют ромбической.

Ромбическая система представлена четырьмя решетками Бравэ: простой, базоцентрированной, объемноцентрированной и гранецентрированной.

Моноклинная система (2). Ромбическую симметрию можно понизить, превратив прямоугольные грани, перпендикулярные с-оси на рис.8, в произвольные параллелограммы. Получающийся объект (рис.8), имеет моноклинную группу симметрии. Моноклинная система состоит из простой и объемноцентрированной решеток Бравэ.

Триклинная система (1). Если наклонить с-ось в простой моноклинной системе так, чтобы она более не была перпендикулярна двум другим осям, получим в объект (рис.8), который не должен удовлетворять никаким ограничениям, кроме требования параллельности противоположных граней. Искажая таким путем любую из моноклинных решеток Бравэ, можно построить триклинную решетку Бравэ. Эта решетка Бравэ порождается тройкой основных векторов, не связанных какими-либо соотношениями, следовательно, она представляет собой решетку Бравэ с минимальной симметрией. Все же триклинная группа не является группой объекта без всякой симметрии, поскольку решетка Бравэ всегда инвариантна относительно инверсии с центром в любой точке решетки. Это, однако, единственная симметрия, требуемая общим определением решетки Бравэ, а следовательно, единственная операция, входящая в триклинную точечную группу.

Тригональная система (1). Тригональная точечная группа описывает симметрию объекта, который получается, если растянуть куб вдоль объемной диагонали (рис.8). В результате такого искажения любой из трех кубических решеток Бравэ возникает ромбоэдрическая (или тригональная) решетка Бравэ. Она порождается тремя основными векторами равной длины, образующими равные углы друг с другом.

Наконец, последняя из систем не имеет отношения к кубу.

Гексагональная система (1). Гексагональная точечная группа получается, если потянуть за диагонально отстоящие друг от друга ребра простой решетки тетрагональной системы, при этом квадрат в основании тетрагональной решетки (рис.8) растянется в ромб с острым углом 60 0 . Решетка - примитивная. Для того чтобы подчеркнуть принадлежность данной элементарной ячейки к гексагональной системе, часто добавляют к ней еще две ячейки, повернутые относительно друг друга на 120°, получая, таким образом, утроенную «ячейку» в форме гексагональной призмы (рис. 19).

Расположить одинаковые твердые шары в пространстве так, чтобы объем, остающийся между ними, был минимален, можно двумя способами.

Первый слой уложим так, чтобы каждый шар соприкасался с шестью другими. Шары второго слоя помещаются над междоузлиями нижнего слоя через одно междоузлие (рис. 20). Если шары третьего слоя поместить прямо над шарами первого слоя, т. е. в узлах типа а, а шары в четвертом - прямо над шарами второго слоя и т. д., то мы получим гексагональную структуру с плотной упаковкой (г. п. у.).

Если же, однако, шары третьего слоя находятся прямо над теми междоузлиями первого слоя, которые не были накрыты сверху шарами второго слоя, т. е. вузлах типа б , шары четвертого слоя помещены прямо над шарами первого и шары пятого слоя - над шарами второго и т.д., то мы получаем г. ц. к. структуру (с направленной вертикально пространственной диагональю куба), ее также называют кубической структурой с плотной упаковкой (рис. 21).

Часть общего объема, запятая твердыми шарами, составляет 0,74 как для кубической, так и для гексагональной структур с плотной упаковкой.