Геометрия - один из школьных предметов, который пригодится в будущем всем. По одной простой причине - геометрия, а впоследствии стереометрия развивает пространственное мышление. И если понять те законы, на которых строится само Пространство, будет легче понять другие, куда более интересные вещи, которые в этом пространстве работают.

Общий случай

Но вернёмся к нашим треугольникам. Для начала абстрагируемся от частностей и посмотрим, как найти основание треугольника, не являющегося ни равносторонним, ни равнобедренным, ни прямоугольным. Так как основанием в такой фигуре может служить любая сторона, для начала выберем какую-то грань и «обзовём» её основанием. Соответственно, повернём треугольник так, чтобы он на ней стоял, и будем искать её длину.

В этом нам поможет знаменитая теорема косинусов, частным случаем которой является теорема Пифагора. Теорема косинусов гласит, что квадрат одной из сторон треугольника равен сумме двух других сторон треугольника, предварительно возведенных в квадрат, минус произведение этих сторон, умноженное на два, и умноженное на косинус угла между ними. Если известна длина двух сторон и угол между ними, то подставляем их в формулу и задача решена. Если же данные отличаются от этого, то необходимо опустить на основание высоту, получив два прямоугольных треугольника. Ну, а как найти основание прямоугольного треугольника - тривиальная задача. Соотношения сторон и углов позволяют вычислить длину основания при минимальных данных. Так как задачи в учебнике по определению должны быть решаемы, то всё получится.

Равнобедренный треугольник

Упростим задачу. В некоторых заданиях треугольник задан как равнобедренный. Напомним, равнобедренным называется треугольник, имеющий две равные стороны. Основанием же будет считаться третья сторона. Как найти основание равнобедренного треугольника в этом случае? Потребуется знать одну из сторон и угол, противолежащий основанию. Так как бёдра равны - вторая сторона известна и равна первой. А далее по теореме косинусов всё так же находим основание.

Прямоугольный треугольник

Сказка для ученика. Прямоугольный, он же треугольник с углом в девяносто градусов, - самый удобный треугольник. Как найти длину основания треугольника с прямым углом - вопрос, помогающий найти соотношения сторон в других, непрямоугольных треугольниках. Другие задачи часто сводят к этой путём проведения в треугольнике высоты, что разбивает фигуру на два прямоугольных треугольника. Здесь в силу вступает частный случай теоремы косинусов - теорема Пифагора. Так как косинус прямого угла равен нулю, произведение сторон обращается в ноль, оставляя в правой части только сумму квадратов катетов, в левой же части равенства находится квадрат гипотенузы - стороны, противолежащей прямому углу. И соответственно, основанием прямоугольного треугольника может считаться любой из его катетов.

Равносторонний треугольник

Как найти основание равностороннего треугольника - вопрос, вообще говоря, необычный. Для решения этой "сложной" задачи надо знать длину хотя бы одной стороны треугольника. И так как все стороны треугольника равны (он равносторонний) - основание будет равно длине стороны. Эта задачка скорее на сообразительность, чем на знание геометрии.

ДРУГОЕ

Треугольник - строгая геометрическая фигура, вписывающаяся в общие законы, которым подчиняется пространство. Именно эти…

Треугольник, у которого две стороны равны между собой, называется равнобедренным. Эти его стороны называют боковыми, а…

Прежде всего, треугольник – это геометрическая фигура, которая образуется тремя, не лежащими на одной прямой, точками,…

Прямоугольный треугольник - это геометрическая фигура, в которой один угол обязательно прямой. Треугольник с прямым…

Задачами по решению треугольников (именно так называются подобные задачи) занимается особый раздел геометрии -…

Одной из основ геометрии является нахождение биссектрисы, луча, делящего угол пополам. Биссектриса треугольника…

Наверное, каждый знает такую простую фигуру, состоящую из трёх соединённых между собой линий, как треугольник. Из…

Вам интересно, как можно вычислить и найти среднюю линию треугольника. Тогда за дело.Найти длину средней линии…

Косинус – это всем известная тригонометрическая функция, которая к тому же является еще и одной из основных функций…

Синусы углов необходимо бывает вычислять не только в прямоугольном треугольнике, но и в любом другом. Для этого нужно…

Треугольник – особая фигура в геометрии. Он дал название целой отрасли математики – тригонометрии. Поэтому, очень важно…

Равнобедренный треугольник представляет собой простейший многоугольник, имеющий три угла и три стороны. Прежде чем…

Часто математические задачи требуют глубокого анализа, умения осуществлять поиск решения и выбор нужных утверждений,…

Геометрия - один из школьных предметов, который пригодится в будущем всем. По одной простой причине - геометрия, а впоследствии стереометрия развивает пространственное мышление. И если понять те законы, на которых строится само Пространство, будет легче понять другие, куда более интересные вещи, которые в этом пространстве работают.

Общий случай

Но вернёмся к нашим треугольникам. Для начала абстрагируемся от частностей и посмотрим, как найти основание треугольника, не являющегося ни равносторонним, ни равнобедренным, ни прямоугольным. Так как основанием в такой фигуре может служить любая сторона, для начала выберем какую-то грань и «обзовём» её основанием. Соответственно, повернём треугольник так, чтобы он на ней стоял, и будем искать её длину.

В этом нам поможет знаменитая теорема косинусов, частным случаем которой является теорема Пифагора. Теорема косинусов гласит, что квадрат одной из сторон треугольника равен сумме двух других сторон треугольника, предварительно возведенных в квадрат, минус произведение этих сторон, умноженное на два, и умноженное на косинус угла между ними. Если известна длина двух сторон и угол между ними, то подставляем их в формулу и задача решена. Если же данные отличаются от этого, то необходимо опустить на основание высоту, получив два прямоугольных треугольника. Ну, а как найти основание прямоугольного треугольника - тривиальная задача. Соотношения сторон и углов позволяют вычислить длину основания при минимальных данных. Так как задачи в учебнике по определению должны быть решаемы, то всё получится.

Равнобедренный треугольник

Упростим задачу. В некоторых заданиях треугольник задан как равнобедренный. Напомним, равнобедренным называется треугольник, имеющий две равные стороны. Основанием же будет считаться третья сторона. Как найти основание равнобедренного треугольника в этом случае? Потребуется знать одну из сторон и угол, противолежащий основанию. Так как бёдра равны - вторая сторона известна и равна первой. А далее по теореме косинусов всё так же находим основание.

Прямоугольный треугольник

Сказка для ученика. Прямоугольный, он же треугольник с углом в девяносто градусов, - самый удобный треугольник. Как найти длину основания треугольника с прямым углом - вопрос, помогающий найти соотношения сторон в других, непрямоугольных треугольниках. Другие задачи часто сводят к этой путём проведения в треугольнике высоты, что разбивает фигуру на два прямоугольных треугольника. Здесь в силу вступает частный случай теоремы косинусов - теорема Пифагора. Так как косинус прямого угла равен нулю, произведение сторон обращается в ноль, оставляя в правой части только сумму квадратов катетов, в левой же части равенства находится квадрат гипотенузы - стороны, противолежащей прямому углу. И соответственно, основанием прямоугольного треугольника может считаться любой из его катетов.

Равносторонний треугольник

Как найти основание равностороннего треугольника - вопрос, вообще говоря, необычный. Для решения этой "сложной" задачи надо знать длину хотя бы одной стороны треугольника. И так как все стороны треугольника равны (он равносторонний) - основание будет равно длине стороны. Эта задачка скорее на сообразительность, чем на знание геометрии.

Часто в задачах по планиметрии и тригонометрии требуется найти основание треугольника. Для этой операции существует даже несколько методов.

Вам понадобится

• Калькулятор

Инструкция

• Строгого определения понятия «основание треугольника» в геометрии не существует. Как правило, этим термином обозначается, сторона треугольника, к которой из противоположной вершины проведен перпендикуляр (опущена высота). Также этим термином принято называть «неравную» сторону равностороннего треугольника. Поэтому выберем из всего многообразия примеров, известного в математике под понятием «решение треугольников», варианты, в которых встречаются высоты и равносторонние треугольники.
  Если известны высота и площадь треугольника, то для того чтобы найти основание треугольника (длину стороны, на которую опущена высота), воспользуемся формулой нахождения площади треугольника, утверждающей, что площадь любого треугольника можно посчитать, умножив половину длины основания на длину высоты:
  S=1/2*c*h, где:
  S - площадь треугольника,с - длина его основания,h - длина высоты треугольника.
  Из этой формулы находим:
  с=2*S/h.
  Например, если площадь треугольника равняется 20 кв.см., а длина высоты - 10 см, то основание треугольника будет:
  с=2*20/10=4 (см).
• Если известны боковая сторона и периметр равностороннего треугольника, то длину основания можно посчитать по следующей формуле:
  с=Р-2*а, где:
  Р - периметр треугольника,а - длина боковой стороны треугольника,с - длина его основания.
• Если известны боковая сторона и величина противоположного основанию угла равностороннего треугольника, то длину основания можно посчитать по следующей формуле:
  с=а*√(2*(1-cosC)), где:
  C - величина противоположного основанию угла равностороннего треугольника,а - длина боковой стороны треугольника.с - длина его основания.
  (Формула является прямым следствием теоремы косинусов)
  Имеется и более компактная запись этой формулы:
  с=2*а*sin(B/2)
• Если известны боковая сторона и величина смежного основанию угла равностороннего треугольника, то длину основания можно посчитать по следующей легко запоминающейся формуле:
  с=2*а*cosA
  A - величина смежного основанию угла равностороннего треугольника,а - длина боковой стороны треугольника.с - длина его основания.
  Эта формула является следствием теоремы о проекциях.
• Если известен радиус описанной окружности и величина противоположного основанию угла равностороннего треугольника, то длину основания можно посчитать по следующей формуле:
  с=2*R*sinC, где:
  C - величина противоположного основанию угла равностороннего треугольника,R - радиус описанной вокруг треугольника окружности,с - длина его основания.
  Эта формула является прямым следствием теоремы синусов.

Зачастую в задачах по планиметрии и тригонометрии требуется обнаружить основание треугольника. Для этой операции существует даже несколько способов.

Вам понадобится

• Калькулятор

Инструкция

1. Сурового определения представления «основание треугольника» в геометрии не существует. Как водится, этим термином обозначается, сторона треугольника, к которой из противоположной вершины проведен перпендикуляр (опущена высота). Также этим термином принято называть «неравную» сторону равностороннего треугольника. Следственно предпочтем из каждого разнообразия примеров, вестимого в математике под представлением «решение треугольников», варианты, в которых встречаются высоты и равносторонние треугольники.Если знамениты высота и площадь треугольника, то для того дабы обнаружить основание треугольника (длину стороны, на которую опущена высота), воспользуемся формулой нахождения площади треугольника, утверждающей, что площадь всякого треугольника дозволено посчитать, умножив половину длины основания на длину высоты: S=1/2*c*h, где: S – площадь треугольника,с – длина его основания,h – длина высоты треугольника.Из этой формулы находим:с=2*S/h.Скажем, если площадь треугольника равняется 20 кв.см., а длина высоты – 10 см, то основание треугольника будет:с=2*20/10=4 (см).

2. Если знамениты боковая сторона и периметр равностороннего треугольника, то длину основания дозволено посчитать по дальнейшей формуле:с=Р-2*а, где:Р – периметр треугольника,а – длина боковой стороны треугольника,с – длина его основания.

3. Если знамениты боковая сторона и величина противоположного основанию угла равностороннего треугольника, то длину основания дозволено посчитать по дальнейшей формуле:с=а*?(2*(1-cosC)), где:C – величина противоположного основанию угла равностороннего треугольника,а – длина боковой стороны треугольника.с – длина его основания.(Формула является прямым следствием теоремы косинусов)Имеется и больше суперкомпактная запись этой формулы:с=2*а*sin(B/2)

4. Если знамениты боковая сторона и величина смежного основанию угла равностороннего треугольника, то длину основания дозволено посчитать по дальнейшей легко запоминающейся формуле:с=2*а*cosA A – величина смежного основанию угла равностороннего треугольника,а – длина боковой стороны треугольника.с – длина его основания.Эта формула является следствием теоремы о проекциях.

5. Если знаменит радиус описанной окружности и величина противоположного основанию угла равностороннего треугольника, то длину основания дозволено посчитать по дальнейшей формуле:с=2*R*sinC, где:C – величина противоположного основанию угла равностороннего треугольника,R – радиус описанной вокруг треугольника окружности,с – длина его основания.Эта формула является прямым следствием теоремы синусов.

Совет 2: Как обнаружить площадь равностороннего треугольника

Равносторонним называют треугольник, имеющий три равные стороны и три идентичных угла. Такой треугольник еще называют положительным. Высота, проведенная из вершины к основанию, единовременно является биссектрисой и медианой, из чего следует, что эта линия делит угол вершины на два равных угла, а основание, на которую опускается, на два равных отрезка. Эти свойства треугольника помогут вычислить его площадь , равную половине произведения высоты на всякую из его сторон.

Вам понадобится

• – знать, что такое высота и ее свойства
• – знать, что такое прямоугольный треугольник
• – знать, что такое гипотенуза и катеты
• – уметь решать уравнения с одной переменной со скобками

Инструкция

1. Если в верном треугольнике знамениты правда бы одна сторона и его высота, то для определения площади фигуры умножьте высоту на длину стороны и поделите получившееся число на два.

2. Для вычисления площади треугольника при неведомой высоте и знаменитой стороне вначале обнаружьте высоту. Для этого разглядите один из равных прямоугольных треугольников, образованных высотой.

3. Сторона, противолежащая прямому углу, будет являться гипотенузой, а две остальные – катетами. Значит, высота равностороннего треугольника будет одним из катетов меньшего прямоугольного треугольника . 2-й катет будет равняться половине стороны большого треугольника , потому что высота в положительном прямоугольнике делит ее напополам, являясь медианой.

4. Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Следственно для того, дабы узнать высоту, из квадрата гипотенузы (то есть из квадрата одной из сторон равностороннего треугольника ) вычтите квадрат катета, образованного половиной стороны равностороннего треугольника , позже чего неукоснительно из итога этого вычисления извлеките квадратный корень.

5. Сейчас, когда высота вестима, обнаружьте площадь фигуры, умножив высоту на длину стороны и поделив получившееся значение на два.

6. В случае, если вам знаменита только высота, то вновь разглядите один из прямоугольных треугольников, образующихся при проведении высоты, которая делит напополам угол и сторону положительного многоугольника. Опираясь на теорему Пифагора, составьте уравнение a² = c²-(1/2*с)², где a² – высота, c² – сторона равностороннего треугольника . В этом уравнении обнаружьте значение переменной a.

7. Узнав высоту, вычислите площадь положительного треугольника . Для этого умножьте высоту на сторону треугольника и поделите полученный позже умножения итог напополам.

Видео по теме

Обратите внимание!
Для начала абстрагируемся от частностей и посмотрим, как обнаружить основание треугольника, не являющегося ни равносторонним, ни равнобедренным, ни прямоугольным. Потому что основанием в такой фигуре может служить любая сторона, для начала предпочтем какую-то грань и «обзовём» её основанием. Соответственно, повернём треугольник так, дабы он на ней стоял, и будем искать её длину.

Полезный совет
Как обнаружить основание равнобедренного треугольника? Смотря, что дано в данном треугольнике. Если в равнобедренном треугольнике дана сторона и угол, тот, что находится наоборот основания, то можете провести из этого угла высоту треугольника. В итоге, по свойству равностороннего треугольника вы получите два равных прямоугольника.

Инструкция

Строгого определения понятия «основание треугольника» не существует. Как правило, этим термином обозначается, сторона треугольника, к которой из противоположной проведен перпендикуляр (опущена высота). Также этим термином принято называть «неравную» сторону равностороннего треугольника. Поэтому выберем из всего многообразия примеров, известного под понятием « треугольников», варианты, в которых встречаются высоты и равносторонние треугольники.
Если высота и площадь треугольника, то для того чтобы найти основание треугольника (длину стороны, на которую опущена высота), воспользуемся формулой нахождения площади треугольника, утверждающей, что площадь любого треугольника можно посчитать, умножив половину длины основания на длину высоты:
S=1/2*c*h, где:
S - площадь треугольника,

с - длина его основания,

h - длина высоты треугольника.
Из этой формулы находим:
с=2*S/h.
Например, если площадь треугольника равняется 20 кв.см., а длина высоты - 10 см, то основание треугольника будет:
с=2*20/10=4 (см).

Если известны боковая сторона и периметр равностороннего треугольника, то длину основания можно посчитать по следующей :
с=Р-2*а, где:
Р - периметр треугольника,

а - длина боковой стороны треугольника,

с - длина его основания.

Если известны боковая сторона и величина противоположного основанию угла равностороннего треугольника, то длину основания можно посчитать по следующей формуле:
с=а*√(2*(1-cosC)), где:

с - длина его основания.
(Формула является прямым следствием косинусов)
Имеется и более компактная запись этой формулы:
с=2*а*sin(B/2)

Если известны боковая сторона и величина смежного основанию угла равностороннего треугольника, то длину основания можно посчитать по следующей легко запоминающейся формуле:
с=2*а*cosA
A - величина смежного основанию угла равностороннего треугольника,

а - длина боковой стороны треугольника.

с - длина его основания.
Эта является следствием теоремы о проекциях.

Если известен радиус описанной окружности и величина противоположного основанию угла равностороннего треугольника, то длину основания можно посчитать по следующей формуле:
с=2*R*sinC, где:
C - величина противоположного основанию угла равностороннего треугольника,

с - длина его основания.
Эта формула является прямым следствием теоремы .

Обратите внимание

Для начала абстрагируемся от частностей и посмотрим, как найти основание треугольника, не являющегося ни равносторонним, ни равнобедренным, ни прямоугольным. Так как основанием в такой фигуре может служить любая сторона, для начала выберем какую-то грань и «обзовём» её основанием. Соответственно, повернём треугольник так, чтобы он на ней стоял, и будем искать её длину.

Полезный совет

Как найти основание равнобедренного треугольника? Смотря, что дано в данном треугольнике. Если в равнобедренном треугольнике дана сторона и угол, который находится напротив основания, то можете провести из этого угла высоту треугольника. В результате, по свойству равностороннего треугольника вы получите два равных прямоугольника.

Источники:

• Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Равносторонним называют треугольник, имеющий три равные стороны и три одинаковых угла. Такой треугольник еще называют правильным. Высота, проведенная из вершины к основанию, одновременно является биссектрисой и медианой, из чего следует, что эта линия делит угол вершины на два равных угла, а основание, на которую опускается, на два равных отрезка. Эти свойства треугольника помогут вычислить его площадь , равную половине произведения высоты на любую из его сторон.

Вам понадобится

• - знать, что такое высота и ее свойства
• - знать, что такое прямоугольный треугольник
• - знать, что такое гипотенуза и катеты
• - уметь решать уравнения с одной переменной со скобками

Инструкция

Сторона, противолежащая прямому углу, будет являться гипотенузой, а две остальные - катетами. Значит, высота треугольника будет одним меньшего прямоугольного треугольника . Второй катет будет равняться половине стороны большого треугольника , так как высота в правильном прямоугольнике делит ее пополам, являясь медианой.

Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы сумме квадратов катетов. Поэтому для того, чтобы узнать высоту, из