Относительная частота. Устойчивость относительной частоты

Относительная частота наряду с вероятностью принадлежит к основным понятиям теории вероятностей.

Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведённых испытаний. Таким образом, относительная частота события А определяется формулой

где m – число появлений события, n – общее число испытаний.

Сопоставляя определения вероятности и относитель­ной частоты, заключаем: определение вероятности не требует, чтобы испытания производились в действитель­ности; определение же относительной частоты предпола­гает, что испытания были произведены фактически. Дру­гими словами, вероятность вычисляют до опыта, а относительную частоту-после опыта.

Пример 1 . Отдел технического контроля обнаружил 3 нестандартных детали в партии из 80 случайно отобранных деталей. Относительная частота появления нестандартных деталей

Пример 2. По цели произвели 24 выстрела, причем было зарегистрировано 19 попаданий. Относительная частота поражения цели

Длительные наблюдения показали, что если в одина­ковых условиях производят опыты, в каждом из которых число испытаний достаточно велико, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости. Это свой­ство состоит в том, что в различных опытах относитель­ная частота изменяется мало (тем меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некоторого постоянного числа . Оказалось, что это постоянное число есть вероятность появления события.

Таким образом, если опытным путем установлена от­носительная частота, то полученное число можно принять за приближенное значение вероятности.

Подробнее и точнее связь между относительной часто­той и вероятностью будет изложена далее. Теперь же проиллюстрируем свойство устойчивости на примерах.

Пример 3. По данным шведской статистики, относительная час­тота рождения девочек за 1935 г. по месяцам характеризуется следующими числами (числа расположены в порядке следования месяцев, начиная с января): 0,486; 0,489; 0,490; 0,471; 0,478; 0,482; 0.462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473.

Относительная частота колеблется около числа 0,482, которое можно принять за приближенное значение вероятности рождении девочек.

Заметим, что статистические данные различных стран дают при­мерно то же значение относительной частоты.

Пример 4 . Многократно проводились опыты бросания монеты, которых подсчитывали число появления «герба». Результаты не­скольких опытов приведены в табл. 1.

Здесь относительные частоты незначительно отклоняются от чис­ла 0,5, причем тек меньше, чем больше число испытаний. Напри­мер, при 4040 испытаниях отклонение равно 0, 0069, а при 24 000 испытаний - лишь 0, 0005. Приняв во внимание, что вероятность появления «герба» при бросании монеты равна 0,5, мы вновь убеж­даемся, что относительная частота колеблется около вероятности.

Относительная частота наряду с вероятностью принадлежит к основным понятиям теории вероятностей.

Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний. Таким образом, относительная частота события A определяется формулой

W (A ) = m /n ,

где m – число появлений события, n – общее число испытаний.

Сопоставляя определения вероятности и относительной частоты, заключаем: определение вероятности не требует, чтобы испытания производились в действительности; определение же относительной частоты, предполагает, что испытания были произведены фактически. Другими словами, вероятность вычисляют до опыта, относительную частоту - после опыта.

Пример 1. Отдел технического контроля обнаружил 3 нестандартные детали в партии из 80 случайно отобранных деталей. Относительная частота появления нестандартных деталей

W (A ) =3/80.

Пример 2. По цели произвели 24 выстрела, причем было зарегистрировано 19 попаданий. Относительная частота поражения цели

W (A ) =19/24.

Длительные наблюдения показали, что если в одинаковых условиях производят опыты, в каждом из которых число испытаний достаточно велико, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости. Это свойство состоит в том, что в различных опытах относительная частота изменяется мало (тем меньше, чем больше произведено испытаний ), колеблясь около некоторого постоянного числа . Оказалось, что это постоянное число есть вероятность появления события.

Таким образом, если опытным путем установлена относительная частота, то полученное число можно принять за приближенное значение вероятности.

Подробнее и точнее связь между относительной частотой и вероятностью будет изложена далее. Теперь же проиллюстрируем свойство устойчивости на примерах.

Пример 3. По данным шведской статистики, относительная частота рождения девочек за 1935г. По месяцам характеризуется следующими числами (числа расположены в порядке следования месяцев начиная с января): 0,486; 0,489; 0,490; 0,471; 0,478; 0,482; 0,462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473

Относительная частота колеблется около числа 0,482, которое можно принять за приближенное значение вероятности рождения девочек.

Заметим, что статистические данные различных стран дают примерно, то же значение относительной частоты.

Пример 4. Многократно проводились опыты бросания монеты, в которых подсчитывали число появления «герба». Результаты нескольких опытов приведены в табл.1.

Здесь относительные частоты незначительно отклоняются от числа 0,5, причем тем меньше, чем больше число испытаний. Например, при 4040 испытаниях отклонение равно 0,0069, а при 24000 испытаний – лишь 0,0005. Приняв во внимание, что вероятность появления «герба» при бросании монеты равна 0,5, мы вновь убеждаемся, что относительная частота колеблется около вероятности.

§ 7. Ограниченность классического определения вероятности. Статистическая вероятность

Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов испытания конечно. На практике же весьма часто встречаются испытания, число возможных исходов которых бесконечно. В таких случаях классическое определениенеприменимо. Уже это обстоятельство указывает на ограниченность классического определения. Отмеченный недостаток может быть преодолен, в частности, введением геометрических вероятностей (см. § 8) и, конечно, использованием аксиоматической вероятности (см. § 3, замечание).

Наиболее слабая сторона классического определения состоит в том, что очень часто невозможно представить результат испытания в виде совокупности элементарных событий. Еще труднее указать основания, позволяющие считать элементарные события равновозможными. Обычно о равновозможности элементарных исходов испытания говорят из соображения симметрии. Так, например, предполагают, что игральная кость имеет форму правильного многогранника (куба) и изготовлена из однородного материала. Однако задачи, в которых можно исходить из соображений симметрии, на практике встречаются весьма редко. По этой причине наряду с классическим определением вероятности используют и другие определения в частности статистическое определение: в качестве статистической вероятности события принимают относительную частоту или число, близкое к ней. Например, если в результате достаточно большого числа испытаний оказалось, что относительная частота весьма близка к числу 0,4, то это число можно принять за статистическую вероятность события.

Легко проверить, что свойства вероятности вытекающие из классического определения (см. § 3), сохраняются и при статистическом определении вероятности. Действительно, если событие достоверно, то m = n и относительная частота

m /n = n /n = 1,

т.е. статистическая вероятность достоверного события (так же как и в случае классического определения) равна единице.

Если событие невозможно,то m = 0 и, следовательно, относительная частота

0/n = 0,

т.е. статистическая вероятность невозможного события равна нулю.

Для любого события 0 m n и, следовательно, относительная частота

0 m / n 1,

т.е. статистическая вероятность любого события заключена между нулем и единицей.

Для существования статистической вероятности события A требуется:

а) возможность, хотя бы принципиально, производить неограниченное число испытаний, в каждом из которых событие A наступает или не наступает;

б) устойчивость относительных частот появления A в различных сериях достаточно большого числа испытаний.

Недостатком статистического определения является неоднозначность статистической вероятности; так, в приведенном примере в качестве вероятности события можно принять не только 0,4, но и 0,39; 0,41 и т.д.

Геометрические вероятности

Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, состоящий в том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности – вероятности попадания точки область (отрезок, часть плоскости и т.д.).

Пусть отрезок l составляет часть отрезка L . На отрезок L наудачу поставлена точка. Это означает выполнение следующих предположений: поставленная точка может оказаться в любой точке отрезка L , вероятность попадания точки на отрезок l пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка L . В этих предположениях вероятность попадания точки на отрезок l определяется равенством

P = Длина l / Длина L .

Пример 1 . На отрезок OA длины L числовой оси Ox наудачу поставлена точка B (x ). Найти вероятность того, что меньший из отрезков OB и BA имеет длину, большую L

Решение. Разобьем отрезок OA точками C и D на 3 равные части. Требование задачи будет выполнено, если точка B (x ) попадает на отрезок CD длины L /3. Искомая вероятность

P = (L /3)/ L = 1/3.

Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G . На фигуру G наудачу брошена точка. Это означает выполнение следующих предположений: брошенная точка может оказаться в любой точке фигуры G , вероятность попадания брошенной точки на фигуру g пропорциональна площади этой фигуры и не зависит ни от её расположения относительно G , ни от формы g . В этих предположениях вероятность попадания точки в фигуру g определяется равенством

P = Площадь g / Площадь G.

Пример 2. На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 5 и 10 см соответственно. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадает в кольцо, образованное построенными окружностями. Предполагается, что вероятность попадания точки в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры и не зависит от её расположения относительно большого круга.

Решение. Площадь кольца (фигуры g )

S g = p(10 2 - 5 2) = 75 p.

Площадь большого круга (фигуры G )

S G = p10 2 = 100 p.

Искомая вероятность

P = 75 p/(100 p) = 0,75.

Пример 3. В сигнализатор поступают сигналы от двух устройств, причем поступление каждого из сигналов равновозможно в любой момент промежутка времени длительностью T . Моменты поступления сигналов независимы один от другого. Сигнализатор срабатывает если разность между моментами поступления сигналов меньше t ( t < T ). Найти вероятность того, что сигнализатор сработает за время T ,если каждое из устройств пошлет по одному сигналу.

Решение. Обозначим моменты поступления сигналов первого и второго устройств соответственно через x и y . В силу условия задачи должны выполнятся двойные неравенства: 0 x T, 0 y T .Введем в рассмотрение прямоугольную систему координат xOy . В этой системе двойным неравенствам удовлетворяют координаты любой точки квадрата OTAT (рис.1).

Таким образом, этот квадрат можно рассматривать как фигуру G , координаты точек которой представляют все возможные значения моментов поступления сигналов.

Сигнализатор срабатывает, если разность между моментами поступления сигналов меньше t , т.е. если y -x <t при y >x и x -y <t при x >y , или, что то же,

y <x +t при y >x , (*)

y >x -t при y <x . (**)

Неравенство (*) выполняется для тех точек фигуры G , которые лежат выше прямой y = x и ниже прямой y = x +t ;неравенство (**)имеет место для точек, расположенных ниже прямой y = x и выше прямой y = x -t .

Как видно из рис.1. все точки, координаты которых удовлетворяют неравенствам (*) и (**), принадлежат заштрихованному шестиугольнику. Таким образом, этот шестиугольник можно рассматривать как фигуру g , координаты точек которой являются благоприятствующими моментами времени x и y .

Искомая вероятность

P = Пл. g / Пл. G = (T 2 - (T - t ) 2)/ T 2 = (t (2 T - t ))/ T 2 .

Замечание1. Приведенные определения являются частными случаями общего определения геометрической вероятности. Если обозначить меру(длину, площадь, объем) области через mes, то вероятность попадания точки, брошенной наудачу (в указанном выше смысле) в область g – часть области G , равна

P = mes g / mes G .

Замечание 2. В случае классического определения вероятность достоверного (невозможного) события равна единице (нулю); справедливы и обратные утверждения (например, если вероятность события равна нулю, то событие невозможно). В случае геометрического определения вероятности обратные утверждения не имеют места. Например, вероятность попадания брошенной точки в одну определенную точку области G равна нулю, однако это событие может произойти, и, следовательно, не является невозможным.

Задачи

1. В ящике имеется 50 одинаковых деталей, из них 5 окрашенных. Наудачу вынимают одну деталь. Найти вероятность того, что извлеченная деталь окажется окрашенной

Отв . p = 0,1.

2. Брошена игральная кость. Найти вероятность того, что выпадет четное число очков.

Отв . p = 0,5.

3. Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найти вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного жетона не содержит цифры 5.

Отв . p = 0,81.

4. В мешочке имеется 5 одинаковых кубиков. На всех гранях каждого кубика написана одна из следующих букв: о, п, р, с, т. Найти вероятность того что на вытянутых по одному и расположенных «одну линию» кубиков можно будет прочесть слово «спорт».

Отв . p = 1/120.

5. На каждой из шести одинаковых карточек напечатана одна из следующих букв: а, т, м, р, с, о. Карточки тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что на четырех, вытянутых по одной и расположенных «в одну линию» карточках можно будет прочесть слово «трос».

Отв . p = 1/ = 1/360.

6. Куб, все грани которого окрашены, распилен на тысячу кубиков одинакового размера, которые затем тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что наудачу извлеченный кубик будет иметь окрашенных граней: а) одну; б)две; в) три.

Отв . а)0,384; б)0,096; в)0,008.

7. Из тщательно перемешанного полного набора 28 костей домино наудачу извлечена кость. Найти вероятность того, что вторую наудачу извлеченную кость можно приставить к первой, если первая кость: а) оказалась дублем; б) не есть дубль.

Отв . а)2/9; б)4/9.

8. В замке на общей оси пять дисков. Каждый диск разделен на шесть секторов, на которых написаны различные буквы. Замок открывается только в том случае, если каждый диск занимает одно определенное положение относительно корпуса замка. Найти вероятность того, что при произвольной установке дисков замок можно будет открыть.

Отв . p = 1/6 5 .

9. Восемь различных книг расставляют наудачу на одной полке. Найти вероятность того, что две определенные книги окажутся поставлены рядом.

Отв . p = 7*2!*6!/8! = ¼.

10. Библиотечка состоит из десяти различных книг, причем пять книг стоят по 4 рубля каждая, три книги – по одному рублю и две книги – по 3 рубля. Найти вероятность того, что взятые наудачу две книги стоят 5 рублей.

Отв . p =

11. В партии из 100 деталей отдел технического контроля обнаружил 5 нестандартных деталей. Чему равна относительная частота появления нестандартных деталей?

Отв . w = 0,05.

12. При стрельбе из винтовки относительная частота попадания в цель оказалась равной 0,85. Найти число попаданий, если всего было произведено 120 выстрелов.

Отв . 102 попадания.

13. На отрезок OA длины L числовой оси Ox наудачу поставлена точка B (x ).Найти вероятность того, что меньший из отрезков OB и BA имеет длину, меньшую, чем L /3. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения на числовой оси.

Отв . p = 2/3.

14. Внутрь круга радиуса R наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг квадрата. Предполагается, что вероятность попадания точки в квадрат пропорциональна площади квадрата и не зависит от его расположения относительно круга.

P = 7/16.

Глава вторая

Существует несколько определений понятия вероятности. Приведем классическое определение. Оно связано с понятием благоприятствующего исхода. Те элементарные исходы (э.и.), в кот. интересующее нас событие наступает назовем благоприятствующими этому событию. Опр. : Вер.ю события А назыв. отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных э. и., образующих полную группу. P(A) = m/n, где m – число э. и., благоприятствующих событию А; n – число всех возможных э. и. испытания. Из определения вероятности вытекают ее св-ва :1)вер.(в) достоверного события всегда равна 1. Т.к. событие достоверно, то все э. и. испытания благоприятствуют этому событию, т.е. m=n. P(A)=n/n = 1; 2) В. невозможного соб. равна 0. Т.к. событие невозможно, то нет ни одного э. и., благоприятствующего этому событию, значит m=0. P(A) = 0/n = 0; 3) В. случайного события есть неотрицательная вел-на, заключенная между 0 и 1, т.е. 0

4. Относительная частота. Устойчивость относительной частоты.

Относительной частотой (ОЧ) события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний. (НЕ омега!!!). W(A) = m/n, где m – число появления события А, n – общее число испытаний. Определение вероятности не требует, чтобы испытания проводились в действительности. Определение ОЧ предполагает, что испытания были произведены фактически, т.е. вер. вычисляют до опыта, а ОЧ после опыта. Если в одинаковых условиях производят опыты, в каждом из кот. число испытаний достаточно велико, то ОЧ обнаруживает св-во устойчивости. Это св-во состоит в том, что в различных опытах ОЧ изменяется мало, тем меньше, чем больше произведено испытаний, колеблаясь около некоторого постоянного числа. Это число есть вер. появления события. Т.о. опытным путем установлено, что ОЧ можно принять за приближенное значение вероятности.

5.Статистическая вероятность.

Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов испытания конечно. На практике часто встречаются испытания, число возможных исходов кот. бесконечно. В таких случаях классическое определение неприменимо. Наряду с классич. опр. используют статистическое. Опр.: стат. вер. (ст.в.) события – относительная частота (ОЧ) или число близкое к ней. Св-ва вероятности, вытекающие из классич. определения, сохраняются и при статистическом. Если событие достоверно, то его ОЧ =1, т.е. ст.в. также =1. Если событие невозможно, то ОЧ = 0, т.е. ст.в. тоже = 0. Для любого события 0W(A) 1, сл-но. ст.в. заключена между 0 и 1. Для существования ст.в. требуется: 1) возможность хотя бы принципиально проводить неограничен. число испытаний, в каждом из кот. событие наступает или не наступает; 2) устойчивость ОЧ появления события в различных сериях достаточно большого числа испытаний. Недостатком статистич. определения является неоднозначность ст.в. Например, если в рез-те достаточно большого числа испытаний оказалось, что ОЧ весьма близка к 0,6, то это число можно принять за ст.в. Но в кач-ве вероятности события можно принять не только 0,6, но и 0,59 и 0,61.

называется относительной частотой (или частостью) события А в рассматриваемой серии опытов.

Относительная частота события обладает следующими свойствами :

1. Частость любого события заключена между нулем и единицей, т.е.

2. Частость невозможного события равна нулю, т.е.

3. Частость достоверного события равна 1, т.е.

4. Частость суммы двух несовместных событий равна сумме частоты
этих событий, т.е. если , то

Частость обладает еще одним фундаментальным свойством, называемым свойством статистической устойчивости : с увеличением числа опытов (т.е. n ) она принимает значения, близкие к некоторому постоянному числу (говорят: частость стабилизируется, приближаясь к некоторому числу, частость колеблется около некоторого числа, или ее значения группируются около некоторого числа).

Так, например, в опыте (К. Пирсон) бросание монеты – относительная частота появления герба при 12000 и 24000 бросаниях оказалась равной 0,5015 и 0,5005 соответственно, т.е. частость приближается к числу . Частость рождения мальчика, как показывают наблюдения, колеблется около числа 0,515.

Отметим, что теория вероятностей изучает только те массовые случайные явления с неопределенным исходом, для которых предполагается наличие устойчивости относительной частоты.

Статистическое определение вероятности

Для математического изучения случайного события необходимо ввести какую-либо количественную оценку события. Понятно, что одни события имеют больше шансов («более вероятны») наступить, чем другие. Такой оценкой является вероятность события , т.е. число, выражающее степень возможности его появления в рассматриваемом опыте. Математических определений вероятности существует несколько, все они дополняют и обобщают друг друга.

Рассмотрим опыт, который можно повторять любое число раз (говорят: «проводятся повторные испытания»), в котором наблюдается некоторое событие А .

Статистической вероятностью события А называется число, около которого колеблется относительная частота события Апри достаточно большом числе испытаний (опытов).

Вероятность события А обозначается символом Р (А ). Согласно данному определению:

.

(1.2)

Математическим обоснованием близости относительной частоты и вероятности Р (А ) некоторого события А служит теорема Я. Бернулли.

Вероятности Р (А ) приписываются свойства 1-4 относительной частоты:

1. Статистическая вероятность любого события заключена между нулем и единицей, т.е.

2. Статистическая вероятность невозможного события равна нулю, т.е.

3. Статистическая вероятность достоверного события равна 1, т.е.

4. Статистическая вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме частоты этих событий, т.е. если , то

Статистический способ определения вероятности, опирающийся на реальный опыт, достаточно полно выявляет содержание этого понятия. Недостатком статистического определения является неоднозначность статистической вероятности; так в примере с бросанием монеты в качестве вероятности можно принять не только число 0,5, но и 0,49 или 0,51 и т.д. Для надежного определения вероятности нужно проделать большое число испытаний, что не всегда просто или дешево.

Классическое определение вероятности

Существует простой способ определения вероятности события, основанный на равновозможности любого из конечного числа исходов опыта. Пусть проводится опыт с n исходами, которые можно представить в виде полной группы несовместных равновозможных событий. Такие исходы называются случаями, шансами, элементарными событиями , опыт - классическим . Про такой опыт говорят, что он сводится к схеме случаев или схеме урн (т.к. вероятностную задачу для такого опыта можно заменить эквивалентной ей задачей с урнами, содержащими шары разных цветов).

Случай w, который приводит к наступлению события А , называется благоприятным (или благоприятствующим) ему, т.е. случай w влечет событие A : .

Вероятностью события А называется отношение числа m случаев, благоприятствующих этому событию, к общему числу n случаев, т.е.

.

(1.3)

Наряду с обозначением Р (А ) для вероятности события А используется обозначение р , т.е. р=Р (А ).

Из классического определения вероятности вытекают следующие свойства :

1. Вероятность любого события заключена между нулем и единицей, т.е.

2. Вероятность невозможного события равна нулю, т.е.

3. Вероятность достоверного события равна 1, т.е.

4. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме частоты этих событий, т.е. если , то

Пример 1.3. В урне находятся 12 белых и 8 черных шаров. Какова вероятность того, что наудачу вынутый шар будет белым?

Решение :

Пусть А – событие, состоящее в том, что вынут белый шар. Ясно, что – число всех равновозможных случаев. Число случаев, благоприятствующих событию А , равно 12, т.е. . Следовательно, по формуле (1.3) имеем: , т.е. .

Геометрическое определение вероятностей

Геометрическое определение вероятности применяется в случае, когда исходы опыта равновозможны, а ПЭС есть бесконечное несчетное множество. Рассмотрим на плоскости некоторую область Ω, имеющую площадь , и внутри области Ω, область D с площадью S D (см. рис. 6).

В области Ω случайно выбирается точка X . Этот выбор можно интерпретировать как бросание точки X в область Ω. При этом попадание точки в область Ω - достоверное событие, в D - случайное. Предполагается, что все точки области Ω равноправны (все элементарные события равновозможны), т.е. что брошенная точка может попасть в любую точку области Ω и вероятность попасть в область D пропорциональна площади этой области и не зависит от ее расположения и формы. Пусть событие , т.е. брошенная точка попадет в область D .

Определение . Пусть в n повторяющихся опытах (испытаниях) некоторое событие А наступило n A раз.

Число n A называется частотой события А , а отношение

называется относительной частотой (или частостью) события А в рассматриваемой серии испытаний.

Свойства относительной частоты

Относительная частота события обладает следующими свойствами.

1. Частота любого события заключена в интервале от нуля до единицы, т.е.

2. Частота невозможного события равна нулю, т.е.

3. Частота достоверного события равна 1, т.е.

4. Частота суммы двух несовместных событий равна сумме частот (частостей) этих событий, т.е. если =Ø, то

Частость обладает свойством , называемым свойством статистической устойчивости : с увеличением числа опытов (т.е. с увеличением n ) частость события принимает значения, близкие к вероятности этого события р .

Определение. Статистической вероятностью события А называется число, около которого колеблется относительная частота события А при достаточно большом числе испытаний (опытов) n .

Вероятность события А обозначается символом Р (А ) или р (А ). Появление в качестве символа понятия «вероятность» буквы р определяется ее наличием на первом месте в английском слове probability – вероятность.

Согласно данному определению

Свойства статистической вероятности

1. Статистическая вероятность любого события А заключена между нулем и единицей, т.е.

2. Статистическая вероятность невозможного события (А = Ø) равна нулю, т.е.

3. Статистическая вероятность достоверного события (А = Ω) равна единице, т.е.

4. Статистическая вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е. если А·В = Ø, то

Классическое определение вероятности

Пусть проводится опыт с n исходами, которые можно представить в виде группы несовместных равновозможных событий. Случай, который приводит к появлению события А , называется благоприятным или благоприятствующим, т.е. случай w влечет за собой событие А , w А .

Определение . Вероятностью события А называется отношение числа m случаев, благоприятствующих этому событию, к общему числу n случаев, т.е.

Свойства «классической» вероятности

1. Аксиома неотрицательности : вероятность любого события А неотрицательна, т.е.

Р (А ) ≥ 0.

2. Аксиома нормированности : вероятность достоверного события (А = Ω) равна единице:

3. Аксиома аддитивности : вероятность суммы несовместных событий (или вероятность появления одного из двух несовместных событий) равна сумме вероятностей этих событий, т.е. если А·В =Ø, то

Вероятность события : Р () = 1 – Р (А).

Для вероятности события, являющегося суммой любых двух событий А и В, справедлива формула:

Если события А и В не могут произойти в результате одного испытания одновременно, т.е. иными словами, если А·В – невозможное событие, то их называют несовместимыми или несовместными , и тогда Р (А·В ) = 0 и формула вероятности суммы событий приобретает особенно простой вид:

Если же события А и В могут произойти в результате одного испытания, то их называют совместимыми .

Полезный алгоритм

При нахождении вероятностей с использованием классического определения вероятности следует придерживаться следующего алгоритма.

1. Необходимо четко осмыслить, в чем состоит эксперимент.

2. Четко сформулировать, в чем состоит событие А , вероятность которого необходимо найти.

3. Четко сформулировать, что будет в рассматриваемой задаче составлять элементарное событие. Сформулировав и определив элементарное событие, следует проверить три условия, которому должно удовлетворять множество исходов, т.е. Ω.

6. Следуя классическому определению вероятности, определить

При решении задач наиболее распространенной ошибкой является нечеткое понимание того, что берется в качестве элементарного события w , а от этого зависит правильность построения множества и правильность вычисления вероятности события. Обычно на практике в качестве элементарного события берут простейший исход, который нельзя «расщепить» на более простые.