Прямо пропорциональные величины,обратно пропорциональные величины. Продолжим решение задач

ГЛАВА VIII.

ПРОПОРЦИИ.

ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ ВЕЛИЧИН.

§ 47. Пропорциональное деление.

1200. Число 135 разделить на части пропорционально числам: 1) 2 и 3; 2) 7 и 8; 3) 1; 3 и 5; 4) 2 / 3 ; 3 и 5 1 / 3

1201. 1) Число 2400 разделить на части пропорционально числам: 2; 3; 8 и 11 1 / 5

2) Число 78117 разделить на части пропорционально числам 1 / 12 ; 1 / 4 ; 2 / 3 ; 1 и 1 1 / 4

1202. Число 196 разделить на части пропорционально числам: 1) 3; 7 и 11; 2) 1 / 3 ; 1 1 / 3 и 3.

1203. 1) Число 765 разделить на части пропорционально числам 1 / 5 ; 1 / 4 и 0,6.

2) Число 19 248 разделить на части пропорционально числам 0,8; 1; 3 и 4,8.

1204. Число 5 005 разделить на части обратно пропорционально числам: 1) 2 и 3; 2) 4 и 7; 3) 3 и 10; 4) 1 / 3 и 1 / 4 ;5) 2 и 1 / 2 .

1205. Число 343 разделить на части обратно пропорционально числам: 1) 1; 4 и 9; 2)1; 1 / 3 и 1 / 6

1206. Число 136 разделить на части: 1) прямо пропорционально числам 1; 2 и 5; 2) обратно пропорционально числам 1;2 и 5.

1207. Число 18,3 разделить на части обратно пропорционально числам 1; 2; 3 и 5.

1208. Число 434 разделить на части обратно пропорционально числам: 1) 15 и 16; 2) 2; 3 и 5.

1209. Число 3 285 разделить на части обратно пропорционально числам: l) 1 / 2 ; 0,3 и 1 1 / 3 ; 2) 1; 5 / 7 и 1 1 / 4

1210. Число 2 478 разделить на части: 1) прямо пропорционально числам 2; 5 и 7; 2) обратно пропорционально числам 2; 5 и 7.

1211. Число 86,7 разделить, на части обратно пропорционально числам 1; 3; 5 и 6.

1212. 1) Разделить число 144 на три части: х, у и z , так, чтобы х: у =3: 4; y: z = 4:5.

2) Разделить число 310 на три части: х, у и z , так, чтобы х: у =3: 2; y: z = 5: 3.

3) Разделить число 2,38 на три части: х, у и z , так, чтобы х: у = 3: 5; y: z =8:11.

1213. 1) При пайке изделий из жести применяется сплав «третник», содержащий одну часть свинца и две части олова Сколько свинца и олова содержится в 120 г сплава?

2) Латунь представляет собой сплав меди и олова. Сколько меди и сколько олова в 540 г латуни, если количество олова со ставляет 50% количества меди?

1214. 1) На два класса было получено 504 тетради и 126 карандашей. Как распределить тетради и карандаши между классами, если в одном классе 35 человек, а в другом 28 человек?

2) Две школы закупили для коллективного просмотра билеты в кинотеатр и заплатили 90 руб. Сколько следует уплатить каждой школе, если в одной из них 288 учащихся, а во второй 312?

1215. 1) В колхозе с двух участков в 8,25 га и 10,5 га собрали урожай. Нужно было собрать с этих участков оставшиеся колосья. 50 пионеров взялись выполнить эту работу и разбились на две группы пропорционально площади участков. Сколько пионеров было в каждой группе?

2) Для озеленения школьного участка нужно разбить три клумбы площадью 84 кв. м, 56 кв. м и 42 кв. м. Из 26 человек, изъявивших желание принять участие в разбивке клумб, были созданы три бригады, причём число человек в каждой бригаде было пропорционально площади клумб. Сколько человек было в каждой бригаде?

1216. 1) Для учащихся шестых классов были получены билеты и распределены пропорционально числу учеников в этих классах. Сколько было прислано билетов и сколько получил каждый класс, если в VI А было 36 человек, в VI Б 32 и в VI В 28, причём VI А получил на 12 билетов меньше, чем VI Б и VI В вместе?

2) Воспитанники детского дома выехали на дачу, где поселились в четырёх комнатах, площади которых были равны 56 кв. м, 49 кв. м, 42 кв. м и 35 кв. м, причём число человек в комнатах было пропорционально их площади. Сколько человек было в каждой комнате, если в большей комнате было на 6 человек больше, чем в меньшей?

1217. 1) Некоторое расстояние пассажирский поезд проходит за 10,5 часа, а товарный за 12 час. Где произойдёт встреча поездов, если они одновременно выйдут из двух городов, расстояние между которыми 465 км?

2) Первый спортсмен пробегает 100 м за 12 сек., а второй за 13 сек. Сколько метров пробежит каждый спортсмен до встречи, если они начнут бег одновременно и навстречу друг другу, разойдясь на 200 м?

1218. 1) Мастер изготовляет одну деталь за 5 мин., а ученик изготовляет такую же деталь за 9 мин. Работая вместе, они изготовили 84 детали. Сколько деталей изготовил мастер и сколько ученик?

2) Один рабочий выполняет норму за 6 час, другой за 5 час. и третий за 4,5 часа. Работаявместе, они изготовили 795 деталей. Сколько деталей изготовил каждый рабочий?

1219. 1) Раскладывая одинаковые по величине бруски, мальчик заметил, что на определённом расстоянии можно уложить в ряд: по длине 6 брусков, по ширине 10 брусков, по толщине (высоте)15 брусков. Найти отношение длины, ширины и толщины брусков.

2) (Задача-шутка.) Колхозник поехал на луга за сеном и взял с собой трёх сыновей: 15 лет, 12 лет и 10 лет. Обратный путь в 13,5 км мальчики по очереди ехали на возу, причём расстояние распределили обратно пропорционально возрасту. Сколько километров проехал каждый из них на возу?

1220. 1) Как распределить между жильцами плату за электроэнергию в сумме 1 руб. 44 коп., если в первой комнате горит лампа в 60 ватт, во второй в 100 ватт, в третьей две лампы по 40 ватт и в четвёртой две лампы по 60 ватт?

2) Три семьи наняли сообща машину для переезда на дачу и уплатили 11 рублей. Дачи были расположены вдоль одного шоссе на расстоянии 24 км, 28 км и 36 км от города. Сколько следует уплатить за машину каждой семье, если они условились платить пропорционально расстоянию?

1221. Мать послала трёх сыновей: Володю 12 лет, Серёжу 10 лет и Андрюшу 8 лет - в лес за шишками для самовара. По дороге мальчики решили набрать 600 сосновых шишек и распределили это задание между собой пропорционально возрасту. Возвращаясь домой, мальчики подсчитали, что Володя перевыполнил задание на 20%, Серёжа на 15% и Андрюша на 10%. Сколько шишек принесли мальчики из лесу?

1222. При посадке фруктовых садов в центральных районах РСФСР рекомендуется, чтобы число яблонь, груш и косточковых деревьев относилось, как 10:3:7. Сколько яблонь, груш и косточковых деревьев следует посадить на прямоугольном участке размером 96 м х 60 м, если каждое дерево занимает 48 кв. м?

1223. 1) Группа геологов находилась в пути четверо суток и 14 час. Третью часть пути геологи проехали на поезде, третью часть на пароходе и третью часть на лошадях. Сколько времени провели геологи в поезде, на пароходе и сколько ехали на лошадях, если средняя скорость передвижения на лошадях в 8 раз меньше скорости передвижения на поезде и в 4 раза меньше, чем на пароходе?

2) Первая машинистка выполняет определённую работу за 5 час. 20 мин., а вторая за 4 часа 40 мин. Однажды, работая вместе, они напечатали 45 страниц. Сколько страниц напечатала каждая машинистка и на сколько процентов вторая напечатала больше, чем первая?

1224. 1) На окраску стен в помещении нужно 36 кг краски. Во время ремонта решили окрасить стены в два цвета: верх светлой краской, а низ тёмной. Сколько понадобится той и другой краски, если высота стен 3 м, а высота стены, окрашенной в тёмный цвет, 1,8 м? 1,75 м? 1,6 м?

2) В состав менделеевской замазки, не боящейся разведённых кислот, входит 1% льняного масла, канифоль, жедтый воск и безводная окись железа (мумия) в отношении 20:5:8. Сколько составных частей нужно для получения 2,5 кг замазки?

1225. 1) Клей для стекла содержит 1 / 12 льняного масла, канифоль, желтый воск и гуттаперчу в отношении 15:3:4 Сколько составных частей нужно для получения 1,5 кг клея?

2) Клейстер, пристающий к стеклу и металлу, приготовляют из крахмала, мела, 20-процентного раствора едкого натра и воды, беря составные части в отношении 1:8:5:25. Сколько граммов каждой из составных частей, а также едкого натра нужно для получения 900 г клейстера? (Вычислить с точностью до 1г)

1226. 1) Колхоз продал некоторое количество мяса трёх сортов; первого сорта по 1,2 руб., второго сорта по 0,9 руб. и третьего сорта по 0,6 руб. за 1 кг. Первого сорта было продано на 30 кг больше, чем второго; число килограммов второго сорта относилось к числу килограммов третьего сорта, как 3: 2. Сколько килограммов каждого сорта было продано, если в среднем цена одного килограмма оказалась равной 1,05 руб.?

2) Колхоз разбил фруктовый сад на прямоугольном участке размерами 240 м х 144 м. Сколько яблонь нужно посадить в саду, если расстояние между рядами деревьев должно быть 8 м, а между деревьями в каждом ряду 6 м? Сколько саженцев зимних, осенних и летних сортов яблонь нужно приобрести, чтобы количества зимних и осенних сортов относились, как 5: 3, а летних сортов было бы на 72 дерева меньше, чем осенних?

1227. 1) Три девочки нашли в лесу 93 белых гриба. Когда первая девочка разложила свои грибы в кучки по пяти грибов в каждой, а вторая - в кучки по шести грибов в каждой, то кучек получилось у них поровну. Когда же вторая разложила свои грибы по четыре, а третья - по три, то кучек у них получилось тоже поровну. Сколько грибов нашла каждая девочка?

2) Три мальчика пошли в лес за орехами. При подсчете собранных орехов оказалось, что число орехов у первого мальчика относилось к числу орехов второго, как 3:4, а отношение числа орехов второго мальчика к числу орехов третьего равно 5:3. Сколько орехов собрал каждый, если у первого мальчика было на 102 ореха больше, чем у третьего?

1228. 1) Срочный заказ на сумму 154 280 руб. поручили выполнять одновременно трём заводам. Как распределили заказ заводы между собой, если производительность первого и второго заводов относится, как 5:3, а производительность третьего завода на 25% меньше, чем производительность первого и второго заводов вместе?

2) С трёх участком собрали 99,75 т картофеля. Количество картофеля, собранного с первого и второго участков, относилось, как 7: 10, а с третьего участка собрали на 15% больше, чем со второго участка. Сколько картофеля собрали с каждого участка?

1229. 1) 30% площади лесного участка занимают лиственные породы деревьев. Остальная площадь занята сосновым и еловым лесом, причём площади этих лесов относятся, как 1,5: 2 / 3 . Определить площадь лесного участка, если сосновый лес занимает на 77 га больше, чем еловый.

2) За первый день тракторная бригада вспахала 32,5% колхозного поля, а площади, вспаханные во второй и третий день, относились, как 0,25:0,2. Определить площадь поля, если во второй день было вспахано на 32,75 га больше, чем в третий.

1230. 1) Картофель засыпали в три овощехранилища в отношении 1,3:2 1 / 2:1 1 / 5 , причём во втором овощехранилище оказалось на 43,2 т больше, чем в первом. За месяц израсходовали: из первого 40%, из второго 30% и из третьего 25% имевшегося там картофеля. Сколько всего картофеля израсходовали за месяц?

2) Площади трёх лесных участков относятся, как 2,25:1,5:1 5 / 6 , причём площадь третьего на 136 га меньше площади первого. На первом, втором и третьем участках вырубили соответственно 15%, 10% и 5% площади. На какой площади был вырублен лес?

1231. 1) Пионеры собрали 27,2 т металлического лома. 12,5% всего собранного лома было оценено по 4 руб. за 1 т. Остальной лом был рассортирован на две части в отношении 3: 4 и оценён по 12,5 и 15 руб. за 1 т. Сколько стоил весь лом?

2) На строительную площадку завезли 127,5 т материалов. Алебастр составил 4% всех привезённых материалов, а остальное составляли цемент и известь в отношении 4:5. Сколько алебастра, цемента и извести завезли на строительную площадку?

1232. 1) Было куплено 240 кг картофеля по 0,04 руб. за 1 кг и 80 кг по 0,06 руб. за 1 кг. Найти среднюю цену картофеля.

2) Смешано 20 т железной руды, содержащей 72% железа, и 28 т железной руды, содержащей 40% железа. Определить процентное содержание железа в получившейся смеси.

1233. 1) Леспромхоз заготовил 25 куб. м берёзовых дроз, 75 куб. м сосновых дров и 85 куб. м осиновых дров. Сколько кубических метров дров смешанной породы можно погрузить на полуторатонную машину, если 1 куб. м берёзовых дров весит 495 кг, сосновых 425 кг, осиновых 350 кг?

2) В колхозе одна бригада получила средний урожай пшеницы 22,5 ц с 1 га на площади 16,8 га, а вторая 25 ц с 1 га на площади в 25,2 га. Найти средний урожай с 1 га в колхозе.

1234. 1) Для компота купили 400 г сушёных яблок, 200 г урюка и 150 г изюму. Найти цену 1 кг смеси, если 1 кг сушеных яблок стоит 0,9 руб., 1 кг урюка 0,84 руб. и 1 кг изюму 1,6 руб.

2) Из 3.5 кг яблок ценой по 0,6 руб., 6,5 кг яблок ценой по 0,5 руб. и 9 кг сахарного песку по 0,94 руб. сварили варенье. Найти стоимость 1 кг варенья, если вес его составляет 80% веса песка и очищенных яблок. При очистке яблок потери составляют 10%

1235. 1) Из закипевшего чайника вылили 2 / 3 воды, а оставшийся кипяток долили водой, температура которой была 16°. Определить температуру воды в чайнике.

2) Из закипевшего чайника вместимостью 4,5 л воды вылили 3,6 л и долили чайник водой, температура которой была равна 12°. Определить температуру воды в чайнике.

1236. 1) В ванну, где было 78 л воды с температурой 15°, вылили два ведра кипятку (температура 100°). Определить температуру воды в ванне, если ёмкость ведра 12 л.

2) В кадку налито 70 л воды, температура которой равна 4°. Сколько литров воды с температурой 80° нужно налить в кадку, чтобы температура воды поднялась до 24°?

1237. 1) Сплавили два слитка серебра: 600-й пробы весом 180 г и 875-й пробы весом 216 г. Определить пробу сплава.

2) Сплавлены два слитка золота: 900-й пробы весом 320 г и 540-й пробы весом 160 г. Определить пробу сплава.

1238. 1) Сколько серебра 500-й пробы и 800-й пробы нужно сплавить, чтобы получить 225 г серебра 720-й пробы?

2) Сколько золота 600-й пробы и 900-й пробы нужно сплавить, чтобы получить 350 г 720-й пробы?

1239. 1) Сплавили 50 г золота 560-й пробы со слитком эолота неизвестной пробы и получили 300 г золота 760-й пробы. Определить пробу второго слитка.

2) Сплавили 120 г серебра 640-й пробы со слитком серебра неизвестной пробы и получили 320 г серебра 700-й пробы. Определить пробу второго слитка.

1240. 1) Для консервирования применяют спирт крепостью 90°, 80° и 70°. Сколько воды нужно прибавить к 2 л спирта крепостью 96°, чтобы получить спирт указанной крепости?

2) Для консервирования применяют 2- и 3-процентный раствор формалина. Сколько воды нужно прибавить к 1,5 л 40-процентного раствора формалина, чтобы получить раствор, нужный для консервирования?

Тема урока : Пропорциональное деление

В школьном курсе математики предлагается очень мало задач на «пропорциональное деление». Однако их можно встретить в экзаменационных сборниках для 9 класса авт. Л.И.Звавич и др. Эти задачи предлагаются на вступительных экзаменах в ВУЗы на специальности, связанные с экономикой, химией, связанных с легкой промышленностью и народного хозяйства.
Предлагаемые задачи можно использовать на факультативах в общеобразовательных школах, включить их в программу гимназий и лицеев, связанных с углубленным изучением математики, начиная с 6 класса, для индивидуальной работы с сильными учениками.

Эти задачи может решить шестиклассник.

Необходимость разделить заданную величину или число в данном отношении часто возникает в практической жизни человека – при приготовлении различных смесей, растворов, блюд по кулинарным рецептам, при распределении прибыли или мест в парламенте и так далее.

Например, если два предпринимателя вложили в проект соответственно 3 млн. рублей и 4 млн.рублей и получили 14 млн. рублей прибыли, то справедливость требует, чтобы полученная прибыль делилась пропорционально числам 3 и 4. Само слово «пропорционально» происходит от латинского «гармонично», «соразмерно».
Как же узнать, сколько денег должен получить каждый предприниматель? Обозначим части, которые они должны получить, соответственно a и b. Тогда a: b = 3: 4.
Поменяем в пропорции местами средние члены и обозначим коэффициент пропорциональности k. Получим равенство:

Из которого следует, что а = 3k, b = 4k. Так как сумма двух частей составляет 14 млн. рублей, то значение k должно удовлетворять равенству
3k + 4k =14 <=> 7k = 14 <=> k = 2.
Значит, при справедливом делении первый предприниматель должен получить 2 3 = 6 млн.рублей, а второй - 2 4 = 8 млн.рублей.

Рассмотрим еще одну задачу.

Для приготовления строительного раствора на 2 части цемента берут 2 части песка и 0,8 частей воды. Сколько цемента, песка и воды потребуется для приготовления 180 кг раствора?

Решение:

1) Пусть для приготовления строительного раствора требуется а кг цемента, b кг песка и с кг воды. Обозначим коэффициент пропорциональности k , тогда

Следовательно, а = 2 k , b = 2 k , c = 0,8 k .
По условию задачи, сумма всех частей равна 180 кг, значит:
2 k + 2 k + 0,8 k = 180 <=>4,8 k = 180 <=> k = 37,5.
2) 37,5 2 = 75 (кг) – потребуется песка и цемента.
3) 37,5 0,8 = 30 (кг) – потребуется воды.
Ответ: потребуется 75 кг цемента, 75 кг песка и 30 кг воды.

Для краткого обозначения условия задач о прямо пропорциональном делении в математическом языке используют иногда «длинные отношения». Например, a: b: c = 2: 2: 0,8. При этом говорят: «Числа a, b и с относятся как 2 к 3 к 0,8».
Длинные отношения – это условные записи, которые показывают, сколько равных долей величины приходится на каждую часть. Их нельзя понимать как запись деления нескольких чисел. Действительно, подставив в последнее равенство вместо букв соответствующие им числа, получим верное высказывание 75: 75: 30 = 2: 2: 0,8;
Тогда как при непосредственном подсчете левой и правой части получаются разные числа: в левой части , а в правой части – 1,25.
Зато длинные отношения можно преобразовывать, как обычные дроби: умножать все его члены на одно и то же число, сокращать. Эти преобразования позволяют упрощать запись, а значит, и решение задач. Так, если бы в нашей задаче мы сначала умножили все члены отношения на 10, а затем разделили их на 4, то избавились бы от дробей: 2: 2: 0,8 = 20: 20: 8 = 5: 5: 2 и получили более простое уравнение.
Решая задачи на пропорциональное деление, мы вновь наблюдаем, как абстрактные математические понятия – в данном случае прямая и обратная пропорциональность – помогают отвечать на серьезные практические вопросы.

Предлагаю еще несколько задач по этой теме.

Задача 1.

Трое рабочих получили 4080 рублей. Суммы, полученные первым и вторым рабочими, относятся, как . Сумма, полученная третьим рабочим составляет того. Что получил первый рабочий. Сколько денег получил каждый рабочий?

Решение:

Ответ: 2448 рублей получил первый рабочий; 571,2 рубля получил второй рабочий и 1060,8 рубля получил третий рабочий.

Задача 2.

Три цеха сшили 16800 пар обуви. Количество пар обуви сшитой первым и вторым цехами относятся как а третий цех сшил 75% того, что сшил первый цех. На сколько процентов выполнил план первый цех, если план каждого цеха был 4000 пар обуви?

Решение:

Ответ: на 180% выполнил план первый цех.

Задача 3.

В палатку привезли свеклу, морковь, капусту. Количество свеклы и моркови равно отношению , а вес капусты составляет 250% от веса моркови. Капусты было на 80 кг больше, чем свеклы. Сколько килограммов каждого овоща привезли в палатку?

Решение:

Ответ: в палатку привезли 120 кг свеклы; 80 кг моркови и 200 кг капусты.

Задача 4.

Магазин продал за 4 дня некоторое количество ткани. Количество ткани, проданной за первые три дня относились, как 0,9: 1,4: 1,3. В четвертый день продали 420 м ткани, что составило 28% всей ткани, проданной магазином за четыре дня. Сколько ткани продали за каждый день?

Решение:

1. n1 : n2 : n3 = 0,9: 1,4: 1,3 = 9: 14: 13
2. 28% составляет 420 м: 420: 0,28 = 1500 (м) – ткани продали за четыре дня.
3. 1500 – 420 = 1080 (м) – ткани продали за первые три дня.
4. 9 + 14 + 13 = 36 (ч.) – приходится на 1080 м ткани.
5. 1080: 36 = 30 (м) – ткани приходится на 1 часть.
6. 30 9 = 270 (м) – ткани продали за первый день.
7. 30 14 = 520 (м) – ткани продали за второй день.
8. 30 13 = 390 (м) – ткани продали за третий день.

Ответ: магазин продал 270 м ткани за первый день; 520 м ткани за второй день; 390 м ткани за третий день и 420 м за четвертый день.

Задача 5.

Три класса собирали металлолом. Количество металлолома, собранного первым и вторым классами относится, как 4,5: 3. Количество металлолома, собранного третьим классом составляет 40% того, что собрал первый класс. Сколько металлолома собрал каждый класс, если второй класс собрал на 0,8 тонны металлолома больше, чем третий класс?

Решение:

1. n1 : n2 = 4,5: 3 = 45: 30 = 3: 2.
2. 40% от 3: 3 0,4 = 1,2(ч.) – приходится на третий класс
3. n1 : n2 : n3 = 3: 2: 1,2 = 30: 20: 12 =15: 10: 6.
4. 10 – 6 = 4 (ч.) – приходится на 0,8 т металлолома.
5. 0,8: 4 15 = 3 (т) – собрал первый класс.
6. 0,8: 4 10 = 2 (т) – собрал второй класс.
7. 0,8: 4 6 = 1,2 (т) – собрал третий класс.

Ответ: первый класс собрал 3 т металлолома, второй класс собрал
2 т металлолома, третий класс собрал 1,2 т металлолома.

Задача 6.

Три бригады начали одновременно пахоту земли. Норма вспашки первой бригады ко второй относится как 0,5 к 0,4, а норма вспашки второй бригады к третьей относится как 2 к 1,8; но первая и третья бригады увеличили нормы вспашки на 10%, а вторая бригада – на 20%. Таким образом, к одному и тому же сроку,первая бригада вспахала на 15,4 га больше, чем третья бригада. Сколько га земли вспахала к этому времени каждая бригада?

Решение:

1. n1 : n2 = 0,5: 0,4 = 5: 4.
2. n2 : n3 = 2: 1,8 = 20 = 18 = 10: 9
3. выразим n 1 : n 2 : n 3 в одинаковых долях n 1 : n 2 : n 3 =25: 20: 18
4. 10% от 25: 25 0,1 = 2,5; 25 + 2,5 = 27,5 (ч) составляет норма первой бригады после увеличения.
5. 20% от 20: 20 0,2 = 4 ; 20 + 4 = 24 (ч) –составляет норма второй бригады после увеличения.
6. 10% от 18: 18 0,1 = 1,8; 18 + 1,8 = 19,8 (ч) составляет норма третьей бригады после увеличения.
7. n 1 : n 2 : n 3 =27,5: 24: 19,8 = 275: 240: 198
8. 275 – 198 – 77(ч) – приходится на 14, 4 га земли
9. 15,4: 77 = 0,2 (га) – приходится на одну часть.
10. 0,2 275 = 55 (га) – вспахала первая бригада.
11. 0,2 240 = 48(га) – вспахала вторая бригада.
12. 0,2 198 = 39,6 (га) – вспахала третья бригада.

Ответ: 55 га земли вспахала первая бригада, 48 га земли спахала вторая бригада, 39,6 га земли вспахала третья бригада.

Предлагаю несколько задач для самостоятельного решения.

Задача 1.

Колхоз засыпал в три склада картофель в отношении 1,3 к 2,5 к 1,2, причем во второй склад засыпали на 43,2 тонны картофеля больше, чем в первый склад. В течение месяца с первого склада вывезли 40% имевшегося там картофеля, со второго - 30%, а с третьего – 25% имевшегося там картофеля. Сколько картофеля вывезли с трех складов?
Ответ: вывезли всего 56,62 т картофеля.

Задача 2.

Магазин продавал муку в течение четырех дней. Количество муки, проданной за первые три дня, относится, как 1,8 к 2,8 к 2,6. В четвертый день продали 840 килограммов муки, что составляет 56% всей муки, проданной за четыре дня. Сколько муки продавали каждый день?

Задача 3.

Колхоз засыпал зерно в три склада. На первом складе было 40% всего зерна, засыпанного в три склада. Количество зерна, засыпанного во второй и третий склады, относится, как 16 к 21. Сколько зерна было на первом складе, если на третьем складе было на 450 ц больше, чем на втором.
Ответ: 2220 ц зерна было засыпано в первый склад.

Задача 4.

Три цеха изготовили 6500 деталей. Количество деталей, изготовленных первым и вторым цехами, относится, как 0,1875 к 0,25., количество деталей, изготовленных третьим цехом на 50% больше, чем количество деталей, изготовленных вторым цехом.. Сколько деталей изготовил каждый цех.

Задача 5.

Отряд отправился в поход из пункта А в пункт В. Первую часть пути школьники проехали на велосипедах, вторую часть пути прошли пешком, а оставшиеся 30 километров проплыли на лодке. Зная, что длины этих частей пути относятся, как 1,625 к 1,3 к 3, 25, определите длину всего маршрута.
Ответ: длина всего маршрута 57 километров.

Задача 6.

Из четырех чисел первые три относятся между собой, как , а четвертое составляет 40% от первого числа. Найти сумму всех четырех чисел, если первое больше суммы остальных на 40.

Продолжим решение задач.

Задача 7.

Найти сумму трех чисел, зная, что первое число равно 100, а первое число относится ко второму, как ; а второе к третьему, как 12 к 7.

Решение:

Ответ: сумма трех чисел равна 385.

Задача 8.
Найти сумму трех чисел, зная, что первое число относится к третьему, как ; второе число относится к третьему как 5 к 2, а сумма первых двух чисел равна 500.

Решение:

Ответ: сумма трех чисел равна 650.

Задача 9.

Найти каждое из трех чисел, если первое число относится ко второму как 0,6: 0,75, а второе к третьему, как 1: 0,9. Сумма первого и третьего чисел на 105 больше второго числа.

Решение:

1. n 1 : n 3 = 0,6: 0,75 = 60: 75 = 4: 5
2. n 2 : n 3 = 1: 0,9 = 10: 9.
3. выразим n 1 : n 2 : n 3 в одинаковых долях n 1 : n 2 : n 3 = 8: 10: 9.
4. (8 + 9) – 10 = 7 (ч.) – приходится на 105.
5. 105: 7 8 = 120 – первое число.
6. 105: 7 10 – 150 – второе число.
7. 105: 7 9 = 135 – третье число.

Ответ: 120; 150; 135.

Задача 10.

Из данных четырех чисел первые три относятся, как , а четвертое составляет 15% второго числа. Найти эти числа, если известно, что второе число больше суммы остальных на 8.

Решение:

Ответ: 48; 80; 12; 12.

Задача 11.

Задача 12.

Три колхоза построили хлебозавод. Суммы, внесенные колхозами в строительство, относятся, как . Сколько денег внес каждый колхоз, если стройматериалы стоят 1620 миллионов рублей, расход на рабочую силу составляет от стоимости материала, на оборудование израсходовали стоимости материала и рабочей силы вместе?

Решение:

Ответ: на материалы – 2700 млн.рублей; на рабочую силу – 3600 млн.рублей; на оборудование – 4500 млн. рублей.

1. Чтобы разделить некоторое число пропорционально данным числам (разделить в данном отношении), надо разделить это число на сумму данных чисел и результат умножить на каждое из них.

2. Чтобы разделить число на части, обратно пропорциональные данным числам, достаточно разделить это число на части, прямо пропорциональные числам, обратным данным.

УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ

1. Отрезок длиной 15 см разделить в отношении Решение. см.

2. Число 27 разделить обратно пропорционально числам 4 и 5.

Решение. Числа, обратные данным, относятся как Получим

ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

А. 1. Отрезок длиной разделили на четыре части, пропорциональные числам 2, 3, 4 и 5. Найдите длины этих частей.

2. Стороны треугольника, периметр которого пропорциональны числам 5, 7 и 8. Найдите стороны треугольника.

3. Число 196 разделите на части, пропорциональные числам:

4. Число 434 разделите на части, обратно пропорциональные числам: а) 15 и 16; б) 2, 3 и 5.

Б. 1. Площади полей, засеянных рожью, пшеницей и ячменем, пропорциональны числам 9, 5 и 3. Сколько гектаров засеяно рожью и сколько ячменем, если известно, что пшеницей засеяно

Две величины y и x , связанные зависимостью

прямо пропорциональными . Число k называется коэффициентом прямой пропорциональности .

Графиком прямо пропорциональной зависимости величин является прямая линия . Например, при k = 2 график прямо пропорциональной зависимости имеет следующий вид

Отношение прямо пропорциональных величин является постоянным числом и равно k :

Две величины y и x , связанные зависимостью

где k – некоторое число, называются обратно пропорциональными . Число k называется коэффициентом обратной пропорциональности .

Графиком обратно пропорциональной зависимости величин является гипербола . Например, при k = 2 график обратно пропорциональной зависимости имеет следующий вид

Произведение обратно пропорциональных величин является постоянным числом и равно k :

Пример 1 . Число 110 разделить на три слагаемых прямо пропорционально числам 1, 3 и 7 .

Решение . Если обозначить слагаемые буквами a , b и c , а коэффициент прямой пропорциональности буквой k и воспользоваться тем, что отношение прямо пропорциональных величин является числом постоянным, то будут выполнены соотношения:

Следовательно,

b = 3a , c = 7a .

Таким образом,

b = 3a = 30, c = 7a = 70.

Итак, первое слагаемое равно 10 , второе слагаемое равно 30 , а третье слагаемое равно 70 . Их сумма равна 110 .

Ответ : 10 , 30 , 70 .

Пример 2 . Число 40 разделить на два слагаемых обратно пропорционально числам 1 и .

Решение . Если обозначить слагаемые буквами a и b , а коэффициент обратной пропорциональности буквой k , и воспользоваться тем, что произведение обратно пропорциональных величин является числом постоянным, то будут выполнены соотношения:

Следовательно:

b = 3a , a + b = 40,
a + 3a = 40,
4a = 40,
a = 10, b = 30.

Итак, первое слагаемое равно 10 , а второе слагаемое равно 30 . Их сумма равна 40 .

Ответ : 10 , 30 .

На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике .

Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

У нас также для школьников организованы