Центральный вписанный угол величина вписанного угла. Свойства вписанных углов
Чаще всего процесс подготовки к ЕГЭ по математике начинается с повторения основных определений, формул и теорем, в том числе и по теме «Центральный и вписанный в окружность угол». Как правило, данный раздел планиметрии изучается еще в средней школе. Неудивительно, что многие учащиеся сталкиваются с необходимостью повторения базовых понятий и теорем по теме «Центральный угол окружности». Разобравшись с алгоритмом решения подобных задач, школьники смогут рассчитывать на получение конкурентных баллов по итогам сдачи единого госэкзамена.
Как легко и эффективно подготовиться к прохождению аттестационного испытания?
Занимаясь перед сдачей единого государственного экзамена, многие старшеклассники сталкиваются с проблемой поиска нужной информации по теме «Центральный и вписанный углы в окружности». Далеко не всегда школьный учебник имеется под рукой. А поиск формул в Интернете порой отнимает очень много времени.
«Прокачать» навыки и улучшить знания в таком непростом разделе геометрии, как планиметрия, вам поможет наш образовательный портал. «Школково» предлагает старшеклассникам и их преподавателям по-новому выстроить процесс подготовки к сдаче единого госэкзамена. Весь базовый материал представлен нашими специалистами в максимально доступной форме. Ознакомившись с информацией в разделе «Теоретическая справка», учащиеся узнают, какими свойствами обладает центральный угол окружности, как найти его величину и т. д.
Затем для закрепления полученных знаний и отработки навыков мы рекомендуем выполнить соответствующие упражнения. Большая подборка заданий на нахождение величины угла, вписанного в окружность, и других параметров представлена в разделе «Каталог». Для каждого упражнения наши специалисты прописали подробный ход решения и указали правильный ответ. Перечень задач на сайте постоянно дополняется и обновляется.
Готовиться к ЕГЭ, практикуясь в выполнении упражнений, к примеру, на нахождение величины центрального угла и длины дуги окружности, старшеклассники могут в онлайн-режиме, находясь в любом российском регионе.
При необходимости выполненное задание можно сохранить в разделе «Избранное», чтобы в дальнейшем вернуться к нему и еще раз разобрать принцип его решения.
Вписанный угол, теория задачи. Друзья! В этой статье речь пойдёт о заданиях, для решения которых необходимо знать свойства вписанного угла. Это целая группа задач, они включены в ЕГЭ. Большинство из них решаются очень просто, в одно действие.
Есть задачи посложнее, но и они большой трудности для вас не представят, необходимо знать свойства вписанного угла. Постепенно мы разберём все прототипы задач, приглашаю вас на блог!
Теперь необходимая теория. Вспомним, что такое центральный и вписанный угол, хорда, дуга, на которые опираются эти углы:
Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре .
Часть окружности, расположенная внутри плоского угла, называется дугой окружности.
Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла.
Угол, называется вписанным в окружность, если вершина угла лежит на окружности, а стороны угла пересекают эту окружность.
Отрезок соединяющий две точки окружности называется хордой . Самая большая хорда проходит через центр окружности и называется диаметр.
Для решения задач на вписанные в окружность углы, вам необходимо знать следующие свойства:
1. Вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу.
2. Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
3. Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, вершины которых лежат по одну сторону от этой хорды, равны.
4. Любая пара углов, опирающихся на одну и ту же хорду, вершины которых лежат по разные стороны хорды, составляют в сумме 180°.
Следствие: противолежащие углы четырёхугольника вписанного в окружность в сумме составляют 180 градусов.
5. Все вписанные углы, опирающиеся на диаметр, прямые.
Вообще, это свойство является следствием из свойства (1), это его частный случай. Посмотрите – центральный угол равен 180 градусам (и этот развёрнутый угол есть не что иное, как диаметр), значит по первому свойству вписанный угол С равен его половине, то есть 90 градусам.
Знание данного свойства помогает в решении многих задач и часто позволяет избежать лишних расчётов. Хорошо усвоив его — вы более половины задач такого типа сможете решать устно. Два следствие, которые можно сделать:
Следствие 1: если в окружность вписан треугольник и одна его сторона совпадает с диаметром этой окружности, то треугольник является прямоугольным (вершина прямого угла лежит на окружности).
Следствие 2: центр описанной около прямоугольного треугольника окружности совпадает с серединой его гипотенузы.
Многие прототипы стереометрических задач также решаются благодаря использованию этого свойства и данных следствий. Запомните сам факт: если диаметр окружности является стороной вписанного треугольника, то этот треугольник прямоугольный (угол лежащий против диаметра равен 90 градусов). Все остальные выводы и следствия вы сможете сделать сами, учить их не надо.
Как правило, половина задач на вписанный угол даётся с эскизом, но без обозначений. Для понимания процесса рассуждения при решении задач (ниже в статье) введены обозначения вершин (углов). На ЕГЭ вы можете этого не делать. Рассмотрим задачи:
Чему равен острый вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности? Ответ дайте в градусах.
Построим центральный угол для заданного вписанного угла, обозначим вершины:
По свойству вписанного в окружность угла:
Угол АОВ равен 60 0 , так как треугольник АОВ равносторонний, а в равностороннем треугольнике все углы равны по 60 0 . Стороны треугольника равны, так как в условии сказано, что хорда равна радиусу.
Таким образом, вписанный угол АСВ равен 30 0 .
Ответ: 30
Найдите хорду, на которую опирается угол 30 0 , вписанный в окружность радиуса 3.
Это по сути обратная задача (предыдущей). Построим центральный угол.
Он в два раза больше вписанного, то есть угол АОВ равен 60 0 . От сюда можно сделать вывод, что треугольник АОВ равносторонний. Таким образом, хорда равна радиусу, то есть трём.
Ответ: 3
Радиус окружности равен 1. Найдите величину тупого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную корню из двух. Ответ дайте в градусах.
Построим центральный угол:
Зная радиус и хорду мы можем найти центральный угол АСВ. Это можно сделать по теореме косинусов. Зная центральный угол мы без труда найдём вписанный угол АСВ.
Теорема косинусов: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.
Следовательно, второй центральный угол равен 360 0 – 90 0 = 270 0 .
Угол АСВ по свойству вписанного угла равен его половине, то есть 135 градусам.
Ответ: 135
Найдите хорду, на которую опирается угол 120 градусов, вписанный в окружность радиуса корень из трёх.
Соединим точки А и В с центром окружности. Обозначим её как О:
Нам известен радиус и вписанный угол АСВ. Мы можем найти центральный угол АОВ (больший 180 градусов), затем найти угол АОВ в треугольнике АОВ. А далее по теореме косинусов вычислить АВ.
По свойству вписанного угла центральный угол АОВ (который больше 180 градусов) будет равен вдвое больше вписанного, то есть 240 градусам. Значит, угол АОВ в треугольнике АОВ равен 360 0 – 240 0 = 120 0 .
По теореме косинусов:
Ответ:3
Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет 20% окружности. Ответ дайте в градусах.
По свойству вписанного угла он вдвое меньше центрального угла, опирающегося на ту же дугу, в данном случае речь идёт о дуге АВ.
Сказано, дуга АВ составляет 20 процентов от окружности. Это означает, что центральный угол АОВ составляет так же 20 процентов от 360 0 . *Окружность это угол в 360 градусов. Значит,
Таким образом, вписанный угол АСВ равен 36 градусам.
Ответ: 36
Дуга окружности AC , не содержащая точки B , составляет 200 градусов. А дуга окружности BC, не содержащая точки A , составляет 80 градусов. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.
Обозначим для наглядности дуги, угловые меры которых даны. Дуга соответствующая 200 градусам – синий цвет, дуга соответствующая 80 градусам – красный цвет, оставшаяся часть окружности – жёлтый цвет.
Таким образом, градусная мера дуги АВ (жёлтый цвет), а значит и центральный угол АОВ составляет: 360 0 – 200 0 – 80 0 = 80 0 .
Вписанный угол АСВ вдвое меньше центрального угла АОВ,то есть равен 40 градусам.
Ответ: 40
Чему равен вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности? Ответ дайте в градусах.
Необходимо знать свойство вписанного угла; понимать, когда и как необходимо использовать теорему косинусов, подробнее о ней .
На этом всё! Успехов Вам!
С уважением, Александр Крутицких
Учительница математики в школе в третьем классе:
— Дети, а скажите мне, сколько будет 6*6?
Дети дружно хором отвечают:
— Семьдесят шесть!
— Ну, что вы, такое говорите детки! Шесть на шесть будет тридцать шесть… ну может быть еще 37, 38, 39… ну максимум 40… но никак не семьдесят шесть!
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
В этой статье я расскажу как решать задачи, в которых используются .
Сначала, как обычно, вспомним определения и теоремы, которые нужно знать, чтобы успешно решать задачи на .
1. Вписанный угол - это угол, вершина которого лежит на окружности, а его стороны пересекают окружность:
2. Центральный угол - это угол, вершина которого совпадает с центром окружности:
Градусная величина дуги окружности измеряется величиной центрального угла, который на нее опирается.
В данном случае градусная величина дуги АС равна величине угла АОС.
3. Если вписанный и центральный угол опираются на одну дугу, то величина вписанного угла в два раза меньше центрального :
4. Все вписанные углы, которые опираются на одну дугу, равны между собой:
5. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°:
Решим несколько задач.
1 . Задание B7 (№ 27887)
Найдем величину центрального угла, который опирается на ту же дугу:
Очевидно, что величина угла АОС равна 90°, следовательно, угол АВС равен 45°
Ответ: 45°
2 .Задание B7 (№ 27888)
Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.
Очевидно, что угол АОС равен 270°, тогда угол АВС равен 135°.
Ответ: 135°
3 . Задание B7 (№ 27890)
Найдите градусную величину дуги AC окружности, на которую опирается угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Найдем величину центрального угла, который опирается на дугу АС:
Величина угла АОС равна 45°, следовательно, градусная мера дуги АС равна 45°.
Ответ: 45°.
4 . Задание B7 (№ 27885)
Найдите угол ACB, если вписанные углы ADB и DAE опираются на дуги окружности, градусные величины которых равны соответственно и . Ответ дайте в градусах.
Угол ADB опирается на дугу АВ, следовательно, величина центрального угла АОВ равна 118°, следовательно, угол BDA равен 59°, и смежный ему угол ADC равен 180°-59°=121°
Аналогично, угол DOE равен 38° и соответствующий вписанный угол DAE равен 19°.
Рассмотрим треугольник ADC:
Сумма углов треугольника равна 180°.
Величина угла АСВ равна 180°- (121°+19°)=40°
Ответ: 40°
5 . Задание B7 (№ 27872)
Стороны четырехугольника ABCD AB, BC, CD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно , , и . Найдите угол B этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.
Угол В опирается на дугу АDC, величина которой равна сумме величин дуг AD и CD, то есть 71°+145°=216°
Вписанный угол В равен половине величины дуги ADC, то есть 108°
Ответ: 108°
6 . Задание B7 (№ 27873)
Точки A, B, C, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB, BC, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 4:2:3:6 . Найдите угол A четырехугольника ABCD. Ответ дайте в градусах.
(см. чертеж предыдущей задачи)
Так как у нас дано отношение величин дуг, введем единичный элемент х. Тогда величины каждой дуги будут выражаться таким соотношением:
АВ=4х, ВС=2х, СD=3х, AD=6x. Все дуги образуют окружность, то есть их сумма равна 360°.
4х+2х+3х+6х=360°, отсюда х=24°.
Угол А опирается на дуги ВС и CD, которые в сумме имеют величину 5х=120°.
Следовательно, угол А равен 60°
Ответ: 60°
7 . Задание B7 (№ 27874)
Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен , угол CAD
Центральный угол
- это угол, вершина которого находится в центре окружности.
Вписанный угол
- угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают ее.
На рисунке - центральные и вписанные углы, а также их важнейшие свойства.
Итак, величина центрального угла равна угловой величине дуги, на которую он опирается . Значит, центральный угол величиной в 90 градусов будет опираться на дугу, равную 90°, то есть круга. Центральный угол, равный 60°, опирается на дугу в 60 градусов, то есть на шестую часть круга.
Величина вписанного угла в два раза меньше центрального, опирающегося на ту же дугу .
Также для решения задач нам понадобится понятие «хорда».
Равные центральные углы опираются на равные хорды.
1. Чему равен вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности? Ответ дайте в градусах.
Вписанный угол, опирающийся на диаметр, - прямой.
2. Центральный угол на 36° больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.
Пусть центральный угол равен х, а вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, равен у.
Мы знаем, что х = 2у.
Отсюда 2у = 36 + у,
у = 36.
3. Радиус окружности равен 1. Найдите величину тупого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную . Ответ дайте в градусах.
Пусть хорда АВ равна . Тупой вписанный угол, опирающийся на эту хорду, обозначим α.
В треугольнике АОВ стороны АО и ОВ равны 1, сторона АВ равна . Нам уже встречались такие треугольники. Очевидно, что треугольник АОВ - прямоугольный и равнобедренный, то есть угол АОВ равен 90°.
Тогда дуга АСВ равна 90°, а дуга АКВ равна 360° - 90° = 270°.
Вписанный угол α опирается на дугу АКВ и равен половине угловой величины этой дуги, то есть 135°.
Ответ: 135.
4. Хорда AB делит окружность на две части, градусные величины которых относятся как 5:7. Под каким углом видна эта хорда из точки C, принадлежащей меньшей дуге окружности? Ответ дайте в градусах.
Главное в этой задаче - правильный чертеж и понимание условия. Как вы понимаете вопрос: «Под каким углом хорда видна из точки С?»
Представьте, что вы сидите в точке С и вам необходимо видеть всё, что происходит на хорде АВ. Так, как будто хорда АВ - это экран в кинотеатре:-)
Очевидно, что найти нужно угол АСВ.
Сумма двух дуг, на которые хорда АВ делит окружность, равна 360°, то есть
5х + 7х = 360°
Отсюда х = 30°, и тогда вписанный угол АСВ опирается на дугу, равную 210°.
Величина вписанного угла равна половине угловой величины дуги, на которую он опирается, значит, угол АСВ равен 105°.
Угол ABC - вписанный угол. Он опирается на дугу АС, заключённую между его сторонами (рис. 330).
Теорема . Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
Это надо понимать так: вписанный угол содержит столько угловых градусов, минут и секунд, сколько дуговых градусов, минут и секунд содержится в половине дуги, на которую он опирается.
При доказательстве этой теоремы надо рассмотреть три случая.
Первый случай. Центр круга лежит на стороне вписанного угла (рис. 331).
Пусть ∠ABC - вписанный угол и центр круга О лежит на стороне BC. Требуется доказать, что он измеряется половиной дуги AC.
Соединим точку A с центром круга. Получим равнобедренный \(\Delta\)AOB, в котором АО = OB, как радиусы одного и того же круга. Следовательно, ∠A = ∠B.
∠AOC является внешним по отношению к треугольнику AOB, поэтому ∠AOC = ∠А + ∠В, а так как углы А и В равны, то ∠В составляет 1 / 2 ∠AOC.
Но ∠AOC измеряется дугой АС, следовательно, ∠В измеряется половиной дуги АС.
Например, если \(\breve{AC}\) содержит 60°18’, то ∠В содержит 30°9’.
Второй случай. Центр круга лежит между сторонами вписанного угла (рис. 332).
Пусть ∠ABD - вписанный угол. Центр круга О лежит между его сторонами. Требуется доказать, что ∠ABD измеряется половиной дуги АD.
Для доказательства проведём диаметр BC. Угол ABD разбился на два угла: ∠1 и ∠2.
∠1 измеряется половиной дуги АС, а ∠2 измеряется половиной дуги СD, следовательно, весь ∠АВD измеряется 1 / 2 \(\breve{AC}\) + 1 / 2 \(\breve{CD}\), т. е. половиной дуги АD.
Например, если \(\breve{AD}\) содержит 124°, то ∠В содержит 62°.
Третий случай. Центр круга лежит вне вписанного угла (рис. 333).
Пусть ∠MAD - вписанный угол. Центр круга О находится вне угла. Требуется доказать, что ∠MAD измеряется половиной дуги MD.
Для доказательства проведём диаметр AB. ∠MAD = ∠MAB - ∠DAB. Но ∠MAB измеряется 1 / 2 \(\breve{MB}\), а ∠DAB измеряется 1 / 2 \(\breve{DB}\).
Следовательно, ∠MAD измеряется 1 / 2 (\(\breve{MB} - \breve{DB})\), т. е. 1 / 2 \(\breve{MD}\).
Например, если \(\breve{MD}\) содержит 48° 38", то ∠MAD содержит 24° 19’ 8".
Следствия
1.
Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой, так как они измеряются половиной одной и той же дуги
(рис. 334, а).
2. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, - прямой, так как он опирается на половину окружности. Половина окружности содержит 180 дуговых градусов, значит, угол, опирающийся на диаметр, содержит 90 угловых градусов (рис. 334, б).