Металлический куб имеет внешнее ребро.
Задача 1: Три латунных куба с ребрами 3 см, 4 см и 5 см переплавлены в один куб. Какое ребро у этого куба?
Задача 2: Металлический куб имеет внешнее ребро 10,2 см и массу 514,15 г. Толщина стенок равна 0,1 см. Найти плотность металла , из которого сделан куб.
(~ 8,4 г/см 3)
Задача 3: Если каждое ребро куба увеличить на 1 м, то его объем увеличится в 125 раз. Найти ребро.
Задача 4:
Кирпич размером 25 х 12 х 6,5 см имеет массу 3,51 кг. Найти его плотность. (1,8 г/см 3)
Задача 5:
Требуется установить резервуар для воды емкостью 10 м 3 на площадке размером 2,5 х 1,75 м, служащей для него дном. Найти высоту резервуара.
Задача 6: Измерения прямоугольного бруска 3 см, 4 см и 5 см. Если увеличить каждое ребро на х см , то поверхность увеличится на 54 см 2 . Как увеличится его объем?
(в 2 раза)
Задача 7: Чугунная труба имеет квадратное сечение , ее внешняя ширина 25 см, толщина стенок 3 см. Какова масса одного погонного метра трубы (плотность чугуна 7,3 г/см 3)?
(~ 192,72 кг)
Задача 8: а и в образуют угол 30 0 . Боковая поверхность равна S. Найти объем. ()
Задача 9:
В прямом параллелепипеде стороны основания 
см и 5 см образуют угол 45 0 . Меньшая диагональ параллелепипеда равна 7 см. Найти его объем.
(60 см 3)
3 м 2 и 6 м 2 . Найти объем параллелепипеда.
Задача 11: Основание наклонного параллелепипеда – квадрат, сторона которого равна 1 м. Одно из боковых ребер равно 2 м и образует с каждой из прилежащих сторон основания угол 60 0 . Найти объем параллелепипеда.
*Задача 12:
Грани параллелепипеда – равные ромбы со стороной а
и острым углом 60 0 . Найти объем параллелепипеда. (
)
*Задача 13: Каждое ребро параллелепипеда равно 1 см. У одной из вершин параллелепипеда все три плоских угла острые , по 2α каждый. Найти объем параллелепипеда.
Задача 14: Деревянная плита в форме правильного восьмиугольника со стороной 3,2 см и толщиной 0,7 см имеет массу 17,3 г. Найти плотность дерева.
(0,5 г/см 3)
Задача 15:
Диагональ правильной четырехугольной призмы равна 3,5 см, а диагональ боковой грани 2,5 см. Найти объем призмы. (3 см 3)
Задача 16:
Боковые ребра наклонной треугольной призмы равны 15 м, а расстояния между содержащими их параллельными прямыми 26 м, 25 м и 17 м. Найти объем призмы. (3060 м 3)
Задача 17: Вычислить пропускную способность (в кубических метрах за 1 час) водосточной трубы , сечение которой имеет вид равнобедренного треугольника с основанием 1,4 м и высотой 1,2 м. Скорость течения 2 м/с.
(6048 м 3 /ч)
Задача 19:
Площадь основания прямой треугольной призмы равна 4 см 2 , а площади боковых граней 9 см 2 , 10 см 2 и 17 см 2 . Найти объем. (12 см 3)
Задача 20:
Основание призмы – треугольник , у которого одна сторона равна 2 см, а две другие по 3 см. Боковое ребро равно 4 см и составляет с плоскостью основания угол 45 0 . Найти ребро равновеликого куба.
Задача 21: Основание пирамиды – прямоугольник со сторонами 9 м и 12 м, все боковые ребра равны 12,5 м. Найти объем пирамиды.
*Задача 22: Найти объем пирамиды , имеющей основанием треугольник , два угла которого α и β, радиус описанного круга R. Боковые ребра пирамиды наклнены к плоскости ее основания под углом γ.
Домашнее задание:
Если каждое ребро куба увеличить на 2 см, то его объем увеличится на 98 см 3 . Чему равно ребро куба?
Измерения прямоугольного параллелепипеда 15 м, 50 м и 36 м. Найти ребро равновеликого ему куба.
В правильной шестиугольной призме площадь наибольшего диагонального сечения 4 м 2 , а расстояние между двумя противоположными боковыми гранями 2 м. Найти объем призмы.
В прямой треугольной призме стороны оснований равны 4 см, 5 см и 7 см, а боковое ребро равно большей высоте основания. Найти объем призмы.
* Основание пирамиды – равнобедренный треугольник со сторонами 6 см, 6 см и 8 см. Все боковые ребра равны 9 см. Найти объем пирамиды.
Одно ребро треугольной пирамиды равно 4 см, каждое из остальных 3 см. Найти объем пирамиды.
см 3)
>>Математика:Задачи-3(11 класс)
Задачи
1. Три латунных куба с ребрами 3 см, 4 см и 5 см переплавлены в один куб. Какое ребро у этого куба?
2. Металлический куб имеет внешнее ребро 10,2 см и массу 514,15 г. Толщина стенок равна 0,1 см. Найдите плотность металла, из которого сделан куб.
3. Если каждое ребро куба увеличить на 2 см, то его объем
увеличится на 98 см^. Чему равно ребро куба?
4. Если каждое ребро куба увеличить на 1 м, то его объем увеличится в 125 раз. Найдите ребро.
5. Кирпич размером 25X12X6,5 см имеет массу 3,51 кг. Найдите его плотность.
6. Требуется установить резервуар для воды емкостью 10 м^ на площадке размером 2,5X1,75 м, служащей для него дном. Найдите высоту резервуара.
7. Измерения прямоугольного параллелепипеда
15 м, 50 м и 36 м. Найдите ребро равновеликого ему куба.
8. Измерения прямоугольного бруска 3 см, 4 см, 5 см. Если увеличить каждое ребро на д: сантиметров, то поверхность увеличится на 54 см 2 . Как увеличится объем?
9. Чугунная труба имеет квадратное сечение, ее внешняя ширина 25 см, толщина стенок 3 см. Какова масса одного погонного метра трубы (плотность чугуна 7,3 г/см 2)?
10. Чему равен объем прямоугольного параллелепипеда, диагональ которого а составляет с плоскостью основания угол , а с боковой гранью угол ?
11. В прямом параллелепипеде стороны основания а и b образуют угол 30°. Боковая поверхность равна S. Найдите его объем.
12. В прямом параллелепипеде стороны основания см и 5 см образуют угол 45°. Меньшая диагональ параллелепипеда равна 7 см. Найдите его объем.
13. Основание прямого параллелепипеда - ромб, площадь которого 1 м 2 . Площади диагональных сечений 3 м 2 и 6 м 2 . Найдите объем параллелепипеда.
14. Решите предыдущую задачу в общем случае, если площадь ромба Q, а площади диагональных сечений М и N.
15. Основание наклонного параллелепипеда - квадрат, сторона которого равна 1 м. Одно из боковых ребер равно 2 м и образует с каждой из прилежащих сторон основания угол 60°. Найдите объем параллелепипеда.
16*. Грани параллелепипеда - равные ромбы со стороной а и острым углом 60°. Найдите объем параллелепипеда.
17*. Каждое ребро параллелепипеда равно 1 см. У одной из вершин параллелепипеда все три плоских угла острые, по 2а каждый. Найдите объем параллелепипеда.
18*. В параллелепипеде длины трех ребер, исходящих из одной вершины, равны а, b, с. Ребра а и b взаимно перпендикулярны, а ребро с образует с каждым из них угол а (рис. 485). Найдите объем параллелепипеда.
19. По стороне основания а и боковому ребру b найдите объем правильной призмы :
20. Деревянная плита в форме правильного восьмиугольника со стороной 3,2 см и толщиной 0,7 см имеет массу 17,3 г. Найдите плотность дерева.
21. Диагональ правильной четырехугольной призмы равна 3,5 см, а диагональ боковой грани 2,5 см. Найдите объем призмы.
22. Сторона основания правильной треугольной призмы равна а, боковая поверхность равновелика сумме оснований. Найдите ее объем.
23. В правильной шестиугольной призме площадь наибольшего диагонального сечения 4 м 2 , а расстояние между двумя противоположными боковыми гранями 2 м. Найдите объем призмы.
24. В наклонной призме проведено сечение, перпендикулярное боковым ребрам и пересекающее все боковые ребра. Найдите объем призмы, если площадь сечения Q, а боковые ребра равны I (рис. 486).
25. Боковые ребра наклонной треугольной призмы равны 15 м, а расстояния между содержащими их параллельными прямыми 26 м, 25 м и 17 м. Найдите объем призмы.
26. Вычислите пропускную способность (в кубических метрах за 1 ч) водосточной трубы, сечение которой имеет вид равнобедренного треугольника с основанием 1,4 м и высотой 1,2 м. Скорость течения 2 м/с.
27. Сечение железнодорожной насыпи имеет вид трапеции с нижним основанием 14 м, верхним 8 м и высотой 3,2 м. Найдите, сколько кубических метров земли приходится на 1 км насыпи.
28. В прямой треугольной призме стороны оснований равны 4 см, 5 см и 7 см, а боковое ребро равно большей высоте основания. Найдите объем призмы.
29. Площадь основания прямой треугольной призмы равна 4 cм 2 , а площади боковых граней 9 cм 2 , 10 cм 2 и 17 см 2 . Найдите объем.
30. Основание призмы - треугольник, у которого одна сторона равна 2 см, а две другие по 3 см. Боковое ребро равно 4 см и составляет с плоскостью основания угол 45°. Найдите ребро равновеликого куба.
31. Основанием наклонной призмы является равносторонний треугольник со стороной а; одна из боковых граней перпендикулярна основанию и является ромбом, у которого меньшая диагональ равна с. Найдите объем призмы.
32. Чему равен объем прямой четырехугольной призмы, если ее высота h, диагонали наклонены к плоскости основания под углами и и острый угол между диагоналями основания равен ?
33. По стороне основания а и боковому ребру b найдите объем правильной пирамиды:
1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) шестиугольной.
34. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды а, а двугранный угол при основании равен 45°. Найдите объем пирамиды.
35. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое равно b (рис. 487). Найдите объем пирамиды.
36. Чему равен объем-правильной треугольной пирамиды, у которой сторона основания а, а боковые ребра взаимно перпендикулярны?
37. По ребру а правильного тетраэдра найдите его объем.
38. По ребру а октаэдра найдите его объем.
39. Основание пирамиды - прямоугольник со сторонами 9 м и 12 м, все боковые ребра равны 12,5 м. Найдите объем пирамиды.
40*. Основание пирамиды - равнобедренный треугольник со сторонами 6 см, 6 см и 8 см. Все боковые ребра равны 9 см. Найдите объем пирамиды.
41. Одно ребро треугольной пирамиды равно 4 см, каждое из остальных 3 см. Найдите объем пирамиды.
42. В основании пирамиды лежит прямоугольник. Каждое боковое ребро пирамиды равно I и составляет со смежными сторонами прямоугольника
углы и . Найдите объем пирамиды.
43. Найдите объем пирамиды, имеющей основанием треугольник, два угла которого и , радиус описанного круга R. Боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости ее основания под углом .
44. Найдите объем усеченной пирамиды с площадями оснований Q 1 и Q 2 "Q 1 больше Q 2 и высотой h.
45. В пирамиде с площадью основания Q 1 проведено сечение, параллельное основанию, на расстоянии h от него. Площадь сечения равна Q 2 . Найдите высоту пирамиды.
46. В правильной усеченной четырехугольной пирамиде стороны нижнего и верхнего оснований равны а и двугранный угол при ребре нижнего основания равен а. Найдите объем пирамиды.
47. Решите предыдущую задачу в случае правильной усеченной треугольной пирамиды.
48. Через середину высоты пирамиды проведена плоскость, параллельная основанию. В каком отношении она делит объем пирамиды?
49. Высота пирамиды h. На каком расстоянии от вершины находится сечение, параллельное основанию и делящее ее объем пополам?
А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений
Стереометрия.
Задача № 1 . Три латунных куба с ребрами 3 см, 4 см и 5 см переплавлены в один куб. Какое ребро у этого куба?
Задача № 2 . Металлический куб имеет внешнее ребро 10,2 см и массу 514,15 г. Толщина стенок равна 0,1 см. Найдите плотность металла, из которого сделан куб.
Задача № 3 . Кирпич размером 25х12х6,5 имеет массу 3,51 кг. Найдите его плотность.
Задача № 4 . Требуется установить резервуар для воды емкостью 10м 3 на площадке размером 2,5 мх1,75 м, служащей для него дном. Найдите высоту резервуара.
Задача № 5 . Чугунная труба имеет квадратное сечение, её внешняя ширина 25 см, толщина стенок 3 см. какова масса погонного метра трубы (плотность чугуна 73 г/см 3 )
Задача № 6. Деревянная плита в форме правильного восьмиугольника со стороной 3,2 см и толщиной 0,7 см имеет массу 17,3 г. Найдите плотность дерева.
Задача № 7 . Вычислите пропускную способность (в кубических метрах за 1 час) водосточной трубы, сечение которой имеет вид равнобедренного треугольника с основанием 1,4 м и высотой 1,2 м. Скорость течения воды 2 м/с.
Задача № 8. Сечение железнодорожной насыпи имеет вид трапеции с нижним основанием 14м, верхним 8 м и высотой 3,2 м. Найдите, сколько кубических метров земли приходится на 1 км насыпи.
Задача № 9 . 25 м медной проволоки имеют массу 100,7 г. Найдите диаметр проволоки (плотность меди 8,94 г/см 3 ).
Задача № 10. Насос. Подающий воду в паровой котел, имеет два водяных цилиндра. Диаметр цилиндров 80 мм, а ход поршня 150мм. Чему равна часовая производительность насоса, если каждый поршень делает 50 рабочих ходов в минуту?
Задача № 11 . Стог сена имеет форму цилиндра с коническим верхом. Радиус его основания 2,5 м, высота 4 м, причем цилиндрическая часть стога имеет высоту 2,2 м. Плотность сена 0,03 г/см 3 . Определить массу стога.
Задача № 12. Жидкость, налитая в конический сосуд высотой 0,18 м и диаметром основания 0,24 м, переливается в цилиндрический сосуд диаметр основания которого 0,1 м. Как высоко будет стоять уровень жидкости в сосуде?
Задача № 13 . Сосновое бревно длиной 15,5 м имеет диаметры концов 42 см и 25 см.какую ошибку (в процентах) совершают, когда вычисляют объем бревна, умножая его длину на площадь поперечного сечения в середине бревна?
Задача № 14. Чугунный шар регулятора имеет массу 10 кг. Найдите диаметр шара (плотность чугуна 7,2 г/см 3 ).
Задача № 15 . Требуется переплавить в один шар два чугунных шара с диаметрами 25 см и 35 см. Найдите диаметр нового шара.
Задача № 16 . Имеется кусок свинца массой 1 кг. Сколько шариков диаметром 1 см можно отлить из куска (плотность свинца 11,4 г/см 3 )
Задача № 17 . Из деревянного цилиндра, высота которого равна диаметру основания, выточен наибольший шар. Сколько процентов материала сточено?
Задача № 18. Внешний диаметр полого шара 18 см. Толщина стенок 3 см. Найдите объем материала, из которого изготовлен шар.
Задача № 19 . Сосуд имеет форму полушара радиуса R , дополненного цилиндром. Какой высоты должна быть цилиндрическая часть, чтобы сосуд имел объем V ?
Задача № 20 . Цилиндрическая дымовая труба с диаметром 65 ми имеет высоту 18 м. Сколько жести нужно для ее изготовления, если на заклепки уходит 10% материала?
Задача № 21 . Полуцилиндрический свод подвала имеет 6 м в длину и 5,8 м в диаметре. Найдите полную поверхность подвала.
Задача № 22 . Из круглого листа металла выштампован цилиндрический стакан диаметром 25 см и высотой 50 см. Предполагая, что площадь листа при штамповке не изменилась, найдите диаметр листа.
Задача № 23. Конусообразная палатка высотой 3,5 см и диаметром основания 4 м покрыта парусиной. Сколько квадратных метров парусины ушло на палатку?
Задача № 24 . Крыша башни имеет форму конуса. Высота крыши 2 м, диаметр башни 6м. Найдите поверхность крыши.
Задача № 25 . Сколько квадратных метров латунного листа потребуется, чтобы сделать рупор, у которого диаметр одного конца 0,43м, другого конца -0,036 м и образующая -1,42 м?
Задача № 26. Сколько ведер олифы потребуется для окраски внешней поверхности 100 ведер, имеющих форму усеченного конуса с диаметрами оснований 25 см и 30 см и образующей 27,5 см, если на 1 м 2 требуется 150 г олифы?
Формулы по стереометрии
(1)
( 2 )