Острые углы прямоугольного треугольника равны 87 3. Прототип задания (27770) Угол между выссотой и биссектрисой, выходящие из вершины прямого угла прямоугольного треугольника Зенина Алевтина Дмитриевна, - презентация
Понятие прямоугольного треугольника
Вначале рассмотрим понятие произвольного треугольника.
Определение 1
Треугольником будем называть геометрическую фигуру, которая составлена из трех точек, соединенных между собой отрезками (рис. 1).
Определение 2
Точки в рамках определения 1 будем называть вершинами треугольника.
Определение 3
Отрезки в рамках определения 1 будем называть сторонами треугольника.
Очевидно, что любой треугольник будет иметь 3 вершин, а также три стороны.
Теперь введем, непосредственно, понятие прямоугольного треугольника.
Определение 4
Треугольник будем называть прямоугольным, если один из его углов равняется $90^\circ$.
При этом стороны, которые прилегают к прямому углу, будут называться катетами, а третья сторона – гипотенузой (рис. 2).
Как и для любого треугольника, для прямоугольного справедлива следующая теорема:
Теорема 1
Сумма углов в любом произвольном треугольнике равняется $180^\circ$.
Свойства прямоугольного треугольника
Сформулируем в виде теорем основные свойства для прямоугольных треугольников.
Теорема 2
Острые углы в произвольном прямоугольном треугольнике в сумме дают $90^\circ$.
Доказательство.
Обозначим острые углы треугольника через $α$ и $β$. Тогда, так как наш треугольник прямоугольный, то, по теореме 1, получим
$α+β+90^\circ=180^\circ$
$α+β=90^\circ$
Теорема доказана.
Теорема 3
Если катет в прямоугольном треугольнике находится напротив острого угла, равного $30^\circ$, то такой катет будет равняться половине гипотенузы.
Доказательство.
Пусть нам дан прямоугольный треугольник $DAB$, в котором $∠A=90^\circ$, а $∠B=30^\circ$. Достроим к нему треугольник $ABC$, который будет равен треугольнику $DAB$ (рис. 3).
Так как $∠A=90^\circ$, а $∠B=30^\circ$, то, по теореме 1, получим
$∠D=180^\circ-90^\circ-30^\circ=60^\circ$
Аналогично, $∠C=60^\circ$.
Также видим, что $∠B=∠DBA+∠CBA=30^\circ+30^\circ=60^\circ$.
Получаем, что треугольник $DBC$ равносторонний, следовательно, $DC=AB$. Значит, так как $DA=AC$, то $DA=\frac{1}{2} AB$.
Теорема доказана.
Справедлива также и обратная теорема:
Теорема 4
Если катет в прямоугольном треугольнике будет равняться половине гипотенузы, то угол, который находится напротив него, равняется $30^\circ$.
Доказательство.
Пусть нам дан прямоугольный треугольник $DAB$, в котором $∠A=90^\circ$ и $DA=\frac{1}{2} AB$. Достроим к нему треугольник $ABC$, который будет равен треугольнику $DAB$ как на рисунке 3.
Так как $DA=\frac{1}{2} AB$, а $DA=AC$, то получим, что $DC=DB=CB$.
Получаем, что треугольник $DBC$ равносторонний, следовательно, все углы в нем равняются по $60^\circ$. Значит, в исходном треугольнике, $∠B=30^\circ$.
Теорема доказана.
Признаки прямоугольных треугольников
Введем теперь теоремы, которые называются признаками прямоугольного треугольника. В рамках этой статьи их доказательства рассматривать не будем.
Теорема 5
Если катеты двух прямоугольных треугольников попарно равны, то и эти треугольники равны.
Теорема 6
Если один из катетов прямоугольного треугольника, а также острый угол к нему прилегающий равняются одному катету и острому углу, к нему прилегающего другого прямоугольного треугольника, то и эти треугольники будут равными.
Острые углы прямоугольного треугольника равны 29 о и 61 о. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах 29 о 61 о По условию АСВ = 90 о; CD - биссектриса АCD = BCD = 45 o 45 o АСН – прямоугольный. АCН = 90 о – 29 о = 61 о 61 о Искомый DCН = 61 о – 45 о = 16 о 16 о 2 способ решения: ВСН – прямоугольный. ВCН = 90 о – 61 о = 29 о 29 о Искомый DCН = 45 о – 29 о = 16 о Ответ: Прототип задания В6 (27770)
АCD = BCD = 45 o 45 o 4о4о В пр" title="Острые углы прямоугольного треугольника равны 86 о и 4 о. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах 86 о CD – биссектриса прямого угла прямоугольного АВС. > АCD = BCD = 45 o 45 o 4о4о В пр" class="link_thumb"> 5 Острые углы прямоугольного треугольника равны 86 о и 4 о. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах 86 о CD – биссектриса прямого угла прямоугольного АВС. > АCD = BCD = 45 o 45 o 4о4о В прямоугольном АСН: АCН = 90 о – 4 о = 86 о 86 о Искомый DCН = 86 о – 45 о = 41 о Ответ: Задания В6 (47625) ПРОТОТИП ПРОТОТИП 27770 АCD = BCD = 45 o 45 o 4о4о В пр"> АCD = BCD = 45 o 45 o 4о4о В прямоугольном АСН: АCН = 90 о – 4 о = 86 о 86 о Искомый DCН = 86 о – 45 о = 41 о Ответ: 41 1.2 Задания В6 (47625) ПРОТОТИП 27770 ПРОТОТИП 27770"> АCD = BCD = 45 o 45 o 4о4о В пр" title="Острые углы прямоугольного треугольника равны 86 о и 4 о. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах 86 о CD – биссектриса прямого угла прямоугольного АВС. > АCD = BCD = 45 o 45 o 4о4о В пр"> title="Острые углы прямоугольного треугольника равны 86 о и 4 о. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах 86 о CD – биссектриса прямого угла прямоугольного АВС. > АCD = BCD = 45 o 45 o 4о4о В пр">
Острые углы прямоугольного треугольника равны 69 о и 21 о. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах 21 о В прямоугольном ВСН: ВСН = 90 о – 69 о = 21 о 69 о 21 о CD – биссектриса прямого угла прямоугольного АВС. 45 o Искомый DC Н = 45 о – 21 о = 24 о Ответ: Задания В6 (47659) ПРОТОТИП ПРОТОТИП 27770
Острые углы прямоугольного треугольника равны 53 о и 37 о. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах 53 о 37 о В прямоугольном АСН: АСН = 90 о – 37 о = 53 о Запомнить: Высота опущенная из вершины прямого угла прямоугольного треугольника разбивает треугольник на два подобных прямоугольных треугольника. CD – биссектриса прямого угла прямоугольного АВС. 45 o Искомый DC Н = 53 о – 45 о = 8 о Ответ: 8 8о8о АСН ВСН 1.4 Задания В6 (47665) ПРОТОТИП 27770ПРОТОТИП 27770
Острые углы прямоугольного треугольника равны 67 о и 23 о. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах 67 о 23 о Теоретические сведения Подсказка Решение 45 о АDC = 112 о; CDH = 68 о B прямоугольном DCH: DCН = 90 – 68 = 22 о Ответ: о 1.5 Задания В6 (47635) ПРОТОТИП 27770ПРОТОТИП 27770
Для вас несколько заданий — в условии дан прямоугольный треугольник. В условии говорится о вычислении углов между высотой и биссектрисой, медианой и биссектрисой, высотой и медианой проведёнными из прямого угла.
Это группа заданий входит в состав ЕГЭ по математике. Задачи несложные, требуется знание теоремы о сумме углов треугольника, свойств равнобедренного треугольника и немного логики. Да! Есть один нюанс — задачи, в которых говорится о медиане проведённой к гипотенузе необходимо знать одно свойство, теорию можно . Приступим!
Один острый угол прямоугольного треугольника в 4 раза больше другого. Найдите больший острый угол. Ответ дайте в градусах.
Обозначим меньший острый угол прямоугольного треугольника через x . Тогда больший острый угол данного треугольника будет равен 4 х .
По свойству прямоугольного треугольника сумма его острых углов равна 90 о. Отсюда получаем уравнение х + 4х = 90 о.
Вычисляем, получим 5х = 90 о, х = 18 о.
Следовательно больший угол будет равен 18 о ∙ 4 = 72 о
Ответ: 72
Острый угол прямоугольного треугольника равен 32 о. Найдите острый угол, образованный биссектрисами этого и прямого углов треугольника. Ответ дайте в градусах.
Нам необходимо найти угол COD. По условию известно, что CE и AD - это биссектрисы (делят углы пополам). Это означает, что угол CAD равен 32 о, а угол ACO равен 45 о. По теореме о сумме углов треугольника мы можем найти угол AOC, и далее угол COD. Итак, известно, что сумма углов треугольника равна 180 о, следовательно
Углы AOC и COD смежные, то есть их сумма равна 180 о . Таким образом, искомый угол (острый угол между данными биссектрисами) равен 61 градусу.
Ответ: 61
*Если в подобных задачах вы сразу не видите ход решения, то ищите те элементы, которые можно найти исходя из условия в первую очередь. А далее уже используйте найденные значения.
Найдите острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.
В условии нам не даны ни какие величины, кроме того, что угол С прямой. Это говорит о том, что их необходимо ввести, то есть в данном случае мы можем обозначить угол через переменную, а далее использовать свойства прямоугольного треугольника и теорему о сумме углов.
Обозначим угол CAD как х . Тогда угол CBA будет равен 90 о – х.
Рассмотрим треугольник AOB:
Можем найти угол AOB:
Значит острый угол между биссектрисами будет равен 45 о, так является смежным углу 135 о.
Как видите, не всегда нужны численные величины в условии. Достаточно знать свойства, включить логику и задача будет решена.
Ответ: 45
В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла, равен 21 о. Найдите меньший угол данного треугольника. Ответ дайте в градусах.
Сразу отметим, что в треугольнике CDH нам известны два угла. Используя теорему о сумме углов треугольника мы можем найти угол CDH. То есть:
Теперь мы можем найти угол В в треугольнике CDВ. Так как CD биссектриса, то угол BCD равен 45 о , угол CDB мы нашли .
Значит угол В равен 180 о –45 о –69 о =66 о . По свойству прямоугольного треугольника: сумма острых углов в нём равна 90 градусов.
Следовательно другой острый угол будет равен 24 о .
Ответ: 24
Угол между биссектрисой и медианой прямоугольного треугольника, проведенными из вершины прямого угла, равен 14 о. Найдите меньший угол этого треугольника. Ответ дайте в градусах.
Нам дан угол MCD равный 14 о . Так же нам известен угол DCB, он равен 45 о , так как CD биссектриса. Можем найти угол MCB: 14 о + 45 о = 59 о .
Как уже сказано, медиана в прямоугольном треугольнике проведённая из прямого угла к гипотенузе равна её половине. То есть, она разбивает прямоугольный треугольник на два равнобедренных треугольника, в данном случае AMC и BMC. Известно, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть угол MBC равен углу BCM. Таким образом,
То есть, меньший угол равен 31 о.
Ответ: 31
Один острый угол прямоугольного треугольника на 32 о больше другого. Найдите больший острый угол. Ответ дайте в градусах.
В треугольнике АВС угол С равен 90 о , СН - высота, угол А равен 34 о . Найдите угол ВСН . Ответ дайте в градусах.
В треугольнике ABC C D - медиана, угол AC B равен 90 о, угол В равен 58 о. Найдите угол AC D . Ответ дайте в градусах.
Острые углы прямоугольного треугольника равны 29 о и 61 о. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
4. В задачах, где в условии не даны численные величины углов, обозначайте их переменной(ыми) и далее используйте известные вам свойства.
5. Если не видите каким путём строить решение, и сразу не можете увидеть логическую цепочку рассуждений, то исходя из данных в условии ищите то, что возможно найти. Получив новые величины, также смотрите, что вы можете найти при их использовании.
На этом всё. Успеха Вам!
С уважением, Александр
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.