§6. Счётные множества

Выделим в счетное подмножество ; остаток обозначим через . Тогда нам надо доказать, что равномощно (знак символизирует объединение непересекающихся множеств). Поскольку и оба счетны, между ними существует взаимно однозначное соответствие. Его легко продолжить до соответствия между и (каждый элемент множества соответствует сам себе).

35. Примените эту конструкцию и явно укажите соответствие между отрезком и полуинтервалом .

36. Теорема 3 показывает, что добавление счетного множества к бесконечному не меняет его мощности. Можно ли сказать то же самое про удаление? Докажите, что если бесконечно и не является счетным, а конечно или счетно, то равномощно .

37. Немецкий математик Р.Дедекинд предложил такое определение бесконечного множества : множество бесконечно, если оно равномощно некоторому своему подмножеству, не совпадающему со всем множеством. Покажите, что указанное Дедекиндом свойство действительно определяет бесконечные множества .

Добавляя конечные или счетные множества , легко понять, что прямая, все промежутки на прямой (отрезки, интервалы, полуинтервалы), лучи, их конечные или счетные объединения и т.п. равномощны друг другу.

38. Укажите взаимно однозначное соответствие между множеством и отрезком .

39. Докажите, что множество всех прямых на плоскости равномощно множеству всех точек на плоскости. (Указание: и точки, и прямые задаются парами чисел - за небольшими исключениями.)

40. Докажите, что полуплоскость (точки плоскости, лежащие по одну сторону от некоторой прямой ) равномощна плоскости. (Это верно независимо от того, включаем мы граничную прямую в полуплоскость или нет.)

Теорема 4 . Отрезок равномощен множеству всех бесконечных последовательностей нулей и единиц.

Доказательство . В самом деле, каждое число записывается в виде бесконечной двоичной дроби. Первый знак этой дроби равен или в зависимости от того, попадает ли число в левую или правую половину отрезка. Чтобы определить следующий знак, надо выбранную половину поделить снова пополам и посмотреть, куда попадет , и т.д.

Это же соответствие можно описать в другую сторону: последовательности соответствует число, являющееся суммой ряда

(В этом построении мы используем некоторые факты из математического анализа, что не удивительно - нас интересуют свойства действительных чисел.)

Описанное соответствие пока что не совсем взаимно однозначно: двоично-рациональные числа (дроби вида ) имеют два представления. Например, число можно записать как в виде , так и в виде Соответствие станет взаимно однозначным, если отбросить дроби с единицей в периоде (кроме дроби , которую надо оставить). Но таких дробей счетное число, поэтому на мощность это не повлияет.

Какая двоичная дробь соответствует числу ?

В этом доказательстве можно было бы использовать более привычные десятичные дроби вместо двоичных. Получилось бы, что отрезок равномощен множеству всех бесконечных последовательностей цифр . Чтобы перейти отсюда к последовательностям нулей и единиц, можно воспользоваться приемом, описанным ранее.

Теперь все готово для доказательства такого удивительного факта:

Теорема 5 . Квадрат (со внутренностью) равномощен отрезку.

Доказательство . Квадрат равномощен множеству пар действительных чисел, каждое из которых лежит на отрезке (метод координат). Мы уже знаем, что вместо чисел на отрезке можно говорить о последовательностях нулей и единиц. Осталось заметить, что паре последовательностей нулей и единиц можно поставить в соответствие последовательность-смесь и что это соответствие будет взаимно однозначным.

Этот результат был получен в 1877 году немецким математиком Георгом Кантором и удивил его самого, поскольку противоречил интуитивному ощущению " размерности" (квадрат двумерен, поэтому вроде бы должен содержать больше точек, чем одномерный отрезок ). Вот что Кантор писал Дедекинду (20 июня 1877 года), обсуждая вопрос о равномощности пространств разного числа измерений: " Как мне кажется, на этот вопрос следует ответить утвердительно, хотя на протяжении ряда лет я придерживался противоположного мнения".

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА XI

§ 242. Числовые поля

Понятие числа прошло длинный путь исторического развития. В главе II (см. ч. I) мы рассказали о том, как от простейших, натуральных чисел человек пришел к более сложным, действительным числам. Сейчас мы хотим вернуться к рассмотрению этого вопроса. Но при этом нам придется несколько отступить от того порядка, в котором исторически развивалось понятие числа.

Одним из простейших числовых множеств является множество натуральных чисел

В нем всегда выполнимы два основных алгебраических действия: сложение и умножение. Это означает, что, каковы бы ни были натуральные числа m и n , сумма их m + n , а также произведение m n являются непременно натуральными числами. При этом соблюдаются следующие пять законов:

1) коммутативный закон сложения:

m + n = n + m

2) ассоциативный закон сложения:

(m + n) + k = m + (n + k)

3) коммутативный закон умножения:

m n = n m

4) ассоциативный закон умножения:

(m n) k = m (n k) ;

5) дистрибутивный закон умножения относительно сложения:

(m + n) k = m k + n k .

Что касается вычитания и деления, то эти два действия в множестве натуральных чисел выполнимы не всегда. Так, ни одна из разностей 3-5 и 2-2, а также, ни одно из частных 3: 5 и 7: 4 нельзя выразить никаким натуральным числом.

Чтобы действие вычитания было выполнимым всегда, множество натуральных чисел нужно расширить путем присоединения к нему всех отрицательных целых чисел и нуля. В результате такого расширения мы приходим к множеству всех целых чисел:

3,-2,-1,0, 1,2,3.....

Числовое множество, в котором всегда выполнимы сложение и умножение, подчиненные указанным выше пяти законам, а также вычитание, называется кольцом. Таким образом, множество всех целых чисел образует кольцо .

Расширив множество всех натуральных чисел до множества всех целых чисел, мы добились тем самым, что действие вычитания стало выполнимым всегда. Но деление по-прежнему осталось, вообще говоря, невыполнимым. Чтобы устранить этот пробел, нужно расширить и множество всех целых чисел. Сделать это можно путем присоединения к нему всех обыкновенных дробей, то есть чисел вида m / n , где т и п - произвольные целые числа и п =/= 0. В результате такого расширения мы получаем множество всех рациональных чисел . Как было показано во второй главе, в этом числовом множестве всегда выполнимы действия сложения, умножения, вычитания и деления (кроме деления на нуль), причем первые два из них подчинены пяти основным законам сложения и умножения.

Множество чисел, в котором всегда выполнимы действия сложения и умножения, подчиненные пяти основным законам, а также действия вычитания и деления (кроме деления на нуль), называется полем. Множество всех рациональных чисел является простейшим числовым полем .

Уместно сразу же заметить, что множество всех иррациональных чисел поля не образует. Действительно, любое из четырех действий (сложение, умножение, вычитание и деление) над иррациональными числами может привести к числу рациональному. Так, например,

√2 + (- √2 ) = 0,

√2 √2 = 2

и т. д. А вот множество всех действительных чисел образует поле. Как указывалось во второй главе, действия сложения, умножения, вычитания и деления действительных чисел (кроме деления на нуль) не выводят нас за пределы действительных чисел, причем сложение и умножение подчинены пяти основным законам.

Приведем еще один, более сложный, пример числового поля. Рассмотрим все действительные числа вида r + s √2 , где r и s - рациональные числа.

Пусть а + b √2 и с + d √2 - произвольные два числа рассматриваемого вида. Тогда

(а + b √2 ) + (с + d √2 ) = (a + с ) + (b + d )√2

(а + b √2 ) - (с + d √2 ) = (a - с ) + (b - d )√2

(а + b √2 ) (с + d √2 ) = ac + ad √2 + bc √2 + 2 bd = (ac + 2bd ) + (ad + bc )√2 .

Предположим теперь, что число с + d √2 не равно нулю. Тогда, очевидно, и сопряженное ему число с - d √2 будет отлично от нуля (докажите это!). Поэтому можно написать:

Как мы видим, каждое из четырех действий (сложение, вычитание, умножение и деление) над числами вида r + s √2 приводит к числу того же самого вида. Ясно также, что сложение и умножение всех этих чисел подчинено каждому из пяти указанных выше законов. Поэтому совокупность всех чисел вида r + s √2 , где и r и s - рациональные числа, образует числовое поле.

Упражнения

1967. Образует ли кольцо:

а) множество всех четных чисел;

б) множество всех нечетных чисел;

в) множество всех чисел, кратных некоторому числу р ?

1968. Образует ли поле:

а) множество всех дробей со знаменателем 3;

б) множество всех дробей, знаменатели которых есть целые степени числа 3?

1969. Докажите, что множество всех конечных десятичных дробей образует кольцо, но не образует поле.

1970. Докажите, что любое числовое поле либо совпадает с множеством всех рациональных чисел, либо содержит в себе это множество.

1971. Докажите, что множество всех чисел вида а + b √3 , где а и b - рациональные числа, является полем. Содержит ли это поле:

а) все рациональные числа;

б) все иррациональные числа;

в) все действительные числа?

1967. а) Да; б) нет; в) да. 1968. а) Нет; б) нет.

Понятие равномощности множеств и его свойства позволяют выделить классы равномощных множеств. Интересно знать, как много существует неравномощных множеств и иметь в некотором смысле «эталонные множества», чтобы, сравнивая с ними другие, было легче устанавливать равномощность множеств или её отсутствие.

1. Конечных, но не равномощных множеств, бесконечно много. Их классов столько же, сколько натуральных чисел.

2. Бесконечных, но не равномощных множеств, также бесконечно много.

Возникает вопрос: есть ли среди бесконечных множеств множество наименьшей мощности? Да. Это счётные множества.

Определение 1. ПустьN - множество натуральных чисел. МножествоS называетсясчётным множеством, если оно равномощноN , то естьS  N .

Мощность счётного множества имеет специальное обозначение: (первая буква алфавита иврит, читается «алеф-нуль»). Мы будем обозначать мощность счётного множества буквойа :

Примеры счётных множеств

1. 2 N ;

2. Q ;

3. Z ;

4. Множество квадратов натуральных чисел.

Основные свойства счётных множеств

Теорема 1. Для того чтобы множествоS было счётным необходимо и достаточно, чтобы его элементы можно было занумеровать в последовательность, члены которой попарно различны:

.

Доказательство:

1. Необходимость.

Пусть S - счётное множество, тогда существует биекцияf : N  S . В этой биекции образ элементаn обозначима n , тем самым будут занумерованы все элементы множестваS , то есть
. Так как все элементы множестваS различны, то и все члены последовательности
попарно различны.

2. Достаточность.

Пусть
,а n попарно различны. Сопоставим элементуа n его номерn . Полученное соответствие изS вN является биекцией. Следовательно, по определениюS - счётное множество.

Теорема 2. Во всяком бесконечном множествеА имеется счётное подмножество.

Доказательство:

Возьмём во множестве А произвольный элемент. Множество
бесконечное (доказывается от противного). Из множества
выберем элемент. Множество
- бесконечное. Из множества
выбираем элементи так далее. Так какА – бесконечное множество, то этот процесс продолжим до бесконечности. В результате получим последовательность
. Так как во множествеА все элементы попарно различны, по теореме 1S - счётное множество.

Следствие. Счётная мощность является наименьшей из мощностей бесконечных множеств.

Доказательство:

Пусть А - произвольное бесконечное множество. По теореме 2 оно содержит счётное подмножествоS , то естьm (S )=а . Так какS  , тоm (S )  m (А) илиа  m (А) .

Теорема3. Всякое бесконечное подмножествоВ счётного множестваS счётно:

В  S ; m (S )=а  m (В)=а.

Доказательство:

Так как В  S , тоm (В)  m (S )=а . Но по следствиюm (В)  а. Таким образом,m (В)  а иm (В)  а. По теореме Кантора-Бернштейнаm (В)=а .

Теорема 4. Бесконечное множествоВ счётно, если существует сюрьекцияf какого-нибудь счётного множестваS наВ .

Доказательство:

Не умоляя общности доказательства можно считать, что S = N . По условиюf : N  - сюрьекция (В – это образN при отображенииf , то естьf (N )=В ). Возьмём любой элемент
,b – образ какого-либо натурального числа. При отображенииf его прообразом является некоторое множество натуральных чиселf -1 (b ) , состоящее из тех элементов, образ которых равенb , то естьf -1 (в)={ n  N : f (n )= b } . В этом множестве существует наименьшее натуральное число. Рассмотрим множество
- бесконечное множество (От противного: пустьА конечно. Тогда для бесконечного числа элементов
существует один элемент
N , то есть одному элементуn  N соответствует бесконечно много элементов
. Это означает, что соответствиеN  не является отображением. Получили противоречие с условием. Следовательно, предположение не верно.). Так какА  N иА – бесконечное множество, то по теореме 3 множествоА счётно. Рассмотрим соответствие
, при котором
. Это соответствие является биекцией. Следовательно,А  В иВ счётно.

Определение 2. Кортежем называется конечное множество элементов.

Теорема 5. МножествоК всевозможных кортежей, составленных из натуральных чисел, счётно.

Доказательство:

Пусть Р - множество всех простых чисел, расположенных в порядке возрастания:

Р=(р к ), р 1 =2, р 2 =3, р 3 =5,… .

Возьмём любой кортеж из натуральных чисел (n 1 , n 2 ,…, n k ) и поставим в соответствие ему число

N .

Например,

На основании теоремы о единственности разложения чисел на простые множители различным кортежам соответствуют различные натуральные числа, то есть если

То

.

Рассмотрим соответствие f : K  А , гдеА – некоторое бесконечное подмножество множестваN , то естьА - счётно (по теореме 3). Указанное соответствие является биекцией. Так какА счётно и , тоK также счётно.

Определение 3. Декартовым произведением А 1  А 2  …  А m называется множество, состоящее из кортежей
, где.

Теорема 6. Декартово произведение конечного числа счётных множеств счётно.

Доказательство:

Пусть А 1 ,А 2 ,…,А m А 1  А 2  …  А m =А - счётное множество. Счётные множестваА k ,
,

…………………………………

Возьмём , поставим ему в соответствие кортеж из натуральных чисел
. Обозначим
. Указанное соответствие является биекциейf :А  1 . Но 1 – бесконечное подмножество счётного множества из теоремы 5. По теореме 3 1 счётно. Так какf - биекция, тоА счётно.

Теорема 7. Объединение конечной или счётной совокупности счётных множеств счётно.

Доказательство:

Пусть А 1 ,А 2 ,…,А m ,… - счётные множества. Докажем, что
- счётное множество.

1. Пусть
- объединение счётного числа счётных множеств. Счётные множестваА m представим в виде последовательностей

…………………………………

……………………………………

,

где
- это элемент множествас номером. Рассмотрим множествоN 2 = N ´N . Оно счётно по теореме 6. Возьмём любой элемент(p , q ) Î N 2 . Сопоставим ему элемент
. Так как любой элемент
принадлежит хотя бы одному из множествА p и имеет в нём определённый номерq , то указанное соответствие является сюрьекциейf : N 2 ®A . Так как множествоN 2 счётно, то по теореме 4 множествоА счётно.

2. Пусть
- объединение конечного числа счётных множеств. Положим

,

тогда
. По первой части теоремы множествоА счётно.

Теорема 8. МножествоQ рациональных чисел счётно.

Доказательство:

Представим множество Q в виде

Q = Q +
Q - ,

Q + ={m/n, m,n  N , (m,n)=1},

={m/n, m,n   },

Q +
,

,

где Q n - множество дробей видас фиксируемым знаменателем. Очевидно, чтоQ n   , то естьQ n счётное множество. Тогда по теореме 7 также счётно. НоQ + является бесконечным подмножеством счётного множества . Тогда по теореме 3 множествоQ + счётно. В силу того, чтоQ + ~ Q - , заключаем, что множествоQ - счётно. По теореме 7 множествоQ + Q - счётно, тогда по теореме 1 множествоQ счётно.

Теорема 9. Объединение счётной совокупности конечных множеств конечно или счётно.

Доказательство:

Пусть
- конечные множества,
.

1. Множество А может быть конечным (например, если все множестваА k равны:
N ).

2. Рассмотрим случай, когда множество А - бесконечно. Пусть множествоА k имеетn k элементов. Присоединим к этому множеству все натуральные числа, большие чемn k , получим счётное множествоВ k . Проделаем это для всехk . Рассмотрим множество
. По теореме 7 множествоВ счётно. НоА  и является его бесконечным подмножеством. По теореме 3 множествоА счётно.

Теорема 10. Мощность бесконечного множества не изменяется, если к нему присоединить конечное или счётное множествоS .

Доказательство:

Случай конечного множества S не интересен, так как является следствием теоремы 1. Рассмотрим случай счётного множестваS . Не нарушая общности доказательства будем считать, что
=. По теореме 2 множествоВ можно представить в виде
, гдеS 1 - счётное множество множестваS . Тогда

Так как множества
иS 1 - счётные множества, то существует биекцияf :
S 1 . Рассмотрим отображение , определяемое следующим образом:

Это отображение является биекцией
. Следовательно,
, то есть
.

Определение 4. Если бесконечное множество не является счётным, то оно называетсянесчётным.

Теорема 11. Мощность несчётного множестваМ не изменяется, если из него удалить конечное или счётное подмножествоS .

Доказательство:

Пусть М – несчётное множество, тогдаМ \S – бесконечное множество (доказательство от противного). Тогда по теореме 10 .

Определение 5. Числоназываетсяалгебраическим, если оно является корнем некоторого многочлена с целыми коэффициентами.

Теорема 12. МножествоА всех алгебраических чисел счётно.

Доказательство:

Пусть М – множество всех многочленов с целыми коэффициентами,М n – множество многочленов с целыми коэффициентами и с фиксированной степеньюn . Возьмём любой многочлен
,
, из множестваМ n . Этому многочлену сопоставим кортеж из его коэффициентов(а n ,…,а 0 ) . Множество таких кортежей обозначимТ . Очевидно, чтоТ=(Z \{0})  Z n . Построенное соответствие является биекциейf : М n  T . Так как множествоZ счётно, то по теореме 3 множествоZ \{0} также счётно. Следовательно, по теореме 6 множествоТ счётно. Так какf – биекция, тоМ n ~ T , то естьМ n счётно. Так как
и все множестваМ n счётны, то по теореме 7 множествоМ счётно. Итак, множество всех многочленов с целыми коэффициентами счётно и любой многочлен имеет конечное число корней. Следовательно, множествоА представляет собой объединение счётного числа конечных множеств. Так какА – бесконечное множество, то по теореме 9 оно счётно.

Математическим анализом называется раздел математики, занимающийся исследованием функций на основе идеи бесконечно малой функции.

Основными понятиями математического анализа являются величина, множество, функция, бесконечно малая функция, предел, производная, интеграл.

Величиной называется все что может быть измерено и выражено числом.

Множеством называется совокупность некоторых элементов, объединенных каким-либо общим признаком. Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т.п.

Множества обозначаются прописными буквами, а элементы множество строчными буквами. Элементы множеств заключаются в фигурные скобки.

Если элемент x принадлежит множеству X , то записывают x ∈ Х (∈ — принадлежит).
Если множество А является частью множества В, то записывают А ⊂ В (⊂ — содержится).

Множество может быть задано одним из двух способов: перечислением и с помощью определяющего свойства.

• А={1,2,3,5,7} — множество чисел
• Х={x 1 ,x 2 ,...,x n } — множество некоторых элементов x 1 ,x 2 ,...,x n
• N={1,2,...,n} — множество натуральных чисел
• Z={0,±1,±2,...,±n} — множество целых чисел

Множество (-∞;+∞) называется числовой прямой , а любое число — точкой этой прямой. Пусть a — произвольная точка числовой прямой иδ — положительное число. Интервал (a-δ; a+δ) называется δ-окрестностью точки а .

Множество Х ограничено сверху (снизу), если существует такое число c, что для любого x ∈ X выполняется неравенство x≤с (x≥c). Число с в этом случае называется верхней(нижней) гранью множества Х. Множество, ограниченное и сверху и снизу, называется ограниченным . Наименьшая (наибольшая) из верхних (нижних) граней множества называется точной верхней (нижней) гранью этого множества.

Основные числовые множества

Если множество не содержит ни одного элемента, то оно называется пустым множеством и записывается Ø .

Элементы логической символики

Запись ∀x: |x|<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.

При записи математических выражений часто используются кванторы.

Квантором называется логический символ, который характеризует следующие за ним элементы в количественном отношении.

• ∀- квантор общности , используется вместо слов "для всех", "для любого".
• ∃- квантор существования , используется вместо слов "существует", "имеется". Используется также сочетание символов ∃!, которое читается как существует единственный.

Операции над множествами

Два множества А и В равны (А=В), если они состоят из одних и тех же элементов.
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,1,4,2} то А=В.

Объединением (суммой) множеств А и В называется множество А ∪ В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств.
Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,6}, то А ∪ B = {1,2,3,4,5,6}

Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В.
Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,2}, то А ∩ В = {2,4}

Разностью множеств А и В называется множество АВ, элементы которого принадлежат множесву А, но не принадлежат множеству В.
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5}, то АВ = {1,2}

Симметричной разностью множеств А и В называется множество А Δ В, являющееся объединением разностей множеств АВ и ВА, то есть А Δ В = (АВ) ∪ (ВА).
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, то А Δ В = {1,2} ∪ {5,6} = {1,2,5,6}

Свойства операций над множествами

A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Счетные и несчетные множества

Для того, чтобы сравнить два каких-либо множества А и В, между их элементами устанавливают соответствие.

Если это соответствие взаимооднозначное, то множества называются эквивалентными или равномощными, А В или В А.

Множество точек катета ВС и гипотенузы АС треугольника АВС являются равномощными.