Главная
11 класс
Известно что размеры комнаты выражаются.

Известно что размеры комнаты выражаются.

Творческое задание

Выполни задания и запиши развёрнутое решение.

Задача №1 (7 балла)

В первенстве региона по хоккею участвует 20 команд. Верно ли, что в любой момент состязаний имеются две команды, сыгравшие к этому моменту одинаковое количество матчей?

Задача №2 (7 балла)

В некоторой денежной системе используются монеты достоинством 1 зед, 2 зеда, 5 зедов и 10 зедов (зед - условная денежная единица). У Сергея 24 монеты на сумму 49 зедов. Обязательно ли среди этих монет есть хотя бы одна монета достоинством 2 зеда?

Задача №3 (7 балла)

Известно, что размеры комнаты выражаются целыми числами метров. Каковы размеры комнаты, если разность площади пола и его периметра численно равна 3?

Задача №4 (7 балла)

В центре площадки размером 100 м ´ 100 м стоит столб радиуса 10 см. Можно ли на этой площадке поместить павильон прямоугольной формы размерами: 1) 30 м ´ 70 м; 2) 50 м ´ 50 м?

Задача №5 (7 балла)

Из каких положений шара на прямоугольном бильярдном столе можно ударом кия направить его так, чтобы, отразившись от всех бортов (угол падения равен углу отражения), он прошёл через первоначальное положение?

Задача №6 (7 балла)

Можно ли кубик с ребром 5 см завернуть в платок размером 15 см ´ 15 см так, чтобы все грани были обёрнуты?

Задача №7 (7 балла)

В буфете продавались пирожки по 10 руб., булки по 12 руб., ватрушки по 14 руб., слойки по 16 руб. и коржики по 20 руб. Группа учащихся купила 14 изделий на 200 руб. Сумма цен купленных изделий равна 42 руб. Сколько и каких изделий куплено, если известно, что никаких изделий не было куплено больше шести и никаких изделий не было куплено в одинаковом количестве?

Задача №8 (7 балла)

В связи со стихийным бедствием в соседнем районе в сельскую школу привезли учащихся 1 – 4 классов из этого района. Прибывших учеников поровну распределили по четырём классам..gif" width="17" height="47 src="> его состава, а в четвёртом - его состава. Какое наименьшее количество учащихся могли привезти в указанную школу?

Задача №9 (7 балла)

В параллели 8-х классов мальчиков больше 34%, но меньше 35%. Какое наименьшее количество учащихся может быть в такой параллели?

Задача №10 (7 балла)

Прибыль от продажи 100 единиц товара за месяц составила 16 тыс. зедов (зед - условная денежная единица). Наблюдения показали, что понижение прибыли на единицу товара на а зедов увеличивает объём продаж за этот же период на а % от объёма продаж по прежней цене. При какой прибыли от продажи единицы товара месячная прибыль будет наибольшей?

ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ (4 КЛАСС)

  1. Муравьишка ехал на гусенице 24 минуты, а потом пересел на жука и проехал в 4 раза больший путь. Сколько минут он ехал на жуке, если жук передвигается в 8 раз быстрее гусеницы?
  2. Толя сильнее, чем Миша. Миша младше, чем Вова. Вова ниже, чем Толя. Толя старше, чем Вова. Вова слабее, чем Миша. Миша выше, чем Толя. Кто из ребят самый сильный ? Кто самый старший ? Кто самый высокий?
  3. Число, выражающее площадь прямоугольной комнаты в м 2 , на единицу больше числа, выражающего периметр этой комнаты в м . Каковы размеры комнаты, если её длина и ширина выражаются целыми числами метров?
  4. В финал турнира по шахматам вышли 2 российских игрока, 2 немецких и 2 американских. Сколько будет сыграно партий, если финалисты играют друг с другом по одной партии, а представители одной страны между собой не играют?
  5. В январе было 12 безветренных дней без снега, 11 дней был ветер, 14 дней шёл снег. Сколько дней в этом месяце была метель (снег с ветром)?
  6. Из чисел 21, 19, 30, 25, 3, 9, 15, 6, 27 подбери такие три числа , сумма которых равна 50.
  7. Кубик с длиной ребра 3 см покрасили, а затем распилили на кубики с длиной ребра в 1 см. Сколько получилось кубиков, окрашенных с трёх сторон с двух сторон ? Сколько получилось кубиков, окрашенных с одной стороны ? Сколько получилось неокрашенных кубиков?
  8. У 35-летнего отца 4 сына. Каждый моложе другого на 2 года, причём старшему 8 лет. Через сколько лет возраст всех сыновей будет равен возрасту отца?
  9. В полдень от пристани отошёл пароход со скоростью 16 км/ч. Через 3 часа от той же пристани в том же направлении отошёл теплоход, который через 12 часов после своего выхода догнал пароход. Определи скорость теплохода.
  10. Из металлической заготовки вытачивают деталь. Стружки, которые получились при вытачивании 8 деталей, можно переплавить в одну заготовку. Сколько деталей можно сделать из 64 заготовок?

РАЙОННАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ (4 КЛАСС)

ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ

  1. 12 минут. 2 балла . (24 · 4) : 8= 12(мин) или (24: 8) · 4=12(мин) Только ответ: 1 балл; правильный ответ с чертежом, пояснением, решением: 2 балла.
  2. 2 балла (при наличии всех правильных ответов ). Самый сильный - Толя; Самый старший – Толя; Самый высокий – Миша.
  3. Длина комнаты - 7 метров, ширина комнаты - 3 метра . 4 балла . Только ответ: 1 балл; правильный ответ с рассуждениями, пояснением: 4 балла.
  4. 12 партий. 2 балла. Только ответ : 1балл; правильный ответ с чертежом, пояснением: 2 балла.
  5. 6 дней. 3 балла . 1) 31- 12=19 2) 11 + 14= 25 3) 25 – 19= 6(дн)- был снег с ветром, т. е. метель. Только ответ : 1 балл; правильный ответ с решением, пояснением – 3 балла.
  6. 19+ 25+ 6= 50 1 балл .
  7. Окрашенных с трёх сторон - 8 кубиков; окрашенных с двух сторон – 12 кубиков; с одной стороны – 6 кубиков; неокрашенных – 1 кубик. 5 баллов (при наличии всех правильных ответов); по 1 баллу – за один из ответов.
  8. Через 5 лет. Отцу будет 35 + 5= 40(лет), детям - 13+ 11+ 9 + 7=40(лет). 3 балла . Только ответ -1 балл, правильный ответ с вычислениями, рассуждениями, пояснением - 3 балла.
  9. 20 км/ч 2 балла. 1)12 + 3=15 (ч)- был в пути пароход; 2) 16 · 15= 240(км)-прошёл за 12 часов пароход; 3)240: 12= 20(км/ч) –скорость теплохода. Только ответ – 1балл; правильный ответ с вычислениями, пояснениями - 2 балла.
  10. 73 детали. 2 балла . Только ответ: 1 балл; правильный ответ с вычислениями, пояснениями, чертежом и т.д. - 2 балла.

Итого: 26 баллов .

Электронная физико-техническая школа21 Введение “Золотой ключик” – это заочный конкурс по математике для школьников.Ученикам 4-9 классов предлагаются нестандартные интересные задачи поматематике, которые они могут решить дома, оформить свои решения и отправитьчерез Интернет.Задания конкурса состоят из двух частей. Решение заданий первой частисводится к выбору правильного ответа из числа предложенных. Решение задачивторой части нужно оформить со всеми необходимыми пояснениями иобоснованиями. Подводя итоги, жюри будет учитывать обоснованностьрассуждений, полноту решения и его оригинальность.Адрес конкурса в России: http://eftsh.ru/maths/goldkeyО школе Наша электронная дистанционная школа объединяет в себе: многолетний педагогический опыт, прекрасный состав методистов ирецензентов; высокотехнологичную систему гибридного документооборота; модульную систему, постоянно развивающуюся по требованию нашихпользователей; уникальные методы видеообразования, интегрированные в обучающийпроцесс; работу с широкой аудиторией, повышение школьных оценок и уровнязнаний, доступность информации на слабом уровне подготовки иинтересный материал для мотивированных, подготовленных школьников; Опыт с большой буквы. Мы не первый год готовим абитуриентов дляпоступления. Опыт методистов и авторов исчисляется десятками лет. Нашитехнологии регулярно представляются на мировых выставках. Мысобираем лучшее из имеющегося на рынке.Сайт: eftsh.rue-mail: [email protected]

  • 3. Решебник для 4-5 класса 3Решебник для 4-5 класса2 Первая часть задания Задача №1В копилку бросали только 5-рублёвые монеты. В первый день бросили несколькомонет, а во второй – ещё 2, но число монет в копилке было меньше 8. В третий деньбросили ещё 2 монеты, и тогда в копилке стало больше 8 монет. Какая сумма денегбыла брошена в копилку в первый день?А. 35 руб Б. 30 руб В. 25 руб Г. 20 рубРешениеПо условию, число монет, брошенных в копилку в первый день, увеличенное на2, меньше 8, а увеличенное на 4, - больше 8. Следовательно, в первый день в копилкубросили меньше 6 монет, но больше 4-х, то есть 5 монет. Итак, в первый день вкопилку было брошено 25 руб.Ответ. В. 25 руб.Задача №2Каждый последующий набор кружочковстроится из предыдущего, как это показанона рисунке. Сколько кружочков нужнодобавить к 100-му набору, чтобы получить101-й?А. 100 Б. 101 В. 200 Г. 201РешениеАнализируя построение 5-го набора из 4-го, 4-го из 3-го и т. д.,можно сделать вывод, что на каждом шагу добавляется числокружочков, равное сумме числа рядов предыдущего набора и числаего столбцов, увеличенной на 1 (см. рис.). Следовательно, 101-йнабор можно получить, добавив к 100-му 100 + 100 + 1 = 201кружочек.Ответ. Г. 201.Задача №3В январе было 12 безветренных дней без снега, 14 дней был ветер, 11 дней шёлснег. Сколько дней в этом месяце была метель – снег с ветром?А. 6 дней Б. 7 дней В. 19 дней Г. 25 днейРешениеТак как в январе 31 день, а 12 дней было безветренно и не шёл снег, то в каждыйиз оставшихся 19 дней или был ветер, или шёл снег, или была метель, то есть шёлснег и было ветрено. Ветер был 14 дней, снег шёл 11 дней. Если сложить 14 и 11,получим 25. При этом дни, когда была метель, учтены дважды. Следовательно,метель была 14 + 11 – 19 = 6 (дней).Ответ. А. 6 дней.
  • 4. Электронная физико-техническая школа4Задача №4Три покупателя А, Б, В купили в магазине товары нескольких наименований.Каждого наименования товаров было куплено по 4 единицы. Больше всех едиництоваров купил покупатель А – 11, меньше всех – покупатель В, 7. Скольконаименований товаров было куплено?А. 10 Б. 9 В. 8 Г. 7РешениеИз условия следует, что покупатель Б купил или 8, или 9, или 10 единиц товаров.Так как каждого наименования было куплено по 4 единицы, то число всехкупленных товаров должно делиться на 4. Из трёх указанных чисел только число 10в сумме с числами 11 и 7 даёт число, делящееся на 4: 10 + 11 + 7 = 28. Частное отделения числа купленных единиц товаров на 4 равно числу купленныхнаименований товаров. Оно равно 7.Ответ. Г. 7.Задача №5В пакет помещается только 9 яблок. Чтобы выложить из корзины яблоки,необходимо три пакета, но когда в корзину добавили ещё 15 яблок, топотребовалось ещё два пакета. Какое наименьшее число яблок могло быть в корзинепервоначально?А. 21 Б. 22 В. 23 Г. 24РешениеТак как в пакет помещается только 9 яблок и при добавлении в корзину 15 яблокдля перекладывания яблок из корзины потребовалось 5 пакетов, то яблок сталобольше 36. Но тогда первоначально в корзине было более 21 яблока. Наименьшеечисло, удовлетворяющее этому условию, равно 22. Оно удовлетворяет условиюзадачи.Ответ. Б. 22.Задача №6Сколько шоколадных батончиков подарили Малышу на Новый год, если он,начиная с 1 января 2012 года, съедал каждый день по одному батончику и повоскресеньям угощал Карлсона двумя батончиками, а батончиков хватило только доконца года?А. 469 Б. 470 В. 472 Г. Ответ отличен от приведенныхРешениеТак 2012-й – год високосный, то в нём 366 дней. Кроме того, он начался ввоскресенье. В нём 53 воскресенья. Следовательно, Малыш съел 366 батончиков, аКарлсон – 532 = 106. Вместе они съели 366 + 106 = 472 батончика. Так как к концугода батончики закончились, то Малышу подарили 472 батончика.Ответ. В. 472.
  • 5. Решебник для 4-5 класса 5Задача №7В роще на каждом дереве сидит не менее 4 ласточек. Всего 213 ласточек. Какомучислу из приведенных может равняться число деревьев в роще?А. 53 Б. 54 В. 55 Г. 56РешениеПредположим, что на каждом дереве сидело ровно по 4 ласточки. Так приделении числа 213 на 4 получается в неполном частном 53 и в остатке 1, то числодеревьев менее 54. Оно может равняться 53: на 52 деревьях по 4 ласточки и на одном– 5. Действительно, тогда число ласточек равно 524 + 5 = 213.Ответ. А. 53.Задача №8Двенадцать школьников, среди которых четыре пятиклассника и восемьстаршеклассников, собрались в однодневный поход. На его проведение требовалось924 руб. Договорились, что взнос каждого из пятиклассников будет на четвертьменьше взноса каждого из остальных школьников. На сколько рублей взноспятиклассника меньше взноса старшеклассника?А. 7 руб Б. 21 руб В. 63 руб Г. 77 рубРешениеВместе четыре пятиклассника внесут такой же взнос, как три старшеклассника,то есть 924 руб. составляют суммарный взнос 11 старшеклассников. Взнос каждого изстаршеклассников составляет 924:11 = 84 рубля. Взнос пятиклассника меньше его на84:4 = 21 (руб.).Ответ. Б. 21 руб.Задача №9Пять участников олимпиады стали её победителями, набрав по 15, 14 и 13 баллови заняв соответственно первое, второе и третье места. Сколько участников завоевалипервое место, сколько второе и сколько третье, если вместе они набрали 69 баллов?А. Первое место – 1 участник, второе и третье по 2 участника.В. Первое место – 2 участника, второе – 1 и третье – 2 участника.Б. Первое и второе место по 2 участника, третье место - 1 участник.Г. Определить нельзя.РешениеИз условия вытекает, что только 1 из 5 призёров мог набрать 15 баллов.Действительно, если бы таких призёров было 2, то на долю трёх остальных осталосьбы 69 – 152 = 39 баллов, которые нельзя распределить между тремя участникамитак, чтобы набраны были и 13 и 14 баллов. Точно также проверяется, что трипризёра не могли набрать по 15 баллов. Итак, первое место мог занять только одинучастник. На долю 4-х остальных приходится 69 – 15 = 54 балла. Замечая, что 54 =272, а 27 = 14 + 13, можно сделать вывод, что два призёра набрали по 14 баллов, адвое – по 13. Других вариантов представлений числа 54 в виде суммы четырёхслагаемых, равных или 13, или 14, не существует.Ответ. А. 1, 2 и 2.
  • 6. Электронная физико-техническая школа6Задача №10Антону подарили диск, на котором записаны его любимые мультфильмы.Длительность просмотра каждого из записанных мультфильмов не превышает 30мин., а на просмотр всех потребуется 5 часов. За какое наименьшее число днейАнтон гарантированно сможет просмотреть все мультфильмы по одному разу, еслиему в день можно смотреть телевизор не более полутора часов и каждыймультфильм можно смотреть только в течение одного дня?А. 3 дня. Б. 4 дня. В. 5 дней. Г. 6 дней.РешениеПокажем, что Антон сможет в день смотреть мультфильмы более одного часа, номенее полутора часов. Если время, потраченное им на просмотр мультфильмов, неболее часа, то он сможет, не нарушая порядка, посмотреть ещё один мультфильм,так как длительность его просмотра не превышает, по условию, 30 мин. И так до техпор, пока время просмотра не превысит 1 час. Так как на просмотр всехмультфильмов требуется, по условию, 5 часов, то за 5 дней Антон сможетпосмотреть все мультфильмы по одному разу.Покажем, что 4-х дней может оказаться недостаточно для просмотра всехмультфильмов на диске. Например, если на диске записаны 12 мультфильмовдлительностью 23 мин. каждый и один мультфильм длительностью 24 мин., то на ихпросмотр потребуется 2312 + 24 = 300 минут или 5 часов. Но в день из этихмультфильмов можно посмотреть не более трёх: на просмотр 4-х требуется 234 = 92мин., что превышает полтора часа.Ответ. В. 5 дней.Задача №11Шестнадцать одинаковых снежинок нужно расклеить по четырём стенамкомнаты так, чтобы на каждой стене была хотя бы одна снежинка, на всех стенахбыло разное число снежинок и суммы количеств снежинок на противоположныхстенах были равны. Сколько существует различных вариантов выполнения этогозадания, если различные варианты отличаются числом снежинок хотя бы на однойстене?А. 32 Б. 24 В. 12 Г. 4.РешениеТак как суммы чисел снежинок на противоположных стенах равны между собойи снежинок всего 16, то всего на двух противоположных стенах 8 снежинок.Число 8 в виде суммы двух различных натуральных чисел можно представитьтремя способами: 8 = 7 + 1, 8 = 6 + 2, 8 = 5 + 3. Число различных вариантов выборадвух пар чисел, суммы которых равны 8, равно трём:1) (7,1), (6,2); 2) (7,1), (5,3); 3) (6,2), (5,3).Каждому такому варианту соответствует восемь различных способов украшениястен комнаты:Следовательно, всего существует 24 различных вариантов выполнения задания.Ответ. Б. 24.
  • 7. Решебник для 4-5 класса 7Задача №12Квадрат разрезали прямолинейно на две части. Потом одну из частей сноватаким же образом разрезали на две части. Всего сделали 50 разрезов. Какоенаибольшее число вершин могут иметь многоугольники, полученные в результатеэтих разрезаний?А. 54 Б. 53 В. 29 Г. 4.РешениеОдним прямолинейным разрезом многоугольникаможно увеличить количество вершин одной из егочастей не более, чем на 1 (см. рис. 1 и 2). Поэтому врезультате 50 разрезаний из квадрата можно получитьмногоугольник с числом вершин, не превосходящим 4+ 50 = 54. А получить многоугольник с 54 вершинамилегко: достаточно каждый раз отрезать треугольник, укоторого только одна из вершин совпадает с вершиноймногоугольника, а две стороны лежат на сторонахмногоугольника (см. рис. 3).Ответ. А. 54.Задача №13Две школы соревновались в нескольких конкурсах. В каждом конкурсе за победукоманде присуждали 3 очка, за ничью – 2 очка, за поражение – 1 очко. Сколькими изследующих результатов: 13:15, 19:5, 24:15, 26:18 могло закончиться соревнованиемежду этими школами?А. Одним Б. Двумя В. Тремя Г. ЧетырьмяРешениеВ каждом конкурсе команды в сумме получали 4 очка. Поэтому сумма очков,полученных командами в соревновании, должна делиться на 4. Из приведенныхответов только один – 24:15 – не удовлетворяет этому требованию.Нетрудно убедиться, что первый и четвёртый результаты осуществимы.Например,13:15  12:12  10:10  8:8  6:6  4:4  2:2  0:0;26:18 23:17 20:16 17:15 14:14 12:12  10:10 8:8 6:6 4:4 2:2 0:0.А вот результат 19:5 нельзя получить. Даже, если вторая команда все игрыпроиграла, первая за эти пять игр могла набрать только 15 очков. Итак,соревнование могло закончиться двумя из приведенных результатов.Ответ. Б. Двумя.Задача №14У Пети 8 больших конвертов, в некоторых из них по 8 меньших конвертов, а внекоторых из меньших – по 8 совсем маленьких конвертов. Всего у него 80конвертов. В скольких из них лежат другие конверты?А. 7 Б. 8 В. 9 Г. 10
  • 8. Электронная физико-техническая школа8РешениеПусть в р больших конвертах находится по 8 меньших конвертов, то есть всего 8ртаких конвертов. В части из них, обозначим их число через q, находится по 8маленьких конвертов, таких конвертов 8q. Всего у Пети 8 + 8р + 8q конвертов. Поусловию, 8 + 8р + 8q = 80, или 1 + р + q = 10. Тогда р + q, то есть число конвертов, вкоторых лежат другие конверты, равно 9.Ответ. В. 9.Задача №15Разрезая изображённые квадраты на части посторонам клеток, можно сложить квадрат размером77 клеток. Это можно сделать несколькимиспособами. Какую наименьшую сумму длин разрезовможно при этом получить, если за единицу масштабавыбрать сторону клетки?А. 6 Б. 8 В. 10 Г. 12РешениеНа рис. 1, 2, 3 указаны три способа разрезания данных квадратов и составленияквадрата 77.На рис. 1 общая длина разрезов равна 8 (3 + 3 + 2).На рис. 2 общая длина разрезов равна 8 (2 + 2 + 2 + 2).На рис. 3 общая длина разрезов равна 9 (2 + 3 + 3 + 1). Все другие способыразрезания, например на квадратики, только увеличивают длину разрезов.Ответ. Б. 8.
  • 9. Решебник для 4-5 класса 93 Вторая часть задания Задача №1В шкатулке катушки с белыми, чёрными, коричневыми и зелёными нитками.Известно, что катушек с белыми нитками в два раза больше, чем с чёрными, акатушек с чёрными нитками вдвое больше, чем с зелёными. Число катушек скоричневыми нитками меньше 7. Сколько катушек с нитками каждого цвета лежитв шкатулке. если всего там 27 катушек?РешениеИз условия следует, что всего в шкатулке катушек с белыми, чёрными изелёными нитками больше 20. Примем число катушек с зелёными нитками за 1часть, тогда число катушек с чёрными нитками составит 2 части, а с белыми – 4части. Число катушек с нитками указанных трёх цветов составляет 7 частей. Так каких более 20, но не более 27, то их число равно 21 (делится на 7). Отсюда следует, чтокатушек с зелёными нитками – 3, с чёрными – 6, с белыми – 12, а с коричневыми – 27– 21 = 6.Ответ. 3 – с зелёными, 6 – с чёрными, 12 – с белыми, 6 – с коричневыми.Задача №2Толя сильнее, чем Миша. Миша младше, чем Вова. Вова ниже, чем Толя. Толястарше, чем Вова. Вова слабее, чем Миша. Миша выше, чем Толя. Кто из ребятсамый сильный, кто самый старший и кто самый высокий?РешениеВначале выясним, кто из ребят сильнее всех. По условию, Толя сильнее, чемМиша, а Миша сильнее Вовы. Поэтому Толя – самый сильный.Толя старше, чем Вова, а Вова старше Миши, поэтому Толя – самый старший.Миша выше, чем Толя, Толя выше Вовы, следовательно, Миша – самый высокий.Ответ. Толя – самый сильный и самый старший, Миша – самый высокий.Задача №3Учащихся школы разделили на 9 групп по их интересам для организациивнеклассной работы. Некоторые из этих групп разделили на 9 групп для выбораместа проведения внеклассной работы. Часть образованных групп снова разделилина 9 групп для предоставления возможности выбора руководителя. Могло лиобразоваться в результате этих действий 105 групп?РешениеЧто происходит, когда некоторую совокупность делят на п групп? Была однасовокупность, станет п групп, число групп увеличилось на п – 1. То же самоепроисходит, когда любую из полученных групп делят на п частей. Посмотрим, чтопроисходит с общим числом групп. Была 1 совокупность, после деления её на пгрупп станет п групп, если ещё одну группу разделить на п групп, то число группбудет равняться п + п – 1 = 2п – 1. После деления ещё одной группы число группстанет равным 3п – 2. И т. д. Итак, если некоторая совокупность делится на п частей,некоторые из полученных частей делятся на такое же количество меньших частей ит. д, то общее число образовавшихся частей при делении на п – 1 дают в остатке 1.
  • 10. Электронная физико-техническая школа10Число 105 при делении на 9 – 1 = 8 даёт в остатке 1. В результате проведенныхдействий может образоваться 105 групп. Например, следующим образом: вначалебыло 9 групп учащихся по их интересам для организации внеклассной работы, изних три группы разделили на 9 групп для выбора места организации внекласснойработы. Число групп стало равняться 9 – 3 + 27 = 33. 9 из этих 33-х групп разделилина 9 групп для предоставления возможности выбора руководителя. Число такихгрупп стало равняться 33 – 9 + 81 = 105.Ответ. Могло.Задача №4Карлсон и Малыш из дома Карлсона направились в гости к другу. Карлсонпреодолевает расстояние до дома друга за 30 мин., а Малыш это же расстояние – за40 мин. Карлсон вышел через 5 мин. после выхода Малыша. Через сколько минутпосле своего выхода Карлсон догонит Малыша?РешениеПонятно, что предполагается, что Малыш и Карлсон движутся равномерно. Таккак Карлсон вышел на 5 мин позже Малыша, а требуется ему времени напреодоление расстояния до дома друга на 10 мин меньше, чем Малышу, то онприбудет к дому друга на 5 мин раньше Малыша. Догонит он Малыша на срединепути. Действительно, и он, и Малыш на средине пути окажутся через 20 мин послевыхода Малыша, или, что то же самое, через 15 мин после выхода Карлсона.Ответ. Через 15 мин.Задача №5Какое наименьшее число книг можно выдать упаковками по 5 или по 8 книгровно двумя способами?РешениеОчевидно, что 40 книг можно выдать двумя способами: 8 упаковок по 5 книг, или5 упаковок по 8 книг. Убедимся, что других способов для 40 книг нет. Упаковкамипо 5 книг можно выдать 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, … книг, а упаковками по 8 книг – 8, 16,24, 32, … книг. Легко проверяется, что сумма никаких двух чисел, взятых по одномуиз двух приведенных рядов, не равна 40. Поэтому ровно двумя способами можновыдать упаковками по 5 и 8 книг 40 книг.Любое число из приведенных рядов, меньшее 40, и любая сумма двух чисел,взятых по одному из двух приведенных рядов, меньшая 40, могут быть полученытолько одним способом. Это может быть установлено непосредственным перебором.Для тех, кто владеет простейшими знаниями о делимости, можно предложитьтакое обоснование.Предположим, что число, меньшее 40, можно двумя способами представить ввиде 5а + 8b, где 0  а < 8, 0  b < 5, то есть 5а1 + 8b1 = 5а2 + 8b2. Тогда 5(а1 – а2) = 8(b1 – b2).Отсюда следует, что а1 – а2 кратно 8, а1 или а2 больше 8, получили противоречие.Ответ. 40 книг.
  • 11. Решебник для 4-5 класса 11Задача №6Число, выражающее площадь прямоугольной комнаты в м2, на единицу большечисла, выражающего периметр этой комнаты в м. Каковы размеры комнаты, если еёдлина и ширина выражаются целыми числами метров?РешениеПредположим, что прямоугольник на рисунке справа являетсяизображением комнаты. Его площадь равна произведению длин егосторон, а периметр – их удвоенной сумме. Следовательно периметрвыражается чётным числом метров. Но, по условию, число,выражающее площадь комнаты в м2, на единицу больше числа,выражающего периметр этой комнаты в м. Следовательно, число,выражающее площадь, нечётно, а отсюда следует, что и длинысторон выражаются нечётными числами. Учитывая, что длина иширина комнаты не могут равняться 1 м, а, следовательно, они не менее 3 м,осталось проверить, для каких из следующих чисел 3, 5, 7, 9, … произведение на 1больше удвоенной суммы. Проверку выполним с помощью таблицы.Длина 3 3 3 3 3 5 5 5 5 7 7 7 9 9Ширина 3 5 7 9 11 5 7 9 11 7 9 11 9 11Периметр 12 16 20 24 28 20 24 28 32 28 32 36 36 40Площадь 9 15 21 27 33 25 35 45 55 49 63 77 81 99Из таблицы видно, что число, выражающее площадь, на единицу больше числа,выражающего периметр, если комната имеет размеры 37.Ответ. 37 м.Задача №7Восемь мальчиков выстроились по кругу. Если обходить их, двигаясь по часовойстрелке, то окажется, что:А мы встретим раньше Б и В,Б – после К через одного;Л – раньше А, но после Д;В – после М через одного;Д – раньше Б;В – раньше, чем Г;М – после К.Кого мы встретим первым и кого последним?РешениеНа рис. 1 изображенорасположение мальчиков. Еслиобход начать в любой точке дугиГД, то убедимся, что выполняютсявсе условия. Но если начать обходиз любой другой точкиокружности, обязательнообнаружим нарушение каких-то
  • 12. Электронная физико-техническая школа12условий. Следовательно, первым встретим Д, а последним – Г.Покажем, что другого расположения мальчиков по кругу, удовлетворяющеговсем условиям, не существует. Пусть Б находится не между В и М. Тогда, двигаясь почасовой стрелке, мы встречаем В после М через одного, М – после К и Б – после Кчерез одного (см. рис. 2). Так как А встречаем раньше Б, Д и Л – раньше А, а В –раньше Г, то между В и М некого поставить. Пришли к противоречию.Следовательно, Б стоит между В и М. В этом случае получаем размещение,изображённое на рис. 1.Ответ. Первым – Д, последним – Г.Задача №8За круглым столом вам нужно посадить 10 гостей, среди которых 5 мальчиков и 5девочек. Можно ли рассадить их так, чтобы ни у одного гостя обоими соседями небыли мальчики?РешениеПредположим, что требуемое рассаживаниевозможно. Обозначим через Х1, Х2, Х3, …, Х10 гостей,сидящих в указанном порядке за круглым столом придвижении по часовой стрелке (см. рис.). Обозначенияможно выбрать так, что Х1 – девочка, а Х2 – мальчик.Этот выбор не ограничивает общности рассуждений.Тогда Х10 – обязательно девочка, ибо в противном случаеу Х1 оба соседи будут мальчики. Кто бы ни был Х3, Х4 –девочка.Если Х3 – мальчик, то Х5 – девочка. Но тогда средигостей Х6, Х7, Х8, Х9 – одна девочка, и её соседями являются мальчики.Если Х3 – девочка, то среди гостей Х5, Х6, Х7, Х8, Х9 только одна девочка (всего застолом 5 девочек) и в любом случае соседями одного из гостей будут мальчики.Снова получено противоречие.Ответ. Нельзя.Задача №9Сад имеет форму квадрата со стороной 100 м. Расстояние между любыми двумядеревьями в саду не меньше 10 м. Все деревья растут на расстоянии не менее 5 м отограды в рядах, параллельных ограде. Какое наибольшее число деревьев можетбыть в саду?РешениеПусть квадрат со стороной 100 м нарисунке справа является изображением сада.Тогда точки, удалённые от сторон квадрата на5 м, образуют квадрат со стороной 90 м. Еслиразбить стороны меньшего квадрата на 9равных частей и через точки деленияпровести отрезки, параллельные егосторонам, то точки пересечения этих отрезков
  • 13. Решебник для 4-5 класса 13между собой и со сторонами квадрата, а также 4 вершины квадрата, могут служитьизображениями мест посадки деревьев. Их 100. Это наибольшее число деревьев,которое может быть посажено в саду.Ответ. 100.Задача №10Сколько существует различных квадратов, длины сторон которыхвыражаются целыми числами сантиметров, площади которых непревышают 40 см2, которые можно разрезать на части, равные фигуре,изображённой на рисунке и состоящей из четырёх квадратов со стороной 1см?РешениеСуществует 6 квадратов, длины сторон которых выражаются целыми числамисантиметров, площади которых не превышают 40 см2. Длины их сторон равны 1 см,2 см, 3 см, 4 см, 5 см, 6 см. Они состоят из 1, 4, 9, 16, 25, 36 квадратных единиц, то естьквадратиков со стороной 1 см.Если квадрат можно разрезать на равные части, то его площадьдолжна нацело делиться на площадь, в данном случае на 4. Этотребование выполнено для трёх квадратов: 22, 44, 66.Квадрат 22, очевидно, требованиям задачи не удовлетворяет.Разрезание квадрата 44 на части, равные данной фигуре, показанона рис. 1.Квадрат 66 нельзя разрезать на равные части, равные даннойфигуре. Установить это можно, начав покрытие квадрата 66фигурами указанного вида. Без ограничения общности можносчитать, что одна плитка лежит в левом верхнем углу, как показанона рис. 2. Тогда расположение плитки 2 однозначно. Но тогданижний левый угол квадрата покрыть данными фигураминевозможно.Ответ. 1.
  • 14. Электронная физико-техническая школа14
    • Разделы