Биссектриса треугольника – распространенное геометрическое понятие, которое не вызывает особых затруднений в изучении. Владея знаниями о ее свойствах, с решением многих задач можно справиться без особого труда. Что такое биссектриса? Постараемся ознакомить читателя со всеми секретами этой математической прямой.

Вконтакте

Суть понятия

Наименование понятия пошло от использования слов на латыни, значение которых заключается «би» — две, «сектио» — разрезать. Они конкретно указывают на геометрический смысл понятия – разбивание пространства между лучами на две равные части .

Биссектриса треугольника – отрезок, который берет начало из вершины фигуры, а другой конец размещен на стороне, которая расположена напротив него, при этом делит пространство на две одинаковые части.

Многие педагоги для быстрого ассоциативного запоминания учащимися математических понятий пользуются разной терминологией, которая отображена в стихах или ассоциациях. Конечно, использовать такое определение рекомендуется для детей старшего возраста.

Как обозначается эта прямая? Здесь опираемся на правила обозначения отрезков или лучей. Если речь идет об обозначении биссектрисы угла треугольной фигуры, то обычно ее записывают как отрезок, концы которого являются вершиной и точкой пересечения с противоположной вершине стороной . Причем начало обозначения записывается именно из вершины.

Внимание! Сколько биссектрис имеет треугольник? Ответ очевиден: столько же, сколько вершин, – три.

Свойства

Кроме определения, в школьном учебнике можно найти не так уж много свойств данного геометрического понятия. Первое свойство биссектрисы треугольника, с которым знакомят школьников, – центр вписанной , а второе, напрямую связанное с ним, – пропорциональность отрезков. Суть заключается в следующем:

1. Какая бы ни была делящая прямая, на ней расположены точки, которые находятся на одинаковом расстоянии от сторон , которые составляют пространство между лучами.
2. Для того чтобы вписать в треугольную фигуру окружность, необходимо определить точку, в которой будут пересекаться эти отрезки. Это и есть центральная точка окружности.
3. Части стороны треугольной геометрической фигуры, на которые разбивает ее делящая прямая, находятся в пропорциональной зависимости от образующих угол сторон .

Постараемся привести в систему остальные особенности и представить дополнительные факты, которые помогут глубже познать достоинства этого геометрического понятия.

Длина

Одним из видов задач, которые вызывают затруднение у школьников, является нахождение длины биссектрисы угла треугольника. Первый вариант, в котором находится ее длина, содержит такие данные:

• величина пространства между лучами, из вершины которого выходит данный отрезок;
• длины сторон, которые образуют этот угол.

Для решения поставленной задачи используется формула , смысл которой заключается в нахождении отношения увеличенного в 2 раза произведения значений сторон, составляющих угол, на косинус его половины к сумме сторон.

Рассмотрим на определенном примере. Допустим, дана фигура АВС, в которой отрезок проведен из угла А и пересекает сторону ВС в точке К. Значение А обозначим Y. Исходя из этого, АК = (2*АВ*АС*cos(Y/2))/(АВ+АС).

Второй вариант задачи, в котором определяется длина биссектрисы треугольника, содержит такие данные:

• известны значения всех сторон фигуры.

При решении задачи такого типа первоначально определяем полупериметр . Для этого необходимо сложить значения всех сторон и разделить пополам: р=(АВ+ВС+АС)/2. Далее применяем вычислительную формулу, с помощью которой определялась длина данного отрезка в предыдущей задаче. Необходимо только внести некоторые изменения в суть формулы в соответствии с новыми параметрами. Итак, необходимо найти отношение увеличенного в два раза корня второй степени из произведения длин сторон, которые прилегают к вершине, на полупериметр и на разность полупериметра и длины противолежащей ему стороны к сумме сторон, составляющих угол. То есть АК=(2٦АВ*АС*р*(р-ВС))/(АВ+АС).

Внимание! Чтобы легче освоить материал, можно обратиться к имеющимся в Интернете шуточным сказкам, повествующим о «приключениях» этой прямой.

Математика, как известно, – царица наук. Неслучайно это выражение так любят учителя, особенно старой формации. Математика открывается исключительно тем, кто умеет, во-первых, логически мыслить, а во-вторых, тем, кто любит всегда добиваться ответа, оперируя изначальными условиями, не жульничая, а основывая решения на анализе, построение опять-таки логических связей. Эти качества, вынесенные со школьной скамьи, способны модулироваться и к взрослой серьезной жизни как в рабочих, так и в иных сложных моментах.

Сегодня многие сталкиваются с проблемами при решении математических задач еще в начальной школе.

Однако даже те школьники, которые успешно осваивают первичную математическую программу, переходя на новый школьный и жизненный этап, где алгебра отделяется от геометрии, бывает, сталкиваются с серьезными затруднениями. Между тем, один раз выучив и, главное, поняв, как найти биссектрису треугольника , ученик навсегда запомнит эту формулу. Рассмотрим треугольник ABC с тремя проведенными биссектрисами. Как видно из рисунка, все они сходятся в одной точке.

Во-первых, определим, что биссектриса треугольника, и это одно из важнейших ее свойств, делит угол, из которого такой отрезок исходит, пополам. То есть в приведенном примере угол BAD равен углу DAC.

Свойства

1. Биссектриса треугольника разделяет сторону, к которой она проведена на два отрезка, обладающие свойствами пропорциональности к сторонам, которые прилегают к каждому отрезку, соответственно. Таким образом, BD/CD = AB/AC.
2. Каждый треугольник способен обладать тремя данными отрезками. Другие значимые свойства касаются как частных, так и общих случаев конкретных рассматриваемых треугольников.

Свойства в равнобедренных треугольниках

Определение биссектрисы треугольника

Допустим, что в рассматриваемом треугольнике ABC сторона AB = 5 cm, AC = 4 cm. Отрезок CD = 3 cm.

Определение длины

Определить длину можно по следующей формуле . AD = квадратный корень из разности произведения сторон и произведения пропорциональный отрезков.

Найдем длину стороны BC .

• Из свойств известно, что BD/CD = AB/AC.
• Значит, BD/CD = 5/4 = 1,25.
• BD/3 = 5/4.
• Значит, BD = 3,75.
• ABxAC = 5×4=20.
• CDxBD = 3×3,75 = 11,25.

Данный пример призван также эксплицитно указать на ситуацию, когда значения длины биссектрисы, как и все другие значения в математике, будут выражены не в натуральных числах, однако бояться этого не стоит.

Нахождение величины угла

Для нахождения углов, образующихся биссектрисой, важно, прежде всего, помнить о сумме углов , неизменно составляющей 180 градусов . Предположим, что угол ABC равен 70 градусам, а угол BCA – 50 градусам. Значит, путем простейших вычислений получим, что CAB = 180 – (70+50) = 60 градусов.

Если использовать главное свойство, в соответствии с которым угол, из которого она исходит, делится пополам , получим равные значения углов BAD и CAD, каждый из которых будет 60/2 = 30 градусов.

Если требуется дополнительный наглядный пример, рассмотрим ситуацию, когда известен лишь угол BAD равный 28 градусам, а также угол ABC равный 70 градусам. Используя свойство биссектрисы, сразу найдем угол CAB путем умножения значения угла BAD на два. CAB = 28×2 =56. Значит, BAC = 180 – (70+56) или 180 – (70+28×2)= 180 – 126 = 54 градуса.

Специально не рассматривалась ситуация, когда данный отрезок выступает в качестве медианы или высоты, оставив для этого другие специализированные статьи.

Таким образом, мы рассмотрели такое понятие, как биссектриса треугольника , формула для нахождения длины и углов которой заложена и реализована в приведенных примерах, имеющих целью наглядно показать, каким образом можно использовать для решения тех или иных задач в геометрии. Также к данной теме относятся такие понятия, как медиана и высота. Если данный вопрос прояснился, следует обращаться к дальнейшему изучению различных других свойств треугольника, без которых немыслимо дальнейшее изучение геометрии.

Средний уровень

Биссектриса треугольника. Подробная теория с примерами (2019)

Биссектриса треугольника и ее свойства

Знаешь ли ты, что такое середина отрезка? Конечно же знаешь. А центр круга? Тоже. А что такое середина угла? Ты можешь сказать, что такого не бывает. Но почему же, отрезок можно разделить пополам, а угол нельзя? Вполне можно - только не точкой, а…. линией.

Помнишь шутку: биссектриса это крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам. Так вот, настоящее определение биссектрисы очень похоже на эту шутку:

Биссектриса треугольника - это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину этого угла с точкой на противолежащей стороне.

Когда-то древние астрономы и математики открыли очень много интересных свойств биссектрисы. Эти знания сильно упростили жизнь людей. Стало легче строить, считать расстояния, даже корректировать стрельбу из пушек… Нам же знание этих свойств поможет решить некоторые задания ГИА и ЕГЭ!

Первое знание, которое поможет в этом - биссектриса равнобедренного треугольника.

Кстати, а помнишь ли ты все эти термины? Помнишь чем они отличаются друг от друга? Нет? Не страшно. Сейчас разберемся.

Итак, основание равнобедренного треугольника - это та сторона, которая не равна никакой другой. Посмотри на рисунок, как ты думаешь, какая это сторона? Правильно - это сторона.

Медиана - это линия, проведенная из вершины треугольника и делящая противоположную сторону (это снова) пополам.

Заметь, мы не говорим: «Медиана равнобедренного треугольника». А знаешь почему? Потому что медиана, проведенная из вершины треугольника, делит противоположную сторону пополам в ЛЮБОМ треугольнике.

Ну, а высота - это линия, проведенная из вершины и перпендикулярная основанию. Ты заметил? Мы опять говорим о любом треугольнике, а не только о равнобедренном. Высота в ЛЮБОМ треугольнике всегда перпендикулярна основанию.

Итак, разобрались? Ну почти. Чтобы еще лучше понять и навсегда запомнить что такое биссектриса, медиана и высота, их нужно сравнить друг с другом и понять в чем они похожи и чем они отличаются друг от друга. При этом, чтобы лучше запомнить, лучше описать все «человеческим языком». Потом ты легко будешь оперировать языком математики, но сначала ты этот язык не понимаешь и тебе нужно осмыслить все на своем языке.

Итак, в чем они похожи ? Биссектриса, медиана и высота - все они «выходят» из вершины треугольника и упираются в противоположную сторону и «что-то делают» либо с углом из которого выходят, либо с противоположной стороной. По-моему просто, нет?

А чем они отличаются ?

• Биссектриса делит угол, из которого выходит, пополам.
• Медиана делит противоположную сторону пополам.
• Высота всегда перпендикулярна противоположной стороне.

Теперь все. Понять - легко. А раз понял, можешь запомнить.

Теперь следующий вопрос. Почему же в случае с равнобедренным треугольником биссектриса оказывается одновременно и медианой и высотой?

Можно просто посмотреть на рисунок и убедиться, что медиана разбивает на два абсолютно равных треугольника. Вот и все! Но математики не любят верить своим глазам. Им нужно все доказывать. Страшное слово? Ничего подобного - все просто! Смотри: у и равны стороны и, сторона у них вообще общая и. (- биссектриса!) И вот, получилось, что два треугольника имеют по две равные стороны и угол между ними. Вспоминаем первый признак равенства треугольников (не помнишь, загляни в тему ) и заключаем, что, а значит = и.

Это уже хорошо - значит, оказалась медианой.

А вот что такое?

Посмотрим на картинку - . А у нас получилось, что. Значит, и тоже! Наконец, ура! и.

Показалось ли тебе это доказательство тяжеловатым? Посмотри на картинку - два одинаковых треугольника говорят сами за себя.

В любом случае твердо запомни:

Теперь сложнее: мы посчитаем угол между биссектрисами в любом треугольнике! Не бойся, все не так уж хитро. Смотри на рисунок:

Давай его посчитаем. Ты помнишь, что сумма углов треугольника равна ?

Применим этот потрясающий факт.

С одной стороны, из:

То есть.

Теперь посмотрим на:

Но биссектрисы, биссектрисы же!

Вспомним про:

Теперь через буквы

\angle AOC=90{}^\circ +\frac{\angle B}{2}

Не удивительно ли? Получилось, что угол между биссектрисами двух углов зависит только от третьего угла !

Ну вот, две биссектрисы мы посмотрели. А что, если их три??!! Пересекутся ли они все в одной точке?

Или будет так?

Как ты думаешь? Вот математики думали-думали и доказали:

Правда, здорово?

Хочешь знать, почему же так получается?

Итак…два прямоугольных треугольника: и. У них:

• Общая гипотенуза.
• (потому что - биссектриса!)

Значит, - по углу и гипотенузе. Поэтому и соответствующие катеты у этих треугольников - равны! То есть.

Доказали, что точка одинаково (или равно) удалена от сторон угла. С пунктом 1 разобрались. Теперь перейдём к пункту 2.

Почему же верно 2?

И соединим точки и.

Значит, то есть лежит на биссектрисе!

Вот и всё!

Как же все это применить при решении задач? Вот например, в задачах часто бывает такая фраза: «Окружность касается сторон угла….». Ну, и найти нужно что-то.

То быстро соображаешь, что

И можно пользоваться равенством.

3. Три биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке

Из свойства биссектрисы быть геометрическим местом точек, равноудаленных от сторон угла, вытекает следующее утверждение:

Как именно вытекает? А вот смотри: две-то биссектрисы точно пересекутся, правда?

А третья биссектриса могла бы пройти так:

Но на самом деле-то всё гораздо лучше!

Давай рассмотрим точку пересечения двух биссектрис. Назовём её .

Что мы тут оба раза применяли? Да пункт 1 , конечно же! Если точка лежит на биссектрисе, то она одинаково удалена от сторон угла.

Вот и получилось и.

Но посмотри внимательно на эти два равенства! Ведь из них следует, что и, значит, .

А вот теперь в дело пойдёт пункт 2 : если расстояния до сторон угла равны, то точка лежит на биссектрисе…какого же угла? Ещё раз смотри на картинку:

и - расстояния до сторон угла, и они равны, значит, точка лежит на биссектрисе угла. Третья биссектриса прошла через ту же точку! Все три биссектрисы пересеклись в одной точке! И, как дополнительный подарок -

Радиусы вписанной окружности.

(Для верности посмотри ещё тему ).

Ну вот, теперь ты никогда не забудешь:

Точка пересечения биссектрис треугольника - центр вписанной в неё окружности.

Переходим к следующему свойству… Ух и много же свойств у биссектрисы, правда? И это здорово, потому что, чем больше свойств, тем больше инструментов для решения задач про биссектрису.

4. Биссектриса и параллельность, биссектрисы смежных углов

Тот факт, что биссектриса делит угол пополам, в каких-то случаях приводит к совершенно неожиданным результатам. Вот, например,

Случай 1

Здорово, правда? Давай поймём, почему так.

С одной стороны, - мы же проводим биссектрису!

Но, с другой стороны, - как накрест лежащие углы (вспоминаем тему ).

И теперь выходит, что; выкидываем середину: ! - равнобедренный!

Случай 2

Представь треугольник (или посмотри на картинку)

Давай продолжим сторону за точку. Теперь получилось два угла:

• - внутренний угол
• - внешний угол - он же снаружи, верно?

Так вот, а теперь кому-то захотелось провести не одну, а сразу две биссектрисы: и для, и для. Что же получится?

А получится прямоугольный!

Удивительно, но это именно так.

Разбираемся.

Как ты думаешь, чему равна сумма?

Конечно же, - ведь они все вместе составляют такой угол, что получается прямая.

А теперь вспомним, что и -биссектрисы и увидим, что внутри угла находится ровно половина от суммы всех четырех углов: и - - то есть ровно. Можно написать и уравнением:

Итак, невероятно, но факт:

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего угла треугольника равен.

Случай 3

Видишь, что здесь все так же, как и для внутреннего и внешнего углов?

Или ещё раз подумаем, почему так получается?

Снова, как и для смежных углов,

(как соответственные при параллельных основаниях).

И опять, составляют ровно половину от суммы

Вывод: Если в задаче встретились биссектрисы смежных углов или биссектрисы соответственных углов параллелограмма или трапеции, то в этой задаче непременно участвует прямоугольный треугольник, а может даже и целый прямоугольник.

5. Биссектриса и противоположная сторона

Оказывается, биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону не как-нибудь, а специальным и очень интересным образом:

То есть:

Удивительный факт, не правда ли?

Сейчас мы этот факт докажем, но приготовься: будет немного сложнее, чем раньше.

Снова - выход в «космос» - дополнительное построение!

Проведём прямую.

Зачем? Сейчас увидим.

Продолжим биссектрису до пересечения с прямой.

Знакомая картинка? Да-да-да, точно так же, как в пункте 4, случай 1 - получается, что (- биссектриса)

Как накрест лежащие

Значит, - это тоже.

А теперь посмотрим на треугольники и.

Что про них можно сказать?

Они…подобны. Ну да, у них и углы равны как вертикальные. Значит, по двум углам.

Теперь имеем право писать отношения соответствующих сторон.

А теперь в коротких обозначениях:

Ой! Что-то напоминает, верно? Не это ли самое мы хотели доказать? Да-да, именно это!

Видишь, как здорово проявил себя «выход в космос» - построение дополнительной прямой - без неё ничего бы не вышло! А так, мы доказали, что

Теперь можешь смело использовать! Разберём ещё одно свойство биссектрис углов треугольника - не пугайся, теперь самое сложное кончилось - будет проще.

Получаем, что

Теорема 1:

Теорема 2:

Теорема 3:

Теорема 4:

Теорема 5:

Теорема 6:

Одной из основ геометрии является нахождение биссектрисы, луча, делящего угол пополам. Биссектриса треугольника представляет собой часть биссектрисы любого угла. Это отрезок от вершины угла до пересечения с противоположной стороной треугольника.

Если вывести биссектрисы из всех углов, то они пересекутся в одной точке, которая называется центр вписанного треугольника.

Вычислить биссектрису можно, если знать длину стороны, которую она делит пополам, или же величины углов треугольника.

Биссектриса равнобедренного треугольника

Поскольку в равнобедренном треугольнике две стороны равны друг другу, то и биссектрисы прилегающих углов будут равными. Т.к. углы треугольника также равны.

При проведении биссектрисы из одного из углов, она будет считаться высотой данного треугольника и его медианой.

Задачи, как найти биссектрису треугольника, решаются с применением формул.

Для решения данных формул в условии должны быть обозначены значения длин сторон, или величин углов треугольника. Зная их, можно вычислить биссектрису по косинусам, либо по периметру.

Например, берем равнобедренный треугольник ABC и проводим биссектрису AE к основанию BC. Полученный треугольник AEB – прямоугольный. Биссектриса – это его высота, сторона AB – гипотенуза прямоугольного треугольника, а BE и AE – катеты.

Применяется теорема Пифагора – квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Исходя из нее BE = v (AB - AE). Поскольку AE – это медиана треугольника ABC, то катет BE = BC/2. Таким образом, BE = v (AB - (BC /4)).

В случае, если задан угол основания ABC, то биссектриса треугольника AEB, AE = AB/sin(ABC). Угол основания AEB, BAE = BAC/2. Поэтому биссектриса AE = AB/cos (BAC/2).

Как найти биссектрису треугольника, вписанного в другой треугольник?

В равнобедренном треугольнике ABC проведем к стороне АС сторону ВК. Этот отрезок не будет являться ни биссектрисой треугольника, ни его медианой. Здесь применятся формула Стюарта.

По ней вычисляется периметр треугольника – сумма длин всех его сторон. Для ABC вычисляем полупериметр. Это периметр треугольника, деленный пополам.

Р = (АВ+ ВС+ АС)/2. По этой формуле высчитываем биссектрису, проведенную к стороне. ВК = v(4*ВС*АС*Р (Р-АВ)/ (ВС+АС).

По теореме Стюарта можно также увидеть, что биссектриса, проведенная к другой стороне треугольника, будет равна ВК, т.к. эти две стороны треугольника равны между собой.

Биссектриса прямоугольного треугольника

Для того чтобы знать, как находиться биссектриса в прямоугольном треугольнике, нужно также пользоваться формулами. Не стоит забывать, что в прямоугольном треугольнике один угол обязательно прямой, т.е. равный 90 градусам. Таким образом, если биссектриса начинается из прямого угла, даже если в условии не будет указан синус или косинус угла, можно их узнать по величине угла.

• Находится биссектриса по формуле Стюарта. Если имеется треугольник АВК, и его полупериметр высчитывается, как Р = (АВ+ ВК+ АК)/2. Исходя из полученного, высчитываем биссектрису АЕ = v(4*ВК*АК*Р (Р-АВ)/ (ВК+АК).
• Длина биссектрисы определяется еще таким образом. АЕ = v (ВК*АК) – (ЕВ*ЕК), где ЕВ и ЕК – отрезки, на которые биссектриса АЕ делит сторону ВК.
• Либо можно воспользоваться косинусами углов прямоугольного треугольника, если они известны. Биссектриса будет равна (2*аb*(cos c/2))/(a+b).
• Либо находить биссектрису так. По формуле (cos а) – (cos b)/2, найдите необходимый в дальнейшем делитель. Далее высота, проведенная к стороне с, делится на полученное значение. Для получения косинусов нужно знать величину углов. Либо вычислить их, исходя из величины единственно известного угла – прямого, в 90 градусов.

Равносторонний треугольник

В таком треугольнике все стороны равны между собой, соответственно и углы. Поэтому все биссектрисы и медианы также будут равными. Если некоторые значения сторон будут неизвестными, то нужным будет значение одной стороны. Т.к. стороны равны. И величины углов также. Поэтому для нахождения биссектрисы по формуле косинусов, нужно знать либо вычислить значение лишь одного из углов.

Длина медианы и биссектриса треугольника равна - L.

Стороны треугольника равны - а.

В треугольнике АВС, биссектриса АЕ = (АВСv3)/2.

По этой же формуле вычисляются высота и медиана равностороннего треугольника.

Разносторонний треугольник

В таком треугольнике все стороны имеют разные значения, поэтому и биссектрисы не равны между собой.

Берется треугольник с произвольными значениями сторон. Если некоторые значения сторон неизвестны, то они вычисляются по формуле периметра треугольника.

После того, как биссектрисы углов будут проведены, стоит прибавить к их обозначениям нижний индекс1. Отрезки, на которые биссектриса делит противоположную сторону, обозначаются также с нижним индексом 1.

Длины этих отрезков вычисляются по теореме синусов.

Длина же биссектрисы вычисляется как L = v аb – а1b1, где аb – прилежащие к отрезкам стороны, а а1b1 – произведение отрезков. Формула применяется ко всем сторонам разностороннего треугольника. Главное, это знать длины сторон, либо вычислить их, зная величины прилегающих к ним углов.

Биссектрисой треугольника называется отрезок, который делит угол треугольника на два равных угла. К примеру, если угол треугольника 120 0 , то проведя биссектрису, мы построим два угла по 60 0 .

А так как в треугольнике имеется три угла, то можно провести три биссектрисы. Все они имеют одну точку пресечения. Эта точка является центром окружности, вписанной в треугольник. По-другому эту точку пересечений называют инцентром треугольника.

При пересечении двух биссектрис внутреннего и внешнего угла, получается угол 90 0 . Внешний угол в треугольнике угол, смежный с внутренним углом треугольника.

Рис. 1. Треугольник, в котором проведены 3 биссектрисы

Биссектриса делит противоположную сторону на два отрезки, которые имеют связь со сторонами:

$${CL\over{LB}} = {AC\over{AB}}$$

Точки биссектрисы равноудаленные от сторон угла, это значит, что они находятся на одинаковом расстоянии от сторон угла. То есть, если из любой точки биссектрисы опустить перпендикуляры на каждую из сторон угла треугольника, то эти перпендикуляры будут равны..

Если с одной вершины провести медиану, биссектрису и высоту, то медиана будет самым длинным отрезком, а высота самым коротким.

Некоторые свойства биссектрисы

В определенных видах треугольников, биссектриса имеет особые свойства. В первую очередь это относится к равнобедренному треугольнику. Эта фигура имеет две одинаковые боковые стороны, а третья называется основанием.

Если из вершины угла равнобедренного треугольника провести биссектрису к основанию, то она будет иметь свойства одновременно и высоты и медианы. Соответственно, длина биссектрисы совпадает с длиной медианы и высоты.

Определения:

• Высота – перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к противоположной стороне..
• Медиана – отрезок, который соединяет вершину треугольника и середину противоположной стороны.

Рис. 2. Биссектриса в равнобедренном треугольнике

Это касается и равностороннего треугольника, то есть треугольника, в котором все три стороны равны.

Пример задания

В треугольнике ABC: BR биссектриса, причем AB = 6 см, BC = 4 см, а RC = 2 см. Вычесть длину третей стороны.

Рис. 3. Биссектриса в треугольнике

Решение:

Биссектриса делит сторону треугольника в определенной пропорции. Воспользуемся этой пропорцией и выразим AR. После найдем длину третьей стороны как сумму отрезков, на которые эту сторону поделила биссектриса.

• ${AB\over{BC}} = {AR\over{RC}}$
• $RC={6\over{4}}*2=3 см$

Тогда весь отрезок AC = RC+ AR

AC = 3+2=5 см.

Всего получено оценок: 108.