Что такое числовые неравенства. учитель математики МОУ «Упшинская ООШ»

Поле действительных чисел обладает свойством упорядоченности (п. 6, стр. 35): для любых чисел а, b имеет место одно и только одно из трех соотношений: или . При этом запись а > b означает, что разность положительна, а запись разность отрицательна. В отличие от поля действительных чисел, поле комплексных чисел не упорядочивается: для комплексных чисел понятия «больше» и «меньше» не определяются; поэтому в данной главе рассматриваются только действительные числа.

Соотношения назовем неравенствами, числа а и b - членами (или частями) неравенства, знаки > (больше) и Неравенства а > b и с > d называются неравенствами одинакового (или одного и того же) смысла; неравенства а > b и с Из определения неравенства сразу следует, что

1) любое положительное число больше нуля;

2) любое отрицательное число меньше нуля;

3) любое положительное число больше любого отрицательного числа;

4) из двух отрицательных чисел больше то, абсолютная величина которого меньше.

Все эти утверждения допускают простое геометрическое истолкование. Пусть положительное направление числовой оси идет вправо от начальной точки; тогда, каковы бы ни были знаки чисел, большее из них изображается точкой, лежащей правее точки, изображающей меньшее число.

Неравенства обладают следующими основными свойствами.

1. Несимметричность (необратимость): если , то , и обратно.

Действительно, если разность положительна, то разность отрицательна. Говорят, что при перестановке членов неравенства надо смысл неравенства изменить на противоположный.

2. Транзитивность: если , то . Действительно, из положительности разностей следует и положительность

Кроме знаков неравенства применяют также знаки неравенства и Они определяются следующим образом: запись означает, что либо либо Поэтому, например, можно писать , а также . Обычно неравенства, записанные с помощью знаков называют строгими неравенствами, а записанные с помощью знаков нестрогими неравенствами. Соответственно и сами знаки называют знаками строгого или нестрогого неравенства. Свойства 1 и 2, рассмотренные выше, верны и для нестрогих неравенств.

Рассмотрим теперь действия, которые можно производить над одним или несколькими неравенствами.

3. От прибавления к членам неравенства одного и того же числа смысл неравенства не изменяется.

Доказательство. Пусть даны неравенство и произвольное число . По определению разность положительна. Прибавим к этому числу два противоположных числа от чего оно не изменится, т. е.

Это равенство можно переписать так:

Из этого следует, что разность положительна, т. е. что

а это и надо было доказать.

На этом основана возможность перекоса любого члена неравенства из одной его части в другую с противоположным знаком. Например, из неравенства

следует, что

4. При умножении членов неравенства на одно и то же положительное число смысл неравенства не изменяется; при умножении членов неравенства на одно и то же отрицательное число смысл неравенства изменяется на противоположный.

Доказательство. Пусть тогда Если то так как произведение положительных чисел положительно. Раскрыв скобки в левой части последнего неравенства, получим , т. е. . Аналогичным образом рассматривается случай .

Точно такой же вывод можно сделать и относительно деления частей неравенства на какое-либо отличное от нуля число, так как деление на число равносильно умножению на число а числа имеют одинаковые знаки.

5. Пусть члены неравенства положительны. Тогда при возведении его членов в одну и ту же положительную степень смысл неравенства не изменяется.

Доказательство. Пусть этом случае по свойству транзитивности и . Тогда в силу монотонного возрастания степенной функции при и положительном будем иметь

В частности, если где -натуральное число, то получим

т. е. при извлечении корня из обеих частей неравенства с положительными членами смысл неравенства не изменяется.

Пусть члены неравенства отрицательны. Тогда нетрудно доказать, что при возведении его членов в нечетную натуральную степень смысл неравенства не изменится, а при возведении в четную натуральную степень изменится на противоположный. Из неравенств с отрицательными членами можно также извлекать корень нечетной степени.

Пусть, далее, члены неравенства имеют разные знаки. Тогда при возведении его в нечетную степень смысл неравенства не изменится, а при возведении в четную степень о смысле получающегося неравенства ничего определенного в общем случае сказать нельзя. В самом деле, при возведении числа в нечетную степень знак числа сохраняется и поэтому смысл неравенства не изменяется. При возведении же неравенства в четную степень образуется неравенство с положительными членами, и его смысл будет зависеть от абсолютных величин членов исходного неравенства может получиться неравенство того же смысла, что и исходное, неравенство противоположного смысла и даже равенство!

Все сказанное о возведении неравенств в степень полезно проверить на следующем примере.

Пример 1. Возвести в указанную степень следующие неравенства, изменив в случае необходимости знак неравенства на противоположный или на знак равенства.

а) 3 > 2 в степень 4; б) в степень 3;

в) в степень 3; г) в степень 2;

д) в степень 5; е) в степень 4;

ж) 2 > -3 в степень 2; з) в степень 2,

6. От неравенства можно перейти к неравенству между если члены неравенства оба положительны или оба отрицательны, то между их обратными величинами имеется неравенство противоположного смысла:

Доказательство. Если а и b - одного знака, то их произведение положительно. Разделим на неравенство

т. е. , что и требовалось получить.

Если члены неравенства имеют противоположные знаки, то неравенство между их обратными величинами имеет тот же смысл, так как знаки обратных величин те же, что и знаки самих величин.

Пример 2. Проверить последнее свойство 6 на следующих неравенствах:

7. Логарифмирование неравенств можно производить лишь в случае, когда члены неравенств положительны (отрицательные числа и нуль логарифмов не имеют).

Пусть . Тогда при будет

а при будет

Правильность этих утверждений основана на монотонности логарифмической функции, которая возрастает, если основание и убывает при

Итак, при логарифмировании неравенства, состоящего из положительных членов, по основанию, большему единицы, образуется неравенство того же смысла, что и данное, а при логарифмировании его по положительному основанию, меньшему единицы, - неравенство противоположного смысла.

8. Если , то если , но , то .

Это сразу следует из свойств монотонности показательной функции (п. 42), которая возрастает в случае и убывает, если

При почленном сложении неравенств одного и того же смысла образуется неравенство того же смысла, что и данные.

Доказательство. Докажем это утверждение для двух неравенств, хотя оно верно для любого количества складываемых неравенств. Пусть даны неравенства

По определению числа будут положительными; тогда положительной оказывается и их сумма, т. е.

Группируя иначе слагаемые, получим

и, следовательно,

а это и надо было доказать.

Нельзя сказать Ничего определенного в общем случае о смысле неравенства, получающегося при сложении двух или нескольких неравенств разного смысла.

10. Если из одного неравенства почленно вычесть другое неравенство противоположного смысла, то образуется неравенство того же смысла, что и первое.

Доказательство. Пусть даны два неравенства разного смысла. Второе из них по свойству необратимости можно переписать так: d > с. Сложим теперь два неравенства одинакового смысла и получим неравенство

того же смысла. Из последнего находим

а это и надо было доказать.

Нельзя сказать ничего определенного в общем случае о смысле неравенства, получающегося при вычитании из одного неравенства другого неравенства того же смысла.

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА I

§ 10 Основные свойства числовых неравенств

1. Если а > b , то b < а , и, наоборот, если а < b , то b > а .

Доказательство. Пусть а > b . По определению это означает, что число (а - b ) положительно. Если мы перед ним поставим знак минус, то полученное число - (а - b ) будет, очевидно, отрицательным. Поэтому - (а - b ) < 0, или b - а < 0. А это (опять же по определению) и означает, что b < a .

Обратное утверждение предлагаем учащимся доказать самостоятельно.

Доказанное свойство неравенств допускает простую геометрическую интерпретацию: если точка А лежит на числовой прямой правее точки В, то точка В лежит левее точки А, и наоборот (см. рис. 20).

2. Если a > b , a b > c , то а > с .

Геометрически это свойство состоит в следующем. Пусть точка А (соответствующая числу а ) лежит правее точки В (соответствующей числу b ), а точка В, в свою очередь, лежит правее точки С (соответствующей числу с ). Тогда точка А и подавно будет лежать правее точки С (рис. 21).

Приведем алгебраическое доказательство этого свойства неравенств.

Пусть а > b , a b > с . Это означает, что числа (а - b ) и (b- с ) положительны. Сумма двух положительных чисел, очевидно, положительна. Поэтому (а - b ) + (b- с ) > 0, или а - с > 0. Но это и означает, что а > с .

3. Если а > b , то для любого числа с а + с > b + с , а - c > b - с .

Иными словами, если к обеим частям числового неравенства прибавить или от обеих частей отнять одно и то же число, то неравенство не нарушится.

Доказательство. Пусть а > b . Это означает, что а - b > 0. Но а - b = (а + с ) - (b + с ). Поэтому (а + с ) - (b + с ) > 0. А по определению это и означает, что а + с > b + с . Аналогично показывается, что а - c > b - с .

Например, если к обеим частям неравенства 5 > 4 прибавить 1 1 / 2 , то получим
6 1 / 2 > 5 1 / 2 . Отнимая от обеих частей данного неравенства число 5, получим 0 > - 1.

Следствие. Любое слагаемое одной части числового неравенства можно перенести в другую часть неравенства, поменяв знак этого слагаемого на противоположный.

Пусть, например, а + b > с . Требуется доказать, что а > с - b . Для доказательства от обеих частей данного неравенства достаточно отнять число b .

4. Пусть а > b . Если с > 0 , то аc > bc . Если же с < 0 , то ас < bс .

Иными словами, если обе части числового неравенства умножить на положительное число, то неравенство не нарушится;
если обе части неравенства умножить на отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.

Короче это свойство формулируется таким образом:

Неравенство сохраняется при почленном умножении на положительное число и изменяет знак на противоположный при почленном умножении на отрицательное число.

Например, умножив неравенство 5 > 1 почленно на 7, получим 35 > 7. Почленное умножение того же неравенства на - 7 дает - 35 < - 7.

Доказательство 4-го свойства.

Пусть а > b . Это означает, что число а - b положительно. Произведение двух положительных чисел а - b и с , очевидно, также положительно, т. е. (а - b ) с > 0, или
ас - bс > 0. Поэтому ас > bс .

Аналогично рассматривается случай, когда число с отрицательно. Произведение положительного числа а - b на отрицательное число с , очевидно, отрицательно, т. е.
(а - b) с < 0; поэтому ас - bс < 0, откуда ас < bс .

Следствие. Знак неравенства сохраняется при почленном делении на положительное число и изменяется на противоположный при почленном делении на отрицательное число.

Это вытекает из того, что деление на число с =/= 0 равносильно умножению на число 1 / c .

Упражнения

81. Можно ли неравенство 2 > 1 умножить почленно на

а) а 2 + 1; б) | а |; в) а ; г) 1 - 2а +а 2

так чтобы знак неравенства сохранился?

82. Всегда ли 5х больше 4х , а - у меньше у ?

83. Каким может быть число х , если известно, что -х > 7?

84. Расположить в порядке возрастания числа: a) а 2 , 5а 2 , 2а 2 ; б) 5а , 2а ; в) а , а 2 , а 3 . 85. Расположить в порядке убывания числа

а - b , а - 2b , а - 3b .

86. Дать геометрическую интерпретацию третьему свойству числовых неравенств.

Для любых числовых выражений справедливы следующие свойства.

Свойство 1. Если к обеим частям верного числового неравенства прибавить одно и то же числовое выражение, то получим верное числовое неравенство, то есть справедливо: ; .

Доказательство. Если . Используя коммутативное, ассоциативное и дистрибутивное свойства операции сложения имеем: .

Следовательно, по определению отношения «больше» .

Свойство 2 . Если из обеих частей верного числового неравенства вычесть одно и то же числовое выражение, то получим верное числовое неравенство, то есть справедливо: ;

Доказательство. По условию . Используя предыдущее свойство, прибавим к обеим частям данного неравенства числовое выражение , получим: .

Используя ассоциативное свойство операции сложения, имеем: , следовательно , следовательно .

Следствие. Любое слагаемое можно переносить из одной части числового неравенства в другую с противоположным знаком.

Свойство 3 . Если почленно сложить верные числовые неравенства, то получим верное числовое неравенство, то есть справедливо:

Доказательство. По свойству 1 имеем: и , используя свойство транзитивность отношения «больше», получим: .

Свойство 4. Верные числовые неравенства противоположного смысла можно почленно вычитать, сохраняя знак неравенства, из которого вычитаем, то есть: ;

Доказательство. По определению истинных числовых неравенств . По свойству 3, если . По следствию свойства 2 данной теоремы, любое слагаемое можно переносить из одной части неравенства в другую с противоположным знаком. Следовательно, . Таким образом, если .

Свойство доказывается аналогично.

Свойство 5. Если обе части верного числового неравенства умножить на одно и то же числовое выражение, принимающее положительное значение, не меняя знака неравенства, то получим верное числовое неравенство, то есть:

Доказательство. Из того, что . Имеем: тогда . Используя дистрибутивность операции умножения относительно вычитания, имеем: .

Тогда по определению отношения «больше» .

Свойство доказывается аналогично.

Свойство 6. Если обе части верного числового неравенства умножить на одно и то же числовое выражение, принимающее отрицательное значение, поменяв знак неравенства на противоположный, то получим верное числовое неравенство, то есть: ;

Свойство 7. Если обе части верного числового неравенства разделить на одно и то же числовое выражение, принимающее положительное значение, не меняя знака неравенства, то получим верное числовое неравенство, то есть:

Доказательство. Имеем: . По свойству 5, получим: . Используя ассоциативность операции умножения, имеем: следовательно .

Свойство доказывается аналогично.

Свойство 8. Если обе части верного числового неравенства разделить на одно и то же числовое выражение, принимающее отрицательное значение, поменяв знак неравенства на противоположный, то получим верное числовое неравенство, то есть: ;

Доказательство данного свойства опустим.

Свойство 9. Если почленно перемножить верные числовые неравенства одинакового смысла с отрицательными частями, изменив знак неравенства на противоположный, то получим верное числовое неравенство, то есть:

Доказательство данного свойства опустим.

Свойство 10. Если почленно перемножить верные числовые неравенства одинакового смысла с положительными частями, не меняя знак неравенства, то получим верное числовое неравенство, то есть:

Доказательство данного свойства опустим.

Свойство 11. Если почленно разделить верное числовое неравенство противоположного смысла с положительными частями, сохранив знак первого неравенства, то получим верное числовое неравенство, то есть:

;

.

Доказательство данного свойства опустим.

Пример 1. Являются ли неравенства и равносильными?

Решение. Второе неравенство получено из первого неравенства прибавлением к обеим его частям одного и того же выражения , которое не определенно при . Это означает, что число не может быть решением первого неравенства. Однако является решением второго неравенства. Итак, существует решение второго неравенства, которое не является решением первого неравенства. Следовательно, данные неравенства не являются равносильными. Второе неравенство является следствием первого неравенства, так как любое решение первого неравенства является решением второго.

Множество всех действительных чисел можно представить, как объединение трех множеств: множество положительных чисел, множество отрицательных чисел и множество состоящее из одного числа - число нуль. Для того чтобы указать, что число а положительно, пользуются записью а > 0 , для указания отрицательного числа используют другую запиь a < 0 .

Сумма и произведение положительных чисел также являются положительными числами. Если число а отрицательно, то число -а положительно (и наоборот). Для любого положительного числа а найдется такое положительное рациональное число r , что r < а . Эти факты и лежат в основе теории неравенств.

По определению неравенство а > b (или, что то же самое, b < a) имеет место в том и только в том случае, если а - b > 0, т. е. если число а - b положительно.

Рассмотрим, в частности, неравенство а < 0 . Что означает это неравенство? Согласно приведенному выше определению оно означает, что 0 - а > 0 , т. е. -а > 0 или, иначе, что число -а положительно. Но это имеет место в том и только в том случае, если число а отрицательно. Итак, неравенство а < 0 означает, что число а отрицательно.

Часто используется также запись аb (или, что то же самое, bа ).
Запись аb , по определению, означает, что либо а > b , либо а = b . Если рассматривать запись аb как неопределенное высказывание, то в обозначениях математической логики можно записать

(a b) [(a > b) V (a = b)]

Пример 1. Верны ли неравенства 5 0, 0 0?

Неравенство 5 0 - это сложное высказывание состоящее из двух простых высказываний связанных логической связкой "или" (дизъюнкция). Либо 5 > 0 либо 5 = 0. Первое высказывание 5 > 0 - истинно, второе высказывание 5 = 0 - ложно. По определению дизъюнкции такое сложное высказывание истинно.

Аналогично обсуждается запись 00.

Неравенства вида а > b, а < b будем называть строгими, а неравенства вида ab, ab - нестрогими.

Неравенства а > b и с > d (или а < b и с < d ) будем называть неравенствами одинакового смысла, а неравенства а > b и c < d - неравенствами противоположного смысла. Отметим, что эти два термина (неравенства одинакового и противоположного смысла) относятся лишь к форме записи неравенств, а не к самим фактам, выражаемым этими неравенствами. Так, по отношению к неравенству а < b неравенство с < d является неравенством того же смысла, а в записи d > c (означающей то же самое) - неравенством противоположного смысла.

Наряду с неравенствами вида a > b , ab употребляются так называемые двойные неравенства, т. е. неравенства вида а < с < b , ас < b , a < cb ,
a cb . По определению запись

а < с < b (1)
означает, что имеют место оба неравенства:

а < с и с < b.

Аналогичный смысл имеют неравенства асb, ас < b, а < сb.

Двойное неравенство (1) можно записать так:

(a < c < b) [(a < c) & (c < b)]

а двойное неравенство a ≤ c ≤ b можно записать в следующем виде:

(a c b) [(a < c)V(a = c) & (c < b)V(c = b)]

Перейдем теперь к изложению основных свойств и правил действий над неравенствами, договорившись, что в данной статье буквы a, b, с обозначают действительные числа, а n означает натуральное число.

1) Если а > b и b > с, то a > с (транзитивность).

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Так как по условию а > b и b > c , то числа а - b и b - с положительны, и, следовательно, число а - с = (а - b) + (b - с) , как сумма положительных чисел, также является положительным. Это означает, по определению, что а > с .

2) Если а > b, то при любом с имеет место неравенство а + с > b + c.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Так как а > b , то число а - b положительно. Следовательно, число (а + с) - (b + с) = a + c - b - c = а - b также является положительным, т. е.
a + с > b + с.

3) Если a + b > c, то a > b - c , т. е. любое слагаемое можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив знак этого слагаемого на противоположный.

Доказательство вытекает из свойства 2) достаточно к обеим частям неравенства а + b > с прибавить число - b.

4) Если а > b и с > d, то а + с > b + d, т. е. при сложении двух неравенств одного и того же смысла получается неравенство того же смысла.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

В силу определения неравенства достаточно показать, что разность
(а + с} - (b + c) положительна. Эту разность можно записать следующим образом:
(a + c) - (b + d) = {а - b) + (с - d) .
Так как по условию числа а - b и с - d положительны, то (a + с) - (b + d) также есть число положительное.

Следствие. Из правил 2) и 4) вытекает следующее Правило вычитания неравенств: если а > b, с > d , то a - d > b - с (для доказательства достаточно к обеим частям неравенства а + с > b + d прибавить число - c - d ).

5) Если а > b, то при с > 0 имеем ас > bc, а при с < 0 имеем ас < bc.

Иначе говоря, при умножении обеих частей неравенства ни положительное число знак неравенства сохраняется (т. е. получается неравенство, того же смысла), а при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (т. е. получается неравенство противоположного смысла.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Если а > b , то а - b есть число положительное. Следовательно, знак разности ас-bс = с(а - b) совпадает со знаком числа с : если с - положительное число, то и разность ас - bc положительна и потому ас > bс , а если с < 0 , то эта разность отрицательна и потому bc - ас положительно, т. е. bc > ас .

6) Если а > b > 0 и с > d > 0, то ас > bd, т. е. если все члены двух неравенств одинакового смысла положительны, то при почленном умножении этих неравенств получается неравенство того же смысла.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Имеем ас - bd = ac - bc + bc - bd = c(a - b) + b{c - d) . Так как с > 0, b > 0, a - b > 0, с - d > 0, то ас - bd > 0, т. е. ас > bd.

Замечание. Из доказательства видно, что условие d > 0 в формулировке свойства 6) несущественно: для справедливости этого свойства достаточно, чтобы были выполнены условия a > b > 0, с > d, с > 0 . Если же (при выполнении неравенств a > b, с > d ) числа а, b, с не будут все положительными, то неравенство ас > bd может не выполняться. Например, при а = 2, b =1, c = -2, d = -3 имеем a > b, с > d , но неравенство ас > bd (т. е. -4 > -3) не выполнено. Таким образом, требование положительности чисел а, b, с в формулировке свойства 6) существенно.

7) Если a ≥ b > 0 и c > d > 0, то(деление неравенств).

Д о к а з а т е л ь с т в о.

ИмеемЧислитель дроби, стоящей в правой части, положителен (см. свойства 5), 6)), знаменатель также положителен. Следовательно,. Этим свойство 7) доказано.

Замечание. Отметим важный частный случай правила 7), получающийся при а = b = 1: если с > d > 0, то. Таким образом, если члены неравенства положительны, то при переходе к обратным величинам получаем неравенство противоположного смысла. Предлагаем читателям проверить, что это правило сохраняется и в7) Если ab > 0 и c > d > 0, то(деление неравенств).

Д о к а з а т е л ь с т в о. то.

Мы доказали выше несколько свойств неравенств, записанных с помощью знака > (больше). Однако все эти свойства можно было бы формулировать с помощью знака < (меньше), так как неравенство b < а означает, по определению, то же самое, что и неравенство а > b . Кроме того, как это нетрудно проверить, доказанные выше свойства сохраняются и для нестрогих неравенств. Например, свойство 1) для нестрогих неравенств будет иметь следующий вид: если аb и bс , то ас .

Разумеется, сказанным выше не ограничиваются общие свойства неравенств. Существует еще целый ряд неравенств общего вида, связанных с рассмотрением степенной, показательной, логарифмической и тригонометрических функций. Общий подход для написания такого рода неравенств заключается в следующем. Если некоторая функция у = f(х) монотонно возрастает на отрезке [а, b] , то при x 1 > x 2 (где x 1 и x 2 принадлежат этому отрезку) мы имеем f(x 1) > f(x 2). Аналогично, если функция y = f{x) монотонно убывает на отрезке [а, b] , то при х 1 > х 2 (где х 1 и х 2 принадлежат этому отрезку) мы имеем f(x 1) < f(x 2 ). Разумеется, сказанное не отличается от определения монотонности, но для запоминания и написания неравенств этот прием очень удобен.

Так, например, для любого натурального n функция у = х n является монотонно возрастающей на луче }