Первообразная и интегралы. Фундаментальное соотношение интегрального исчисления

Возникновение понятия интеграла было обусловлено необходимостью нахождения первообразной функции по ее производной, а также определения величины работы, площади сложных фигур, расстояния пройденного пути, при параметрах, очерченных кривыми, описываемыми нелинейными формулами.

а что работа равна произведению силы на расстояние. Если все движение происходит с постоянной скоростью или расстояние преодолевается с приложением одной и той же силы, то все понятно, нужно их просто перемножить. Что такое интеграл от константы? вида y=kx+c.

Но сила на протяжении работы может меняться, причем в какой-то закономерной зависимости. Такая же ситуация возникает и с вычислением пройденного расстояния, если скорость непостоянна.

Итак, понятно, для чего нужен интеграл. Определение его как суммы произведений значений функции на бесконечно малое приращение аргумента вполне описывает главный смысл этого понятия как площадь фигуры, ограниченной сверху линией функции, а по краям - границами определения.

Жан Гастон Дарбу, французский математик, во второй половине XIX века очень наглядно объяснил, что такое интеграл. Он сделал это настолько понятно, что в целом разобраться в этом вопросе не составит труда даже школьнику младших классов средней школы.

Допустим, есть функция любой сложной формы. Ось ординат, на которой откладываются значения аргумента, разбивается на небольшие интервалы, в идеале они бесконечно малы, но так как понятие бесконечности довольно абстрактно, то достаточно представить себе просто небольшие отрезки, величину которых обычно обозначают греческой буквой Δ (дельта).

Функция оказалась «нарезанной» на маленькие кирпичики.

Каждому значению аргумента соответствует точка на оси ординат, на которой откладываются соответствующие значения функции. Но так как границ у выделенного участка две, то и значений функции тоже будет два, большее и меньшее.

Сумма произведений бо́льших значений на приращение Δ называется большой суммой Дарбу, и обозначается как S. Соответственно, меньшие на ограниченном участке значения, умноженные на Δ, все вместе образуют малую сумму Дарбу s. Сам участок напоминает прямоугольную трапецию, так как кривизной линии функции при бесконечно малом ее приращении можно пренебречь. Самый простой способ найти площадь такой геометрической фигуры - это сложить произведения большего и меньшего значения функции на Δ-приращение и поделить на два, то есть определить как среднее арифметическое.

Вот что такое интеграл по Дарбу:

s=Σf(x) Δ - малая сумма;

S= Σf(x+Δ)Δ - большая сумма.

Итак, что такое интеграл? Площадь, ограниченная линией функции и границами определения будет равна:

∫f(x)dx = {(S+s)/2} +c

То есть среднее арифметическое большой и малой сумм Дарбу.с - величина постоянная, обнуляемая при дифференцировании.

Исходя из геометрического выражения этого понятия, становится понятен и физический смысл интеграла. очерченная функцией скорости, и ограниченная временным интервалом по оси абсцисс, будет составлять длину пройденного пути.

L = ∫f(x)dx на промежутке от t1 до t2,

f(x) - функция скорости, то есть формула, по которой она меняется во времени;

L - длина пути;

t1 - время начала пути;

t2 - время окончания пути.

Точно по такому же принципу определяется величина работы, только по абсциссе будет откладываться расстояние, а по ординате - величина силы, прилагаемая в каждой конкретной точке.

Процесс решения интегралов в науке под названием "математика" называется интегрированием. С помощью интегрирования можно находить некоторые физические величины: площадь, объем, массу тел и многое другое.

Интегралы бывают неопределенными и определенными. Рассмотрим вид определенного интеграла и попытаемся понять его физический смысл. Представляется он в таком виде: $$ \int ^a _b f(x) dx $$. Отличительная черта написание определенного интеграла от неопределенного в том, что есть пределы интегрирования a и b. Сейчас узнаем для чего они нужны, и что всё-таки значит определенный интеграл. В геометрическом смысле такой интеграл равен площади фигуры, ограниченной кривой f(x), линиями a и b, и осью Ох.

Из рис.1 видно, что определенный интеграл - это и есть та самая площадь, что закрашена серым цветом. Давайте, проверим это на простейшем примере. Найдем площадь фигуры на изображении представленном ниже с помощью интегрирования, а затем вычислим её обычным способом умножения длины на ширину.

Из рис.2 видно, что $ y=f(x)=3 $, $ a=1, b=2 $. Теперь подставим их в определение интеграла, получаем, что $$ S=\int _a ^b f(x) dx = \int _1 ^2 3 dx = $$ $$ =(3x) \Big|_1 ^2=(3 \cdot 2)-(3 \cdot 1)=$$ $$=6-3=3 \text{ед}^2 $$ Сделаем проверку обычным способом. В нашем случае длина = 3, ширина фигуры = 1. $$ S = \text{длина} \cdot \text{ширина} = 3 \cdot 1 = 3 \text{ед}^2 $$ Как видим, всё отлично совпало.

Появляется вопрос: как решать интегралы неопределенные и какой у них смысл? Решение таких интегралов - это нахождение первообразных функций. Этот процесс противоположный нахождению производной. Для того, чтобы найти первообразную можно использовать нашу помощь в решении задач по математике или же необходимо самостоятельно безошибочно вызубрить свойства интегралов и таблицу интегрирования простейших элементарных функций. Нахождение выглядит так $$ \int f(x) dx = F(x) + C \text{где} F(x) $ - первообразная $ f(x), C = const $.

Для решения интеграла нужно интегрировать функцию $ f(x) $ по переменной. Если функция табличная, то записывается ответ в подходящем виде. Если же нет, то процесс сводится к получению табличной функции из функции $ f(x) $ путем хитрых математических преобразований. Для этого есть различные методы и свойства, которые рассмотрим далее.

Итак, теперь составим алгоритм как решать интегралы для чайников?

Алгоритм вычисления интегралов

1. Узнаем определенный интеграл или нет.
2. Если неопределенный, то нужно найти первообразную функцию $ F(x) $ от подынтегральной $ f(x) $ с помощью математических преобразований приводящих к табличному виду функцию $ f(x) $.
3. Если определенный, то нужно выполнить шаг 2, а затем подставить пределы $ а $ и $ b $ в первообразную функцию $ F(x) $. По какой формуле это сделать узнаете в статье "Формула Ньютона Лейбница".

Примеры решений

Итак, вы узнали как решать интегралы для чайников, примеры решения интегралов разобрали по полочкам. Узнали физический и геометрический их смысл. О методах решения будет изложено в других статьях.

Физический смысл интеграла очень прост.  

Физический смысл интеграла (аа аа) заключается в том, что он описывает отталкивание между двумя электронами, принадлежащими одному и тому же атомному центру.  

Физический смысл интегралов Ариса можно описать лишь весьма приближенно; однако всегда полезно наглядно представить себе факторы, входящие в выражение для высоты, эквивалентной теоретической тарелке. Грубо говоря, интегрирование по t дает время, которое возрастает с увеличением размеров колонки. Это можно объяснить тем, что при увеличении размеров колонки возрастают расстояния, вдоль которых диффундируют молекулы. Однако, несмотря на это, действительное значение Н (х) определяется эффективной скоростью, значение которой в свою очередь определяется профилем скоростей.  

Обратим внимание на физический смысл интегралов в этом уравнении. Первый интеграл выражает уменьшение секундного расхода через сечение в пограничном слое высотой 8, обусловленное влиянием вязкости.  

Для последующего вывода необязательно дать физический смысл Зтого интеграла, но легко сообразить, что он выражает удвоенную работу внешних нагрузок в процессе деформации тела, если эти нагрузки возрастают весьма медленно от начального естественного состояния тела.  

Рассмотрим теперь более подробно природу и физический смысл интегралов такого рода.  

Цель работы состоит в изучении основных явлений, демонстрирующих общие законы динамики системы точек и физический смысл интегралов движения. В общем случае задача нелинейна, и получить ее аналитическое решение не удается. В то же время проведение серии машинных экспериментов позволяет составить достаточно полное и наглядное представление об особенностях движения изучаемой механической системы. Специфика постановки машинного эксперимента проявляется, во-первых, в необходимости предварительной оценки характерного времени протекания процессов для правильной организации вывода результатов решения задачи. Эта оценка определяется заданием конкретных значений параметров системы и начальных условий и проводится студентом предварительно перед каждым вводом исходных данных. Во-вторых, некорректное задание параметров или начальных условий может приводить к аварийным прерываниям решения, не связанным с существом задачи и определяемым ее конкретной реализацией на машине. Студенты убеждаются также, что точность решения зависит как от выбора алгоритма, так и от исходных данных. Нетрудно проследить, например, как изменяют свое численное значение интегралы движения, если выбран сравнительно крупный шаг интегрирования дифференциальных уравнений.  

Вместе с тем, для многих приложе ний наиболее существенна именно / Атеория, что, в частности, объясняется физическим смыслом интеграла от квадрата модуля.  

При этом существование предела (4) для конечной функции, заданной на конечной области, может быть доказано математически, без ссылки на физический смысл интеграла.  

На рис. 1 а и 1, б изображены типичные примеры; на рис. 1, в показано, что две кривые могут быть зацеплены даже когда коэффициент зацепления равен нулю, а соленоид на рис. 1 г демонстрирует физический смысл интеграла Гаусса как работы по переносу единичного магнитного полюса по замкнутой кривой в магнитном поле, вызванном протеканием единичного электрического тока по другой кривой.  

Формула (2.27) представляет собой модифицированный принцип Гюйгенса - Френеля в нелинейной оптике. Физический смысл интеграла (2.27) довольно прост.  

Возможны дальнейшие обобщения интеграла Мора, когда прикладывается не единичный силовой фактор, а единичная система сил. Физический смысл интеграла Мора вытекает на того, что он представляет возможную работу единичной системы сил на перемещениях основной системы.  

Страницы:      1

Слово «интеграл» происходит от латинского integralis - целостный. Это название предложил в 17 в. ученик великого Лейбница (и также выдающийся математик) И. Бернулли. А что такое интеграл в современном понимании? Ниже мы постараемся дать всесторонний ответ на этот вопрос.

Исторические предпосылки возникновения понятия интеграла

В начале 17 в. в рассмотрении ведущих ученых находилось большое число физических (прежде всего механических) задач, в которых нужно было исследовать зависимости одних величин от других. Самыми наглядными и насущными проблемами были определение мгновенной скорости неравномерного движения тела в любой момент времени и обратная этой задача нахождения величины пути, пройденного телом за определенный промежуток времени при таком движении. Сегодня мы уже знаем, что такое интеграл от скорости движения - это и есть пройденный путь. Но понимание того, как его вычислять, зная скорость в каждый момент времени, появилось не сразу.

Поначалу из рассмотрения таких зависимостей физических величин, например, пути от скорости, было сформировано математическое понятие функции y = f(x). Исследование свойств различных функций привело к зарождению математического анализа. Ученые активно искали способы изучения свойств различных функций.

Как возникло вычисление интегралов и производных?

После создания Декартом основ аналитической геометрии и появления возможности изображать функциональные зависимости графически в осях декартовой системы координат, перед исследователями встали две крупные новые задачи: как провести касательную к кривой линии в любой ее точке и как найти площадь фигуры, ограниченной сверху этой кривой и прямыми, параллельными осям координат. Неожиданным образом оказалось, что первая из них эквивалентна нахождению мгновенной скорости, а вторая - нахождению пройденного пути. Ведь он при неравномерном движении изображался в декартовых осях координат «расстояние» и «время» некоторой кривой линией.

Гением Лейбница и Ньютона в середине 17 в. были созданы методы, позволившие решать обе эти задачи. Оказалось, что для проведения касательной к кривой в точке нужно найти величину так называемой производной от функции, описывающей эту кривую, в рассматриваемой ее точке, и эта величина оказывается равной скорости изменения функции, т. е. применительно к зависимости «путь от скорости» собственно мгновенной скоростью тела.

Для нахождения же площади, ограниченной кривой линией, следовало вычислить определенный интеграл, который давал ее точную величину. Производная и интеграл - основные понятия дифференциального и интегрального исчисления, являющихся базисом современного матанализа - важнейшего раздела высшей математики.

Площадь под кривой линией

Итак, как же определить ееточную величину? Попробуем раскрыть процесс ее вычисления через интеграл подробно, с самых азов.

Пусть f является непрерывной на отрезке функцией. Рассмотрим кривую у = f(x), изображенную на рисунке ниже. Как найти площадь области, ограниченной кривой), осью х, и линиями х = а и х = b? То есть площадь заштрихованной фигуры на рисунке.

Самый простой случай, когда f является постоянной функцией; то есть, кривая есть горизонтальная линия f(X) = k, где k постоянная и k ≥ 0, как показано на рисунке ниже.

В этом случае область под кривой - всего лишь прямоугольник с высотой k и шириной (b - a), так что площадь определяется как: k · (b - а).

Области некоторых других простых фигур, таких как треугольник, трапеция и полуокружность, даются формулами из планиметрии.

Площадь под любой непрерывной кривой у = f(х) дается определенным интегралом, который записывается так же, как обычный интеграл.

Риманова сумма

Прежде чем погрузиться в подробный ответ на вопрос, что такое интеграл, выделим некоторые основные идеи.

Во-первых, область под кривой делится на некоторое число n вертикальных полос достаточно малой ширины Δx. Далее каждая вертикальная полоса заменяется вертикальным прямоугольником высотой f(х), шириной Δx, и площадью f(х)dx. Следующим шагом является формирование суммы площадей всех этих прямоугольников, называемой Римановой суммой (смотрите рисунки ниже).

Рисуя наши прямоугольники шириной Δx, мы можем брать их высоту, равную значению функции на левом краю каждой полоски, т. е. на кривой будут лежать крайние левые точки их верхних коротких сторон шириной Δx. При этом на участке, где функция растет, и ее кривая является выпуклой, все прямоугольники оказываются ниже этой кривой, т. е. их сумма будет заведомо меньшей точной величины площади под кривой на этом участке (см. рисунок ниже). Такой способ аппроксимации называется левосторонним.

В принципе, можно нарисовать аппроксимирующие прямоугольники таким образом, чтобы на кривой лежали крайние правые точки их верхних коротких сторон шириной Δx. Тогда они будут выше кривой, и приближение площади на этом участке окажется больше ее точной величины, как показано на рисунке ниже. Этот способ носит название правостороннего.

Но мы можем также взять высоту каждого из аппроксимирующих прямоугольников, равной просто некоторому значению функции в произвольной точке x* i внутри соответствующей полоски Δx i (смотри рис. ниже). При этом мы даже можем не брать одинаковую ширину всех полосок.

Составим Риманову сумму:

Переход от Римановой суммы к определенному интегралу

В высшей математике доказывается теорема, которая гласит, что если при неограниченном возрастании числа n аппроксимирующих прямоугольников наибольшая их ширина стремится к нулю, то Риманова сумма A n стремится к некоторому пределу A. Число A - одно и то же при любом способе образования аппроксимирующих прямоугольников и при любом выборе точек x* i .

Наглядное пояснение теоремы дает рисунок ниже.

Из него видно, что, чем уже прямоугольники, тем ближе площадь ступенчатой фигуры к площади под кривой. При числе прямоугольников n→∞ их ширина Δx i →0, а предел A суммы A n численно равен искомой площади. Этот предел и есть определенный интеграл функцииf (х):

Символ интеграла, представляющий собой видоизмененную курсивную литеру S, был введен Лейбницем. Ставить сверху и снизу обозначения интеграла его пределы предложил Ж. Б. Фурье. При этом ясно указывается начальное и конечное значение x.

Геометрическое и механическое истолкование определенного интеграла

Попробуем дать развернутый ответ на вопрос о том, что такое интеграл? Рассмотрим интеграл на отрезке от положительной внутри него функции f(х), причем считаем, что верхний предел больше нижнего a

Если ординаты функции f(х) отрицательны внутри , то абсолютное значение интеграла равно площади между осью абсцисс и графиком y=f(х), сам же интеграл отрицателен.

В случае же однократного или неоднократного пересечения графиком y=f(х) оси абсцисс на отрезке , как показано на рисунке ниже, для вычисления интеграла нужно определить разность, в которой уменьшаемое будет равно суммарной площади участков, находящихся над осью абсцисс, а вычитаемое - суммарной площади участков, находящихся под ней.

Так, для функции, показанной на рисунке выше, определенный интеграл от a до b будет равен (S1 + S3) - (S2+S4).

Механическое истолкование определенного интеграла тесно связано с геометрическим. Вернемся к разделу «Риманова сумма» и представим, что приведенный на рисунках график выражает функцию скорости v=f(t) при неравномерном движении материальной точки (ось абсцисс является осью времени). Тогда площадь любого аппроксимирующего прямоугольника шириной Δt, который мы строили при формировании Римановой суммы, будет выражать приближенно путь точки за время Δt, а именно v(t*)Δt.

Полная сумма площадей прямоугольников на отрезке от t 1 =a до t 2 =b выразит приближенно путь s за время t 2 - t 1 , а предел ее, т. е. интеграл (определенный) от a до b функции v = f(t) по dt даст точное значение пути s.

Дифференциал определенного интеграла

Если вернуться к его обозначению, то вполне можно предположить, что a = const, а b является конкретным значением некоторой независимой переменной x. Тогда определенный интеграл с верхним пределом x̃ из конкретного числа превращается в функцию от x̃. Такой интеграл равен площади фигуры под кривой, обозначенной точками aABb на рисунке ниже.

При неподвижной линии aA и подвижной Bb эта площадь становится функцией f(x̃), причем приращения Δx̃ по-прежнему откладываются вдоль оси х, а приращением функции f(x̃) являются приращения площади под кривой.

Предположим, что мы дали переменной x̃ = b некоторое малое приращение Δx̃. Тогда приращение площади фигуры aABb складывается из площади прямоугольника (заштрихован на рисунке) Bb∙Δx̃ и площади фигуры BDC под кривой. Площадь прямоугольника равна Bb∙Δx̃ = f(x̃)Δx̃, т.е она является линейной функцией приращения независимой переменной. Площадь же фигуры BDC заведомо меньше, чем площадь прямоугольника BDCK = Δx̃∙Δy, и при стремлении Δx̃ →0 она уменьшается еще быстрее него. Значит, f(x̃)Δx̃ = f(x̃)dx̃ есть дифференциал переменной площади aABb, т. е. дифференциал определенного интеграла

Отсюда можно заключить, что вычисление интегралов заключается в разыскании функций по заданным выражениям их дифференциалов. Интегральное исчисление как раз и представляет собой систему способов разыскания таких функций по известным их дифференциалам.

Фундаментальное соотношение интегрального исчисления

Оно связывает отношения между дифференцированием и интегрированием и показывает, что существует операция, обратная дифференцированию функции, - ее интегрирование. Оно также показывает, что если любая функция f(х) непрерывна, то применением к ней этой математической операции можно найти целый ансамбль (совокупность, множество) функций, первообразных для нее (или иначе, найти неопределенный интеграл от нее).

Пусть функция F(x) является обозначением результата интегрирования функции f(х). Соответствие между этими двумя функциями в результате интегрирования второй из них обозначается следующим образом:

Как видно, при символе интеграла отсутствуют пределы интегрирования. Это означает, что из определенного он преобразован в неопределенный интеграл. Слово «неопределенный» означает, что результатом операции интегрирования в данном случае является не одна, а множество функций. Ведь, кроме собственно функции F(x), последним выражениям удовлетворяет и любая функция F(x)+С, где С = const. При этом подразумевается, что постоянный член в ансамбле первообразных можно задавать по произволу.

Следует подчеркнуть, что, если интеграл, определенный от функции, является числом, то неопределенный есть функция, точнее, их множество. Термин «интегрирование» применяется для определения операции разыскания обоих видов интегралов.

Основное правило интегрирования

Оно представляет собой полную противоположность соответствующему правилу для дифференцирования. Как же берутся неопределенные интегралы? Примеры этой процедуры мы рассмотрим на конкретных функциях.

Давайте посмотрим на степенную функцию общего вида:

После того как мы сделали это с каждым слагаемым в выражении интегрируемой функции (если их несколько), мы добавляем постоянную в конце. Напомним, что взятие производной от постоянной величины уничтожает ее, поэтому взятие интеграла от любой функции даст нам восстановление этой постоянной. Мы обозначаем ее С, так как постоянная неизвестна - это может быть любое число! Поэтому мы можем иметь бесконечно много выражений для неопределенного интеграла.

Давайте рассмотрим простые неопределенные интегралы, примеры взятия которых показаны ниже.

Пусть нужно найти интеграл от функции:

f(х) = 4x 2 + 2x - 3.

Начнем с первого слагаемого. Мы смотрим на показатель степени 2 и увеличиваем его на 1, затем делим первый член на результирующий показатель 3. Получаем: 4(x 3) / 3.

Затем мы смотрим на следующий член и делаем то же самое. Так как он имеет показатель степени 1, то результирующий показатель будет 2. Таким образом, мы разделим это слагаемое на 2: 2(x 2) / 2 = x 2 .

Последний член имеет множитель х, но мы просто не видим его. Мы можем представить себе последнее слагаемое как (-3x 0). Это эквивалентно (-3)∙(1). Если мы используем правило интегрирования, мы добавим 1 к показателю, чтобы поднять его до первой степени, а затем разделим последний член на 1. Получим 3x.

Это правило интегрирования работает для всех значений n, кроме n = - 1 (потому что мы не можем разделить на 0).

Мы рассмотрели самые простой пример нахождения интеграла. Вообще же решение интегралов является делом непростым, и в нем хорошим подспорьем является уже накопленный в математике опыт.

Таблицы интегралов

В разделе выше мы видели, что из каждой формулы дифференцирования получается соответствующая формула интегрирования. Поэтому все возможные их варианты уже давно получены и сведены в соответствующие таблицы. Нижеприведенная таблица интегралов содержит формулы интегрирования основных алгебраических функций. Эти формулы нужно знать на память, заучивая их постепенно, по мере их закрепления упражнениями.

Еще одна таблица интегралов содержит основные тригонометрические функции:

Как же вычислить определенный интеграл

Оказывается, сделать это, умея интегрировать, т. е. находить неопределенные интегралы, очень просто. И помогает в этом формула основателей интегро-дифференциального исчисления Ньютона и Лейбница

Согласно ей, вычисление искомого интеграла состоит на первом этапе в нахождении неопределенного, последующем вычислении значения найденной первообразной F(x) при подстановке x, равного сначала верхнему пределу, затем нижнему и, наконец, в определении разности этих значений. При этом константу С можно не записывать. т.к. она пропадает при выполнении вычитания.

Рассмотрим некоторые интегралы с подробным решением.

Найдем площадь участка под одной полуволной синусоидой.

Вычислим заштрихованную площадь под гиперболой.

Рассмотрим теперь интегралы с подробным решением, использующим в первом примере свойство аддитивности, а во втором - подстановку промежуточной переменной интегрирования. Вычислим определенный интеграл от дробно-рациональной функции:

y=(1+t)/t 3 от t=1 до t=2.

Теперь покажем, как можно упростить взятие интеграла введением промежуточной переменной. Пусть нужно вычислить интеграл от (x+1) 2 .

О несобственных интегралах

Мы говорили об определенном интеграле для конечного промежутка от непрерывной на нем функции f(х). Но ряд конкретных задач приводит к необходимости расширить понятие интеграла на случай, когда пределы (один или оба) равны бесконечности, или при разрывной функции. Например, при вычислении площадей под кривыми, асимптотически приближающимися к осям координат. Для распространения понятия интеграла на этот случай, кроме предельного перехода при вычислении Римановой суммы аппроксимирующих прямоугольников, выполняется еще один. При таком двукратном переходе к пределу получается несобственный интеграл. В противоположность ему все интегралы, о которых говорилось выше, называются собственными.

Возвратимся к задаче о площади криволинейной трапеции и определению определенного интеграла. Мы видим, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x), где f(x)0 на отрезке , осью x и прямыми x = a и x = b численно равна определенному интегралу, т. е.

Досих пор мы рассматривали определенный интеграл с постоянными пределами интегрирования a и b. Если изменять, например, верхний предел, не выходя из отрезка , величина интеграла будет меняться. Другими словами, интеграл c переменным верхним пределом представляет собой функцию своего верхнего предела. Таким образом, если мы имеем интеграл

с постояннымнижним пределом а и переменным верхним пределом х, то величина этого интеграла будет функцией верхнего предела х. Обозначим эту функцию через Ф(х), т. е. положим

(2.1)

и назовем ее определенным интегралом с переменным верхним пределом. Геометрически функция Ф(х) представляет собой площадь заштрихованной криволинейной трапеции, если f(x)0 (рис. 2)

Теперь рассмотрим доказательство теоремы, одной из основных теорем математического анализа.

Теорема 3 . Если f(t) – непрерывная функция и

то имеет место равенство

или
(2.2)

Иными словами, производная определенного интеграла от непрерывной функции по переменному верхнему пределу существует и равна значению подынтегральной функции в верхнем пределе.

Доказательство. Возьмем любое значение x и придадим ему приращение x  0 такое, чтобы x + x  , т. е.
. Тогда функция Ф(х) получит новое значение:

Находим приращение функции Ф(х):

Ф = Ф(x+x) – Ф(x) =

Применяя теорему о среднем к последнему интегралу получим:

где С – число, заключенное между числами x и x + x. Отсюда

Если теперь x 0, то c  x и f(c)  f(x) (в силу непрерывности f(x) на ). Поэтому переходя к пределу в последнем равенстве получаем

f ( x ) или
,

что и требовалось доказать.

Следствие. Определенный интеграл с переменным верхним пределом является одной из первообразных для непрерывной подынтегральной функции. Другими словами, для любой непрерывной функции существует первообразная,

Замечание. Интеграл с переменным верхним пределом интегрирования используется при определении многихновых функций, например:

.

3. Формула Ньютона - Лейбница

Как мы уже отмечали, вычисление определенного интеграла методом, основанным на нахождении предела интегральных сумм, как правило, связано с большими трудностями. Поэтому существует другой как правило более удобный метод вычисления определенных интегралов, который основан на тесной связи, существующей между понятиями определенного и неопределенного интеграла. Эту связь выражает следующая

Теорема 4 . Определенный интеграл от непрерывной функции равен разности значений любых еепервообразных для верхнего и нижнего предела интегрирования.

Доказательство. Мы установили, что функция f(x), непрерывная на имеет на этом отрезке первообразную, причем, одной из первообразных является функция

.

Пусть F(x) - любая другая первообразная для функции f(x) на том же отрезке . Так как первообразные Ф(х) и F(х) отличаются на постоянную (см. свойства первообразных), то имеет месторавенство

где С – некоторое число. Подставляя в это равенство значение x = a будем иметь 0 = F (a ) + C , C = - F (a ), т. е.для x  имеем

Полагая x = b, получаем соотношение

(3.1)

Формула (3.1) называется формулой Ньютона-Лейбница. Разность F (b ) – F (a ) принято условно записывать в виде

и тогда формула (3.1) принимает вид

Итак, полученнаянами формула (3.1)с одной стороны, устанавливает связь между определенным и неопределенным интегралами, с другой стороны, она дает простой метод вычисления определенного интеграла:

определенный интеграл от непрерывной функции равен разности значений любой ее первообразной, вычисленной для верхнего и нижнего пределов интегрирования.