Практикум по теории вероятностей и математической статистике. Практикум по решению ключевых задач по теории вероятностей
Данная книга предназначена для студентов, которые не выбрали математику в экономике своей основной специальностью, но готовы применять математические методы в профессиональной деятельности. В книге освещены основные идеи теории вероятностей и математической статистики, необходимые для полноценного освоения эконометрики и смежных экономико-математических дисциплин. В равной степени в учебнике обращено внимание на теорию и на методы решения задач. Изложение теории сопровождается решенными задачами на экономическую тематику и значительным числом содержательных экономико-статистических задач для самостоятельного решения, что может способствовать более легкому восприятию и глубокому усвоению учебного материала.
Шаг 1. Выбирайте книги в каталоге и нажимаете кнопку «Купить»;
Шаг 2. Переходите в раздел «Корзина»;
Шаг 3. Укажите необходимое количество, заполните данные в блоках Получатель и Доставка;
Шаг 4. Нажимаете кнопку «Перейти к оплате».
На данный момент приобрести печатные книги, электронные доступы или книги в подарок библиотеке на сайте ЭБС возможно только по стопроцентной предварительной оплате. После оплаты Вам будет предоставлен доступ к полному тексту учебника в рамках Электронной библиотеки или мы начинаем готовить для Вас заказ в типографии.
Внимание! Просим не менять способ оплаты по заказам. Если Вы уже выбрали какой-либо способ оплаты и не удалось совершить платеж, необходимо переоформить заказ заново и оплатить его другим удобным способом.
Оплатить заказ можно одним из предложенных способов:
- Безналичный способ:
- Банковская карта: необходимо заполнить все поля формы. Некоторые банки просят подтвердить оплату – для этого на Ваш номер телефона придет смс-код.
- Онлайн-банкинг: банки, сотрудничающие с платежным сервисом, предложат свою форму для заполнения.
Просим корректно ввести данные во все поля.
Например, для " class="text-primary">Сбербанк Онлайн требуются номер мобильного телефона и электронная почта. Для " class="text-primary">Альфа-банка потребуются логин в сервисе Альфа-Клик и электронная почта. - Электронный кошелек: если у Вас есть Яндекс-кошелек или Qiwi Wallet, Вы можете оплатить заказ через них. Для этого выберите соответствующий способ оплаты и заполните предложенные поля, затем система перенаправит Вас на страницу для подтверждения выставленного счета.
- Задачи вступительных экзаменов по математике, Нестеренко Ю.В., Олехник С.Н., Потапов М.К.
- Задачи вступительных экзаменов по математике, Нестеренко Ю.В., Олехник С.Н., Потапов М.К., 1980
- Старинные занимательные задачи, Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В., Потапов М.К., 2005
- Планиметрические задачи, Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В., 1992
Описание презентации по отдельным слайдам:
1 слайд
Описание слайда:
2
слайд
Описание слайда:
Содержание Теория Тип 1. Самая простая задача Тип 2. Задачи с бросанием монет Тип 3. Задачи с игральным кубиком Тип 4. Задачи на перекладывание монет Тип 5. Задачи с экзаменационными билетами Тип 6. Задачи с кофейным аппаратом Тип 7. Задачи о стрельбе по мишеням Тип 8. О выступлениях с докладами Тип 9. С процентами Тип10. Разделение на группы Разные задачи Самостоятельная работа
3
слайд
Описание слайда:
Вспомним Теоремы сложения и умножения для двух событий P(A + B) = P(A) + P(B) (для независимых событий) 2) P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) (для зависимых событий) 3) P(AB) = P(A)∙P(B)
4
слайд
Описание слайда:
Вспомним Формула классической вероятности случайных событий: P = N(A) : N, где N – число всех возможных вариантов N(A) – число благоприятных вариантов
5
слайд
Описание слайда:
Запомним Если идёт объединение (U), т.е. союз или, то надо вероятности «+» Если идёт пересечение (∩), т.е. союз и, то надо вероятности «·»
6
слайд
Описание слайда:
В чемпионате по гимнастике участвуют 64 спортсменки: 20 из Японии, 28 из Китая, остальные - из Кореи. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Кореи. Решение. Из Кореи выступают 64 – (20 + 28) = 16 спортсменок. 2) По формуле классической вероятности получим: P = = 16:64 = 1:4 = 0, 25. Ответ: 0,25
7
слайд
Описание слайда:
Задание (решаем в паре) На чемпионате по прыжкам в воду выступают 40 спортсменов, среди них 6 прыгунов из Голландии и 2 прыгуна из Аргентины. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что четырнадцатым будет выступать прыгун из Аргентины. Решение. Ответ: 0,05
8
слайд
Описание слайда:
Тип 2. Задача с бросанием монет В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу. Решение. Способ I. Метод перебора комбинаций. Способ II. Специальная формула вероятности, адаптированная для решения задач с монетами. P = Сn по k: 2ⁿ , где 2ⁿ – число всех возможных исходов, Сnпоk - число сочетаний из n элементов по k, которое вычисляется по формуле Сnk = n! / k!(n- k)! Т.к. n=2; k=1, то ответ: 0,25
9
слайд
Описание слайда:
Задание В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу. Решение (Способ II): С3по0 = 3!/0!(3-0)! = 1 P = С3по0: 2³ = 1:8 = 0,125 Ответ: 0,125
10
слайд
Описание слайда:
Тип 3. Задача с игральным кубиком Игральный кубик бросили один раз. Какова вероятность того, что выпадет не менее 4 очков? Решение. Бросаем игральный кубик один раз => 6 исходов. Значит, у данного действия (бросание одного игрального кубика 1 раз) всего имеется n = 6 возможных исходов. Выписываем все благоприятные исходы: 4; 5; 6 Значит, k = 3 – число благоприятных исходов. По формуле классической вероятности имеем: P = 3: 6 = 0,5. Ответ: 0,5
11
слайд
Описание слайда:
Задание В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 5 очков. Результат округлите до сотых. Кубик бросаем 2 раза, значит всего имеется N = 6² = 36 возможных исходов. Выписываем все благоприятные исходы в виде пар чисел: (1;4), (2;3), (3;2), (4;1). Значит, N(A) = 4 – число благоприятных исходов. По формуле классической вероятности имеем: P = 4:36 = 1/9 ≈ 0,11111…. Ответ: 0,11
12
слайд
Описание слайда:
Задание В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 15 очков. Результат округлите до сотых. Решение. У данного действия (бросание трех игральных костей) всего имеется N = 6³ = 216 возможных исходов. Выписываем все благоприятные исходы в виде троек чисел: (6;6;3), (6;3;6), (3;6;6), (5;5;5), (6;5;4), (5;4;6), (4;6;5). Значит, N(A) = 7 – число благоприятных исходов. По формуле классической вероятности имеем: P =7: 216 ≈ 0,032…. Ответ: 0,03
13
слайд
Описание слайда:
Задание (решаем в паре) В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых. Решение. Ответ: 0,07
14
слайд
Описание слайда:
Тип 4. Задача с перекладыванием монет В кармане у Андрея было 4 монеты по 2 рубля и 2 монеты по 5 рублей. Он, не глядя, переложил 3 монеты в другой карман. Найти вероятность того, что обе монеты по 5 рублей лежат в одном кармане. Решение. Всего у Андрея было: 4 + 2 = 6 монет. 3 (переложенные) монеты можно выбрать из 6 (имеющихся) монет: С6 3 =6!/3!·(6-3)!=20 (способами). Т.е. N = 20. 2 монеты по 5 рублей выбираем из двух пятирублевых монет: 2! = 2 (способами).
15
слайд
Описание слайда:
3 монеты из 4-х монет по 2рубля выбираем: С4по3 =4!/3!(4-3)! = 4(способами). По формуле классической вероятности и правилу произведения получим: P = 2·4 / 20 = 0,4. Ответ: 0,4
16
слайд
Описание слайда:
Задание (решаем в паре) В кармане у Ольги было 6 монет по 1 рублю и 2 монеты по 5 рублей. Она, не глядя, переложила 4 монеты в другой карман. Найти вероятность того, что обе монеты по 5 рублей лежат в одном кармане. Ответ округлите до сотых. Решение. Ответ: 0,43
17
слайд
Описание слайда:
Тип 5. Задача с экзаменационными билетами На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,1. Вероятность того, что это вопрос на тему «Тригонометрия», равна 0,35. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем. Решение. Если А - вопрос на тему «Вписанная окружность», В - вопрос на тему «Тригонометрия», и события А и В – несовместны. Тогда Р(А+В)= Р(А)+Р(В) = = 0,1 + 0,35 = 0,45
18
слайд
Описание слайда:
Задание Программа экзамена содержит 30 вопросов. Студент знает 20 из них. Каждому студенту предлагают 2 вопроса, которые выбираются случайным образом. Отличная оценка ставится, если студент правильно ответил на оба вопроса. Какова вероятность получения «5»? Ответ округлить до сотых. Решение.
19
слайд
Описание слайда:
Задание (решаем в паре) На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,1. Вероятность того, что это вопрос на тему «Тригонометрия», равна 0,25. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем. Решение. Ответ: 0,35
20
слайд
Описание слайда:
Тип 6. Задача с кофейными автоматами В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,2. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,16. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах. Решение. А = {кофе закончится в первом автомате} В = {кофе закончится во втором автомате} С = A U B = {кофе закончится хотя бы в одном автомате} По условию: Р(А) = Р(В) = 0,2, Р(А ∩ В) = 0,16 По смыслу задачи события А и В являются совместными. По формуле сложения вероятностей совместных событий имеем: Р(С) = Р(A U B) = Р(А) + Р(В) – Р(А ∩ В) = = 0,2 + 0,2 – 0,16 = 0,24. Р(A U B) = 1 – 0,24 = 0,76. Ответ: 0,76
21
слайд
Описание слайда:
Задание (решаем в паре) В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,35. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,2. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах. Решение. Ответ: 0,5
22
слайд
Описание слайда:
Тип 7. Задача о стрельбе по мишеням Биатлонист 4 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,85. Найдите вероятность того, что биатлонист первые 2 раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых. Решение. Вероятность попадания = 0,85. Вероятность промаха = 1 – 0,85 = 0,15. А = {попадание, попадание, промах, промах} События независимые. По формуле умножения вероятностей: Р(А) = 0,85·0,85·0,15·0,15 = =0,7225·0,0225 = 0,01625625 ≈ 0,02. Ответ: 0,02
23
слайд
Описание слайда:
Задание (решаем в паре) Биатлонист 8 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые 5 раз попал в мишень, а последние три промахнулся. Результат округлите до сотых. Решение. Ответ:
24
слайд
Описание слайда:
Тип 8. Задача о выступлениях Конкурс исполнителей проводится 5 дней. Всего заявлено 50 выступлений – по одному из каждой страны. В первый день 26 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями, Порядок выступлений определяет жеребьевка. Какова вероятность, что выступление представителя из России состоится в третий день конкурса. Решение. N = 50 N(A)=(50-26) : 4 = 6 => Р(А)= 6: 50=3/25 Ответ: 3/25=0,12
25
слайд
Описание слайда:
Задание (решаем в паре) Конкурс исполнителей проводится 5 дней. Всего заявлено 80 выступлений - по одному от каждой страны. Исполнитель из России тоже участвует в конкурсе. В первый день запланировано 8 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что исполнитель из России будет выступать в третий день конкурса? Решение. Ответ: 0,225
26
слайд
Описание слайда:
Тип 9. С процентами Две фабрики выпускают одинаковые стёкла. Первая фабрика выпускает 30% этих стёкол, а вторая-70%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стёкол, а вторая -4%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется качественным. Решение. 30%= 0,3 70%= 0,7 Качес. Качес. Брак Брак 3%= 0,03 4%= 0,04 0,97 0,96 События независимые => Р(А)=Р1+Р2= 0,3·0,97+0,7·0,96 = = 0,291 + 0,672 = 0,963 1 2
27
слайд
Описание слайда:
Задание В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 30%. Найдите вероятность того, что в случайный момент все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга) Решение. + - 30%=0,3 => 70%=0,7 Независимые события => Р = Р(А+В+С)= = Р(А)+Р(В)+Р(С)= = 0,3+0,3+0,3=0,9
28
слайд
Описание слайда:
Задание Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 60% яиц из первого хозяйства – яйца высшей категории, а во втором хозяйстве – 30% яиц высшей категории. Всего высшей категории получается 54% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из второго хозяйства. (1-х) Р=(х) 1 2 агрофирма В В н/в н/в 60%=0,6 30%=0,3 54%=0,54 Составим уравнение: 0,6·(1-х) + 0,3·х = 0,54 Ответ: 0,2 <=
29
слайд
Описание слайда:
Задание (решаем в паре) Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства – яйца высшей категории, а во втором хозяйстве – 20% яиц высшей категории. Всего высшей категории получается 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства Решение. Ответ: 0,75
30
слайд
Описание слайда:
Тип 10. Деление на группы В классе 21 человек. Среди них два друга Андрей и Дима. Класс случайным образов делится на 7 групп, по 3 человека в каждой группе. Какова вероятность того, что Андрей и Дима окажутся в одной группе. Решение. Если взять А., то N=21-1=20. Т.к. группа из 3-х человек, то для Д. остаётся только 2 места, т.е. N(А)=2. Р = N(А):N =2:20=1/10 = 0,1
31
слайд
Описание слайда:
Задание В чемпионате по бадминтону участвуют 26 спортсменов, среди которых 10 – из России и в том числе Руслан Орлов. Перед началом первого тура чемпионата участников разбивают на игровые пары с помощью жребия. Какова вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с кем-нибудь из России. Решение. N = 26 -1=25 N(A)(т.е. из России)= 10-1=9 Р(А)= 9: 25 =9/25=0,36 Ответ: 0,36
32
слайд
Описание слайда:
Задание В студенческой группе (12 девушек и 8 юношей) разыгрываются 5 зарубежных путевок. Какова вероятность того, что путевки получат 3 девушки и 2 юноши? Ответ округлить до сотых. Решение. Всего 20 человек
33
слайд
Описание слайда:
Задание (решаем в паре) В классе 33 ученика, среди них две подруги – Галя и Таня. Класс случайным образом разбивают на 3 равные группы. Какова вероятность того, что подруги окажутся в одной группе. Решение.
34
слайд
Описание слайда:
Разные задачи (о сейфе) Преступник знает, что шифр сейфа составлен из цифр 1,3,7,9, но не знает в каком порядке их набирать. Какова вероятность того, что преступник откроет сейф с первой попытки? Решение. N=P4=4!=24 N(A)= 1 P(A)= 1: 24 = 0,041…=0,04 Ответ: 0,04
35
слайд
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию РФ
Костромской государственный технологический университет
ПРАКТИКУМ
Формула Муавра – Лапласа
Технология решения задачи по алгоритму
Задачи для тренинга
1. Вероятность заболевания ОРЗ во время эпидемии равна 0,3. Найти вероятность того, что из 500 сотрудников вуза во время эпидемии заболеют 50%.
2. Вероятность того, что зашедший в ресторан посетитель сделает заказ, равна 0,8. Определить вероятность того, что из 100 посетителей ровно 75 сделают заказ.
3. Установлено, что виноградник поражен вредителями в среднем на 10%. Определить вероятность того, что из 10 проверенных кустов винограда один будет поражен. Вычислить вероятности по формулам Бернулли, Пуассона, Лапласа. Сравнить результаты и сделать выводы.
Задачи для тренинга по теме «Определение вероятности»
1. Брошена игральная кость. Найти вероятность того, что на ее верхней грани появится: а) шесть очков; б) нечетное количество очков; в) не менее четырех очков; г) не более двух очков.
2. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что: а) на обеих костях появится одинаковое количество очков; б) сумма выпавших очков равна пяти, а произведение шести; в) сумма выпавших очков не превосходит шести; г) произведение числа очков делится на шесть.
3. В цехе работают 6 мужчин и 4 женщины. Наудачу отобраны 7 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся 3 женщины.
4. В ящике находятся 90 годных и 10 дефектных деталей. Найти вероятность того, что среди двух наугад вынутых из ящика деталей будет одна дефектная.
5. Студент знает 24 из 30 вопросов программы. Найти вероятность того, что он ответит на два вопроса из трех, содержащихся в билете.
6. В лотерее участвуют 200 билетов, из них крупные выигрыши приходятся на 10 билетов. Найти вероятность того, что из двух купленных билетов на один выпадет крупный выигрыш.
7. В коробке находятся 18 красных и 16 зеленых шаров. Наудачу извлекают два шара. Найти вероятность того, что извлеченные шары разного цвета.
8. В ящике имеется 20 деталей, из которых 15 окрашены. Наудачу извлечены 4 детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными.
9. В сборной команде университета 10 студентов механического факультета , 8 – технологического и 8 – юридического. Тренер выставляет на игру случайным образом отобранных 6 спортсменов. Найти вероятность того, что среди них 2 с механического факультета, 2 – с технологического и 2 – с юридического?
10. На экспертизу поступили три партии одинаковых золотых изделий – по 20 штук. В первой коробке было одно бракованное изделие, во второй – два, в третьей – четыре. Из каждой коробки наугад извлекают по одному изделию. Найти вероятность того, что окажутся бракованными: а) все три изделия; б) одно изделие; в) два изделия; г) хотя бы одно изделие?
11. В ящике 10 красных и 6 синих одинаковых по форме пуговиц. Наудачу вынимаются две пуговицы. Какова вероятность того, что пуговицы будут одного цвета?
12. В урне 25 белых и 20 черных шаров. На удачу извлекают 2 шара. Какова вероятность тога, что оба шара будут одного цвета?
13. В партии их 10 изделий 2 бракованных. Наугад выбирают 3 изделия. Определить вероятность того, что среди этих изделий будет хотя бы одно бракованное.
14. В лотерее из 200 билетов четверть выигрышных. Девушка покупает 3 билета. С какой вероятностью можно сказать, что из купленных билетов хотя бы 2 выигрышных?
15. В отрезке АВ длины 5 случайно появляется точка С . Определить вероятность того, что расстояние от точки С до А превосходит 2.
16. В прямоугольном броневом щите размером 2 на 1 метр имеется невидимая для противника амбразура размером 10 на 10 см. Определить вероятность того, что пуля, попавшая в щит, попадет в амбразуру, если попадание в любую точку щита равновозможно.
17. В круг радиусом 5 вписан треугольник наибольшей площади. Определить вероятность попадания в треугольник точки, случайно брошенной в круг.
Задачи для тренинга по теме «Основные теоремы вероятности»
1. Произведен залп из двух орудий по мишени. Вероятность попадания из первого орудия равна 0,85, из второго – 0,91. Найти вероятность поражения цели.
2. В соревнованиях по бегу участвуют 20 перворазрядников и 5 мастеров спорта. На стартовую позицию по жребию последовательно вызываются 2 участника. Найти вероятность того, что оба участника соревнований мастера спорта.
3. Вероятность получить высокие дивиденды по акциям на первом предприятии – 0,2, на втором – 0,32, на третьем – 0,15. Определить вероятность того, что акционер, имеющий акции всех трех предприятий, получит высокие дивиденды: а) на всех предприятиях; б) только на одном предприятии; в) хотя бы на одном предприятии.
4. Проверяются изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартное равна 0.9. Найти вероятность того, что из трех проверенных изделий только одно стандартное.
5. Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него сбросить 3 бомбы, вероятности попадания которых соответственно 0,4, 0,5 и 0,6.
6. Вероятность успешной сдачи экзамена по математике у студента А, студента В и студента С соответственно равны 0.7, 0.9 и 0.5. Найти вероятность того, что: а) все три студента успешно сдадут экзамен; б) только один студент сдаст экзамен; в) только два сдадут экзамен; г) ни один не сдаст экзамен.
7. Рабочий обслуживает 4 станка. Вероятность того, что в течение смены первый станок не потребует внимания рабочего, равна 0,7, для второго – 0,8, для третьего – 0,9 и для четвертого – 0,85. Найти вероятность того, что в течение смены: а) только один станок потребует внимания; б) ни один станок не потребует внимания; в) только три станка потребуют внимания; г) все 4 станка потребуют внимания.
8. Вероятность безотказной работы нового компьютера равна 0.95, а старого 0.75. Найти вероятность того, что а) только один компьютер выйдет из строя; б) оба выйдут из строя; в) ни один не выйдет из строя.
9. Вероятность того, что в течение гарантийного срока выйдет из строя пылесос, равна 0,15; выйдет из строя телевизор – 0,2. Какова вероятность того, что в течение гарантийного срока: а) оба прибора выйдут из строя; б) хотя бы один прибор выйдет из строя?
10. Прибор состоит из двух элементов, работающих независимо. Вероятность выхода из строя первого элемента при включении равна 0,05, второго – 0,08. Найти вероятность того, что при включении прибора: а) оба элемента выйдут из строя; б) хотя бы один элемент выйдет из строя.
11. Для сигнализации об аварии на автоматической линии установлены два независимо работающих устройства. Первое устройство в случае аварии срабатывает с вероятностью 0,85; второе – 0,95. Какова вероятность того, что в случае аварии сработает: а) только первое устройство; б) хотя бы одно устройство?
12. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0,7; вторым стрелком – 0,6. Стрелки сделали по одному выстрелу. Какова вероятность того, что в цель попадет: а) только один стрелок; б) хотя бы один стрелок?
13. Два независимо работающих станка требуют внимания наладчика в течение смены с вероятностью р1 = 0,2 и р2 = 0,25. Найти вероятность того, что в течение смены внимания наладчика потребуют: а) оба станка; б) хотя бы один станок.
14. В первом ящике 10 белых и 20 черных шаров, во втором ящике 12 черных и 18 белых шаров. Из каждого ящика наудачу вынули по одному шару. Какова вероятность того, что среди вынутых шаров: а) один шар белый; б) хотя бы один шар белый?
15. Узел содержит 3 независимо работающих детали. Вероятность отказа деталей соответственно равны 0,1, 0,2 и 0,3. Найти вероятность отказа узла, если для этого достаточно, чтобы отказала хотя бы одна деталь.
16. Абитуриент сдает два вступительных экзамена по математике и иностранному языку. Вероятность получения высшего балла по математике 0,6, а по иностранному языку – 0,8. Найти вероятность того, что абитуриент получит: а) хотя бы один высший балл; б) получит один высший балл.
17. Два автомобиля участвуют в гонках по пересеченной местности. Вероятность того, что первый автомобиль пройдет трассу без поломок, равна 0,65, для второго автомобиля эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что без поломок пройдет трассу: а) только один автомобиль; б) хотя бы один автомобиль.
18. На 100 лотерейных билетов приходится 5 выигрышных. Какова вероятность выигрыша хотя бы по одному билету, если приобретено: а) 2 билета; б) 4 билета?
Задачи для тренинга по теме
«Формула полной вероятности и формула Байеса»
1. При исследовании жирности молока коров все стадо было разбито на три группы. В первой группе оказалось 70%, во второй 23% и в третьей 7% всех коров. Вероятность того, что молоко, полученное от отдельной коровы, имеет не менее 4% жирности, равна 0,6; 0,35 и 0,1 для каждой группы коров соответственно.
1) Определить вероятность того, что для взятой наудачу коровы, жирность молока составит не менее 4%.
2) Взятая наудачу корова дает молоко жирностью не менее 4%. Найти вероятность того, что эта корова из первой группы.
2. Стрелковое отделение получило 10 винтовок, из которых 8 пристрелянных, 2 – нет. Вероятность попадания в цель из пристрелянной винтовки равна 0,6, а из не из пристрелянной – 0,4.
1) Какова вероятность того, что стрелок из наудачу взятой винтовки попадет в цель при одном выстреле?
2) Стрелок поразил мишень. Какова вероятность, что он стрелял из пристрелянной винтовки?
3. В первой бригаде производится в три раза больше продукции, чем во второй. Вероятность того, что производимая продукция окажется стандартной для первой бригады, равна 0,7, для второй – 0,8.
1) Определить вероятность того, что взятая наугад единица продукции будет стандартной.
2) Взятая наугад единица продукции оказалась стандартной. Какова вероятность, что она из второй бригады?
4. В данный район изделия поставляются тремя фирмами в соотношении 5:8:7. Среди продукции первой фирмы стандартные изделия составляют 90%, второй – 85%, третьей – 75%.
1) Найти вероятность того, что приобретенное изделие оказалось стандартным.
2) Приобретенное изделие оказалось стандартным. Какова вероятность того, что оно изготовлено третьей фирмой?
5. Страховая компания разделяет застрахованных по классам риска: I класс – малый риск, II класс – средний, III класс – большой. Среди этих клиентов 50% – первого класса риска, 30% – второго и 20% – третьего. Вероятность необходимости выплачивать страховое вознаграждение для I класса риска равна 0,01, II – 0,03, III – 0,08.
1) Какова вероятность того, что застрахованный получит денежное вознаграждение за период страхования?
2) Какова вероятность, что получивший денежное вознаграждение застрахованный относится к группе малого риска?
6. Для приема зачета по курсу «Математика» преподаватель заготовил 50 задач: 20 – по дифференциальному исчислению, 20 – по интегральному исчислению, 10 – по теории вероятностей. Для получения зачета необходимо решить первую доставшуюся задачу. Студент умеет решать лишь 18 задач по дифференциальному исчислению, 15 – по интегральному исчислению и 5 – по теории вероятностей.
1) Какова вероятность, что студент получит зачет?
2) Известно, что студент сдал зачет. Определить вероятность того, что он решил задачу по теории вероятностей.
Задачи для тренинга по теме «Повторные независимые испытания»
1. Вероятность заболевания гриппом во время эпидемии равна 0.4. Найти вероятность того, что из 10 сотрудников фирмы заболеют ровно 5.
2. Монета бросается 5 раз. Найти вероятность того, что орел выпадает два раза.
3. Всхожесть семян ржи составляет 90%. Чему равна вероятность того, что из 7 семян взойдет 5.
4. В магазин вошли 10 покупателей. Вероятность совершить покупку для каждого вошедшего одна и та же и равна 0,2. Найти вероятность того, что 6 из них совершат покупку.
5. Принимая вероятность рождения мальчика равной 0,51, найти вероятность того, что среди 6 новорожденных: а) 4 мальчика; б) не более двух мальчиков.
6. Стрелок производит 5 выстрелов по мишени. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что цель будет поражена: а) 4 раза; б) более трех раз.
7. Вероятность того, что поезд опоздает к месту назначения более чем на 5 минут для каждого рейса постоянна и равна 0,4. Найти вероятность того, что из 5 рейсов поезд опоздает более чем на 5 минут: а) в 3 рейсах; б) менее чем в 3 рейсах.
8. Вероятность того, что лампочка перегорит менее чем через 100 часов непрерывной работы, равна 0,25. Какова вероятность того, что из 4-х купленных лампочек менее чем через 100 часов перегорят: а) ровно 3 лампочки; б) более 2 лампочек.
9. Игральный кубик подбрасывают 8 раз. Найти вероятность того, что шесть очков выпадает: а) ровно 5 раз; б) менее 5 раз.
10. Вероятность получения удачного результата при проведении сложного химического опыта равна 2/3. Проведено 7 опытов. Найти вероятность того, что удачный результат получен: а) ровно в 3 опытах; б) более чем в 5 опытах.
11. Вероятность того, что в течение одной смены возникнет неполадка станка, равна 0,1. Найти вероятность того, что за 6 смен неполадка станка возникнет: а) ровно два раза; б) менее 4 раз.
12. Вероятность того, что токарь выточит качественную деталь, равна 0,85. Определить вероятность того, что из 5 деталей окажется: а) ровно 4 качественных; б) менее 3 некачественных.
13. Вероятность того, что баскетболист при броске попадет в корзину, равна 0,3. Определить вероятность того, что, сделав 6 бросков, он попадет: а) ровно 4 раза; б) не менее 4 раз.
14. При передаче сообщения вероятность искажения одного знака равна 0,01. Определить вероятность того, что сообщение из 10 знаков содержит: а) ровно 3 искажения; б) не более 2 искажений.
15. Известно, при транспортировке и разгрузке керамической отделочной плитки повреждается 2,5%. Найти вероятность того, что в партии из 200 плиток поврежденными окажется: а) ровно 4; б) не более 3.
16. Вероятность того, что при сортировке изделий одно из них будет разбито. Равна 0,005. найти вероятность того, что из 300 изделий разбитыми окажутся: а) три изделия; б) не более двух.
17. На факультете учатся 800 студентов. Вероятность дня рождения каждого студента в данный день равна 1/365. Найти вероятность того, что найдутся 3 студента с одним и тем же днем рождения.
18. Численность работников предприятия составляет 500 человек. Вероятность невыхода на работу из-за болезни равна 0,01 для каждого работника. Определить вероятность того, что в ближайший день не выйдет на работу хотя бы один из работников.
19. Всхожесть семян составляет 80%. Какова вероятность того, что из 100 посеянных семян взойдут 76 ?.
20. Известно, что 30% призывников имеют 42 размер обуви. Определить вероятность того, что из 200 прибывших новобранцев половине потребуется обувь 42 размера.
Вопросы для самопроверки
· на тему «Элементы комбинаторики»
1. Что изучает комбинаторика?
2. Сформулируйте правила сложения и умножения в комбинаторных задачах.
3. Что называется размещением из n элементов по k элементам?
4. «Два размещения различны, если….» (продолжить фразу).
5. Формула для вычисления числа размещений из n по k .
6. Что называется сочетанием из n элементов по k элементам?
7. «Два сочетания различны, если …» (продолжить фразу).
8. Формула для вычисления числа сочетаний из n по k .
9. Что называется перестановкой n -элементного множества?
10. «Две перестановки различны, если…» (продолжить фразу).
11. Формула для вычисления числа перестановок n-элементного множества.
· на тему «Случайные события»
1. Что изучает теория вероятностей?
2. Сформулируйте понятие стохастического эксперимента. Приведите пример.
3. Что такое элементарное событие, пространство элементарных событий? Приведите примеры.
4. Сформулируйте определение случайного, достоверного, невозможного событий. Приведите примеры.
5. Что называется суммой, произведением, разность событий?
6. Какие события образуют полную группу событий?
7. Какие события называются противоположными?
8. Сформулируйте классическое определение вероятности события.
9. Сформулируйте геометрическое определение вероятности события.
11. Сформулируйте статистическое определение вероятности события.
12. Какие события называются совместными, несовместными? Приведите примеры.
13. Какие события называются зависимыми, независимыми? Приведите примеры.
14. Что называется условной вероятностью события?
15. Как вычисляется вероятность суммы двух событий, если они несовместны, совместны?
16. Как вычисляется вероятность произведения двух событий, если они независимы, зависимы?
17. Как вычисляется вероятность появления хотя бы одного события.
18. Формула полной вероятности. При каких условиях она справедлива?
19. Формула Байеса. При каких условиях она справедлива?
20. Формула Бернулли. При каких условиях она справедлива?
21. Формула Пуассона. При каких условиях она справедлива?
22. Формула Муавра-Лапласа. При каких условиях она справедлива?
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Где отсутствуют точные знания,
там действую догадки,
а из 10 догадок 9 – ошибки.
М. Горький
Обсудим основные источники ошибок. Все ошибки можно разбить на 3 группы:
1) арифметические ошибки при вычислениях;
2) ошибки, связанные с незнанием или неправильным использованием формул;
3) ошибки, допускаемые из-за незнания алгоритмов решения задач конкретного типа.
Группы ошибок | Средства борьбы |
Арифметические ошибки при вычислениях | 1. Не злоупотребляйте вычислениями в уме. 2. Не торопитесь «покончить» с задачей. 3. Помните поговорку: « Если ты делаешь работу быстро, но плохо, то все забудут, что ты делал ее быстро, но будут помнить, что ты сделал ее плохо. Если ты делаешь работу медленно, но хорошо, то все забудут, что ты делал ее медленно, но будут помнить, что ты сделал ее хорошо» |
Ошибки, связанные с незнанием или неправильным использованием формул | 1. Учите формулы. 2. Анализируйте постановку задач. |
Ошибки, допускаемые из-за незнания алгоритмов решения задач конкретного типа | 1. Учите алгоритмы решений задач. 2. Оформляйте решение задач так, чтобы не возникало вопросов и неясностей. |
то это потому, что стояли на плечах гигантов.
И. Ньютон
1. Кремер вероятностей и математическая статистика / . – М. : Юнити, 2006. – 573 с.
2. Горелова вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением EXCEL / , . – Ростов н/Д. : Феникс, 2005. – 477 с.
3. Богатов лекций и практикум по математике для юристов / , . – М. : ПРИОР, 2003. – 442 с.
4. Гмурман к решению задач по теории вероятностей и математической статистике / . – 3-е изд. – М. : Высшая школа, 1979. – 250 с.
5. Математика: краткий курс теории вероятностей. – Современный гуманитарный университет. – М. : Юнита 4, 1998. – 92 с.
6. Жалдак вероятностей с элементами информатики / , . – Киев. : Высшая школа, 1989. – 261 с.
По кнопке выше «Купить бумажную книгу» можно купить эту книгу с доставкой по всей России и похожие книги по самой лучшей цене в бумажном виде на сайтах официальных интернет магазинов Лабиринт, Озон, Буквоед, Читай-город, Литрес, My-shop, Book24, Books.ru.
По кнопке «Купить и скачать электронную книгу» можно купить эту книгу в электронном виде в официальном интернет магазине «ЛитРес» , и потом ее скачать на сайте Литреса.
По кнопке «Найти похожие материалы на других сайтах» можно искать похожие материалы на других сайтах.
On the buttons above you can buy the book in official online stores Labirint, Ozon and others. Also you can search related and similar materials on other sites.
Предлагаемая вниманию читателя книга является задачником-практикумом по курсу «Теория вероятностей». Она написана в соответствии с программой этого курса и предназначена для студентов-заочников физико-математических факультетов педагогических институтов.
Задачник состоит из трех глав, которые в свою очередь разбиты на параграфы. В начале каждого параграфа предельно кратко приводятся основные теоретические сведения, затем даются подробно разобранные типовые примеры и, наконец, предлагаются задачи для самостоятельного решения, снабженные ответами и указаниями. Задачник содержит также тексты лабораторных работ, выполнение которых поможет студенту-заочнику лучше усвоить основные понятия математической статистики.
Примеры.
В каких из следующих примеров указаны все возможные исходы испытания:
а) выигрыш, проигрыш в шахматной партии;
б) выпадение (в указанном порядке) герба - герба, герба - цифры, цифры - цифры при двукратном подбрасывании монеты;
в) попадание, промах при одном выстреле;
г) появление 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков при однократном бросании кости?
Укажите, какие из следующих событий являются: 1) случайными, 2) достоверными, 3) невозможными:
а) выигрыш по одному билету автомотолотереи;
б) извлечение из урны цветного шара, если в ней находятся 3 синих и 5 красных шаров;
в) получение абитуриентом 25 баллов на вступительных экзаменах в институте при сдаче четырех экзаменов, если применяется пятибалльная система оценок;
г) извлечение «дубля» из полной игры в домино;
д) выпадение не более шести очков на верхней грани игрального кубика.
Какие из следующих пар событий являются несовместными:
а) наудачу выбранное натуральное число от 1 до 100 включительно: делится на 10; делится на 11;
б) нарушение в работе: первого; второго мотора летящего самолета;
в) попадание; промах при одном выстреле;
г) выигрыш; проигрыш в шахматной партии;
д) наудачу выбранное натуральное число от 1 до 25 включительно является: четным; кратным трем?
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
Глава I. События и их вероятности
§1. Первоначальные понятия теории вероятностей
§2. Классическое определение вероятности
§3. Алгебра событий. Основные понятия
§4. Вычисление вероятностей
§5. Правила суммы и произведения
§б. Формула включений и исключений
§7. Размещения с повторениями и без повторений. Перестановки и сочетания без повторений
§8. Перестановки и сочетания с повторениями
§9. Применение формул комбинаторики к вычислению вероятностей
§10. Условные вероятности, формула полной вероятности, теорема Байеса
§11. Повторные независимые испытания с двумя исходами
§12. Теоремы Лапласа и Пуассона
Глава II. Случайные величины
§1. Распределение вероятностей дискретных случайных величин
§2. Числовые характеристики дискретных случайных величин
§3. Интегральная функция распределения вероятностей случайной величины
§4. Плотность вероятности. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
§5. Равномерное распределение вероятностей
§6. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел
§7. Нормальное распределение вероятностей
Глава III. Элементы математической статистики
§1. Первоначальные понятия математической статистики
§2. Числовые характеристики вариационного ряда
§3. Оценка вероятности по относительной частоте. Доверительный интервал
§4. Оценка параметров в статистике
§5. Статистические методы изучения зависимостей между случайными величинами
Указания к решению задач
Ответы
Приложения.
Следующие учебники и книги: