Формула раскрытия квадратного уравнения. Решение квадратных уравнений, формула корней, примеры
5х (х - 4) = 0
5 х = 0 или х - 4 = 0
х = ± √ 25/4
Научившись решать уравнения первой степени, безусловно, хочется работать с другими, в частности, с уравнениями второй степени, которые по-другому называются квадратными.
Квадратные уравнения - это уравнения типа ах ² + bx + c = 0, где переменной является х, числами будут - а, b, с, где а не равняется нулю.
Если в квадратном уравнении один или другой коэффициент (с или b) будет равняться нулю, то это уравнение будет относиться к неполному квадратному уравнению.
Как решить неполное квадратное уравнение, если ученики до сих пор умели решать только уравнения первой степени? Рассмотрим неполные квадратные уравнения разных видов и несложные способы их решения.
а) Если коэффициент с будет равен 0, а коэффициент b не будет равен нулю, то ах ² + bх + 0 = 0 сводится к уравнению вида ах ² + bх = 0.
Чтобы решить такое уравнение, нужно знать формулу решения неполного квадратного уравнения, которая заключается в том, чтобы левую часть его разложить на множители и позже использовать условие равенства произведения нулю.
Например, 5х ² - 20х = 0. Раскладываем левую часть уравнения на множители, при этом совершая обычную математическую операцию: вынос общего множителя за скобки
5х (х - 4) = 0
Используем условие, гласящее, что произведения равны нулю.
5 х = 0 или х - 4 = 0
Ответом будет: первый корень - 0; второй корень - 4.
б) Если b = 0, а свободный член не равен нулю, то уравнение ах ² + 0х + с = 0 сводится к уравнению вида ах ² + с = 0. Решают уравнения двумя способами: а) раскладывая многочлен уравнения в левой части на множители; б) используя свойства арифметического квадратного корня. Такое уравнение решается одним из методов, например:
х = ± √ 25/4
х = ± 5/2. Ответом будет: первый корень равен 5/2; второй корень равен - 5/2.
в) Если b будет равен 0 и с будет равен 0, то ах ² + 0 + 0 = 0 сводится к уравнению вида ах ² = 0. В таком уравнении x будет равен 0.
Как видите, неполные квадратные уравнения могут иметь не более двух корней.
Квадратное уравнение – решается просто! *Далее в тексте «КУ». Друзья, казалось бы, что может быть в математике проще, чем решение такого уравнения. Но что-то мне подсказывало, что с ним у многих есть проблемы. Решил посмотреть сколько показов по запросу в месяц выдаёт Яндекс. Вот что получилось, посмотрите:
Что это значит? Это значит то, что около 70000 человек в месяц ищут данную информацию, при чём это лето, а что будет среди учебного года — запросов будет в два раза больше. Это и неудивительно, ведь те ребята и девчата, которые давно окончили школу и готовятся к ЕГЭ, ищут эту информацию, также и школьники стремятся освежить её в памяти.
Несмотря на то, что есть масса сайтов, где рассказывается как решать это уравнение, я решил тоже внести свою лепту и опубликовать материал. Во-первых, хочется чтобы по данному запросу и на мой сайт приходили посетители; во-вторых, в других статьях, когда зайдёт речь «КУ» буду давать ссылку на эту статью; в-третьих, расскажу вам о его решении немного больше, чем обычно излагается на других сайтах. Приступим! Содержание статьи:
Квадратное уравнение – это уравнение вида:
где коэффициенты a, b и с произвольные числа, при чём a≠0.
В школьном курсе материал дают в следующем виде – условно делается разделение уравнений на три класса:
1. Имеют два корня.
2. *Имеют только один корень.
3. Не имеют корней. Здесь стоит особо отметить, что не имеют действительных корней
Как вычисляются корни? Просто!
Вычисляем дискриминант. Под этим «страшным» словом лежит вполне простая формула:
Формулы корней имеют следующий вид:
*Эти формулы нужно знать наизусть.
Можно сразу записывать и решать:
Пример:
1. Если D > 0, то уравнение имеет два корня.
2. Если D = 0, то уравнение имеет один корень.
3. Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней.
Давайте рассмотрим уравнение:
По данному поводу, когда дискриминант равен нулю, в школьном курсе говорится о том, что получается один корень, здесь он равен девяти. Всё правильно, так и есть, но…
Данное представление несколько несколько некорректно. На самом деле получается два корня. Да-да, не удивляйтесь, получается два равных корня, и если быть математически точным, то в ответе следует записывать два корня:
х 1 = 3 х 2 = 3
Но это так – небольшое отступление. В школе можете записывать и говорить, что корень один.
Теперь следующий пример:
Как нам известно – корень из отрицательного числа не извлекается, поэтому решения в данном случае нет.
Вот и весь процесс решения.
Квадратичная функция.
Здесь показано, как решение выглядит геометрически. Это крайне важно понимать (в дальнейшем в одной из статей мы подробно будем разбирать решение квадратного неравенства).
Это функция вида:
где х и у — переменные
a, b, с – заданные числа, при чём a ≠ 0
Графиком является парабола:
То есть, получается, что решая квадратное уравнение при «у» равном нулю мы находим точки пересечения параболы с осью ох. Этих точек может быть две (дискриминант положительный), одна (дискриминант равен нулю) и ни одной (дискриминант отрицательный). Подробно о квадратичной функции можете посмотреть статью у Инны Фельдман.
Рассмотрим примеры:
Пример 1: Решить 2x 2 +8 x –192=0
а=2 b=8 c= –192
D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600
Ответ: х 1 = 8 х 2 = –12
*Можно было сразу же левую и правую часть уравнения разделить на 2, то есть упростить его. Вычисления будут проще.
Пример 2: Решить x 2 –22 x+121 = 0
а=1 b=–22 c=121
D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0
Получили, что х 1 = 11 и х 2 = 11
В ответе допустимо записать х = 11.
Ответ: х = 11
Пример 3: Решить x 2 –8x+72 = 0
а=1 b= –8 c=72
D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224
Дискриминант отрицательный, решения в действительных числах нет.
Ответ: решения нет
Дискриминант отрицательный. Решение есть!
Здесь речь пойдёт о решении уравнения в случае когда получается отрицательный дискриминант. Вы что-нибудь знаете о комплексных числах? Не буду здесь подробно рассказывать о том, почему и откуда они возникли и в чём их конкретная роль и необходимость в математике, это тема для большой отдельной статьи.
Понятие комплексного числа.
Немного теории.
Комплексным числом z называется число вида
z = a + bi
где a и b – действительные числа, i – так называемая мнимая единица.
a+bi – это ЕДИНОЕ ЧИСЛО, а не сложение.
Мнимая единица равна корню из минус единицы:
Теперь рассмотрим уравнение:
Получили два сопряжённых корня.
Неполное квадратное уравнение.
Рассмотрим частные случаи, это когда коэффициент «b» или «с» равен нулю (или оба равны нулю). Они решаются легко без всяких дискриминантов.
Случай 1. Коэффициент b = 0.
Уравнение приобретает вид:
Преобразуем:
Пример:
4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2
Случай 2. Коэффициент с = 0.
Уравнение приобретает вид:
Преобразуем, раскладываем на множители:
*Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
Пример:
9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 или x–5 =0
x 1 = 0 x 2 = 5
Случай 3. Коэффициенты b = 0 и c = 0.
Здесь понятно, что решением уравнения всегда будет х = 0.
Полезные свойства и закономерности коэффициентов.
Есть свойства, которые позволяют решить уравнения с большими коэффициентами.
а x 2 + bx + c =0 выполняется равенство
a + b + с = 0, то
— если для коэффициентов уравнения а x 2 + bx + c =0 выполняется равенство
a + с = b , то
Данные свойства помогают решить определённого вида уравнения.
Пример 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0
Сумма коэффициентов равна 5001+(– 4995)+(– 6) = 0, значит
Пример 2: 2501 x 2 +2507 x +6=0
Выполняется равенство a + с = b , значит
Закономерности коэффициентов.
1. Если в уравнении ax 2 + bx + c = 0 коэффициент «b» равен (а 2 +1), а коэффициент «с» численно равен коэффициенту «а», то его корни равны
аx 2 + (а 2 +1)∙х+ а= 0 = > х 1 = –а х 2 = –1/a.
Пример. Рассмотрим уравнение 6х 2 +37х+6 = 0.
х 1 = –6 х 2 = –1/6.
2. Если в уравнении ax 2 – bx + c = 0 коэффициент «b» равен (а 2 +1), а коэффициент «с» численно равен коэффициенту «а», то его корни равны
аx 2 – (а 2 +1)∙х+ а= 0 = > х 1 = а х 2 = 1/a.
Пример. Рассмотрим уравнение 15х 2 –226х +15 = 0.
х 1 = 15 х 2 = 1/15.
3. Если в уравнении ax 2 + bx – c = 0 коэффициент «b» равен (a 2 – 1), а коэффициент «c» численно равен коэффициенту «a» , то его корни равны
аx 2 + (а 2 –1)∙х – а= 0 = > х 1 = – а х 2 = 1/a.
Пример. Рассмотрим уравнение 17х 2 +288х – 17 = 0.
х 1 = – 17 х 2 = 1/17.
4. Если в уравнении ax 2 – bx – c = 0 коэффициент «b» равен (а 2 – 1), а коэффициент с численно равен коэффициенту «а», то его корни равны
аx 2 – (а 2 –1)∙х – а= 0 = > х 1 = а х 2 = – 1/a.
Пример. Рассмотрим уравнение 10х 2 – 99х –10 = 0.
х 1 = 10 х 2 = – 1/10
Теорема Виета.
Теорема Виета называется по имени знаменитого французского математика Франсуа Виета. Используя теорему Виета, можно выразить сумму и произведение корней произвольного КУ через его коэффициенты.
45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.
В сумме число 14 дают только 5 и 9. Это корни. При определённом навыке, используя представленную теорему, многие квадратные уравнения вы сможете решать сходу устно.
Теорема Виета, кроме того. удобна тем, что после решения квадратного уравнения обычным способом (через дискриминант) полученные корни можно проверять. Рекомендую это делать всегда.
СПОСОБ ПЕРЕБРОСКИ
При этом способе коэффициент «а» умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.
Если а ± b+c ≠ 0, то используется прием переброски, например:
2х 2 – 11х+ 5 = 0 (1) => х 2 – 11х+ 10 = 0 (2)
По теореме Виета в уравнении (2) легко определить, что х 1 = 10 х 2 = 1
Полученные корни уравнения необходимо разделить на 2 (так как от х 2 «перебрасывали» двойку), получим
х 1 = 5 х 2 = 0,5.
Каково обоснование? Посмотрите что происходит.
Дискриминанты уравнений (1) и (2) равны:
Если посмотреть на корни уравнений, то получаются только различные знаменатели, и результат зависит именно от коэффициента при х 2:
У второго (изменённого) корни получаются в 2 раза больше.
Потому результат и делим на 2.
*Если будем перебрасывать тройку, то результат разделим на 3 и т.д.
Ответ: х 1 = 5 х 2 = 0,5
Кв. ур-ие и ЕГЭ.
О его важности скажу кратко – ВЫ ДОЛЖНЫ УМЕТЬ РЕШАТЬ быстро и не задумываясь, формулы корней и дискриминанта необходимо знать наизусть. Очень многие задачи, входящие в состав заданий ЕГЭ, сводятся к решению квадратного уравнения (геометрические в том числе).
Что стоит отметить!
1. Форма записи уравнения может быть «неявной». Например, возможна такая запись:
15+ 9x 2 - 45x = 0 или 15х+42+9x 2 - 45x=0 или 15 -5x+10x 2 = 0.
Вам необходимо привести его к стандартному виду (чтобы не запутаться при решении).
2. Помните, что х это неизвестная величина и она может быть обозначена любой другой буквой – t, q, p, h и прочими.
Пусть дано квадратное уравнение ах 2 + bх + с = 0.
Применим к квадратному трехчлену ах 2 + bх + с те же преобразования, которые мы выполняли в § 13, когда доказывали теорему о том, что графиком функции у = ах 2 + bх + с является парабола.
Имеем
Обычно выражение b 2 - 4ас обозначают буквой D и называют дискриминантом квадратного уравнения ах 2 + bх + с = 0 (или дискриминантом квадратного трехчлена ах + bх + с).
Таким образом
Значит, квадратное уравнение ах 2 + их + с = О можно переписать в виде
Любое квадратное уравнение можно преобразовать к виду (1), удобному, как мы сейчас убедимся, для того, чтобы определять число корней квадратного уравнения и находить эти корни.
Доказательство. Если D < 0, то правая часть уравнения (1) — отрицательное число; в то же время левая часть уравнения (1) при любых значениях х принимает неотрицательные значения. Значит, нет ни одного значения х, которое удовлетворяло бы уравнению (1), а потому уравнение (1) не имеет корней.
Пример 1.
Решить уравнение 2x 2 + 4х + 7 = 0.
Решение. Здесь а = 2, b = 4, с = 7,
D = b 2 -4ac = 4 2 .
4.
2.
7 = 16-56 = -40.
Так как D < 0, то по теореме 1 данное квадратное уравнение не имеет корней.
Доказательство. Если D = 0, то уравнение (1) принимает вид
— единственный корень уравнения.
Замечание 1.
Помните ли вы, что х = - — абсцисса вершины параболы, которая служит графиком функции у = ах 2 + их + с? Почему именно это
значение оказалось единственным корнем квадратного уравнения ах 2 + их + с — 0? «Ларчик» открывается просто: если D — 0, то, как мы установили ранее,
Графиком же функции 
является парабола с вершиной в точке (см., например, рис. 98). Значит, абсцисса вершины параболы и единственный корень квадратного уравнения при D = 0 — одно и то же число.
Пример 2.
Решить уравнение 4x 2 - 20x + 25 = 0.
Решение. Здесь а = 4, b = -20, с = 25, D = b 2 - 4ас = (-20) 2 - 4 . 4 . 25 = 400 - 400 = 0.
Так как D = 0, то по теореме 2 данное квадратное уравнение имеет один корень. Этот корень находится по формуле
Ответ: 2,5.
Замечание 2.
Обратите внимание, что 4х 2 - 20х +25 — полный квадрат: 4х 2 - 20х + 25 = (2х - 5) 2 .
Если бы мы это заметили сразу, то решили бы уравнение так: (2х - 5) 2 = 0, значит, 2х - 5 = 0, откуда получаем х = 2,5. Вообще, если D = 0, то
ах 2 + bх + с = — это мы отметили ранее в замечании 1.
Если D > 0, то квадратное уравнение ах 2 + bх + с = 0 имеет два корня, которые находятся по формулам
Доказательство . Перепишем квадратное уравнение ах 2 + Ь х + с = 0 в виде (1)
Положим 
По условию, D > 0, значит, правая часть уравнения положительное число. Тогда из уравнения (2) получаем, что
Итак, заданное квадратное уравнение имеет два корня:
Замечание 3.
В математике довольно редко бывает так, чтобы введенный термин не имел, образно выражаясь, житейской подоплеки. Возьмем новое
понятие — дискриминант. Вспомните слово «дискриминация». Что оно означает? Оно означает унижение одних и возвышение других, т.е. различное отноше-
ние к различным пюдям. Оба слова (и дискриминант, и дискриминация) происходят от латинского discriminans — «различающий». Дискриминант различает квадратные уравнения по числу корней.
Пример 3.
Решить уравнение Зх 2 + 8х - 11 = 0.
Решение. Здесь а = 3, b = 8, с = - 11,
D = b 2 - 4ас = 8 2 - 4 . 3 . (-11) = 64 + 132 = 196.
Так как D > 0, то по теореме 3 данное квадратное уравнение имеет два корня. Эти корни находятся по формулам (3)
Фактически мы с вами выработали следующее правило:
Правило решения уравнения
ах 2 + bх + с = 0
Это правило универсально, оно применимо как к полным, так и к неполным квадратным уравнениям. Однако неполные квадратные уравнения обычно по этому правилу не решают, их удобнее решать так, как мы это делали в предыдущем параграфе.
Пример 4. Решить уравнения:
а) х 2 + Зх - 5 = 0; б) - 9x 2 + 6х - 1 = 0; в) 2х 2 -х + 3,5 = 0.
Р е ш е н и е. а) Здесь а = 1, b = 3, с = - 5,
D = b 2 - 4ас = З 2 - 4 . 1 . (- 5) = 9 + 20 = 29.
Так как D > 0, то данное квадратное уравнение имеет два корня. Эти корни находим по формулам (3)
Б) Как показывает опыт, удобнее иметь дело с квадратными уравнениями, у которых старший коэффициент положителен. Поэтому сначала умножим обе части уравнения на -1, получим
9x 2 - 6x + 1 = 0.
Здесь а = 9, b = -6, с = 1, D = b 2 - 4ас = 36 - 36 = 0.
Так как D = 0, то данное квадратное уравнение имеет один корень. Этот корень находится по формуле х = - . Значит,
Это уравнение можно было решить по-другому: так как
9х 2 - 6x + 1 = (Зх - IJ, то получаем уравнение (Зх - I) 2 = 0, откуда находим Зх - 1 = 0, т. е. х = .
в) Здесь а = 2, b = - 1, с = 3,5, D = b 2 - 4ас = 1 - 4 . 2 . 3,5= 1 - 28 = - 27. Так как D < 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.
Математики — люди практичные, экономные. Зачем, говорят они, пользоваться таким длинным правилом решения квадратного уравнения, лучше сразу написать общую формулу:
Если окажется, что дискриминант D = b 2 - 4ас — отрицательное число, то записанная формула не имеет смысла (под знаком квадратного корня находится отрицательное число), значит, корней нет. Если же окажется, что дискриминант равен нулю, то получаем
Т. е. один корень (говорят также, что квадратное уравнение в этом случае имеет два одинаковых корня:
Наконец, если окажется, что b 2 - 4ас > 0, то получаются два корня х 1 и х 2 , которые вычисляются по тем же формулам (3), что указаны выше.
Само число в этом случае положительно (как всякий квадратный корень из положительного числа), а двойной знак перед ним означает, что в одном случае (при отыскании х 1) это положительное число прибавляется к числу - b, а в другом случае (при отыскании х 2) это положительное число вы-
читается из числа - b.
У вас есть свобода выбора. Хотите —- решайте квадратное уравнение подробно, используя сформулированное выше правило; хотите — запишите сразу формулу (4) и с ее помощью делайте необходимые выводы.
Пример 5
. Решить уравнения:
Решение, а) Конечно, можно использовать формулы (4) или (3), учитывая, что в данном случае 
Но зачем выполнять действия с дробями, когда проще и, главное, приятнее иметь дело с целыми числами? Давайте освободимся от знаменателей. Для этого нужно умножить обе части уравнения на 12, т. е. на наименьший общий знаменатель дробей, служащих коэффициентами уравнения. Получим
откуда 8х 2 + 10x - 7 = 0.
А теперь воспользуемся формулой (4)
Б) Мы снова имеем уравнение с дробными коэффициентами: а = 3, b = - 0,2, с = 2,77. Умножим обе части уравнения на 100, тогда получим уравнение с целыми коэффициентами:
300x 2 - 20x + 277 = 0.
Далее воспользуемся формулой (4):
Простая прикидка показывает, что дискриминант (подкоренное выражение) — отрицательное число. Значит, уравнение не имеет корней.
Пример 6.
Решить уравнение 
Решение. Здесь, в отличие от предыдущего примера, предпочтительнее действовать по правилу, а не по сокращенной формуле (4).
Имеем а = 5, b = -, с = 1, D = b 2 - 4ас = (- ) 2 - 4 . 5 . 1 = 60 - 20 = 40. Так как D > 0, то квадратное уравнение имеет два корня, которые будем искать по формулам (3)
Пример 7.
Решить уравнение
х 2 - (2р + 1)x +(р 2 +р-2) = 0
Решение. Это квадратное уравнение отличается от всех рассмотренных до сих пор квадратных уравнений тем, что в роли коэффициентов выступают не конкретные числа, а буквенные выражения. Такие уравнения называют уравнениями с буквенными коэффициентами или уравнениями с параметрами. В данном случае параметр (буква) р входит в состав второго коэффициента и свободного члена уравнения.
Найдем дискриминант:
Пример 8
. Решить уравнение рx 2 + (1 - р) х - 1 = 0.
Решение. Это также уравнение с параметром р, но, в отличие от предыдущего примера, его нельзя сразу решать по формулам (4) или (3). Дело в том, что указанные формулы применимы к квадратным уравнениям, а про заданное уравнение мы этого пока сказать не можем. В самом деле, а вдруг р = 0? Тогда
уравнение примет вид 0 . x 2 + (1-0)x- 1 = 0, т. е. х - 1 = 0, откуда получаем х = 1. Вот если точно известно, что , то можно применять формулы корней квадратного уравнения:
В современном обществе умение производить действия с уравнениями, содержащими переменную, возведённую в квадрат, может пригодиться во многих областях деятельности и широко применяется на практике в научных и технических разработках. Свидетельством тому может служить конструирование морских и речных судов, самолётов и ракет. При помощи подобных расчётов определяют траектории перемещения самых разных тел, в том числе и космических объектов. Примеры с решением квадратных уравнений находят применение не только в экономическом прогнозировании, при проектировании и строительстве зданий, но и в самых обычных житейских обстоятельствах. Они могут понадобиться в туристических походах, на спортивных состязаниях, в магазинах при совершении покупок и в других весьма распространённых ситуациях.
Разобьём выражение на составляющие множители
Степень уравнения определяется максимальным значением степени у переменной, которую содержит данное выражение. В случае, если она равна 2, то подобное уравнение как раз и называется квадратным.
Если изъясняться языком формул, то указанные выражения, как бы они ни выглядели, всегда можно привести к виду, когда левая часть выражения состоит из трёх слагаемых. Среди них: ax 2 (то есть переменная, возведённая в квадрат со своим коэффициентом), bx (неизвестное без квадрата со своим коэффициентом) и c (свободная составляющая, то есть обычное число). Всё это в правой части приравнивается 0. В случае, когда у подобного многочлена отсутствует одно из его составляющих слагаемых, за исключением ax 2 , оно называется неполным квадратным уравнением. Примеры с решением таких задач, значение переменных в которых найти несложно, следует рассмотреть в первую очередь.
Если выражение на вид выглядит таким образом, что слагаемых у выражения в правой части два, точнее ax 2 и bx, легче всего отыскать х вынесением переменной за скобки. Теперь наше уравнение будет выглядеть так: x(ax+b). Далее становится очевидно, что или х=0, или задача сводится к нахождению переменной из следующего выражения: ax+b=0. Указанное продиктовано одним из свойств умножения. Правило гласит, что произведение двух множителей даёт в результате 0, только если один из них равен нулю.
Пример
x=0 или 8х - 3 = 0
В результате получаем два корня уравнения: 0 и 0,375.
Уравнения такого рода могут описывать перемещение тел под действием силы тяжести, начавших движение из определённой точки, принятой за начало координат. Здесь математическая запись принимает следующую форму: y = v 0 t + gt 2 /2. Подставив необходимые значения, приравняв правую часть 0 и найдя возможные неизвестные, можно узнать время, проходящее с момента подъёма тела до момента его падения, а также многие другие величины. Но об этом мы поговорим позднее.
Разложение выражения на множители
Описанное выше правило даёт возможность решать указанные задачи и в более сложных случаях. Рассмотрим примеры с решением квадратных уравнений такого типа.
X 2 - 33x + 200 = 0
Этот квадратный трёхчлен является полным. Для начала преобразуем выражение и разложим его на множители. Их получается два: (x-8) и (x-25) = 0. В результате имеем два корня 8 и 25.
Примеры с решением квадратных уравнений в 9 классе позволяют данным методом находить переменную в выражениях не только второго, но даже третьего и четвёртого порядков.
Например: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. При разложении правой части на множители с переменной, их получается три, то есть (x+1),(x-3) и (x+3).
В результате становится очевидно, что данное уравнение имеет три корня: -3; -1; 3.
Извлечение квадратного корня
Другим случаем неполного уравнения второго порядка является выражение, на языке букв представленное таким образом, что правая часть строится из составляющих ax 2 и c. Здесь для получения значения переменной свободный член переносится в правую сторону, а после этого из обеих частей равенства извлекается квадратный корень. Следует обратить внимание, что и в данном случае корней уравнения обычно бывает два. Исключением могут служить лишь только равенства, вообще не содержащие слагаемое с, где переменная равна нулю, а также варианты выражений, когда правая часть оказывается отрицательной. В последнем случае решений вообще не существует, так как указанные выше действия невозможно производить с корнями. Примеры решений квадратных уравнений такого типа необходимо рассмотреть.
В данном случае корнями уравнения окажутся числа -4 и 4.
Вычисление пощади земельного участка
Потребность в подобного рода вычислениях появилась в глубокой древности, ведь развитие математики во многом в те далёкие времена было обусловлено необходимостью определять с наибольшей точностью площади и периметры земельных участков.
Примеры с решением квадратных уравнений, составленных на основе задач такого рода, следует рассмотреть и нам.
Итак, допустим имеется прямоугольный участок земли, длина которого на 16 метров больше, чем ширина. Следует найти длину, ширину и периметр участка, если известно, что его площадь равна 612 м 2 .
Приступая к делу, сначала составим необходимое уравнение. Обозначим за х ширину участка, тогда его длина окажется (х+16). Из написанного следует, что площадь определяется выражением х(х+16), что, согласно условию нашей задачи, составляет 612. Это значит, что х(х+16) = 612.
Решение полных квадратных уравнений, а данное выражение является именно таковым, не может производиться прежним способом. Почему? Хотя левая часть его по-прежнему содержит два множителя, произведение их совсем не равно 0, поэтому здесь применяются другие методы.
Дискриминант
Прежде всего произведём необходимые преобразования, тогда внешний вид данного выражения будет выглядеть таким образом: x 2 + 16x - 612 = 0. Это значит, мы получили выражение в форме, соответствующей указанному ранее стандарту, где a=1, b=16, c=-612.
Это может стать примером решения квадратных уравнений через дискриминант. Здесь необходимые расчёты производятся по схеме: D = b 2 - 4ac. Данная вспомогательная величина не просто даёт возможность найти искомые величины в уравнении второго порядка, она определяет количество возможных вариантов. В случае, если D>0, их два; при D=0 существует один корень. В случае, если D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.
О корнях и их формуле
В нашем случае дискриминант равен: 256 - 4(-612) = 2704. Это говорит о том, что ответ у нашей задачи существует. Если знать, к , решение квадратных уравнений нужно продолжать с применением ниже приведённой формулы. Она позволяет вычислить корни.
Это значит, что в представленном случае: x 1 =18, x 2 =-34. Второй вариант в данной дилемме не может являться решением, потому что размеры земельного участка не могут измеряться в отрицательных величинах, значит х (то есть ширина участка) равна 18 м. Отсюда вычисляем длину: 18+16=34, и периметр 2(34+18)=104(м 2).
Примеры и задачи
Продолжаем изучение квадратных уравнений. Примеры и подробное решение нескольких из них будут приведены далее.
1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1
Перенесём всё в левую часть равенства, сделаем преобразование, то есть получим вид уравнения, который принято именовать стандартным, и приравняем его нулю.
15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0
Сложив подобные, определим дискриминант: D = 49 - 48 = 1. Значит у нашего уравнения будет два корня. Вычислим их согласно приведённой выше формуле, а это значит, что первый из них буде равен 4/3, а второй 1.
2) Теперь раскроем загадки другого рода.
Выясним, есть ли вообще здесь корни x 2 - 4x + 5 = 1? Для получения исчерпывающего ответа приведём многочлен к соответствующему привычному виду и вычислим дискриминант. В указанном примере решение квадратного уравнения производить не обязательно, ведь суть задачи заключается совсем не в этом. В данном случае D = 16 - 20 = -4, а значит, корней действительно нет.
Теорема Виета
Квадратные уравнения удобно решать через указанные выше формулы и дискриминант, когда из значения последнего извлекается квадратный корень. Но это бывает не всегда. Однако способов для получения значений переменных в данном случае существует множество. Пример: решения квадратных уравнений по теореме Виета. Она названа в честь который жил в XVI веке во Франции и сделал блестящую карьеру благодаря своему математическому таланту и связям при дворе. Портрет его можно увидеть в статье.
Закономерность, которую заметил прославленный француз, заключалась в следующем. Он доказал, что корни уравнения в сумме численно равны -p=b/a, а их произведение соответствует q=c/a.
Теперь рассмотрим конкретные задачи.
3x 2 + 21x - 54 = 0
Для простоты преобразуем выражение:
x 2 + 7x - 18 = 0
Воспользуемся теоремой Виета, это даст нам следующее: сумма корней равна -7, а их произведение -18. Отсюда получим, что корнями уравнения являются числа -9 и 2. Сделав проверку, убедимся, что эти значения переменных действительно подходят в выражение.
График и уравнение параболы
Понятия квадратичная функция и квадратные уравнения тесно связаны. Примеры подобного уже были приведены ранее. Теперь рассмотрим некоторые математические загадки немного подробнее. Любое уравнение описываемого типа можно представить наглядно. Подобная зависимость, нарисованная в виде графика, называется параболой. Различные её виды представлены на рисунке ниже.
Любая парабола имеет вершину, то есть точку, из которой выходят её ветви. В случае если a>0, они уходят высоко в бесконечность, а когда a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.
Наглядные изображения функций помогают решать любые уравнения, в том числе и квадратные. Этот метод называется графическим. А значением переменной х является координата абсцисс в точках, где происходит пересечение линии графика с 0x. Координаты вершины можно узнать по только что приведённой формуле x 0 = -b/2a. И, подставив полученное значение в изначальное уравнение функции, можно узнать y 0 , то есть вторую координату вершины параболы, принадлежащую оси ординат.
Пересечение ветвей параболы с осью абсцисс
Примеров с решением квадратных уравнений очень много, но существуют и общие закономерности. Рассмотрим их. Понятно, что пересечение графика с осью 0x при a>0 возможно только если у 0 принимает отрицательные значения. А для a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. В противном случае D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.
По графику параболы можно определить и корни. Верно также обратное. То есть если получить наглядное изображение квадратичной функции нелегко, можно приравнять правую часть выражения к 0 и решить полученное уравнение. А зная точки пересечения с осью 0x, легче построить график.
Из истории
С помощью уравнений, содержащих переменную, возведённую в квадрат, в старину не только делали математические расчёты и определяли площади геометрических фигур. Подобные вычисления древним были нужны для грандиозных открытий в области физики и астрономии, а также для составления астрологических прогнозов.
Как предполагают современные деятели науки, одними из первых решением квадратных уравнений занялись жители Вавилона. Произошло это за четыре столетия до наступления нашей эры. Разумеется, их вычисления в корне отличались от ныне принятых и оказывались гораздо примитивней. К примеру, месопотамские математики понятия не имели о существовании отрицательных чисел. Незнакомы им были также другие тонкости из тех, которые знает любой школьник современности.
Возможно, ещё раньше учёных Вавилона решением квадратных уравнений занялся мудрец из Индии Баудхаяма. Произошло это примерно за восемь столетий до наступления эры Христа. Правда, уравнения второго порядка, способы решения которых он привёл, были самыми наипростейшими. Кроме него, подобными вопросами интересовались в старину и китайские математики. В Европе квадратные уравнения начали решать лишь в начале XIII столетия, но зато позднее их использовали в своих работах такие великие учёные, как Ньютон, Декарт и многие другие.
Эта тема поначалу может показаться сложной из-за множества не самых простых формул. Мало того что сами квадратные уравнения имеют длинные записи, еще и корни находятся через дискриминант. Всего получается три новые формулы. Не очень просто запомнить. Это удается только после частого решения таких уравнений. Тогда все формулы будут вспоминаться сами собой.
Общий вид квадратного уравнения
Здесь предложена их явная запись, когда самая большая степень записана первой, и дальше - по убыванию. Часто бывают ситуации, когда слагаемые стоят вразнобой. Тогда лучше переписать уравнение в порядке убывания степени у переменной.
Введем обозначения. Они представлены в таблице ниже.
Если принять эти обозначения, все квадратные уравнения сводятся к следующей записи.
Причем коэффициент а ≠ 0. Пусть эта формула будет обозначена номером один.
Когда уравнение задано, то непонятно, сколько корней будет в ответе. Потому что всегда возможен один из трех вариантов:
- в решении будет два корня;
- ответом будет одно число;
- корней у уравнения не будет совсем.
И пока решение не доведено до конца, сложно понять, какой из вариантов выпадет в конкретном случае.
Виды записей квадратных уравнений
В задачах могут встречаться их разные записи. Не всегда они будут выглядеть как общая формула квадратного уравнения. Иногда в ней будет не хватать некоторых слагаемых. То что было записано выше — это полное уравнение. Если в нем убрать второе или третье слагаемое, то получится нечто другое. Эти записи тоже называются квадратными уравнениями, только неполными.
Причем исчезнуть могут только слагаемые у которых коэффициенты «в» и «с». Число «а» не может быть равно нулю ни при каких условиях. Потому что в этом случае формула превращается в линейное уравнение. Формулы для неполного вида уравнений будут такими:
Итак, видов всего два, кроме полных, есть еще и неполные квадратные уравнения. Пусть первая формула будет иметь номер два, а вторая — три.
Дискриминант и зависимость количества корней от его значения
Это число нужно знать для того, чтобы вычислить корни уравнения. Оно может быть посчитано всегда, какой бы ни была формула квадратного уравнения. Для того чтобы вычислить дискриминант, нужно воспользоваться равенством, записанным ниже, которое будет иметь номер четыре.
После подстановки в эту формулу значений коэффициентов, можно получить числа с разными знаками. Если ответ положительный, то ответом уравнения будут два различных корня. При отрицательном числе корни квадратного уравнения будут отсутствовать. В случае его равенства нулю ответ будет один.
Как решается квадратное уравнение полного вида?
По сути, рассмотрение этого вопроса уже началось. Потому что сначала нужно найти дискриминант. После того как выяснено, что имеются корни квадратного уравнения, и известно их число, нужно воспользоваться формулами для переменных. Если корней два, то нужно применить такую формулу.
Поскольку в ней стоит знак «±», то значений будет два. Выражение под знаком квадратного корня — это дискриминант. Поэтому формулу можно переписать по-другому.
Формула номер пять. Из этой же записи видно, что если дискриминант равен нулю, то оба корня примут одинаковые значения.
Если решение квадратных уравнений еще не отработано, то лучше до того, как применять формулы дискриминанта и переменной, записать значения всех коэффициентов. Позже этот момент не будет вызывать трудностей. Но в самом начале бывает путаница.
Как решается квадратное уравнение неполного вида?
Здесь все гораздо проще. Даже нет необходимости в дополнительных формулах. И не понадобятся те, что уже были записаны для дискриминанта и неизвестной.
Сначала рассмотрим неполное уравнение под номером два. В этом равенстве полагается вынести неизвестную величину за скобку и решить линейное уравнение, которое останется в скобках. В ответе будет два корня. Первый - обязательно равен нулю, потому что имеется множитель, состоящий из самой переменной. Второй получится при решении линейного уравнения.
Неполное уравнение под номером три решается переносом числа из левой части равенства в правую. Потом нужно разделить на коэффициент, стоящий перед неизвестной. Останется только извлечь квадратный корень и не забыть записать его два раза с противоположными знаками.
Далее записаны некоторые действия, помогащие научиться решать всевозможные виды равенств, которые превращаются в квадратные уравнения. Они будут способствовать тому, что ученик сможет избежать ошибок по невнимательности. Эти недочеты бывают причиной плохих оценок при изучении обширной темы «Квадратные уравнения (8 класс)». Впоследствии эти действия не нужно будет постоянно выполнять. Потому что появится устойчивый навык.
- Сначала нужно записать уравнение в стандартном виде. То есть сначала слагаемое с самой большой степенью переменной, а потом - без степени и последним - просто число.
- Если перед коэффициентом «а» появляется минус, то он может усложнить работу для начинающего изучать квадратные уравнения. От него лучше избавиться. Для этой цели все равенство нужно умножить на «-1». Это значит, что у всех слагаемых изменится знак на противоположный.
- Таким же образом рекомендуется избавляться от дробей. Просто умножить уравнение на соответствующий множитель, чтобы знаменатели сократились.
Примеры
Требуется решить следующие квадратные уравнения:
х 2 − 7х = 0;
15 − 2х − х 2 = 0;
х 2 + 8 + 3х = 0;
12х + х 2 + 36 = 0;
(х+1) 2 + х + 1 = (х+1)(х+2).
Первое уравнение: х 2 − 7х = 0. Оно неполное, поэтому решается так, как было описано для формулы под номером два.
После вынесения за скобки получается: х (х - 7) = 0.
Первый корень принимает значение: х 1 = 0. Второй будет найден из линейного уравнения: х - 7 = 0. Легко заметить, что х 2 = 7.
Второе уравнение: 5х 2 + 30 = 0. Снова неполное. Только решается оно так, как описано для третьей формулы.
После перенесения 30 в правую часть равенства: 5х 2 = 30. Теперь нужно выполнить деление на 5. Получается: х 2 = 6. Ответами будут числа: х 1 = √6, х 2 = - √6.
Третье уравнение: 15 − 2х − х 2 = 0. Здесь и далее решение квадратных уравнений будет начинаться с их переписывания в стандартный вид: − х 2 − 2х + 15 = 0. Теперь пришло время воспользоваться вторым полезным советом и умножить все на минус единицу. Получается х 2 + 2х - 15 = 0. По четвертой формуле нужно вычислить дискриминант: Д = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Он представляет собой положительное число. Из того, что сказано выше, получается, что уравнение имеет два корня. Их нужно вычислить по пятой формуле. По ней получается, что х = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Тогда х 1 = 3, х 2 = - 5.
Четвертое уравнение х 2 + 8 + 3х = 0 преобразуется в такое: х 2 + 3х + 8 = 0. Его дискриминант равен такому значению: -23. Поскольку это число отрицательное, то ответом к этому заданию будет следующая запись: «Корней нет».
Пятое уравнение 12х + х 2 + 36 = 0 следует переписать так: х 2 + 12х + 36 = 0. После применения формулы для дискриминанта получается число ноль. Это означает, что у него будет один корень, а именно: х = -12/ (2 * 1) = -6.
Шестое уравнение (х+1) 2 + х + 1 = (х+1)(х+2) требует провести преобразования, которые заключаются в том, что нужно привести подобные слагаемые, до того раскрыв скобки. На месте первой окажется такое выражение: х 2 + 2х + 1. После равенства появится эта запись: х 2 + 3х + 2. После того как подобные слагаемые будут сосчитаны, уравнение примет вид: х 2 - х = 0. Оно превратилось в неполное. Подобное ему уже рассматривалось чуть выше. Корнями этого будут числа 0 и 1.