В данной статье научимся составлять уравнения прямой, проходящей через заданную точку на плоскости перпендикулярно заданной прямой. Изучим теоретические сведения, приведем наглядные примеры, где необходимо записать такое уравнение.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Перед нахождением уравнения прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой. Теорема рассматривается в средней школе. Через заданную точку, лежащую на плоскости, можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной. Если имеется трехмерное пространство, то количество таких прямых увеличится до бесконечности.

Определение 1

Если плоскость α проходит через заданную точку М 1 перпендикулярно к заданной прямой b , то прямые, лежащие в этой плоскости, в том числе и проходящая через М 1 являются перпендикулярными заданной прямой b .

Отсюда можно прийти к выводу, что составление уравнения прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой применимо только для случая на плоскости.

Задачи с трехмерным пространством подразумевают поиск уравнения плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой.

Если на плоскости с системой координат О х у z имеем прямую b , то ей соответствует уравнение прямой на плоскости, задается точка с координатами M 1 (x 1 , y 1) , а необходимо составить уравнение прямой a , которая проходит через точку М 1 , причем перпендикулярно прямой b .

По условию имеем координаты точки М 1 . Для написания уравнения прямой необходимо иметь координаты направляющего вектора прямой a , или координаты нормального вектора прямой a , или угловой коэффициент прямой a .

Необходимо получить данные из заданного уравнения прямой b . По условию прямые a и b перпендикулярные, значит, направляющий вектор прямой b считается нормальным вектором прямой a . Отсюда получим, что угловые коэффициенты обозначаются как k b и k a . Они связаны при помощи соотношения k b · k a = - 1 .

Получили, что направляющий вектор прямой b имеет вид b → = (b x , b y) , отсюда нормальный вектор - n a → = (A 2 , B 2) , где значения A 2 = b x , B 2 = b y . Тогда запишем общее уравнение прямой, проходящее через точку с координатами M 1 (x 1 , y 1) , имеющее нормальный вектор n a → = (A 2 , B 2) , имеющее вид A 2 · (x - x 1) + B 2 · (y - y 1) = 0 .

Нормальный вектор прямой b определен и имеет вид n b → = (A 1 , B 1) , тогда направляющий вектор прямой a является вектором a → = (a x , a y) , где значения a x = A 1 , a y = B 1 . Значит осталось составить каноническое или параметрическое уравнение прямой a , проходящее через точку с координатами M 1 (x 1 , y 1) с направляющим вектором a → = (a x , a y) , имеющее вид x - x 1 a x = y - y 1 a y или x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ соответственно.

После нахождения углового коэффициента k b прямой b можно высчитать угловой коэффициент прямой a . Он будет равен - 1 k b . Отсюда следует, что можно записать уравнение прямой a , проходящей через M 1 (x 1 , y 1) с угловым коэффициентом - 1 k b в виде y - y 1 = - 1 k b · (x - x 1) .

Полученное уравнение прямой, проходящее через заданную точку плоскости перпендикулярно заданной. Если того требуют обстоятельства, можно переходить к другому виду данного уравнения.

Решение примеров

Рассмотрим составление уравнения прямой, проходящей через заданную точку плоскости и перпендикулярно заданной прямой.

Пример 1

Записать уравнение прямой а, которая проходит через точку с координатами M 1 (7 , - 9) и перпендикулярна прямой b , которое задано каноническим уравнением прямой x - 2 3 = y + 4 1 .

Решение

Из условия имеем, что b → = (3 , 1) является направляющим вектором прямой x - 2 3 = y + 4 1 . Координаты вектора b → = 3 , 1 являются координатами нормального вектора прямой a , так как прямые a и b взаимно перпендикулярны. Значит, получаем n a → = (3 , 1) . Теперь необходимо записать уравнение прямой, проходящее через точку M 1 (7 , - 9) , имеющее нормальный вектор с координатами n a → = (3 , 1) .

Получим уравнение вида: 3 · (x - 7) + 1 · (y - (- 9)) = 0 ⇔ 3 x + y - 12 = 0

Полученное уравнение является искомым.

Ответ: 3 x + y - 12 = 0 .

Пример 2

Составить уравнение прямой, которая проходит через начало координат системы координат О х у z , перпендикулярно прямой 2 x - y + 1 = 0 .

Решение

Имеем, что n b → = (2 , - 1) является нормальным вектором заданной прямой. Отсюда a → = (2 , - 1) - координаты искомого направляющего вектора прямой.

Зафиксируем уравнение прямой, проходящую через начало координат с направляющим вектором a → = (2 , - 1) . Получим, что x - 0 2 = y + 0 - 1 ⇔ x 2 = y - 1 . Полученное выражение является уравнение прямой, проходящей через начало координат перпендикулярно прямой 2 x - y + 1 = 0 .

Ответ: x 2 = y - 1 .

Пример 3

Записать уравнение прямой, проходящей через точку с координатами M 1 (5 , - 3) перпендикулярно прямой y = - 5 2 x + 6 .

Решение

Из уравнения y = - 5 2 x + 6 угловой коэффициент имеет значение - 5 2 . Угловой коэффициент прямой, которая перпендикулярна ей имеет значение - 1 - 5 2 = 2 5 . Отсюда делаем вывод, что прямая, проходящая через точку с координатами M 1 (5 , - 3) перпендикулярно прямой y = - 5 2 x + 6 , равна y - (- 3) = 2 5 · x - 5 ⇔ y = 2 5 x - 5 .

Ответ: y = 2 5 x - 5 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Направляющим вектором прямой l называется всякий ненулевой вектор (m , n ), параллельный этой прямой.

Пусть заданы точка M 1 (x 1 , y 1) и направляющий вектор (m , n ), тогда уравнение прямой, проходящей через точку M 1 в направлении вектора имеет вид: . Это уравнение называется каноническим уравнением прямой.

Пример. Найти уравнение прямой с направляющим вектором (1, -1) и проходящей через точку А(1, 2).

Уравнение искомой прямой будем искать в виде: Ax + By + C = 0. Запишем каноническое уравнение прямой , преобразуем его. Получим х + у - 3 = 0

Уравнение прямой, проходящей через две точки

Пусть на плоскости заданы две точки M 1 (x 1 , y 1) и M 2 (x 2, y 2), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки имеет вид: . Если какой- либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.

Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4).

Применяя записанную выше формулу, получаем: ,

Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту

Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду: и обозначить , то полученное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k.

Уравнение прямой в отрезках

Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 коэффициент С ¹ 0, то, разделив на С, получим: или , где

Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох , а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу .

Пример. Задано общее уравнение прямой х – у + 1 = 0. Найти уравнение этой прямой в отрезках. А = -1, В = 1, С = 1, тогда а = -1, b = 1. Уравнение прямой в отрезках примет вид .

Пример. Даны вершины треугольника А(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Найти уравнение высоты, проведенной из вершины С.

Находим уравнение стороны АВ: ;

4x = 6y – 6; 2x – 3y + 3 = 0;

Искомое уравнение высоты имеет вид: Ax + By + C = 0 или y = kx + b .

k = . Тогда y = . Т.к. высота проходит через точку С, то ее координаты удовлетворяют данному уравнению: откуда b = 17. Итого: .

Ответ: 3x + 2y – 34 = 0.

Практическое занятие №7

Наименование занятия: Кривые второго порядка.

Цель занятия: Научиться составлять кривых 2-го порядка, строить их.

Подготовка к занятию: Повторить теоретический материал по теме «Кривые 2-го порядка»

Литература:

1. Дадаян А.А. «Математика», 2004г.

Задание на занятие:

Порядок проведения занятия:

1. Получить допуск к работе
2. Выполнить задания
3. Ответить на контрольные вопросы.

1. Наименование, цель занятия, задание;
2. Выполненное задание;
3. Ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы для зачета:

1. Дать определение кривых второго порядка (окружности, эллипса, гиперболы, параболы), записать их канонические уравнения.
2. Что называется эксцентриситетом эллипса, гиперболы? Как его найти?
3. Записать уравнение равносторонней гиперболы

ПРИЛОЖЕНИЕ

Окружностью называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром.

Пусть центром окружности является точка О (a; b ), а расстояние до любой точки М (х;у ) окружности равно R . Тогда (x – a ) 2 + (y – b ) 2 = R 2 – каноническое уравнение окружности с центром О (a; b ) и радиусом R.

Пример. Найти координаты центра и радиус окружности, если ее уравнение задано в виде: 2x 2 + 2y 2 – 8x + 5y – 4 = 0.

Для нахождения координат центра и радиуса окружности данное уравнение необходимо привести к каноническому виду. Для этого выделим полные квадраты:

x 2 + y 2 – 4x + 2,5y – 2 = 0

x 2 – 4x + 4 – 4 + y 2 + 2,5y + 25/16 – 25/16 – 2 = 0

(x – 2) 2 + (y + 5/4) 2 – 25/16 – 6 = 0

(x – 2) 2 + (y + 5/4) 2 = 121/16

Отсюда находим координаты центра О (2; -5/4); радиус R = 11/4.

Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек (называемых фокусами) есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Фокусы обозначаются буквами F 1 , F с , сумма расстояний от любой точки эллипса до фокусов – 2а (2а > 2c ), a – большая полуось; b – малая полуось.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид: , где a , b и c связаны между собой равенствами: a 2 – b 2 = c 2 (или b 2 – a 2 = c 2).

Форма эллипса определяется характеристикой, которая является отношением фокусного расстояния к длине большей оси и называется эксцентриситетом. или .

Т.к. по определению 2а > 2c , то эксцентриситет всегда выражается правильной дробью, т.е. .

Пример. Составить уравнение эллипса, если его фокусы F 1 (0; 0), F 2 (1; 1), большая ось равна 2.

Уравнение эллипса имеет вид: .

Расстояние между фокусами: 2c = , таким образом, a 2 – b 2 = c 2 = . По условию 2а = 2, следовательно, а = 1, b = Искомое уравнение эллипса примет вид: .

Гиперболой называется множество точек плоскости, разность расстояний от каждой из которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид: или , где a , b и c связаны между собой равенством a 2 + b 2 = c 2 . Гипербола симметрична относительно середины отрезка, соединяющего фокусы и относительно осей координат. Фокусы обозначаются буквами F 1 , F 2 , расстояние между фокусами – 2с , разность расстояний от любой точки гиперболы до фокусов – 2а (2а < 2c ). Ось 2а называется действительной осью гиперболы, ось 2b – мнимой осью гиперболы. Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами к длине действительной оси: или . Т.к. по определению 2а < 2c , то эксцентриситет гиперболы всегда выражается неправильной дробью, т.е. .

Если длина действительной оси равна длине мнимой оси, т.е. а = b , ε = , то гипербола называется равносторонней .

Пример. Составить каноническое уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2, а фокусы совпадают с фокусами эллипса с уравнением

Находим фокусное расстояние c 2 = 25 – 9 = 16.

Для гиперболы: c 2 = a 2 + b 2 = 16, ε = c/a = 2; c = 2a ; c 2 = 4a 2 ; a 2 = 4; b 2 = 16 – 4 = 12.

Тогда - искомое уравнение гиперболы.

Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от заданной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

Фокус параболы обозначается буквой F , директриса – d , расстояние от фокуса до директрисы – р .

Каноническое уравнение параболы, фокус которой расположен на оси абсцисс, имеет вид:

y 2 = 2px или y 2 = -2px

x = -p /2, x = p /2

Каноническое уравнение параболы, фокус которой расположен на оси ординат, имеет вид:

х 2 = 2pу или х 2 = -2pу

Уравнения директрис соответственно у = -p /2, у = p /2

Пример. На параболе у 2 = 8х найти точки, расстояние которой от директрисы равно 4.

Из уравнения параболы получаем, что р = 4. r = x + p /2 = 4; следовательно:

x = 2; y 2 = 16; y = ±4. Искомые точки: M 1 (2; 4), M 2 (2; -4).

Практическое занятие №8

Наименование занятия: Действия над комплексными числами в алгебраической форме. Геометрическая интерпретация комплексных чисел .

Цель занятия: Научиться выполнять действия над комплексными числами.

Подготовка к занятию: Повторить теоретический материал по теме «Комплексные числа».

Литература:

1. Григорьев В.П., Дубинский Ю.А. «Элементы высшей математики», 2008г.

Задание на занятие:

1. Вычислить:

1) i 145 + i 147 + i 264 + i 345 + i 117 ;

2) (i 64 + i 17 + i 13 + i 82)·(i 72 – i 34);

Уравнение прямой проходящей через две точки. В статье " " я обещал вам разобрать второй способ решения представленных задач на нахождение производной, при данном графике функции и касательной к этому графику. Этот способ мы разберём в , не пропустите! Почему в следующей?

Дело в том, что там будет использоваться формула уравнения прямой. Конечно, можно было бы просто показать данную формулу и посоветовать вам её выучить. Но лучше объяснить – от куда она исходит (как выводится). Это необходимо! Если вы её забудете, то быстро восстановить её не представит труда. Ниже подробно всё изложено. Итак, у нас на координатной плоскости имеется две точки А (х 1 ;у 1) и В(х 2 ;у 2), через указанные точки проведена прямая:

Вот сама формула прямой:

*То есть при подстановке конкретных координат точек мы получим уравнение вида y=kx+b.

**Если данную формулу просто «зазубрить», то имеется большая вероятность запутаться с индексами при х . Кроме того, индексы могут обозначаться по разному, например:

Поэтому-то и важно понимать смысл.

Теперь вывод этой формулы. Всё очень просто!

Треугольники АВЕ и ACF подобны по острому углу (первый признак подобия прямоугольных треугольников). Из этого следует, что отношения соответственных элементов равны, то есть:

Теперь просто выражаем данные отрезки через разность координат точек:

Конечно, не будет никакой ошибки если вы запишите отношения элементов в другом порядке (главное соблюдать соответствие):

В результате получится одно и тоже уравнение прямой. Это всё!

То есть, как бы не были обозначены сами точки (и их координаты), понимая данную формулу вы всегда найдёте уравнение прямой.

Формулу можно вывести используя свойства векторов, но принцип вывода будет тот же, так как речь будет идти о пропорциональности их координат. В этом случае работает всё то же подобие прямоугольных треугольников. На мой взгляд описанный выше вывод более понятнее)).

Посмотреть вывод через координаты векторов >>>

Пусть на координатной плоскости построена прямая, проходящая через две заданные точки А(х 1 ;у 1) и В(х 2 ;у 2). Отметим на прямой произвольную точку С с координатами (x ; y ). Также обозначим два вектора:

Известно, что у векторов лежащих на параллельных прямых (либо на одной прямой), их соответствующие координаты пропорциональны, то есть:

— записываем равенство отношений соответствующих координат:

Рассмотрим пример:

Найти уравнение прямой, проходящей через две точки с координатами (2;5) и (7:3).

Можно даже не строить саму прямую. Применяем формулу:

Важно, чтобы вы уловили соответствие, при составлении соотношения. Вы не ошибётесь, если запишите:

Ответ: у=-2/5x+29/5 иди у=-0,4x+5,8

Для того, чтобы убедится, что полученное уравнение найдено верно, обязательно делайте проверку — подставьте в него координаты данных в условии точек. Должны получится верные равенства.

На этом всё. Надеюсь, материал был вам полезен.

С уважением, Александр.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Пусть прямая проходит через точки М 1 (х 1 ; у 1) и М 2 (х 2 ; у 2). Уравнение прямой, проходящей через точку М 1 , имеет вид у- у 1 = k (х - х 1), (10.6)

где k - пока неизвестный коэффициент.

Так как прямая проходит через точку М 2 (х 2 у 2), то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению (10.6): у 2 -у 1 = k (х 2 -х 1).

Отсюда находим Подставляя найденное значениеk в уравнение (10.6), получим уравнение прямой, проходящей через точки М 1 и М 2:

Предполагается, что в этом уравнении х 1 ≠ х 2 , у 1 ≠ у 2

Если х 1 = х 2 , то прямая, проходящая через точки М 1 (х 1 ,у I) и М 2 (х 2 ,у 2) параллельна оси ординат. Ее уравнение имеет вид х = х 1 .

Если у 2 = у I , то уравнение прямой может быть записано в виде у = у 1 , прямая М 1 М 2 параллельна оси абсцисс.

Уравнение прямой в отрезках

Пусть прямая пересекает ось Ох в точке М 1 (а;0), а ось Оу – в точке М 2 (0;b). Уравнение примет вид:
т.е.
. Это уравнение называетсяуравнением прямой в отрезках, т.к. числа а и b указывают, какие отрезки отсекает прямая на осях координат .

Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

Найдем уравнение прямой, проходящей через заданную точку Мо (х О; у о) перпендикулярно данному ненулевому вектор n = (А; В).

Возьмем на прямой произвольную точку М(х; у) и рассмотрим вектор М 0 М (х - х 0 ; у - у о) (см. рис.1). Поскольку векторы n и М о М перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю: то есть

А(х - хо) + В(у - уо) = 0. (10.8)

Уравнение (10.8) называется уравнением прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору .

Вектор n= (А; В), перпендикулярный прямой, называется нормальным нормальным вектором этой прямой .

Уравнение (10.8) можно переписать в виде Ах + Ву + С =0 , (10.9)

где А и В координаты нормального вектора, С = -Ах о - Ву о - свободный член. Уравнение (10.9) есть общее уравнение прямой (см. рис.2).

Рис.1 Рис.2

Канонические уравнения прямой

,

Где
- координаты точки, через которую проходит прямая, а
- направляющий вектор.

Кривые второго порядка Окружность

Окружностью называется множество всех точек плоскости, равноотстоящих от данной точки, которая называется центром.

Каноническое уравнение круга радиуса R с центром в точке
:

В частности, если центр кола совпадает с началом координат, то уравнение будет иметь вид:

Эллипс

Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек и, которые называются фокусами, есть величина постоянная
, большая чем расстояние между фокусами
.

Каноническое уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси Ох, а начало координат посредине между фокусами имеет вид
где a длина большой полуоси; b– длина малой полуоси (рис. 2).

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых. Определение точки пересечения двух прямых

1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку A (x 1 , y 1) в данном направлении, определяемом угловым коэффициентом k ,

y - y 1 = k (x - x 1). (1)

Это уравнение определяет пучок прямых, проходящих через точку A (x 1 , y 1), которая называется центром пучка.

2. Уравнение прямой, проходящей через две точки: A (x 1 , y 1) и B (x 2 , y 2), записывается так:

Угловой коэффициент прямой, проходящей через две данные точки, определяется по формуле

3. Углом между прямыми A и B называется угол, на который надо повернуть первую прямую A вокруг точки пересечения этих прямых против движения часовой стрелки до совпадения ее со второй прямой B . Если две прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом

y = k 1 x + B 1 ,