Способ записи числа от непера. Волшебные палочки

Главная

Про природу

ДЖОН НЕПЕР (1550-1617)

Родился в 1550 году в Мерчистон-Касле близ Эдинбурга (Англия). Шотландский барон, 8-й лорд Мерчистона. В 1563г. Поступил в Сент-Эндрюсский университет, но никакой ученой степени по окончании не получил. Затем уехал путешествовать в Германию, Францию, Италию. В 1957 году вернулся на родину и поселился в родовом замке. Все время посвятил занятиям богословием и математикой. В 1593 г. опубликовал свою первую работу – по-богословию. В области математики Непер известен как изобретатель системы логарифмов, основанной на установлении соответствия между арифметической и геометрической прогрессии. В «Описании удивительной таблицы логарифмов» в 1614 г. он опубликовал первую таблицу логарифмов и вел сам термин.

Объяснение дал в другом сочинении «Построение удивительной таблицы логарифмов» (опубликована была в 1619г. после его смерти). Таблица была очень необходима астрономам и немедленно вошла в обиход. В 1617г. опубликована еще одна работа «Рабдология» – изложил способ перемножения чисел с помощью брусков, названных впоследствии «палочки Непера». Участвовал в разработки различных боевых устройств: артиллерийских орудий, зажигательных стекол и др.)

Принцип умножения решеткой, широко распространенный в XVII веке

Для умножения решеткой использовалась таблица, содержащая столько столбцов, сколько разрядов у множимого, и столько строк, сколько разрядов у множителя. Над столбцами таблицы записывается множимое так, чтобы разряды числа находились каждый над своим столбцом. Справа от таблицы записывался множитель так, чтобы каждый разряд числа был напротив своей строки. При этом старший разряд записывался напротив верхней строки. В каждую ячейку таблицы записывался результат перемножения разряда множимого, находящегося над этой ячейкой, и разряда множителя, находящегося справа от этой ячейки. Причем для записи результата ячейка разделялась по диагонали на две части. В верхнюю часть записывался старший разряд результата, а в нижнюю – младший. Затем произведения суммировались по наклонным плоскостям справа налево. Полученная сумма и есть окончательный результат.

1. Чертим решетку с тремя столбцами и одной строкой, разделяем ячейки решетки на две части по диагонали.
2. Умножаем старший разряд множимого на множитель (5*7 = 35) и записываем результат в первую ячейку, причем разряд десяток записываем в верхнюю часть ячейки, а разряд единиц - в нижнюю.
3. Умножаем разряд десятков множимого на множитель (6*7 = 42) и записываем результат во вторую ячейку. 4. Умножаем разряд единиц множимого на множитель (8*7 = 56) и записываем результат в третью ячейку.
5. Суммируем строку решетки по наклонной плоскости справа налево. Суммирование по наклонной плоскости проводится поразрядно с переносом переполнения в старший разряд. Каждый разряд равен сумме чисел в прилегающих друг к другу треугольниках соседних ячеек. Полученная сумма - это результат умножения

Палочки Непера

Используя этот способ умножения, Джон Непер создал свой прибор – «Палочки Непера». Это набор палочек, в который входила одна палочка с нанесенными на нее цифрами от 1 до 9 (указатель строк) и палочки с таблицей умножения всех чисел от 1 до 9 (разряды множимого). Сверху каждой такой палочки наносилось число от 1 до 9, а вдоль длины – результаты умножения этого числа на все числа от 1 до 9. По сути дела палочки Непера представляли собой решетку для умножения числа 123456789 на число 123456789, разрезанную на столбцы. Для умножения с помощью этого прибора выбирались палочки, соответствующие значениям разряда множимого, и выкладывались в ряд так, чтобы цифры сверху каждой палочки составляли множимое. Часто значения разрядов множимого повторялись, поэтому в наборе всегда было несколько палочек для каждого разряда. Слева прикладывали палочку с цифрами от 1 до 9 (указатель строк), по которой выбирали строки, соответствующие разрядам множителя. Затем каждая отобранная строка суммировалась по наклонной плоскости. Полученные результаты складывались между собой с учетом порядка разрядов множителя.

Модификация палочек Непера

Было множество попыток усовершенствовать палочки Непера.

Так в 1668 году Каспар Шот предложил вместо брусочков использовать цилиндры, на поверхности каждого из которых нанесены значения всех палочек Непера с таблицей умножения от 1 до 9. Цилиндры помещались в ящик параллельно друг другу. Повернув цилиндры так, чтобы их верхние цифры составляли множитель, можно проводить умножение также, как и с помощью палочек Непера.

В 19 веке для облегчения счета палочки Непера стали делать на брусочках, располагающихся под углом в 65 градусов. Таким образом, треугольники, используемые для сложения, при счете по наклонной плоскости располагались друг под другом.

А в 1892 году был создан прибор для умножения, использующий вместо палочек узкие полоски, закрепленные в футляре в виде записной книжки и передвигающиеся с помощью заостренной палочки, а слева прикладывали палочку с цифрами от 1 до 9 (указатель строк), по которой выбирали строки, соответствующие разрядам множителя. Затем каждая отобранная строка суммировалась по наклонной плоскости. Полученные результаты складывались между собой с учетом порядка разрядов множителя.

Палочки Непера были очень популярны и привлекали многих изобретателей.

За века их использования было предложено много разнообразных усовершенствований и устройств для их использования.

Техника умножения с помощью палочек Непера

Рассмотрим технику умножения с помощью палочек Непера на примере перемножения чисел 4938 и 385:

1. Выбираем палочки с таблицей умножения чисел 3,4,8 и 9.

2. Выкладываем их вряд так, чтобы цифры сверху каждой палочки составили число 4938.

3. Выкладываем слева указатель строк.

4. Ориентируясь по крайней левой палочке, проводим суммирование по наклонной плоскости для третьей строки. Суммирование проводится по этой строке, так как старший разряд множителя – три. Получаем результат суммирования 14814.

5. Аналогичные действия проводим для восьмой строки, так как второй разряд множителя – восемь. Результат суммирования – 39504.

6. Эти же действия проводим для младшего разряда множителя, которому соответствует пятая строка. Результат суммирования – 24690.

7. Складываем полученные ранее результаты с учетом порядка разрядов множителя. Так как первая сумма вычислялась для разряда сотен, то умножаем ее на 100. Соответственно вторую сумму умножаем на 10, а третью оставляем без изменения. Складываем полученные результаты: 1 481 400 + 395 040 + 24690 = 1 901 130. Полученная сумма и есть результат перемножения чисел 49380 и 385.

4. Теперь приступаем непосредственно к делению. На этом этапе необходимо найти наибольшее число из столбца сумм, но при этом оно должно быть меньше делимого с учетом разрядности. То есть необходимо привести числа из столбца сумм к единому порядку с делимым и уже из этих чисел выбирать нужное нам. Для нашего примера - это число из первой строки с учетом приведения к единому порядку с делимым 385200. Вычитаем найденное число (385200) из делимого и получаем старший разряд результат и остаток. Старший разряд результата будет 1, так как мы выбрали число из первой строки. Остаток от деления будет 491756 - 385200 = 106556.

Этап 1.

Определяем остаток от операции на втором этапе, отнимая от числа, определенного для второго этапа (163), выбранное нами число (129). Остаток будет 34 (163-129 = 34). Зная остаток, определяем значение для третьего этапа извлечения квадратного корня. Путем объединения остатка(34) и третей группы(49) получаем число 3449.

Палочки Непера могли использоваться не только для умножения, но и для деления, и излечения квадратного корня. Рассмотрим технику деления на примере 491756 / 3852 = 127.6625:

1. Выбираем палочки с таблицей умножения чисел 2,3,5 и 8.

2. Выкладываем их в ряд так, чтобы цифры сверху каждой палочки составили делитель (3852).

3. Суммируем по наклонной плоскости первый ряд и записываем напротив него результат. Эту же операцию проделываем с оставшимися восемью рядами.

Для нашего примера - это число из первой строки с учетом приведения к единому порядку с делимым 385200. Вычитаем найденное число (385200) из делимого и получаем старший разряд результат и остаток. Старший разряд результата будет 1, так как мы выбрали число из первой строки. Остаток от деления будет 491756 - 385200 = 106556.
5. Повторяем действия, описанные в пункте 4, но применительно к остатку от деления. В результате получаем следующий разряд результата (2) и новый остаток (29516). Повторяем эти действия до тех пор, пока остаток больше делителя. Когда остаток от деления становится меньше делителя, означает, что найдена целая часть результата. В нашем случае это произойдет после трех итераций, и целая часть результата будет 127.
6. Увеличиваем остаток от деления в 10 раз и проводим с ним описанные выше действия, в результате получаем десятые доли результата (для нашего примера 6) и новый остаток. Повторяем эти действия до тех пор, пока не будет достигнута необходимая точность деления или остаток не будет равен нулю.

Извлечение квадратного корня этап 1

Извлечение квадратного корня происходит поэтапно. Число разбивают на группы по 2 цифры, начиная с права, и на каждом этапе оперируют со своей парой цифр. При этом от этапа к этапу к паре чисел присоединяется остаток от извлечения квадратного корня на предыдущем этапе.
Этап 1. Число 56349 разбивается на пары следующим образом: 5 63 49. Извлечение квадратного корня начинается с крайней левой группы, в нашем случае это 5.
Выбираем из первого ряда палочки для деления максимальное число, но меньшее первой группы (пяти). Это будет четыре: 4
Определяем остаток от операции над первой группой, отнимая от значения группы (5) выбранное нами число (4). Остаток будет 1 (5-4 = 1). Зная остаток от операции над первой группой, определяем значение для второго этапа извлечения квадратного корня. Путем объединения остатка(1) и второй группы(63) получаем число 163.
Смотрим значение второго столбца палочки для деления во второй строке (4) и выкладываем это число слева от этой палочки, как показано на рисунке «Извлечение кв. корня. Этап 1». Подсчитываем сумму всех рядов по наклонной плоскости, игнорируя второй и третий столбцы палочки, для извлечения квадратного корня и записываем их справа от выложенных палочек.

Выбираем наибольшее число из столбца суммирования строк по наклонной плоскости, которое в свою очередь меньше числа, определенного для второго этапа (163). Это будет 129 (129
Смотрим значение второго столбца палочки для деления в третьей строке (6) и выкладываем палочку, соответствующую этому числу слева от палочки для деления, как показано на рисунке «Извлечение кв. корня. Этап 2». Подсчитываем сумму всех рядов по наклонной плоскости, игнорируя второй и третий столбцы палочки, для извлечения квадратного корня и записываем их справа от выложенных палочек.

Этап 3

Этап 3. Выбираем наибольшее число из столбца, который получился в результате суммирования строк по наклонной плоскости, которое в свою очередь меньше числа, определенного для третьего этапа (3449). Это будет 3269 (3269

Определяем остаток от операции, отнимая от числа, определенного для третьего этапа (3449), выбранное нами число (3269). Остаток будет 180 (3449-3269 = 180). Зная остаток, определяем значение для продолжения извлечения квадратного корня на четвертом этапе. Так как для четвертого этапа не осталось группы для объединения с остатком, то разряд результата, полученный после четвертого этапа, будет разряд десятых частей. А для вычисления числа для четвертого этапа остаток (180) объединяется с группой, состоящей из двух нулей (00). Таким образом, число для четвертого этапа будет 18000.

Смотрим значение второго столбца палочки для деления в седьмой строке (14). Объединяем число, выложенное палочками (46), с 14 по следующему правилу: разряд десятков от числа 14 прибавляем к числу выложенными палочками (46+1=47), а разряд единиц просто приписываем справа и получаем 474. Выкладываем это число слева от палочки для извлечения квадратного корня, как показано на рисунке «Извлечение кв. корня. Этап 3». Подсчитываем сумму всех рядов по наклонной плоскости, игнорируя второй и третий столбцы палочки для извлечения квадратного корня, и записываем их справа от выложенных палочек.

Этап 4. Выбираем наибольшее число из столбца суммирования строк по наклонной плоскости, которое меньше числа, определенного для четвертого этапа (18000). Это будет 14229 (14229
Далее повторяем действия, описанные в третьем этапе, до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность или остаток от операции не будет равен нулю. Если получен нулевой остаток, то это означает, что корень извлекается точно.

В книге, изданной в 1617 году, шотландский ученый Джон Непер описал способ умножения с помощью палочек, который в дальнейшем получил название «Палочки Непера». В основу этого устройства лег принцип умножения решеткой, широко распространенный в XVII веке.

1. Чертим решетку с тремя столбцами и одной строкой, разделяем ячейки решетки на две части по диагонали.

2. Умножаем старший разряд множимого на множитель (5*7 = 35) и записываем результат в первую ячейку, причем разряд десяток записываем в верхнюю часть ячейки, а разряд единиц - в нижнюю.

3. Умножаем разряд десятков множимого на множитель (6*7 = 42) и записываем результат во вторую ячейку.

4. Умножаем разряд единиц множимого на множитель (8*7 = 56) и записываем результат в третью ячейку.

5. Суммируем строку решетки по наклонной плоскости справа налево. Суммирование по наклонной плоскости проводится поразрядно с переносом переполнения в старший разряд. Каждый разряд равен сумме чисел в прилегающих друг к другу треугольниках соседних ячеек. Полученная сумма - это результат умножения.

На рисунке слева приведен пример умножения с помощью решетки для многоразрядного множителя. Все действия аналогичны примеру с одноразрядным множителем, только несколько усложняется суммирование по наклонной плоскости.

Используя этот способ умножения, Джон Непер создал свой прибор – «Палочки Непера». Он представлял собой набор палочек, в который входила одна палочка с нанесенными на нее цифрами от 1 до 9 (указатель строк) и палочки с таблицей умножения всех чисел от 1 до 9 (разряды множимого). Сверху каждой такой палочки наносилось число от 1 до 9, а вдоль длины – результаты умножения этого числа на все числа от 1 до 9. По сути дела палочки Непера представляли собой решетку для умножения числа 123456789 на число 123456789, разрезанную на столбцы.

Для умножения с помощью этого прибора выбирались палочки, соответствующие значениям разряда множимого, и выкладывались в ряд так, чтобы цифры сверху каждой палочки составляли множимое. Часто значения разрядов множимого повторялись, поэтому в наборе всегда было несколько палочек для каждого разряда. Слева прикладывали палочку с цифрами от 1 до 9 (указатель строк), по которой выбирали строки, соответствующие разрядам множителя. Затем каждая отобранная строка суммировалась по наклонной плоскости. Полученные результаты складывались между собой с учетом порядка разрядов множителя.

Рассмотрим технику умножения с помощью палочек Непера на примере перемножения чисел 4938 и 385:

1. Выбираем палочки с таблицей умножения чисел 3,4,8 и 9.

2. Выкладываем их вряд так, чтобы цифры сверху каждой палочки составили число 4938.

3. Выкладываем слева указатель строк.

1. Выбираем палочки с таблицей умножения чисел 2,3,5 и 8.

2. Выкладываем их в ряд так, чтобы цифры сверху каждой палочки составили делитель (3852).

5. Повторяем действия, описанные в пункте 4, но применительно к остатку от деления. В результате получаем следующий разряд результата (2) и новый остаток (29516). Повторяем эти действия до тех пор, пока остаток больше делителя. Когда остаток от деления становится меньше делителя, означает, что найдена целая часть результата. В нашем случае это произойдет после трех итераций, и целая часть результата будет 127.

6. Увеличиваем остаток от деления в 10 раз и проводим с ним описанные выше действия, в результате получаем десятые доли результата (для нашего примера 6) и новый остаток. Повторяем эти действия до тех пор, пока не будет достигнута необходимая точность деления или остаток не будет равен нулю.

Для извлечения квадратного корня использовалась дополнительная палочка, имеющая три столбца. Первый столбец содержал возведенные в квадрат значения указателя строк. Второй столбец содержал числа, получаемые умножением значения указателя строк на два. Третий столбец содержал числа от 1 до 9. Для того, чтобы понять, как производилось вычисления квадратного корня с помощью палочек Непера, рассмотрим пример извлечения квадратного корня из числа 56349.

Извлечение квадратного корня происходит поэтапно. Число разбивают на группы по 2 цифры, начиная с права, и на каждом этапе оперируют со своей парой цифр. При этом от этапа к этапу к паре чисел присоединяется остаток от извлечения квадратного корня на предыдущем этапе.

Этап 1. Число 56349 разбивается на пары следующим образом: 5 63 49. Извлечение квадратного корня начинается с крайней левой группы, в нашем случае это 5.

Выбираем из первого ряда палочки для деления максимальное число, но меньшее первой группы (пяти). Это будет четыре: 4

Определяем остаток от операции над первой группой, отнимая от значения группы (5) выбранное нами число (4). Остаток будет 1 (5-4 = 1). Зная остаток от операции над первой группой, определяем значение для второго этапа извлечения квадратного корня. Путем объединения остатка(1) и второй группы(63) получаем число 163.

Смотрим значение второго столбца палочки для деления во второй строке (4) и выкладываем это число слева от этой палочки, как показано на рисунке «Извлечение кв. корня. Этап 1». Подсчитываем сумму всех рядов по наклонной плоскости, игнорируя второй и третий столбцы палочки, для извлечения квадратного корня и записываем их справа от выложенных палочек.

Этап 2. Выбираем наибольшее число из столбца суммирования строк по наклонной плоскости, которое в свою очередь меньше числа, определенного для второго этапа (163). Это будет 129 (129

Смотрим значение второго столбца палочки для деления в третьей строке (6) и выкладываем палочку, соответствующую этому числу слева от палочки для деления, как показано на рисунке «Извлечение кв. корня. Этап 2». Подсчитываем сумму всех рядов по наклонной плоскости, игнорируя второй и третий столбцы палочки, для извлечения квадратного корня и записываем их справа от выложенных палочек.

Этап 4. Выбираем наибольшее число из столбца суммирования строк по наклонной плоскости, которое меньше числа, определенного для четвертого этапа (18000). Это будет 14229 (14229

Далее повторяем действия, описанные в третьем этапе, до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность или остаток от операции не будет равен нулю. Если получен нулевой остаток, то это означает, что корень извлекается точно.

Было множество попыток усовершенствовать палочки Непера. Так в 1668 году Каспар Шот предложил вместо брусочков использовать цилиндры, на поверхности каждого из которых нанесены значения всех палочек Непера с таблицей умножения от 1 до 9. Цилиндры помещались в ящик параллельно друг другу. Повернув цилиндры так, чтобы их верхние цифры составляли множитель, можно проводить умножение также, как и с помощью палочек Непера.

Палочки Непера были очень популярны и привлекали многих изобретателей. За века их использования было предложено много разнообразных усовершенствований и устройств для их использования. Однако, это было не единственное изобретение Непера, повлиявшее на развитие устройств для счета. Он заложил понятие логарифма и основы логарифмического исчисления , речь о котором пойдет в следующем разделе.

14. Ученики 6-го класса прочитали стихотворение Н. П. Кончаловской и поспорили.

Марина утверждала, что ничего нового по сравнению с текстом о Науме Грамотнике она не прочитала в этом стихотворении. А Юра сказал, что в стихотворении есть важная новая информация.

С кем из учеников ты согласишься? Запиши свой ответ и приведи обоснование.

15. На уроке ученикам предложили придумать собственную подпись к картине художника Б. М. Кустодиева. Какая из предложенных подписей наиболее точно отражает содержание картины? Запиши номер правильного ответа.

1) «Азбуку учат - на всю избу кричат».

2) Урок в школе Древней Руси.

3) Учение - свет.

4) Урок чтения.

16. Сколько времени проходило в старину от начала учебного года до обряда посвящения в ученики? Запиши номер правильного ответа.

2) 2 месяца

3) 3 месяца

4) 6 месяцев

17. Какие приметы существовали в древнерусской школе? Запиши две приметы.

18. День учителя отмечался как один из первых профессиональных праздников на Руси. И в современной России День учителя является всенародным праздником. Как ты думаешь, почему этот праздник пережил века? Запиши слова (обоснование) из текста, подтверждающие твоё мнение.

ПАЛОЧКИ НЕПЕРА

Прочитай текст и выполни задания 19-27

Я всегда старался, насколько позволяли мои силы

и способности, освободить людей от трудности и

скуки вычислений, докучливость которых

обыкновенно отпугивает очень многих от

изучения математики.

Джон Непер,

шотландский богослов и любитель математ ики

Джон Непер

В 1617 году Непер опубликовал трактат под названием «Рабдология, или Искусство счёта с помощью палочек» (рис. 1). В нём он описал способ, благодаря которому можно было без труда умножать числа. Сегодня никто не задумывается о сложности этого арифметического действия, даже словосочетание «способ умножения» звучит как-то странно, ведь единственный известный большинству алгоритм умножения «в столбик» проходят в третьем классе. А в те далёкие времена умножение было наукой, которой посвящали целые трактаты.

Рис. 1. Одно из первых

изданий трактата Непера

В набор для вычислений, описанный Непером (рис. 2), входили: одна палочка с цифрами от 1 до 9 (это указатель строк) и палочки с таблицей умножения всех чисел от 1 до 9 (разряды множимого). Сверху каждой палочки были нанесены числа от 1 до 9, а по всей длине результаты умножения этого числа на числа от 1 до 9, причём для записи результата ячейка разделена по диагонали на две части: в верхней записан разряд десятков, а в нижней - единиц (рис. 3).

Палочки были похожи на кости домино, кроме того для их изготовления нередко использовалась слоновая кость.

Для умножения выбирались палочки, соответствующие значениям разряда множимого, и выкладывались в ряд так, чтобы цифры сверху каждой палочки составляли множимое. Слева прикладывали указатель строк - по нему выбирали строки, соответствующие разрядам множителя. Затем числа суммировались вдоль диагональной линии. Суммирование проводилось поразрядно с переносом переполнения в старший разряд.

Например, чтобы умножить 187 на 3, необходимо выбрать три палочки, соответствующиее числам 1, 8 и 7, и выстроить их так, как изображено на рисунке 4. Третья строка показывает следующее:

Суммируем два числа, одно из которых находится под диагональю, а другое - над диагональю, но не этого квадрата, а соседнего справа (рис. 5).

Эти суммы и дают нам разряды произведения: 561.

В основу своего счётного устройства Непер положил принцип умножения решёткой, широко распространённый в его время. Для умножения решёткой рисовали таблицу, содержащую столько столбцов, сколько разрядов у множимого, и столько строк, сколько разрядов у множителя. Над столбцами таблицы записывали множимое так, чтобы разряды числа находились каждый над своим столбцом. Справа от таблицы записывали множитель (рис. 6).

Умножение решёткой

Затем заполняли клетки таблицы результатами умножения разряда множимого, находящегося над этой клеткой, и разряда множителя, находящегося справа от этой клетки. Именно эти действия Непер и упростил, нанеся таблицу умножения на палочки. Далее произведения суммировались, как и в случае с палочками.

Палочкам Непера была суждена долгая жизнь: несколько веков они использовались для вычислений в самых разных областях деятельности человека. Они повлияли на создание логарифмической линейки, ставшей классическим инженерным инструментом XIX и XX веков, и благополучно дожили до эры компьютеров и калькуляторов.

Задания

19. Какую основную цель преследовал Джон Непер, работая над созданием счётного устройства, получившего его имя? Напиши верный номер ответа.

1) привлечь людей к изучению математики;

2) заложить начало новой науки - вычислительной математики;

3) освободить людей от трудности вычислений;

4) разработать новый способ вычислений, отличный от умножения «в столбик».

20. О том, как устроены палочки Непера, говорится во втором абзаце текста. Прочитай его ещё раз и ответь на вопрос: какое число должно быть написано в верхнем квадрате палочки, изображённой на рисунке? Запиши получившееся число.

21. С помощью палочек Непера надо выполнить умножение: 4169·5. Палочки, соответствующие каким числам, надо выбрать? Запиши номера соответствующихпалочек.

22. Второе название описанного счётного устройства - кости Непера. С чем связано это название? Найди в тексте те слова, которые содержат ответ на этот вопрос, и запиши их.

23. С помощью палочек Непера умножают 187 на 4. Используя рисунки 4 и 5, выполни задания А-В.

А. Какую строку надо выбрать?

Б. Запиши все необходимые суммы.

В. Запиши результат.

24. Представь, что тебе надо рассказать младшему брату - третьекласснику, как умножить решёткой двузначное число на однозначное. Ниже описаны отдельные шаги этого алгоритма. Используя рисунок 6 и описание в тексте, запиши для каждого шага его порядковый номер. Первый шаг уже указан: D-1

A. Записываем полученное число.

B. Умножаем разряд единиц множимого на множитель, записываем результат во вторую клетку.

C. Суммируем поразрядно числа в ячейках по диагонали.

D. Чертим таблицу с двумя столбцами и одной строкой.

E. Умножаем разряд десятков множимого на множитель, записываем результат в первую клетку.

F. Каждую клетку таблицы разделяем по диагонали на две ячейки.

25. Как умножали числа, в разряде которых был 0? Как бы ты умножал(-а) 1807 на 3, используя палочки Непера? Нарисуй схему и запиши ответ: 1807·3=

26. Таня прочитала в энциклопедии, что палочки Непера долгое время использовались для вычислений в астрономии, артиллерии и других областях, а на родине автора - в Шотландии - на протяжении нескольких столетий они применялись для обучения школьников арифметике. Она пытается понять, чем этот способ был так привлекателен в те времена. У неё есть несколько предположений.

Шотландский богослов и оккультист Джон Непер (1550-1617) сегодня известен как создатель логарифмов. Именно изобретение логарифмов, наряду с другими достижениями в математике, а также в физике и астрономии, вписало имя этого человека в историю. Не его основная, как он сам утверждал, теологическая деятельность, а логарифмы.

В XVI веке в Европе необходимость выполнять математические расчеты стала появляться не только у ученых, но и у все большего числа обывателей. Если для ученых требовалось ускорить процесс сложных научных вычислений, то простому человеку важно было уметь подсчитать, например, размер наследства, которое оставит богатый дядюшка.

Если со сложением-вычитанием в пределах десятка проблем не возникало, то умножение и деление могли вызвать затруднения. Даже и в наше время не все взрослые могут быстро умножить одно большое число на другое.

Сначала Непер озаботился облегчением вычислений для профессионалов, придумав, как заменить умножение на сложение. Речь шла о проведении тригонометрических операций в неевклидовой геометрии.

Сегодня из курса школьной математики известно, что для умножения чисел с одинаковыми основаниями и разными показателями степеней достаточно сложить степени.

Например: 125×25 = 5 3 ×5 2 , 3 + 2 = 5, 5 3 ×5 2 = 5 5 , а 5 5 = 3125.

Следовательно, достаточно составить таблицы, в которых каждому числу будет поставлен в соответствие показатель его степени по определенному основанию. В этом случае результат умножения можно будет получать, просто складывая числа в этой таблице и в ней же находя результат.

В дальнейшем это изобретение Непера получило и нетабличную реализацию в виде логарифмической линейки, верой и правдой прослужившей не одному поколению ученых и инженеров, несмотря на имеющуюся погрешность.

Что же касается потребностей более широких масс, Непер придумал, как заменить умножение и деление вычитанием и сложением. Он не был здесь первооткрывателем. Скорее опирался на работы индийских и арабских ученых, а также работы итальянского средневекового математика Леонардо Фибоначчи. Он усовершенствовал их идеи и нашел простую реализацию в виде специального устройства – «палочек Непера».

Работа, в которой Непер описал это свое изобретение, называлась «Рабдология», что в переводе с греческого означает «Наука о палочках». Совсем обходиться без промежуточных записей, не получалось, но забыть о таблице умножения было можно.

Устройство и работу палочек Непера можно объяснить так. Возьмем полоски бумаги и заранее запишем на них таблицу умножения, разделив диагональной чертой единицы и десятки результата.

Допустим мы хотим умножить 3682 на 7.

Берем полоски, которые начинаются на 3, 6, 8 и 2 и располагаем их в соответствующем порядке. Слева ставим полоску начинающуюся с единицы.

В первой полоске выбираем строчку на которую хотим умножить, то есть 7. Складываем числа по диагоналям.

Получаем: 2 / 1+4 / 2+5 / 6+1 / 4

Результат умножения: 25774

В дальнейшем эти счетные палочки различным образом модернизировались, с их помощью научились извлекать квадратный корень. Непер, используя принципы рабдологии, создал так называемый карточный или рабдологический абак. Он представлял собой относительно небольшой ящик, с помощью которого можно было перемножать 100- и 200-значные числа.

В 1666 году Самюэль Морлэнд усовершенствовал палочки Непера перенеся таблицу умножения на диски. Это упростило использование системы разработанной Непером и очень понравилось современникам. Морлэнд назвал свое детище «Новая множительная машина». Это устройство было похоже на первые арифмометры, и его можно считать прапрадедушкой современных калькуляторов.

Палочки Непера были одним из первых устройств, которые облегчили современникам сложные вычисления, еще до появления "Паскалины" и арифмометра Лейбница . Сегодня палочки Непера похожи на счетные палочки для первоклашек или забавную развивающую игрушку для самых маленьких, которая помогает вспомнить таблицу умножения. Палочки Непера дают нам повод лишний раз помянуть добрым словом их изобретателя, стоявшего у истоков современной математики.

Добавить комментарий

Имя: E-mail:

Защита от спама: одна тысяча шестьсот девяносто два (число):*

Простыми словами

Не знаю, всем ли известно имя одного из выдающихся математиков, барона Джона Непера (1550-1617) - шотландца по происхождению.
Вот он собственной персоной (с) Википедия:

Знаменит о в первую и в самую основную очередь тем, что изобрел логарифмы !
Можно себе представить, как мучились люди в те времена, производя умножение и деление многозначных чисел. Непер же придумал специальные таблицы, в которых было произведено взаимно однозначное соответствие геометрической прогрессии и арифметической. Причем, естественно, геометрическая прогрессия была исходной. Таким образом, умножению Непер сопоставил гораздо более легкое сложение, а делению, соответственно, - вычитание.
За что всё прогрессивное человечество благодарно ему по сей день.

Но я сейчас буду рассказывать не об этом.
В 1617 году Непер предложил другой, не логарифмический, способ умножения чисел, для которого придумал специальное устройство, получившее название «палочки Непера».
Рассказываю я о нем в связи с записями о фигурных числах. Это еще один способ визуализации арифметики. (Хотя, на самом деле, больше ничего общего с фигурными числами тут нет).

Я узнала о палочках Непера, когда готовила презентацию по истории развития вычислительной техники. Для презентации мне хватило одного слайда с краткой информацией. Сейчас попыталась найти нечто более обширное и ужаснулась: Непер везде упоминается, как правило, как раз в разделе "история вычислительной техники", и пара абсолютно одинаковых абзацев кочует из статьи в статью.
Вот что удалось из всего этого почерпнуть.

Этот «вычислительный инструмент» состоял из брусков с нанесенными на них цифрами от 0 до 9 и кратными им числами. Для умножения какого-либо числа бруски располагали рядом так, чтобы цифры на торцах составляли это число. Ответ можно было увидеть на боковых сторонах брусков.

Вот смотрите: (это самая лучшая из найденных мной картинок):

То есть, как я это рассказывала студентам, это своеобразная трехмерная таблица умножения.
Теперь понимаю, что с трехмерной я погорячилась. Кажется, речь идет о плоском представлении (я думала на этих брусках цифры со всех четырех боковых сторон, но похоже, они только на одной "фронтальной" стороне и на торце).

Полоски с нанесенными на них числами, были еще разделены диагоналями так, что слева (выше) диагонали располагаются десятки, а справа - единицы.
Для получения произведений осуществляется суммирование «вдоль диагоналей».

КАК это происходит, я, если честно, до конца не понимаю. Но судя по тому, что я прочла, четырехзначные числа перемножались с помощью этих палочек шутя.

Помимо умножения, палочки Непера позволяли выполнять деление и извлекать квадратный корень.

Под кат спрячу цитату с одного сайта, постичь которую я не в состоянии)))
Тем не менее, там всё объясняется))
Упражнение для пытливых умов:
Дж. Непер предложил специальные счетные палочки (названные впоследствии палочками Непера), позволявшие производить операции умножения и деления непосредственно над исходными числами. Сверху решетки каждой клетке приписываются цифры А-числа, а справа - цифры В-числа. В каждой (k,j)-клетке решетки записывается результат произведения Rkj=xk*yj соответствующих цифр чисел. При этом число десятков помещается выше диагонали клетки и единиц - ниже диагонали. После заполнения всех клеток решетки производится суммирование S p по наклонным полоскам решетки справа налево с переносом старших разрядов.

Описанный принцип умножения иллюстрируется на примере перемножения чисел 1942 и 54:1942x54=104868. Палочки Непера (в количестве 9; представляют собой своеобразную таблицу умножения, в которой числа записываются в описанной выше клеточной форме) основным назначением имели умножение больших чисел и для операций деления и извлечения корня применялись весьма редко. Сам Непер впоследствии предложил палочки особой конструкции, предназначенные специально для извлечения квадратного корня; они использовались в сочетании с обычными палочками Непера. Наряду с палочками Непер предложил счетную доску для выполнения операций умножения, деления, возведения в квадрат и извлечения квадратного корня в двоичной с.с., предвосхитив тем самым преимущества такой системы счисления для автоматизации вычислений.
Отсюда.

Разделы