Решение простых линейных уравнений. Примеры решения линейных уравнений

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №1»

г.Воркуты

Конспект урока по математике

«Решение уравнений, сводящихся к линейным»

подготовила

учитель математики

Морозова Раиса Аркадьевна

2015

Образовательные цели: (слайд 1, 2)

• повторить понятия, связанные с уравнением, вопрос о количестве и качестве корней линейного уравнения;
• учиться решить уравнения, сводящиеся к линейным;

Развивающие цели:

• развивать память, логическое мышление;

Воспитательные цели:

• воспитывать интерес к предмету через исторический материала;
• умения работать в коллективе, умение сотрудничать.

Тип урока: Урок закрепления умений и навыков учащихся.

Ход урока

I Организационный момент

Приветствие. (слайд 3)

«Смелые мысли играют роль передовых шашек в игре; они гибнут, но обеспечивают победу». И.В.Гете

«Счет и вычисления – основа порядка в голове» И.Г.Песталоцци

Сообщение учащимся темы и цели урока.

II Проверка домашнего задания

а) Работа по карточкам у доски. К доске вызываются трое учащихся. Им предлагаются задания из домашней работы.

Примеры карточек

Остальные учащиеся занимаются устной работой.

б) Устная работа (слайд 4)

На слайде появляются задания, а ребята на заранее приготовленных листочках записывают ответы, затем организуется самопроверка.

«Счет и вычисления – основа порядка в голове». И.Г.Песталоцци

Вычислите: (слайд 5)

Ответы: (слайд 6) 1) 60; 2) 20; 3) -20; 4) -70; 5) 2; 6) 4,5; 7) ; 8) ; 9) 49; 10) 25.

Следующие задания устного счета записаны на доске. Ребята отвечают устно.(слайд 7)

После устной работы, класс заслушивает ответы ребят, кто работал по карточкам у доски. Ответы этих ребят оцениваются.

III Решение задач

Решение многих уравнений сводится к решению линейных уравнений.

Работа с учебником

Прочитайте примеры – образцы по решению уравнений: (слайд 8)

4(x+7)=3-x

2x+5=2(x+6)

3(x+2)+x=6+4x

Затем, к доске вызываются трое учащихся для объяснения решений этих уравнений, класс решает эти уравнения в тетрадях.

А теперь повторим законы и правила, с которыми мы будем встречаться при решении уравнений, сводящихся к решению линейного уравнения.

Ответьте на следующие вопросы: (слайд 9)

• Как читается распределительный закон умножения относительно сложения? Запишите этот закон с помощью букв: a, b, c.
• Как раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «+»?
• Как раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «-»?
• Какие свойства уравнения вы знаете?

А знаете ли вы, ребята, что линейные уравнения с одним неизвестным умели решать еще в Древнем Вавилоне и в Египте более чем 4 тысячи лет назад. Приведем, например, задачу из папируса Ринда (его называют также папирусом Ахмеса), хранящегося в Британском музее и относящегося в периоду 2000 – 1700 гг. до н.э.: «Найти число, если известно, что от прибавления к нему его и вычитания от полученной суммы ее трети получится число 10». (слайд 10)

Решение этой задачи сводится к решению линейного уравнения. (слайд 11)

Ответ: 9.

1. Учитель показывает поочередно карточки. На каждой из них записано уравнение, которое нужно решить устно.

Решение уравнения в тетради. (слайд 12)

1. 0x=0
2. 5x=0
3. 34x=17
4. 2x-4=2x

1. Организуется письменное решение №136 (а, в, д, ж, и) и №137 (а, в, д) по учебнику. На доске и в тетрадях. Ребята на местах сверяют свои решения с решением в тетрадях. (слайд 12)
2. Самостоятельная работа (слайд 13)

1. Общие положения

1.1. С целью поддержания деловой репутации и обеспечения выполнения норм федерального законодательства ФГАУ ГНИИ ИТТ «Информика» (далее – Компания) считает важнейшей задачей обеспечение легитимности обработки и безопасности персональных данных субъектов в бизнес-процессах Компании.

1.2. Для решения данной задачи в Компании введена, функционирует и проходит периодический пересмотр (контроль) система защиты персональных данных.

1.3. Обработка персональных данных в Компании основана на следующих принципах:

Законности целей и способов обработки персональных данных и добросовестности;

Соответствия целей обработки персональных данных целям, заранее определенным и заявленным при сборе персональных данных, а также полномочиям Компании;

Соответствия объема и характера обрабатываемых персональных данных, способов обработки персональных данных целям обработки персональных данных;

Достоверности персональных данных, их актуальности и достаточности для целей обработки, недопустимости обработки избыточных по отношению к целям сбора персональных данных;

Легитимности организационных и технических мер по обеспечению безопасности персональных данных;

Непрерывности повышения уровня знаний работников Компании в сфере обеспечения безопасности персональных данных при их обработке;

Стремления к постоянному совершенствованию системы защиты персональных данных.

2. Цели обработки персональных данных

2.1. В соответствии с принципами обработки персональных данных, в Компании определены состав и цели обработки.

Цели обработки персональных данных:

Заключение, сопровождение, изменение, расторжение трудовых договоров, которые являются основанием для возникновения или прекращения трудовых отношений между Компанией и ее работниками;

Предоставление портала, сервисов личного кабинета для учеников, родителей и учителей;

Хранение результатов обучения;

Исполнение обязательств, предусмотренных федеральным законодательством и иными нормативными правовыми актами;

3. Правила обработки персональных данных

3.1. В Компании осуществляется обработка только тех персональных данных, которые представлены в утвержденном Перечне персональных данных, обрабатываемых в ФГАУ ГНИИ ИТТ «Информика»

3.2. В Компании не допускается обработка следующих категорий персональных данных:

Расовая принадлежность;

Политические взгляды;

Философские убеждения;

О состоянии здоровья;

Состояние интимной жизни;

Национальная принадлежность;

Религиозные убеждения.

3.3. В Компании не обрабатываются биометрические персональные данные (сведения, которые характеризуют физиологические и биологические особенности человека, на основании которых можно установить его личность).

3.4. В Компании не осуществляется трансграничная передача персональных данных (передача персональных данных на территорию иностранного государства органу власти иностранного государства, иностранному физическому лицу или иностранному юридическому лицу).

3.5. В Компании запрещено принятие решений относительно субъектов персональных данных на основании исключительно автоматизированной обработки их персональных данных.

3.6. В Компании не осуществляется обработка данных о судимости субъектов.

3.7. Компания не размещает персональные данные субъекта в общедоступных источниках без его предварительного согласия.

4. Реализованные требования по обеспечению безопасности персональных данных

4.1. С целью обеспечения безопасности персональных данных при их обработке в Компании реализуются требования следующих нормативных документов РФ в области обработки и обеспечения безопасности персональных данных:

Федеральный закон от 27.07.2006 г. № 152-ФЗ «О персональных данных»;

Постановление Правительства Российской Федерации от 1 ноября 2012 г. N 1119 "Об утверждении требований к защите персональных данных при их обработке в информационных системах персональных данных";

Постановление Правительства Российской Федерации от 15.09.2008 г. №687 «Об утверждении Положения об особенностях обработки персональных данных, осуществляемой без использования средств автоматизации»;

Приказ ФСТЭК России от 18.02.2013 N 21 "Об утверждении Состава и содержания организационных и технических мер по обеспечению безопасности персональных данных при их обработке в информационных системах персональных данных";

Базовая модель угроз безопасности персональных данных при их обработке в информационных системах персональных данных (утверждена заместителем директора ФСТЭК России 15.02.2008 г.);

Методика определения актуальных угроз безопасности персональных данных при их обработке в информационных системах персональных данных (утверждена заместителем директора ФСТЭК России 14.02.2008 г.).

4.2. Компания проводит оценку вреда, который может быть причинен субъектам персональных данных и определяет угрозы безопасности персональных данных. В соответствии с выявленными актуальными угрозами Компания применяет необходимые и достаточные организационные и технические меры, включающие в себя использование средств защиты информации, обнаружение фактов несанкционированного доступа, восстановление персональных данных, установление правил доступа к персональным данным, а также контроль и оценку эффективности применяемых мер.

4.3. В Компании назначены лица, ответственные за организацию обработки и обеспечения безопасности персональных данных.

4.4. Руководство Компании осознает необходимость и заинтересовано в обеспечении должного как с точки зрения требований нормативных документов РФ, так и обоснованного с точки зрения оценки рисков для бизнеса уровня безопасности персональных данных, обрабатываемых в рамках выполнения основной деятельности Компании.

Решая уравнения, мы для того, чтобы упростить его, выполняем тождественные преобразования выражений. В уравнениях с одной переменной иногда решение уравнения можно свести к решению равносильного ему линейного уравнения с одной переменной.

Рассмотрим на примерах. Решим уравнение (2x+1)(3x-2)-6x(x+4)=67-2x. В левой части уравнения умножим многочлен 2x+1 на многочлен 3x-2, а также одночлен 6x на многочлен x+4. После умножения многочлена 2х+1 на многочлен 3х-2 получим многочлен 6х 2 +3х-4х-2, а после умножения одночлена 6х на многочлен х+4 получим многочлен 6х 2 +24х. Наше уравнение примет вид (6х 2 +3х-4х-2)-(6х 2 +24х)=67-2х. После этого раскроем скобки и получим 6х 2 +3х-4х-2-6х 2 -24х=67-2х. Перенесем слагаемые с неизвестным в левую часть, а без неизвестного - в правую. Новое равносильное уравнение выглядит так 6х 2 -6х 2 +3х-4х+2х-24х=67+2. Приведем подобные. Получаем -23х=69. Разделим обе части уравнения на -23. Получаем х=-3. Мы последовательно заменяли уравнения равносильными. Значит исходное уравнение равносильно уравнению -23х=69 и имеет единственный корень - число -3.

Пример второй. Решим уравнение (х+2)/3-(3х-1)/4=-2. В левой части этого уравнения находятся дроби (х+2)/3 и (3х-1)/4. Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель этих дробей - число 12. [(x+2)/3-(3x-1)4].12=-2.12. Раскроем скобки и умножим каждую дробь на 12. Получим (х+2)12/3-(3х-1)12/4+-24. В первой дроби сократится 12 и 3, а во второй 12 и 4. После сокращения наше уравнение станет 4(х+2)-3(3х-1)=-24. Таким образом, мы освободились от знаменателей. После раскрытия скобок, получим 4х+8-9х+3=-24. Все, что содержит переменную, переносим в левую часть, а все, что не содержит переменную - в правую. Уравнение принимает вид 4х-9х=-24-8-3. Приведем подобные и получим -5х=-35. Делим обе части уравнения на -5 и выходит, что х=7. Заменяя шаг за шагом уравнение равносильным параметром, мы получили линейное уравнение -5х=-35, равносильное данному. Данное линейное уравнение имеет единственный корень - число 7.

В рассмотренных примерах решение исходного уравнения сводилось к решению линейного уравнения вида ax=b, в котором коэффициент а не равен 0.

Однако может случиться и так, что заменив одно уравнение на другое, равносильное ему, мы можем получить линейное уравнение вида 0х=b, где b не равно 0 либо 0х=0. В первом случае можем сделать вывод, что исходное уравнение не имеет корней, потому что в левой части уравнения 0, а в правой число не равное 0. Во втором случае уравнение имеет бесконечное число корней, потому что в левой части уравнения всегда будет 0, а в правой тоже 0. Равенство будет выполняться всегда, вне зависимости от значения переменной.

Пример третий. Решим уравнение (2х-7)/2-(4х-1)/4=0. Снова наше уравнение содержит дроби, поэтому умножаем обе части уравнения на наименьший общий знаменатель. Это число 4. Получим [(2x-7)/2-(4x-1)/4].4=0.4. Раскроем скобки: 4(2х-7)/2-4(4х-1)/4=0. Сократим множители и получим уравнение 2(2х-7)-(4х-1)=0. Снова раскроем скобки: 4х-14-4х+1=0. Перенесем слагаемые с неизвестным в левую часть уравнения, а без неизвестного - в правую. Уравнение примет вид 4х-4х=14-1. Приводим подобные и получаем 0х=13. Это уравнение не имеет корней, потому что 0х равно 0 при любых значениях х. Выходит, что равенство не будет достигнуто никогда, ни при каких значениях х. Значит и равносильное ему исходное уравнение не имеет корней.

Пример четвертый. Решим уравнение (5х-1)-2(3х-6)=11-х. Раскроем скобки: 5х-1-6х+12=11-х. Перенесем слагаемые, содержащие х, в левую часть, а не содержащие х - в правую часть уравнения. Получим 5х-6х+х=11+1-12. Приведем подобные: 0х=0. Вот это уравнение 0х=0, а значит и равносильное исходное уравнение, имеет бесконечное множество корней. Так как 0, умноженный на любое число, равняется 0 то равенство выполняется при любом значении х.

Изучение уравнений в среднем звене начинается с введения решения линейных уравнений и уравнений, сводящихся к линейным.

Равенство двух функций, рассматриваемых в общей области определения, называется уравнением. Переменные, входящие в уравнение, обозначаются латинскими буквами x, y,z, t … Уравнение с одной переменной х в общем, виде записывается так f(x)= g(x).

Всякое значение переменной, при котором выражения f(x) и g(x) принимают равные числовые значения, называется корнем уравнения.

Решить уравнение – это, значит, найти все его корни или доказать, что их нет.

Например, уравнение 3+x=7 имеет единственный корень 4, так как при этом и только при этом значении переменной 3+x=7 верное равенство.

Уравнение (x-1)(x-2)=0 имеет 2 корня 1 и 2.

Уравнение x 2 +1=0 не имеет действительных корней, так как сумма двух положительных чисел не равняется 0.

Для того, чтобы решить любое уравнение с одной переменной, учащийся должен знать: во-первых, правила, формулы или алгоритмы решения уравнений данного вида и, во-вторых, правила выполнения тождественных и равносильных преобразований, с помощью которых данное уравнение можно привести к простейшим.

Таким образом, решение каждого уравнения складывается из двух основных частей:

1. преобразования данного уравнения к простейшим;
2. решения простейших уравнений по известным правилам, формулам или алгоритмам.

Если вторая часть является алгоритмической, то первая часть - в значительной степени - эвристической, что и представляет наибольшую трудность для учащихся. В процессе решения уравнения его стараются заменить более простым, поэтому важно знать с помощью каких преобразований это возможно. Здесь необходимо в доступной для ребенка форме дать понятие равносильности.

Уравнения, имеющие одни и теже корни, называются равносильными. Равносильными считаются и уравнения, каждое из которых не имеет корней.

Например, уравнения x+2=5 и x+5=8 равносильны, так как каждое из них имеет единственный корень - число 3.Равносильны и уравнения x 2 +1=0 и 2x 2 +5=0 - ни одно из них не имеет корней.

Уравнения х-5=1 и х 2 =36 не равносильны, так как первое имеет только один корень х=6, тогда как второе имеет два корня 6 и –6.

К равносильным преобразованиям относятся:

1) Если к обеим частям уравнения прибавить одно и тоже число или одно и тоже целое алгебраическое выражение, содержащее неизвестное, то новое уравнение будет равносильно данному.

2) Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и тоже отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Например, уравнение равносильно уравнению x 2 – 1 = 6x

3) Если в уравнении произвести раскрытие скобок и привести подобные слагаемые, то получится уравнения, равносильно данному.

Обучение решения уравнений начинается с простейших линейных уравнений и уравнений сводящихся к ним. Дается определение линейного уравнения и рассматриваются случаи, когда оно имеет одно решение; не имеет решений и имеет бесконечное множество решений.

Линейным уравнением с одной переменной х называют уравнение вида ах = b, где а и b - действительные числа, а - называют коэффициентом при переменной, b - свободным членом.

Для линейного уравнения ах = b могут представиться при случае:

Многие уравнения в результате преобразований сводятся к линейным.

Так в 7 классе можно применить следующие уравнения:

1)

Это уравнение сводиться к линейному уравнению.

Умножением обеих частей на 12 (наименьшее общее краткое знаменателей 3, 4, 6, 12), получим:

8 + 3x + 2 – 2x = 5x –12,

8 + 2 + 12 = 5x – 3x + 2x,

Ответ: 5,5.

2) Покажем, что уравнение 2 (х + 1) – 1 = 3 - (1 - 2х) не имеет корней.

Упростим обе части уравнения:

2х + 2 – 1 = 3 – 1 + 2х,

2х + 1 = 2 + 2х,

2х - 2х = 2 - 1,

Это уравнение не имеет корней, т.к. левая часть 0 х равна 0 при любом х, а значит не равна 1.

3) Покажем, что уравнение 3(1 – x) + 2 = 5 – 3x имеет бесконечное множество корней.

При прохождении темы “линейные уравнения с двумя переменными” можно предложить учащимся графический способ решения уравнения. Данный метод основан на пользовании графиков функций, входящих в уравнение. Суть метода: найти абсциссы точек пересечения графиков функций, стоящих в левой и правой частях уравнения. Основывается на выполнение следующих действий:

1) Преобразовать исходное уравнение к виду f(x) = g(x), где f(x) и g(x) функции, графики, которых можно построить.
2) Построить графики функций f(x) и g(x)
3) Определить точки пересечения построенных графиков.
4) Определить абсциссы найденных точек. Они и дадут множество решений исходного уравнения.
5) Записать ответ.

Преимущество данного метода заключается в том, что он позволяет легко определить число корней уравнения. Недостаток в том, что корни в общем случае определяются приближенно.

Следующим этапом в изучении линейных уравнений, являются уравнения с модулями, причем некоторые решения выполняются несколькими способами.

Решение уравнений, содержащих знак модуля и уравнений с параметрами можно назвать деятельностью, близкой к исследовательской. Это обусловлено тем, что выбор метода решения, процесс решения, запись ответа предполагают определенный уровень сформированности умений наблюдать, сравнивать, анализировать, выдвигать и проверять гипотезу, обобщать полученные результаты.

Особой интерес представляют уравнения, содержащие знак модуля.

По определению модуля числа a, имеем:

Число –a может быть отрицательным при a>0; -a положительным при a<0. из определения видно, что модуль любого числа неотрицателен. Оно же показывает, как избавиться от модуля в алгебраических выражениях.

Следовательно, x=5 или x=-5.

Рассмотрим уравнение .

Решить уравнение можно двумя способами.

1 способ. По определению модуля числа имеем:

Поэтому x - 3 = 7 или –x + 3 = 7,

x = 10 или x = -4.

Ответ: 10; -4.

2 способ – графический. Уравнение можно записать в виде системы двух уравнений:

Построим графики функций и .

Абсциссы точек пересечения этих графиков являются решением уравнения .

Ответ: -4; 10.

Решим уравнение, содержащее не один модуль

Воспользуемся следующим алгоритмом.

1. Отметить все нули подмодульных выражений на числовой прямой, разбиваемой на промежутки, на которых все подмодульные выражения имеют постоянный знак.
2. Из каждого промежутка взять произвольное число и подсчетом определить знак подмодульного выражения, раскрыть модули.
3. Решить уравнение и выбрать решение, принадлежащее данному промежутку.

Итак, подмодульные выражения обращаются в нуль при х = -1 и х = -3.

I промежуток. Пусть х < - 3, тогда на этом промежутке , и уравнение примет вид

– х – 1 – х – 3 = 4,

и, следовательно, является корнем уравнения.

II промежуток. Пусть -3 < х < -1, тогда , , получим уравнение –х – 1 + х + 3 = 4,

Значит на промежутке (-3; -1) уравнение корней не имеет.

III промежуток. Пусть х > -1, тогда

х + 1 + х + 3 = 4,

Видим, что число 0 принадлежит промежутку. Значит, является корнем. Таким образом, уравнение имеет два корня: 0 и -4.

На простых примерах рассмотрим алгоритм решения уравнений с параметрами: область допустимых значений, область определения, общие решения, контрольные значения параметров, типы частных уравнений. Способы их нахождения будут устанавливаться в каждом виде уравнений отдельно.

На базе введенных понятий определим общую схему решения всякого уравнения F(a;x)=0 с параметром а (для случая двух параметров схема аналогична):

• устанавливаются область допустимых значений параметра и область определения;
• определяются контрольные значения параметра, разбивающие область допустимых значений параметра на области однотипности частных уравнений;
• для контрольных значений параметра соответствующие частные уравнения исследуются отдельно;
• находятся общие решения x=f 1 (a),…, f k (a) уравнения F(a;x)=0 на соответствующих множествах А f1 ,…, А fk значений параметра;
• составляется модель общих решений, контрольных значений параметра;
• на модели выделяются промежутки значений параметра с одинаковыми общими решениями (области однотипности);
• для контрольных значений параметра и выделенных областей однотипности записываются характеристики всех типов частных уравнений
• Особое место в алгебре отводится линейным уравнениям с параметрами.

Рассмотрим несколько примеров.

Уравнение 2х – 3 + m (х/3 + 4) + 1 имеет множество решений, заданных формулой при всех значениях m, кроме 6.

2. , при m 2, x 1, n 0.

mx – n = 2x – 2 + 2n + 3xn,

mx – 2x – 3xn = - 2 + 2n +n,

mx – 2x – 3xn = 3n – 2,

x (m – 2 – 3n) = 3n – 2, при m 2, x 1, n 0.

Рассмотрим случай, где a = 0, тогда

m – 2 – 3n = 0,

m = 3n +2, при n 0

0 x = 3n – 2,

а) 3n – 2 = 0,

x(4 – 2 – 3 ) = 3 - 2,

x – любое число, кроме x = 1.

0 x = b. В этом случае уравнение не имеет решений.

m – 2 – 3n 0

x = , при x ? 1,

3n – 2 m – 2 – 3n,

3n + 3n 2 – 2 + m,

В этом случае уравнение решений не имеет.

Значит, при n = и m = 4, x – любое число, кроме 1; при n = 0, m = 6n

(n ), m = 3n + 2 (n ), m = 2 уравнение решений не имеет. Для всех остальных значения параметров x = .

Ответ: 1. n = , m = 4 – x ? R\.

2. n = 0, m = 6n (n ), m = 3n + 2 (n ), m = 2 – решений нет.

3. n 0, m 6n, m 3n + 2, m 2 – x = .

В дальнейшем предлагается рассмотреть решение задач методом составления линейных уравнений. Это сложный процесс, где надо уметь думать, догадываться, хорошо знать фактически материал.

В процессе решения каждой задачи надо четко размечать четыре этапа:

1. изучение условия задачи;
2. поиск плана решения и его составление;
3. оформление найденного решения;
4. критический анализ результата решения.

Теперь рассмотрим задачи, при решении которых применяются линейные уравнения.

1. Сплав меди и цинка содержит меди на 640 г. Больше, чем цинка. После того, как из сплава выделили 6/7 содержащейся в нем меди и 60% цинка, масса сплава оказалась равной 200 г. Какова была масса сплава первоначально?

Пусть в сплаве было х г. цинка, тогда меди (640 + х) г. после того, как выделили 6/7 меди и 60% цинка, осталось 1/7 меди и 40% цинка, т.е. 0,4 части. Зная, что масса сплава оказалась равной 200 г., составим уравнение.

1/7 (х + 640) + 0,4 х = 200,

х + 640 + 2,8 х =1400,

3,8х = 1400 – 640,

Значит, цинка было 200 г., а меди 840 г.

(200 + 640 = 840). 1) 200 + 840 = 1040 (г.) – масса сплава. Ответ: первоначальная масса сплава 1040 г.

2. Сколько литров 60% серной кислоты нужно прибавить к 10 л 30% кислоты, чтобы получить 40% раствор?

Пусть число литров 60% кислоты, которое прибавим х л, тогда раствора чистой кислоты будет л. А в 10 л 30% раствора чистой кислоты будет л. Зная, что в полученных (10 + х) смеси будет чистой кислоты л, составим уравнение.

60х + 300 = 40х + 400,

60х – 40х = 400 – 300,

Значит, нужно прибавить 5 л 60% кислоты.

Ответ: 5 л.

При изучении темы “Решение линейных уравнений” рекомендуется некоторая историческая справка.

Задачи на решение уравнений первой степени встречаются еще в вавилонских клинописных текстах. В них же есть некоторые задачи, приводящие к квадратным и даже кубическим уравнениям (последние, по-видимому, решались с помощью подбора корней). Древнегреческие математики нашли геометрическую форму решения квадратного уравнения. В геометрической же форме арабский математик Омар Хайям (конец XI – начало XII века н. э.) исследовал кубическое уравнение, хотя и не нашел общей формулы для его решения. Решение кубического уравнения было найдено в начале XVI века в Италии. После того, как Сципиан дель Ферро решил один частный вид таких уравнений в 1535 году, итальянец Тарталья нашел общую формулу. Он доказал, что корни уравнения x 3 + px + q = 0 имеют вид x =.

Это выражение обычно называют формулой Кардано, по имени ученого, узнавшего ее от Тартальи и опубликовавшего в 1545 году в своей книге “Великое искусство алгебраических правил”. Ученик Кардано – молодой математик Феррари решил общее уравнение четвертой степени. После этого на протяжении двух с половиной столетий продолжались поиски формулы для решения уравнений пятой степени. В 1823 году замечательный норвежский математик Нильс Хендрик Абель (1802-1829) доказал, что такой формулы не существует. Точнее говоря, он доказал, что корни общего уравнения пятой степени нельзя выразить через его коэффициенты с помощью арифметических действий и операций извлечения корня. Глубокое исследование вопроса об условиях разрешимости уравнений в радикалах провел французский математик Эварист Галуа (1811-1832), погибший на дуэли в возрасте 21 года. Некоторые проблемы теории Галуа решил советский алгебраист И.Т.Шафаревич.

Наряду с поисками формулы для решения уравнения пятой степени велись и другие исследования в области теории алгебраических уравнений. Виета установил связь между коэффициентами уравнений и его корнями. Он доказал, что если x 1 ,…,x n – корни уравнения x n + a 1 x n-1 +…+a n =0, то имеют место формулы:

x 1 + x 2 + … + x n = -a,
x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n-1 x n =a 2
……………………………
x 1 x 2 … x n = (-1) n d n .

Литература:

1. Журнал “Математика в школе” 6, 1999
2. Приложение к газете “Первое сентября”- математика 20, 1999.
3. С.И. Туманов “Алгебра”, пособие для учащихся 6-8 классов.
4. Н.И. Александров; И. П.Ярандай “Словарь-справочник по математике”.
5. О.Б. Епишева; В.И. Крупич “Учить школьников учиться математике”.
6. Е.И.Ямщенко “Изучение функций”.
7. А.И. Худобин; М.Ф. Шуршалов “Сборник задач по алгебре и элементарным функциям”.
8. Ш. А. Алимов, В.А. Ильин “Алгебра 6-8 классы”.

Что называется корнем уравнения? Является ли число 2 корнем уравнения х 3 - х = 6?Что называется корнем уравнения? Является ли число 2 корнем уравнения х 3 - х = 6? Что значит решить уравнение?Что значит решить уравнение? Какие уравнения называются равносильными? Сформулируйте условия перехода от данного уравнения к равносильному уравнению. Приведите пример двух равносильных уравнений.Какие уравнения называются равносильными? Сформулируйте условия перехода от данного уравнения к равносильному уравнению. Приведите пример двух равносильных уравнений. Какое уравнение называется линейным уравнением с одной переменной?Какое уравнение называется линейным уравнением с одной переменной? Сколько корней может иметь линейное уравнение с одной переменной? Приведите примеры.Сколько корней может иметь линейное уравнение с одной переменной? Приведите примеры.

Устно: найдите корень уравнения: 6x + 1 = 43; 12x + 2 = О; -x - 4 = 11; 1-27x = 0; 1,5 + x = 0; 2 = ,5x; 5x - 8 = 1,5; x+ 2 = 0. 0 = 16 - х;

1 3 Найдите корень уравнения: 3,5 – 3x = 2,3 +x; x=0,3 x= x-1,4 + 6x = 0; x=0,2 1,2 = 2х + х- 1,5; x=0,2x = 5 - 0,3x; x=0,8 2,6 = x- 0,4x-4. x=1,1 1 3

Пример 2 Решить уравнение: 3 X+2 4 3X-1 - = = X+2 4 3X-1 - () 4 (3X-1). 12 -=-24 3 (X+2). 12 (X+2). 4- (3X-1). 3=-24 4x+8-9x+3=-24 X=7Ответ: 7 4 3