Тангенсы углов от 0 до 90. Выражения через синус и косинус
Орки известны нам как персонажи сказок, романа «Властелин колец» и вселенной Warcraft. Однако существовали ли эти персонажи на самом деле, или это просто раскрученный современный образ?
В статье:
Кто такие орки?
Впервые это существо появился в литературе в XVII веке. Встречается эта сущность у популярного сказочника Базиле Джамбаттисты из Неаполя в книге «Сказка сказок, или Забава для малых ребят».
Однако по-настоящему популярны стала эта литературная нечисть благодаря Джону Толкину и его роману «Властелин колец». В его произведениях орк - злобная сущность, которая внешне похожа на человека, однако крайне уродлива и чрезвычайна сильна физически.
Такие сущности весьма неглупы, но зачастую предсказуемы. В целом, их раса не была в состоянии что-то создавать, созидать, они занимались разрушением, убийствами, разбоем.
Как появились орки?
Ответить на этот вопрос сразу очень тяжело, так как есть несколько современных версий происхождения таких существ:
- Родственники эльфов. В далекие времена они были злыми эльфы, которые отделились от своих добрых братьев и, путем скрещивания с другими видами, приобрели свой устрашающий нынешний облик. Родство с эльфами предполагало бы бессмертие, но об этом умалчивается
- Умные животные. Орки на самом деле не являются настолько разумными существами, как люди, а просто умными животные, которые живут своей стаей. Такая теория объясняет тот факт, почему у орков не было своей культуры, а руководствовались они основными инстинктами. Они размножались, защищали свою территорию, убивали тех, кого считали врагами, и на этом их деятельность заканчивалась.
- Орки и гоблины. Самая популярная теория - что орки и являются родственниками или же даже представителями одной и той же расы. Например, в оригинальном издание «Хоббита» и в начале «Властелина Колец» поначалу использовалось определение «гоблин» для этих страшных монстров, но потом «гоблин» было заменено на «орк». Большинство фанатов Толкиена утверждают, что если это всё-таки не одно и то же существо, то хотя бы это дальние родственники.
Почему орки зеленые?
Если верить различным источникам, существует некое проклятие крови - влияние демонической крови представителя преисподней на данных существ. Она позволяет оркам стать сильнее, более выносливыми и ловкими.
После того как существо выпивает кровь, его кожа становится зелёного оттенка, оно увеличивается в размерах, а глаза начинают светится ярко-красным. Впоследствии демоническая кровь продолжает влияет на тело орка, его кожа становится тёмно-красной, он становится ещё больше, появляются наросты на голове.
Существовали ли орки женщины?
У любителей фэнтези один из самых распространенных вопросов - каким образом размножаются орки, ведь об особях женского пола нигде практически нет никакой информации, единственное, в «Сильмариллионе» Толкиен отметил:
Ибо орки были живыми и умножались, подобно Детям Илуватара.
Кадр из фильма «Варкрафт»
Ни в одной книге, рассказе, сказке, предании не указано, что женщины-орки в принципе существовали. Но нам известно, что некоторые орки были похожи на представителей других рас. Например людей, .
Можно предположить, что детей для этих кровожадных монстров вынашивали женские особи других рас, в результате чего на свет появлялись существа с внешними признаками других рас.
Язык орков
Орочий (англ. Orcish) - язык орков, который используется представителями всех подвидов, на самом деле он является смесью рун и алфавита. Язык очень грубый, звуки гортанные. У такого языка есть большое количество диалектов, из-за чего нередко представители разных видов не в состоянии понять друг друга.
Орки - мифические существа, которые стали популярны благодаря Толкину. Однако в мифах и сказаниях указано об этих существах настолько мало, что можно с уверенностью сказать - даже если такие чудовища существовали, они не любили выходить на контакт с людьми.
Вконтакте
Справочные данные по тангенсу (tg x) и котангенсу (ctg x). Геометрическое определение, свойства, графики, формулы. Таблица тангенсов и котангенсов, производные, интегралы, разложения в ряды. Выражения через комплексные переменные. Связь с гиперболическими функциями.
Геометрическое определение
|BD|
- длина дуги окружности с центром в точке A
.
α
- угол, выраженный в радианах.
Тангенс (tg α ) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |BC| к длине прилежащего катета |AB| .
Котангенс (ctg α ) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |AB| к длине противолежащего катета |BC| .
Тангенс
Где n - целое.
В западной литературе тангенс обозначается так:
.
;
;
.
График функции тангенс, y = tg x
Котангенс
Где n - целое.
В западной литературе котангенс обозначается так:
.
Также приняты следующие обозначения:
;
;
.
График функции котангенс, y = ctg x
Свойства тангенса и котангенса
Периодичность
Функции y = tg x и y = ctg x периодичны с периодом π .
Четность
Функции тангенс и котангенс - нечетные.
Области определения и значений, возрастание, убывание
Функции тангенс и котангенс непрерывны на своей области определения (см. доказательство непрерывности). Основные свойства тангенса и котангенса представлены в таблице (n - целое).
y = tg x | y = ctg x | |
Область определения и непрерывность | ||
Область значений | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
Возрастание | - | |
Убывание | - | |
Экстремумы | - | - |
Нули, y = 0 | ||
Точки пересечения с осью ординат, x = 0 | y = 0 | - |
Формулы
Выражения через синус и косинус
;
;
;
;
;
Формулы тангенса и котангенс от суммы и разности
Остальные формулы легко получить, например
Произведение тангенсов
Формула суммы и разности тангенсов
В данной таблице представлены значения тангенсов и котангенсов при некоторых значениях аргумента.
Выражения через комплексные числа
Выражения через гиперболические функции
;
;
Производные
; .
.
Производная n-го порядка по переменной x
от функции :
.
Вывод формул для тангенса > > > ; для котангенса > > >
Интегралы
Разложения в ряды
Чтобы получить разложение тангенса по степеням x , нужно взять несколько членов разложения в степенной ряд для функций sin x и cos x и разделить эти многочлены друг на друга , . При этом получаются следующие формулы.
При .
при .
где B n
- числа Бернулли. Они определяются либо из рекуррентного соотношения:
;
;
где .
Либо по формуле Лапласа:
Обратные функции
Обратными функциями к тангенсу и котангенсу являются арктангенс и арккотангенс , соответственно.
Арктангенс, arctg
,
где n
- целое.
Арккотангенс, arcctg
,
где n
- целое.
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Г. Корн, Справочник по математике для научных работников и инженеров, 2012.
В таблице значения тангенсов от 0° до 360°.
Таблица тангенсов нужна, когда у вас под рукой нет калькулятора. Чтобы узнать, чему равен тангенс угла, просто найдите его в таблице. Для начала короткая версия таблицы:
https://uchim.org/matematika/tablica-tangensov — uchim.org
Таблица тангенсов для 0°-180°
|
|
|
Таблица тангенсов для 180° — 360°
|
|
|
Существуют также следующие таблицы тригонометрических функций по геометрии: таблица синусов, таблица косинусов и таблица котангенсов.
Всё для учебы » Математика в школе » Таблица тангенсов углов (углы, значения)
Чтобы добавить страницу в закладки, нажмите Ctrl+D.
Группа с кучей полезной информации (подпишитесь, если предстоит ЕГЭ или ОГЭ):
Знаки тригонометрических функций
Знак тригонометрической функции зависит исключительно от координатной четверти, в которой располагается числовой аргумент.
В прошлый раз мы учились переводить аргументы из радианной меры в градусную (см. урок «Радианная и градусная мера угла»), а затем определять эту самую координатную четверть. Теперь займемся, собственно, определением знака синуса, косинуса и тангенса.
угла α - это ордината (координата y) точки на тригонометрической окружности, которая возникает при повороте радиуса на угол α.
угла α - это абсцисса (координата x) точки на тригонометрической окружности, которая возникает при повороте радиуса на угол α.
угла α - это отношение синуса к косинусу.
Или, что то же самое, отношение координаты y к координате x .
Обозначение: sin α = y ; cos α = x ; tg α = y: x .
Все эти определения знакомы вам из курса алгебры старших классов. Однако нас интересуют не сами определения, а следствия, которые возникают на тригонометрической окружности. Взгляните:
Синим цветом обозначено положительное направление оси OY (ось ординат), красным - положительное направление оси OX (ось абсцисс).
На этом «радаре» знаки тригонометрических функций становятся очевидными. В частности:
- sin α > 0, если угол α лежит в I или II координатной четверти. Это происходит из-за того, что по определению синус - это ордината(координата y).
А координата y будет положительной именно в I и II координатных четвертях;
- cos α > 0, если угол α лежит в I или IV координатной четверти. Потому что только там координата x (она же - абсцисса) будет больше нуля;
- tg α > 0, если угол α лежит в I или III координатной четверти. Это следует из определения: ведь tg α = y: x , поэтому он положителен лишь там, где знаки x и y совпадают.
Это происходит в I координатной четверти (здесь x > 0, y > 0) и III координатной четверти (x < 0, y < 0).
Для наглядности отметим знаки каждой тригонометрической функции - синуса, косинуса и тангенса - на отдельных «радарах». Получим следующую картинку:
Заметьте: в своих рассуждениях я ни разу не говорил о четвертой тригонометрической функции - котангенсе.
Дело в том, что знаки котангенса совпадают со знаками тангенса - никаких специальных правил там нет.
Теперь предлагаю рассмотреть примеры, похожие на задачи B11 из пробного ЕГЭ по математике, который проходил 27 сентября 2011. Ведь лучший способ понять теорию - это практика. Желательно - много практики. Разумеется, условия задач были немного изменены.
Задача. Определите знаки тригонометрических функций и выражений (значения самих функций считать не надо):
- sin (3π/4);
- cos (7π/6);
- tg (5π/3);
- sin (3π/4) · cos (5π/6);
- cos (2π/3) · tg (π/4);
- sin (5π/6) · cos (7π/4);
- tg (3π/4) · cos (5π/3);
- ctg (4π/3) · tg (π/6).
План действий такой: сначала переводим все углы из радианной меры в градусную (π → 180°), а затем смотрим в какой координатной четверти лежит полученное число.
Зная четверти, мы легко найдем знаки - по только что описанным правилам. Имеем:
- sin (3π/4) = sin (3 · 180°/4) = sin 135°. Поскольку 135° ∈ , это угол из II координатной четверти. Но синус во II четверти положителен, поэтому sin (3π/4) > 0;
- cos (7π/6) = cos (7 · 180°/6) = cos 210°. Т.к. 210° ∈ , это угол из III координатной четверти, в которой все косинусы отрицательны.
Следовательно, cos (7π/6) < 0;
- tg (5π/3) = tg (5 · 180°/3) = tg 300°. Поскольку 300° ∈ , мы находимся в IV четверти, где тангенс принимает отрицательные значения. Поэтому tg (5π/3) < 0;
- sin (3π/4) · cos (5π/6) = sin (3 · 180°/4) · cos (5 · 180°/6) = sin 135° · cos 150°. Разберемся с синусом: т.к. 135° ∈ , это II четверть, в которой синусы положительны, т.е.
sin (3π/4) > 0. Теперь работаем с косинусом: 150° ∈ - снова II четверть, косинусы там отрицательны. Поэтому cos (5π/6) < 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
- cos (2π/3) · tg (π/4) = cos (2 · 180°/3) · tg (180°/4) = cos 120° · tg 45°. Смотрим на косинус: 120° ∈ - это II координатная четверть, поэтому cos (2π/3) < 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ - это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии).
Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) > 0. Опять получили произведение, в котором множители разных знаков. Поскольку «минус на плюс дает минус», имеем: cos (2π/3) · tg (π/4) < 0;
- sin (5π/6) · cos (7π/4) = sin (5 · 180°/6) · cos (7 · 180°/4) = sin 150° · cos 315°. Работаем с синусом: поскольку 150° ∈ , речь идет о II координатной четверти, где синусы положительны.
Следовательно, sin (5π/6) > 0. Аналогично, 315° ∈ - это IV координатная четверть, косинусы там положительны.
Поэтому cos (7π/4) > 0. Получили произведение двух положительных чисел - такое выражение всегда положительно. Заключаем: sin (5π/6) · cos (7π/4) > 0;
- tg (3π/4) · cos (5π/3) = tg (3 · 180°/4) · cos (5 · 180°/3) = tg 135° · cos 300°.
Но угол 135° ∈ - это II четверть, т.е. tg (3π/4) < 0. Аналогично, угол 300° ∈ - это IV четверть, т.е. cos (5π/3) > 0.
Поскольку «минус на плюс дает знак минус», имеем: tg (3π/4) · cos (5π/3) < 0;
- ctg (4π/3) · tg (π/6) = ctg (4 · 180°/3) · tg (180°/6) = ctg 240° · tg 30°. Смотрим на аргумент котангенса: 240° ∈ - это III координатная четверть, поэтому ctg (4π/3) > 0. Аналогично, для тангенса имеем: 30° ∈ - это I координатная четверть, т.е. самый простой угол. Поэтому tg (π/6) > 0. Снова получили два положительных выражения - их произведение тоже будет положительным.
Поэтому ctg (4π/3) · tg (π/6) > 0.
В заключение рассмотрим несколько более сложных задач. Помимо выяснения знака тригонометрической функции, здесь придется немного посчитать - именно так, как это делается в настоящих задачах B11. В принципе, это почти настоящие задачи, которые действительно встречается в ЕГЭ по математике.
Найдите sin α, если sin2 α = 0,64 и α ∈ [π/2; π].
Поскольку sin2 α = 0,64, имеем: sin α = ±0,8.
Осталось решить: плюс или минус? По условию, угол α ∈ [π/2; π] - это II координатная четверть, где все синусы положительны. Следовательно, sin α = 0,8 - неопределенность со знаками устранена.
Задача. Найдите cos α, если cos2 α = 0,04 и α ∈ [π; 3π/2].
Действуем аналогично, т.е.
извлекаем квадратный корень: cos2 α = 0,04 ⇒ cos α = ±0,2. По условию, угол α ∈ [π; 3π/2], т.е. речь идет о III координатной четверти. Там все косинусы отрицательны, поэтому cos α = −0,2.
Задача. Найдите sin α, если sin2 α = 0,25 и α ∈ .
Имеем: sin2 α = 0,25 ⇒ sin α = ±0,5.
Тригонометрические функции любого угла
Снова смотрим на угол: α ∈ - это IV координатная четверть, в которой, как известно, синус будет отрицательным. Таким образом, заключаем: sin α = −0,5.
Задача. Найдите tg α, если tg2 α = 9 и α ∈ .
Все то же самое, только для тангенса.
Извлекаем квадратный корень: tg2 α = 9 ⇒ tg α = ±3. Но по условию угол α ∈ - это I координатная четверть. Все тригонометрические функции, в т.ч. тангенс, там положительны, поэтому tg α = 3. Все!
Таблица тангенсов углов углов от 0° — 360°. Углы с шагом в 1°. Таблица значений тангенса, tg
Подробная таблица тангенсов. Шаг — 1 градус.
Таблица тангенсов углов углов от 0° — 360°. Углы с шагом в 1°.
Углы |
Углы |
Углы |
Углы |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
таблица тангенсов, таблица тангенсов и синусов, таблица тангенсов косинусов, таблица синусов косинусов тангенсов котангенсов
Оценка статьи: