Отличник ЕГЭ. Математика. Решение сложных задач. Панферов B.C., Сергеев И.Н.

2-е изд., доп. и расшир. - М.: 2012 - 96 с.

Книга посвящена важнейшей части единого государственного экзамена по математике - заданиям типа С (с развернутым ответом). Данная книга является дополнением к учебным пособиям под редакцией А. Л. Семенова и И. В. Ященко, изданным ранее. Дана общая характеристика новой версии ЕГЭ. Подробно освещены все аспекты подготовки школьников к этому экзамену в новых условиях. Приведены примеры задач части С, которые снабжены решениями, комментариями и критериями оценивания работ. Предложены задачи для самостоятельного решения, а также подготовительные задачи и список литературы для самостоятельной подготовки к экзамену.

Книга адресована учащимся старших классов, учителям математики и методистам.

Формат: pdf (2012 , 2-е изд., 96с.)

Размер: 5,9 Мб

Скачать: yandex.disk

Формат: pdf (2010 , 80с.)

Размер: 4,1 Мб

Скачать: yandex.disk

СОДЕРЖАНИЕ (2012 , 2-е изд., 96с.)
Предисловие 4


Специфика заданий типа С 6
Задания типа С в ЕГЭ по математике 7
Особенности проверки работ 8

Рекомендуемая литература 10


Образцы задач С1 14
Образцы задач С2 19
Образцы задач С3 27
Образцы задач С4 36
Образцы задач С5 47
Образцы задач С6 56
Глава 3. Задачи для самостоятельного решения 65
Тренировочные задачи для части С 66
Ответы к тренировочным задачам 72
Глава 4. Подготовительные задачи 75
Учебные задачи для части С 75
Ответы и указания к учебным задачам 86

Материалы сайта http://eek.diary.ru/

СОДЕРЖАНИЕ (2010 , 80с.)
Предисловие 4
Глава 1. Особенности вузовской части экзамена 6
Общая характеристика вузовской части 6
Специфика заданий типа С 6
Задания типа С в ЕГЭ 2010 года 7
Особенности проверки работ в 2010 году 8
Как подготовиться к заданиям вузовской части 9
Рекомендуемая литература 10
О роли учителя в подготовке школьников к ЕГЭ 13
Глава 2. Образцы экзаменационных задач типа С 14
Образцы задач С1 14
Образцы задач С2 18
Образцы задач С3 24
Образцы задач С4 31
Образцы задач С5 39
Образцы задач С6 45
Глава 3. Задачи для самостоятельного решения 53
Тренировочные задачи для части С 53
Ответы к тренировочным задачам 59
Глава 4. Подготовительные задачи 62
Учебные задачи для части С 62
Ответы и указания к учебным задачам 73

Наташе надо изготовить 300 бумажных журавликов. Ежедневно она делает на одно и то же количество журавликов больше по сравнению с предыдущим днём. В первый день Наташа сделала 6 журавликов. Сколько журавликов было сделано в последний день, если на всю работу потребовалось 15 дней?

Решение

Из условия следует, что количество бумажных «журавликов» ежедневно увеличивалось на одно и тоже число. Количество ежедневно сделанных бумажных «журавликов» образует арифметическую прогрессию, при этом первый член прогрессии равен 6 . По формуле суммы первых членов арифметической прогрессии имеем

a_1+a_2+a_3+...+a_{15}= \frac{a_1+a_{15}}{2}\cdot15= 300,

6+a_{15}=40,

a_{15}=40-6=34.

Наташа в последний день изготовила 34 бумажных «журавлика»

Ответ

Условие

Два велосипедиста одновременно отправились из деревни A в деревню B , расстояние между которыми 21 км. Скорость первого велосипедиста была на 3 км/ч больше скорости второго велосипедиста. Найдите скорость второго велосипедиста, если он приехал в деревню B на 10 мин позже первого. Ответ дайте в км/ч.

Решение

Обозначим скорость второго велосипедиста через x км/ч. Тогда скорость первого (x+3) км/ч, а время первого велосипедиста на прохождение всего пути \frac{21}{x+3} ч, время второго велосипедиста, затраченное на прохождение всего пути \frac{21}{x} ч. Разница во времени равна 10 мин = \frac16 часа.

Составим и решим уравнение: \frac{21}{x}-\frac{21}{x+3}=\frac16,

6(21(x+3)-21x)=x(x+3),

x^2+3x-378=0,

x_1=18, x_2=-21.

Отрицательная скорость не удовлетворяет условию задачи. Скорость второго велосипедиста равна 18 км/ч.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Условие

Коле надо посадить 350 кустов роз. Ежедневно он сажает на одно и то же количество кустов больше по сравнению с предыдущим днём. В первый день он посадил 8 кустов роз. Сколько кустов было посажено в последний день, если на всю работу потребовалось 20 дней?

Решение

Из условия следует, что количество посаженных кустов роз ежедневно увеличивалось на одно и тоже число. Количество ежедневно посаженных роз образует арифметическую прогрессию, при этом первый член равен 8 . По формуле суммы первых членов арифметической прогрессии получаем a_1+a_2+a_3+...+a_{20}= \frac{a_1+a_{20}}{2}\cdot20= 350,

8+a_{20}=35,

a_{20}=35-8=27.

Коля в последний день посадил 27 кустов роз.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Условие

Обе трубы наполняют бассейн за 6 часов, а первая труба — за 10 часов. За сколько часов наполнит бассейн вторая труба?

Решение

Объём бассейна примем за 1 . Тогда за 1 час две трубы заполнят \frac16 часть бассейна, первая труба за 1 час заполнит \frac{1}{10} часть бассейна. Значит, вторая труба за 1 час заполнит \frac16-\frac{1}{10}=\frac{1}{15} часть бассейна. Весь бассейн вторая труба заполнит за 1: \frac{1}{15}=\frac{15}{1}=15 часов.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Условие

Первая труба пропускает на 2 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если ёмкость объёмом 420 литров она заполняет на 15 минут дольше, чем вторая труба заполняет ёмкость объёмом 280 литров?

Решение

Пусть первая труба пропускает x литров воды в минуту. Тогда вторая труба пропускает за одну минуту x + 2 литра. Первая труба заполняет ёмкость объёмом 420 литров за время \frac{420}{x} мин, а вторая труба заполняет ёмкость объёмом 280 литров за \frac{280}{x+2} мин, что различается на 15 минут.

Составим и решим уравнение:

\frac{420}{x}-\frac{280}{x+2}=15,

\frac{84}{x}-\frac{56}{x+2}=3,

84(x+2)-56x=3x(x+2),

28x+168=3x^2+6x,

3x^2-22x-168=0,

x_1=12, x_2=-\frac{14}{3}.

Отрицательное значение не удовлетворяет условию. Первая труба пропускает 12 литров воды в минуту.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Условие

Моторная лодка прошла против течения реки 160 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 8 часов меньше времени. Известно, что в неподвижной воде лодка движется со скоростью 15 км/ч. Найдите скорость течения реки. Ответ дайте в км/ч.

Решение

Обозначим скорость течения реки через x км/ч. Тогда скорость лодки по течению реки (15 + x) км/ч, скорость лодки против течения реки (15 - x) км/ч. Время, затраченное лодкой на путь по течению реки \frac{160}{15+x} ч, время, затраченное на путь против течения реки — \frac{160}{15-x} ч.

Составим и решим уравнение:

\frac{160}{15-x}-\frac{160}{15+x}=8,

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цель. Осмысление уже известных знаний, выработка умений и навыков по их применению в заданиях высокого уровня сложности – в заданиях с параметром (графический подход решения).

Задачи:

• Учиться умениям применять известные знания и навыки в новых условиях – решении заданий высокого уровня сложности, заданий с параметром.
• Воспитывать интерес и потребности изучения предмета, готовность к самосовершенствованию, уверенность на ЕГЭ.
• Развивать умения и навыки анализировать, сравнивать, обобщать и предлагать пути решения.

Оборудование и материалы для урока: медиапроектор, экран, компьютер, обучающая презентация по теме в расчёте на ученика. Примеры заданий подобраны из пробных, досрочных вариантов и реального ЕГЭ 2012 и предыдущих лет.

Мотив выбора темы и условий предъявления материала:

Низкий уровень успешности выпускников на ЕГЭ при выполнении заданий С5 – 2% получают 3-4 балла. Ученики, практически не владеют умениями и навыками преобразования графика функции в зависимости от компонентов действий в формуле функции . В целом, не понимают сущности модуля. Не узнают известных знаний в новых условиях. Затрудняются в установлении проблем, анализе ситуации, возможных взаимных расположений графиков от значений параметра.

Среда – MS Office Word, PowerPoint 2007

Вид ресурса – обучающая презентация решению заданий высокого уровня сложности уровня.

Структура ресурса:

Один-два слайда посвящены решению одной задачи. Порции материала на каждом из слайдов направлены на достижение конечного результата обучения.
Для работы с ресурсом не требуется специальной подготовки. Слайд вызывается щелчком левой клавишей мыши «Показ слайдов», «С начала» или «С текущего слайда» и не ограничен во времени.
Внутри слайда – порции материала, тоже направлены на конечный результат урока, определённый целями и задачами. Также не ограничены во времени , вызываются щелчком левой клавишей мыши, что даёт возможности восприятия и осмысления увиденного, чтобы предположить дальнейший шаг решения. Рекомендуется, прежде чем «кликать» следующий шаг решения, предположить свои суждения и выводы, после этого просмотреть.
Анимации направлена, в первую очередь, на ученика – в том числе на самостоятельную работу и в домашних условиях, условиях свободного выбора времени и объёма материала.
Ресурс поможет учителю в обучении и подготовке к ЕГЭ в учебном процессе и целевых занятиях по подготовке к ЕГЭ. Повышенная активность достигается тем, что созданы условия для успешного решения заданий повышенного уровня сложности на ЕГЭ.
Разумеется – это занятие для учащихся, нацеленных на достижение высокого результата на ЕГЭ, скорее всего групповое занятие, не исключающее право участия любого желающего.
Приёмы решения и эффекты анимации авторские.

ХОД УРОКА

Как и в прошлом году, в этом году ЕГЭ по математике разделен на два уровня сложности. Обязательно нужно сдавать лишь базовый уровень - это 20 задачек, с которыми справится и семиклассник. Более сложный, профильный уровень, выбирают те, кто планирует поступать в технические или инженерные вузы.

Ничего нового в такой системе нет. До введения ЕГЭ обычные классы и профильные математические тоже сдавали разные экзамены! И мы решили сравнить, как изменились задачки с тех лет.

1996 год

Логарифмы и интегралы

На задания по математике 20-летней давности даже глядеть страшно, во всяком случае, гуманитарию. Даже базовые задачки выглядят пугающе - в них полно косинусов и логарифмов. Тех самых, на которые жаловалось не одно поколение:

Зачем мы все это учим? В жизни это не пригодится, сдали и забыли!

И в самом деле: сложно представить, чтобы обычному человеку, далекому от математики, пригодилось бы умение находить промежутки возрастания и убывания функции на таком-то отрезке...

А вот профильные задания при всей их сложности не лишены изящества. Вместо уравнений на три строки - лаконичные задачи. И, как вспоминают выпускники тех лет, экзаменаторы вполне принимали и нестандартные решения. Все логично - ведь в матклассы шли те, кто потом планировал поступать в технические университеты.

Самой сложной считалась олимпиадная задача - аналог тех, которые решали на соревнованиях самые одаренные школьники. Справиться с ней могли лишь те, кому повезло и с мозгами, и с учителями. Так что ученик обычной сельской школы никак не мог тягаться с выпускниками специализированных школ-интернатов.

Задачи 1996 года - те же задачи, которые решали на выпускных и советские школьники. До введения ЕГЭ выпускной по математике оставался, по сути, таким, каким он был и в 70 - 80-е годы прошлого века.

2016 год

Экономика и теория вероятности

Задания по алгебре и тригонометрии в ЕГЭ по математике никуда не делись. Даже на базовом уровне ребенку приходится иметь дело с синусами и тангенсами. Но, помимо этого, теперь ему еще надо уметь решать задачки с графической составляющей и знать статистику и комбинаторику! Обязательна и геометрия, которой 20 лет назад в экзаменах не было.

Для профильного уровня задания, понятно, сложнее. Но сам набор тем тот же самый. То есть теорию вероятности учат дети и в математическом, и в обычном классе, просто у первых задания более трудные.

Отличие от того, что было 20 лет назад, в том, что большинство заданий из нынешнего ЕГЭ - человеческие. Они приближены к жизни и отыгрывают какие-то бытовые ситуации. Например, надо рассчитать скидку в магазине, проверить квитанцию за «коммуналку» или выбрать подходящий тариф для мобильного телефона с учетом своих звонков. То есть вопрос «а пригодятся ли нам эти знания» не возникает - они нужны чуть ли не каждый день!

Самая сложная задачка - экономическая, которая в прошлом году поставила в тупик довольно много ребят. В ней надо, например, рассчитать проценты по кредиту и понять, есть ли смысл закрывать его досрочно.

Было много ребят, которые сдали экзамен не очень хорошо, - признает Иван Ященко , глава комиссии по разработке контрольно-измерительных материалов ЕГЭ по математике. - Но и число ребят с высокими баллами выросло!

Но даже если экономическая задачка оказалась школьнику не по зубам, он все равно мог набрать высокий балл - пусть и не все 100. Получить хорошие очки можно было, правильно решив все остальные задания.

Так поумнели или поглупели?

В базовом ЕГЭ по математике есть задания, которые решит и пятиклассник. Кроме того, в конверты официально вкладывается «шпаргалка» - лист с основными формулами, которые могут пригодиться в решении. Чтобы сдать базовый экзамен и получить аттестат об окончании школы, достаточно решить 7 задач. Оценок по пятибалльной системе тут нет, только зачет - незачет.

В выпускном экзамене, который был до ЕГЭ, такой откровенной халявы не было. Но и требования были не столь жесткими - где-то можно было списать, а где-то учителя и сами подсказывали.

То есть в целом экзамен проще не стал. Задачки не упростились, хотя и стали гораздо более приближенными к жизни. Зато у детей стало больше шансов сдать математику на профильном уровне. Раньше их писали только специализированные математические классы, а теперь любой выпускник может записаться и попробовать решить профильный экзамен. Главное, чтобы в кармане был уже сданный базовый ЕГЭ.

А КАК У НИХ?

Китайская грамота

Во всех международных рейтингах и олимпиадах по математике лидируют азиаты. Китайские школьники пачками получают медали на соревнованиях. Исследования говорят, что среднестатистический китайский ученик знает математику куда лучше своих сверстников из России , Европы и Америки .

Школьники требуют от президента пересмотреть критерии перевода баллов по профильной математике.

Мы требуем пересмотра критериев перевода первичных баллов во вторичные ЕГЭ по математике (профиль) ввиду немыслимо высокого уровня сложности заданий части С и несоответствия большинства заданий части В типовым заданиям, предоставляемым ФИПИ в интернет-ресурсах и методических материалах по подготовке к ЕГЭ. Учащиеся должны иметь возможность поступления в вуз на базе школьного образования, коего уровня заданий на экзамене по математики предоставлено не было.

Посмотрим, что у нас тут за задания, для решения которых не хватает школьных знаний.

Задание 1: на арифметические действия «вычесть и умножить». 3 класс школьной программы церковно-приходской школы.
Задание 2: доступно ученику 2-3 класса, который понимает, что такое «числа» и «отношение сравнения».
Задание 3: повышенной сложности, оно уже требует знание теоремы Пифагора. 5-6 класс.
Задание 4: на вероятность, притом даже не на формулы, а просто на житейское понимание вероятности. Разумный ученик 5-6 класса решит эту задачу без проблем. Неразумный 11-классник - прочитав одну главу учебника.
Задание 5: 7 класс, на умение подставлять в уравнения и на степени. В 8 классе на информатике мы уже вовсю пользуемся степенями для решения задач на кодирование, которые на порядок сложнее задания №5.
Задание 6: простейшая геометрия, 7 класс.
Задание 7: на определение производной и её геометрический смысл. Даже если школьник этого не знает, задание на 100% типовое и разбиралось 100500 раз, о чём знаю даже я, учитель информатики, а не математики.
Задание 8: 10-11 класс, стереометрия. Простая задача, но может вызвать сложности у людей с отсутствующим пространственным мышлением. Хотя для её решения оно и не сильно нужно.

Итого: из 8 первых задач только последняя, на стереометрию, должна вызывать минимальные сложности у 11-классника. В целом, с большей частью этих заданий (и набором минимального проходного балла) должен справляться не 11-классник, а 7-классник.

Пошла вторая часть экзамена, на которую, собственно, и катят бочку в петиции.

Задание 9: на понимание определения логарифма (10 класс). Честно, я не помню ни одной формулы для логарифма, но задачу могу решить практически в уме, просто пользуясь определением.
Задание 10: просто подставить циферки. 7-8 класс.
Задание 11: на проценты. 5-6 класс. В особых случаях, если соображалка не работает, - на составление уравнения, тогда класс повышается до 7-го.
Задание 12: тут нужно уметь брать производную! 11 класс. Хотя, честно говоря, можно тупо построить по точкам и увидеть. Опять же: производная - табличная, которую в 11-ом классе дети решают по сто раз. Абсолютно типовое задание.
Задание 13: задание на подстановку и умение решать квадратное уравнение + грамотно писать ОДЗ. 9 класс!
Задание 14: стереометрия. Традиционно пропускаю, ибо кого она волнует.
Задание 15: задание на подстановку и квадратные уравнения. 9 класс.
Задание 16: простейшая геометрия 8-9 класса на доказательство. Если человек хотя бы чуть-чуть «врубается» в геометрию, задача не составит никакого труда, так как решается практически сразу после построения на бумаге фигуры.
Задание 17: задание на составление и решение квадратного уравнения. 8 класс.
Задание 18: чуть посложнее, требует размышлений на уровне 10-11 класса. Типовое, решалось ранее геометрически. Потенциально может быть нерешаемым для человека, не умеющего думать (оценка 5 из списка выше).
Задание 19: абсолютно типовая задача, ещё более простая, чем в демо варианте. На уровне рассуждений 7-8 класса. Не требует абсолютно ничего, кроме умения логически мыслить, что обязательно для изучения математики.

Итого: потенциально не решить можно стереометрию, которой традиционно мало времени уделяют в школе (задание 14) и уравнение с параметром (задание 18), так как в этом варианте геометрически оно решается существенно сложнее, чем в демо вариантах.

Вопрос: ну и где тут задачи, не входящие в школьную программу? Честно говоря, я даже разочарован уровнем этих задач, так как, на мой субъективный взгляд многие из них (в особенности, последняя) стали даже проще, чем демо. Изменения в задачах по сравнению с демо-вариантом (сравните сами - ) минимальны и касаются, в основном, циферок и иногда формулировок.

Резюме

Я не знаю, какие результаты ЕГЭ будут в этом году, хотя я уверен, что чиновники сделают всё возможное, чтобы даже пришедшие на экзамен получили минимальный балл (как это было неоднократно сделано ранее, когда существенно понижался уровень первичных баллов, необходимых для этого), но тенденция начинает просматриваться: детей начинают заставлять сдавать не просто выученный набор задачек, как мы это делаем в школе, а - о боже! - заставляют решать задачки с немного изменёнными условиями (хотя изменения касаются далеко не всех задач и даже не большей части, сравните сами демовариант и этот).

И дети негодуют: как так, это что, мы теперь должны учиться, чтобы сдать экзамен?

Надеюсь, что да. Надеюсь, что в будущем варианты ЕГЭ новых лет будут кардинально отличаться от демо-вариантов. Надеюсь, что больше не будет типовых задач, которые проверяют не знание предмета, а умение заучить определённый пласт знаний. Надеюсь, что всё больше и больше заданий будут проверять понимание предмета, а не тупое знание формул. Это неизбежно скажется на результатах Единого экзамена, но селяви. Общество обязано понять, что уровень знаний падает, и падает катастрофически. Плохо это или хорошо - решать не мне.

Пора прекращать игру в образование, когда все стороны делают вид, что учат, дети делают вид, что учатся, а по факту мы имеем, что имеем: жалобы и петиции на «кого-то». Хотя начать нужно прежде всего с себя. И вместо заучивания к ЕГЭ объяснять детям в школе простые истины:

→ жизнь несправедлива - это раз;
→ если вы не учитесь, то это - ваша проблема, а не проблема школы или государства, - это два;
→ за свою жизнь отвечаете только вы - это три;
→ прекратите жаловаться на других людей и обстоятельства, а начните с себя - это четыре.

Возможно, тогда образование изменится в лучшую сторону.