Как вычислить объем тела неправильной формы.

Вам понадобится

• - неправильная геометрическая фигура;
• - измерительные инструменты;
• - прозрачный пластик;
• - линейка;
• - угольник;
• - шариковая ручка.

Инструкция

Рассмотрите геометрическую фигуру и определите, ее параметры вам известны. Это могут быть длины сторон или углы. В зависимости от заданных параметров и выберите способ определения площади. Например, разделите ее на несколько фигур, формулы вычисления площади которых вы . Один из самых распространенных методов - провести диагонали из одного угла ко всем остальным вершинам. В этом случае вам нужно знать формулу вычисления площади произвольного треугольника. Но никто не запрещает разделить заданную фигуру и на другие многоугольники. Например, при расчете площади пола в комнате с нишей удобнее разделить неправильную фигуру на два прямоугольника или квадрата.

Для определения площади не слишком большой детали можно воспользуйтесь палеткой. Ее можно . Отрежьте прямоугольный кусок любого прозрачного пластика. Разделите его на квадраты, площадь которых вам известна - например, 1х1 или 0,5х0,5 см. Линейка и угольник должны быть точными. Наложите палетку на деталь. Сосчитайте полные , затем - . Количество неполных квадратов разделите на 2 и приплюсуйте результат к числу целых. Чем мельче деления на палетке - тем точнее будет результат. Аналогично можно посчитать и площадь участка. Роль палетки будет выполнять сетка из квадратов со стороной 1х1 м, начерченная на или отмеченная колышками с протянутыми между ними шнурами. Можно и разметкой территории на . .

С крупными площадями можно поступить и иначе. Возьмите максимально точный план участка или придомовой территории. Определите масштаб. Воспользуйтесь одним из способов. Затем полученное количество переведите в нужный масштаб.

Полезный совет

При изготовлении плоских деталей из металла можно вычислить их площадь по эталону с помощью взвешивания. Вырежьте саму деталь и эталон - квадратик, площадь которого удобно рассчитать. Делать их необходимо из одного и того же материала, причем толщина листа должна быть одинаковой и при этом незначительной. Вычислите соотношение масс, а по ней - неизвестную площадь. Однако это не очень точный способ и применять его можно только в крайних случаях.

Любую неправильную фигуру можно представить в виде графика. Каждая точка имеет свои координаты. Представьте каждый отрезок как график функции. Площадь участка от абсциссы до него являет собой определенный интеграл. Высчитайте все интегралы. Площадь фигуры определите с помощью разности интегралов с большим и меньшим значением. Это довольно трудоемкий метод, но он дает наибольшую точность.

Источники:

• http://matemonline.com/rubrika/%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB/

Перед тем как начинать ремонт пола в доме, необходимо выяснить общую площадь , чтобы точно рассчитать количество материала. Несложная, казалось бы, задача на деле может вызвать немало затруднений. Чтобы правильно найти площадь пола , вам необходимо знать некоторые нюансы измерительной науки.

Вам понадобится

• - рулетка;
• - электронный дальномер;
• - лист бумаги и карандаш;
• - калькулятор.

Инструкция

Если вам нужна общая площадь квартиры или отдельной комнаты, просто прочтите технический паспорт на или дом, там указан метраж каждого помещения и общий метраж квартиры.

Для измерения площади прямоугольной или квадратной комнаты возьмите рулетку или электронный дальномер и измерьте длину стен. При измерении расстояний дальномером обязательно следите за перпендикулярностью направления луча, иначе результаты замеров могут быть искажены.

Затем полученную длину (в метрах) комнаты умножьте на ширину (в метрах). Полученное значение и будет площадь ю пола , она измеряется в квадратных метрах.

Если требуется посчитать площадь пола более сложной конструкции, например, пятиугольной комнаты или комнаты с круглой аркой, схематично начертите эскиз на листе бумаги. Затем разделите сложную форму на несколько простых, например, на квадрат и треугольник или прямоугольник и полукруг. Измерьте при помощи рулетки или дальномера величину всех сторон получившихся фигур (для круга необходимо узнать диаметр) и занесите результаты на ваш чертеж.

Теперь посчитайте площадь каждой фигуры по отдельности. Площадь прямоугольников и квадратов высчитывайте перемножением сторон. Для расчета площади круга диаметр разделите попола м и возведите в квадрат (умножьте его на самого себя), затем умножьте полученное значение на 3,14. Если вам нужна только половина круга, разделите полученную площадь попола м. Чтобы рассчитать

МКОУ Терновская ООШ

Россошанского муниципального района

Воронежской области

Исследовательская работа по теме

« Методы измерения площадей

фигур произвольной формы »

Научный руководитель: Минакова Валентина Александровна,

учитель математики и физики

2014

Аннотация

Работа посвящена сравнению различных методов приближенного измерения площадей фигур сложной формы: метода взвешивания и измерения с помощью палетки. Точность методов исследовалась на фигурах, площадь которых можно вычислить по формулам. В результате подтверждена практическая пригодность обоих методов.

Введение……………………………………………………………………………4

Глава 1. Теоретические основы измерения площадей…………………………..6

1.1Понятия об измерениях………………………………………………………...6

1.2 Измерение площадей…………………………………………………………..7

1.3 Выводы………………………………………………………….........................9

Глава 2.Сравнение методов измерения площадей……………………………….10

2.1 Измерение площадей с помощью палетки……………………........................10

2.2 Измерение площадей с помощью взвешивания………………........................13

2.3 Выводы…………………………………………………………………………..14

Заключение…………………………………………………………..........................15

Список используемых источников…………………………………………………16

Приложение………………………………………………………………………….17

Введение

Работа посвящена исследованию и сравнению методов измерения площадей фигур произвольной формы.

Актуальность и практическая значимость исследования.

В школьном курсе математики мы в основном имеем дело с многоугольниками. Между тем, на практике часто возникает необходимость найти площадь фигуры неправильной формы. Например, на уроке физики учитель предложил определить давление ученика на пол, и перед нами стала проблема, как определить площадь опоры (площадь подошвы ботинок) или бывает необходимость определить площадь территории по плану или карте. Но для площадей сложных фигур отсутствуют общие формулы, аналогичные формулам для многоугольников.

Цель исследования состоит в том, чтобы сравнить эффективность различных способов практического измерения площадей, как для реальных физических объектов, так и для фигур, площади которых могут быть найдены по точным формулам.

Объектом исследования являются методы измерения площади фигур произвольной формы:

метод взвешивания;

использование палетки;

применение точных формул.

Предметом исследования является площадь фигур произвольной формы.

Гипотеза исследования заключается в том, что площадь сложной фигуры может быть измерена приближенными методами с точностью, достаточной для практических целей.

Для доказательства гипотезы были поставлены следующие задачи :

знакомство с понятиями измерения и погрешности измерения;

изучение методов нахождения площади с помощью взвешивания и с помощью палетки;

измерение с помощью методов взвешивания и палетки площадей контрольных фигур: прямоугольника, квадрата, выявление погрешностей измерения;

измерение площадей произвольных фигур с помощью изученных методов.

Для решения поставленных задач использовались следующие методы : поиск, отбор и анализ содержания источников информации; сравнение и классификация; эксперимент.

Структура работы . Работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованных источников.

Глава 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИЗМЕРЕНИЯ ПЛОЩАДЕЙ

1. Понятие об измерениях

Измерение – это сравнение с некоторым образцом (эталоном). Цель измерения – установить, какое количество этих образцов можно поместить в измеряемом объекте. Эта количественная характеристика и является результатом измерения, а эталон становится единицей измерения.

Чем более мелкие производные основного эталона используются в измерениях, тем выше точность измерения. На практике точность любых измерений ограничена возможностями измерительной аппаратуры. Так, измеряя длину отрезка l обычной линейкой, мы можем, как правило, лишь утверждать, что длина заключена в следующих пределах: , где a – наименьший эталонный отрезок в 1 мм, отмеченный на шкале линейки.

Количественной характеристикой точности является погрешность измерения. Если известно точное значение некоторой величины и ее приближенное значение x , то предельной абсолютной погрешностью приближенного значения называется величина , а предельной относительной погрешностью – величина . Однако на практике точные значения измеряемой величины неизвестны, а приближенное значение заключено в некоторых пределах: . В этом случае считают, что . (1) Если значения и соответствуют соседним делениям шкалы измерительного прибора (например, масштабной линейки), то говорят, что погрешность составляет половину цены деления шкалы.

1.2. Измерение площадей

Существует бесконечное количество плоских фигур самой разной формы, как правильных, так и неправильных. Общее свойство всех фигур – любая из них обладает площадью. Площади фигур – это размеры части плоскости, занимаемой этими фигурами, выраженные в определенных единицах. Величина эта всегда бывает выражена положительным числом. Единицей измерения служит площадь квадрата, чья сторона равняется единице длины (например, одному метру или одному сантиметру). Приблизительное значение площади любой фигуры можно вычислить, умножив количество единичных квадратов, на которые она разбита, на площадь одного квадрата.

Площади плоских фигур правильной геометрической формы, например, прямоугольников, треугольников, кругов, обычно определяют с помощью косвенных измерений. Сначала измеряют линейные размеры фигуры (длину, высоту, ширину, радиус), а потом вычисляют площадь, пользуясь соответствующими математическими формулами.

Площади фигур неправильной формы (произвольных фигур) не имеют определения, определяются лишь способы их вычисления.

Если фигура имеет неправильную геометрическую форму, то ее площадь можно определить, начертив контур этой фигуры на бумаге в клеточку или с помощью палетки – листом из прозрачного материала, на который нанесена сетка линий, образующих при пересечении квадраты эталонного размера. В этом случае площадь фигуры вычисляют по формуле (2)

где n - количество целых квадратиков; k - количество нецелых квадратиков, С - площадь одного квадратика.

Для контроля расчётов площадь измеряют повторно, развернув палетку на 45° в любую сторону. Среднее значение расчётов до и после поворота и принимают за площадь искомого участка.

рис.1

Площадь S измеряемой фигуры (рис.1) заключена в пределах ,

где – площадь фигуры, состоящей из квадратиков, полностью находящихся внутри контура измеряемой фигуры, а – площадь фигуры, состоящей из указанных квадратиков, а также квадратиков, пересекаемых контуром. По формулам (1) получаем: . Количество квадратиков, пересекаемых контуром, определяет, во сколько раз погрешность больше, чем половина единицы измерения – площади эталонного квадрата. Поэтому способ измерения палеткой не слишком точен. Для измерения площади с меньшей погрешностью нужно измерять некоторую вспомогательную величину, по которой можно легко восстановить значение площади, и для которой существуют измерительные приборы со шкалой, позволяющие измерять вспомогательную величину с наименьшей возможной погрешностью – половиной цены деления шкалы.

Метод измерения вспомогательной величины придуман еще в древности и заключается в измерении массы плоской копии измеряемой фигуры. Если толщина листа, из которого изготовлены взвешиваемая фигура, постоянна, то масса фигуры прямо пропорциональна ее площади. Нужно нанести на плотную бумагу квадрат, площадь которого S0 точно известна, вырезать его и определить на весах его массу m0. На такую же бумагу перенести фигуру с искомой площадью S. Вырезать фигуру и определите её массу m. Затем, пользуясь правилом пропорции – S/S0 = m/m0, вычислить искомую площадь.

Тогда (3)

1.3. Выводы

Изучение основ измерения площадей позволяет поставить вопрос о сравнении методов измерения с помощью палетки и с помощью взвешивания.

Глава 2. СРАВНЕНИЕ МЕТОДОВ ИЗМЕРЕНИЯ ПЛОЩАДЕЙ

В качестве измеряемых фигур были взяты фигуры в форме ладони и подошвы. В качестве эталонных фигур были взяты квадрат со стороной 10 см (эталон 1) и прямоугольник со сторонами 15 см и 6 см (эталон 2), изготовленные из картона. Площадь эталонных фигур можно найти по известным формулам:

2.1. Измерение площадей с помощью палетки

Для выполнения этой части работы были изготовлены палетки I и II с сеткой 1см см и 0,5см 0,5см.

На палетке I эталон 1: 1кв.ед.=1 см 2

n=77

k=38

S 1 =77 кв . ед .

S 2 =115 кв . ед .

S= (77+115)/2=96 см 2

= (115-77)/2=19

На палетке II эталон 1: 1кв.ед.=0,25 см 2

n=364

k=68

S 1 =364 кв . ед .

S 2 =432 кв . ед .

S = ((364+432)/2)0,25=94,5 см 2

=((432-364)/2)0,25=8,5

На палетке I эталон 2: 1кв.ед.=1 см 2

n=72

k=40

S 1 =72 кв . ед .

S 2 =112 кв . ед .

S = (72+112)/2=92 см 2

= (112-72)/2=20

На палетке II эталон 2: 1кв.ед.=0,25 см 2

n=330

k=68

S 1 =330 кв . ед .

S 2 =398 кв . ед .

S = ((330+398)/2)0,25=91 см 2

=((398-330)/2)0,25=8,5

На палетке I фигура1(ладонь): 1кв.ед.=1 см 2

n=75

k=90

S 1 =75 кв . ед .

S 2 =165 кв . ед .

S = (75+165)/2=120 см 2

= (165-75)/2=45

На палетке II фигура1(ладонь): 1кв.ед.=0,25 см 2

n=453

k=126

S 1 =330 кв . ед .

S 2 =398 кв . ед .

S = ((453+579)/2)0,25=129 см 2

=((579-453)/2)0,25=15,75

На палетке I фигура2(подошва): 1кв.ед.=1 см 2

n=142

k=50

S 1 =142 кв . ед .

S 2 =192 кв . ед .

S = (142+192)/2=167 см 2

= (192-142)/2=25

На палетке II фигура 2(подошва): 1кв.ед.=0,25 см 2

n=640

k=86

S 1 =640 кв . ед .

S 2 =726 кв . ед .

S 2.3. Выводы

Результаты всех измерений приведены в таблице 1. В методе измерения с помощью взвешивания площадь рассчитывалась по формуле (3), в которой использованы значения площади и массы эталона 1. Из сравнения значений площади, полученных разными способами, следует, что оба метода дают достаточно близкие значения, хотя погрешности измерения в каждом случае обусловлены разными причинами.

Заключение

В ходе работы получены следующие основные результаты:

получено представление об измерениях и погрешности измерений;

изучены методы приближенного нахождения площади с помощью взвешивания и с помощью палетки;

с помощью методов взвешивания и палетки измерены площади контрольных фигур: прямоугольника, квадрата - найдены погрешности измерения;

с помощью этих же методов измерены площади произвольных фигур.

Выводы

Как показали проведенные исследования, и метод взвешивания, и измерение площади с помощью палетки являются пригодными для приближенного нахождения площадей фигур сложной формы.

Гипотеза исследования подтверждена.

Точность измерений можно повысить, используя более точные весы или палетки, с разбиением на более мелкие квадратики или площадь измеряют повторно, развернув палетку на 45° в любую сторону. Среднее значение расчётов до и после поворота и принимают за площадь искомого участка.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

Р.И. Малафеев. Творческие задания по физике VI - VII .

ПРИЛОЖЕНИЕ

На рис.2-3 показано, как выполнялись измерения.

Рис.2. Измерение площадей с помощью палетки

Рис.3. Измерение площадей с помощью взвешивания

Измерение площадей с помощью палетки

Убедитесь, что тело является водонепроницаемым, так как описанный метод подразумевает погружение тела в воду. Если тело полое или в него может проникнуть вода, то вы не сможете точно определить его объем, используя этот метод. Если тело поглощает воду, убедитесь, что вода не повредит его. Не погружайте в воду электрические или электронные предметы, так как это может привести к поражению электрическим током и/или к повреждению самого предмета.

• Если возможно, запечатайте тело в водонепроницаемый пластиковый пакет (предварительно выпустив из него воздух). В этом случае вы вычислите довольно точное значение объема тела, так как объем пластикового пакета, скорее всего, будет небольшим (по сравнению с объемом тела).

Найдите емкость, в которой помещается тело, объем которого вы вычисляете. Если вы измеряете объем небольшого предмета, воспользуйтесь мерным стаканом с нанесенной градуировкой (шкалой) объема. В противном случае найдите емкость, объем которой можно легко вычислить, например, емкость в форме прямоугольного параллелепипеда, куба или цилиндра (стакан тоже можно рассматривать как емкость цилиндрической формы).

• Возьмите сухое полотенце, чтобы положить на него тело, вытащенное из воды.

На протяжении всех предыдущих страниц я молчаливо предполагал (хотя это предположение необходимо было в явном виде оговорить в самом начале, сформулировав его в виде отдельного фундаментального утверждения), что всякое разумное существо во Флатландии представляет собой Правильную фигуру, то есть имеет правильное строение. Под этим я понимаю, что женщина должна быть не просто линией, а отрезком прямой, что ремесленник или солдат должны иметь по две равные стороны, что у купца должны быть три равные стороны, что у юриста (к этому классу принадлежу и я сам) равны четыре стороны и, вообще, у каждого Многоугольника все стороны должны быть равны.

Разумеется, длина сторон зависит от возраста индивидуума. Женщины при рождении имеют в длину всего лишь один дюйм, хотя хвост взрослой женщины порой простирается до одного фута. Что же касается мужчин из различных классов флатландского общества, то можно сказать, что длины сторон взрослой особи, если сложить их вместе, составляют около двух футов или более, Но не длины сторон интересуют меня сейчас. Я говорю о качестве сторон. Даже поверхностного размышления достаточно для того, чтобы понять важную истину: вся общественная жизнь Флатландии зиждется на том непреложном факте, что природа требует от каждой фигуры равенства всех ее сторон.

Если бы наши стороны были неравны, то и углы могли бы быть неравными. Сейчас, для того чтобы опознать встречного, нам достаточно ощупать или оценить по внешнему виду лишь один из его углов. Если бы фигуры были неправильными, ощупывать пришлось бы каждый угол. Жизнь слишком коротка для подобных трудоемких занятий. И наука, и искусство распознавания по внешнему виду сразу бы утратили всякий смысл. Метод ощупывания, поскольку и он является искусством, также оказался бы несостоятельным. Общение стало бы затруднено или вообще оказалось невозможным. Флатландцы утратили бы уверенность, потеряли бы способность предвидеть заранее результаты своих поступков. Никто не чувствовал бы себя в безопасности, сколь бы простые отношения он ни пытался завязать со своими соседями. Короче говоря, мы пришли бы к падению цивилизации, за которым наступило бы варварство.

Не слишком ли быстро я ввожу моих читателей в эти очевидные заключения? Даже минутного размышления и одного-единственного примера из повседневной жизни достаточно для того, чтобы убедиться, насколько вся наша социальная система зависит от Правильности, или Равенства, Углов. Представьте себе, например, что вы встречаете на улице двух или трех купцов. Вы с первого взгляда распознаете; что перед вами представители этого сословия по их углам и быстро исчезающим в тумане сторонам, и поэтому с полной уверенностью приглашаете их зайти к вам в дом и позавтракать. Сейчас вы делаете это с абсолютной уверенностью, потому что вам известна с точностью до дюйма или двух площадь, занимаемая взрослым Равносторонним Треугольником. Но вообразите, что ваш купец имеет над своей правильной и уважаемой вершиной параллелограмм с диагональю длиной в двенадцать или тринадцать дюймов. Что вы станете делать с таким чудовищем, если оно протиснется в дверь вашего дома?

Боюсь, что я наношу оскорбление здравому смыслу моих читателей, приводя здесь все эти детали, которые очевидны каждому, кто имеет счастье пользоваться преимуществами бытия в Трехмерии. Ясно, что измерения одного-единственного угла для неправильной фигуры при столь чреватых последствиями обстоятельствах недостаточно. Вся жизнь флатландца ушла бы на ощупывание или обозревание периметров его знакомых. И сейчас избежать столкновения в толпе - задача, бросающая вызов проницательности ума даже хорошо образованного Квадрата. Если же никто в обществе не сможет рассчитывать на Правильность фигур, то возникнет хаос и сумятица, а малейшая паника может привести к самым серьезным повреждениям и даже (если среди присутствующих окажутся женщины или солдаты) к трагическим исходам.

Таким образом, целесообразность, конкурируя с природой, ставит свою печать одобрения на Правильных фигурах. Закон также не одобряет отклонения от этих предначертаний. «Неправильность фигуры» означает для нас почти то же, что для вас - моральная нечистоплотность, попрание нравственных устоев и совершение уголовного преступления. Правда, находятся отдельные любители парадоксов, которые утверждают, будто отклонение от геометрической правильности не обязательно влечет за собой моральное уродство. «Неправильные фигуры, - говорят они, - с самого рождения не видят ласки от своих родителей, их осыпают насмешками братья и сестры, ими пренебрегают их ближайшие родственники, общество обливает их презрением и относится к ним с подозрительностью, им запрещается занимать ответственные и доверенные посты и исполнять всякую полезную работу. За любым передвижением Неправильной фигуры ревностно наблюдает полиция. Наконец, Неправильная фигура достигает совершеннолетия и предстает перед комиссией для освидетельствования. Если отклонения окажутся слишком большими, фигуру разрушают, в противном случае ее замуровывают в каком-нибудь правительственном учреждении на должности клерка седьмого класса. Неправильная фигура не может вступать в брак. Обреченная на унылую деятельность, она получает ничтожную плату и должна жить и столоваться непосредственно в конторе, даже свой отпуск она проводит под неослабным наблюдением. Нужно ли удивляться тому, что даже самая лучшая и чистая натура со временем преисполнится горечью и извращается под действием такого окружения!»

Все эти правдоподобные рассуждения не убедили меня, как не убедили и наиболее мудрых из наших государственных мужей в том, что наши предки считали аксиомой своей политики: терпимость к Неправильным фигурам несовместима с безопасностью государства. Не приходится сомневаться в том, что жизнь Неправильной фигуры трудна. Но интересы подавляющего большинства населения требуют, чтобы жизнь Неправильной фигуры была именно такой. Что станет с искусством жизни, если будут множиться существа с треугольной передней и многоугольной задней частью (необходимо учесть также, что их потомки могут быть и еще более неправильными)? Нужно ли перестраивать наши дома, двери и храмы, чтобы такие чудовища могли проникать сквозь них? Должны ли наши контролеры проверять периметр каждого, прежде чем позволить ему занять место в лекционном зале? Следует ли изгонять Неправильные фигуры из рядов полиции? Если лет, то каким образом можно предотвратить те разрушения, которые может нанести своим коллегам Неправильная фигура? А сколько искушений для любителей жульничества и мошенничества открывает присутствие таких неправильных существ! Как легко Неправильной фигуре с многоугольной передней частью войти в лавку ничего не подозревающего купца и заказать любое количество товара! Пусть адвокаты ложно трактуемой филантропии, выступающие за отмену законов о смертной казни для Неправильных фигур, говорят что хотят. Лично мне не доводилось встречать ни одной Неправильной фигуры, которая не исполнила бы роль, отведенную ей природой: не была бы лицемером, мизантропом и в пределах своих возможностей источником всяческих бед.

Я отнюдь не склонен рекомендовать (в настоящее время) крайние меры, принятые в ряде государств, где младенец, у которого угол при вершине отклоняется от угла правильной фигуры на полградуса, подлежит немедленному уничтожению. У некоторых из наших наиболее знаменитых и способных людей, подлинных гениев, в детстве наблюдались еще большие отклонения, достигавшие и сорока пяти минут. Утрата их драгоценной жизни нанесла бы непоправимый вред государству. Кроме того, искусство врачевания достигло удивительных высот в области сжатия, растяжения, трепанации, перевязок и других хирургических и диетических процедур, позволяющих частично или полностью излечивать Неправильность, Выступая, таким образом, в защиту благотворного воздействия среды, я отнюдь не хочу устанавливать какой-либо фиксированной, раз и навсегда установленной демаркационной линии. Тем не менее, если в период формирования фигуры врачебная комиссия установит, что излечение от неправильности невозможно, я предлагаю отпрыска Неправильной фигуры безболезненно и быстро умерщвлять.

1 слайд

2 слайд

Правильные многоугольники Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны. Центром правильного многоугольника называется точка, равноудаленная от всех его вершин и всех его сторон. Центральным углом правильного многоугольника называется угол, под которым видна сторона из его центра.

3 слайд

Свойства правильного многоугольника: Правильный многоугольник является вписанным в окружность и описанным около окружности. Центр правильного многоугольника совпадает с центрами вписанной и описанной окружностей. Периметры правильных n-угольников относятся как радиусы описанных окружностей.

4 слайд

5 слайд

Правильные многогранники «Правильных многогранников вызывающе мало, – написал когда-то Л. Кэрролл – но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук».

6 слайд

Многогранник- это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону плоскости каждого плоского многоугольника на его поверхности. Общая часть такой плоскости и поверхности выпуклого многогранника называется гранью. Грани выпуклого многогранника являются плоскими выпуклыми многоугольниками. Стороны граней называются рёбрами многогранника, а вершины – вершинами многогранника.

7 слайд

Существует 5 видов правильных многогранников: 1)тетраэдр 2) гексаэдр 3) додекаэдр 4)октаэдр 5)икосаэдр

8 слайд

Тетраэдр Свойства: Параллельные плоскости, проходящие через пары скрещивающихся рёбер тетраэдра, определяют описанный около тетраэдра параллелепипед. Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с точкой пересечения медиан противоположной грани, называется его медианой, опущенной из данной вершины. Отрезок, соединяющий середины скрещивающихся рёбер тетраэдра, называется его бимедианой, соединяющей данные рёбра. Отрезок, соединяющий вершину с точкой противоположной грани и перпендикулярный этой грани, называется его высотой, опущенной из данной вершины. Теорема. Все медианы и бимедианы тетраэдра пересекаются в одной точке. Эта точка делит медианы в отношении 3:1, считая от вершины. Эта точка делит бимедианы пополам.

9 слайд

Гексаэдр Свойства: Четыре сечения куба являются правильными шестиугольниками - эти сечения проходят через центр куба перпендикулярно четырём его главным диагоналям. В куб можно вписать тетраэдр двумя способами. В обоих случаях четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами куба и все шесть рёбер тетраэдра будут принадлежать граням куба. В первом случае все вершины тетраэдра принадлежат граням трехгранного угла, вершина которого совпадает с одной из вершин куба. Во втором случае попарно скрещивающиеся ребра тетраэдра принадлежат попарно противолежащим граням куба. Такой тетраэдр является правильным. В куб можно вписать октаэдр, притом все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести граней куба. Куб можно вписать в октаэдр, притом все восемь вершин куба будут расположены в центрах восьми граней октаэдра. В куб можно вписать икосаэдр, при этом шесть взаимно параллельных рёбер икосаэдра будут расположены соответственно на шести гранях куба, остальные 24 ребра - внутри куба. Все двенадцать вершин икосаэдра будут лежать на шести гранях куба.

10 слайд

Додекаэдр (от греческого dodeka – двенадцать и hedra – грань) Правильный многогранник, составленный из 12 равносторонних пятиугольников. Додекаэдр имеет 20 вершин и 30 ребер. Вершина додекаэдра является вершиной трех пятиугольников, таким образом, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324°.

11 слайд

Октаэдр (от греческого octo – восемь и hedra – грань) Правильный многогранник, составленный из 8 равносторонних треугольников. Октаэдр имеет 6 вершин и 12 рёбер. На примере октаэдра можно проверить формулу Эйлера 6в+8г-12р=2. В каждой вершине сходятся 4 треугольника,таким образом, сумма плоских углов при вершине октаэдра составляет 240°.Из определения правильного многогранника следует, что все ребра октаэдра имеют равную длину, а грани - равную площадь.

12 слайд

Икосаэдр Свойства: Икосаэдр можно вписать в куб, при этом, шесть взаимно перпендикулярных рёбер икосаэдра будут расположены соответственно на шести гранях куба, остальные 24 ребра внутри куба, все двенадцать вершин икосаэдра будут лежать на шести гранях куба В икосаэдр может быть вписан тетраэдр, притом, четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами икосаэдра. Икосаэдр можно вписать в додекаэдр, при этом вершины икосаэдра будут совмещены с центрами граней додекаэдра. В икосаэдр можно вписать додекаэдр с совмещением вершин додекаэдра и центров граней икосаэдра. Усечённый икосаэдр может быть получен срезанием 12 вершин с образованием граней в виде правильных пятиугольников. При этом число вершин нового многогранника увеличивается в 5 раз (12×5=60), 20 треугольных граней превращаются в правильные шестиугольники (всего граней становится 20+12=32), а число рёбер возрастает до 30+12×5=90.