Радиус сфера разделен на 3 равные части. Деление окружности на любое число равных частей
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ НИЖЕГОРОДСКОЙ ОБЛАСТИ
Государственное бюджетное образовательное учреждение
среднего профессионального образования
«ПЕРЕВОЗСКИЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ КОЛЛЕДЖ»
ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ
Методические указания
к выполнению практических заданий
по дисциплине «Математика»
Перевоз, 2013
Составитель: Е.В. Исайчева
Тела вращения: Методические указания к выполнению практических заданий по дисциплине «Математика»/ Перевозский строит. колледж; Сост.: Е.В. Исайчева. - Перевоз, 2013. - 42 с
Методические указания по теме "Тела вращения" предназначены для организации самостоятельной работы обучающихся 1 курса всех специальностей. Их цель - помочь обучающимся освоить тему, систематизировать свои знания, ознакомиться с некоторыми методами решения простейших задач, а также помочь при подготовке к ЕГЭ.
Оглавление
ВВЕДЕНИЕ 4
ЦИЛИНДР 5
КОНУС 12
Ответы к тестам 31
ДИСКРЕТНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА 32
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 41
ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ 42
ВВЕДЕНИЕ
Данные методические указания включают в себя краткий теоретический материал по теме "Тела вращения", практический блок, состоящий из решенных задач и заданий для самостоятельного решения. Методические указания предназначены для обучающихся 1 курса всех специальностей, изучающих дисциплину «Математика», но ими могут воспользоваться и обучающиеся старших курсов при подготовке к ЕГЭ.
Цель методических указаний - помочь обучающимся освоить тему, систематизировать свои знания, ознакомиться с некоторыми методами решения простейших задач.
Попыткой достигнуть этой цели и определяется структура данного пособия: в начале каждого параграфа кратко изложен теоретический материал (определения, основные теоремы и формулы), знание которого необходимо для решения задач данного раздела. Это позволяет использовать пособие, не прибегая к учебникам. Далее указываются методы решения задач какого-либо вида и разбираются конкретные примеры на использование этих методов. Приведенные решения также могут служить иллюстрацией правильного оформления решения в письменных работах. После этого даны задания для самостоятельного решения, причем расположены они по возрастанию их сложности. В конце пособия приведены тестовые вопросы и варианты контрольной работы по данной теме.
Если после изучения темы с использованием данных методических указаний останутся невыясненные моменты, следует обратиться за консультацией (устной или письменной) к преподавателю.
ЦИЛИНДР
Цели: в ходе изучения данной темы обучающиеся должны освоить основные понятия и определения темы, элементы цилиндра, сечение цилиндра, формулы площади боковой и полной поверхности цилиндра научиться решать задачи; использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности
Изучите теоретический материал:
Понятие цилиндра
Определение : Цилиндр – тело, которое состоит из двух кругов, не лежащих в одной плоскости и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов.
Цилиндр получается при вращении прямоугольника OBB O вокруг стороны OO.
п
рямая OO - ось цилиндра
отрезок OO- высота,
отрезок АА= ВВ - образующая
круг (О,ОВ) =кругу (O, OВ) – основание цилиндра
рис1.
Рассмотрим сечение цилиндра различными плоскостями. Если секущая плоскость проходит через ось цилиндра, то сечение представляет собой прямоугольник (рис. 2,а), две стороны которого – образующие, а две другие – диаметры оснований цилиндра. Такое сечение называется осевым.
Если секущая плоскость перпендикулярна к оси, то сечение является
в) сечение цилиндра плоскостью, перпендикулярной к оси цилиндра, то сечение является кругом (рис. 2,б)
а) рис. 2 б)
Развёртка цилиндра состоит из двух кругов (основания цилиндра) и прямоугольника (боковая поверхность) (рис 3). Длины окружностей равны длине прямоугольника.
Площадь поверхности цилиндра
Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту цилиндра.
(1)
Площадью полной поверхности цилиндра называется сумма площадей боковой поверхности и двух оснований.
(2)
Задача 1.
Площадь боковой поверхности цилиндра равна 72π, а диаметр основания - 9. Найдите высоту цилиндра.
Решение:
Значит,
Ответ: 8
Задача 2.
Площадь боковой поверхности цилиндра равна 64π, а высота - 8 . Найдите диаметр основания.
Решение:
Площадь боковой поверхности цилиндра находится по формуле:
Найдём радиус основания:
Диаметр равен двум радиусам. Значит,
Ответ: 8
Задача 3.
Р
адиус основания цилиндра равен 2, высота равна 3. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на .
Решeние:
Площадь боковой поверхности цилиндра , поэтому
Ответ: 12.
Задача 4.
Длина окружности основания цилиндра равна 3, высота равна 2. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
Решeние:
Площадь боковой поверхности цилиндра равна , где C – длина окружности основания. Поэтому
Ответ: 6.
Задача 5 .
Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если диагональ его осевого сечения, равная 8см, составляет с образующей цилиндра угол величиной 30 градусов.
Решение .
П
оскольку AC = 8 см, а угол ACD = 30°, то
CD = AC cos 30°
Пояснение . Треугольник ACD - прямоугольный. Соответственно, CD / AC = cos ∠ ACD по свойству тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике. Значение найдем из таблицы .
CD = 8 * √3/2 = 4√3
Аналогично,
AD = AC
AD = 8 * 1/2 = 4
Откуда радиус основания цилиндра равен 4/2 = 2 см
Площадь основания цилиндра, соответственно, равна
S 1 = πR 2 = 4π
Площадь боковой поверхности цилиндра равна площади его развертки - произведению длины окружности основания и высоты цилиндра. То есть:
S 2 = 2πRh = 2π * 2 * 4√3 = 16π√3
Общая площадь поверхности цилиндра равна:
S 1 + S 2 = 4 π + 16 π√3
Ответ : 4 π + 16 π√3
Задача 6 .
Д
иагональ осевого сечения цилиндра равна 48 см. Угол между этой диагональю и образующей цилиндра равен 
. Найдите: а) высоту цилиндра; б) радиус цилиндра; в) площадь основания цилиндра.
Дано:
Найти:
а) h ; б) r ; в) S осн
Решение:
а)
б) 
в) .
Задача 7 .
Высота цилиндра равна 8 см, радиус равен 5 см. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной его оси, если расстояние между этой плоскостью и осью цилиндра равно 3 см.
Дано:
Найти: S ABCD
Решение:
Ответ: 64
Задача 8 .
О
севое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого равна 20 см. Найдите: а) высоту цилиндра; б) So
цилиндра
Решение.
1. Проведем диагональ АС сечения АВСD .
2. D ADC – равнобедренный, прямоугольный, А D = DC , h = 2 r ,
Þ
Ð
CAD
=
Ð
ACD
=45
°
, тогда
3. Найдем радиус основания
4. Найдем площадь основания
Ответ: 
Задача 9.
Осевое сечение цилиндра − квадрат, площадь которого Q.
Найдите площадь основания цилиндра.
Д
ано: цилиндр, квадрат − осевое сечение цилиндра, S
квадрата = Q.
Найти: S осн.цил.
Решение:
Сторона квадрата равна 
. Она равна диаметру основания. Поэтому площадь основания равна 
.
Ответ: S
осн.цил. =
Задача 10.
Высота цилиндра 6см, радиус основания 5см.
Найдите площадь сечения, проведенного параллельно оси цилиндра на расстоянии 4см от нее.
Д
ано: Н = 6см, R = 5см, ОЕ = 4см.
Найти: S сеч.
Решение:
S сеч. = КМ×КС,
ОЕ = 4 см, КС = 6 см.
Треугольник ОКМ − равнобедренный (ОК = ОМ = R = 5 см),
треугольник ОЕК − прямоугольный.
Из треугольника ОЕК, по теореме Пифагора:
ЕК = ,
КМ = 2ЕК = 2×3 = 6,
S сеч. = 6×6 = 36 см 2 .
Ответ: S сеч. = 36 см 2 .
Задача 11.
Диаметр основания цилиндра 1м.
Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
Дано: цилиндр, d = АВ = 1м.
Найти: S бок.ц.
Ешение:
S бок. = 2πRh ,
R = = 0,5 м,
S бок. = 2πR × 2πR = (2πR ) 2 = 4π 2 ×0,25 = π 2
Ответ: S бок. = π 2 (м 2).
1. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 2п, а высота - 1. Найдите диаметр основания.
2. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 2π, а диаметр основания - 1. Найдите высоту цилиндра.
3. Найдите площадь осевого сечения цилиндра, где радиус основания равен 5см, а высота 15 см.
4. Найдите радиус основания цилиндра, если площадь боковой поверхности этого цилиндра равна 80π, а высота цилиндра 10.
5. Найдите высоту цилиндра, если радиус основания цилиндра равен 5 см, а площадь полной поверхности цилиндра равна 90π см 2 .
6. Найдите радиус основания цилиндра, если площадь осевого сечения цилиндра равна 64 дм 2 , а высота цилиндра 16 дм.
7. Радиус основания цилиндра 1,5 см, а высота – 4 см. Чему равна диагональ осевого сечения?
8. Осевое сечения цилиндра квадрат, площадь которого 36 дм 2 . Чему равна площадь основания цилиндра?
9. Квадрат со стороной 4 см вращается вокруг одной из своих сторон. Чему равна площадь основания полученного тела?
10. Высота цилиндра 8 см, радиус основания 1 см. Чему равна площадь осевого сечения?
11. В равностороннем цилиндре радиус основания равен 7,5 см. Чему равна площадь осевого сечения?
12. Определите площадь боковой поверхности равностороннего цилиндра, высота которого 8 см.
13. Площадь боковой поверхности 75π см 2 . Найдите площадь его полной поверхности, если радиус основания равен 5 см.
14. Чему равна площадь развёртки боковой поверхности цилиндра, радиус основания которого 2 см, а высота- 10 см?
15. Какова площадь боковой поверхности равностороннего цилиндра с радиусом основания 5 см?
16. Высота цилиндра 20 см, радиус основания 10 см. Найдите площадь сечения, проведённого параллельно оси цилиндра на расстоянии 6 см от неё.
17. Высота цилиндра – 12 см, радиус основания – 7 см. Цилиндр пересечён плоскостью так, что в сечении оказался квадрат. Найдите расстояние от сечения до оси.
Тестовые вопросы к теме «Цилиндр»
1 вариант
см, а радиус основания – 3 см. Найдите высоту цилиндра.
а) 
см; б) 12 см; в) 5 см; г) 
см;
д) 
см;
2. Площадь осевого сечения равностороннего цилиндра равна 4 см². Найдите площадь основания цилиндра.
а) 2π см²; б) π см²; в) 4π см²; г) 0,5π см²;
д) определить нельзя.
3. Радиус цилиндра равен х, его высота – 2, площадь боковой поверхности равна у, площадь полной поверхности – 2у. Найдите х и у.
а) х = 2, у = 8π; б) х = 1, у = 4π; в) х = 2, у = 8;
г) х = 6, у = 24; д) х = 4, у = 16π
4. Диагональ сечения цилиндра, параллельного оси, равна 8√3, она наклонена к плоскости основания под углом 60°. Это сечение в основании отсекает дугу в 120°. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.
а) определить нельзя; б) 48; в) 16√3; г) 96√3;
д) 96.
а) Длина образующей цилиндра называется радиусом цилиндра;
б) цилиндрическая поверхность называется боковой поверхностью цилиндра;
в) сечение цилиндра, перпендикулярное оси цилиндра, называется осевым;
г) площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле 
;
д) цилиндр может быть получен в результате вращения треугольника вокруг одной из сторон.
6. Сечение проведено параллельно оси цилиндра и отстает от нее на расстояние, равное 3. Найдите площадь сечения, если радиус цилиндра равен 5, а его высота равна 10.
а) 40; б) 80; в) 60; г) 30; д) 
7. Сколько понадобится краски, чтобы покрасить бак цилиндрической формы с крышкой, имеющий диаметр основания 1,25 м и высоту 1,44 м, если на один квадратный метр расходуется 0,25 кг краски (найдите с точностью до 0,1 кг)?
а) 2,0 кг; б) 2,1 кг; в) 2 кг; г) 1,9 кг; д) 2,03 кг.
8. Развертка боковой поверхности цилиндра – квадрат со стороной 1. Найдите площадь полной поверхности цилиндра с точностью до 0,001.
а) 7,283; б) 0,159; в) 1,318; г) 1,159; д) 0,318.
9. Основанием прямой призмы служит треугольник со сторонами 6, 8 и 10. Высота призмы равна 4. Найдите площадь боковой поверхности описанного около призмы цилиндра.
а) 40π; б) 40 ; в) 32π; г) 20π; д) 32.
10. Радиус r основания цилиндра в3 раза меньше его высоты h . Площадь полной поверхности цилиндра равна 288π см². Найдите r и h .
а) r = 18 c м, h = 6 c м; б) r = 6 см, h = 18 см; в) r = 2 см, h = 6 см;
г) определить нельзя; д) r = 12 см, h = 36 см.
2 вариант
1. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 
см, а высота – 5 см. Найдите радиус цилиндра.
а) 
см; б) 8 см; в) 4 см; г) 
см;
д) 16 см.
2. Площадь основания равностороннего цилиндра равна 2π см². Найдите площадь осевого сечения цилиндра.
а) 8π см²; б) 8 см²; в) 2 см²; г) 4 см²; д) определить нельзя.
3. Радиус цилиндра равен 2, его высота – х, площадь боковой поверхности равна у, площадь полной поверхности равна 2у. Найдите х и у.
а) х = 2, у = 8π; б) х = 1, у = 4π; в) х = 2, у = 8; г) х = 6, у = 24; д) х = 4, у = 16π
4. Сечения цилиндра плоскостью, параллельное оси, удалено от нее на √3. Это сечение отсекает в основании дугу в 60°. Найдите площадь осевого сечения цилиндра, если площадь данного сечения равна 8.
а) определить нельзя; б) 8; в) 16√3; г) 8√3; д) 16.
5. Выберите верное утверждение.
а) Радиус цилиндра не может равняться высоте цилиндра;
б) площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению площади основания цилиндра на его высоту;
в) сечение цилиндра, параллельное оси цилиндра, называется осевым;
г) площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле 
;
д) цилиндр может быть получен в результате вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон.
6. В цилиндре параллельно его оси проведено сечение. Диагональ сечения, равная 16, составляет угол 60° с плоскостью основания. Радиус основания цилиндра равен 5. Найдите расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения.
а) 3; б) 4; в) 8; г) 5; д) 
7. Сколько понадобится краски, чтобы покрасить бак цилиндрической формы с крышкой, имеющий диаметр основания 1,44 м и высоту 1,25 м, если на один квадратный метр расходуется 0,25 кг краски (найдите с точностью до 0,1 кг)?
а) 2,0 кг; б) 2,2 кг; в) 2,3 кг; г) 2,1 кг; д) 2,23 кг.
8. Развертка боковой поверхности цилиндра – квадрат со стороной 2. Найдите площадь полной поверхности цилиндра с точностью до 0,001.
а) 5,141; б) 0,159; в) 4,637; г) 2,159; д) 0,318.
9. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб со стороной, равной 4, и углом 60°. Высота параллелепипеда равна 5. Найдите площадь боковой поверхности вписанного в параллелепипед цилиндра.
а) 20π√3; б) 10√3; в) 10π; г) 20π; д) 10π√3.
10. Площадь боковой поверхности цилиндра вдвое больше площади основания, а площадь полной поверхности равна 256π см². Найдите радиус r и высоту цилиндра h .
а) r = 8 c м, h = 6 c м; б) r = 6 см, h = 6 см; в) r = 6 см, h = 8 см;
г) r = 8 см, h = 8 см. д) определить нельзя.
Ответы к тестам
Ответы
Вариант
Задание
КОНУС
Цели: в ходе изучения данной темы обучающиеся должны освоить основные понятия и определения темы, элементы конуса, сечение конуса, формулы площади боковой и полной поверхности конуса,научиться решать простейшие задачи; использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности
Понятие конуса
Определение: Конус – тело, которое состоит из круга – основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга, - вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания.
К
онус получается при вращении прямоугольного треугольника вокруг катета.
точка S – вершина конуса
круг(О,ОА) – основание конуса
SA=SB – образующие конуса
Отрезок SO – высота конуса
Прямая SO – ось конуса
Рассмотрим сечение цилиндра различными плоскостями. Если секущая плоскость проходит через ось конуса, то сечение представляет собой равнобедренный треугольник (рис. 4 ,а), основание которого – диаметр основания конуса, а боковые стороны – образующие конуса. Такое сечение называется осевым.
Если секущая плоскость перпендикулярна к оси конуса, то сечение конуса представляет собой круг (рис. 4 ,б).
А) рис. 4 б)
Боковую поверхность конуса, как и боковою поверхность цилиндра, можно развернуть на плоскость, разрезав ее по одной из образующих. Разверткой боковой поверхности конуса является круговой сектор (рис 5), радиус которого равен образующей конуса, а длина дуги сектора – длине окружности основания конуса.
Площадь поверхности цилиндра
Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую.
Площадь полной поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности и основания.
Усеченный конус
Определение: Усеченным конусом – называют тело вращения, образованное вращением прямоугольной трапеции около боковой стороны, перпендикулярной основаниям.
Круги O
и O 1 - его основания, его образующие AA 1 равны между собой, прямая OO
1 - ось, отрезок OO
1 - высота. Его осевое сечение - равнобедренная трапеция.
Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую.
2 Рассмотрите задачи с решениями:
Задача 1
Высота конуса равна 5см, а радиус основания 12см. Найдите площадь полной поверхности конуса.
Решение .
Для нахождения площади поверхности конуса воспользуемся следующими формулами:
S 1 = пrl - площадь боковой поверхности конуса, где r - радиус конуса, а l - длина образующей
S 2 = пr 2 - площадь круга, то есть основания конуса
Таким образом, площадь поверхности конуса составит
S = S 1 + S 2
Поскольку S 1 = пrl , найдем образующую. Поскольку Высота конуса, радиус основания конуса и образующая являются сторонами прямоугольного треугольника, то
l 2 = h 2 + r 2
Тогда
Ответ: 300п ≈ 942,48 см 2 .
Задача 2 .
Площадь основания конуса 36π см
2
, а его образующая 10 см.
Вычислить боковую поверхность конуса.
Решение
.
Зная площадь основания, найдем его радиус.
S = πR
2
36π = πR
2
R
2
= 36
R = 6
Площадь боковой поверхности конуса найдем по формуле:
S = πRl
где
R - радиус основания
l - длина образующей
откуда
S = π * 6 * 10 = 60π
Ответ : 60π см 2 .
Задача 3.
Высота конуса равна 57, а диаметр основания - 152. Найдите образующую конуса.
Решение:
Ответ: 95
Задача 4.
Высота конуса равна 21, а длина образующей - 75 . Найдите диаметр основания конуса.
Решение:
Диаметр основания конуса равен двум радиусам. Радиус мы можем найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника:
Следовательно, диаметр основания конуса равен 144.
Ответ: 144
Задача 5.
Диаметр основания конуса равен 56, а длина образующей - 100 . Найдите высоту конуса.
Решение:
Рассмотрим осевое сечение конуса. По теореме Пифагора:
Ответ: 96
Задача 6.
Д
лина окружности основания конуса равна 3, образующая равна 2. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
Решeние:
Площадь боковой поверхности конуса равна 
, где – длина окружности основания, а – образующая. Тогда
Ответ: 3.
Задача 7.
Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в 3 раза?
Решeние:
Площадь боковой поверхности конуса равна , где – длина окружности основания, а – образующая. При увеличении образующей в 3 раза площадь боковой поверхности конуса увеличится в 3 раза.
Ответ: 3.
Задача 8.
Осевое сечение конуса - правильный треугольник со стороной 2r .Найдите площадь сечения, проведенного через две образующие конуса,угол между которыми равен: а) 30°; б) 45°; в) 60°.
Р
ешение:
а) ∠ BSC =30 ° ; SC = SB =2 r
SBSC = ½∙SB∙SC∙sin30 °,
SBsc =2r∙2r/4=r 2
б ) ∠ BSC=45 °;
SBSC =2r ∙2r ∙√2/4=r 2 √2
в ) ∠ BSC=60 °;
SBSC =2r ∙2r ∙√3/4=r 2 √3
Задача 9.
О
снованием конуса с вершиной Р является круг радиуса r с центром О. Докажите, что если секущая плоскость α перпендикулярна к оси конуса, то сечение конуса представляет собой круг с центом О1 радиуса r1, где О1-точка пересечения плоскости α с осью РО, α
Дано:
Доказать:
Доказательство:
=>
=> (·) М лежит на окружности основания конуса, => РМ - образующая конуса.
2) ΔРО1М1~ΔРОМ => 
=> окружность радиуса r1 с центром О1 является сечением боковой поверхности конуса плоскостью α, поэтому круг, границей которого является эта окружность, представляет собой сечение конуса плоскостью α.
Задача 10.
Прямоугольный треугольник с катетами 6см и 8см вращается вокруг меньшего катета. Вычислите площади боковой и полной поверхностей образованного при этом вращении конуса.
Д
ано:
АВС- прямоугольный треугольник
С=90
АС=6 см.
СВ=8 см.
АВ- образующая
АВ=L
Найти:
S бок. пов.-?
S пол. пов.-?
Решение:
1. АВ-?
АВС- прямоугольный =>
АВ 2 = АС 2 + СВ 2
АВ= √100 =10
2. S бок. пов. -?
S бок. пов. =ПRL
S = П*8*10= 80П см 2
3. S пол. пов. -?
S пол. пов. = ПR*(R+L)
S =8П(8+10)=8П*18= 144П см 2
Задача 11.
Н
айдите образующую усеченного конуса, если радиусы оснований равны 3см и 4см, а высота равна 4 см
Дано: усеченный конус, OB =3см, АО 1 =4см, ОО 1 =4см
Найти: АВ – ?
Решение:
AB – образующая
Осевое сечение – трапеция (ABCD )
BC = 2OB = 6 см
AD = 2AO 1 = 12 см
AB 1 = (AC - BC )/2 = 3 см т.к. р/б трапеция
(АB ) 2 = (AB 1) 2 + (BB 1) 2 = 9 + 14 = 25 (см²)
АB = 5 см
Ответ: 5 см
3 Задания для самостоятельной работы обучающихся
Решите следующие задачи, используя теоретический материал и примеры, приведенные выше:
1. Высота конуса равна 4, а диаметр основания - 6. Найдите образующую конуса.
2. Высота конуса равна 4, а длина образующей - 5. Найдите диаметр основания конуса.
3. Диаметр основания конуса равен 6, а длина образующей - 5. Найдите высоту конуса.
4. Найдите площадь осевого сечения конуса, если радиус основания конуса равен 2 см, а высота равна 6 см.
5. Найдите площадь сечения проходящего через вершину конуса, если угол между образующими в сечении равен 30° и образующая равна 5см.
6. Найдите высоту конуса, если радиус основания конуса равен 6 см, а площадь боковой поверхности равна 60π см 2 .
7. Наибольший угол между образующими конуса равен 60°. Чему равен диаметр основания, если образующая равна 7 см?
8. Площадь осевого сечения цилиндра равна 36 см 2 , а высота конуса 12 см. Найдите радиус основания.
9. Чему равна площадь развёртки боковой поверхности конуса, у которого радиус равен 4 см, а высота равна 3 см?
10. Найдите площадь боковой поверхности равностороннего конуса, если радиус основания равен 7 см.
11. Чему равна площадь боковой поверхности равностороннего конуса, если его образующая равна 12 см?
12. Определите площадь боковой поверхности усечённого конуса, если радиусу оснований равны 6 см и 8 см, а образующая равна 5 см.
13. В равностороннем конусе образующая равна 8 см. Чему равна площадь осевого сечения?
14. Площадь полной поверхности конуса равна 136π см 2 , радиус основания конуса – 6 см. Найдите площадь его боковой поверхности.
15. Площадь развёртки полной поверхности усечённого конуса 150π см 2 . Чему равна площадь его боковой поверхности, если радиусы оснований 3 см и 6 см?
Тестовые вопросы к теме «Конус»
1 вариант
1. Выберите верное утверждение.
а) Конус может быть получен в результате вращения равностороннего треугольника вокруг его стороны;
в) разверткой боковой поверхности конуса является круговой сегмент;
г) площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению суммы длин окружностей оснований на образующую;
д) сечение конуса, проходящее через ось, есть круг.
2. Образующая конуса, равная 8 см, наклонена к плоскости основания под углом 30°. Найдите площадь осевого сечения конуса.
а) 2√3 см²; б) 4√3 см²; в) 16√3 см²; г) 8√3 см² д) 32√3 см².
3. Радиус основания конуса равен 10 см, а высота равна 15 см. Найдите площадь сечения конуса плоскостью, параллельной основанию и находящейся на расстоянии 2 см от вершины конуса.
а) 
б) 
в) 
г) 5625π см² д) 9π см²
4. Через вершину конуса проведена плоскость, пересекающая основание по хорде, длина которой равна 2 см. Эта хорда стягивает дугу в 90°. Угол между образующими в сечении равен 60°. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
5. Угол при вершине осевого сечения конуса равен 60°, сумма длин его высоты и образующей равна 2 см. Найдите площадь полной поверхности конуса.
а) 
б) 12π(7 - 4√3) см²; в) 
г) π см²; д) 
6. Радиусы оснований усеченного конуса равны 12 см и 6 см, а образующая наклонена к плоскости основания под углом 45°. Найдите высоту усеченного конуса.
а) 4 см; б) 3 см; в) 12 см;
г) определить нельзя; д) 6 см.
7. Полукруг свернут в конус. Найдите угол при вершине осевого сечения конуса.
а) 30°; б) 45°; в) 60°; г) 90°; д) 120°.
8. Длина образующей усеченного конуса равна 29 см, высота – 20 см, радиусы оснований относятся, как 5:9. Найдите периметр осевого сечения усеченного конуса.
а) 205 см; б) 102,5 см; в) 47,25 см; г) 26,25 см; д) 73,5 см.
9. В усеченный конус, радиусы оснований которого равны 2 и 4, вписан шар. Найдите площадь боковой поверхности усеченного конуса.
10. Радиус верхнего основания, высота, образующая и радиус нижнего основания усеченного конуса составляют арифметическую прогрессию с разностью 4. Вычислите площадь полной поверхности усеченного конуса.
а) 144π; б) 1256π; в) 1584π; г) 1440π; д) 360π.
2 вариант
1. Выберите неверное утверждение.
а) Конус может быть получен в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов;
б) прямая, проходящая через вершину конуса и центр его основания, называется осью конуса;
в) площадь боковой поверхности конуса может быть вычислена по формуле 
;
г) осевым сечением усеченного конуса является равнобедренная трапеция;
д) конус называется равносторонним, если его осевое сечение – правильный треугольник..
2. Образующая конуса, равная 4 см, наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найдите площадь осевого сечения конуса.
а) 8√3 см²; б) √3 см²; в) 16√3 см²; г) 4√3 см² д) 2√3 см².
3. Радиус основания конуса и его высота равны 7 см. Найдите площадь сечения конуса плоскостью, проходящей параллельно основанию на расстоянии 4 см от его вершины.
а) 16π см² б) 12π см² в) 8π см² г) 49π см² д) 3,0625π см²
4. Через вершину конуса проведена плоскость, пересекающая основание по хорде, длина которой равна 2 см. Эта хорда стягивает дугу в 60°. Угол между образующими в сечении равен 90°. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
а) 2π см²; б) 2π√2 см²; в) 4π см²; г) 4π√2 см²; д) 8π см²
5. Угол при вершине осевого сечения конуса равен 60°, сумма длин его радиуса и образующей равна 2 см. Найдите площадь полной поверхности конуса.
а) π см² б) 4π(2√3 + 3) см²; в) 
г) д) 4π см²;
6. Радиусы оснований усеченного конуса равны 10√3 см и 6√3 см, а образующая наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найдите высоту усеченного конуса.
а) 4 см; б) 6 см; в) 12 см;
г) определить нельзя; д) 3 см.
7. Найдите угол между высотой и образующей конуса, если площадь боковой поверхности конуса равна 2, а площадь полной его поверхности равна 3.
а) 120°; б) 90°; в) 60°; г) 45°; д) 30°.
8. Длина образующей усеченного конуса равна 13 см, высота – 12 см. Найдите радиусы оснований, если периметр осевого сечения усеченного конуса равен 56 см..
а) 6 см и 12 см; б) 5 см и 10 см; в) 5 см и 15 см; г) 10 см и 12 см; д) 12 см и 13 см.
9. В усеченный конус, образующая которого равна 6, вписан шар. Найдите площадь боковой поверхности усеченного конуса.
а) Определить нельзя; б) 9π; в) 72π; г) 18π; д) 36π.
10. Найдите площадь полной поверхности усеченного конуса, если его радиусы равны 21 и 11, а длина диагонали осевого сечения равна 40.
а) 1394π; б) 832π; в) 1273π; г) 953π; д) 562π.
Ответы к тесту
Ответы
Вариант
Задание
10
1
б
в
а
б
б
д
в
а
д
Г
2
в
г
а
б
г
в
д
б
д
А
СФЕРА И ШАР
Цели: в ходе изучения данной темы обучающиеся должны освоить основные понятия и определения темы, элементы сферы и шара, сечение шара, формулу площади сферы,научиться решать простейшие задачи; использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности
1 Изучите теоретический материал:
Шар – тело состоящее из всех точек пространства, находящихся на расстоянии не больше данного от данной точки.
Сфера – граница шара.
Шар получается при вращении полукруга вокруг его диаметра как оси
2. т. О – центр шара
ОА=ОВ – радиус шара
АВ – диаметр
3. а) Всякое сечение шара плоскостью – круг, центром которого является основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.
б) плоскость, проходящая через центр шара – диаметральная плоскость. Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом, а сечение сферы – большой окружностью.
4. 
Плоскость проходящая через точку А поверхности шара и перпендикулярная радиусу, проведенному в точку А, называется касательной плоскостью, точка А – плоскостью касания.
а) многогранник называется вписанным в шар, если все его вершины лежат на поверхности шара.
б) многогранник называется описанным около шара, если все его грани касаются поверхности шара.
2 Рассмотрите задачи с решениями:
Задача 1.
П
лощадь большого круга шара равна 3. Найдите площадь поверхности шара.
Решeние:
Радиус большого круга является радиусом шара. Площадь первого выражается через радиус как , а площадь поверхности сферы – как . Видно, что площадь поверхности шара в раза больше площади поверхности большого круга.
Ответ: 12.
Задача 2.
О
коло шара описан цилиндр, площадь поверхности которого равна 18. Найдите площадь поверхности шара.
Решeние:
По построению радиусы шара и основания цилиндра равны. Площадь поверхности цилиндра, с радиусом основания r и высотой 2 r равна
.
Площадь поверхности шара радиуса равна , то есть в 1,5 раза меньше площади поверхности цилиндра. Следовательно, площадь поверхности шара равна 12.
Ответ: 12.
Задача 3.
В
о сколько раз увеличится площадь поверхности шара, если радиус шара увеличить в 2 раза?
Решeние:
Площадь поверхности шара выражается через его радиус формулой , поэтому при увеличении радиуса вдвое площадь увеличится в 2 2 = 4 раза.
Ответ: 4.
Задача 4.
О
бъем одного шара в 27 раз больше объема второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?
Решeние:
Объемы шаров соотносятся как
,
Откуда Площади их поверхностей соотносятся как
.
Ответ: 9.
Задача 5.
Р
адиусы двух шаров равны 6, 8. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей их поверхностей.
Решeние:
Из условия найдем, что радиус такого шара
.
Ответ: 10.
1. Найдите площадь сферы, если радиус сферы равен 3 см.
2. Найдите радиус сферы, если площадь сферы равна 16π см 2 .
3. Найдите площадь центрального сечения сферы, если радиус сферы равен 5 см.
4. Найдите расстояние от точки касания плоскости и сферы, до точки на касательной плоскости, если радиус сферы равен 5 см, а расстояние от центра сферы до точки на касательной плоскости равно 13 см.
5. Площадь сечения проходящего через центр шара, равна 16π см 2 . Чему равен радиус шара?
6. Через точку, делящую радиус сферы пополам, проведена секущая плоскость, перпендикулярная к этому радиусу. Радиус сферы равен 16 см. Найдите площадь сечения.
7. Шар с центром в т.О касается плоскости в т.В. Точка А лежит в этой плоскости, ОА = 20 см, АВ = 12 см. Найдите радиус шара.
8. Найдите координаты центра сферы и радиус сферы, если она задана
Сфера и шар
1 вариант
1. Найдите расстояние от центра шара с радиусом 6 см до плоскости сечения, радиус которого равен 3√3 см.
а) 2√3 см; б) 3 см; в) 4 см; г) 3√3 см; д) 6 см.
2. Даны шары с радиусами 4 см и 3 см, расстояние между их центрами равно 5 см. Найдите длину линии, по которой пересекаются их поверхности.
а) Определить нельзя; б) 2,4 см; в) 4,8π см; г) 1,2 см; д) 2,4π см.
6. Выберите неверное утверждение.
а) Сфера может быть получена в результате вращения полуокружности вокруг ее диаметра;
б) тело, ограниченное сферой, называется шаром;
в) сечение шара плоскостью есть круг;
г) площадь сферы можно вычислить по формуле S = 4πr ²;
д) если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, то эта плоскость является касательной к сфере.
8. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 3. Боковые ребра наклонены к основанию под углом 45°. Найдите площадь описанной около пирамиды сферы.
а) Определить нельзя; б) 3π; в) 4π√3; г) 12π; д) 36π.
9. Сечения шара двумя параллельными плоскостями, между которыми лежит центр шара, имеют площади 144π и 25π. Найдите площадь сферы, если расстояние между сечениями равно 17.
а) 100π; б) 169π; в) 676π; г) 576π; д) 119π.
10. Диаметр шара разделен на три части в отношении 1:3:2, через точки деления проведены перпендикулярные ему плоскости. Найдите площадь сферы, если сумма площадей сечений равна 52π см².
а) 36π см²; б) 144π см²; в) 72π см²; г) 324π см²; д) 100π см².
2 вариант
1. Найдите радиус шара, если расстояние от центра шара до плоскости сечения равно 3 см, а радиус сечения равен √7 см.
в) плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере;
г) радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости, параллелен касательной плоскости;
д) радиус шара совпадает с радиусом сферы, ограничивающей данный шар.
8. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 4. Боковые ребра наклонены к основанию под углом 45°. Найдите площадь описанной около пирамиды сферы.
а) 32π; б) 64π; в) 16π√2; г) 16π; д) Определить нельзя.
9. Сечения сферы двумя параллельными плоскостями имеют длины 10π и 24π, расстояние между сечениями равно 7, их центры лежат на одном радиусе. Найдите площадь сферы.
а) 100π; б) 169π; в) 144π; г) 576π; д) 676π.
10. Радиус сферы разделен на три равные части и через точки деления проведены перпендикулярные ему плоскости. Найдите площадь сферы, если разность длин сечений равна 6(2√2 - √5)π см.
а) 36π см²; б) 144π см²; в) 324π см²; г) 72π см²; д) 100π см².
Ответы
Вариант
Задание
1
2
3
4
5
6
1
б
в
д
г
в
Б
2
г
а
г
а
д
В
При выполнении графических работ приходится решать многие задачи на построение. Наиболее встречающиеся при этом задачи — деление отрезков прямой, углов и окружностей на равные части, построение различных сопряжений.
Деление окружности на равные части с помощью циркуля
Пользуясь радиусом, нетрудно разделить окружность и на 3, 5, 6, 7, 8, 12 равных участков.
Деление окружности на четыре равные части.
Штрихпунктирные центровые линии, проведенные перпендикулярно одна другой, делят окружность на четыре равные части. Последовательно соединив их концы, получим правильный четырехугольник (рис. 1).
Рис.1 Деление окружности на 4 равные части.
Деление окружности на восемь равных частей.
Чтобы разделить окружность на восемь равных частей, дуги, равные четвертой части окружности, делят пополам. Для этого из двух точек, ограничивающих четверть дуги, как из центров радиусов окружности выполняют засечки за ее пределами. Полученные точки соединяют с центром окружностей и на пересечении их с линией окружности получают точки, делящие четвертные участки пополам, т. е. получают восемь равных участков окружности (рис. 2).
Рис.2. Деление окружности на 8 равных частей.
Деление окружности на шестнадцать равных частей.
Разделив циркулем дугу, равную 1/8, на две равные части, нанесём засечки на окружность. Соединив все засечки, отрезками прямых, получим правильный шестнадцатиугольник.
Рис.3. Деление окружности на 16 равных частей.
Деление окружности на три равные части.
Чтобы разделить окружность радиуса R на 3 равные части, из точки пересечения центровой линии с окружностью (например, из точки А) описывают как из центра дополнительную дугу радиусом R. Получают точки 2 и 3. Точки 1, 2, 3 делят окружность на три равные части.
Рис. 4. Деление окружности на 3 равные части.
Деление окружности на шесть равных частей. Сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна радиусу окружности (рис. 5.).
Для деления окружности на шесть равных частей надо из точек 1 и 4 пересечения центровой линии с окружностью сделать на окружности по две засечки радиусом R , равным радиусу окружности. Соединив полученные точки отрезками прямых, получим правильный шестиугольник.
Рис. 5. Деление окружности на 6 равных частей
Деление окружности на двенадцать равных частей.
Чтобы разделить окружность на двенадцать равных частей, надо окружность поделить на четыре части взаимно перпендикулярными диаметрами. Приняв точки пересечения диаметров с окружностью А , В , С , D за центры, величиной радиуса проводят четыре дуги до пересечения с окружностью. Полученные точки 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 и точки А , В , С , D разделяют окружность на двенадцать равных частей (рис. 6).
Рис. 6. Деление окружности на 12 равных частей
Деление окружности на пять равных частей
Из точки А проведем дугу тем же радиусом, что и радиус окружности до пересечения с окружностью - получим точку В . Опустив перпендикуляр с этой точки - получим точку С .Из точки С - середины радиуса окружности, как из центра, дугой радиуса СD сделаем засечку на диаметре, получим точку Е . Отрезок DЕ равен длине стороны вписанного правильного пятиугольника. Сделав радиусом DЕ засечки на окружности, получим точки деления окружности на пять равных частей.
Рис. 7. Деление окружности на 5 равных частей
Деление окружности на десять равных частей
Разделив окружность на пять равных частей, легко можно разделить окружность и на 10 равных частей. Проведя прямые от получившихся точек через центр окружности до противоположных сторон окружности - получим ещё 5 точек.
Рис. 8. Деление окружности на 10 равных частей
Деление окружности на семь равных частей
Чтобы разделить окружность радиуса R на 7 равных частей, из точки пересечения центровой линии с окружностью (например, из точки А ) описывают как из центра дополнительную дугу этим же радиусом R - получают точку В . Опустив перпендикуляр с точки В - получим точку С .Отрезок ВС равен длине стороны вписанного правильного семиугольника.
Рис. 9. Деление окружности на 7 равных частей
Окружностью называется замкнутая кривая линия, каждая точка которой расположена на одинаковом расстоянии от одной точки О, называемой центром.
Прямые линии, соединяющие любую точку окружности с её центром, называют радиусами R.
Прямая АВ, соединяющая две точки окружности и проходящая через её центр О, называется диаметром D.
Части окружностей называются дугами .
Прямая СD, соединяющая две точки на окружности, называется хордой .
Прямая МN,которая имеет только одну общую точку с окружностью называется касательной .
Часть круга, ограниченная хордой СD и дугой, называется сигментом .
Часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой, называется сектором .
Две взаимно перпендикулярные горизонтальная и вертикальная линии, пересекающиеся в центре окружности, называются осями окружности .
Угол, образованный двумя радиусами КОА, называется центральным углом .
Два взаимно перпендикулярных радиуса составляют угол в 90 0 и ограничивают 1/4 окружности.
Деление окружности на части
Проводим окружность с горизонтальной и вертикальной осями, которые делят её на 4-ре равные части. Проведённые с помощью циркуля или угольника под 45 0 , две взаимно перпендикулярные линии делят окружность на 8-мь равных частей.
Деление окружности на 3 и 6 равных частей (кратные 3 трём)
Для деления окружности на 3, 6 и кратное им количество частей, проводим окружность заданного радиуса и соответствующие оси. Деление можно начинать от точки пересечения горизонтальной или вертикальной оси с окружностью. Заданный радиус окружности последовательно откладывается 6-ть раз. Затем полученные точки на окружности последовательно соединяются прямыми линиями и образуют правильный вписанный шести-угольник. Соединение точек через одну даёт равносторонний треугольник, и деление окружности на три равные части.
Построение правильного пятиугольника выполняется следующим образом. Проводим две взаимно перпендикулярные оси окружности равные диаметру окружности. Делим правую половину горизонтального диаметра пополам с помощью дуги R1. Из полученной точки "а" в середине этого отрезка радиусом R2 проводим дугу окружности до пересечения с горизонтальным диаметром в точке "b". Радиусом R3 из точки "1" проводят дугу окружности до пересечения с заданной окружностью (т.5) и получают сторону правильного пятиугольника. Расстояние "b-О" даёт сторону правильного десятиугольника.
Деление окружности на N-ное количество одинаковых частей (построение правильного многоугольника с N сторон)
Выполняется следующим образом. Проводим горизонтальную и вертикальную взаимно перпендикулярные оси окружности. Из верхней точки "1" окружности проводим под произвольным углом к вертикальной оси прямую линию. На ней откладываем равные отрезки произвольной длины, число которых равно числу частей на которое мы делим данную окружность, например 9. Конец последнего отрезка соединяем с нижней точкой вертикального диаметра. Проводим линии, параллельные полученной, из концов отложенных отрезков до пересечения с вертикальным диаметром, разделив таким образом вертикальный диаметр данной окружности на заданное количество частей. Радиусом равным диаметру окружности, из нижней точки вертикальной оси проводим дугу MN до пересечения с продолжением горизонтальной оси окружности. Из точек M и N проводим лучи через чётные (или нечётные) точки деления вертикального диаметра до пересечения с окружностью. Полученные отрезки окружности будут являться искомыми, т.к. точки 1, 2, …. 9 делят окружность на 9-ть (N) равных частей.
«Объем шара и площадь сферы»
I вариант
Контрольная работа №5 по теме: «Объем шара и площадь сферы»
II вариант
№1. Радиус шара равен 5 см. Найдите объем и площадь шара.
№2. Найдите объем шарового сегмента, если его высота равна 6 см, а радиус шара – 8 см.
№3. Найдите объем шарового сектора, если радиус шара равен 7 см, а высота шарового сегмента, из которого состоит шаровой сектор, равен 6 см.
№4. Диаметр шара, равный 36 см, разделен на 3 равные части. Через точки деления проведены плоскости, перпендикулярные диаметру. Найдите объем образовавшегося шарового слоя.
№5. Свинцовый шар, диаметром 20 см, переплавлен в шарики с диаметром в 10 раз меньше. Сколько таких шариков получилось?
№6. Радиусы оснований шарового слоя равны 3 см и 4 см, а радиус шара -5 см. Найдите объем слоя, если его основания расположены по одну сторону от центра шара.
Контрольная работа №5 по теме: «Объем шара и площадь сферы»
I вариант
№1. Радиус шара равен 4 см. Найдите объем и площадь шара.
№2. Найдите объем шарового сегмента, если его высота равна 9 см, а радиус шара – 7 см.
№3. Найдите объем шарового сектора, если радиус шара равен 5 см, а высота шарового сегмента, из которого состоит шаровой сектор, равен 3 см.
№4. Диаметр шара, равный 18 см, разделен на 3 равные части. Через точки деления проведены плоскости, перпендикулярные диаметру. Найдите объем образовавшегося шарового слоя.
№5. Медный куб, ребро которого 10 см, переплавлен в шар. Найдите радиус шара.
№6. В шаре радиуса 15 см проведено сечение, площадь которого равна 81 см 2 . Найдите объем меньшего шарового сегмента, отсекаемого плоскостью сечения.
Контрольная работа №5