Лекция: Конус. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка

Конус – это тело, которой состоит из окружности, которая находится в основании, из точки равноудаленной от всех точек на окружности, а также от прямых, соединяющих эту точку (вершину) со всеми точками, лежащими на окружности.

Несколькими вопросами ранее, мы рассматривали пирамиду. Так вот конус – это частный случай пирамиды, в основании которой лежит окружность. Практически все свойства пирамиды подходят и для конуса.

Каким образом можно получить конус? Вспомните прошлый вопрос и то, как мы получили цилиндр. Теперь возьмите равнобедренный треугольник и крутите его вокруг своей оси – Вы получите конус.

Образующие конуса – это отрезки, заключенные между точками окружности и вершиной конуса. Образующие конуса равны между собой.

Чтобы найти длину образующей, следует воспользоваться формулой:

Если все образующие соединить между собой, можно получить боковую поверхность конуса. Общая его поверхность состоит из боковой поверхности и основания в виде окружности.

Конус имеет высоту . Чтобы ее получить, достаточно опустить перпендикуляр из вершины, непосредственно, в центр основания.

Чтобы найти площадь боковой поверхности, следует воспользоваться формулой:

Для нахождения полной площади поверхности конуса воспользуйтесь следующей формулой.

Полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность. Иногда конусом называют часть такого тела, полученную объединением всех отрезков, соединяющих вершину и точки плоской поверхности (последнюю в таком случае называют основанием конуса, а конус называют опирающимся на данное основание). Далее будет рассматриваться именно этот случай, если не оговорено обратное. Если основание конуса представляет собой многоугольник , конус становится пирамидой .

"== Связанные определения ==

• Отрезок, соединяющий вершину и границу основания, называется образующей конуса .
• Объединение образующих конуса называется образующей (или боковой ) поверхностью конуса . Образующая поверхность конуса является конической поверхностью .
• Отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка), называется высотой конуса .
• Если основание конуса имеет центр симметрии (например, является кругом или эллипсом) и ортогональная проекция вершины конуса на плоскость основания совпадает с этим центром, то конус называется прямым . При этом прямая, соединяющая вершину и центр основания, называется осью конуса .
• Косой (наклонный ) конус - конус, у которого ортогональная проекция вершины на основание не совпадает с его центром симметрии.
• Круговой конус - конус, основание которого является кругом.
• Прямой круговой конус (часто его называют просто конусом) можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой , содержащей катет (эта прямая представляет собой ось конуса).
• Конус, опирающийся на эллипс , параболу или гиперболу , называют соответственно эллиптическим , параболическим и гиперболическим конусом (последние два имеют бесконечный объём).
• Часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием, называется усечённым конусом .

Свойства

• Если площадь основания конечна, то объём конуса также конечен и равен трети произведения высоты на площадь основания. Таким образом, все конусы, опирающиеся на данное основание и имеющие вершину, находящуюся на данной плоскости, параллельной основанию, имеют равный объём, поскольку их высоты равны.
• Центр тяжести любого конуса с конечным объёмом лежит на четверти высоты от основания.
• Телесный угол при вершине прямого кругового конуса равен

• Площадь боковой поверхности такого конуса равна

• Объем кругового конуса равен

• Пересечение плоскости с прямым круговым конусом является одним из конических сечений (в невырожденных случаях - эллипсом, параболой или гиперболой, в зависимости от положения секущей плоскости).

Обобщения

В алгебраической геометрии конус - это произвольное подмножество векторного пространства над полем , для которого для любого

См. также

• Конус (топология)

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Конус (геометрическая фигура)" в других словарях:

Конус: В математике Конус геометрическая фигура. Конус над топологическим пространством. Конус(Теория Категорий). В технике Конус инструментальный метод сопряжения инструмента и шпинделя в станках. Конусное устройство узел… … Википедия

Геометрия раздел математики, тесно связанный с понятием пространства; в зависимости от форм описания этого понятия возникают различные виды геометрии. Предполагается, что читатель, приступая к чтению этой статьи, обладает некоторыми… … Энциклопедия Кольера

Визуализация изображения информации на экране дисплея (монитора). В отличие от воспроизведения изображения на бумаге или ином носителе, изображение, созданное на экране, можно почти немедленно стереть или (и) подправить, сжать или растянуть,… … Энциклопедический словарь

История науки … Википедия

История науки По тематике Математика Естественные науки … Википедия

- (греч. geodaisia, от ge Земля и daio делю, разделяю), наука об определении положения объектов на земной поверхности, о размерах, форме и гравитационном поле Земли и других планет. Это отрасль прикладной математики, тесно связанная с геометрией,… … Энциклопедия Кольера

а плоскостью, параллельной основанию (рис. ). Объём У. к. равен , где r 1 и r 2 – радиусы оснований, h – высота.

Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .

Смотреть что такое "Усечённый конус" в других словарях:

Геометрическое тело, отсечённое от конуса плоскостью, параллельной основанию (рис.). Объём усечённого конуса равен. * * * УСЕЧЕННЫЙ КОНУС УСЕЧЕННЫЙ КОНУС, геометрическое тело, отсеченное от конуса плоскостью, параллельной основанию. Объем… … Энциклопедический словарь

усечённый конус - — Тематики нефтегазовая промышленность EN truncated cone … Справочник технического переводчика

УСЕЧЁННЫЙ, усечённая, усечённое; усечён, усечена, усечено. 1. прич. страд. прош. вр. от усечь (книжн.). 2. Такой, у которого верхняя часть отсечена плоскостью, параллельной основанию (о конусе, пирамиде; мат.). Усечённый конус. Усеченная пирамида … Толковый словарь Ушакова

усечённый - ая, ое.; матем. Такой, у которого верхняя часть отсечена плоскостью, параллельной основанию. Усечённый конус. У ая пирамида … Словарь многих выражений

УСЕЧЁННЫЙ, ая, ое. В математике: такой, у к рого вершинная часть отделена, отсечена плоскостью, параллельной основанию. У. конус. Усечённая пирамида. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова

Ая, ое. 1. прич. страд. прош. от усечь. 2. в знач. прил. мат. Такой, у которого верхняя часть отсечена плоскостью, параллельной основанию. Усеченный конус. Усеченная пирамида. 3. в знач. прил. грамм., лит. С усечением (во 2 знач.), представляющий … Малый академический словарь

Прямой круговой конус. Прямой и … Википедия

- (лат. conus, от греч. konos) коническая поверхность множество прямых (образующих) пространства, соединяющих все точки нек рой линии (направляющей) с данной точкой (вершиной) пространства. Простейший К. круглый, или прямой круговой, направляющей к … Большой энциклопедический политехнический словарь

- (лат. conus, от греч. konos) (математика), 1) К., или коническая поверхность, геометрическое место прямых (образующих) пространства, соединяющих все точки некоторой линии (направляющей) с данной точкой (вершиной) пространства.… … Большая советская энциклопедия

Окружающий нас мир динамичен и разнообразен, и далеко не всякий объект можно просто обмерить линейкой. Для подобного переноса используются специальные техники, как то триангуляция. Потребность в составлении сложных развёрток, как правило,… … Википедия

Конус. Усеченный конус

Конической поверхностью называется поверхность, образованная всеми прямыми, проходящими через каждую точку данной кривой и точку вне кривой (рис.32).

Данная кривая называется направляющей , прямые – образующими , точка – вершиной конической поверхности.

Прямой круговой конической поверхностью называется поверхность, образованная всеми прямыми, проходящими через каждую точку данной окружности и точку на прямой, которая перпендикулярна плоскости окружности и проходит через ее центр. В дальнейшем эту поверхность будем кратко называть конической поверхностью (рис.33).

Конусом (прямым круговым конусом ) называется геометрическое тело, ограниченное конической поверхностью и плоскостью, которая параллельна плоскости направляющей окружности (рис.34).

Рис. 32 Рис. 33 Рис. 34

Конус можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг оси, содержащей один из катетов треугольника.

Круг, ограничивающий конус, называется его основанием . Вершина конической поверхности называется вершиной конуса. Отрезок, соединяющий вершину конуса с центром его основания, называется высотой конуса. Отрезки, образующие коническую поверхность, называются образующими конуса. Осью конуса называется прямая, проходящая через вершину конуса и центр его основания. Осевым сечением называется сечение, проходящее через ось конуса. Разверткой боковой поверхности конуса называется сектор, радиус которого равен длине образующей конуса, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса.

Для конуса верны формулы:

где R – радиус основания;

H – высота;

l – длина образующей;

S осн – площадь основания;

S бок

S полн

V – объем конуса.

Усеченным конусом называется часть конуса, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию конуса (рис.35).

Усеченный конус можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольной трапеции вокруг оси, содержащей боковую сторону трапеции, перпендикулярную основаниям.

Два круга, ограничивающие конус, называются его основаниями . Высотой усеченного конуса называется расстояние между его основаниями. Отрезки, образующие коническую поверхность усеченного конуса называются образующими . Прямая, проходящая через центры оснований, называется осью усеченного конуса. Осевым сечением называется сечение, проходящее через ось усеченного конуса.

Для усеченного конуса верны формулы:

(8)

где R – радиус нижнего основания;

r – радиус верхнего основания;

H – высота, l – длина образующей;

S бок – площадь боковой поверхности;

S полн – площадь полной поверхности;

V – объем усеченного конуса.

Пример 1. Сечение конуса параллельное основанию делит высоту в отношении 1:3, считая от вершины. Найти площадь боковой поверхности усеченного конуса, если радиус основания и высота конуса равны 9 см и 12 см.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 36).

Для вычисления площади боковой поверхности усеченного конуса используем формулу (8). Найдем радиусы оснований О 1 А и О 1 В и образующую АВ.

Рассмотрим подобные треугольники SO 2 B и SO 1 A , коэффициент подобия , тогда

Отсюда

Так как то

Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна:

Ответ: .

Пример2. Четверть круга радиуса свернута в коническую поверхность. Найти радиус основания и высоту конуса.

Решение. Четверить круга является разверткой боковой поверхности конуса. Обозначим r – радиус его основания, H – высота. Площадь боковой поверхности вычислим по формуле: . Она равна площади четверти круга: . Получим уравнение с двумя неизвестными r и l (образующая конуса). В данном случае образующая равна радиусу четверти круга R , значит, получим следующее уравнение: , откуда Зная радиус основания и образующую, найдем высоту конуса:

Ответ: 2 см, .

Пример 3. Прямоугольная трапеция с острым углом 45 О, меньшим основанием 3см и наклонной боковой стороной равной , вращается вокруг боковой стороны перпендикулярной основаниям. Найти объем полученного тела вращения.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 37).

В результате вращения получим усеченный конус, чтобы найти его объем вычислим радиус большего основания и высоту. В трапеции O 1 O 2 AB проведем AC^O 1 B . В имеем: значит, этот треугольник равнобедренный AC =BC =3 см.

Ответ:

Пример 4. Треугольник со сторонами 13 см, 37 см и 40 см вращается вокруг внешней оси, которая параллельна большей стороне и находится от нее на расстоянии 3 см (Ось расположена в плоскости треугольника). Найти площадь поверхности полученного тела вращения.

Решение . Сделаем рисунок (рис. 38).

Поверхность полученного тела вращения состоит из боковых поверхностей двух усеченных конусов и боковой поверхности цилиндра. Для того чтобы вычислить эти площади необходимо знать радиусы оснований конусов и цилиндра (BE и OC ), образующие конусов (BC и AC ) и высоту цилиндра (AB ). Неизвестной является только CO . это расстояние от стороны треугольника до оси вращения. Найдем DC . Площадь треугольника ABC с одной стороны равна произведению половины стороны AB на высоту, проведенную к ней DC , с другой стороны, зная все стороны треугольника, его площадь вычислим по формуле Герона.

Конус (с греческого «konos») – сосновая шишка. Конус знаком людям с глубокой древности. В 1906 году была обнаружена книга «О методе», написанная Архимедом (287-212 гг. до н. э.), в этой книге дается решение задачи об объеме общей части пересекающихся цилиндров. Архимед говорит, что это открытие принадлежит древнегреческому философу Демокриту (470-380 гг. до н.э.), который с помощью данного принципа получил формулы для вычисления объема пирамиды и конуса.

Конус (круговой конус) – тело, которое состоит из круга – основание конуса, точки, не принадлежащей плоскости этого круга, – вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса и точки окружности основания. Отрезки, которые соединяют вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса. Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности.

Конус называется прямым, если прямая, которая соединяет вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания. Прямой круговой конус можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси.

Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания. Осью прямого конуса называется прямая, содержащая его высоту.

Сечение конуса плоскостью, проходящей через образующую конуса и перпендикулярная осевому сечению, проведённому через эту образующую, называется касательной плоскостью конуса.

Плоскость, перпендикулярная оси конуса, пересекает конус по кругу, а боковую поверхность – по окружности с центром на оси конуса.

Плоскость, перпендикулярная оси конуса отсекает от него меньший конус. Оставшаяся часть называется усечённым конусом.

Объём конуса равен трети произведения высоты на площадь основания. Таким образом, все конусы, опирающиеся на данное основание и имеющие вершину, находящуюся на данной плоскости, параллельной основанию, имеют равный объём, поскольку их высоты равны.

Площадь боковой поверхности конуса можно найти по формуле:

S бок = πRl,

Площадь полной поверхности конуса находится по формуле:

S кон = πRl + πR 2 ,

где R – радиус основания, l – длина образующей.

Объём кругового конуса равен

V = 1/3 πR 2 H,

где R – радиус основания, Н – высота конуса

Площадь боковой поверхности усеченного конуса можно найти по формуле:

S бок = π(R + r)l,

Площадь полной поверхности усеченного конуса можно найти по формуле:

S кон = πR 2 + πr 2 + π(R + r)l,

где R – радиус нижнего основания, r – радиус верхнего основания, l – длина образующей.

Объём усечённого конуса можно найти следующим образом:

V = 1/3 πH(R 2 + Rr + r 2),

где R – радиус нижнего основания, r – радиус верхнего основания, Н – высота конуса.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.