Что такое прямоугольная система координат в пространстве. Урок «Метод координат в пространстве

Если на плоскости или в трехмерном пространстве ввести систему координат, то мы получим возможность описывать геометрические фигуры и их свойства с помощью уравнений и неравенств, то есть, мы сможем использовать методы алгебры. Поэтому понятие системы координат очень важно.

В этой статье мы покажем как задается прямоугольная декартова система координат на плоскости и в трехмерном пространстве и выясним как определяются координаты точек. Для наглядности приведем графические иллюстрации.

Навигация по странице.

Прямоугольная декартова система координат на плоскости.

Введем прямоугольную систему координат на плоскости.

Для этого проведем на плоскости две взаимно перпендикулярные прямые, выберем на каждой из них положительное направление , указав его стрелочкой, и выберем на каждой из них масштаб (единицу измерения длины). Обозначим точку пересечения этих прямых буквой О и будем считать ее началом отсчета . Так мы получили прямоугольную систему координат на плоскости.

Каждую из прямых с выбранным началом отсчета О , направлением и масштабом называют координатной прямой или координатной осью .

Прямоугольную систему координат на плоскости обычно обозначают Oxy , где Ox и Oy – ее координатные оси. Ось Ox называют осью абсцисс , а ось Oy – осью ординат .

Сейчас условимся с изображением прямоугольной системы координат на плоскости.

Обычно единица измерения длины на осях Ox и Oy выбирается одинаковая и откладывается от начала координат на каждой координатной оси в положительном направлении (отмечается штришком на координатных осях и рядом записывается единица), ось абсцисс направляется вправо, а ось ординат – вверх. Все остальные варианты направления координатных осей сводятся к озвученному (ось Ox - вправо, ось Oy - вверх) при помощи поворота системы координат на некоторый угол относительно начала координат и взгляда на нее с другой стороны плоскости (при необходимости).

Прямоугольную систему координат часто называют декартовой, так как ее на плоскости впервые ввел Рене Декарт. Еще чаще прямоугольную систему координат называют прямоугольной декартовой системой координат, собирая все воедино.

Прямоугольная система координат в трехмерном пространстве.

Аналогично задается прямоугольная система координат Oxyz в трехмерном евклидовом пространстве, только берется не две, а три взаимно перпендикулярных прямых. Другими словами, к координатным осям Оx и Oy добавляется координатная ось Oz , которую называют осью аппликат .

В зависимости от направления координатных осей различают правую и левую прямоугольные системы координат в трехмерном пространстве.

Если смотреть с положительного направления оси Oz и кратчайший поворот от положительного направления оси Ox к положительному направлению оси Oy происходит против хода часовой стрелки, то система координат называется правой .

Если смотреть с положительного направления оси Oz и кратчайший поворот от положительного направления оси Ox к положительному направлению оси Oy происходит по ходу часовой стрелки, то система координат называется левой .

Координаты точки в декартовой системе координат на плоскости.

Сначала рассмотрим координатную прямую Ox и возьмем некоторую точку M на ней.

Каждому действительному числу соответствует единственная точка M на этой координатной прямой. К примеру, точке, расположенной на координатной прямой на расстоянии от начала отсчета в положительном направлении, соответствует число , а числу -3 соответствует точка, расположенная на расстоянии 3 от начала отсчета в отрицательном направлении. Числу 0 соответствует начало отсчета.

С другой стороны, каждой точке M на координатной прямой Ox соответствует действительное число . Это действительное число есть ноль, если точка M совпадает с началом отсчета (с точкой O ). Это действительное число положительно и равно длине отрезка OM в данном масштабе, если точка M удалена от начала отсчета в положительном направлении. Это действительное число отрицательно и равно длине отрезка OM со знаком минус, если точка M удалена от начала отсчета в отрицательном направлении.

Число называется координатой точки M на координатной прямой.

Теперь рассмотрим плоскость с введенной прямоугольной декартовой системой координат. Отметим на этой плоскости произвольную точку М .

Пусть - проекция точки M на прямую Ox , а - проекции точки M на координатную прямую Oy (при необходимости смотрите статью ). То есть, если через точку M провести прямые, перпендикулярные координатным осям Ox и Oy , то точками пересечения этих прямых с прямыми Ox и Oy являются соответственно точки и .

Пусть точке на координатной оси Ox соответствует число , а точке на оси Oy - число .

Каждой точке М плоскости в заданной прямоугольной декартовой системе координат соответствует единственная упорядоченная пара действительных чисел , называемых координатами точки M на плоскости. Координату называют абсциссой точки М , а - ординатой точки М .

Верно и обратное утверждение: каждой упорядоченной паре действительных чисел соответствует точка М плоскости в заданной системе координат.

Координаты точки в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве.

Покажем как определяются координаты точки М в прямоугольной системе координат, заданной в трехмерном пространстве.

Пусть и - проекции точки M на координатные оси Ox , Oy и Oz соответственно. Пусть этим точкам на координатных осях Ox , Oy и Oz соответствуют действительные числа и .

Определение положения точки в пространстве

Итак, положение какой-либо точки в пространстве может быть определено только по отношению к каким-либо другим точкам. Та точка, относительно которой рассматривается положение других точек, называется точкой отсчете . Мы так же применим и другое наименование точки отсчета – точка наблюдения . Обычно с точкой отсчета (или с точкой наблюдения) связывают какую-либо систему координат , которую и называют системой отсчета. В выбранной системе отсчета положение КАЖДОЙ точки определяется ТРЕМЯ координатами.

Правая декартова (или прямоугольная) система координат

Эта система координат представляет собой три взаимно перпендикулярных направленных прямых, называемых так же осями координат , пересекающихся в одной точке (начале координат). Точка начала координат обычно обозначается буквой О.

Оси координат носят названия:

1. Ось абсцисс – обозначается как OX;

2. Ось ординат – обозначается как OY;

3. Ось аппликат – обозначается как OZ

Теперь объясним, почему эта система координат называется правой. Давайте посмотрим на плоскость XOY с положительного направления оси OZ, например из точки А, как это показано на рисунке.

Предположим, что мы начинаем поворачивать ось OX вокруг точки О. Так вот – правая система координат имеет такое свойство, что, если смотреть на плоскость XOY из какой-либо точки положительной полуоси OZ (у нас – это точка А), то, при повороте оси OX на 90 против часовой стрелки, её положительное направление совпадет с положительным направлением оси OY.

Такое решение было принято в научном мире, нам же остается принимать это так, как оно есть.

Итак, после того, как мы определились с системой отсчета (в нашем случае – правой декартовой системой координат), положение любой точки описывается через значения её координат или другими словами – через величины проекций этой точки на оси координат.

Записывается это так: A(x, y, z), где x, y, z – и есть координаты точки А.

Прямоугольную систему координат можно представить себе, как линии пересечения трех взаимно перпендикулярных плоскостей.

Следует заметить, что ориентировать прямоугольную систему координат в пространстве можно как угодно, при этом надо выполнить только одно условие – начало координат должно совпадать с центром отсчета (или точкой наблюдения).

Сферическая система координат

Положение точки в пространстве можно описать и другим способом. Предположим, что мы выбрали область пространства, в котором располагается точка отсчета О (или точка наблюдения), и еще нам известно расстояние от точки отсчета до некоторой точки А. Соединим эти две точки прямой ОА. Эта прямая называется радиус-вектором и обозначается, как r . Все точки, имеющие одно и тоже значение радиус-вектора, лежат на сфере, центр которой находится в точке отсчета (или точке наблюдения), а радиус этой сферы равен, соответственно радиус-вектору.

Таким образом, нам становится очевидным, что знание величины радиус-вектора не дает нам однозначного ответа о положении интересующей нас точки. Нужны еще ДВЕ координаты, ведь для однозначного определения местоположения точки количество координат должно равняться ТРЕМ.

Далее мы поступим следующим образом – построим две взаимно перпендикулярные плоскости, которые, естественно, дадут линию пересечения, и эта линия будет бесконечной, потому как и сами плоскости ничем не ограничены. Зададим на этой линии точку и обозначим ее, ну например, как точка О1. А теперь совместим эту точку О1 с центром сферы – точкой О и посмотрим, что получается?

А получается очень интересная картина:

· Как одна, так и другая плоскости будут центральными плоскостями.

· Пересечение этих плоскостей с поверхностью сферы обозначат большие круги

· Один из этих кругов – произвольно, мы назовем ЭКВАТОРОМ , тогда другой круг будет называться ГЛАВНЫМ МЕРИДИАНОМ.

· Линия пересечения двух плоскостей однозначно определит направление ЛИНИИ ГЛАВНОГО МЕРИДИАНА.

Точки пересечения линии главного меридиана с поверхностью сферы обозначим, как М1 и М2

Через центр сферы точку О в плоскости главного меридиана проведем прямую, перпендикулярную линии главного меридиана. Эта прямая носит название ПОЛЯРНАЯ ОСЬ .

Полярная ось пересечет поверхность сферы в двух точках, которые называются ПОЛЮСАМИ СФЕРЫ. Обозначим эти точки, как Р1 и Р2.

Определение координат точки в пространстве

Теперь рассмотрим процесс определения координат точки в пространстве, а так же дадим наименования этим координатам. Для полноты картины, при определении положения точки, укажем основные направления, от которых производится отсчет координат, а так же положительное направление при отсчете.

1. Задаем положение в пространстве точки отсчета (или точки наблюдения). Обозначим эту точку буквой О.

2. Строим сферу, радиус которой равен длине радиус-вектора точки А. (Радиус-вектор точки А – это расстояние между точками О и А). Центр сферы располагается в точке отсчета О.

3. Задаем положение в пространстве плоскости ЭКВАТОРА, а соответственно плоскости ГЛАВНОГО МЕРИДИАНА. Следует напомнить, что эти плоскости взаимно перпендикулярны и являются центральными.

4. Пересечение этих плоскостей с поверхностью сферы определяет нам положение круга экватора, круга главного меридиана, а так же направление линии главного меридиана и полярной оси.

5. Определяем положение полюсов полярной оси и полюсов линии главного меридиана. (Полюса полярной оси – точки пересечение полярной оси с поверхностью сферы. Полюса линии главного меридиана – это точки пересечения линии главного меридиана с поверхностью сферы).

6. Через точку А и полярную ось строим плоскость, которую назовем плоскостью меридиана точки А. При пересечении этой плоскости с поверхностью сферы получится большой круг, который мы назовем МЕРИДИАНОМ точки А.

7. Меридиан точки А пересечет круг ЭКВАТОРА в некоторой точке, которую мы обозначим, как Е1

8. Положение точки Е1 на экваториальном круге определяется длиной дуги, заключенной между точками М1 и Е1. Отсчет ведется ПРОТИВ часовой стрелки. Дуга экваториального круга, заключенная между точками М1 и Е1 называется ДОЛГОТОЙ точки А. Долгота обозначается буквой  .

Подведем промежуточный итог. На данный момент нам известны ДВЕ из ТРЕХ координат, описывающих положение точки А в пространстве – это радиус-вектор (r) и долгота (). Теперь мы будем определять третью координату. Эта координата определяется положением точки А на ее меридиане. Но вот положение начальной точки, от которой происходит отсчет, однозначно не определено: мы можем начинать отсчет как от полюса сферы (точка Р1), так и от точки Е1, то есть от точки пересечения линий меридиана точки А и экватора (или другими словами – от линии экватора).

В первом случае, положение точки А на меридиане называется ПОЛЯРНЫМ РАССТОЯНИЕМ (обозначается как р ) и определяется длиной дуги, заключенной между точкой Р1 (или точкой полюса сферы) и точкой А. Отсчет ведется вдоль линии меридиана от точки Р1 к точке А.

Во втором случае, когда отсчет ведется от линии экватора, положение точки А на линии меридиана называется ШИРОТОЙ (обозначается как   и определяется длиной дуги, заключенной между точкой Е1 и точкой А.

Теперь мы можем окончательно сказать, что положение точки А в сферической системе координат определяется через:

· длину радиуса сферы (r),

· длину дуги долготы (),

· длину дуги полярного расстояния (р)

В этом случае координаты точки А запишутся следующим образом: А(r, , p)

Если пользоваться иной системой отсчета, то положение точки А в сферической системе координат определяется через:

· длину радиуса сферы (r),

· длину дуги долготы (),

· длину дуги широты ()

В этом случае координаты точки А запишутся следующим образом: А(r, , )

Способы измерения дуг

Возникает вопрос – как же нам измерить эти дуги? Самый простой и естественный способ – это провести непосредственное измерение длин дуг гибкой линейкой, и это возможно, если размеры сферы сравнимы с размерами человека. Но как поступить, если это условие не выполнимо?

В этом случае мы прибегнем к измерению ОТНОСИТЕЛЬНОЙ длины дуги. За эталон же мы примем длину окружности, частью которой является интересующая нас дуга. Как это можно сделать?

Для определения положения точки в пространстве мы будем использовать декартовы прямоугольные координаты (рис.2).

Декартова прямоугольная система координат в пространстве образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат OX, OY, OZ. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения обычно (не обязательно) одинаковы для всех осей. Ось OX называется осью абсцисс (или просто абсциссой), ось OY - осью ординат (ординатой), ось OZ - осью аппликат (апп ликатой).

Положение точки A в пространстве определяется тремя координатами x, y и z. Координата x равна длине отрезка OB, координата y — длине отрезка OC, координата z — длине отрезка OD в выбранных единицах измерения. Отрезки OB, OC и OD определяются плоскостями, проведёнными из точки параллельно плоскостям YOZ, XOZ и XOY соответственно.

Координата x называется абсциссой точки A, координата y — ординатой точки A, координата z — аппликатой точки A.

Символически это записывают так:

или привязывают запись координат к конкретной точке с помощью индекса:

x A , y A , z A ,

Каждая ось рассматривается как числовая прямая, т. е. имеет положительное направление, а точкам, лежащим на отрицательном луче, приписываются отрицательные значения координаты (расстояние берется со знаком минус). То есть, если бы, например, точка B лежала не как на рисунке — на луче OX, а на его продолжении в обратную сторону от точки O (на отрицательной части оси OX), то абсцисса x точки A была бы отрицательной (минус расстоянию OB). Аналогично и для двух других осей.

Координатные оси OX, OY, OZ, изображенные на рис. 2, образуют правую систему координат. Это означает, что если смотреть на плоскость YOZ вдоль положительного направления оси OX, то движение оси OY в сторону оси OZ будет проходить по часовой стрелке. Эту ситуацию можно описать при помощи правила буравчика : если буравчик (винт с правой резьбой) вращать по направлению от оси OY к оси OZ, то он будет двигаться вдоль положительного направления оси OX.

Векторы единичной длины, направленные вдоль координатных осей, называются координатными ортами. Их обозначают обычно как (рис. 3). Встречается так же обозначение Орты составляют базис координатной системы.

В случае правой системы координат действительны следующие формулы с векторными произведениями ортов:

Если через точку О в про-стран-стве мы про-ве-дем три пер-пен-ди-ку-ляр-ные пря-мые, на-зо-вем их, вы-бе-рем на-прав-ле-ние, обо-зна-чим еди-нич-ные от-рез-ки, то мы по-лу-чим пря-мо-уголь-ную си-сте-му ко-ор-ди-нат в про-стран-стве . Оси ко-ор-ди-нат на-зы-ва-ют-ся так: Ох - ось абс-цисс, Оy - ось ор-ди-нат и Оz - ось ап-пли-кат . Вся си-сте-ма ко-ор-ди-нат обо-зна-ча-ет-ся - Oxyz. Таким об-ра-зом, по-яв-ля-ют-ся три ко-ор-ди-нат-ные плос-ко-сти : Оxy, Оxz, Оyz.

При-ве-дем при-мер по-стро-е-ния точки В(4;3;5) в пря-мо-уголь-ной си-сте-ме ко-ор-ди-нат (см. Рис. 1).

Рис. 1. По-стро-е-ние точки B в про-стран-стве

Пер-вая ко-ор-ди-на-та точки B - 4, по-это-му от-кла-ды-ва-ем на Ox 4, про-во-дим пря-мую па-рал-лель-но оси Oy до пе-ре-се-че-ния с пря-мой, про-хо-дя-щей через у=3. Таким об-ра-зом, мы по-лу-ча-ем точку K. Эта точка лежит в плос-ко-сти Oxy и имеет ко-ор-ди-на-ты K(4;3;0). Те-перь нужно про-ве-сти пря-мую па-рал-лель-но оси Oz. И пря-мую, ко-то-рая про-хо-дит через точку с ап-пли-ка-той 5 и па-рал-лель-на диа-го-на-ли па-рал-ле-ло-грам-ма в плос-ко-сти Oxy. На их пе-ре-се-че-нии мы по-лу-чим ис-ко-мую точку B.

Рас-смот-рим рас-по-ло-же-ние точек, у ко-то-рых одна или две ко-ор-ди-на-ты равны 0 (см. Рис. 2).

На-при-мер, точка A(3;-1;0). Нужно про-дол-жить ось Oy влево до зна-че-ния -1, найти точку 3 на оси Ox, и на пе-ре-се-че-нии линий, про-хо-дя-щих через эти зна-че-ния, по-лу-ча-ем точку А. Эта точка имеет ап-пли-ка-ту 0, а зна-чит, она лежит в плос-ко-сти Oxy.

Точка C(0;2;0) имеет абс-цис-су и ап-пли-ка-ту 0 - не от-ме-ча-ем. Ор-ди-на-та равна 2, зна-чит точка C лежит толь-ко на оси Oy, ко-то-рая яв-ля-ет-ся пе-ре-се-че-ни-ем плос-ко-стей Oxy и Oyz.

Чтобы от-ло-жить точку D(-4;0;3) про-дол-жа-ем ось Ox назад за на-ча-ло ко-ор-ди-нат до точки -4. Те-перь вос-ста-нав-ли-ва-ем из этой точки пер-пен-ди-ку-ляр - пря-мую, па-рал-лель-ную оси Oz до пе-ре-се-че-ния с пря-мой, па-рал-лель-ной оси Ox и про-хо-дя-щей через зна-че-ние 3 на оси Oz. По-лу-ча-ем току D(-4;0;3). Так как ор-ди-на-та точки равна 0, зна-чит точка D лежит в плос-ко-сти Oxz.

Сле-ду-ю-щая точка E(0;5;-3). Ор-ди-на-та точки 5, ап-пли-ка-та -3, про-во-дим пря-мые про-хо-дя-щие через эти зна-че-ния на со-от-вет-ству-ю-щих осях, и на их пе-ре-се-че-нии по-лу-ча-ем точку E(0;5;-3). Эта точка имеет первую ко-ор-ди-на-ту 0, зна-чит она лежит в плос-ко-сти Oyz.

2. Координаты вектора

На-чер-тим пря-мо-уголь-ную си-сте-му ко-ор-ди-нат в про-стран-стве Oxyz. За-да-дим в про-стран-стве пря-мо-уголь-ную си-сте-му ко-ор-ди-нат Oxyz. На каж-дой из по-ло-жи-тель-ных по-лу-осей от-ло-жим от на-ча-ла ко-ор-ди-нат еди-нич-ный век-тор, т. е. век-тор, длина ко-то-ро-го равна еди-ни-це. Обо-зна-чим еди-нич-ный век-тор оси абс-цисс, еди-нич-ный век-тор оси ор-ди-нат , и еди-нич-ный век-тор оси ап-пли-кат (см. рис. 1). Эти век-то-ры со-на-прав-ле-ны с на-прав-ле-ни-я-ми осей, имеют еди-нич-ную длину и ор-то-го-наль-ны - по-пар-но пер-пен-ди-ку-ляр-ны. Такие век-то-ра на-зы-ва-ют ко-ор-ди-нат-ны-ми век-то-ра-ми или ба-зи-сом.

Рис. 1. Раз-ло-же-ние век-то-ра по трем ко-ор-ди-нат-ным век-то-рам

Возь-мем век-тор , по-ме-стим его в на-ча-ло ко-ор-ди-нат, и раз-ло-жим этот век-тор по трем неком-пла-нар-ным - ле-жа-щим в раз-ных плос-ко-стях - век-то-рам. Для этого опу-стим про-ек-цию точки M на плос-кость Oxy, и най-дем ко-ор-ди-на-ты век-то-ров , и . По-лу-ча-ем: . Рас-смот-рим по от-дель-но-сти каж-дый из этих век-то-ров. Век-тор лежит на оси Ox, зна-чит, со-глас-но свой-ству умно-же-ния век-то-ра на число, его можно пред-ста-вить как ка-кое-то число x умно-жен-ное на ко-ор-ди-нат-ный век-тор . , а длина век-то-ра ровно в x раз боль-ше длины . Так же по-сту-пим и с век-то-ра-ми и , и по-лу-ча-ем раз-ло-же-ние век-то-ра по трем ко-ор-ди-нат-ным век-то-рам:

Ко-эф-фи-ци-ен-ты этого раз-ло-же-ния x, y и z на-зы-ва-ют-ся ко-ор-ди-на-та-ми век-то-ра в про-стран-стве.

Рас-смот-рим пра-ви-ла, ко-то-рые поз-во-ля-ют по ко-ор-ди-на-там дан-ных век-то-ров найти ко-ор-ди-на-ты их суммы и раз-но-сти, а также ко-ор-ди-на-ты про-из-ве-де-ния дан-но-го век-то-ра на дан-ное число.

1) Сло-же-ние:

2) Вы-чи-та-ние:

3) Умно-же-ние на число: ,

Век-тор, на-ча-ло ко-то-ро-го сов-па-да-ет с на-ча-лом ко-ор-ди-нат, на-зы-ва-ет-ся ра-ди-ус -век-то-ром. (Рис. 2). Век-тор - ра-ди-ус-век-тор, где x, y и z - это ко-эф-фи-ци-ен-ты раз-ло-же-ния этого век-то-ра по ко-ор-ди-нат-ным век-то-рам , , . В дан-ном слу-чае x - это пер-вая ко-ор-ди-на-та точки A на оси Ox, y - ко-ор-ди-на-та точки B на оси Oy, z - ко-ор-ди-на-та точки C на оси Oz. По ри-сун-ку видно, что ко-ор-ди-на-ты ра-ди-ус-век-то-ра од-но-вре-мен-но яв-ля-ют-ся ко-ор-ди-на-та-ми точки М.

Возь-мем точку A(x1;y1;z1) и точку B(x2;y2;z2) (см. рис. 3). Пред-ста-вим век-тор как раз-ность век-то-ров и по свой-ству век-то-ров. При-чем, и - ра-ди-ус-век-то-ры, и их ко-ор-ди-на-ты сов-па-да-ют с ко-ор-ди-на-та-ми кон-цов этих век-то-ров. Тогда мы можем пред-ста-вить ко-ор-ди-на-ты век-то-ра как раз-ность со-от-вет-ству-ю-щих ко-ор-ди-нат век-то-ров и : . Таким об-ра-зом, ко-ор-ди-на-ты век-то-ра мы можем вы-ра-зить через ко-ор-ди-на-ты конца и на-ча-ла век-то-ра.

Рас-смот-рим при-ме-ры, ил-лю-стри-ру-ю-щие свой-ства век-то-ров и их вы-ра-же-ние через ко-ор-ди-на-ты. Возь-мем век-то-ры , , . Нас спра-ши-ва-ют век-тор . В дан-ном слу-чае найти это зна-чит найти ко-ор-ди-на-ты век-то-ра, ко-то-рые пол-но-стью его опре-де-ля-ют. Под-став-ля-ем в вы-ра-же-ние вме-сто век-то-ров со-от-вет-ствен-но их ко-ор-ди-на-ты. По-лу-ча-ем:

Те-перь умно-жа-ем число 3 на каж-дую ко-ор-ди-на-ту в скоб-ках, и то же самое де-ла-ем с 2:

У нас по-лу-чи-лась сумма трех век-то-ров, скла-ды-ва-ем их по изу-чен-но-му выше свой-ству:

Ответ:

При-мер №2.

Дано: Тре-уголь-ная пи-ра-ми-да AOBC (см. рис. 4). Плос-ко-сти AOB, AOC и OCB - по-пар-но пер-пен-ди-ку-ляр-ны. OA=3, OB=7, OC=4; M - сер.AC; N - сер.OC; P - сер. CB.

Найти: ,,,,,,,.

Ре-ше-ние: Вве-дем пря-мо-уголь-ную си-сте-му ко-ор-ди-нат Oxyz с на-ча-лом от-сче-та в точке O. По усло-вию обо-зна-ча-ем точки A, B и C на осях и се-ре-ди-ны ребер пи-ра-ми-ды - M, P и N. По ри-сун-ку на-хо-дим ко-ор-ди-на-ты вер-шин пи-ра-ми-ды: A(3;0;0), B(0;7;0), C(0;0;4).

Метод координат - это, конечно, очень хорошо, но в настоящих задачах C2 никаких координат и векторов нет. Поэтому их придется вводить. Да-да, вот так взять и ввести: указать начало отсчета, единичный отрезок и направление осей x, y и z.

Самое замечательное свойство этого метода заключается в том, что не имеет никакого значения, как именно вводить систему координат. Если все вычисления будут правильными, то и ответ будет правильным.

Координаты куба

Если в задаче C2 будет куб - считайте, что вам повезло. Это самый простой многогранник, все двугранные углы которого равны 90°.

Система координат также вводится очень просто:

1. Начало координат - в точке A;
2. Чаще всего ребро куба не указано, поэтому принимаем его за единичный отрезок;
3. Ось x направляем по ребру AB, y - по ребру AD, а ось z - по ребру AA 1 .

Обратите внимание: ось z направляется вверх! После двумерной системы координат это несколько непривычно, но на самом деле очень логично.

Итак, теперь у каждой вершины куба есть координаты. Соберем их в таблицу - отдельно для нижней плоскости куба:

Несложно заметить, что точки верхней плоскости отличаются соответствующих точек нижней только координатой z. Например, B = (1; 0; 0), B 1 = (1; 0; 1). Главное - не запутаться!

Призма - это уже намного веселее. При правильном подходе достаточно знать координаты только нижнего основания - верхнее будет считаться автоматически.

В задачах C2 встречаются исключительно правильные трехгранные призмы (прямые призмы, в основании которых лежит правильный треугольник). Для них система координат вводится почти так же, как и для куба. Кстати, если кто не в курсе, куб - это тоже призма, только четырехгранная.

Итак, поехали! Вводим систему координат:

1. Начало координат - в точке A;
2. Сторону призмы принимаем за единичный отрезок, если иное не указано в условии задачи;
3. Ось x направляем по ребру AB, z - по ребру AA 1 , а ось y расположим так, чтобы плоскость OXY совпадала с плоскостью основания ABC.

Здесь требуются некоторые пояснения. Дело в том, что ось y НЕ совпадает с ребром AC, как многие считают. А почему не совпадает? Подумайте сами: треугольник ABC - равносторонний, в нем все углы по 60°. А углы между осями координат должны быть по 90°, поэтому сверху картинка будет выглядеть так:

Надеюсь, теперь понятно, почему ось y не пойдет вдоль AC. Проведем в этом треугольнике высоту CH. Треугольник ACH - прямоугольный, причем AC = 1, поэтому AH = 1 · cos A = cos 60°; CH = 1 · sin A = sin 60°. Эти факты нужны для вычисления координат точки C.

Теперь взглянем на всю призму вместе с построенной системой координат:

Получаем следующие координаты точек:

Как видим, точки верхнего основания призмы снова отличаются от соответствующих точек нижнего лишь координатой z. Основная проблема - это точки C и C 1 . У них есть иррациональные координаты, которые надо просто запомнить. Ну, или понять, откуда они возникают.

Координаты шестигранной призмы

Шестигранная призма - это «клонированная» трехгранная. Можно понять, как это происходит, если взглянуть на нижнее основание - обозначим его ABCDEF. Проведем дополнительные построения: отрезки AD, BE и CF. Получилось шесть треугольников, каждый из которых (например, треугольник ABO) является основанием для трехгранной призмы.

Теперь введем собственно систему координат. Начало координат - точку O - поместим в центр симметрии шестиугольника ABCDEF. Ось x пойдет вдоль FC, а ось y - через середины отрезков AB и DE. Получим такую картинку:

Обратите внимание: начало координат НЕ совпадает с вершиной многогранника! На самом деле, при решении настоящих задач вы обнаружите, что это очень удобно, поскольку позволяет значительно уменьшить объем вычислений.

Осталось добавить ось z. По традиции, проводим ее перпендикулярно плоскости OXY и направляем вертикально вверх. Получим итоговую картинку:

Запишем теперь координаты точек. Предположим, что все ребра нашей правильной шестигранной призмы равны 1. Итак, координаты нижнего основания:

Координаты верхнего основания сдвинуты на единицу по оси z:

Пирамида - это вообще очень сурово. Мы разберем только самый простой случай - правильную четырехугольную пирамиду, все ребра которой равны единице. Однако в настоящих задачах C2 длины ребер могут отличаться, поэтому ниже приведена и общая схема вычисления координат.

Итак, правильная четырехугольная пирамида. Это такая же, как у Хеопса, только чуть поменьше. Обозначим ее SABCD, где S - вершина. Введем систему координат: начало в точке A, единичный отрезок AB = 1, ось x направим вдоль AB, ось y - вдоль AD, а ось z - вверх, перпендикулярно плоскости OXY. Для дальнейших вычислений нам потребуется высота SH - вот и построим ее. Получим следующую картинку:

Теперь найдем координаты точек. Для начала рассмотрим плоскость OXY. Здесь все просто: в основании лежит квадрат, его координаты известны. Проблемы возникают с точкой S. Поскольку SH - высота к плоскости OXY, точки S и H отличаются лишь координатой z. Собственно, длина отрезка SH - это и есть координата z для точки S, поскольку H = (0,5; 0,5; 0).

Заметим, что треугольники ABC и ASC равны по трем сторонам (AS = CS = AB = CB = 1, а сторона AC - общая). Следовательно, SH = BH. Но BH - половина диагонали квадрата ABCD, т.е. BH = AB · sin 45°. Получаем координаты всех точек:

Вот и все с координатами пирамиды. Но не с координатами вообще. Мы рассмотрели лишь самые распространенные многогранники, однако этих примеров достаточно, чтобы самостоятельно вычислить координаты любых других фигур. Поэтому можно приступать, собственно, к методам решения конкретных задач C2.