2 перпендикулярность прямых и плоскостей. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости
ГПОУ «Усинский политехнический техникум»
Открытый урок по геометрии
Тема «Перпендикулярность прямой и плоскости».
Выполнил: преподаватель математики Мельникова Е.А.
Усинск, 2016 г.
Тип урока: Урок-семинар
Цели урока :
Обобщить, закрепить и систематизировать знания обучающихся по данной теме, умения применять эти знания при решении задач; показать практическую значимость изучаемого материала; изучить связь между отношениями параллельности и перпендикулярности в пространстве; показать межпредметную связь.
Воспитывать культуру устной и письменной речи, способствовать воспитанию эстетического вкуса, прививать интерес к предмету математики.
Развивать пространственное и логическое мышление.
Оборудование к уроку: карточки с названиями Теоретики, Практики, Исследователи, задания группам, ПК, проектор.
План урока.
I. Организация учащихся.
Обучающимся предлагаются карточки с названиями Теоретики, Практики, Исследователи и производится деление на 3 группы.
II. Постановка целей и задач урока.
Говорят, что математика- наука неинтересная, что математика - сухая наука, что о ней можно говорить только в кабинете математики, на уроке. Нет, жизнь доказывает обратное: математика повсюду вокруг нас. Послушайте, что пишет об этом Роман Бухараев в стихотворении “Геометрия трав”.
Математик несбывшийся, странник,
Оглянись, удивляясь стократ:
В травах - срез волчеца - пятигранник,
А в сеченьи душицы - квадрат.
Все на свете покажется внове
Под гольцом, чья вершина в снегу:
Водосбор - треуголен в основе
На цветущем альпийском лугу!
Где же круг?
Возле иглистой розы.
Там, где луг поднебесный скалист,
Вижу, с ветром играет березы
Треугольно-ромбический лист.
Но я соглашусь с тем, что математика наука точная, требующая четкости определений и доказательства фактов. И поэтому сейчас предлагаю от лирики перейти к практике.
Вы изучили очень важную тему геометрии “Перпендикулярность прямой и плоскости”. В результате изучения этой темы вы должны:
знать определения перпендикулярных прямых и прямой, перпендикулярной к плоскости.
уметьформировать и доказывать теоремы (прямую и обратную) о параллельных прямых, прямых, перпендикулярных к плоскости, признак перпендикулярности прямой и плоскости, теорему о прямой, перпендикулярной к плоскости.
Решать задачи типа 119, 121, 126, 128, 131 (уч. “Геометрия 10-11”, автор Атанасян Л.С.)
Преподаватель знакомит с целями урока.
III. Закрепление знаний и умений.
На уроке будут работать 3 группы «Теоретики», «Практики», «Исследователи».
Преподаватель дает задание группам, приготовленное на листах. Указывает на порядок оценивания.
Перед началом работы групп фронтальная проверка готовности.
Каково может быть взаимное расположение 2-х прямых в пространстве? (Прямые могут пересекаться, скрещиваться и быть параллельными.)
Какие две прямые называют параллельными? (Параллельные прямые называются прямые , которые лежат в одной плоскости и либо совпадают, либо не пересекаются.)
Какие две прямые называют скрещивающимися? (Прямые называются скрещивающимися, если одна из прямых лежит в плоскости, а другая эту плоскость пересекает в точке не принадлежащей первой прямой.)
Если угол между двумя прямыми 900 , как их называют? (Перпендикулярные прямые)
Какую прямую называют перпендикулярной к плоскости? (Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Верно ли утверждение:
a) Любая прямая перпендикулярная к плоскости, пересекает эту плоскость? (верно)
b) Любая прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна к этой плоскости? (неверно)
c) Если прямая не перпендикулярна к данной плоскости, то она не пересекает эту плоскость? (неверно)
Прямая а параллельна прямой в и не пересекает плоскость?. Может ли прямая в быть перпендикулярной к плоскости? Ответ обоснуйте. (не может быть, т.к если прямая в будет перпендикулярной плоскости, то и прямая а тоже перпендикулярна плоскости, что невозможно, т.к по условию прямая а не пересекает плоскость, следовательно она параллельна плоскости)
1. Задания для группы «Теоретики».
Доказать лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой.
Лемма . Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.
Дано:a ‖ b, a ⊥ c
Доказать: b ⊥ c
Доказательство:
Через точку М пространства, не лежащую на данных прямых, проведем прямые МА и МС, параллельные соответственно прямым а и с. Так как а ⊥ с, то ∠ АМС=90о.
По условию, b ‖ a, а по построению а ‖ МА, поэтому b ‖ МА.
Итак, прямые b и с параллельны соответственно прямым МА и МС, угол между ними равен 90о, т.е. b ‖ МА, с ‖ МС, угол между МА и МС равен 90о
Это означает, что угол между прямыми b и с также равен 90о, то есть b ⊥ с. Лемма доказана.
Доказать теоремы (прямую и обратную) о параллельных прямых, прямых, перпендикулярных к плоскости.
Теорема: (прямая) Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.
Запись на доске и в тетрадях:
Дано: а ‖ а1, а ⊥ α
Доказать, что а1 ⊥ α
Доказательство:
Проведем какую-нибудь прямую x в плоскости α, т.е. x ∊ α.Так как а ⊥ α, то а ⊥ x.
По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей а1 ⊥ x.
Таким образом, прямая а1 перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости α, т. е. а1 ⊥ α. Теорема доказана.
Теорема: (обратная) Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.
Дано: а ⊥ α, b ⊥ α
Доказать, что а ‖ b
Доказательство:
Через какую-нибудь точку М прямой b проведем прямую b1, параллельную прямой а.
М ∊ b, M ∊ b1, b1 ‖ a. По предыдущей теореме b1 ⊥ α.
Докажем, что прямая b1 совпадает с прямой b. Тем самым будем доказано, что а ‖ b. Допустим, что прямые b1 и b не совпадают. Тогда в плоскости β, содержащей прямые b и b1, через точку М проходят две прямые, перпендикулярные к прямой с, по которой пересекаются плоскости α и β. Но это невозможно, следовательно, а ‖ b, т.е. b ∊ β, b1 ∊β, α β=c (невозможно)→ а ‖ b.
Сформировать и провести анализ доказательства признака перпендикулярности прямой и плоскости.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости: Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости
По окончании группы «Теоретики» преподаватель предоставляет слово обучащемуся с исторической справкой «Провешивание прямой».
Для проведения длинных отрезков прямых (при прокладывании трассы шоссейной или железной дороги, линий электропередач и т.д.) применяется способ, называемый провешиванием прямой, который заключается в использовании всех - шестов, имеющих длину около 2 м., заостренных с одного конца для того, чтобы их можно было воткнуть в землю. Если нужно провести прямую линию между двумя точками А и В, положение которых дано, то сначала в этих точках ставятся вехи; затем между ними устанавливается промежуточная веха С так, чтобы веха А и С закрывали веху В. Необходимо, чтобы все вехи стояли вертикально. Правильность вертикального направления проверяется с помощью отвеса. Отвес - это шнур, на конце которого укреплен небольшой груз. Казалось бы, в этой простой процедуре провешивания прямой все ясно. Но и здесь есть много вопросов, о которых следует подумать, а ответы на них дают изучение нашего курса и других дисциплин. Во-первых, почему все отвесы мира смотрят в центр Земли, а с точки зрения геометрии- определяют прямую, перпендикулярную ее поверхности? Во-вторых, веха должна быть параллельна отвесу, и тогда она также будет перпендикулярна поверхности Земли. Таким образом, все вехи перпендикулярны поверхности Земли и, значит, параллельны между собой.
Такой способ получил название провешивание прямой на местности. Слово "провешивание" - производное от слова "веха".
2. Задания для группы «Практики» .
Показать применение теории при решении задач № 126, 127, 128,131 (стр. 42 уч. “Геометрия 10-11 автор Атанасян Л.С.)
3. Задания для группы «Исследователи».
Изучить связь между отношениями параллельности и перпендикулярности в пространстве. Проверку осуществить с помощью таблицы.
Даны прямая а, перпендикулярная к плоскости α, и прямая b. Укажите взаимное расположение прямых а и b:
Если b параллельна , то……
Если b перпендикулярна , то ……
Если b параллельна или принадлежит , то…..
Если b перпендикулярна , то……
Даны прямая а, перпендикулярная к плоскости α, и плоскость .
Если параллельна , то……
Если перпендикулярна , то ……
Если параллельна а или а принадлежит , то…..
Если перпендикулярна , то……
Приведите примеры окружающей нас обстановки, иллюстрирующие перпендикулярность прямой и плоскости.
По окончании работы групп учащиеся приводят примеры расположения прямых в задачах по физике (межпредметная связь)
Вспомните о силе давления. Как она направлена? (Перпенд. плоскости поверхности).
Тело на горизонтальной поверхности. Как на любое тело на него действует сила тяжести mg? Каково ее направление?
Тело опущено в жидкость. На него оказывает действие выталкивающая сила. Каково ее направление?
IV. Подведение итогов урока. Выставление оценок.
V . Домашнее задание.
П.15 - 16, вопросы 1, 2 (стр. 57), №116, 118.
Определение . Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости.
Приведем без доказательства известные в школьном курсе стереометрии теоремы, необходимые для решения последующих метрических задач.
1. Признак перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
2. Через любую точку пространства проходит единственная прямая, перпендикулярная данной плоскости.
3. Через любую точку пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная данной прямой.
Для построения прямой t " Е, перпендикулярной плоскости Σ, необходимо, на основании признака перпендикулярности, провести в плоскости две пересекающиеся прямые h и f, а затем построить прямую t по условиям: t ^ h, t ^ f (рис. 7.3). В общем случае прямые t и h, t и f – пары скрещивающихся прямых.
Задача. Даны плоскость Σ(ΔАВС) и точка Е.
Построить прямую t по условиям: t " E, t ^ Σ (рис. 7.4).
Решение задачи может быть следующим:
1) строятся линии уровня h и f в плоскости Σ, где h 2 // х, f 1 // x;
2) строятся проекции t 1 и t 2 искомой прямой t, где t 2 " Е 2 , t 2 ^ f 2 ; t 1 " E 1 , t 1 ^ h 1 . В итоге t 1 , t 2 – решение задачи. Прямая t скрещивается с f и h.
Выбор линий уровня h и f в качестве пересекающихся прямых в плоскости Σ продиктован приведенными выше условиями теоремы о проецировании прямого угла и простотой построений на КЧ. Если точка Е находится в плоскости Σ, то последовательность построений остается прежней.
Задача. Даны прямая t и точка Е. Построить плоскость, проходящую через точку Е и перпендикулярную прямой t (рис. 7.5).
Решение задачи основывается на построении двух линий уровня h(h 1 ,h 2) и f(f 1 ,f 2), проходящих через точку Е: h 2 " E 2 , h 2 // х, h 1 " E 1 , h 1 ^ t 1 ; f 1 " E 1 , f 1 // х, f 2 " E 2 , f 2 ^ t 2 . Плоскость (h , f) – решение задачи.
В этой статье мы поговорим о перпендикулярности прямой и плоскости. Сначала дано определение прямой, перпендикулярной к плоскости, приведена графическая иллюстрация и пример, показано обозначение перпендикулярных прямой и плоскости. После этого сформулирован признак перпендикулярности прямой и плоскости. Далее получены условия, позволяющие доказывать перпендикулярность прямой и плоскости, когда прямая и плоскость заданы некоторыми уравнениями в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве. В заключении показаны подробные решения характерных примеров и задач.
Навигация по странице.
Перпендикулярные прямая и плоскость – основные сведения.
Рекомендуем для начала повторить определение перпендикулярных прямых , так как определение прямой, перпендикулярной к плоскости, дается через перпендикулярность прямых.
Определение.
Говорят, что прямая перпендикулярна к плоскости , если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Также можно сказать, что плоскость перпендикулярна к прямой, или прямая и плоскость перпендикулярны.
Для обозначения перпендикулярности используют значок вида «». То есть, если прямая c перпендикулярна к плоскости , то можно кратко записать .
В качестве примера прямой, перпендикулярной к плоскости, можно привести прямую, по которой пересекаются две смежных стены комнаты. Эта прямая перпендикулярна к плоскости и к плоскости потолка. Канат в спортивном зале можно также рассматривать как отрезок прямой, перпендикулярной к плоскости пола.
В заключении этого пункта статьи отметим, что если прямая перпендикулярна к плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным девяноста градусам.
Перпендикулярность прямой и плоскости - признак и условия перпендикулярности.
На практике часто возникает вопрос: «Перпендикулярны ли заданные прямая и плоскость»? Для ответа на него существует достаточное условие перпендикулярности прямой и плоскости , то есть, такое условие, выполнение которого гарантирует перпендикулярность прямой и плоскости. Это достаточное условие называют признаком перпендикулярности прямой и плоскости. Сформулируем его в виде теоремы.
Теорема.
Для перпендикулярности заданных прямой и плоскости достаточно, чтобы прямая была перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.
Доказательство признака перпендикулярности прямой и плоскости Вы можете посмотреть в учебнике геометрии за 10 -11 классы.
При решении задач на установление перпендикулярности прямой и плоскости также часто применяется следующая теорема.
Теорема.
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и вторая прямая перпендикулярна к плоскости.
В школе рассматривается много задач, для решения которых применяется признак перпендикулярности прямой и плоскости, а также последняя теорема. Здесь мы не будем на них останавливаться. В этом пункте статьи основное внимание сосредоточим на применении следующего необходимого и достаточного условия перпендикулярности прямой и плоскости.
Это условие можно переписать в следующем виде.
Пусть - направляющий вектор прямой a , а - нормальный вектор плоскости . Для перпендикулярности прямой a и плоскости необходимо и достаточно, чтобы выполнялось и : , где t – некоторое действительное число.
Доказательство этого необходимого и достаточного условия перпендикулярности прямой и плоскости основано на определениях направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости.
Очевидно, это условие удобно использовать для доказательства перпендикулярности прямой и плоскости, когда легко находятся координаты направляющего вектора прямой и координаты нормального вектора плоскости в зафиксированной в трехмерном пространстве. Это справедливо для случаев, когда заданы координаты точек, через которые проходят плоскость и прямая, а также для случаев, когда прямую определяют некоторые уравнения прямой в пространстве , а плоскость задана уравнением плоскости некоторого вида.
Рассмотрим решения нескольких примеров.
Пример.
Докажите перпендикулярность прямой и плоскости .
Решение.
Нам известно, что числа, стоящие в знаменателях канонических уравнений прямой в пространстве , являются соответствующими координатами направляющего вектора этой прямой. Таким образом, - направляющий вектор прямой .
Коэффициенты при переменных x , y и z в общем уравнении плоскости являются координатами нормального вектора этой плоскости, то есть, - нормальный вектор плоскости .
Проверим выполнение необходимого и достаточного условия перпендикулярности прямой и плоскости.
Так как , то векторы и связаны соотношением , то есть, они коллинеарны. Следовательно, прямая перпендикулярна плоскости .
Пример.
Перпендикулярны ли прямая и плоскость .
Решение.
Найдем направляющий вектор заданной прямой и нормальный вектор плоскости, чтобы проверить выполнений необходимого и достаточного условия перпендикулярности прямой и плоскости.
Направляющим вектором прямой является
План-конспект урока по геометрии в 10 классе на тему «Перпендикулярность прямой и плоскости»
Цели урока:
обучающие
введение признака перпендикулярности прямой и плоскости;
формировать представления учащихся о перпендикулярности прямой и плоскости, их свойствах;
формировать умения учащихся решать типичные задачи по теме, умения доказывать утверждения;
развивающие
развивать самостоятельность, познавательную активность;
развивать умение анализировать, делать выводы, систематизировать полученную информацию,
развивать логическое мышление;
развивать пространственное воображение.
воспитательные
воспитание культуры речи учащихся, усидчивости;
прививать учащимся интерес к предмету.
Тип урока: Урок изучения и первичного закрепления знаний.
Формы работы учащихся: фронтальный опрос.
Оборудование: компьютер, проектор, экран.
Литература: «Геометрия 10-11», Учебник. Атанасян Л.С. и др.
(2009, 255с.)
План урока:
Организационный момент (1 минуты);
Актуализация знаний (5 минут);
Изучение нового материала (15 минут);
Первичное закрепление изученного материала (20 минуты);
Подведение итогов (2 минуты);
Домашнее задание (2 минуты).
Ход урока.
Организационный момент (1 минуты)
Приветствие учеников. Проверка готовности учащихся к уроку: проверка наличия тетрадей, учебников. Проверка отсутствующих на уроке.
Актуализация знаний (5 минут)
Учитель. Какая прямая называется перпендикулярной к плоскости?
Ученик. Прямая перпендикулярная любой прямой лежащей в этой плоскости называется прямой перпендикулярной этой плоскости.
Учитель. Как звучит лемма о двух параллельных прямых перпендикулярных третьей?
Ученик. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.
Учитель. Теорема о перпендикулярности двух параллельных прямых к плоскости.
Ученик. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и вторая прямая перпендикулярна к этой плоскости.
Учитель. Как звучит теорема обратная данной?
Ученик. Если две прямые перпендикулярный одной и той же плоскости, то они параллельны.
Проверка домашнего задания
Домашнее задание проверяется, если у учеников возникли трудности при его решении.
Изучение нового материала (15 минут)
Учитель. Мы с вами знаем, что если прямая перпендикулярная к плоскости, то она будет перпендикулярна к любой прямой лежащей в этой плоскости, но в определении перпендикулярность прямой к плоскости дается как факт. На практике же часто приходится определить будет ли являться прямая перпендикулярной к плоскости или нет. Такие примеры можно привести из жизни: при строительстве зданий сваи вбивают перпендикулярно поверхности земли, иначе конструкция может рухнуть. Определением прямой перпендикулярной плоскости в этом случае воспользоваться невозможно. Почему? Сколько прямых можно провести в плоскости?
Ученик. В плоскости можно провести бесконечно много прямых
Учитель. Правильно. И проверить перпендикулярность прямой к каждой отдельной плоскости невозможно, так как это займет бесконечно много времени. Для того чтобы понять является ли прямая перпендикулярной к плоскости введем признак перпендикулярности прямой и плоскости. Запишите в тетради. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.
Запись в тетради. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.
Учитель. Таким образом нам нет необходимости проверять перпендикулярность прямой для каждой прямой плоскости, достаточно проверить перпендикулярность лишь для двух прямых этой плоскости.
Учитель. Давайте докажем это признак.
Дано: p и q – прямые, p ∩ q = O , a ⊥ p , a ⊥ q , p ϵ α, q ϵ α.
Доказать: a ⊥ α.
Учитель. И все таки для доказательства воспользуемся определением прямой перпендикулярной плоскости, как оно звучит?
Ученик. Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой лежащей в этой плоскости.
Учитель. Правильно. Начертим в плоскости α любую прямую m . Проведем через точку О прямую l ║ m . На прямой a отметим точки А и В так чтобы точка О была серединой отрезка АВ. Проведем прямую z таким образом, чтобы она пересекала прямые p , q , l , точки пересечения этих прямых обозначим P , Q , L соответственно. Соединим концы отрезка АВ с точками P ,Q и L .
Учитель. Что мы можем сказать о треугольниках ∆APQ и ∆BPQ ?
Ученик. Эти треугольники будут равны (по 3 признаку равенства треугольников).
Учитель. Почему?
Ученик. Т.к. прямые p и q – серединные перпендикуляры, то AP = BP , AQ = BQ , а сторона PQ – общая.
Учитель. Правильно. Что мы можем сказать о треугольниках ∆APL и ∆BPL ?
Ученик. Эти треугольники тоже будут равны (по 1 признаку равенства треугольников).
Учитель. Почему?
Ученик. AP = BP , PL – общая сторона, APL = BPL (из равенства ∆ APQ и ∆ BPQ )
Учитель. Правильно. А значит AL = BL . Значит каким будет ∆ALB ?
Ученик. Значит ∆ALB будет равнобедренным.
Учитель. LO – медиана в ∆ALB , значит чем она будет являться в этом треугольнике?
Ученик. Значит LO будет являться еще и высотой.
Учитель. Следовательно прямая l будет перпендикулярна прямой a . А так как прямая l – любая прямая принадлежащая плоскости α, то по определению прямая a ⊥ α. Что и требовалось доказать.
Доказывается при помощи призентации
Учитель. А что делать если прямая a не пересекает точку О, но остается перпендикулярной к прямым p и q ? Если прямая а пересекает любую другую точку данной плоскости?
Ученик. Можно построить прямую а 1 , которая будет параллельна прямой а, будет пересекать точку О, а по лемме о двух параллельных прямых перпендикулярных третьей можно доказать, что a 1 ⊥ p , a 1 ⊥ q .
Учитель. Правильно.
Первичное закрепление изученного материала (20 минут)
Учитель. Для того чтобы закрепить изученный нами материал решим номер 126. Прочтите задание.
Ученик. Прямая МВ перпендикулярна к сторонам АВ и ВС треугольника АВС. Определите вид треугольника МВD , где D – произвольная точка прямой АС.
Рисунок.
Дано: ∆ ABC , MB ⊥ BA , MB ⊥ BC , D ϵ AC .
Найти: ∆MBD.
Решение.
Учитель. Можно через вершины треугольника провести плоскость?
Ученик. Да, можно. Плоскость можно провести по трем точкам.
Учитель. Как будут расположены прямые ВА и СВ относительно этой плоскости?
Ученик. Эти прямые будут лежать в этой плоскости.
Учитель. Получается, что мы имеем плоскость, и в ней две пересекающиеся прямые. Как относится прямая МВ к этим прямым?
Ученик. Прямая МВ ⊥ ВА, МВ ⊥ ВС.
Запись на доске и в тетрадях. Т.к. МВ ⊥ ВА, МВ ⊥ ВС
Учитель. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым лежащим в плоскости, то прямая будет относится к этой плоскости?
Ученик. Прямая МВ будет перпендикулярна плоскости АВС.
⊥ АВС.
Учитель. Точка D – произвольная точка на отрезке АС, значит как будет относится прямая BD к плоскости АВС?
Ученик. Значит BD принадлежит плоскости АВС.
Запись на доске и в тетрадях. Т.к. BD ϵ ABC
Учитель. Какими относительно друг друга будут являться прямые МВ и BD ?
Ученик. Эти прямые будут перпендикулярны по определению прямой перпендикулярной к плоскости.
Запись на доске и в тетрадях. ↔ МВ ⊥ BD
Учитель. Если МВ перпендикулярно BD , то каким будет треугольник MBD ?
Ученик. Треугольник MBD будет прямоугольным.
Запись на доске и в тетрадях. ↔ ∆MBD – прямоугольный.
Учитель. Правильно. Решим номер 127. Прочтите задание.
Ученик. В треугольнике ABC сумма углов A и B равна 90°. Прямая BD перпендикулярна к плоскости ABC . Докажите, что CD ⊥ AC.
Ученик выходит к доске. Рисует чертеж.
Запись на доске и в тетради.
Дано: ∆ ABC , A + B = 90°, BD ⊥ ABC .
Докажите: CD ⊥ AC .
Доказательство:
Учитель. Чему равна сумма углов треугольника?
Ученик. Сумма углов в треугольнике равна 180°.
Учитель. Чему будет равен угол C в треугольнике ABC ?
Ученик. Угол C в треугольнике ABC будет равен 90°.
Запись на доске и в тетрадях. C = 180° - A - B = 90°
Учитель. Если угол С равен 90°, то как относительно друг друга будут располагаться прямые АС и ВС?
Ученик. Значит АС ⊥ ВС.
Запись на доске и в тетрадях. ↔ АС ⊥ ВС
Учитель. Прямая BD перпендикулярна плоскости ABC . Что из этого следует?
Ученик. Значит BD перпендикулярно любой прямой из ABC .
BD ⊥ ABC ↔ BD перпендикулярно любой прямой из ABC (по определению)
Учитель. В соответствии с этим, как будут относится прямые BD и AC ?
Ученик. Значит эти прямые будут перпендикулярны.
BD ⊥ AC
Учитель. АС перпендикулярно двум пересекающимся прямым лежащим в плоскости DBC , но АС не проходит через точку пересечения. Как это исправить?
Ученик. Через точку В проведем прямую а параллельную АС. Так как АС перпендикулярно BC и BD , то и а будет перпендикулярно BC и BD по лемме.
Запись на доске и в тетрадях. Через точку В проведем прямую а ║АС ↔ а ⊥ BC , а ⊥ BD
Учитель. Если прямая а будет перпендикулярно BC и BD , то что можно сказать о взаимном расположении прямой а и плоскости BDC ?
Ученик. Значит прямая а будет перпендикулярна плоскости BDC , а значит и прямая АС будет перпендикулярна BDC .
Запись на доске и в тетрадях. ↔ а ⊥ BDC ↔ АС ⊥ BDC .
Учитель. Если АС перпендикулярна BDC , то как относительно друг друга будут располагаться прямые АС и DC ?
Ученик. АС и DC будут перпендикулярны по определению прямой перпендикулярной к плоскости.
Запись на доске и в тетрадях. Т.к. АС ⊥ BDC ↔ АС ⊥ DC
Учитель. Молодец. Решим номер 129. Прочитайте задание.
Ученик. Прямая AM перпендикулярна к плоскости квадрата ABCD , диагонали которого пересекаются в точке О. Докажите, что: а) прямая BD перепендикулярна к плоскости AMO ; б) MO ⊥ BD .
К доске выходит ученик. Рисует чертеж.
Запись на доске и в тетради.
Дано: ABCD – квадрат, AM ⊥ ABCD , AC ∩ BD = O
Доказать: BD ⊥ AMO, MO ⊥ BD
Доказательство:
Учитель. Нам нужно доказать чтопрямая BD ⊥ AMO . Какие условия для этого должны выполняться?
Ученик. Нужно чтобы прямая BD была перпендикулярна хотябы двум пересекающимся прямым из плоскости AMO .
Учитель. В условии сказано что BD перпендикулярна двум пересекающимся прямым из AMO ?
Ученик. Нет.
Учитель. Но мы знаем, что AM перпендикулярна ABCD . Какой вывод можно из этого сделать?
Ученик. Значит, что AM перпендикулярна любой прямой из этой плоскости, тоесть AM перпендикулярна BD .
AM ⊥ ABCD ↔ AM ⊥ BD (по определению).
Учитель. Одна прямая перпендикулярна BD есть. Обратите внимание на квадрат, как будут распологаться относительно друг друга прямые AC и BD ?
Ученик. AC будет перпендикулярна BD по свойству диагоналей квадрата.
Запись на доске и в тетради. Т.к. ABCD – квадрат, то AC ⊥ BD (по свойству диагоналей квадрата)
Учитель. Мы нашли две пересекающиеся прямые лежащие в плоскости AMO перпендикулярные прямой BD . Что из этого следует?
Ученик. Значит, что BD перпендикулярна плоскости AMO .
Запись на доске и в тетрадях. Т.к. AC ⊥ BD и AM ⊥ BD ↔ BD ⊥ AMO (по признаку)
Учитель. Какая прямая называется прямой перпендикулярной к плоскости?
Ученик. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна любой прямой из этой плоскости.
Учитель. А значит как взаимо расположены прямые BD и OM ?
Ученик. Значит BD перпендикулярно OM . Что и требовалось доказать.
Запись на доске и в тетрадях. ↔ BD ⊥ MO (по определению). Что и требовалось доказать.
Подведение итогов (2 минуты)
Учитель. Сегодня мы изучили признак перпендикулярности прямой и плоскости. Как он звучит?
Ученик. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым лежащим в плоскости, то эта прямая перпендикулярна этой плоскости.
Учитель. Правильно. Мы научились применять этот признак при решении задач. Кто отвечал у доски и помогал с места молодцы.
Домашнее задание (2 минуты)
Учитель. Параграф 1, пункты 15 -17, учить: лемму, определение и все теоремы. №130, 131.
Перпендикулярность прямой и плоскости.
1. Перпендикулярные прямые в пространстве.
Определение.
Две прямые в пространстве
называются перпендикулярными
(взаимно перпендикулярными), если угол между прямыми равен 90°.
Обозначение перпендикулярности прямых а и b: a⊥b
Перпендикулярные прямые могут пересекаться, а могут быть скрещивающимися.
Лемма перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой.
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.
Обратите внимание,
что следующее утверждение планиметрии в стереометрии не действует:
Если две прямые перпендикулярны к третьей, то они параллельны.
На рисунке видно, что две прямые a и b перпендикулярны прямой с , но не параллельны .
2.Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости.
Определение.
Прямая называется перпендикулярной к плоскости
, если она перпендикулярна ко всем прямым, лежащим в этой плоскости.
Обозначение перпендикулярности прямой и плоскости: a⊥ γ.
На рисунке прямая а перпендикулярна плоскости γ. Из определения следует, что прямая a перпендикулярна каждой прямой, лежащей в этой плоскости.
Теорема.
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.
Теорема.
Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.
3. Признак перпендикулярности прямой и плоскости
Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.