Главная
По литературе
Найдется все например кто доказал теорему пуанкаре. В чём суть теоремы Пуанкаре

Найдется все например кто доказал теорему пуанкаре. В чём суть теоремы Пуанкаре

В 1904 г. Анри Пуанкаре предположил, что любой трехмерный объект, обладающий определенными свойствами трехмерной сферы, можно преобразовать в 3-сферу. На доказательство этой гипотезы ушло 99 лет. (Внимание! Трехмерная сфера – это не то, о чем вы подумали.) Российский математик доказал высказанную сто лет назад гипотезу Пуанкаре и завершил создание каталога форм трехмерных пространств. Возможно, он получит премию в $1 млн.

Оглянитесь вокруг. Окружающие вас предметы, как и вы сами, представляют собой набор частиц, перемещающихся в трехмерном пространстве (3-многообразии), которое простирается во всех направлениях на многие миллиарды световых лет.

Многообразия – это математические построения. Со времен Галилея и Кеплера ученые успешно описывают действительность в терминах той или иной ветви математики. Физики считают, что все на свете происходит в трехмерном пространстве и положение любой частицы можно задать тремя числами, например, широтой, долготой и высотой (оставим пока в стороне высказанное в теории струн предположение о том, что помимо трех наблюдаемых нами измерений существуют еще несколько дополнительных).

Согласно классической и традиционной квантовой физике, пространство фиксировано и неизменно. В то же время общая теория относительности рассматривает его как активного участника событий: расстояние между двумя точками зависит от проходящих гравитационных волн и от того, сколько вещества и энергии расположено вблизи. Но и в ньютоновской, и в эйнштейновской физике пространство – бесконечное или конечное – в любом случае представляет собой 3-многообразие. Поэтому для полного понимания основ, на которые опирается почти вся современная наука, необходимо разобраться в свойствах 3-многообразий (не меньший интерес вызывают 4-многообразия, так как пространство и время вместе образуют одно из них).

Раздел математики, в котором изучаются многообразия, называется топологией. Топологи прежде всего задались фундаментальными вопросами: каков самый простой (т.е. характеризующийся наименее сложной структурой) тип 3-многообразия? Есть ли у него столь же простые собратья или же он уникален? Какие вообще бывают 3-многообразия?

Ответ на первый вопрос известен давно: самым простым компактным 3-многообразием является пространство, называемое 3-сферой (Некомпактные многообразия бесконечны или имеют края. Далее рассматриваются только компактные многообразия). Два других вопроса оставались открытыми на протяжении столетия. Лишь в 2002 г. на них ответил российский математик Григорий Перельман, который, судя по всему, сумел доказать гипотезу Пуанкаре.

Ровно сто лет назад французский математик Анри Пуанкаре предположил, что 3-сфера уникальна и никакое другое компактное 3-многообразие не обладает теми свойствами, которые делают ее столь простой. У более сложных 3-многообразий есть границы, встающие как кирпичная стена, или множественные связи между некоторыми областями, похожие на лесную тропинку, которая то разветвляется, то снова соединяется. Любой трехмерный объект со свойствами 3-сферы можно преобразовать в нее саму, поэтому для топологов он представляется просто ее копией. Доказательство Перельмана также позволяет ответить на третий вопрос и провести классификацию всех существующих 3-многообразий.

Вам потребуется изрядное воображение, чтобы представить себе 3-сферу (см. МНОГОМЕРНАЯ МУЗЫКА СФЕР). К счастью, у нее много общего с 2-сферой, типичный пример которой – резина круглого воздушного шарика: она двухмерна, поскольку любая точка на ней задается всего двумя координатами – широтой и долготой. Если рассмотреть достаточно маленький ее участок под мощной лупой, то он покажется кусочком плоского листа. Крошечному насекомому, ползающему по воздушному шарику, он будет казаться плоской поверхностью. Но если козявка будет достаточно долго двигаться по прямой, то в конечном счете вернется в точку отправления. Точно так же 3-сферу размером с нашу Вселенную мы бы воспринимали как «обычное» трехмерное пространство. Пролетев достаточно далеко в любом направлении, мы бы в конце концов совершили «кругосветное путешествие» по ней и оказались бы в исходной точке.

Как вы уже догадались, n-мерная сфера называется n-сферой. Например, 1-сфера всем знакома: это просто окружность.

Григорий Перельман излагает свое доказательство гипотезы Пуанкаре и завершение программы Терстона по геометризации на семинаре в Принстонском университете в апреле 2003 г.

Проверка гипотез

Прошла половина столетия, прежде чем дело о гипотезе Пуанкаре сдвинулось с мертвой точки. В 60-х гг. XX в. математики доказали аналогичные ей утверждения для сфер пяти и более измерений. В каждом случае n-сфера действительно является единственным и простейшим n-многообразием. Как ни странно, получить результат для многомерных сфер оказалось легче, чем для 3- и 4-сферы. Доказательство для четырех измерений появилось в 1982 г. И только исходная гипотеза Пуанкаре о 3-сфере оставалась неподтвержденной.

Решающий шаг был сделан в ноябре 2002 г., когда Григорий Перельман, математик из Санкт-Петербургского отделения математического института им. Стеклова, отправил статью на сайт www.arxiv.org, где физики и математики со всего мира обсуждают результаты своей научной деятельности. Топологи сразу уловили связь работы российского ученого с гипотезой Пуанкаре, хотя напрямую автор ее не упомянул. В марте 2003 г. Перельман опубликовал вторую статью и весной того же года посетил США и провел несколько семинаров в Массачусетском технологическом институте и в Университете штата Нью-Йорк в Стоуни-Брук. Несколько групп математиков в ведущих институтах тут же занялись детальным изучением представленных работ и поиском ошибок.

ОБЗОР: ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ГИПОТЕЗЫ ПУАНКАРЕ

  • Целое столетие математики пытались доказать предположение Анри Пуанкаре об исключительной простоте и уникальности 3-сферы среди всех трехмерных объектов.
  • Обоснование гипотезы Пуанкаре наконец появилось в работе молодого российского математика Григория Перельмана. Он также завершил обширную программу классификации трехмерных многообразий.
  • Возможно, наша Вселенная имеет форму 3-сферы. Есть и другие интригующие связи математики с физикой элементарных частиц и общей теорией относительности.

В Стоуни-Брук за две недели Перельман прочитал несколько лекций, выступая от трех до шести часов в день. Он очень четко изложил материал и ответил на все возникшие вопросы. До получения окончательного результата остался еще один незначительный шаг, но нет никаких сомнений в том, что он вот-вот будет сделан. Первая статья знакомит читателя с основополагающими идеями и считается полностью проверенной. Во второй статье освещаются прикладные вопросы и технические нюансы; она пока еще не вызывает такого же полного доверия, как ее предшественница.

В 2000 г. Институт математики им. Клея в Кембридже, штат Массачусетс, учредил премию в размере $1 млн. за доказательство каждой из семи «Проблем тысячелетия», одной из которых считается гипотеза Пуанкаре. Прежде чем ученый сможет претендовать на приз, его доказательство должно быть опубликовано и в течение двух лет тщательно проверено.

Работа Перельмана расширяет и завершает программу исследований, проведенных в 90-х гг. прошлого века Ричардом Гамильтоном (Richard S. Hamilton) из Колумбийского университета. В конце 2003 г. труды американского математика были отмечены премией Института Клея. Перельману удалось блестяще преодолеть целый ряд препятствий, с которыми не смог справиться Гамильтон.

На самом деле доказательство Перельмана, правильность которого еще никому не удалось поставить под сомнение, решает гораздо более широкий круг вопросов, чем собственно гипотеза Пуанкаре. Предложенная Уильямом Терстоном (William P. Thurston) из Корнеллского университета процедура геометризации позволяет провести полную классификацию 3-многообразий, в основу которой положена 3-сфера, уникальная в своей возвышенной простоте. Если бы гипотеза Пуанкаре была ложной, т.е. существовало бы множество пространств столь же простых, как сфера, то классификация 3-многообразий превратилась бы в нечто бесконечно более сложное. Благодаря Перельману и Терстону у нас появился полный каталог всех допускаемых математикой форм трехмерного пространства, которые могла бы принять наша Вселенная (если рассматривать только пространство без времени).

Резиновые бублики

Чтобы глубже понять гипотезу Пуанкаре и доказательство Перельмана, следует поближе познакомиться с топологией. В этом разделе математики форма объекта не имеет значения, как будто он сделан из теста, которое можно как угодно растягивать, сжимать и изгибать. Зачем же нам задумываться о вещах или пространствах из воображаемого теста? Дело в том, что точная форма объекта – расстояние между всеми его точками – относится к структурному уровню, который называют геометрией. Рассматривая объект из теста, топологи выявляют его фундаментальные свойства, не зависящие от геометрической структуры. Изучение топологии похоже на поиск наиболее общих черт, присущих людям, методом рассмотрения «пластилинового человека», которого можно превратить в любого конкретного индивида.

В популярной литературе часто встречается избитое утверждение, что с точки зрения топологии чашка ничем не отличается от бублика. Дело в том, что чашку из теста можно превратить в бублик, просто сминая материал, т.е. ничего не слепляя и не проделывая отверстий (см. ТОПОЛОГИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ). С другой стороны, чтобы сделать бублик из шара, в нем непременно нужно сделать дырку или раскатать его в цилиндр и слепить концы, поэтому шар – это совсем не бублик.

Топологов больше всего интересуют поверхности шара и бублика. Поэтому вместо сплошных тел следует представлять себе воздушные шарики. Их топология по-прежнему различна, поскольку сферический воздушный шарик невозможно преобразовать в кольцевой, который называется тором. Сначала ученые решили разобраться, сколько вообще существует объектов с различной топологией и как их можно охарактеризовать. Для 2-многообразий, которые мы привыкли называть поверхностями, ответ изящен и прост: все определяется количеством «дырок» или, что то же самое, количеством ручек (см. ТОПОЛОГИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ).К концу XIX в. математики поняли, как классифицировать поверхности, и установили, что самая простая из них – сфера. Естественно, топологи начали задумываться о трехмерных многообразиях: уникальна ли 3-сфера в своей простоте? Вековая история поисков ответа полна неверных шагов и ошибочных доказательств.

Анри Пуанкаре вплотную занялся этим вопросом. Он был одним из двух сильнейших математиков начала XX в. (другим был Давид Гильберт). Его называли последним универсалом – он успешно работал во всех разделах как чистой, так и прикладной математики. Кроме того, Пуанкаре внес огромный вклад в развитие небесной механики, теорию электромагнетизма, а также в философию науки, о которой написал несколько популярных книг.

Пуанкаре стал основателем алгебраической топологии и, используя ее методы, в 1900 г. сформулировал топологическую характеристику объекта, названную гомотопией. Чтобы определить гомотопию многообразия, нужно мысленно погрузить в него замкнутую петлю (см. ТОПОЛОГИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ). Затем следует выяснить, всегда ли можно стянуть петлю в точку, перемещая ее внутри многообразия. Для тора ответ будет отрицательным: если расположить петлю по окружности тора, то стянуть ее в точку не удастся, т.к. будет мешать «дырка» бублика. Гомотопия – это количество различных путей, которые могут воспрепятствовать стягиванию петли.

МНОГОМЕРНАЯ МУЗЫКА СФЕР

Не так-то просто представить себе 3-сферу. Математикам, доказывающим теоремы о многомерных пространствах, не приходится воображать себе объект изучения: они обращаются с абстрактными свойствами, руководствуясь интуитивными представлениями, основанными на аналогиях с меньшим числом измерений (к таким аналогиям нужно относиться с осторожностью и не принимать их буквально). Мы тоже будем рассматривать 3-сферу, исходя из свойств объектов с меньшим числом измерений.

1. Начнем с рассмотрения круга и ограничивающей его окружности. Для математиков круг – это двумерный шар, а окружность – одномерная сфера. Далее, шар любой размерности – это заполненный объект, напоминающий арбуз, а сфера – это его поверхность, больше похожая на воздушный шарик. Окружность одномерна, потому что положение точки на ней можно задать одним числом.

2. Из двух кругов мы можем построить двумерную сферу, превратив один из них в Северное полушарие, а другой – в Южное. Осталось склеить их, и 2-сфера готова.

3. Представим себе муравья, ползущего с Северного полюса по большому кругу, образованному нулевым и 180-м меридианом (слева). Если мы отобразим его путь на два исходных круга (справа), то увидим, что насекомое движется по прямой линии (1) к краю северного круга (а), затем пересекает границу, попадает в соответствующую точку на южном круге и продолжает следовать по прямой линии (2 и 3). Затем муравей снова достигает края (b), переходит его и снова оказывается на северном круге, устремляясь к исходной точке – Северному полюсу (4). Заметьте, что во время кругосветного путешествия по 2-сфере направление движения сменяется на противоположное при переходе с одного круга на другой.

4. Теперь рассмотрим нашу 2-сферу и содержащийся в ней объем (трехмерный шар) и сделаем с ними то же самое, что с окружностью и кругом: возьмем две копии шара и склеим их границы вместе. Наглядно показать, как шары искажаются в четырех измерениях и превращаются в аналог полушарий, невозможно, да и не нужно. Достаточно знать, что соответствующие точки на поверхностях, т.е. 2-сферах, соединены между собой так же, как в случае с окружностями. Результат соединения двух шаров представляет собой 3-сферу – поверхность четырехмерного шара. (В четырех измерениях, где существуют 3-сфера и 4-шар, поверхность объекта трехмерна.) Назовем один шар северным полушарием, а другой – южным. По аналогии с кругами, полюса теперь находятся в центрах шаров.

5. Вообразите, что рассмотренные шары – большие пустые области пространства. Допустим, из Северного полюса отправляется космонавт на ракете. Со временем он достигает экватора (1), которым теперь является сфера, окружающая северный шар. Пересекая ее, ракета попадает в южное полушарие и движется по прямой линии через его центр – Южный полюс – к противоположной стороне экватора (2 и 3). Там снова происходит переход в северное полушарие, и путешественник возвращается в Северный полюс, т.е. в исходную точку (4). Таков сценарий кругосветного путешествия по поверхности 4-мерного шара! Рассмотренная трехмерная сфера и есть то пространство, о котором идет речь в гипотезе Пуанкаре. Возможно, наша Вселенная представляет собой именно 3-сферу.
Рассуждения можно распространить на пять измерений и построить 4-сферу, но вообразить это чрезвычайно сложно. Если склеить два n-шара по окружающим их (n–1)-сферам, то получится n-сфера, ограничивающая (n+1)-шар.

На n-сфере любую, даже замысловато закрученную петлю всегда можно распутать и стянуть в точку. (Петле разрешается проходить через саму себя.) Пуанкаре предполагал, что 3-сфера – единственное 3-многообразие, на котором в точку можно стянуть любую петлю. К сожалению, он так и не смог доказать свое предположение, которое впоследствии стали называть гипотезой Пуанкаре. За прошедшие сто лет многие предлагали свой вариант доказательства, но лишь для того, чтобы убедиться в его ошибочности. (Для простоты изложения я пренебрегаю двумя особыми случаями: так называемыми неориентируемыми многообразиями и многообразиями с краями. Например, у сферы с вырезанным из нее сегментом есть край, а петля Мебиуса не только имеет края, но также является неориентируемой.)

Геометризация

Проведенный Перельманом анализ 3-многообразий тесно связан с процедурой геометризации. Геометрия имеет дело с фактической формой объектов и многообразий, сделанных уже не из теста, а из керамики. Например, чашка и бублик геометрически различны, поскольку их поверхности изогнуты по-разному. Говорят, что чашка и бублик – два примера топологического тора, которому приданы разные геометрические формы.

Чтобы понять, зачем Перельман использовал геометризацию, рассмотрим классификацию 2-многообразий. Каждой топологической поверхности назначена уникальная геометрия, искривление которой распределено по многообразию равномерно. Например, для сферы – это идеально сферическая поверхность. Другая возможная геометрия для топологической сферы – яйцо, но его кривизна не везде распределена равномерно: острый конец изогнут сильнее, чем тупой.

2-многообразия образуют три геометрических типа (см. ГЕОМЕТРИЗАЦИЯ). Сфера характеризуется положительной кривизной. Геометризированный тор – плоский, ему свойственна нулевая кривизна. Все остальные 2-многообразия с двумя или более «дырками» имеют отрицательную кривизну. Им соответствует поверхность, похожая на седло, которое спереди и сзади изгибается вверх, а слева и справа –вниз. Такую геометрическую классификацию (геометризацию) 2-многообразий Пуанкаре разработал вместе с Паулем Кебе (Paul Koebe) и Феликсом Клейном (Felix Klein), именем которого названа бутылка Клейна.

Возникает естественное желание применить подобный метод к 3-многообразиям. Можно ли найти для каждого из них такую уникальную конфигурацию, у которой кривизна была бы распределена равномерно по всему многообразию?

Оказалось, что 3-многообразия гораздо сложнее своих двумерных собратьев и большинству из них нельзя поставить в соответствие однородную геометрию. Их следует разделять на части, которым соответствует одна из восьми канонических геометрий. Данная процедура напоминает разложение числа на простые множители.

ТОПОЛОГИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ

В ТОПОЛОГИИ точная форма, т.е. геометрия, не имеет значения: объекты рассматриваются так, как будто они сделаны из теста и их можно растягивать, сжимать и перекручивать. Однако резать и склеивать ничего нельзя. Таким образом, любой объект с одним отверстием, например, кофейная чашка (слева), эквивалентен бублику или тору (справа).

ЛЮБОЕ ДВУМЕРНОЕ многообразие или поверхность (ограничиваясь компактными ориентируемыми объектами) можно изготовить, добавляя к сфере (a) ручки. Прилепим одну – сделаем поверхность 1 рода, т.е. тор или бублик (вверху справа), добавим вторую – получим поверхность 2 рода (b) и т.д.

УНИКАЛЬНОСТЬ 2-сферы среди поверхностей заключается в том, что любую вложенную в нее замкнутую петлю можно стянуть в точку (a). На торе этому может препятствовать среднее отверстие (b). У любой поверхности, кроме 2-сферы, есть ручки, препятствующие стягиванию петли. Пуанкаре предположил, что 3-сфера уникальна среди трехмерных многообразий: только на ней любую петлю можно стянуть в точку.

Такая процедура классификации впервые была предложена Терстоном в конце 70-х гг. прошлого века. Вместе с коллегами он обосновал большую ее часть, но доказательство некоторых ключевых моментов (включая гипотезу Пуанкаре) оказалось им не под силу. Уникальна ли 3-сфера? Достоверный ответ на этот вопрос впервые появился в статьях Перельмана.

Каким же образом можно геометризировать многообразие и придать ему повсюду равномерное искривление? Нужно взять некую произвольную геометрию с различными выступами и углублениями, а затем сгладить все неровности. В начале 90-х гг. XX в. к анализу 3-многообразий приступил Гамильтон, который воспользовался уравнением потока Риччи, названным так в честь математика Грегорио Риччи-Курбастро (Gregorio Ricci-Curbastro). Оно в чем-то схоже с уравнением теплопроводности, которое описывает тепловые потоки, протекающие в неравномерно нагретом теле до тех пор, пока его температура не станет везде одинаковой. Точно так же уравнение потока Риччи задает такое изменение кривизны многообразия, которое ведет к выравниванию всех выступов и углублений. Например, если начать с яйца, то оно постепенно станет сферическим.

ГЕОМЕТРИЗАЦИЯ

ДЛЯ КЛАССИФИКАЦИИ 2-многообразий можно воспользоваться униформизацией или геометризацией: поставить им в соответствие определенную геометрию, жесткую форму. В частности, каждое многообразие можно преобразовать так, что его кривизна будет распределена равномерно. Сфера (a) – уникальная форма с постоянной положительной кривизной: она всюду изогнута как вершина холма. Тор (b) можно сделать плоским, т.е. всюду имеющим нулевую кривизну. Для этого его нужно разрезать и выпрямить. Полученный цилиндр следует разрезать вдоль и развернуть, чтобы получилась прямоугольная плоскость. Иными словами, тор можно отобразить на плоскость. Поверхностям 2 рода и выше (c) можно придать постоянную отрицательную кривизну, при этом их геометрия будет зависеть от количества ручек. Ниже изображена седлообразная поверхность с постоянной отрицательной кривизной.

КЛАССИФИЦИРОВАТЬ 3-МНОГООБРАЗИЯ гораздо сложнее. 3-многообразие приходится разделять на части, каждую из которых можно преобразовать в одну из восьми канонических трехмерных геометрий. Приведенный ниже пример (для простоты изображенный в виде 2-многообразия синего цвета) составлен из 3-геометрий с постоянной положительной (a), нулевой (b) и постоянной отрицательной (c) кривизной, а также из «произведений» 2-сферы и окружности (d) и поверхности с отрицательной кривизной и окружности (e).

Однако Гамильтон столкнулся с определенными трудностями: в некоторых случаях поток Риччи приводит к пережиму многообразия и образованию бесконечно тонкой шейки. (В этом его отличие от теплового потока: в точках пережима температура была бы бесконечно большой.) Один из примеров – многообразие в форме гантели. Сферы растут, втягивая материал из перемычки, которая в середине сужается в точку (см. БОРЬБА С ОСОБЕННОСТЯМИ). В другом случае, когда из многообразия выступает тонкий стержень, поток Риччи вызывает появление так называемой сигарообразной особенности. В правильном 3-многообразии окрестность любой точки является кусочком обычного трехмерного пространства, чего нельзя сказать о сингулярных точках пережима. Преодолеть это затруднение помогли работы российского математика.

В 1992 г. после защиты кандидатской диссертации Перельман прибыл в США и провел несколько семестров в университете штата Нью-Йорк в Стоуни-Брук, а затем два года в Калифорнийском университете в Беркли. Он быстро заслужил репутацию восходящей звезды, получив несколько важных и глубоких результатов в одном из разделов геометрии. Перельман был удостоен премии Европейского математического общества (от которой он отказался) и получил престижное приглашение выступить на Международном конгрессе математиков (которое он принял).

Весной 1995 г. ему были предложены должности в нескольких знаменитых математических учреждениях, но он предпочел вернуться в родной Санкт-Петербург и по существу исчез из поля зрения. На протяжении многих лет единственным признаком его деятельности были письма прежним коллегам с указанием ошибок, допущенных в опубликованных ими статьях. Запросы о состоянии его собственных работ оставались без ответа. И вот в конце 2002 г. несколько человек получили от Перельмана электронное письмо, сообщавшее о статье, которую он отправил на математический сервер. Так началось его наступление на гипотезу Пуанкаре.

БОРЬБА С ОСОБЕННОСТЯМИ

ПЫТАЯСЬ ИСПОЛЬЗОВАТЬ уравнение потока Риччи для доказательства гипотезы Пуанкаре и геометризации 3-многообразий, ученые столкнулись с трудностями, которые сумел преодолеть Григорий Перельман. Применение потока Риччи для постепенного изменения формы 3-многообразия иногда приводит к возникновению особенностей. Например, когда часть объекта имеет форму гантели (a), трубка между сферами может оказаться пережатой до точечного сечения, нарушающего свойства многообразия (b). Также не исключено появление так называемой сигарообразной особенности.

ПЕРЕЛЬМАН ПОКАЗАЛ , что над особенностями можно проводить «хирургические операции». Когда многообразие начинает пережиматься, следует вырезать небольшие участки по обе стороны от точки сужения (c), места среза закрыть небольшими сферами, а затем снова использовать поток Риччи (d). Если пережим возникает снова, процедуру нужно повторить. Перельман также доказал, что сигарообразная особенность никогда не появляется.

Перельман добавил к уравнению потока Риччи новый член. Внесенное изменение не устранило проблему особенностей, но позволило провести гораздо более глубокий анализ. Российский ученый показал, что над многообразием в виде гантели можно провести «хирургическую» операцию: отрезать тонкую трубку по обе стороны от появляющегося пережима и заделать торчащие из шаров открытые трубки сферическими колпачками. Затем следует продолжать изменение «прооперированного» многообразия в соответствии с уравнением потока Риччи, а ко всем возникающим пережимам применять вышеописанную процедуру. Перельман также показал, что сигарообразные особенности появляться не могут. Таким образом, любое 3-многообразие можно свести к набору частей с однородной геометрией.

Когда поток Риччи и «хирургическую операцию» применяют ко всем возможным 3-многообразиям, любое из них, если оно столь же простое, как 3-сфера (иначе говоря, характеризуется такой же гомотопией), обязательно сводится к той же самой однородной геометрии, что и 3-сфера. Значит, с топологической точки зрения, рассматриваемое многообразие и есть 3-сфера. Таким образом, 3-сфера уникальна.

Ценность статей Перельмана заключается не только в доказательстве гипотезы Пуанкаре, но и в новых методах анализа. Ученые всего мира уже используют в своих работах результаты, полученные российским математиком, и применяют разработанные им методы в других областях. Оказалось, что поток Риччи связан с так называемой группой перенормировки, которая определяет, как изменяется сила взаимодействий в зависимости от энергии столкновения частиц. Например, при низких энергиях сила электромагнитного взаимодействия характеризуется числом 0,0073 (приблизительно 1/137). Однако когда два электрона сталкиваются лоб в лоб при скорости, почти равной скорости света, значение этой силы приближается к 0,0078. Математика, описывающая изменение физических сил, очень похожа на математику, описывающую геометризацию многообразия.

Увеличение энергии столкновения эквивалентно изучению силы на меньших расстояниях. Поэтому группа перенормировки подобна микроскопу с изменяемым коэффициентом увеличения, который позволяет исследовать процесс на разных уровнях детализации. Точно так же поток Риччи представляет собой микроскоп для рассмотрения многообразий. Выступы и углубления, видимые при одном увеличении, исчезают при другом. Вполне вероятно, что в масштабах длины Планка (около $10^{–35}$ м) пространство, в котором мы живем, выглядит как пена со сложной топологической структурой (см. статью «Атомы пространства и времени», «В мире науки», №4, 2004 г.). Кроме того, уравнения общей теории относительности, которые описывают характеристики гравитации и крупномасштабной структуры Вселенной, тесно связаны с уравнением потока Риччи. Как это ни парадоксально, член, добавленный Перельманом к выражению, которое использовал Гамильтон, возникает в теории струн, претендующей на звание квантовой теории гравитации. Не исключено, что в статьях российского математика ученые найдут еще много полезной информации не только об абстрактных 3-многообразиях, но также и о пространстве, в котором мы живем.

Кандидат физико-математических наук Грэхем Коллинз (Graham P. Collins) работает редактором журнала Scientific American. Дополнительная информация о теореме Пуанкаре доступна на www.sciam.com/ontheweb.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА:

  1. The Poincare Conjecture 99 Years Later: A Progress Report. John W. Milnor. February 2003. Available at www.math.sunysb.edu/~jack/PREPRINTS/poiproof.pdf
  2. Jules Henri Poincare ’ (biography). October 2003. Available atwww-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Poincare.html
  3. Millennium Problems. The Clay Mathematics Institute: www.claymath.org/millennium/
  4. Notes and commentary on Perelman’s Ricci flow papers. Compiled by Bruce Kleiner and John Lott. Available at www.math.lsa.umich.edu/research/ricciflow/perelman.html
  5. Topology. Eric W. Weisstein in Mathworld-A Wolfram Web Resource. Available at

Немногие математические теории так взволновали далекую от абстрактных геометрических рассуждений общественность, как эта. Гипотеза Пуанкаре, выдвинутая в 1887 году французским математиком Анри Пуанкаре, уже более сотни лет не давала покоя ученым разных стран. Ею заинтересовались не только геометры, но и физики, и даже… спецслужбы. Поэтому такую сенсацию вызвало сообщение о том, что секрет гипотезы, над которой ломало голову столько светлых умов, наконец, раскрыт, и доказана. Масла в огонь народного интереса подлил и тот факт, что доказавший теорему ученый - российский математик Григорий Перельман - в 2006 году отказался от присужденной ему Филдсовской математической премии (и сопутствующего ей миллиона долларов). Никак не отреагировал ученый и на награждение его Премией Тысячелетия математическим институтом Клэя.

Однако, - спросит читатель, далекий от математики, - отчего такой интерес вызывает именно гипотеза Пуанкаре? И почему за ее доказательство платят такие огромные деньги? Для этого, пусть и в самых общих чертах, необходимо охарактеризовать, что представляет собой эта гипотеза в рамках такой области математики, как топология. Представьте себе слабо надутый воздушный шарик. Если его мять, то можно придавать ему разные формы: куб, овальная сфера и даже формы людей и животных. Но все это разнообразие геометрических форм может превращаться в одну универсальную форму - шар. Единственное, во что не может превратиться шарик без разрывов - это в форму с дыркой, например, в бублик.

Гипотеза Пуанкаре утверждала, что все предметы, не имеющие сквозного отверстия, имеют одну основу - шар. А вот тела, имеющие отверстие (математики называют их тор, но для нас пусть будет «бублик») совместимы друг с другом, но не со сплошными телами. К примеру, если мы слепим из пластилина кошку, мы можем умять ее в шар и из него слепить, не употребляя разрывы, ежа или рельсу. Если мы слепим бублик, мы можем деформировать его в «восьмерку» или кружку, а вот в шар уже не удастся. Тор и сфера несовместимы - на математическом языке негомеоморфны.

Примечательно, что доказательством этой теории заинтересовались не столько математики, сколько астрофизики. Если теория Пуанкаре применима ко всем материальным телам во Вселенной, то почему бы не представить на минутку, что она также верна относительно самой Вселенной? А что, если вся материя возникла из маленькой, одномерной точки и сейчас разворачивается в многомерную сферу? И где ее границы? И что за границами? И что, если найти механизм свертывания Вселенной назад, к отправной точке? Поскольку в доказательстве своей гипотезы сам автор допустил ошибку, много математиков и физиков, подпав под чары гипотезы Пуанкаре, принялись самоотверженно работать над ее доказательством. Несколько из них - Д. Г. Уайтхед, Бинг, К. Папакириакопоулос, С. Смейл, М. Фридман - положили свою жизнь на доказательство теории Пуанкаре.

Но в результате лавры достались малоизвестному питерскому ученому Перельману, хотя формально - на страницах рецензируемых журналов - его доказательство так и не увидело свет. Работа Григория Яковича была размещена на сайте arXiv.org в 2002 году, но, тем не менее, произвела в научном мире эффект взорвавшейся бомбы. Поскольку чудаковатый математик даже не потрудился «отшлифовать» свое доказательство, некоторые ученые решили перехватить лавры первооткрывателя. Так, китайские математики Хуайдун Цао и Сипин Чжу назвали доказательства Перельмана промежуточными, и дополнили его. Однако присуждение Премии Тысячелетия российскому математику (хоть он и отказался ее получить) поставило все точки над «і»: гипотеза Пуанкаре доказана именно Перельманом. Когда же журналистам все-таки удалось взять интервью у гениального математика, на вопрос, почему он отказался от премии в один миллион долларов, прозвучал странный ответ: «Если я владею Вселенной, то зачем мне в таком случае миллион?»

Статья Григория Перельмана, в которой приводилось доказательство гипотезы Пуанкаре.

«Это был беспрецедентный случай. Медали Филдса, столь же престижной в математике, как и Нобелевская премия в других областях науки, удостоено эпохальное достижение - работа, в которой приводится доказательство гипотезы Пуанкаре», - этими словами начинается фильм «Чары гипотезы Пуанкаре», посвященный гипотезе и человеку, ее доказавшему.

Гипотеза была сформулирована французским математиком и физиком Анри Пуанкаре в 1904 году. Она является одной из задач, с которыми работает топология, - раздел математики, в развитии которого основопологающую роль сыграл Пуанкаре. Топология в широком смысле рассматривает явление непрерывности и его свойства. В топологии любые объекты изучаются с точностью до непрерывных деформаций без разрывов. Если рассматривать трехмерное пространство, то любой объект без отверстий (например, лист) топологически эквивалентен сфере, любой объект с одним отверстием (например, кружка) - тору, следующие - тору с двумя отверстиями и так далее. Также важным понятием является ориентируемость. В простейшем случае поверхности это свойство означает невозможность попадания с одной ее стороны на другую при гладком движении вдоль нее. В частности, если свернуть лист бумаги в трубочку, то получает ориентируемая поверхность, а лист Мебиуса является неориентируемой. Аналогично в в случае замкнутых поверхностей: сфера - ориентируема, бутылка Клейна - нет.

Гипотеза звучит так: всякое односвязное компактное трехмерное многообразие без края гомеоморфно трехмерной сфере. Односвязное, то есть такое, любую замкнутую линию в котором можно стянуть в одну точку (условно - сфера, а не тор, так как на торе это помешает сделать «дырка»). Компактность в топологии является обобщением свойства ограниченности и замкнутости в евклидовых пространствах. В простейшем одномерном случае компактным является, например, отрезок, так как при любом растяжении он останется ограничен некоторыми точками. А вот открытый интервал на прямой можно растянуть до бесконечной прямой, то есть он некомпактен. Трехмерное многообразие без края - это такой геометрический объект, в котором каждая точка имеет открытую окрестность в виде трехмерного шара. Примером его может служить «внутренность» тора, полноторие. Однако если добавить к нему поверхность, сам тор, то у граничных точек не будет окружения со всех сторон, а значит такой объект будет многообразием с краем. Гомеоморфизм устанавливает соответствие между объектами одного класса (условно «сфера» или «тор»). Трехмерная сфера - это поверхность четырехмерного шара. Представить его людям, живущим в трехмерном пространстве, конечно, нелегко.

Иллюстрация гипотезы Пуанкаре для двумерной поверхности («обруч» на сфере)

Salix alba/Wikimedia Commons

Чтобы понять гипотезу Пуанкаре, математики предлагают провести мысленный эксперимент, например такой: «Возьмем ракету и привяжем к ней очень длинную веревку и запустим ракету в космос. Ракета с привязанной к хвосту веревкой облетает всю Вселенную и благополучно возвращается на Землю. И теперь у вас в руках оба конца веревки, которую протащили через всю Вселенную. Получилась гигантская петля. Теперь можно вытянуть всю веревку, стягивая петлю. Когда мы вытянем ее всю, что мы сможем сказать о форме Вселенной? Если вы протащите веревку через всю Вселенную и в любом случае сможете стянуть ее до конца, разве вы не признаете, что Вселенная в принципе имеет форму шара?» Таким образом мы бы доказали, что Вселенная представляет собой односвязное многообразие, то есть ее можно стянуть в точку, а, следовательно, и ее появление даже из бесконечно малого «зародыша» не противоречит топологии. Однако если это не удастся, то получается, что Вселенная обладает более сложной топологией, как минимум не проще, чем у тора. Так доказательство гипотезы приобретает мировоззренческое значение.

Человек не может взглянуть на Вселенную со стороны, однако Пуанкаре предположил, что можно математически доказать принадлежность формы Вселенной к тому или иному классу, что и предполагает гипотеза. Первые два доказательства - самого Пуанкаре и человека, обратившего внимание математиков на гипотезу, Джона Уайтхеда, - быстро были опровергнуты самими авторами. Однако интерес к гипотезе нарастал: доказать ее пытались лучшие умы, но безуспешно. Иногда, как в случае математика греческого происхождения Христоса Папакириакопулоса, стремление найти доказательство приобретало характер одержимости, но не приводило к значительным подвижкам. Другому математику, американцу Стивену Смейлу, удалось доказать гипотезу, но только для пространства с большим, чем четыре, числом измерений. Еще один американец, Майкл Фридман, доказал гипотезу для четырехмерного пространства, за что получил медаль Филдса. Однако использовать эти достижения для трехмерного пространства было невозможно.

Найти доказательство гипотезы удалось лишь через 98 лет после ее создания российскому математику Григорию Перельману. Он опубликовал в электронном архиве научных статей и препринтов три статьи, по сути, содержащие это доказательство. По сути - потому что обоснованные в них положения не являются доказательством гипотезы Пуанкаре, но снимают основные проблемы, стоявшие перед математиками. Перельман сделал основную часть работы, оставив приведение доказательства к законченному виду своим коллегам. На это ушло несколько лет: задача осложнялась тем, что в работе использовались не привычные топологам методы, а принципы и понятия дифференциальной геометрии и физики.

Так как заявления о том, что доказательство найдено, звучали уже не раз, неудивительно, что поначалу и к статьям Перельмана отнеслись скептически. Его приглашали в Принстон и другие ведущие университеты с циклом лекций, раскрывающих смысл доказательства. И лишь в 2006 году было вынесено решение - доказательство Перельмана верно, а гипотезу Пуанкаре следуют считать доказанной. За это Перельману присудили премию Филдса, однако принять ее он отказался.

Практически каждый человек, даже тот, кто не имеет никакого отношения к математике, слышал слова «гипотеза Пуанкаре», но не все могут объяснить, в чем ее суть. Для многих высшая математика кажется чем-то очень сложным и недоступным для понимания. Поэтому попробуем разобраться, что же означает гипотеза Пуанкаре простыми словами.

Содержание:

Что такое гипотеза Пуанкаре?

Формулировка гипотезы в оригинале звучит так: «Всякое компактное односвязное трехмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере ».

Шар – это геометрическое трехмерное тело, его поверхность называется сферой, она двумерна и состоит из точек трехмерного пространства, которые равноудалены от одной, не принадлежащей этой сфере, точки – центра шара. Кроме двумерных сфер, существуют еще трехмерные сферы, состоящие из множества точек четырехмерного пространства, которые так же равноудалены от одной, не принадлежащей сфере, точки – ее центра. Если двухмерные сферы мы можем увидеть собственными глазами, то трехмерные не подвластны нашему зрительному восприятию.



Поскольку мы не имеем возможности увидеть Вселенную, то можно предположить, что она и есть трехмерная сфера, в которой живет все человечество. В этом и состоит сущность гипотезы Пуанкаре. А именно то, что Вселенная имеет следующие свойства: трехмерность, бескрайность, односвязность, компактность. Понятие «гомеоморфность» в гипотезе означает высочайшую степень схожести, подобия, для случая со Вселенной – неотличимость.

Кто такой Пуанкаре?

Жюль Анри Пуанкаре – величайший математик, который родился в 1854 году во Франции. Его интересы не ограничивались только математической наукой, он изучал физику, механику, астрономию, философию. Был членом более 30 научных академий мира, в том числе Петербургской академии наук. Историки все времен и народов причисляют к величайшим математикам мира Давида Гильберта и Анри Пуанкаре. В 1904 году ученый издал знаменитую работу, которая содержала предположение, известное на сегодняшний день как «гипотеза Пуанкаре». Именно трехмерное пространство для математиков оказалось очень сложным для исследования, найти доказательства других случаев не составило труда. В течение около одного столетия доказывалась истинность этой теоремы.




В начале ХХІ века в Кембридже была учреждена премия в один миллион долл. США за решение этой научной задачи, которая входила в список проблем тысячелетия. Только российский математик из Санкт-Петербурга Григорий Перельман смог это сделать для трехмерной сферы. В 2006 году за это достижение ему была присвоена медаль Филдса, но он отказался от ее получения.

К заслугам в научной деятельности Пуанкаре можно отнести следующие достижения:

  • основание топологии (разработка теоретических основ различных явлений и процессов);
  • создание качественной теории дифференциальных уравнений;
  • разработка теории аморфных функций, которая стала основой специальной теории относительности;
  • выдвижение теоремы о возвращении;
  • разработка новейших, эффективнейших методов небесной механики.

Доказательство гипотезы

Односвязному трехмерному пространству присваиваются геометрические свойства, оно разделяется на метрические элементы, которые имеют расстояния между собой с образованием углов. Для упрощения берется в качестве образца одномерное многообразие, в котором на эвклидовой плоскости к гладкой замкнутой кривой проводятся в каждой точке касательные вектора, равные 1. При обходе кривой вектор поворачивается с определенной угловой скоростью, равной кривизне. Чем сильнее изгиб линии, тем больше кривизна. Кривизна имеет положительный наклон, если вектор скорости повернут в сторону внутренней части плоскости, которую делит линия, и отрицательный, если повернут вовне. В местах перегиба кривизна равна 0. Теперь каждой точке кривой назначается вектор, перпендикулярный вектору угловой скорости, а длиной равный величине кривизны. Он повернут внутрь, когда кривизна имеет положительный наклон, и вовне – когда отрицательный. Соответствующий вектор определяет направление и скорость, с которой движется каждая точка на плоскости. Если провести в любом месте замкнутую кривую, то при такой эволюции она превратится в окружность. Это справедливо для трехмерного пространства, что и требовалось доказать.




Пример: из воздушного шара при деформации без разрывов можно сделать разные фигуры. Но бублик сделать не получится, для этого его нужно только разрезать. И наоборот, имея бублик, никак не сделаешь цельный шар. Хотя из любой другой поверхности без разрывов при деформации можно получить сферу. Это свидетельствует о том, что эта поверхность гомеоморфна шару. Любой шар можно обвязать ниткой с одним узлом, с бубликом это сделать невозможно.

Шар – это самая простая трехмерная плоскость, которую можно деформировать и свернуть в точку и наоборот.

Важно! Гипотеза Пуанкаре утверждает эквивалентность замкнутого n-мерного многообразия n-мерной сфере в случае его гомеоморфности ей. Она стала отправной точкой в развитии теории о многомерных плоскостях.

  1. Немного озадачился этой теоремой......кстати интересно....

    Доказана Гипотеза Пуанкаре - одна из семи Задач Тысячелетия...
    Задачи Тысячелетия - Millennium Prize Problems - составляют семь математических проблем, охарактеризованных как «важные классические задачи, решение которых не найдено вот уже в течение многих десятков лет» . За решение каждой из этих проблем институтом Клэя предложен приз в 1 000 000 долларов США.

    Семь Задач Тысячелетия:

    1. Равенство классов P и NP
    2. Гипотеза Ходжа
    3. Гипотеза Пуанкаре - доказана!
    4. Гипотеза Римана
    5. Теория Янга - Миллса
    6. Существование и гладкость решений уравнений Навье - Стокса
    7. Гипотеза Берча и Свиннертона-Дайера
    Обобщённая гипотеза Пуанкаре утверждает, что:
    Для любого n всякое многообразие размерности n гомотопически эквивалентно сфере размерности n тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно ей.
    Исходная гипотеза Пуанкаре является частным случаем обобщённой гипотезы при n = 3.

    Гипотеза сформулирована французским математиком Пуанкаре в 1904 году. Маркус Дю Сотой из Оксфордского университета считает, что теорема Пуанкаре - «это центральная проблема математики и физики, попытка понять какой формы может быть Вселенная, к ней очень трудно подобраться».

    Многие талантливые и одаренные математики многие годы пытались доказать данную гипотезу, найти решение. Сделал это Григорий Перельман - разрешив теорему Пуанкаре, встал в один ряд с величайшими гениями прошлого и настоящего. И вот тогда все ахнули, как понимающие, так и непосвященные...

    В 2002 году: Григорий Перельман опубликовал свою первую статью по проблеме теоремы Пуанкаре, в правильности своих доказательств, наверняка, он сомневался и сам. Гении всегда сомневаются, посредственности - нет. И долгие, мучительные четыре года он ждал главного - признания правильности своих доказательств. Как видим, его коллеги- оппоненты не спешили. Вердикт подписали три ведущих математика мира - Тьян, Кляйнер и Лотт. Формулировка свидетельствует, что они не поступились ни каплей своей научной репутации. Смысл ее - «...несмотря на некоторые незначительные неточности и даже мелкие ошибки, доказательства Перельмана корректны...»
    И так, в 2006 году международное математическое сообщество признало - Гипотеза Пуанкаре - доказана!


    Медаль Филдса

    Григорию Перельману за решение гипотезы Пуанкаре была присуждена международная премия «Медаль Филдса», однако он отказался от неё.

    18 марта 2010 года Математический институт Клэя объявил о присуждении Григорию Перельману премии в размере 1 миллион долларов США за доказательство гипотезы Пуанкаре. Это стало первым в истории присуждением премии за решение одной из Проблем тысячелетия.

    Математик не приехал на церемонию врученияпремии института Клэя в Париж, и не сообщил, решил ли он ее принять. В символическом виде награда была отдана французскому математику российского происхождения Михаилу Громову и Франсуазе Пуанкаре - внучке создателя гипотезы. При этом организатор и учредитель премии, Джеймс Карлсон, сказал, что он готов ждать решения Перельмана «столько, сколько потребуется». 1 июля 2010 года математик окончательно отказался от премии в 1 миллион долларов и осенью Математический институт имени Клэя объявит о том, как именно они будут потрачены на благо математики.

    Мир ахнул снова - питерский Гений отказался от всех мирских почестей. В отличии от Григория Перельмана, многие бы от миллиона не отказались, но они и не решили теорему Пуанкаре. А он думал только о ней. Бог целует в темечко тех, кто думает о нем, а не о Мамоне.

    Кто с завистью, кто с недоумением пожимают плечами, обсуждая и осуждая, но не многие могут понять, что Григорий Перельман хочет быть просто Свободным Человеком, свободным и независимым в этом Мире и во всей Вселенной. Он отказался поклоняться и преклоняться их Золотому Тельцу - что раздражает правящую элиту больше всего. Его энергия и его сила гения останутся с ним, он будет свободен в выборе своего пути.

  2. Теорема Пуанкаре – математическая формула «Вселенной». Григорий Перельман. Часть 1 (из серии «Настоящий Человек в науке»)

    SpoilerTarget">Спойлер: кому интересно....читаем.....

    сформулировал знаменитую идею о деформированной трёхмерной сфере и в виде маленькой заметки на полях, помещённой в конце 65 страничной статьи, посвящённой совершенно другому вопросу, нацарапал несколько строчек довольно странной гипотезы со словами: «Ну этот вопрос может слишком далеко нас завести»…

    Маркус Дю Сотой из Оксфордского университета считает, что теорема Пуанкаре - «это центральная проблема математики и физики , попытка понять какой формы может быть Вселенная , к ней очень трудно подобраться».

    Раз в неделю Григорий Перельман ездил в Принстон, чтобы принять участие в семинаре «Института углублённых исследований». На семинаре один из математиков Гарвардского университета отвечает на вопрос Перельмана: «Теория Уильяма Тёрстона (1946-2012 гг., математик, труды в области «Трехмерной геометрии и топологии»), получившая название гипотезы геометризации описывает все возможные трёхмерные поверхности и является шагом вперёд по сравнению с гипотезой Пуанкаре. Если Вы докажете предположение Уильяма Тёрстона, то и гипотеза Пуанкаре распахнёт перед Вами все свои двери и более того её решение изменит весь топологический ландшафт современной науки ».

    Шесть ведущих американских университетов в марте 2003 г. приглашают Перельмана прочесть цикл лекций, разъясняющих его работу. В апреле 2003 г. Перельман совершает научное турне. Его лекции становятся выдающимся научным событием. В Принстоне послушать его приезжают Джон Болл (председатель международного математического союза), Эндрю Уайлз (математик, работы в области арифметики эллиптических кривых, доказал теорему Ферма в 1994 г.), Джон Нэш (математик, работающий в области теории игр и дифференциальной геометрии).

    Григорию Перельману удалось решить одну из семи задач тысячелетия и математически описать так называемоюформулу Вселенной , доказать гипотезу Пуанкаре. Над этой гипотезой наиболее светлые умы бились более 100 лет, и за доказательство которой мировым математическим сообществом (математическим институтом имени Клэя) был обещан $1 млн. Её вручение прошло 8 июня 2010 г. Григорий Перельман не появился на ней, и у мирового математического сообщества «поотпадали челюсти».

    В 2006 году за решение гипотезы Пуанкаре математику была присуждена высшая математическая награда - Филдсовская премия (медаль Филдса). Джон Болл лично посетил Санкт-Петербург с тем, чтобы уговорить принять премию. Её он принять отказался со словами: «Общество вряд ли способно всерьёз оценить мою работу ».

    «Филдсовская премия (и медаль) вручается один раз в 4 года на каждом международном математическом конгрессе молодым учёным (моложе 40 лет), внёсшим заметный вклад в развитие математики. Помимо медали награждённым вручается 15 тыс. канадских долларов ($13 000)»

    В исходной формулировке гипотеза Пуанкаре звучит следующим образом: «Всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере». В переводе на общедоступный язык , это означает, что любой трёхмерный объект, например, стакан можно преобразовать в шар путём одной только деформации, то есть его не нужно будет ни разрезать, ни склеивать. Иными словами, Пуанкаре предположил, что пространство не трёхмерно, а содержит значительно большее число измерений , а Перельман спустя 100 лет математически это доказал .

    Выражение Григория Перельмана теоремы Пуанкаре о преобразовании материи в другое состояние, форму имеет сходство со знаниями, изложенными в книге Анастасии Новых «Сэнсэй IV»: «По факту, вся эта бесконечная для нас Вселенная занимает место в миллиарды раз меньше, чем кончик самой тонкой медицинской иглы» . А также возможностью управления материальной Вселенной путём преобразований, вносимых Наблюдателем из контролирующих измерений выше шестого (с 7 по 72 включительно) (доклад «ИСКОННАЯ ФИЗИКА АЛЛАТРА» тема «Эзоосмическая решётка»).

    Григория Перельмана отличали аскетичность жизни, суровость предъявляемых как себе, так и к другим этических требований. Глядя на него складывается ощущение, что он только телесно проживает в общем со всеми остальными современникамипространстве , а Духовно в каком-то ином , где даже за $1 млн. не идут на самые «невинные» компромиссы с Совестью . И что это за пространство такое, и можно ли хоть краешком глаза посмотреть на него?..

    Исключительная важность гипотезы , выдвинутой около века назад математиком Пуанкаре , касается трёхмерных структур и является ключевым элементом современных исследований основ мироздания . Загадка эта, по мнению специалистов института Клэя, одна из семи принципиально важных для развития математики будущего.

    Перельман, отвергая медали и премии спрашивает: «А зачем они мне? Они мне совершенно ни к чему. Каждому понятно, если доказательство правильное, то никакого другого признания уже не требуется. Пока во мне не развилась подозрительность, у меня был выбор, либо сказать вслух о дезинтеграции математического сообщества в целом, в связи с его низким моральным уровнем, либо ничего не сказать и позволить обращаться с собой, как с быдлом. Теперь же, когда я стал более чем подозрительным, я не могу оставаться быдлом и продолжать молчать, поэтому мне остаётся только уйти».

    Для того чтобы заниматься современной математикой нужно иметь тотально чистый ум, без малейшей примеси, которая дезинтегрирует его, дезориентирует, подменяет ценности, и принять эту премию означает продемонстрировать слабость. Идеальный учёный занимается только наукой, не заботится больше ни о чём (власть и капитал), у него должен быть чистый ум, а для Перельмана нет большей важности, чем жить в соответствии с этим идеалом. Полезно ли для математики вся эта затея с миллионами, и нужен ли настоящему учёному такой стимул? И это желание капитала купить и подчинить себе всё в этом мире разве не оскорбительно? Или можно продать свою чистоту за миллион? Деньги, сколько бы там их ни было, эквивалентныистине Души ? Ведь мы имеем дело с априорной оценкой проблем, к которым деньги просто не должны иметь отношения, разве не так?! Делать же из всего этого что-то вроде лото-миллион, или тотализатор, значит потакать дезинтеграции научного, да ичеловеческого сообщества в целом (см. доклад «ИСКОННАЯ ФИЗИКА АЛЛАТРА» и в книге «АллатРа» последние 50 страниц о пути построения созидательного общества). И денежные средства (энергия), которые бизнесмены готовы отдавать на науку, если и надо использовать, то корректно, что ли, не унижая Дух подлинного служения , как ни верти, неоценимого денежным эквивалентом: «Что такое миллион, по сравнению , с чистотой, или Величием тех сфер (об измерениях глобальной Вселенной и о Духовном мире см. книгу «АллатРа» и доклад «ИСКОННАЯ ФИЗИКА АЛЛАТРА» ) , в которые не способно проникнуть даже человеческое воображение (ум) ?! Что такое миллион звёздного неба для времени?!».

    Приведем толкование остальных терминов, фигурирующих в формулировке гипотезы :

    - Топология - (от греч. topos - место и logos - учение) - раздел математики, изучающий топологические свойства фигур, т.е. свойства, не изменяющиеся при любых деформациях, производимых без разрывов и склеиваний (точнее, при взаимно однозначных и непрерывных отображениях). Примерами топологических свойств фигур являются размерность, число кривых, ограничивающих данную область, и т.д. Так, окружность, эллипс, контур квадрата имеют одни и те же топологические свойства, т.к. эти линии могут быть деформированы одна в другую описанным выше образом; в то же время кольцо и круг обладают различными топологическими свойствами: круг ограничен одним контуром, а кольцо - двумя.

    - Гомеоморфизм (греч. ομοιο - похожий, μορφη - форма) – взаимно однозначное соответствие между двумя топологическим пространствами, при котором оба взаимно обратных отображения, определяемые этим соответствием, непрерывны. Эти отображения называют гомеоморфными, или топологическими отображениями, а также гомеоморфизмами, а о пространствах говорят, что они принадлежат одному топологическому типу называются гомеоморфными, или топологически эквивалентными.

    - Трёхмерное многообразие без края . Это такой геометрический объект, у которого каждая точка имеет окрестность в виде трёхмерного шара. Примерами 3-многообразий может служить, во-первых, всё трехмерное пространство, обозначаемое R3 , а также любые открытые множества точек в R3 , к примеру, внутренность полнотория (бублика). Если рассмотреть замкнутое полноторие, т.е. добавить и его граничные точки (поверхность тора), то мы получим уже многообразие с краем – у краевых точек нет окрестностей в виде шарика, но лишь в виде половинки шарика.

    - Полното́рие (полното́рий) - геометрическое тело, гомеоморфное произведению двумерного диска и окружности D2 * S1. Неформально, полноторие - бублик, тогда как тор - только его поверхность (пустотелая камера колеса).

    - Односвязное . Оно означает, что любую непрерывную замкнутую кривую, расположенную целиком в пределах данного многообразия, можно плавно стянуть в точку, не покидая этого многообразия. Например, обычная двумерная сфера в R3 односвязна (кольцевую резинку, как угодно приложенную к поверхности яблока, можно плавной деформацией стянуть в одну точку, не отрывая резинки от яблока). С другой стороны, окружность и тор неодносвязны.

    - Компактное. Многообразие компактно, если любой его гомеоморфный образ имеет ограниченные размеры. Например, открытый интервал на прямой (все точки отрезка, кроме его концов) некомпактен, так как его можно непрерывно растянуть до бесконечной прямой. А вот замкнутый отрезок (с концами) является компактным многообразием с краем: при любой непрерывной деформации концы переходят в какие-то определённые точки, и весь отрезок обязан переходить в ограниченную кривую, соединяющую эти точки.

  3. Теорема Пуанкаре. Конечная бесконечность Вселенной математически доказана. Часть 2

    SpoilerTarget">Спойлер: читаем здесь.......

    Проблема, которую решил Перельман, состоит в требовании доказать гипотезу, выдвинутую в 1904 году великим французским математиком Анри Пуанкаре (1854-1912) и носящую его имя. О роли Пуанкаре в математике трудно сказать лучше, чем это сделано в энциклопедии: «Труды Пуанкаре в области математики, с одной стороны, завершают классическое направление, а с другой - открывают пути к развитию новой математики, где наряду с количественными соотношениями устанавливаются факты, имеющие качественный характер» . Гипотеза Пуанкаре как раз и имеет качественный характер - как и вся та область математики (а именно топология), к которой она относится и в создании которой Пуанкаре принял решающее участие.

    Анри Пуанкаре сформулировал гипотезу, которая стала известна как гомологическая трёхмерная сфера Пуанкаре. Сферу, кстати, совсем недавно ученые приспособили в астрофизике - оказалось, что Вселенная вполне может оказаться гомологической 3-сферой Пуанкаре .

    Обычная сфера, которая есть поверхность обычного шара, двумерна (а сам шар - тот трёхмерен). Двумерная сфера состоит из всех точек трёхмерного пространства, равноудалённых от некоторой выделенной точки, называемой центром и сфере не принадлежащей. Трёхмерная сфера состоит из всех точек четырёхмерного пространства, равноудалённых от своего центра (сфере не принадлежащего). В отличие от двумерных сфер трёхмерные сферы недоступны нашему непосредственному наблюдению, и нам представить себе их так же трудно, как Василию Ивановичу из известного анекдота квадратный трёхчлен. Не исключено, однако, что все мы как раз в трёхмерной сфере и находимся, то есть что наша Вселенная является трёхмерной сферой.

    В этом состоит значение результата Перельмана для физики и астрономии . Термин «односвязное компактное трёхмерное многообразие без края» содержит указания на предполагаемые свойства нашей Вселенной. Термин «гомеоморфно» означает некую высокую степень сходства, в известном смысле неотличимость. Формулировка в целом означает, следовательно, что если наша Вселенная обладает всеми свойствами односвязного компактного трёхмерного многообразия без края, то она - в том же самом «известном смысле» - и есть трёхмерная сфера.

    Стоит отметить, что мы описали лишь выводы официальной науки. Изучением многомерности Вселенной активно занимаются учёные сообщества АЛЛАТРА НАУКА. Очень детально этот вопрос описан в книге «АллатРа» , а также в докладе «ИСКОННАЯ ФИЗИКА АЛЛАТРА» .

    Физика, как правило, пользуется уже разработанными заготовками, предоставляемыми ей математикой. Математика не претендует, разумеется, на то, чтобы установить какие бы то ни было геометрические свойства Вселенной. Но она позволяет осмыслить те свойства, которые открыты другими науками. Более того. Она позволяет сделать более понятными некоторые такие свойства, которые трудно себе вообразить, она объясняет, как такое может быть. К числу таких возможных (подчеркнём: всего лишь возможных!) свойств относятся конечность Вселенной и её неориентируемость.

    Согласно знаниям, изложенными в книгах Анастасии Новых, в подтверждении выше описанного факта, приведём цитату: «Даже современному человеку с его довольно развитым мышлением тяжело объяснить действительный процесс сотворения Вселенной, даже такой факт, что такое «конечная бесконечность Вселенной ».

    В том числе о «конечности бесконечной Вселенной» более подробно указано в докладе «ИСКОННАЯ ФИЗИКА АЛЛАТРА»: «Вселенная существует, т.е. ограничена пределами эзоосмической решётки ».

    О таком свойстве, как «конечность бесконечной Вселенной» в своих трудах описал Успенский Владимир Андреевич - доктор физико-математических наук, профессор. Долгое время единственной мыслимой моделью геометрического строения Вселенной служило трёхмерное евклидово пространство, то есть то пространство, которое известно всем и каждому из средней школы. Это пространство бесконечно; казалось, что никакие другие представления и невозможны; помыслить о конечности Вселенной казалось безумием. Однако ныне представление о конечности Вселенной не менее законно, чем представление о её бесконечности . В частности, конечна трёхмерная сфера. От общения с физиками у меня осталось впечатление, что одни отвечают «скорее всего, Вселенная бесконечна», другие же - «скорее всего, Вселенная конечна».

    В заключении приведём отрывок из книги Анастасии Новых «Сэнсэй-IV»: «Люди до сих пор не могут понять, как из ничего может появиться что-то. Это нарушает логику. Логика не способна воспринять нелогичность. Человек может воспринять что-то нелогичное, лишь поверив в него, как говорится, на слово. Но наука и вера у нас сегодня существуют практически отдельно друг от друга . Науке нужны факты, то, что можно пощупать, потрогать, увидеть или хотя бы теоретически доказать. Поэтому для нынешней науки не понятно , что значит «Вселенная зародилась из ничего» или что значит «конечность бесконечной Вселенной ». Ведь по логике вещей раз что-то «конечно», значит за ним должно быть что-то, что определяет эту конечность: стенка, пустота или наличие ещё чего-нибудь, поскольку этот мир в их понимании подчинён материальным законам. Но мы ставим во главе материю, поскольку сам наш мозг материален, и по большей части мы мыслим, оцениваем происходящее категориями логики. Когда мы думаем, что за Вселенной нет ничего, это замыкает наше сознание на нелогичности этого восприятия. Хотя наш мир на самом деле - соединение духовного и материального - существует соответственно по законам этого слияния, а не просто законов материи, как полагают сейчас ».

  4. Потоки Риччи
    Односвязное 3-мерное многообразие наделяется геометрией, вводятся метрические элементы с расстоянием и углами. Легче понять это на одномерных многообразиях. Гладкая замкнутая кривая на эвклидовой плоскости наделяется в каждой точке касательным вектором единичной длины. При обходе кривой вектор поворачивается с определенной угловой скоростью, которая определяет кривизну. Где линия изогнута сильнее, кривизна больше. Кривизна положительна, если вектор скорости повернут в сторону внутренней части плоскости, которую делит наша линия, и отрицательна, если повернут вовне. В местах перегиба кривизна равна 0. Теперь каждой точке кривой назначается вектор, перпендикулярный вектору угловой скорости, а длиной равный величине кривизны. Его направление внутрь при положительной кривизне и вовне - при отрицательной. Каждую точку заставляем двигаться в направлении и со скоростью, определяемыми соответствующим вектором. Замкнутая кривая, проведенная в любом месте плоскости, при такой эволюции превращается в окружность. Это справедливо для размерности 3, что и требовалось доказать.

Разделы