Прямо пропорциональные величины,обратно пропорциональные величины. Продолжим решение задач

ГЛАВА VIII.

ПРОПОРЦИИ.

ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ ВЕЛИЧИН.

§ 47. Пропорциональное деление.

1200. Число 135 разделить на части пропорционально числам: 1) 2 и 3; 2) 7 и 8; 3) 1; 3 и 5; 4) 2 / 3 ; 3 и 5 1 / 3

1201. 1) Число 2400 разделить на части пропорционально числам: 2; 3; 8 и 11 1 / 5

2) Число 78117 разделить на части пропорционально числам 1 / 12 ; 1 / 4 ; 2 / 3 ; 1 и 1 1 / 4

1202. Число 196 разделить на части пропорционально числам: 1) 3; 7 и 11; 2) 1 / 3 ; 1 1 / 3 и 3.

1203. 1) Число 765 разделить на части пропорционально числам 1 / 5 ; 1 / 4 и 0,6.

2) Число 19 248 разделить на части пропорционально числам 0,8; 1; 3 и 4,8.

1204. Число 5 005 разделить на части обратно пропорционально числам: 1) 2 и 3; 2) 4 и 7; 3) 3 и 10; 4) 1 / 3 и 1 / 4 ;5) 2 и 1 / 2 .

1205. Число 343 разделить на части обратно пропорционально числам: 1) 1; 4 и 9; 2)1; 1 / 3 и 1 / 6

1206. Число 136 разделить на части: 1) прямо пропорционально числам 1; 2 и 5; 2) обратно пропорционально числам 1;2 и 5.

1207. Число 18,3 разделить на части обратно пропорционально числам 1; 2; 3 и 5.

1208. Число 434 разделить на части обратно пропорционально числам: 1) 15 и 16; 2) 2; 3 и 5.

1209. Число 3 285 разделить на части обратно пропорционально числам: l) 1 / 2 ; 0,3 и 1 1 / 3 ; 2) 1; 5 / 7 и 1 1 / 4

1210. Число 2 478 разделить на части: 1) прямо пропорционально числам 2; 5 и 7; 2) обратно пропорционально числам 2; 5 и 7.

1211. Число 86,7 разделить, на части обратно пропорционально числам 1; 3; 5 и 6.

1212. 1) Разделить число 144 на три части: х, у и z , так, чтобы х: у =3: 4; y: z = 4:5.

2) Разделить число 310 на три части: х, у и z , так, чтобы х: у =3: 2; y: z = 5: 3.

3) Разделить число 2,38 на три части: х, у и z , так, чтобы х: у = 3: 5; y: z =8:11.

1213. 1) При пайке изделий из жести применяется сплав «третник», содержащий одну часть свинца и две части олова Сколько свинца и олова содержится в 120 г сплава?

2) Латунь представляет собой сплав меди и олова. Сколько меди и сколько олова в 540 г латуни, если количество олова со ставляет 50% количества меди?

1214. 1) На два класса было получено 504 тетради и 126 карандашей. Как распределить тетради и карандаши между классами, если в одном классе 35 человек, а в другом 28 человек?

2) Две школы закупили для коллективного просмотра билеты в кинотеатр и заплатили 90 руб. Сколько следует уплатить каждой школе, если в одной из них 288 учащихся, а во второй 312?

1215. 1) В колхозе с двух участков в 8,25 га и 10,5 га собрали урожай. Нужно было собрать с этих участков оставшиеся колосья. 50 пионеров взялись выполнить эту работу и разбились на две группы пропорционально площади участков. Сколько пионеров было в каждой группе?

2) Для озеленения школьного участка нужно разбить три клумбы площадью 84 кв. м, 56 кв. м и 42 кв. м. Из 26 человек, изъявивших желание принять участие в разбивке клумб, были созданы три бригады, причём число человек в каждой бригаде было пропорционально площади клумб. Сколько человек было в каждой бригаде?

1216. 1) Для учащихся шестых классов были получены билеты и распределены пропорционально числу учеников в этих классах. Сколько было прислано билетов и сколько получил каждый класс, если в VI А было 36 человек, в VI Б 32 и в VI В 28, причём VI А получил на 12 билетов меньше, чем VI Б и VI В вместе?

2) Воспитанники детского дома выехали на дачу, где поселились в четырёх комнатах, площади которых были равны 56 кв. м, 49 кв. м, 42 кв. м и 35 кв. м, причём число человек в комнатах было пропорционально их площади. Сколько человек было в каждой комнате, если в большей комнате было на 6 человек больше, чем в меньшей?

1217. 1) Некоторое расстояние пассажирский поезд проходит за 10,5 часа, а товарный за 12 час. Где произойдёт встреча поездов, если они одновременно выйдут из двух городов, расстояние между которыми 465 км?

2) Первый спортсмен пробегает 100 м за 12 сек., а второй за 13 сек. Сколько метров пробежит каждый спортсмен до встречи, если они начнут бег одновременно и навстречу друг другу, разойдясь на 200 м?

1218. 1) Мастер изготовляет одну деталь за 5 мин., а ученик изготовляет такую же деталь за 9 мин. Работая вместе, они изготовили 84 детали. Сколько деталей изготовил мастер и сколько ученик?

2) Один рабочий выполняет норму за 6 час, другой за 5 час. и третий за 4,5 часа. Работаявместе, они изготовили 795 деталей. Сколько деталей изготовил каждый рабочий?

1219. 1) Раскладывая одинаковые по величине бруски, мальчик заметил, что на определённом расстоянии можно уложить в ряд: по длине 6 брусков, по ширине 10 брусков, по толщине (высоте)15 брусков. Найти отношение длины, ширины и толщины брусков.

2) (Задача-шутка.) Колхозник поехал на луга за сеном и взял с собой трёх сыновей: 15 лет, 12 лет и 10 лет. Обратный путь в 13,5 км мальчики по очереди ехали на возу, причём расстояние распределили обратно пропорционально возрасту. Сколько километров проехал каждый из них на возу?

1220. 1) Как распределить между жильцами плату за электроэнергию в сумме 1 руб. 44 коп., если в первой комнате горит лампа в 60 ватт, во второй в 100 ватт, в третьей две лампы по 40 ватт и в четвёртой две лампы по 60 ватт?

2) Три семьи наняли сообща машину для переезда на дачу и уплатили 11 рублей. Дачи были расположены вдоль одного шоссе на расстоянии 24 км, 28 км и 36 км от города. Сколько следует уплатить за машину каждой семье, если они условились платить пропорционально расстоянию?

1221. Мать послала трёх сыновей: Володю 12 лет, Серёжу 10 лет и Андрюшу 8 лет - в лес за шишками для самовара. По дороге мальчики решили набрать 600 сосновых шишек и распределили это задание между собой пропорционально возрасту. Возвращаясь домой, мальчики подсчитали, что Володя перевыполнил задание на 20%, Серёжа на 15% и Андрюша на 10%. Сколько шишек принесли мальчики из лесу?

1222. При посадке фруктовых садов в центральных районах РСФСР рекомендуется, чтобы число яблонь, груш и косточковых деревьев относилось, как 10:3:7. Сколько яблонь, груш и косточковых деревьев следует посадить на прямоугольном участке размером 96 м х 60 м, если каждое дерево занимает 48 кв. м?

1223. 1) Группа геологов находилась в пути четверо суток и 14 час. Третью часть пути геологи проехали на поезде, третью часть на пароходе и третью часть на лошадях. Сколько времени провели геологи в поезде, на пароходе и сколько ехали на лошадях, если средняя скорость передвижения на лошадях в 8 раз меньше скорости передвижения на поезде и в 4 раза меньше, чем на пароходе?

2) Первая машинистка выполняет определённую работу за 5 час. 20 мин., а вторая за 4 часа 40 мин. Однажды, работая вместе, они напечатали 45 страниц. Сколько страниц напечатала каждая машинистка и на сколько процентов вторая напечатала больше, чем первая?

1224. 1) На окраску стен в помещении нужно 36 кг краски. Во время ремонта решили окрасить стены в два цвета: верх светлой краской, а низ тёмной. Сколько понадобится той и другой краски, если высота стен 3 м, а высота стены, окрашенной в тёмный цвет, 1,8 м? 1,75 м? 1,6 м?

2) В состав менделеевской замазки, не боящейся разведённых кислот, входит 1% льняного масла, канифоль, жедтый воск и безводная окись железа (мумия) в отношении 20:5:8. Сколько составных частей нужно для получения 2,5 кг замазки?

1225. 1) Клей для стекла содержит 1 / 12 льняного масла, канифоль, желтый воск и гуттаперчу в отношении 15:3:4 Сколько составных частей нужно для получения 1,5 кг клея?

2) Клейстер, пристающий к стеклу и металлу, приготовляют из крахмала, мела, 20-процентного раствора едкого натра и воды, беря составные части в отношении 1:8:5:25. Сколько граммов каждой из составных частей, а также едкого натра нужно для получения 900 г клейстера? (Вычислить с точностью до 1г)

1226. 1) Колхоз продал некоторое количество мяса трёх сортов; первого сорта по 1,2 руб., второго сорта по 0,9 руб. и третьего сорта по 0,6 руб. за 1 кг. Первого сорта было продано на 30 кг больше, чем второго; число килограммов второго сорта относилось к числу килограммов третьего сорта, как 3: 2. Сколько килограммов каждого сорта было продано, если в среднем цена одного килограмма оказалась равной 1,05 руб.?

2) Колхоз разбил фруктовый сад на прямоугольном участке размерами 240 м х 144 м. Сколько яблонь нужно посадить в саду, если расстояние между рядами деревьев должно быть 8 м, а между деревьями в каждом ряду 6 м? Сколько саженцев зимних, осенних и летних сортов яблонь нужно приобрести, чтобы количества зимних и осенних сортов относились, как 5: 3, а летних сортов было бы на 72 дерева меньше, чем осенних?

1227. 1) Три девочки нашли в лесу 93 белых гриба. Когда первая девочка разложила свои грибы в кучки по пяти грибов в каждой, а вторая - в кучки по шести грибов в каждой, то кучек получилось у них поровну. Когда же вторая разложила свои грибы по четыре, а третья - по три, то кучек у них получилось тоже поровну. Сколько грибов нашла каждая девочка?

2) Три мальчика пошли в лес за орехами. При подсчете собранных орехов оказалось, что число орехов у первого мальчика относилось к числу орехов второго, как 3:4, а отношение числа орехов второго мальчика к числу орехов третьего равно 5:3. Сколько орехов собрал каждый, если у первого мальчика было на 102 ореха больше, чем у третьего?

1228. 1) Срочный заказ на сумму 154 280 руб. поручили выполнять одновременно трём заводам. Как распределили заказ заводы между собой, если производительность первого и второго заводов относится, как 5:3, а производительность третьего завода на 25% меньше, чем производительность первого и второго заводов вместе?

2) С трёх участком собрали 99,75 т картофеля. Количество картофеля, собранного с первого и второго участков, относилось, как 7: 10, а с третьего участка собрали на 15% больше, чем со второго участка. Сколько картофеля собрали с каждого участка?

1229. 1) 30% площади лесного участка занимают лиственные породы деревьев. Остальная площадь занята сосновым и еловым лесом, причём площади этих лесов относятся, как 1,5: 2 / 3 . Определить площадь лесного участка, если сосновый лес занимает на 77 га больше, чем еловый.

2) За первый день тракторная бригада вспахала 32,5% колхозного поля, а площади, вспаханные во второй и третий день, относились, как 0,25:0,2. Определить площадь поля, если во второй день было вспахано на 32,75 га больше, чем в третий.

1230. 1) Картофель засыпали в три овощехранилища в отношении 1,3:2 1 / 2:1 1 / 5 , причём во втором овощехранилище оказалось на 43,2 т больше, чем в первом. За месяц израсходовали: из первого 40%, из второго 30% и из третьего 25% имевшегося там картофеля. Сколько всего картофеля израсходовали за месяц?

2) Площади трёх лесных участков относятся, как 2,25:1,5:1 5 / 6 , причём площадь третьего на 136 га меньше площади первого. На первом, втором и третьем участках вырубили соответственно 15%, 10% и 5% площади. На какой площади был вырублен лес?

1231. 1) Пионеры собрали 27,2 т металлического лома. 12,5% всего собранного лома было оценено по 4 руб. за 1 т. Остальной лом был рассортирован на две части в отношении 3: 4 и оценён по 12,5 и 15 руб. за 1 т. Сколько стоил весь лом?

2) На строительную площадку завезли 127,5 т материалов. Алебастр составил 4% всех привезённых материалов, а остальное составляли цемент и известь в отношении 4:5. Сколько алебастра, цемента и извести завезли на строительную площадку?

1232. 1) Было куплено 240 кг картофеля по 0,04 руб. за 1 кг и 80 кг по 0,06 руб. за 1 кг. Найти среднюю цену картофеля.

2) Смешано 20 т железной руды, содержащей 72% железа, и 28 т железной руды, содержащей 40% железа. Определить процентное содержание железа в получившейся смеси.

1233. 1) Леспромхоз заготовил 25 куб. м берёзовых дроз, 75 куб. м сосновых дров и 85 куб. м осиновых дров. Сколько кубических метров дров смешанной породы можно погрузить на полуторатонную машину, если 1 куб. м берёзовых дров весит 495 кг, сосновых 425 кг, осиновых 350 кг?

2) В колхозе одна бригада получила средний урожай пшеницы 22,5 ц с 1 га на площади 16,8 га, а вторая 25 ц с 1 га на площади в 25,2 га. Найти средний урожай с 1 га в колхозе.

1234. 1) Для компота купили 400 г сушёных яблок, 200 г урюка и 150 г изюму. Найти цену 1 кг смеси, если 1 кг сушеных яблок стоит 0,9 руб., 1 кг урюка 0,84 руб. и 1 кг изюму 1,6 руб.

2) Из 3.5 кг яблок ценой по 0,6 руб., 6,5 кг яблок ценой по 0,5 руб. и 9 кг сахарного песку по 0,94 руб. сварили варенье. Найти стоимость 1 кг варенья, если вес его составляет 80% веса песка и очищенных яблок. При очистке яблок потери составляют 10%

1235. 1) Из закипевшего чайника вылили 2 / 3 воды, а оставшийся кипяток долили водой, температура которой была 16°. Определить температуру воды в чайнике.

2) Из закипевшего чайника вместимостью 4,5 л воды вылили 3,6 л и долили чайник водой, температура которой была равна 12°. Определить температуру воды в чайнике.

1236. 1) В ванну, где было 78 л воды с температурой 15°, вылили два ведра кипятку (температура 100°). Определить температуру воды в ванне, если ёмкость ведра 12 л.

2) В кадку налито 70 л воды, температура которой равна 4°. Сколько литров воды с температурой 80° нужно налить в кадку, чтобы температура воды поднялась до 24°?

1237. 1) Сплавили два слитка серебра: 600-й пробы весом 180 г и 875-й пробы весом 216 г. Определить пробу сплава.

2) Сплавлены два слитка золота: 900-й пробы весом 320 г и 540-й пробы весом 160 г. Определить пробу сплава.

1238. 1) Сколько серебра 500-й пробы и 800-й пробы нужно сплавить, чтобы получить 225 г серебра 720-й пробы?

2) Сколько золота 600-й пробы и 900-й пробы нужно сплавить, чтобы получить 350 г 720-й пробы?

1239. 1) Сплавили 50 г золота 560-й пробы со слитком эолота неизвестной пробы и получили 300 г золота 760-й пробы. Определить пробу второго слитка.

2) Сплавили 120 г серебра 640-й пробы со слитком серебра неизвестной пробы и получили 320 г серебра 700-й пробы. Определить пробу второго слитка.

1240. 1) Для консервирования применяют спирт крепостью 90°, 80° и 70°. Сколько воды нужно прибавить к 2 л спирта крепостью 96°, чтобы получить спирт указанной крепости?

2) Для консервирования применяют 2- и 3-процентный раствор формалина. Сколько воды нужно прибавить к 1,5 л 40-процентного раствора формалина, чтобы получить раствор, нужный для консервирования?

1. Чтобы разделить некоторое число пропорционально данным числам (разделить в данном отношении), надо разделить это число на сумму данных чисел и результат умножить на каждое из них.

2. Чтобы разделить число на части, обратно пропорциональные данным числам, достаточно разделить это число на части, прямо пропорциональные числам, обратным данным.

УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ

1. Отрезок длиной 15 см разделить в отношении Решение. см.

2. Число 27 разделить обратно пропорционально числам 4 и 5.

Решение. Числа, обратные данным, относятся как Получим

ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

А. 1. Отрезок длиной разделили на четыре части, пропорциональные числам 2, 3, 4 и 5. Найдите длины этих частей.

2. Стороны треугольника, периметр которого пропорциональны числам 5, 7 и 8. Найдите стороны треугольника.

3. Число 196 разделите на части, пропорциональные числам:

4. Число 434 разделите на части, обратно пропорциональные числам: а) 15 и 16; б) 2, 3 и 5.

Б. 1. Площади полей, засеянных рожью, пшеницей и ячменем, пропорциональны числам 9, 5 и 3. Сколько гектаров засеяно рожью и сколько ячменем, если известно, что пшеницей засеяно

Две величины y и x , связанные зависимостью

прямо пропорциональными . Число k называется коэффициентом прямой пропорциональности .

Графиком прямо пропорциональной зависимости величин является прямая линия . Например, при k = 2 график прямо пропорциональной зависимости имеет следующий вид

Отношение прямо пропорциональных величин является постоянным числом и равно k :

Две величины y и x , связанные зависимостью

где k – некоторое число, называются обратно пропорциональными . Число k называется коэффициентом обратной пропорциональности .

Графиком обратно пропорциональной зависимости величин является гипербола . Например, при k = 2 график обратно пропорциональной зависимости имеет следующий вид

Произведение обратно пропорциональных величин является постоянным числом и равно k :

Пример 1 . Число 110 разделить на три слагаемых прямо пропорционально числам 1, 3 и 7 .

Решение . Если обозначить слагаемые буквами a , b и c , а коэффициент прямой пропорциональности буквой k и воспользоваться тем, что отношение прямо пропорциональных величин является числом постоянным, то будут выполнены соотношения:

Следовательно,

b = 3a , c = 7a .

Таким образом,

b = 3a = 30, c = 7a = 70.

Итак, первое слагаемое равно 10 , второе слагаемое равно 30 , а третье слагаемое равно 70 . Их сумма равна 110 .

Ответ : 10 , 30 , 70 .

Пример 2 . Число 40 разделить на два слагаемых обратно пропорционально числам 1 и .

Решение . Если обозначить слагаемые буквами a и b , а коэффициент обратной пропорциональности буквой k , и воспользоваться тем, что произведение обратно пропорциональных величин является числом постоянным, то будут выполнены соотношения:

Следовательно:

b = 3a , a + b = 40,
a + 3a = 40,
4a = 40,
a = 10, b = 30.

Итак, первое слагаемое равно 10 , а второе слагаемое равно 30 . Их сумма равна 40 .

Ответ : 10 , 30 .

На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике .

Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

У нас также для школьников организованы

1. Число 45 пропорционально числам 4, 5 и 6 . Если в задаче есть такие слова «пропорционально числам 4, 5 и 6″, то всегда обозначают одну часть через х . Тогда число 45=4х+5х+6х. Упрощаем: 15х=45, отсюда х=3. Меньшее число содержит 4х, значит, оно равно 4·3=12.

2. Требуется решить уравнение |4-x|=1,5. Идем от определения модуля числа: модуль неотрицательного числа равен самому этому числу, модуль отрицательного числа равен числу противоположному. Под знаком модуля могло быть как положительное число, так и отрицательное. Так и запишем:

4-х=1,5 или 4-х=-1,5;

Х=1,5-4; -х=-1,5-4.

Х=-2,2; -х=-5,5.

х=2,2; х=5,5.

3. Итак, автомобилист, выехавший из пункта А через полчаса после мотоциклиста, догнал его. Спрашивают, на каком расстоянии от А, если скорость мотоциклиста 48,4 км/ч , а скорость автомобиля больше скорости мотоцикла в

4. Отметим на числовой прямой «пустыми» точками -2 и 3 . Решаем неравенство методом интервалов. Проверим знак дроби при х=10, подставив значение 10 . Расставим знаки на промежутках. Так как у нас неравенство больше нуля, то выбираем промежуток знака «+».

5. Упростим данное выражение cos(30°+α)-cos(30°-α) , используя формулу разности косинусов двух углов. Получим минус удвоенное произведение синуса полусуммы на синус полуразности: cos(30°+α)-cos(30°-α)= -2sin30°sinα=-sinα.

6. Нам дано однородное линейное уравнение. Решают его делением обеих частей равенства на косинус данного аргумента. В результате получают простейшее уравнение с тангенсом.

7. Известны девятый член (a 9 =12) и разность (d=1,5) арифметической прогрессии.

Требуется найти первый член a 1 данной арифметической прогрессии. Применим формулу n-го члена арифметической прогрессии: a n =a 1 +(n-1)d . Подставим в нее наши данные и получим: a 9 =a 1 +8d;

12=a 1 +8∙1,5;

12+a 1 =12 → a 1 =0.

8. Площадь фигуры, ограниченной данными линиями y=x 2 , y=0, x=2 , найдем с помощью определенного интеграла. Искомая площадь будет равна определенному интегралу от нуля до двух функции икс в квадрате по дэ икс. Если вам это понятно — значит, вы представляете себе графики данных линий и так и должно быть! Если непонятно — строим графики и вспоминаем формулу площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y=f(x) , а слева и справа — прямыми х=a, x=b.

9. По условию внешний угол при вершине А треугольника АВС в два раза больше одного из несмежных углов треугольника, а по определению, внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Получается, что эти несмежные углы равны между собой. Отсюда следует, что данный треугольник является равнобедренным с вершиной А . И если мы проведем медиану из вершины А , то она будет являться и высотой и биссектрисой .

10. Найдем корень данного уравнения и подставим его значение в выражение (-13х+2) 2 +х.

11. Дано уравнение (100x) lgx =x 3 . Требуется найти сумму его корней. Так как и основание и показатель степени содержат переменную, то решение уравнения начинаем с логарифмирования обеих частей равенства по основанию 10 (у нас ведь десятичный логарифм).

lg(100x) lgx =lgx 3 ; логарифм степени равен произведению показателя этой степени на логарифм основания:

lgx∙lg(100x)=3lgx. Перенесем 3lgx в левую часть равенства и вынесем lgx за скобки: lgx∙lg(100x)-3lgx =0;

lgx∙(lg(100x)-3)=0. Каждый из множителей может быть равен нулю. Если lgx=0, то x=10 0 =1. Если lg(100x)-3=0, то lg(100x)=3, откуда 100x=10 3 ; 100x=1000; x=10. Сумма квадратов корней: 1 2 +10 2 =1+100=101.

12. Упростим данную систему уравнений, освободившись от знака логарифма во 2-ом уравнении.

log 5 (2y+10x+3)=2 → 2y+10x+3=5 2 → 2y+10x+3=25; 10x+2y=22. Выразим 2х из первого уравнения: 2х=20-3у. Подставим это значение во 2-ое уравнение, имея ввиду, что 10х=5∙2х. Тогда вместо 10x+2y=22 запишем:

5∙(20-3у )+2у=22. Упростим: 100-15у+2у=22 или -13у=-78, откуда у=6. Подставляем это значение в выражение 2х=20-3у. Получаем:

2х=20-3∙6=2. Тогда х=1 . Решением системы служит пара значений переменных: (1; 6) .

13. Возведем обе части равенства в квадрат. Получаем: x-5=a 2 → x=a 2 +5.

14. Область определения функции — это множество таких значений х , при которых выражение в правой части равенства имеет смысл. Так как у нас дробь, то знаменатель ее должен быть отличен от нуля, т.е. x+3x 2 ≠0 . Приравняем знаменатель к нулю, решим уравнение, а затем исключим корни этого уравнения.

15. Требуется найти производную сложной функции y=(lnx) 2 . Итак, мы имеем степень, значит, берем производную по формуле производной степени. Далее: основание этой степени — натуральный логарифм, — берем производную от натурального логарифма и умножаем производную степени на производную натурального логарифма.

16. Стороны треугольника ВА=14 см и ВС=17 см, а косинус угла В между ними равен (-8/17) . Нужно найти площадь треугольника. Мы знаем формулу площади треугольника по двум сторонам и углу между ними: S=(1/2)ac·sinβ . Зная косинус угла В , вычислим синус этого угла, используя основное тригонометрическое тождество sin 2 β + cos 2 β=1 , и подставим в формулу площади.

17. Дан равносторонний треугольник. Точка, равноудаленная от сторон треугольника на 5 см , от плоскости отстоит на 3 см. Нужно найти площадь этого треугольника.

18. Основания призмы — правильные треугольники со стороной 6 см . Требуется найти объем призмы, если ее боковое ребро равно Решение. Применяем формулу объема призмы: V=S осн. ∙H , где S осн. – площадь основания призмы, значит, в нашей задаче, площадь правильного треугольника со стороной 6 см. H – высота призмы, а так как у нас призма прямая, то в качестве высоты можно взять длину бокового ребра.

19. Чтобы найти координаты точек пересечения окружности x 2 +y 2 -10x-6y+9=0 с осью абсцисс, подставим у=0 , так как точки, лежащие на оси Ох имеют ординату, равную нулю, и решим получившееся квадратное уравнение х 2 -10х+9=0 . Подбираем корни по теореме Виета: х 1 =1, х 2 =9 . Искомые точки пересечения: (1; 0) и (9; 0) .

20. Разложим числитель первой дроби по формуле разности кубов двух выражений a 3 -b 3 =(a-b)(a 2 +ab+b 2). У нас а 6 -64=(а 2) 3 -4 3 =(а 2 -4)(а 4 +4а 2 +16). В знаменателе первой дроби такое же выражение, как во вторых скобках разложения. Сокращаем. Остается а 2 -4. Преобразуем вторую дробь. Числитель второй дроби разложим по формуле разности квадратов двух выражений а 2 -b 2 =(a-b)(a+b). У нас а 4 -16=(а 2) 2 -4 2 =(а 2 -4)(а 2 +4). Сократим вторую дробь на (а 2 +4), останется: а 2 -4. Имеем: а 2 -4+ а 2 -4=2а 2 -8.

21. Чтобы найти значение данного выражения, выразим а из предложенного равенства (из пропорции): 3(a+b)=2(a-2b). Раскрываем скобки: 3a+3b=2a-4b → a=-7b. Теперь подставим вместо а в данное выражение значение (-7b) и упростим.

22. Представим единицу в правой части неравенства в виде логарифма по основанию (2х+1) . При потенцировании будем учитывать, что от значения основания логарифма (2х+1) будет зависеть, возрастает функция (если 2х+1>1 ) или убывает (если 0<2x+1<1 ). Если функция возрастает, то знак неравенства сохраним, если функция убывает, то знак неравенства поменяем на противоположный. Кроме этого, учтем, что под знаком логарифма могут быть только положительные числа.

23. Упростим предложенное неравенство: sinx+cos2x>1. Есть формула: 1-cos2α=2sin 2 α. Перепишем данное неравенство в виде:

sinx-(1-cos2x)>0. Применим формулу и получим: sinx-2sin 2 x>0. Сделаем замену переменной. Пусть sinx=y . Тогда: y-2y 2 >0 → y(1-2y)>0. Решим полученное неравенство методом интервалов.

24. Дана функция f(x)=6x 2 -4x+1. Известно, что F(x) является первообразной для f(x) , причем, F(-1)=2 . Требуется найти F(1) . Для этого запишем F(x) для данной функции, найдем значение постоянной величины С , а затем искомое значение F(1) .

Находим значение С , используя равенство: F(-1)=2.

2=2∙(-1) 3 -2∙(-1) 2 -1+С;

2=-2-2-1+C → C=7. Тогда первообразная F(x)=2x 3 -2x 2 +x+7 . Подставим вместо х число 1 и получим: F(1)= 2-2+1+7=8.

25. Пусть в актовом зале х скамеек. Если на каждую скамейку посадить по 5 учеников, то четверо останутся без места, значит, всего 5х+4 учащихся. Если на каждую скамью посадить по 6 детей, то 2 места останутся свободными. Получается 6х-2 учащихся. Но учащихся определенное количество — имеем равенство: 5х+4=6х-2. Отсюда х=6. Следовательно, в зале 6 скамеек, а учеников 5·6+4=34 .

Тема урока : Пропорциональное деление

В школьном курсе математики предлагается очень мало задач на «пропорциональное деление». Однако их можно встретить в экзаменационных сборниках для 9 класса авт. Л.И.Звавич и др. Эти задачи предлагаются на вступительных экзаменах в ВУЗы на специальности, связанные с экономикой, химией, связанных с легкой промышленностью и народного хозяйства.
Предлагаемые задачи можно использовать на факультативах в общеобразовательных школах, включить их в программу гимназий и лицеев, связанных с углубленным изучением математики, начиная с 6 класса, для индивидуальной работы с сильными учениками.

Эти задачи может решить шестиклассник.

Необходимость разделить заданную величину или число в данном отношении часто возникает в практической жизни человека – при приготовлении различных смесей, растворов, блюд по кулинарным рецептам, при распределении прибыли или мест в парламенте и так далее.

Например, если два предпринимателя вложили в проект соответственно 3 млн. рублей и 4 млн.рублей и получили 14 млн. рублей прибыли, то справедливость требует, чтобы полученная прибыль делилась пропорционально числам 3 и 4. Само слово «пропорционально» происходит от латинского «гармонично», «соразмерно».
Как же узнать, сколько денег должен получить каждый предприниматель? Обозначим части, которые они должны получить, соответственно a и b. Тогда a: b = 3: 4.
Поменяем в пропорции местами средние члены и обозначим коэффициент пропорциональности k. Получим равенство:

Из которого следует, что а = 3k, b = 4k. Так как сумма двух частей составляет 14 млн. рублей, то значение k должно удовлетворять равенству
3k + 4k =14 <=> 7k = 14 <=> k = 2.
Значит, при справедливом делении первый предприниматель должен получить 2 3 = 6 млн.рублей, а второй - 2 4 = 8 млн.рублей.

Рассмотрим еще одну задачу.

Для приготовления строительного раствора на 2 части цемента берут 2 части песка и 0,8 частей воды. Сколько цемента, песка и воды потребуется для приготовления 180 кг раствора?

Решение:

1) Пусть для приготовления строительного раствора требуется а кг цемента, b кг песка и с кг воды. Обозначим коэффициент пропорциональности k , тогда

Следовательно, а = 2 k , b = 2 k , c = 0,8 k .
По условию задачи, сумма всех частей равна 180 кг, значит:
2 k + 2 k + 0,8 k = 180 <=>4,8 k = 180 <=> k = 37,5.
2) 37,5 2 = 75 (кг) – потребуется песка и цемента.
3) 37,5 0,8 = 30 (кг) – потребуется воды.
Ответ: потребуется 75 кг цемента, 75 кг песка и 30 кг воды.

Для краткого обозначения условия задач о прямо пропорциональном делении в математическом языке используют иногда «длинные отношения». Например, a: b: c = 2: 2: 0,8. При этом говорят: «Числа a, b и с относятся как 2 к 3 к 0,8».
Длинные отношения – это условные записи, которые показывают, сколько равных долей величины приходится на каждую часть. Их нельзя понимать как запись деления нескольких чисел. Действительно, подставив в последнее равенство вместо букв соответствующие им числа, получим верное высказывание 75: 75: 30 = 2: 2: 0,8;
Тогда как при непосредственном подсчете левой и правой части получаются разные числа: в левой части , а в правой части – 1,25.
Зато длинные отношения можно преобразовывать, как обычные дроби: умножать все его члены на одно и то же число, сокращать. Эти преобразования позволяют упрощать запись, а значит, и решение задач. Так, если бы в нашей задаче мы сначала умножили все члены отношения на 10, а затем разделили их на 4, то избавились бы от дробей: 2: 2: 0,8 = 20: 20: 8 = 5: 5: 2 и получили более простое уравнение.
Решая задачи на пропорциональное деление, мы вновь наблюдаем, как абстрактные математические понятия – в данном случае прямая и обратная пропорциональность – помогают отвечать на серьезные практические вопросы.

Предлагаю еще несколько задач по этой теме.

Задача 1.

Трое рабочих получили 4080 рублей. Суммы, полученные первым и вторым рабочими, относятся, как . Сумма, полученная третьим рабочим составляет того. Что получил первый рабочий. Сколько денег получил каждый рабочий?

Решение:

Ответ: 2448 рублей получил первый рабочий; 571,2 рубля получил второй рабочий и 1060,8 рубля получил третий рабочий.

Задача 2.

Три цеха сшили 16800 пар обуви. Количество пар обуви сшитой первым и вторым цехами относятся как а третий цех сшил 75% того, что сшил первый цех. На сколько процентов выполнил план первый цех, если план каждого цеха был 4000 пар обуви?

Решение:

Ответ: на 180% выполнил план первый цех.

Задача 3.

В палатку привезли свеклу, морковь, капусту. Количество свеклы и моркови равно отношению , а вес капусты составляет 250% от веса моркови. Капусты было на 80 кг больше, чем свеклы. Сколько килограммов каждого овоща привезли в палатку?

Решение:

Ответ: в палатку привезли 120 кг свеклы; 80 кг моркови и 200 кг капусты.

Задача 4.

Магазин продал за 4 дня некоторое количество ткани. Количество ткани, проданной за первые три дня относились, как 0,9: 1,4: 1,3. В четвертый день продали 420 м ткани, что составило 28% всей ткани, проданной магазином за четыре дня. Сколько ткани продали за каждый день?

Решение:

1. n1 : n2 : n3 = 0,9: 1,4: 1,3 = 9: 14: 13
2. 28% составляет 420 м: 420: 0,28 = 1500 (м) – ткани продали за четыре дня.
3. 1500 – 420 = 1080 (м) – ткани продали за первые три дня.
4. 9 + 14 + 13 = 36 (ч.) – приходится на 1080 м ткани.
5. 1080: 36 = 30 (м) – ткани приходится на 1 часть.
6. 30 9 = 270 (м) – ткани продали за первый день.
7. 30 14 = 520 (м) – ткани продали за второй день.
8. 30 13 = 390 (м) – ткани продали за третий день.

Ответ: магазин продал 270 м ткани за первый день; 520 м ткани за второй день; 390 м ткани за третий день и 420 м за четвертый день.

Задача 5.

Три класса собирали металлолом. Количество металлолома, собранного первым и вторым классами относится, как 4,5: 3. Количество металлолома, собранного третьим классом составляет 40% того, что собрал первый класс. Сколько металлолома собрал каждый класс, если второй класс собрал на 0,8 тонны металлолома больше, чем третий класс?

Решение:

1. n1 : n2 = 4,5: 3 = 45: 30 = 3: 2.
2. 40% от 3: 3 0,4 = 1,2(ч.) – приходится на третий класс
3. n1 : n2 : n3 = 3: 2: 1,2 = 30: 20: 12 =15: 10: 6.
4. 10 – 6 = 4 (ч.) – приходится на 0,8 т металлолома.
5. 0,8: 4 15 = 3 (т) – собрал первый класс.
6. 0,8: 4 10 = 2 (т) – собрал второй класс.
7. 0,8: 4 6 = 1,2 (т) – собрал третий класс.

Ответ: первый класс собрал 3 т металлолома, второй класс собрал
2 т металлолома, третий класс собрал 1,2 т металлолома.

Задача 6.

Три бригады начали одновременно пахоту земли. Норма вспашки первой бригады ко второй относится как 0,5 к 0,4, а норма вспашки второй бригады к третьей относится как 2 к 1,8; но первая и третья бригады увеличили нормы вспашки на 10%, а вторая бригада – на 20%. Таким образом, к одному и тому же сроку,первая бригада вспахала на 15,4 га больше, чем третья бригада. Сколько га земли вспахала к этому времени каждая бригада?

Решение:

1. n1 : n2 = 0,5: 0,4 = 5: 4.
2. n2 : n3 = 2: 1,8 = 20 = 18 = 10: 9
3. выразим n 1 : n 2 : n 3 в одинаковых долях n 1 : n 2 : n 3 =25: 20: 18
4. 10% от 25: 25 0,1 = 2,5; 25 + 2,5 = 27,5 (ч) составляет норма первой бригады после увеличения.
5. 20% от 20: 20 0,2 = 4 ; 20 + 4 = 24 (ч) –составляет норма второй бригады после увеличения.
6. 10% от 18: 18 0,1 = 1,8; 18 + 1,8 = 19,8 (ч) составляет норма третьей бригады после увеличения.
7. n 1 : n 2 : n 3 =27,5: 24: 19,8 = 275: 240: 198
8. 275 – 198 – 77(ч) – приходится на 14, 4 га земли
9. 15,4: 77 = 0,2 (га) – приходится на одну часть.
10. 0,2 275 = 55 (га) – вспахала первая бригада.
11. 0,2 240 = 48(га) – вспахала вторая бригада.
12. 0,2 198 = 39,6 (га) – вспахала третья бригада.

Ответ: 55 га земли вспахала первая бригада, 48 га земли спахала вторая бригада, 39,6 га земли вспахала третья бригада.

Предлагаю несколько задач для самостоятельного решения.

Задача 1.

Колхоз засыпал в три склада картофель в отношении 1,3 к 2,5 к 1,2, причем во второй склад засыпали на 43,2 тонны картофеля больше, чем в первый склад. В течение месяца с первого склада вывезли 40% имевшегося там картофеля, со второго - 30%, а с третьего – 25% имевшегося там картофеля. Сколько картофеля вывезли с трех складов?
Ответ: вывезли всего 56,62 т картофеля.

Задача 2.

Магазин продавал муку в течение четырех дней. Количество муки, проданной за первые три дня, относится, как 1,8 к 2,8 к 2,6. В четвертый день продали 840 килограммов муки, что составляет 56% всей муки, проданной за четыре дня. Сколько муки продавали каждый день?

Задача 3.

Колхоз засыпал зерно в три склада. На первом складе было 40% всего зерна, засыпанного в три склада. Количество зерна, засыпанного во второй и третий склады, относится, как 16 к 21. Сколько зерна было на первом складе, если на третьем складе было на 450 ц больше, чем на втором.
Ответ: 2220 ц зерна было засыпано в первый склад.

Задача 4.

Три цеха изготовили 6500 деталей. Количество деталей, изготовленных первым и вторым цехами, относится, как 0,1875 к 0,25., количество деталей, изготовленных третьим цехом на 50% больше, чем количество деталей, изготовленных вторым цехом.. Сколько деталей изготовил каждый цех.

Задача 5.

Отряд отправился в поход из пункта А в пункт В. Первую часть пути школьники проехали на велосипедах, вторую часть пути прошли пешком, а оставшиеся 30 километров проплыли на лодке. Зная, что длины этих частей пути относятся, как 1,625 к 1,3 к 3, 25, определите длину всего маршрута.
Ответ: длина всего маршрута 57 километров.

Задача 6.

Из четырех чисел первые три относятся между собой, как , а четвертое составляет 40% от первого числа. Найти сумму всех четырех чисел, если первое больше суммы остальных на 40.

Продолжим решение задач.

Задача 7.

Найти сумму трех чисел, зная, что первое число равно 100, а первое число относится ко второму, как ; а второе к третьему, как 12 к 7.

Решение:

Ответ: сумма трех чисел равна 385.

Задача 8.
Найти сумму трех чисел, зная, что первое число относится к третьему, как ; второе число относится к третьему как 5 к 2, а сумма первых двух чисел равна 500.

Решение:

Ответ: сумма трех чисел равна 650.

Задача 9.

Найти каждое из трех чисел, если первое число относится ко второму как 0,6: 0,75, а второе к третьему, как 1: 0,9. Сумма первого и третьего чисел на 105 больше второго числа.

Решение:

1. n 1 : n 3 = 0,6: 0,75 = 60: 75 = 4: 5
2. n 2 : n 3 = 1: 0,9 = 10: 9.
3. выразим n 1 : n 2 : n 3 в одинаковых долях n 1 : n 2 : n 3 = 8: 10: 9.
4. (8 + 9) – 10 = 7 (ч.) – приходится на 105.
5. 105: 7 8 = 120 – первое число.
6. 105: 7 10 – 150 – второе число.
7. 105: 7 9 = 135 – третье число.

Ответ: 120; 150; 135.

Задача 10.

Из данных четырех чисел первые три относятся, как , а четвертое составляет 15% второго числа. Найти эти числа, если известно, что второе число больше суммы остальных на 8.

Решение:

Ответ: 48; 80; 12; 12.

Задача 11.

Задача 12.

Три колхоза построили хлебозавод. Суммы, внесенные колхозами в строительство, относятся, как . Сколько денег внес каждый колхоз, если стройматериалы стоят 1620 миллионов рублей, расход на рабочую силу составляет от стоимости материала, на оборудование израсходовали стоимости материала и рабочей силы вместе?

Решение:

Ответ: на материалы – 2700 млн.рублей; на рабочую силу – 3600 млн.рублей; на оборудование – 4500 млн. рублей.