Мое представление о производной и первообразной. Производная и первообразная показательной функции

График показательной функции представляет собой кривую плавную линию без изломов, к которой в каждой точке, через которую она проходит, можно провести касательную. Логично предположить, что если можно провести касательную, значит функция будет дифференцируема в каждой точке своей области определения.

Отобразим в одних координатных осях несколько графиков функции y = x a , Для а = 2; a = 2,3; a = 3; a = 3,4.

В точке с координатами (0;1). Углы наклона этих касательных будут равны приблизительно 35, 40, 48 и 51 градусов соответственно. Логично предположить, что на интервале от 2 до 3 существует число, при котором угол наклона касательной будет равен 45 градусов.

Дадим точную формулировку этого утверждения: существует такое число большее 2 и меньшее 3, обозначаемое буквой е, что показательная функция y = e x в точке 0, имеет производную равную 1. То есть: (e ∆x -1) / ∆x стремится к 1 при стремлении ∆х к нулю.

Данное число e является иррациональным и записывается в виде бесконечной непериодической десятичной дробью:

e = 2,7182818284…

Так как число е положительно и отлично от нуля, то существует логарифм по основанию e. Данный логарифм называется натуральным логарифмом . Обозначается ln(x) = log e (x).

Производная показательной функции

Теорема: Функция e x дифференцируема в каждой точке своей области определения, и (e x)’ = e x .

Показательная функция a x дифференцируема в каждой точке своей области определения, и причем (a x)’ = (a x)*ln(a).
Следствием из этой теоремы является тот факт, что показательная функция непрерывна в любой точке своей области определения.

Пример: найти производную функции y = 2 x .

По формуле производной показательной функции получаем:

(2 x)’ = (2 x)*ln(2).

Ответ: (2 x)*ln(2).

Первообразная показательной функции

Для показательной функции a x заданной на множестве вещественных чисел первообразной будет являться функция (a x)/(ln(a)).
ln(a) - некоторая постоянная, тогда (a x / ln(a))’= (1 / ln(a)) * (a x) * ln(a) = a x для любого х. Мы доказали эту теорему.

Рассмотрим пример на нахождение первообразной показательной функции.

Пример: найти первообразную к функции f(x) = 5 x . Воспользуемся формулой приведенной выше и правилами нахождения первообразных. Получим: F(x) = (5 x) / (ln(5)) +C.

Сегодня мы будем говорить об исследовании функций. Важно отметить, что математика устроена так же, как и обычный дом: сначала закладывается фундамент, а потом уже слой за слоем выкладываются кирпичи. Роль фундамента в математике играет функция (соответствие между двумя множествами). После введения понятия функции ее начинают исследовать как объект аналогично тому, как это было сделано с числами.

На самом деле, в жизни мы тоже часто пользуемся не только объектами, но и соответствиями между ними, отношениями между объектами. В качестве примера можно привести книги о любви (любовь – это отношение между людьми).

После исследования функции в математике начинают исследовать множества функций, затем пространства функций и так далее. Но мы сегодня поговорим о первичном анализе функции.

Что такое функция? Функция – это соответствие между множествами. На данном уроке мы будем говорить о числовых функциях, то есть о соответствиях между числовыми множествами. Также мы поговорим о локальном свойстве функции (поведение функции в данной конкретной точке) и глобальном (свойство, связанное со всей областью определения функции). Производная – это описание локальных свойств функций, а интеграл – описание глобальных.

Например, есть две разные функции, но в точке их графики совпадают (см. рис. 1). Но в чем же разница между поведением функций в окрестности этой точки? Об этом и пойдет речь.

Рис. 1. Пересечение графиков двух разных функций

По графику функции можно легко определить ее свойства: монотонность (функция возрастающая или убывающая), четность (нечетность) и периодичность (см. рис. 2).

Рис. 2. Характеристики функций

Все эти характеристики являются математическими. А вот производную часто используют в жизни. Чаще всего, когда мы описываем какой-то процесс с помощью графика, нас интересует динамика этого процесса, то есть не значение функции в конкретной точке, а как функция будет себя вести в дальнейшем (она будет расти или убывать?). Например, когда мы хотим проанализировать рост цен или сравнить цены за разные периоды времени (абсолютные значения могли измениться, а динамика осталась той же) (см. рис. 3).

Рис. 3. Динамика цен на золото

Производная помогает выяснить, как функция будет себя вести в окрестности данной точки.

Стоит уточнить, что в школе чаще всего производную функции ищут на всей области определения. Это связано с тем, что исследуемые функции являются «хорошими», то есть их поведение предсказуемо на всей оси. Но вообще производная - локальная характеристика функции.

Например, при просмотре фотографий с разной выдержкой может быть несколько вариантов:

1. машины стоят и люди находятся каждый на своем месте (см. рис. 4);
2. смазанная картинка, видно кто куда направляется (см. рис. 5).

Рис. 4. Фотография с выдержкой с

Рис. 5. Фотография с выдержкой с

Второй вариант - это наглядная иллюстрация производной (размытие картинки).

В точке функция принимает конкретное значение, и по нему практически нельзя сделать какие-то выводы о ее поведении. А если рассмотреть окрестность этой точки, то уже можно сказать, с какой стороны она меньше (с какой больше) и сделать вывод, возрастает она или убывает. То есть когда выдержка маленькая, мы видим значение функции в точке, а когда рассматриваем задержку кадра - мы уже можем проанализировать поведение функции (см. рис. 6).

Рис. 6. Аналогия между производной и фотографией

В повседневной жизни мы часто анализируем ситуацию подобно анализу функций в математике. Например, говоря, что на улице теплеет (холодает), мы не указываем конкретную температуру в данный момент, а имеем в виду, что в скором времени температура повысится (понизится). Это аналогично вычислению производной (см. рис. 7).

Рис. 7. Анализ изменения температуры

Введем точное определение производной.

Производной функции в точке называется предел при отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента (при условии что этот предел существует):

Поскольку мы хотим ввести такое понятие, как скорость изменения функции (основное слово - скорость ), то можно провести параллель с физикой. Мгновенная скорость - векторная физическая величина, равная отношению перемещения к интервалу времени, за который это перемещение произошло, если интервал времени стремится к нулю:

Мгновенная скорость, м/с; - перемещение тела, м (при ); - стремящийся к нулю интервал времени, с.

Но важно уточнить, что, когда мы говорили про температуру, мы указывали только качественную характеристику процесса, но не говорили про скорость изменения температуры. Производная учитывает скорость изменения функции. Функции могут расти по-разному. Например, парабола () возрастает быстрее, чем логарифм () (см. рис. 8).

Рис. 8. Скорость возрастания графиков функций и

Именно для сравнения скорости возрастания (убывания) функции мы и вводим конкретную характеристику функции - производную. Проводя аналогию между производной и скоростью движения какого-либо предмета (скорость - это отношение пройденного пути ко времени, или же изменение координаты за единицу времени), можно сказать, что в пределе производная - это отношение изменения функции (то есть пути, который прошла точка, если бы она двигалась по графику функции) к приращению аргумента (время, за которое было выполнено перемещение) (см. рис. 9). В этом и заключается механический (физический) смысл производной.

Рис. 9. Аналогия между скоростью и производной

Производная - это локальное свойство функции. Важно различать вычисление производной на всей области определения и на конкретном участке, потому что функция на одном промежутке могла быть квадратичной, на другом - линейной и так далее. Но это все одна функция, и в разных точках такая функция будет иметь разные значения производной.

Для большинства функций, заданных аналитически (конкретной формулой), у нас есть таблица производных (см. рис. 10). Это аналог таблицы умножения, то есть имеются основные функции, для которых производные уже посчитаны (можно доказать, что они имеют именно такой вид), а дальше есть некоторые правила (см. рис. 11) (аналоги умножения или деления в столбик), с помощью которых можно вычислять производные сложных функций, производные произведения и так далее. Таким образом, практически для всех функций, выраженных через известные нам функции, мы можем описать поведение функции на всей области определения.

Рис. 10. Таблица производных

Рис. 11. Правила дифференцирования

Но все-таки определение производной, которое мы дали ранее, точечное. Для обобщения производной в точке на всю область определения функции нужно доказать, что в каждой точке значение производной будет совпадать со значениями одной и той же функции.

Если представить такую функцию, которая не записывается аналитически, то в окрестности каждой точки мы можем представить ее в виде линейной функции. Производную линейной функции в окрестности некоторой точки легко посчитать. Если мы представляем функцию линейно, то она совпадает со своей касательной (см. рис. 12).

Рис. 12. Представление функции в каждой точке в виде линейной функции

Из прямоугольного треугольника мы знаем, что тангенс равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Следовательно, геометрический смысл производной заключается в том, что производная - это тангенс угла наклона касательной в этой точке (см. рис. 13).

Рис. 13. Геометрический смысл производной

Говоря про производную как про скорость, можно сказать, что если функция убывает, то ее производная отрицательна, и наоборот, если функция возрастает, то ее производная положительна. С другой стороны, мы определили производную как тангенс угла наклона касательной. Это тоже легко пояснить. Если функция возрастает, то касательная образует острый угол, а тангенс острого угла положителен. Следовательно, производная положительна. Как видим, физический и геометрический смысл производной совпали.

Ускорение – это скорость изменения скорости (то есть производная от скорости). С другой стороны, скорость – это производная от перемещения. Получается, что ускорение – это вторая производная (производная от производной) от перемещения (см. рис. 14).

Рис. 14. Применение производной в физике

Производная – это средство изучения свойств функции.

Производная применяется для решения задач на оптимизацию. Этому есть объяснение. Так как производная показывает рост функции, то с ее помощью можно найти локальные максимумы и минимумы функции. Зная, что на одном участке функция возрастала, а затем она начала убывать, мы предполагаем, что в некоторой точке существует локальный максимум. Аналогично, если функция убывала, а затем начала возрастать, в некоторой точке существует локальный минимум (см. рис. 15).

Рис. 15. Локальные минимумы и максимумы функции

На практике это может применяться для нахождения, например, максимальной прибыли при заданных условиях. Для этого нужно найти точку, в которой будет локальный максимум. Если же нам нужно определить минимальные затраты, то, соответственно, нужно определить точку, в которой находится локальный минимум (см. рис. 16).

Рис. 16. Нахождение максимальной прибыли и минимальных затрат

В школе решается много задач на оптимизацию. Рассмотрим одну из них.

Каким должен быть прямоугольный забор фиксированной длины, чтобы он ограждал максимальную площадь (см. рис. 17)?

Рис. 17. Задача на оптимизацию

Оказывается, что забор должен быть квадратным.

Таких задач, когда один параметр зафиксирован, а второй нужно оптимизировать, достаточно много. Тот параметр, который зафиксирован, – это наши данные задачи (например, материал для забора). А есть параметр, который мы хотим получить минимальным или максимальным (например, максимальную площадь, минимальный размер). То есть образуется пара «ресурс – эффект». Есть некий ресурс, который изначально задан, и некоторый эффект, который мы хотим получить.

Перейдем теперь к глобальным свойствам функции. Рассмотрим самый простой случай интеграла. Возьмем ряд чисел: . Ряд – это тоже функция (натурального аргумента), у каждого числа есть свой порядковый номер и значение. .

Запишем формулу для нахождения суммы этого ряда:

Сумма до какого-то определенного значения будет значением интеграла.

Например, для :

То есть интеграл – это фактически сумма (в данном случае сумма значений функции).

У большинства учеников интеграл ассоциируется с площадью. Попробуем связать пример с суммой ряда и площадью. Перепишем этот ряд в виде линейной функции: .

Тогда суммой этого ряда будет сумма площадей частей под графиком (в данном случае трапеций) (см. рис. 18).

Рис. 18. Площадь под графиком функции

Сумма площадей равна площади суммы (если части, на которые разбита фигура, не пересекаются). Значит, интеграл – это площадь под графиком функции. Таким образом, найдя интеграл, мы можем найти площадь какой-то части плоскости. Например, можно найти площадь под графиком .

Если мы хотим строго ввести определение интеграла через площадь фигуры под функцией, то разбивать саму фигуру нужно на очень маленькие кусочки. Не всегда так удобно считать площадь, как в случае линейной функции. Возьмем, к примеру, функцию . Если линейно приблизить функцию (как мы предлагали делать в случае с производной), то мы так же, как и в предыдущем примере, получим разбиение всей площади на сумму площадей трапеций (см. рис. 19).

Тогда в пределе сумма это и есть интеграл, то есть площадь под графиком функции.

Рис. 19. Площадь под графиком функции

Но как же считать эту площадь (интеграл)? Для известных функций существует таблица интегралов (аналогично таблице производных). Но в общем случае мы функцию приближаем отрезками и считаем сумму площадей трапеций под этими отрезками. Уменьшая отрезки, в пределе получаем значение интеграла.

В отличие от производной, когда для «хорошей» функции всегда получается «хорошая» производная, в случае интеграла это не так. Например, для такой простой функции, как посчитать интеграл и представить его в виде аналитических функций мы не можем (см. рис. 20).

Вычисления интеграла - это непростая задача, и поэтому существование такой простой формулы Ньютона-Лейбница (см. рис. 20), которая позволяет быстро вычислять значение интеграла, если мы знаем его вид, существенно облегчает подсчеты. В противном случае каждый раз вычислять предельную площадь было бы сложно.

Рис. 20. Формула Ньютона-Лейбница для вычисления интегралов

Поэтому к основным методам вычисления относятся:

1. таблица интегралов для тех функций, которые мы можем посчитать (см. рис. 21);
2. свойства интеграла, которые позволяют вычислять разные комбинации табличных функций (см. рис. 22);
3. формула Ньютона-Лейбница (если мы посчитаем значение в крайней правой точке и вычтем значение в крайней левой точке, то получим площадь) (см. рис. 20).

Рис. 21. Таблица интегралов

Рис. 22. Свойства определенного интеграла

В школе формула Ньютона-Лейбница не выводится, хотя это не сложно сделать, если определить интеграл как площадь под графиком.

Подробнее о выводе формулы Ньютона-Лейбница:

Для того чтобы лучше понять разницу между локальными и глобальными свойствами функции, можно рассмотреть пример стрельбы по мишеням. Если взять несколько выстрелов вокруг (ни один не попал в центр) и вычислить среднее, то получится практически (см. рис. 23). Хотя на самом деле стрелок мог попадать все время выше или ниже мишени, а среднее все равно получится близко к .

Рис. 23. Стрельба по мишеням

Можно привести пример из физики – центр тяжести. Одинаковая масса с одинаковым центром тяжести может быть распределена совершенно по-разному (см. рис. 24).

Рис. 24. Варианты распределения массы с одинаковым центром тяжести

В качестве еще одного примера можно привести среднюю температуру по больнице. Если у кого-то температура , а у кого-то , то в среднем получается и кажется, что не так сильно болеют пациенты.

Если говорить про связь производной (локальная характеристика) и интеграла (глобальная характеристика), то интуитивно понятно, что это взаимообратные понятия. На самом деле так и есть. Если взять производную от интеграла или интеграл от производной, то получим исходную функцию. Чтобы объяснить это, рассмотрим движение тела. Мы уже знаем, что скорость – это производная от перемещения. Попробуем выполнить обратную операцию. Для этого выразим перемещение через скорость и время:

И если посмотрим на график (скорость меняется линейно), то увидим, что путь – это произведение скорости на время. С другой стороны, это площадь под графиком (см. рис. 25).

Рис. 25. Связь между производной и интегралом

Если вычислить интеграл от скорости, то получится значение для пути. А скорость – это производная от пути.

Следовательно, производная и интеграл – взаимообратные функции. Этому есть строгое доказательство.

Рис. 26. Связь производной и интеграла

Но для того чтобы анализировать, понимать, о чем идет речь, и работать с операциями дифференцирования (вычисления производной) и интегрирования (вычисления интеграла), сказанного на данном уроке и материалов из основных уроков будет достаточно.

Когда нам нужно найти дом по адресу ул. Невская, , а мы вышли напротив дома , то мы идем влево или вправо от этого дома, чтобы понять, как идет нумерация.

Этот урок — первый из серии видео, посвященных интегрированию. В нём мы разберём, что такое первообразная функции, а также изучим элементарные приёмы вычисления этих самых первообразных.

На самом деле здесь нет ничего сложного: по существу всё сводится к понятию производной, с которым вы уже должны знакомы.:)

Сразу отмечу, что, поскольку это самый первый урок в нашей новой теме, сегодня не будет никаких сложных вычислений и формул, но то, что мы изучим сегодня, ляжет в основу гораздо более сложных выкладок и конструкций при вычислении сложных интегралов и площадей.

Кроме того, приступая к изучению интегрирования и интегралов в частности, мы неявно предполагаем, что ученик уже, как минимум, знаком к понятиям производной и имеет хотя бы элементарные навыки их вычисления. Без четкого понимания этого, делать в интегрировании совершенно нечего.

Однако здесь же кроется одна из самых частых и коварных проблем. Дело в том, что, начиная вычислять свои первые первообразные, многие ученики путают их с производными. В результате на экзаменах и самостоятельных работах допускаются глупые и обидные ошибки.

Поэтому сейчас я не буду давать четкого определения первообразной. А взамен предлагаю вам посмотреть, как она считается на простом конкретном примере.

Что такое первообразная и как она считается

Мы знаем такую формулу:

\[{{\left({{x}^{n}} \right)}^{\prime }}=n\cdot {{x}^{n-1}}\]

Считается эта производная элементарно:

\[{f}"\left(x \right)={{\left({{x}^{3}} \right)}^{\prime }}=3{{x}^{2}}\]

Посмотрим внимательно на полученное выражение и выразим ${{x}^{2}}$:

\[{{x}^{2}}=\frac{{{\left({{x}^{3}} \right)}^{\prime }}}{3}\]

Но мы можем записать и так, согласно определению производной:

\[{{x}^{2}}={{\left(\frac{{{x}^{3}}}{3} \right)}^{\prime }}\]

А теперь внимание: то, что мы только что записали и есть определением первообразной. Но, чтобы записать ее правильно, нужно написать следующее:

Аналогично запишем и такое выражение:

Если мы обобщим это правило, то сможем вывести такую формулу:

\[{{x}^{n}}\to \frac{{{x}^{n+1}}}{n+1}\]

Теперь мы можем сформулировать четкое определение.

Первообразной функции называется такая функция, производная которой равна исходной функции.

Вопросы о первообразной функции

Казалось бы, довольно простое и понятное определение. Однако, услышав его, у внимательного ученика сразу возникнет несколько вопросов:

1. Допустим, хорошо, эта формула верна. Однако в этом случае при $n=1$ у нас возникают проблемы: в знаменателе появляется «ноль», а на «ноль» делить нельзя.
2. Формула ограничивается только степенями. Как считать первообразную, например, синуса, косинуса и любой другой тригонометрии, а также констант.
3. Экзистенциальный вопрос: а всегда ли вообще можно найти первообразную? Если да, то как быть с первообразной суммы, разности, произведения и т.д.?

На последний вопрос я отвечу сразу. К сожалению, первообразная, в отличие от производной, считается не всегда. Нет такой универсальной формулы, по которой из любой исходной конструкции мы получим функцию, которая будет равна этой сходной конструкции. А что касается степеней и констант — сейчас мы об этом поговорим.

Решение задач со степенными функциями

\[{{x}^{-1}}\to \frac{{{x}^{-1+1}}}{-1+1}=\frac{1}{0}\]

Как видим, данная формула для ${{x}^{-1}}$ не работает. Возникает вопрос: а что тогда работает? Неужели мы не можем посчитать ${{x}^{-1}}$? Конечно, можем. Только давайте для начала вспомним такое:

\[{{x}^{-1}}=\frac{1}{x}\]

Теперь подумаем: производная какой функции равна $\frac{1}{x}$. Очевидно, что любой ученик, который хоть немного занимался этой темой, вспомнит, что этому выражению равна производная натурального логарифма:

\[{{\left(\ln x \right)}^{\prime }}=\frac{1}{x}\]

Поэтому мы с уверенностью можем записать следующее:

\[\frac{1}{x}={{x}^{-1}}\to \ln x\]

Эту формулу нужно знать, точно так же, как и производную степенной функции.

Итак, что нам известно на данный момент:

• Для степенной функции — ${{x}^{n}}\to \frac{{{x}^{n+1}}}{n+1}$
• Для константы — $=const\to \cdot x$
• Частный случай степенной функции — $\frac{1}{x}\to \ln x$

А если простейшие функции мы начнем умножать и делить, как тогда посчитать первообразную произведения или частного. К сожалению, аналогии с производной произведения или частного здесь не работают. Какой-либо стандартной формулы не существует. Для некоторых случаев существуют хитрые специальные формулы — с ними мы познакомимся на будущих видеоуроках.

Однако запомните: общей формулы, аналогичной формуле для вычисления производной частного и произведения, не существует.

Решение реальных задач

Задача № 1

Давайте каждую из степенных функций посчитаем отдельно:

\[{{x}^{2}}\to \frac{{{x}^{3}}}{3}\]

Возвращаясь к нашему выражению, мы запишем общую конструкцию:

Задача № 2

Как я уже говорил, первообразные произведений и частного «напролом» не считаются. Однако здесь можно поступить следующим образом:

Мы разбили дробь на сумму двух дробей.

Посчитаем:

Хорошая новость состоит в том, что зная формулы вычисления первообразных, вы уже способны считать более сложные конструкции. Однако давайте пойдем дальше и расширим наши знания еще чуть-чуть. Дело в том, что многие конструкции и выражения, которые, на первый взгляд, не имеют никакого отношения к ${{x}^{n}}$, могут быть представлены в виде степени с рациональным показателем, а именно:

\[\sqrt{x}={{x}^{\frac{1}{2}}}\]

\[\sqrt[n]{x}={{x}^{\frac{1}{n}}}\]

\[\frac{1}{{{x}^{n}}}={{x}^{-n}}\]

Все эти приемы можно и нужно комбинировать. Степенные выражения можно

• умножать (степени складываются);
• делить (степени вычитаются);
• умножать на константу;
• и т.д.

Решение выражений со степенью с рациональным показателем

Пример № 1

Посчитаем каждый корень отдельно:

\[\sqrt{x}={{x}^{\frac{1}{2}}}\to \frac{{{x}^{\frac{1}{2}+1}}}{\frac{1}{2}+1}=\frac{{{x}^{\frac{3}{2}}}}{\frac{3}{2}}=\frac{2\cdot {{x}^{\frac{3}{2}}}}{3}\]

\[\sqrt{x}={{x}^{\frac{1}{4}}}\to \frac{{{x}^{\frac{1}{4}}}}{\frac{1}{4}+1}=\frac{{{x}^{\frac{5}{4}}}}{\frac{5}{4}}=\frac{4\cdot {{x}^{\frac{5}{4}}}}{5}\]

Итого всю нашу конструкцию можно записать следующим образом:

Пример № 2

\[\frac{1}{\sqrt{x}}={{\left(\sqrt{x} \right)}^{-1}}={{\left({{x}^{\frac{1}{2}}} \right)}^{-1}}={{x}^{-\frac{1}{2}}}\]

Следовательно, мы получим:

\[\frac{1}{{{x}^{3}}}={{x}^{-3}}\to \frac{{{x}^{-3+1}}}{-3+1}=\frac{{{x}^{-2}}}{-2}=-\frac{1}{2{{x}^{2}}}\]

Итого, собирая все в одно выражение, можно записать:

Пример № 3

Для начала заметим, что $\sqrt{x}$ мы уже считали:

\[\sqrt{x}\to \frac{4{{x}^{\frac{5}{4}}}}{5}\]

\[{{x}^{\frac{3}{2}}}\to \frac{{{x}^{\frac{3}{2}+1}}}{\frac{3}{2}+1}=\frac{2\cdot {{x}^{\frac{5}{2}}}}{5}\]

Перепишем:

Надеюсь, я никого не удивлю, если скажу, что то, что мы только что изучали — это лишь самые простые вычисления первообразных, самые элементарные конструкции. Давайте сейчас рассмотрим чуть более сложные примеры, в которых помимо табличных первообразных еще потребуется вспомнить школьную программу, а именно, формулы сокращенного умножения.

Решение более сложных примеров

Задача № 1

Вспомним формулу квадрата разности:

\[{{\left(a-b \right)}^{2}}={{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}}\]

Давайте перепишем нашу функцию:

Первообразную такой функции нам сейчас предстоит найти:

\[{{x}^{\frac{2}{3}}}\to \frac{3\cdot {{x}^{\frac{5}{3}}}}{5}\]

\[{{x}^{\frac{1}{3}}}\to \frac{3\cdot {{x}^{\frac{4}{3}}}}{4}\]

Собираем все в общую конструкцию:

Задача № 2

В этом случае нам нужно раскрыть куб разности. Вспомним:

\[{{\left(a-b \right)}^{3}}={{a}^{3}}-3{{a}^{2}}\cdot b+3a\cdot {{b}^{2}}-{{b}^{3}}\]

С учетом этого факта можно записать так:

Давайте немного преобразуем нашу функцию:

Считаем как всегда — по каждому слагаемому отдельно:

\[{{x}^{-3}}\to \frac{{{x}^{-2}}}{-2}\]

\[{{x}^{-2}}\to \frac{{{x}^{-1}}}{-1}\]

\[{{x}^{-1}}\to \ln x\]

Запишем полученную конструкцию:

Задача № 3

Сверху у нас стоит квадрат суммы, давайте его раскроем:

\[\frac{{{\left(x+\sqrt{x} \right)}^{2}}}{x}=\frac{{{x}^{2}}+2x\cdot \sqrt{x}+{{\left(\sqrt{x} \right)}^{2}}}{x}=\]

\[=\frac{{{x}^{2}}}{x}+\frac{2x\sqrt{x}}{x}+\frac{x}{x}=x+2{{x}^{\frac{1}{2}}}+1\]

\[{{x}^{\frac{1}{2}}}\to \frac{2\cdot {{x}^{\frac{3}{2}}}}{3}\]

Давайте напишем итоговое решение:

А теперь внимание! Очень важная вещь, с которой связана львиная доля ошибок и недопониманий. Дело в том, что до сих пор считая первообразные с помощью производных, приводя преобразования, мы не задумывались о том, чему равна производная константы. А ведь производная константы равна «нулю». А это означает, что можно записать такие варианты:

1. ${{x}^{2}}\to \frac{{{x}^{3}}}{3}$
2. ${{x}^{2}}\to \frac{{{x}^{3}}}{3}+1$
3. ${{x}^{2}}\to \frac{{{x}^{3}}}{3}+C$

Вот это очень важно понимать: если производная функции всегда одна и та же, то первообразных у одной и той же функции бесконечно много. Просто к нашим первообразным мы можем дописывать любые числа-константы и получать новые.

Неслучайно, в пояснении к тем задачам, которые мы только что решали, было написано «Запишите общий вид первообразных». Т.е. уже заранее предполагается, что их не одна, а целое множество. Но, на самом деле, они отличаются лишь константой $C$ в конце. Потому в наших задачах мы исправим то, что мы не дописали.

Еще раз переписываем наши конструкции:

В таких случаях следует дописывать, что $C$ — константа — $C=const$.

Во второй нашей функции мы получим следующую конструкцию:

И последняя:

И вот теперь мы действительно получили то, что от нас требовалось в исходном условии задачи.

Решение задач на нахождение первообразных с заданной точкой

Сейчас, когда мы знаем о константах и об особенностях записи первообразных, вполне логично возникает следующий тип задач, когда из множества всех первообразных требуется найти одну-единственную такую, которая проходила бы через заданную точку. В чем состоит эта задача?

Дело в том, что все первообразные данной функции отличаются лишь тем, что они сдвинуты по вертикали на какое-то число. А это значит, что какую бы точку на координатной плоскости мы не взяли, обязательно пройдет одна первообразная, и, причем, только одна.

Итак, задачи, которые сейчас мы будем решать, сформулированы следующем образом: не просто найти первообразную, зная формулу исходной функции, а выбрать именно такую из них, которая проходит через заданную точку, координаты которой будут даны в условии задачи.

Пример № 1

Для начала просто посчитаем каждое слагаемое:

\[{{x}^{4}}\to \frac{{{x}^{5}}}{5}\]

\[{{x}^{3}}\to \frac{{{x}^{4}}}{4}\]

Теперь подставляем эти выражения в нашу конструкцию:

Эта функция должна проходить через точку $M\left(-1;4 \right)$. Что значит, что она проходит через точку? Это значит, что если вместо $x$ поставить везде $-1$, а вместо $F\left(x \right)$ — $-4$, то мы должны получить верное числовое равенство. Давайте так и сделаем:

Мы видим, что у нас получилось уравнение относительно $C$, поэтому давайте попробуем его решить:

Давайте запишем то самое решение, которое мы искали:

Пример № 2

В первую очередь необходимо раскрыть квадрат разности по формуле сокращенного умножения:

\[{{x}^{2}}\to \frac{{{x}^{3}}}{3}\]

Исходная конструкция запишется следующим образом:

Теперь давайте найдем $C$: подставим координаты точки $M$:

\[-1=\frac{8}{3}-12+18+C\]

Выражаем $C$:

Осталось отобразить итоговое выражение:

Решение тригонометрических задач

В качестве финального аккорда к тому, что мы только что разобрали, предлагаю рассмотреть две более сложные задачи, в которых содержится тригонометрия. В них точно так же потребуется найти первообразные для всех функций, затем выбрать из этого множества одну-единственную, которая проходит через точку $M$ на координатной плоскости.

Забегая наперед, хотел бы отметить, что тот прием, который мы сейчас будем использовать для нахождения первообразных от тригонометрических функций, на самом деле, является универсальным приемом для самопроверки.

Задача № 1

Вспомним следующую формулу:

\[{{\left(\text{tg}x \right)}^{\prime }}=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}\]

Исходя из этого, мы можем записать:

Давайте подставим координаты точки $M$ в наше выражение:

\[-1=\text{tg}\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}}+C\]

Перепишем выражение с учетом этого факта:

Задача № 2

Тут будет чуть сложнее. Сейчас увидите, почему.

Вспомним такую формулу:

\[{{\left(\text{ctg}x \right)}^{\prime }}=-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}\]

Чтобы избавится от «минуса», необходимо сделать следующее:

\[{{\left(-\text{ctg}x \right)}^{\prime }}=\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}\]

Вот наша конструкция

Подставим координаты точки $M$:

Итого запишем окончательную конструкцию:

Вот и все, о чем я хотел сегодня вам рассказать. Мы изучили сам термин первообразных, как считать их от элементарных функций, а также как находить первообразную, проходящую через конкретную точку на координатной плоскости.

Надеюсь, этот урок хоть немного поможет вам разобраться в этой сложной теме. В любом случае, именно на первообразных строятся неопределенные и неопределенные интегралы, поэтому считать их совершенно необходимо. На этом у меня все. До новых встреч!

Прямая y=3x+2 является касательной к графику функции y=-12x^2+bx-10. Найдите b , учитывая, что абсцисса точки касания меньше нуля.

Показать решение

Решение

Пусть x_0 — абсцисса точки на графике функции y=-12x^2+bx-10, через которую проходит касательная к этому графику.

Значение производной в точке x_0 равно угловому коэффициенту касательной, то есть y"(x_0)=-24x_0+b=3. С другой стороны, точка касания принадлежит одновременно и графику функции и касательной, то есть -12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. Получаем систему уравнений \begin{cases} -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end{cases}

Решая эту систему, получим x_0^2=1, значит либо x_0=-1, либо x_0=1. Согласно условию абсцисса точки касания меньше нуля, поэтому x_0=-1, тогда b=3+24x_0=-21.

Ответ

Условие

На рисунке изображён график функции y=f(x) (являющийся ломаной линией, составленной из трёх прямолинейных отрезков). Пользуясь рисунком, вычислите F(9)-F(5), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).

Показать решение

Решение

По формуле Ньютона-Лейбница разность F(9)-F(5), где F(x) — одна из первообразных функции f(x), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x), прямыми y=0, x=9 и x=5. По графику определяем, что указанная криволинейная трапеция является трапецией с основаниями, равными 4 и 3 и высотой 3 .

Её площадь равна \frac{4+3}{2}\cdot 3=10,5.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Условие

На рисунке изображён график y=f"(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-4; 10). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Показать решение

Решение

Как известно, функция f(x) убывает на тех промежутках, в каждой точке которых производная f"(x) меньше нуля. Учитывая, что надо находить длину наибольшего из них естественно по рисунку выделяются три таких промежутка: (-4; -2); (0; 3); (5; 9).

Длина наибольшего из них — (5; 9) равна 4.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Условие

На рисунке изображён график y=f"(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-8; 7). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих промежутку [-6; -2].

Показать решение

Решение

Из графика видно, что производная f"(x) функции f(x) меняет знак с плюса на минус (именно в таких точках будет максимум) ровно в одной точке (между -5 и -4 ) из промежутка [-6; -2]. Поэтому на промежутке [-6; -2] ровно одна точка максимума.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Условие

На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (-2; 8). Определите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0 .

Показать решение

Решение

Равенство нулю производной в точке означает, что касательная к графику функции, проведённая в этой точке, параллельна оси Ox. Поэтому находим такие точки, в которых касательная к графику функции параллельна оси Ox. На данном графике такими точками являются точки экстремума (точки максимума или минимума). Как видим, точек экстремума 5 .

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Условие

Прямая y=-3x+4 параллельна касательной к графику функции y=-x^2+5x-7. Найдите абсциссу точки касания.

Показать решение

Решение

Угловой коэффициент прямой к графику функции y=-x^2+5x-7 в произвольной точке x_0 равен y"(x_0). Но y"=-2x+5, значит, y"(x_0)=-2x_0+5. Угловой коэффициент прямой y=-3x+4, указанной в условии, равен -3. Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты. Поэтому находим такое значение x_0, что =-2x_0 +5=-3.

Получаем: x_0 = 4.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Условие

На рисунке изображён график функции y=f(x) и отмечены точки -6, -1, 1, 4 на оси абсцисс. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.