Уравнение приводимые к квадратным примеры. Рациональные уравнения

Главная

Лето

Государственное бюджетное профессиональное общеобразовательное учреждение

«Невинномысский энергетический техникум»

Методическая разработка открытого занятия по дисциплине «Математика»

Тема занятия :

Уравнения, приводящиеся к квадратным

уравнениям.

Преподаватель математики:

Скрыльникова Валентина Евгеньевна

Невинномысск 2016 год.

Цели урока: Слайд №2

Обучающие: способствовать организации деятельности учащихся по восприятию,

осмыслению и первичному запоминанию новых знаний (метод введения новой переменной, определение биквадратного уравнения) и способов

действий (научить решать уравнения методом введения новой

переменной), помочь учащимся осознать социальную и личностную

значимость учебного материала;

Развивающие: способствовать повышению вычислительной способности учащихся;

развитию устной математической речи; создать условия для

формирования навыков самоконтроля и взаимоконтроля,

алгоритмической культуры учащихся;

Воспитательные: способствовать воспитанию доброжелательного отношения

друг к другу.

Тип урока: изучение нового материала,.

Методы: словесный, наглядный, практический, поисковый

Формы работы : индивидуальная, парная, коллективная

Оборудование: интерактивная доска, презентация

Ход урока.

I. Организационный момент.

Отметить отсутствующих, проверить готовность класса к уроку.

Преподаватель: Ребята, мы начинаем изучение новой темы. Тему урока пока не записываем, вы ее сформулируете сами чуть попозже. Скажу лишь, что речь пойдет об уравнениях.

Слайд № 3.

Посредством уравнений, теорем

Он уйму всяких разрешил проблем.

И засуху предсказал, и ливни –

Поистине его познанья дивны.

Госер.

Вы, ребята, уже решили не один десяток уравнений, Задачи с помощью уравнений можете решать. С помощью уравнений можно описать различные явления в природе, физические, химические явления, даже рост населения в стране описывается уравнением. Сегодня на уроке мы с вами познаем еще одну истину, истину, касающуюся метода решения уравнений.

II. Актуализация знаний.

Но для начала, давайте вспомним:

Вопросы: Слайд4

Какие уравнения называются квадратными? (Уравнение вида, где х – переменная, - некоторые числа, причем а≠0.)

Среди данных уравнений выберите те, которые являются квадратными?

1) 4х – 5 = х + 11

2) х 2 +2х = 3

3) 2х + 6х 2 = 0

4) 2х 3 – х 2 – 4 = 8

5) 4х 2 – 1х + 7 = 0 Ответ:(2,3,5)

Какие уравнения называются неполными квадратными уравнениями? (Уравнения, в которых хотя бы один из коэффициентов в или с равен 0.)

Среди данных уравнений выберите те, которые являются неполными квадратными уравнениями.(3)

Тест-прогноз

1) 3х-5х 2 +2=0

2) 2х 2 +4х-6=0

3) 8х 2 -16=0

4) х 2 -4х+10=0

5) 4х 2 +2х=0

6) –2х 2 +2=0

7) -7х 2 =0

8) 15-4х 2 +3х=0

1вариант

1) Выпишите номера полных квадратных уравнений.

2) Выпишите коэффициенты а, в, с в уравнении 8.

3) Выпишите номер неполного квадратного уравнения, имеющего один корень.

4) Выпишите коэффициенты а, в, с в уравнении 6.

5) Найдите Д в уравнении 4 и сделайте вывод о количестве корней.

2вариант

1)Выпишите номера неполных квадратных уравнений.

2)Выпишите коэффициенты а, в, с в уравнении 1.

3)Выпишите номер неполного квадратного уравнения, имеющего один корень 0.

4)Выпишите коэффициенты а, в, с в уравнении 3.

5)Найдите Д в уравнении 3и сделайте вывод о количестве корней.

Учащиеся меняются тетрадями, выполняют взаимопроверку и выставляют оценки.

1в.

1,2,4,8

а=-4, в=3,с=15

а=-2, в=0,с=2

24, Д<0, корней нет

2в.

3,5,6,7

а=-5, в=3,с=2

а=8, в=0,с=-16

Д>0, 2корня.

Игра «Угадай слово».

А теперь вы должны угадать слово, которое записано на доске. Для этого вам необходимо решить уравнения и найти для них правильные ответы. Каждому ответу соответствует буква, а каждой букве соответствует номер карточки и номер в таблице которому соответствует данная буква. На доске изображены таблица №1 полностью и таблица, №2 в которой, записаны только цифры, буквы по мере решения примеров вписывает преподаватель. Преподаватель раздает карточки с квадратными уравнениями каждому студенту. Каждая карточка пронумерована. Студент решает квадратное уравнение и получает ответ -21. В таблице находит свой ответ и узнает, какая буква соответствует его ответу. Это буква А. Затем говорит преподавателю, какая у него буква и называет номер карточки. Номер карточки соответствует месту буквы в таблице №2. Например ответ -21 буква А номер карточки 5. Преподаватель в таблице №2 под цифрой 5 записывает букву А и т.д. пока выражение не будет полностью записано.

х 2 -5х+6=0 (2;3) Б

х 2 -2х-15=0 (-3;5) И

х 2 +6х+8=0 (-4;-2) К

х 2 -3х-18=0 (-3;6) В

х 2- 42х+441=0 -21 А

х 2 +8х+7=0 (-7;-1) Д

х 2 -34х+289=0 17 Р

х 2 -42х+441=0 -21 А

х 2 +4х-5=0 (-5;1) Т

2х 2 +3х+1=0 (-1;-) Н

3х 2 -3х+4=0 Корней нет О

5х 2 -8х+3=0 (;1) Е

х 2 -8х+15=0 (3;5) У

х 2 -34х+289=0 17 Р

х 2 -42х+441=0 -21 А

х 2 -3х-18=0 (-3;6) В

2х 2 +3х+1=0 (-1;-) Н

5х 2 -8х+3=0 (;1) Е

2х 2 +3х+1=0 (-1;-) Н

х 2 -2х-15=0 (-3;5) И

5х 2 -8х+3=0 (;1) Е

Таблица 1.

(;1)

(-3;5)

(-4;-2)

(-1;-)

Корней нет

(-5;1)

(3;5)

Соответствующая ему буква

Таблица 2

Итак, мы с вами таким образом сформулировали тему сегодняшнего занятия.

«Биквадратное уравнение.»

III. Изучение нового материала

Вы уже знаете способы решения квадратных уравнений различных видов. Сегодня на уроке мы переходим к рассмотрению уравнений, приводящихся к решению квадратных уравнений. Одним из таких видов уравнений является биквадратное уравнение.

Опр. Уравнения вид ax 4 +bx 2 +c= 0 , где а 0, называется биквадратным уравнением .

БИКВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ – от би – два и латинского quadratus – квадратный, т.е. дважды квадратные.

Пример 1. Решим уравнение

Решение. Решение биквадратных уравнений приводится к решению квадратных уравнений подстановкой у = х 2 .

Для нахождения х возвращаемся к замене:

x 1 = 1; x 2 = -1 x 3 =; x 4 = - Ответ:-1; -1

Из рассмотренного примера видно, что для приведения уравнения четвертой степени к квадратному ввели другую переменную - у . Такой метод решения уравнений называют методом введения новых переменных.

Для решения уравнений, приводящихся к решению квадратных уравнений методом введения новой переменной, можно составить следующий алгоритм:

1) Ввести замену переменной: пусть х 2 = у

2) Составить квадратное уравнение с новой переменной: ау 2 + ву + с = 0

3) Решить новое квадратное уравнение

4) Вернуться к замене переменной

5) Решить получившиеся квадратные уравнения

6) Сделать вывод о числе решений биквадратного уравнения

7) Записать ответ

Решение не только биквадратных, но и некоторых других видов уравнений сводится к решению квадратных уравнений.

Пример 2. Решим уравнение

Решение. Введем новую переменную

корней нет.

Корней нет

Ответ: -

IV. Первичное закрепление

Мы с вами учились вводить новую переменную, вы устали, поэтому немного отдохнем.

Физминутка

1. Зажмурить глаза. Открыть глаза (5 раз).

2. Круговые движения глазами. Головой не вращать (10 раз).

3. Не поворачивая головы, отвести глаза как можно дальше влево. Не моргать. Посмотреть прямо. Несколько раз моргнуть. Закрыть глаза и отдохнуть. То же самое вправо (2-3 раза).

4. Смотреть на какой-либо предмет, находящийся перед собой, и поворачивать голову вправо и влево, не отрывая взгляда от этого предмета (2-3 раза).

5. Смотреть в окно вдаль в течение 1 минуты.

6. Поморгать 10-15 с.

Отдохнуть, закрыв глаза.

Итак, мы открыли новый метод решения уравнений, однако успешность решения уравнений этим методом зависит от правильности составления уравнения с новой переменной, давайте остановимся на этом этапе решения уравнений более подробно. Научимся вводить новую переменную и составлять новое уравнение, карточка № 1

Карточка у каждого ученика

КАРТОЧКА № 1

Запишите уравнение, полученное в результате введения новой переменной

х 4 -13х 2 +36=0

пусть у= ,

тогда

х 4 +3х 2 -28 = 0

пусть у=

тогда

(3х–5) 2 – 4(3х–5)=12

пусть у=

тогда

(6х+1) 2 +2(6х+1) –24=0

пусть у=

тогда

х 4 – 25х 2 + 144 = 0

пусть у=

тогда

16х 4 – 8х 2 + 1 = 0

пусть у=

тогда

Проверка знаний:

х 4 -13х 2 +36=0

пусть у= х 2 ,

тогда у 2 -13у+36=0

х 4 +3х 2 -28 = 0

пусть у=х 2 ,

тогда у 2 +3у-28=0

(3х–5) 2 – 4(3х–5)=12

пусть у=3х-5,

тогда у 2 -4у-12=0

(6х+1) 2 +2(6х+1) –24=0

пусть у= 6х+1,

тогда у 2 +2у-24=0

х 4 – 25х 2 + 144 = 0

пусть у= х 2 ,

тогда у 2 -25у+144=0

16х 4 – 8х 2 + 1 = 0

пусть у= х 2 ,

тогда 16у 2 -8у+1=0

Решение примеров у доски:

Самостоятельная работа:

Вариант 1 Вариант 2

1)х 4 -5х 2 -36=0 1) х 4 -6х 2 +8=0

2)(2х 2 +3) 2 -12(2х 2 +3)+11=0 2) (х 2 +3) 2 -11(х 2 +3)+28=0

Ответы:

Вариант 1 Вариант 2

1) -3;3 1) -;-2;2

2) -2;2 2) -1;1;-2;2.

V. Итоги урока

Чтобы подвести итог урока, сделать выводы, что удалось или не удалось прошу закончить предложения на листах.

- Было интересно, потому что..

- Я бы хотел(а) похвалить себя за то, что…

- Урок я бы оценил(а) на…

VI. Домашнее задание :

(2х 2 +х-1)(2х 2 +х-4)+2=0

(х 2 -4х) 2 +9(х 2 -4х)+20=0

(х 2 +х)(х 2 +х-5)=84

Есть несколько классов уравнений, которые решаются приведением их к квадратным уравнениям. Одним из таких уравнений являются биквадратные уравнения.

Биквадратные уравнения

Биквадратные уравнения - это уравнения вида a*x^4 + b*x^2 + c = 0, где a не равно 0.

Биквадратные уравнения решаются с помощью подстановки x^2 =t. После такой подстановки, получим квадратное уравнении относительно t. a*t^2+b*t+c=0. Решаем полученное уравнение, имеем в общем случае t1 и t2. Если на этом этапе получился отрицательный корень, его можно исключить из решения, так как мы брали t=x^2, а квадрат любого числа есть число положительное.

Возвращаясь к исходным переменным, имеем x^2 =t1, x^2=t2.

х1,2 = ±√(t1), x3,4=±√(t2).

Разберем небольшой пример:

9*x^4+5*x^2 - 4 = 0.

Введем замену t=x^2. Тогда исходное уравнение примет следующий вид:

9*t^2+5*t-4=0.

Решаем это квадратное уравнение любым из известных способов, находим:

t1=4/9, t2=-1.

Корень -1 не подходит, так как уравнение x^2 = -1 не имеет смысла.

Остается второй корень 4/9. Переходя к исходным переменным имеем следующее уравнение:

x^2 = 4/9.

x1=-2/3, x2=2/3.

Это и будет решением уравнения.

Ответ: x1=-2/3, x2=2/3.

Еще один из видов уравнений, приводимых к квадратным, являются дробные рациональные уравнения. Рациональные уравнения - это уравнения у которых левая и правые части являются рациональными выражениями. Если в рациональном уравнении левая или правая части будут являться дробными выражениями, то такое рациональное уравнение называется дробным.

Схема решения дробного рационального уравнения

Общая схема решения дробного рационального уравнения.

1. Найти общий знаменатель всех дробей, которые входят в уравнение.

2. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель.

3. Решить полученное целое уравнение.

4. Произвести проверку корней, и исключить те из них, которые обращают в нуль общий знаменатель.

Рассмотрим пример:

Решить дробное рациональное уравнение: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)).

Будем придерживаться общей схемы. Найдем сначала общий знаменатель всех дробей.

Получим x*(x-5).

Умножим каждую дробь на общий знаменатель и запишем полученное целое уравнение.

x*(x+3) + (x-5) = (x+5);

Упростим полученное уравнение. Получим,

x^2+3*x + x-5 - x - 5 =0;

x^2+3*x-10=0;

Получили простое приведенное квадратное уравнение. Решаем его любым из известных способов, получаем корни x=-2 и x=5. Теперь производим проверку полученных решений. Подставляем числа -2 и 5 в общий знаменатель.

При х=-2 общий знаменатель x*(x-5) не обращается в нуль, -2*(-2-5)=14. Значит число -2 буде являться корнем исходного дробного рационального уравнения.

При х=5 общий знаменатель x*(x-5) становится равным нулю. Следовательно, это число не является корнем исходного дробного рационального уравнения, так как там будет деление на нуль.

Ответ: х=-2.

Уравнения, приводимые к квадратным.

Биквадратные уравнения

Предварительная подготовка к уроку:

учащиеся должны уметь решать биквадратные уравнения и уравнения, приводимые к квадратным, методом введения новой переменной;

учащиеся заранее готовят сообщения о великих итальянских ученых-математиках.

Цели урока:

1) образовательная: рассмотрение способов решения уравнений, приводимых к квадратным уравнениям;

2) воспитательная: воспитание навыков групповой работы, сознательной деятельности учащихся;

3) развивающая: развитие мыслительной деятельности учащихся, навыков взаимодействия между учащимися, умения обобщать изучаемые факты.

Оборудование: сетка кроссворда на карточках, карточки, плакат – план путешествия, записи на доске, кодопозитив, копирка.

Тип урока: урок-путешествие по стране «Математика».

Ход урока

I . Организационный момент

План путешествия, в котором перечислены названия станций, отображаются на слайде.

Сегодня мы отправимся в путешествие по стране «Математика». Остановимся в городе Уравнение третьей и четвертой степеней, продолжим знакомство с биквадратными уравнениями, услышим сообщения об итальянских ученых-математиках.

II . Путешествие по стране «Математика»

1. Станция любителей кроссвордов.

Сетка с ответами заранее записана на кодопозитиве или на обратной стороне доски.

У каждого из вас есть карточки с сеткой кроссворда и вопросами. Под карточку положите чистый лист и копирку. Ответы записывайте только в именительном падеже. Разгадайте кроссворд, сдайте карточки, а по листу проведите самопроверку.

По горизонтали:

4.Чем является выражение b 4 – 4ac для квадратного уравнения с коэффициентами a , b , c ? (Дискриминант.)

6. Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство. (Корень.)

8. Уравнение вида ax 4 + bx 2 + c = 0, где а ≠ 0. (Биквадратное.)

9. Французский математик. (Виет.)

10. Уравнение, в котором левая и правая части являются целыми выражениями. (Целое.)

11. Уравнение с одной переменной, имеющие одинаковое множество корней. (Равносильные.)

По вертикали:

1. Множество корней уравнения. (Решение.)

2. Решение уравнения ах 2 = 0. (Ноль.)

3. Равенство, содержащее переменную. (Уравнение.)

5. Квадратное уравнение, в котором один из коэффициентов b или c равен 0. (Неполное.)

7. Квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен единице. (Приведенное.)

2. Станция «Историческая».

Проверка домашнего задания.

Мы с вами на станции «Историческая». Нам предстоит услышать сообщения учащихся о великих итальянских ученых-математиках. Слушайте внимательно. За интересное дополнение тоже можно получить «5».

Историческая справка

Ученик . В проблему решения уравнений 3-й и 4-й степеней большой вклад внесли итальянские математики XVI в. Н. Тарталья, А. Фиоре, Д. Кардано, Л. Феррари и другие. В 1535 г. между А. Фиоре и Н.Тартальей состоялся научный поединок, на котором последний одержал блестящую победу. Он за 2 ч решил 30 задач, предложенных А. Фиоре, а сам А. Фиоре не смог решить ни одной, заданной ему Н. Тартальей.

Учитель. Есть ли дополнения? Кто еще подготовил сообщения об итальянских ученых-математиках?

Заслушиваются сообщения, подготовленные учащимися. На каждое сообщение отводится по 2-3 минуты.

Учитель . Итак, Н. Тарталья за 2 ч решил 30 задач. Сколько уравнений сможете решить вы? Какие способы решения вы выберете?

3. Город Уравнений (устная часть)

Это не просто город Уравнений, а уравнений третьей и четвертой степеней. Вам предстоит ответить на все вопросы. Только ответив на них, вы сможете отправиться дальше.

Задание 1. Каким способом вы решали бы уравнения каждой из групп?

1) х 3 – х = 0, х 3 + 9х = 0, х 4 – 4х 2 = 0, у 4 – 16 = 0.

2) 9у 3 - 18у 2 – у + 2 = 0, х 3 – 5х 2 + 16х – 80 = 0, 6у 4 – 3у 3 + 12у 2 – 6у = 0.

3) (у 2 – у + 1)(у 2 – у – 7) = 65, (х 2 + 2х ) 2 – 2(х 2 + 2х ) – 3 = 0,

(х 2 + х – 1)(х 2 + х + 2) = 40.

Ответы:

Примеры группы 1) лучше решать способом разложения на множители с помощью вынесения общего множителя за скобки или с помощью формул сокращенного умножения.

Примеры группы 2) лучше решать способом группировки и разложения на множители.

Примеры группы 3) лучше решать введением новой переменной и переходом к квадратному уравнению.

Задание 2. Какой множитель, вы вынесли бы за скобки в примерах группы 1) задания 1?

Ответы: х (х 2 – 1) = 0,

х (х 2 + 9) = 0,

х 2 (х 2 – 4) = 0.

Задание 3. Как вы сгруппировали бы слагаемые в примерах группы 2) задания 1?

Ответы: (9у 3 – 18у 2) – (у – 2) = 0,

(х 3 – 5х 2) + (16х – 80) = 0,

(6у 4 – 3у 3) + (12у 2 – 6у ) = 0.

Задание 4. Что бы вы обозначили через новую переменную в примерах группы 3) задания 1?

Ответы: у 2 – у = t ,

x 2 + 2x = t ,

x 2 + x = t .

Задание 5. Как можно разложить на множители многочлен у 4 – 16 = 0?

Ответ: (у 2 – 4)(у 2 + 4) = (у – 2)(у + 2)(у 2 + 4) = 0.

4. Город Уравнений. Практическая часть.

Вы справились с устной работой в городе Уравнений, и мы отправляемся путешествовать дальше по этому интересному городу и продолжим знакомство с интересными уравнениями.

Задание 6.

Задания у доски одновременно выполняют 2 ученика.

а) Первый ученик решает у доски с объяснением.

9х 3 – 18х 2 – х + 2 = 0.

б) Второй учащийся решает уравнение молча, затем объясняет решение, класс слушает и задает вопросы, если что-то непонятно.

х 3 + х 2 – 4(х + 1) 2 = 0.

Задание 7. Решите уравнение (см. приложение.)

Задание выполняется самостоятельно по вариантам. Предварительно вместе с учителем рассматривают вероятные замены для введения новой переменной. Проверяется устно.

Вариант I .

(х 2 + 2х ) 2 – 2(х 2 + 2х ) – 3 = 0.

х 2 + 2х = t .

Вариант II .

(х 2 – х + 1)(х 2 – х – 7) = 0.

Замена для введения новой переменной х 2 - х = t .

Задание 8.

Дополнительное задание для тех, кто раньше справится с предыдущими уравнениями.

(2х 2 + х – 1)(2х 2 + х – 4) + 2 = 0.

Замена для введении новой переменной 2х 2 + х = t .

Задание 9. Решите уравнение.

Ход решения учащиеся комментируют с места.

х 4 (х + 1) – 6х 2 (х + 1) + 5(х + 1) = 0.

Решение. Вынесем общий множитель:

(х + 1)(х 4 – 6х 2 + 5) = 0, откуда х + 1 = 0 или х 4 – 6х 2 + 5 = 0, т.е. или х = -1, или

х 4 – 6х 2 + 5 = 0. Последнее уравнение биквадратное:

х 2 = t ,

t 2 - 6 t + 5 = 0.

По теореме, обратной теореме Виета t 1 + t 2 = 6, t 1 · t 2 = 5. Отсюда t 1 =1, t 2 = 5. Значит, х 2 = 1, или х 2 = 5, откуда х 1,2 = ± 1, х 3,4 = ±.

Ответ: - 1, 1, -, .

Задание 10. Решите уравнение.

Предварительно учитель обсуждает с классом способ решения. Затем учащийся решает часть примера у доски.

(х + 1)(х + 2)(х + 3)(х + 4) = 360.

Решение. Сначала сгруппируем множители:

((х + 1)(х + 4)) · ((х + 2)(х + 3)) = 360,

(х 2 + 5х + 4)(х 2 + 5х + 6) = 360,

Пусть х 2 + 5х = t , тогда (t + 4) · (t + 6) = 360.

t 2 + 10t + 24 – 360 = 0,

t + 10t – 336 = 0,

D = 100 + 4 · 336 = 1444 = 38 2 .

Откуда t 1 = = 14, t 2 = = - 24.

Значит, х 2 + 5х = 14 или х 2 + 5х = -24, т.е. х 2 + 5х – 14 = 0 или х 2 + 5х + 24 = 0.

Во втором случае D = 25 – 4 · 24 = -71

В первом случае имеется два корня х 1 = -7, х 2 = 2.

Ответ: - 7; 2.

Задание 11. Решите уравнение. (см. приложение.)

Тот, кто верно решит больше биквадратных уравнений за 10 мин, получит «5». Учащиеся работают самостоятельно с последующей взаимопроверкой.

а) х 4 – 5х 2 – 36 = 0,

б) у 4 – 6у 2 + 8 = 0,

в) 4х 4 – 5х 2 + 1 = 0,

г) х 4 – 25х 2 + 144 = 0,

д) 5у 4 – 5у 2 + 2 = 0,

е) t 4 – 2t 2 – 3 = 0.

Задание 12. При каких значениях а уравнение t 2 + at + 9 = 0, не имеет корней? (см. приложение.)

Данный пример на повторение.

5. Станция «Домашняя»

Вы прибыли на станцию «Домашняя». Получите домашнее задание.

Задание 13. Решите уравнение итальянских математиков:

(3х 2 + х – 4) 2 + 3х 2 + х = 4. (см. приложение.)

Задание 14. Найдите и решите 3-4 уравнения, предложенные А. Фиоре и Н. Тартальей.

III . Подведение итогов урока.

Наше путешествие завершено. Итак, подсчитайте, сколько каждый из вас решил уравнений.

За 2 урока весь класс решил … уравнений. Оценки за урок …

Приложение

Решения

Задание 6.

а) Решение.

9х 2 (х – 2) – (х – 2) = 0,

(х – 2)(9х 2 – 1) = 0,

х – 2 = 0, или 9х 2 – 1 = 0,

х = 2 или х 2 = , т.е. х 1,2 = ± .

Ответ : - ; ; 2.

б) Решение.

х 2 (х + 1) – 4(х + 1) 2 = 0,

(х + 1)(х 2 – 4х – 4) = 0,

х + 1 = 0 или х 2 – 4х – 4 = 0,

х = - 1, или х 1,2 = = 2 .

Ответ: - 1; 2 - 2; 2 + 2.

Задание 7.

Вариант I .

Решение. Замена х 2 + 2х = t , тогда:

t 2 – 2t – 3 = (t + 1)(t – 3) = 0.

х 2 + 2х = - 1 или х 2 + 2х = 3,

х 2 + 2х + 1 = 0 или х 2 + 2х – 3 = 0,

(х + 1) 2 = 0 или (х + 3)(х – 1) = 0.

Ответ: - 3; - 1, 1.

Вариант II .

Решение . Замена

Урок № 1

Тип урока: урок изучения нового материала.

Форма урока: беседа.

Цель: сформировать умения решать уравнения, приводимые к квадратным.

Задачи:

познакомить учащихся с одним из способов решения уравнений;
отработать навыки решения таких уравнений;
создать условия для формирования интереса к предмету и развития логического мышления;
обеспечить личностно-гуманные взаимоотношения между участниками учебного процесса.

План урока:

1. Организационный момент.

3. Изучение нового материала.
4. Закрепление нового материала.
5. Домашнее задание.
6. Итог урока.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент

Учитель: «Ребята, сегодня мы начинаем изучать важную и интересную тему «Уравнения, приводимые к квадратным». Понятие квадратного уравнения вам известно. Давайте вспомним, что мы знаем по данной теме».

Школьникам предлагается инструкция:

Вспомните определения, связанные с данной темой.
Вспомните методы решения известных уравнений.
Вспомните свои затруднения при выполнении заданий по темах, которые «близки» с данной.
Вспомните способы преодоления затруднений.
Продумайте возможные исследовательские задания и пути их выполнения.
Вспомните, где применялись ранее решаемые задачи.

Ученики вспоминают вид полного квадратного уравнения, неполного квадратного уравнения, условия решения полного квадратного уравнения, методы решений неполных квадратных уравнений, понятие целого уравнения, понятие степени.

Учитель предлагает решить следующие уравнения (работа в парах):

а) х 2 – 10х + 21 = 0
б) 3х 2 + 6х + 8 = 0
в) х (х – 1) + х 2 (х – 1) = 0

Один из учеников комментирует решение этих уравнений.

3. Изучение нового материала

Учитель предлагает рассмотреть и решить следующее уравнение (проблемная задача):

(х 2 – 5х + 4) (х 2 – 5х + 6) = 120

Ученики говорят о степени данного уравнения, предлагают перемножить данные множители. Но есть учащиеся, которые замечают одинаковые члены в данном уравнении. Какой же метод решения можно здесь применить?
Учитель предлагает ученикам обратиться к учебнику (Ю. Н. Макарычев «Алгебра-9» п. 11, стр. 63) и разобраться в решении этого уравнения. Класс разбивается на две группы. Те учащиеся, которые поняли метод решения, выполняют следующие задания:

а) (х 2 + 2х) (х 2 +2х + 2) = –1
б) (х 2 – 7) 2 – 4 (х 2 – 7) – 45 = 0,

остальные составляют алгоритм решения таких уравнений и разбирают решение следующего уравнения вместе с учителем.

(2х 2 + 3) 2 – 12(2х 2 + 3) + 11 = 0.

Алгоритм:

– введите новую переменную;
– составьте уравнение, содержащее эту переменную;
– решите уравнение;
– подставьте найденные корни в подстановку;
– решите уравнение с начальной переменной;
– проверьте найденные корни, запишите ответ.

4. Закрепление нового материала

Работа в парах: «сильный» – объясняет, «слабый» повторяет, решает.

Решите уравнение:

а) 9х 3 – 27х 2 = 0
б) х 4 – 13х 2 + 36 = 0

Учитель: «Давайте вспомним, где мы еще использовали решение квадратных уравнений?»

Ученики: «При решении неравенств; при нахождении области определения функции; при решении уравнений с параметром».
Учитель предлагает задания по выбору. Класс делится на 4 группы. Каждая группа объясняет решение своего задания.

а) Решить уравнение:
б) Найти область определения функции:
в) При каких значениях а уравнение не имеет корней:
г) Решить уравнение: х + – 20 = 0.

5. Домашнее задание

№ 221(а, б, в), № 222(а, б, в).

Учитель предлагает подготовить сообщения:

1. «Исторические сведения о создании данных уравнений» (по материалам сети Интернет).
2. Методы решения уравнений на страницах журнала «Квант».

Задания творческого характера выполняют по желанию в отдельных тетрадях:

а) х 6 + 2х 4 – 3х 2 = 0
б) (х 2 + х) / (х 2 + х – 2) – (х 2 + х – 5) / (х 2 + х – 4) = 1

6. Итог урока

Ребята рассказывают, что нового узнали на уроке, какие задания вызывали трудности, где применяли, как оценивают свою деятельность.

Урок № 2

Тип урока: урок закрепления умений и навыков.

Форма урока: урок практикум.

Цель: закрепить полученные знания, сформировать умение решать уравнения по данной теме.

Задачи:

выработать умения решать уравнения, приводимые к квадратным;
развивать навыки самостоятельного мышления;
развивать умение проводить анализ, поиск недостающей информации;
воспитывать активность, самостоятельность, дисциплинированность.

План урока:

1. Организационный момент.
2. Актуализация субъектного опыта учащихся.
3. Решение задач.
4. Самостоятельная работа.
5. Домашнее задание.
6. Итог урока.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент

Учитель: «На прошлом уроке мы познакомились с уравнениями, приводимыми к квадратным. А кто из математиков внес вклад в решение уравнений третьей и четвертой степеней?»

Ученик, подготовивший сообщение, рассказывает об итальянских математиках 16 века.

2. Актуализация субъектного опыта

1) Проверка домашнего задания

К доске вызывается ученик, который решает уравнения, аналогичные домашним:

а) (х 2 – 10) 2 – 3 (х 2 – 10) – 4 = 0
б) х 4 – 10 х 2 + 9 = 0

В это время для ликвидации пробелов в знаниях «слабые» учащиеся получают карточки. «Слабый» комментирует решение «сильному» ученику, «сильный» отмечает решение значками «+» или «–».

2)Повторение теоретического материала

Ученикам предлагается заполнить таблицу вида:

Третью колонку учащиеся заполняют в конце урока.
Проверяется задание, выполненное на доске. Образец решения остается на доске.

3. Решение задач

Учитель предлагает на выбор две группы уравнений. Класс делится на две группы. Одна выполняет задания по образцу, другая – ищет новые методы решения уравнений. Если решения вызывают трудности, то учащиеся могут обратиться к образцу – рассуждению.

а) (2х 2 + 3) 2 – 12 (2х 2 + 3) + 11 = 0 а) (5х – 63) (5 х – 18) = 550
б) х 4 – 4х 2 + 4 = 0 б) 2х 3 – 7 х 2 + 9 = 0

Первая группа комментирует свое решение, вторая проверяет решение через кодоскоп и комментирует свои методы решения.

Учитель: Ребята, давайте рассмотрим одно интересное уравнение: (х 2 – 6 х – 9) 2 = х (х 2 – 4 х – 9).

– Каким методом вы предлагаете его решить?

Ученики приступают к обсуждению проблемной задачи в группах. Они предлагают раскрыть скобки, привести подобные слагаемые, получить целое алгебраическое уравнение четвертой степени и среди делителей свободного члена найти целые корни, если они есть; затем разложить на множители и найти корни данного уравнения.
Учитель одобряет алгоритм решения и предлагает рассмотреть еще один метод решения.

Обозначим х 2 – 4х – 9 = t , тогда х 2 – 6х – 9 = t – 2х. Получим уравнение t 2 – 5tx + 4x 2 = 0 и решим его относительно t.

Исходное уравнение распадается на совокупность двух уравнений:

х 2 – 4 х – 9 = 4х х = – 1
х 2 – 4 х – 9 = х х = 9
х = (5 + 61)/2 х = (5 – 61)/2

4. Самостоятельная работа

На выбор ученикам предлагаются следующие уравнения:

а) х 4 – 6 х 2 + 5 = 0 а) (1 – у 2) + 7 (1 – у 2) + 12 = 0
б) (х 2 + х) 2 – 8 (х 2 + х) + 12 = 0 б) х 4 + 4 х 2 – 18 х 2 – 12 х + 9 = 0
в) х 6 + 27 х 4 – 28 = 0

Учитель комментирует уравнения каждой группы, обращает внимание, что уравнение под пунктом в) позволяет учащимся углубить свои знания и умения.
Самостоятельная работа выполняется на листках через копирку.
Учащиеся проверяют решения через кодоскоп, обменявшись тетрадями.

5. Домашнее задание

№ 223(г, д, е), № 224(а, б) или № 225, № 226.

Творческое задание.

Определить степень уравнения и вывести формулы Виета для этого уравнения:

6. Итог урока

Учащиеся возвращаются к заполнению графы таблицы «Я узнал».

Урок №3

Тип урока: урок обзора и систематизации знаний.

Форма урока: урок – соревнование.

Цель урока: учить правильно оценивать свои знания и умения, правильно соотносить свои возможности с предлагаемыми заданиями.

Задачи:

научить комплексно применять свои знания;
выявить глубину и прочность умений и навыков;
содействовать рациональной организации труда;
воспитывать активность, самостоятельность.

План урока:

ХОД УРОКА

1. Организационный момент

Учитель: «Сегодня мы проведем необычный урок, урок-соревнование. Вы уже знакомы с прошлого урока с итальянскими математиками Фиори, Н. Тарталья, Л. Феррари, Д. Кардано.

12 февраля 1535 года между Фиори и Н. Тартальей состоялся научный поединок, на котором Тарталья одержал блестящую победу. Он за два часа решил все предложенные Фиори тридцать задач, в то время как Фиори не решил ни одной задачи Тартальи.
Сколько уравнений вы сможете решить за урок? Какие способы при этом выберите? Итальянские математики предлагают вам свои уравнения».

2. Актуализация субъектного опыта

Устная работа

1) Какие из чисел: – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3 являются корнями уравнения:

а) х 3 – х = 0 б) у 3 – 9 у = 0 в) у 3 + 4 у = 0?

– Сколько решений может иметь уравнение третьей степени?
– Какой способ вы будете использовать при решении данных уравнений?

2) Проверьте решение уравнения. Найдите допущенную ошибку.

х 3 – 3х 2 + 4х – 12 = 0
х 2 (х – 3) + 4(х – 3) = 0
(х – 3)(х 2 + 4) = 0
(х – 3)(х + 2)(х – 2) = 0
х = 3, х = – 2, х = 2.

Работа в парах. Учащиеся объясняют способы решения уравнений, допущенную ошибку.

Учитель: «Вы, молодцы! Вы выполнили первое задание итальянских математиков».

3. Решение задач

Два ученика у доски:

а) Найдите координаты точек пересечения с осями координат графика функции:

б) Решите уравнение:

Учащиеся класса на выбор выполняют одно или два задания. Ученики у доски последовательно комментируют свои действия.

4. «Сквозная» самостоятельная работа

Комплект карточек составлен по уровню сложности и с вариантами ответов.

1) х 4 – х 2 – 12 = 0
2) 16 х 3 – 32 х 2 – х + 2 = 0
3) (х 2 + 2 х) 2 – 7 (х 2 + 2 х) – 8 = 0
4) (х 2 + 3 х + 1) (х 2 + 3 х + 3) = – 1
5) х 4 + х 3 – 4 х 2 + х + 1 = 0

Варианты ответов:

1) а) – 2; 2 б) – 3; 3 в) нет решения
2) а) – 1/4; 1/4 б) – 1/4; 1/4; 2 в) 1/4; 2
3) а) – 4; 1; 2 б) –1; 1; – 4; 2 в) – 4; 2
4) а) – 2; – 1; б) – 2; – 1; 1 в) 1; 2
5) а) – 1; (– 3 + 5) /2 б) 1; (– 3 – 5) /2 в) 1; (– 3 – 5)/2; (–3 + 5) /2.

5. Домашнее задание

Сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре: № 72, № 73 или № 76, № 78.

Дополнительное задание. Определите значение параметра а, при которых уравнение х 4 + (а 2 – а + 1) х 2 – а 3 – а = 0

а) имеет единственный корень;
б) имеет два различных корня;
в) не имеет корней.

Разделы