Средние величины, их сущность и значение. Виды средних величин

Средние величины представляют собой второй тип производных величин, находящих широкое применение в медицинской статистике. Средняя величина является сводной, обобщающей характеристикой статистической совокупности по определенному изменяющемуся количественному признаку (средний рост, средний вес, средний возраст умерших). Средняя величина отражает общее определяющее свойство всей статистической совокупности в целом, заменяя его одним числом с типичным значением данного признака. Средняя величина нивелирует, ослабляет случайные отклонения индивидуальных наблюдений в ту или иную сторону и характеризует постоянное свойство явлений.

В медицине средние величины могут использоваться для характеристики физического развития, основных антропометрических признаков (морфологических и функциональных: рост, вес, динамометрия и др.) и их динамики (средние величины прироста или убыли признака). Разработка этих показателей и их сочетаний в виде стандартов имеет большое практическое значение для анализа здоровья населения (в особенности детей, спортсменов). Эпидемиологи рассчитывают среднее число заболеваний в очаге, распределение очагов по срокам и средние сроки производства дезинфекции.

В демографических и медико-социальных исследованиях рассчитываются: средняя продолжительность предстоящей жизни, средний возраст умерших, средняя численность населения и т.д.

В экспериментально-лабораторных исследованиях также используются средние величины: температура, число ударов пульса в минуту, уровень артериального давления, средняя скорость или среднее время реакции на тот или иной раздражитель, средние уровни содержания биохимических элементов в крови и др.

И статистические коэффициенты, и средние величины представляют собой вероятностные величины, однако между ними существуют значительные различия:

• 1) Статистические коэффициенты характеризуют признак, встречающийся только у некоторой части совокупности (так называемый альтернативный признак), который может наступить, но может и не наступить (рождение, смерть, заболевание). Средние величины характеризуют, признаки, присущие всей совокупности, но в разной степени (вес, рост, дни лечения).
• 2) Статистические коэффициенты применяются для измерения качественных (атрибутивных или описательных) признаков, а средние - для варьирующих количественных признаков, где речь идет об отличиях в числовых размерах признака, а не о факте его наличия или отсутствия.

Основное достоинство средних величин их типичность - средняя сразу дает общую характеристику явления. В связи с этим можно выделить два основных требования для вычисления средних величин:

• - однородность совокупности;
• - достаточное число наблюдений.

Любое распределение случайной величины, не обязательно подчиняющееся определенному закону распределения вероятностей, характеризуется параметрами распределения: средняя величина (М), среднее квадратическое отклонение (), коэффициент вариации (Сv) и др.

Например, при изучении распределения 10 больных по срокам лечения, мы получим ряд числовых значений: 38, 13, 17, 20, 14, 18, 25, 32, 23, 25 - неупорядоченный ряд.

Рассчитать параметры распределения можно, пользуясь и таким рядом. Однако охарактеризовать ряд несколькими параметрами еще недостаточно, необходимо исследовать, есть ли в статистическом ряду какая-либо устойчивая закономерность. Но, пользуясь неупорядоченным рядом, возможную закономерность обнаружить сложно, поэтому строят ранжированные ряды.

Ряд, в котором дается распределение единиц изучаемой совокупности по значениям варьирующего признака, называется вариационным. Другими словами - вариационный ряд - ряд однородных величин, расположенных в возрастающем или убывающем порядке, где варианты (группы вариант) отличаются друг от друга на определенную величину, называемую интервалом (i).

Таким образом, ряд распределения больных по срокам лечения можно представить следующим образом:

	13 14 17 18 20 22 23 25 32 38
	1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Меняющийся, варьирующий признак изучаемого явления (рост, вес и др.), его числовое значение называется вариантой (V).

Числа случаев наблюдения данного признака, указывающие сколько раз встречается данная варианта, называются частотами (р).

Вариационные ряды могут быть:

• 1) в зависимости от изучаемого явления:
  • - дискретные (прерывные) - образуются на основе прерывно меняющихся признаков, значения которых выражаются только в целых числах (частота пульса, количество студентов в группе и т.д.);
  • - интервальные (непрерывные) - образуются обычно на основе признаков, которые могут принимать любые значения и выражаются любым числом (рост, вес и т.д.)
• 2) в зависимости от числа наблюдений:
  • - простые - варианта представлена одним числовым значением;
  • - сгруппированные - варианты группируются по определенному признаку. Например, при изучении физического развития может производиться группировка по весу: 40-44 кг; 45-49 кг. и т.д.
• 3) в зависимости от порядка расположения вариант:
  • - возрастающие - варианты располагаются в порядке возрастания;
  • - убывающие - варианты располагаются в порядке убывания.

Отдельный вариационный ряд может одновременно включать в себя несколько характеристик. Например, простой, убывающий, прерывный; или - сгруппированный, возрастающий, непрерывный.

Виды средних величин, которые обычно используются в медицинской статистике, - это медиана, мода, средняя арифметическая. Другие виды средних: средняя гармоническая, средняя квадратическая, средняя кубическая, средняя геометрическая и другие - применяются лишь в специальных исследованиях.

Медиана (Me) - это серединная, центральная варианта, делящая вариационный ряд пополам на две равные части.

Например, если число наблюдений составляет 33, медианой будет варианта, занимающая 17-е ранговое место, так как в обе стороны от нее находится по 16 наблюдений.

В ряде с четным числом наблюдений в центре находятся две величины. Если они одинаковы по своему значению, не возникает затруднений в приближенном определении медианы, если же числовые значения двух величин различны, то за медиану принимается их полусумма.

Мода (Мо) - это чаще всего встречающаяся или наиболее часто повторяющаяся величина признака. При приближенном нахождении моды в простом (не сгруппированном) ряде, она определяется как варианта с наибольшим количеством частот.

Отличие медианы и моды от средней арифметической заключается в том, что при упрощенном, ориентировочном определении эти величины легко и быстро найти по их положению в вариационном ряду (позиционные средние), кроме того, они не зависят от значений крайних вариант или от степени рассеяния ряда.

Чаще всего используется в медицинской статистике средняя арифметическая величина (М - от латинского Media). Средняя арифметическая может быть простая и взвешенная.

Примером средней арифметической простой может служить результат измерения веса, например, 6 человек:

	59 60 61 62 63 64 = 369
	1 1 1 1 1 1 р = n = 6

Таким образом, средняя арифметическая простая получается как сумма величин (вариант), деленная на их число. Среднюю арифметическую простую можно вычислить лишь в тех случаях, когда каждая величина (варианта) представлена единичным наблюдением, т. е. когда частоты равны единице.

Если частоты вариант больше единицы, простая средняя неприменима - здесь надо вычислять среднюю арифметическую взвешенную, которая получается как сумма произведений вариант на соответствующие частоты, деленная на общее число наблюдений.

Например: частота пульса (число ударов в минуту) у 18 студентов после проведения атропиновой пробы составила: 86, 92, 100, 96, 90, 102, 88, 92, 80, 92, 96, 100, 86, 84, 102, 90, 86, 92.

	80 84 86 88 90 92 96 100 102
	1 1 3 1 2 4 2 2 2 р = n = 18
	80 84 258 88 180 358 192 200 204 Vp = 1644

Средняя арифметическая простая - это частный случай средней арифметической взвешенной, поэтому формула средней арифметической взвешенной может использоваться и для расчета средней арифметической простой. В последнем случае частоты равны единице и умножение излишне.

Все три средние величины (Мо, Ме, М) совпадают (либо практически очень близки) в симметричном вариационном ряду: средняя арифметическая соответствует середине ряда (в симметричном ряду отклонения в сторону увеличения и в сторону уменьшения вариант соответственно уравновешиваются); медиана (как центральная величина) также соответствует середине ряда; мода (как наиболее насыщенная величина) приходится на наивысшую точку ряда, также находящуюся в его центре. Поэтому для всех симметричных рядов нет необходимости вычислять другие средние величины, кроме средней арифметической.

Свойства средней арифметической величины:

• 1. Средняя величина является обобщающей характеристикой статистической совокупности по определенному изменяющемуся количественному признаку, отражает общее определяющее свойство всей статистической совокупности в целом, заменяя его одним числом с типичным значением данного признака. Средняя величина нивелирует, ослабляет случайные отклонения индивидуальных наблюдений в ту или иную сторону и характеризует постоянное свойство явлений.
• 2. Сумма отклонений вариант от средней арифметической величины равна 0.
• 3. В строго симметричном вариационном ряду средняя арифметическая занимает срединное положение и равна Мо, Ме.

Средние арифметические величины, взятые сами по себе без дополнительных приемов оценки, часто имеют ограниченное значение, так как они не отражают степени рассеяния (разнообразия) ряда. Одинаковые по размеру средние величины могут быть получены из рядов с различной степенью рассеяния. Средние - это величины, вокруг которых рассеяны различные варианты, и чем ближе друг к другу отдельные варианты, чем меньше рассеяние ряда, тем типичнее средняя величина.

Приближенным методом оценки разнообразия ряда может служить определение амплитуды. Амплитуда - разность между наибольшим и наименьшим значением вариант:

А = Vmax - Vmin

Но амплитуда не учитывает промежуточные значения вариант внутри ряда, кроме того, ее размеры могут зависеть и от числа наблюдений.

Основной мерой оценки разнообразия ряда является среднее квадратическое отклонение ().

Для вычисления сигмы необходимо:

определить отклонения (d) от средней (V - M);

возвести отклонения в квадрат (d 2);

• 3) перемножить квадраты отклонений на частоты (d 2р);
• 4) суммировать произведения квадратов отклонений на частоты;
• 5) разделить эту сумму на число наблюдений;
• 6) извлечь из частного квадратный корень.

При помощи сигмы можно установить степень типичности средней, пределы рассеяния ряда, пределы колебаний вокруг средней отдельных вариант. Чем меньше сигма, тем меньше рассеяние ряда, тем точнее и типичнее получается вычисленная для этого ряда средняя величина.

Применение сигмы дает возможность оценки и сравнения разнообразия нескольких однородных рядов распределения, так как - величина именная, выражается абсолютным числом в единицах изучаемой совокупности (см, кг, мг/л и т.д.). В этом случае принимаются во внимание абсолютные размеры сигмы. Например, при сравнении двух рядов распределения по признаку веса, при условии, что средние будут близки по уровню, но сигма в одном ряду будет ± 5,6 кг., а в другом ± 2,1 кг. - второй ряд менее рассеян, и его средняя более типична.

При оценке разнообразия неоднородных рядов (например, таких признаков как вес и рост), непосредственное сравнение размеров сигмы невозможно. В этом случае, для установления степени относительного разнообразия рядов, прибегают к производной величине - коэффициенту изменчивости (вариации), который является относительной величиной, выражается в % и обозначаемому буквой Сv (V).

Например, при изучении физического развития студентов - мужчин 1 курса получены следующие показатели: М (вес) = 67,5 кг.; М (рост) = 178,1 см. Соответственно = ± 2,8 кг. и ± 6,2 см. Среднее квадратическое отклонение по росту более чем в 2 раза превышает сигму по весу.

Коэффициент вариации по росту меньше, чем по весу, то есть рост оказался более устойчивым признаком, чем вес.

Различают три степени разнообразия коэффициентов вариации:

до 10% - слабое разнообразие;

10 - 20 % - среднее разнообразие;

более 20 % - сильное разнообразие.

Этот же метод вычисления коэффициента разнообразия пригоден и при анализе однородных рядов, у которых средние величины очень разнятся по размеру, а также для оценки изолированного, единичного ряда.

Пример вычисления средней арифметической (М); среднего квадратического отклонения (); коэффициента вариации (Cv).

Длительность лечения ангины у 45 больных составила: 20, 20, 19, 16, 19, 16, 14, 13, 15, 13, 12, 13, 13, 3, 12, 11, 12, 11, 10, 12, 11, 10, 11, 8, 7, 11, 11, 10, 10, 10, 9, 8, 8, 9, 5, 5, 6, 9, 5, 5, 9, 6, 7, 7, 14, и 15 дней.

Первый этап: Строим вариационный ряд, с учетом частоты встречаемости каждой варианты; даем характеристику ряда; находим произведения вариант на соответствующую частоту, суммируем полученные произведения и рассчитываем среднюю арифметическую:

Первый этап	Второй этап
Длительность лечения (в днях) V	Число больных p
Ряд простой, убывающий, прерывный

Второй этап: рассчитываем d (V-M); d 2; d 2p.

Заключение: Средняя длительность лечения ангины в поликлинике составила 11 дней. Средняя является недостаточно типичной для данного ряда, о чем свидетельствует коэффициент вариации, равный 36,5% (большая степень разнообразия признака).

Анализ данных правовой статистики невозможен без использования средних величин и связанных с ними показателей вариации. Только при помощи средних величин можно охарактеризовать совокупности по количественному варьирующему признаку, по которому их принято сравнивать.

Средней величиной в статистике называется обобщенная характеристика совокупности однородных явлений по какому-либо одному количественно варьирующему признаку в условиях места и времени.

Она обычно обобщает количественную вариацию признака. За любой средней величиной скрывается ряд распределения единиц совокупности по изучаемому признаку, т. е. вариационный ряд.

Одним из важных условий расчета средних величин является качественная однородность единиц совокупности в отношении осредняемого признака. Средние величины, которые вычислены для явлений разного типа, представляют собой фикцию. Они могут искажать или стирать различия разнородных совокупностей.

Практически и теоретически в криминологии, социологии права и других юридических дисциплинах допустимы в основном групповые средние, т. е. средние, которые вычислены на основе адекватных статистических группировок.

Средние величины базируются на массовом обобщении фактов. Только так они способны выявлять те или иные тенденции, которые лежат в основе наблюдаемого процесса. Средние величины отражают самую общую закономерность, которая присуща всей массе изучаемых явлений. Она видна в типичной количественной характеристике, так называемой средней величине всех варьирующих показателей.

Средние статистические величины имеют несколько видов, но все они входят в класс степенных средних, т. е. средних, построенных из различных степеней вариантов: средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя квадратическая, средняя геометрическая и т. д.

При расчете различных степенных средних все основные показатели, на основе которых осуществляется расчет, не изменяются.

Разные виды средних при одних и тех же исходных показателях имеют

в связи с различными значениями степени далеко не одинаковые численные значения.

Чем меньше степень средней, тем меньше значение, соответствующее средней – это закономерность. Поэтому каждая средняя приведенного ряда мажорантна в отношении средних, которые стоят справа от нее. Все это называется правилом мажорантности средних.

Выбор обычной средней или взвешенной осуществляется статистическим материалом, а выбор вида степенной – целью исследования.

Кроме средних степенных, в правовой статистике применяются средние структурные, в качестве которых выступают мода и медиана.

Самым распространенным видом средней величины является средняя арифметическая. Она рассчитывается очень просто: сумму величин всех вариантов делят на общее число единиц вариантов.

Средняя арифметическая при дискретном вариационном ряде исчисляется по формуле средней арифметической взвешенной. Она не имеет принципиальных отличий от простой средней арифметической. В ней лишь суммирование одного и того же значения заменено умножением этого значения на его частоту. Таким образом, каждое значение взвешивается по частоте встречаемости. Когда частоты исчисляются сотнями и тысячами, то использование средней взвешенной намного упрощает расчет.

При расчете средней арифметической совсем не обязательно знать величину каждого индивидуального значения или иметь в своем распоряжении построенный на основе этих вариант вариационный ряд.

В официальной отчетности юридических учреждений обычно уже имеются многие суммарные величины. Суммирование происходит последовательно

в районах, городах, субъектах Федерации и в центре при сводке и группировке данных, которые получены из документов первичного учета.

Расчет средней на основе обобщенных в отчете данных осуществим, когда каждое отдельное значение варианты вообще не фиксируется. Поэтому можно сказать, что между средними и относительными величинами иногда

не существует строгих границ. Все они являются обобщающими. Кроме того, любая средняя величина представляет собой своеобразное отношение

двух абсолютных величин, т. е. она одновременно является определенной относительной величиной. Но, с другой стороны, любая относительная величина дает своеобразную усредненную характеристику процесса.

Существуют некоторые особенности и трудности для расчета средней арифметической при интервальном ряде статистических показателей, т. е. когда индивидуальные численные варианты сгруппированы в интервалы.

Правовая статистика использует интервальные ряды чаще, чем дискретные. Таким образом, учитываются сроки наказания, сроки следствия, сроки рассмотрения уголовных и гражданских дел, возраст правонаруши-телей и т. д.

С целью упрощения расчета средней арифметической можно использо-вать некоторые ее свойства, которые здесь приводятся без доказательств.

1. Произведение средней на сумму частот всегда равно сумме произведений вариант на частоты.

2. Если от каждой варианты отнять или прибавить одно и то же число, то новая средняя уменьшится или увеличится на то же число.

3. Если каждую варианту разделить или умножить на какое-либо число, то средняя арифметическая уменьшится или увеличится во столько же раз.

4. Если все частоты разделить или умножить на какое-либо число, то средняя арифметическая от этого не изменится.

5. Сумма отклонений вариант от средней арифметической всегда равна нулю.

6. Общая средняя равна средней из частных средних, взвешенной по численности соответствующих частей совокупности.

Следующая средняя – средняя геометрическая – используется для вычисления средних темпов роста и прироста (снижения) наблюдаемых процессов. Исследование этих параметров в динамике преступности, выявленных правонарушителей, раскрываемости, судимости, общего числа заключенных, оправданных, освобожденных от уголовной ответственности, рассмотренных гражданских дел, удовлетворенных и неудовлетворенных исков и других меняющихся во времени юридически значимых процессов и явлений имеет важное значение в науке и практике.

Динамика юридически значимых явлений характеризуется многими показателями, среди которых – средние арифметические и геометрические. Средние арифметические показатели используются для расчета среднегодового абсолютного прироста или снижения, выраженного

в именованных числах. Они важны, но их недостаточно, особенно

в сравнительных целях, для достижения которых большую помощь оказывают темпы роста, прироста и снижения, выраженные в процентах. Расчет этих параметров производится по формуле средней геометрической, но на основе все тех же абсолютных показателей.

Для того, чтобы рассчитать среднегодовые темпы роста и прироста, необходимы абсолютные показатели первого и последнего годов, на базе которых рассчитывается относительная величина динамики в процентах и количество лет. В статистических сборниках и официальной отчетности уже имеются подсчитанные общие итоги и даже проценты роста или снижения наблюдаемого процесса. На основе их и числа лет можно легко найти искомые среднегодовые темпы роста и прироста интересующих процессов.

Мода и медиана. Модой в статистике именуется значение варианта, которое чаще всего встречается в данной совокупности. Иногда могут быть распределения, где все варианты встречаются примерно одинаково часто.

В подобных случаях мода не определяется, так как она практически отсутствует. В других распределениях мода может быть не единственной.

Моду применяют в тех случаях, когда нужно охарактеризовать более часто встречающуюся величину признака.

Определение моды для интервального ряда несколько сложнее, так как, чтобы определить моду, требуется определить модальный интервал данных рядов.

Медианой в статистике называется варианта, которая расположена

в середине ранжированного ряда. Она разделяет упорядоченный ряд пополам. По обе стороны от медианы находится одинаковое число единиц совокупности. При определении значения медианы предполагают, что значение признака в интервале расположено равномерно.

Медиана, которая рассчитана для вариационного ряда с существенно различающимися интервалами, отличается от медианы, исчисленной для того же ряда, но с равными интервалами.

В практике мода и медиана порой используются вместо средней арифметической или вместе с ней. При применении вместе они дополняют друг друга, особенно при совокупности небольшого числа единиц с очень малыми значениями исследуемого признака. Как дополнение к средней арифметической также лучше исчислять моду и медиану, которые, в отличие от средней, не зависят от крайних и характерных для совокупности значений признака. Медиану можно использовать в качестве приближенной средней арифметической, когда совокупность ранжирована и упорядочена, тогда медиана определяется по серединному значению варианты. Поэтому значения других вариант можно и не изменять.

Кроме медианного деления вариационного ряда на две равные части,

в статистике используются и более дробные деления: квартили, которые делят вариационный ряд по сумме частот на 4 равные части, децили – на

10 равных частей и центили – на 100 равных частей. Они употребляются для более выразительных и компактных описаний исследуемого процесса, но

в правовой статистике практически не применяются.

Показатели вариации признака. Средние величины представляют собой важную обобщающую характеристику совокупности по изменяющемуся признаку. Подсчитав их, необходимо уяснить, насколько они показательны, типичны или однородны, ведь одинаковые средние могут характеризировать совершенно разнородные совокупности.

Для того чтобы наши суждения о различиях вариационных рядов были статистически точными, нужно прибегать к показателям отклонений различных вариант от средней.

Первый и наиболее простой показатель вариации – это размах вариации, который исчисляется в виде разности между наибольшими и наименьшими значениями варьирующего признака.

Среднее арифметическое отклонение является второй мерой измерения вариаций признака. В статистическом анализе оно применяется довольно редко. Обычно применяют третий показатель вариации – дисперсию, или средний квадрат отклонений.

Путем извлечения квадратного корня из дисперсии мы получим следующий, четвертый, показатель вариации – среднее квадратическое отклонение.

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение являются самыми распространенными показателями вариации изучаемого признака. В правовой статистике их используют при сравнительных статистических исследованиях, для обоснования ошибки репрезентативности выборочного наблюдения,

а также при изучении корреляционных и других статистических связей между признаками фактора и признаками следствия или между причиной и следствием.

Коэффициент вариации является пятым по счету показателем вариации. Он, в отличие от размаха вариации, среднего линейного, среднего квадратического отклонения и дисперсии, выражающихся в абсолютных и именованных числах, является показателем относительным. Коэффициент вариации предоставляет много возможностей для сравнительных изучений, потому что сравнивать, например, средние квадратические отклонения вариационных рядов с разными уровнями непосредственно нельзя. Коэффициент вариации в некоторой мере представляется критерием типичности средней. Если он относительно большой, это значит, что типичность этой средней очень невысока, а если, наоборот, – его значение мало, то средняя является типической и надежной.

В процессе обработки и обобщения статистических данных возникает необходимость определения средних величин. Как правило, индивидуальные значения одного и того же признака у разных единиц совокупности неодинаковы.

Средняя величина – обобщающая характеристика изучаемого признака в исследуемой совокупности. Она отражает его типичный уровень в расчете на единицу совокупности в конкретных условиях места и времени.

Например, при изучении доходов рабочих предприятия обобщающей характеристикой служит средний доход одного рабочего. Для его определения общую сумму средств, направленных на потребление, в виде заработной платы, социальных и трудовых льгот, материальной помощи, дивидендов по акциям и процентов по вкладам в имущество предприятия за рассматриваемый период (год, квартал, месяц) делят на численность рабочих предприятия. Средний доход характеризует то общее, что свойственно всей совокупности рабочих предприятия, т.е. уровень дохода массы рабочих в конкретных условиях функционирования данного предприятия в рассматриваемом периоде.

Средняя, рассчитанная по совокупности в целом, называется общей средней.

Средние, исчисленные для каждой группы, называются групповыми средними.

Чем больше единиц совокупности, по которым рассчитывается средняя, тем она устойчивее, т.е. точнее. Расчет средней величины включает две операции:

I– суммирование данных по всем единицам (обобщение данных);

II – деление суммированных данных на число единиц совокупности.

– средняя величина для признака; n – количество единиц совокупности;

х i – индивидуальное значение признака каждой единицы совокупности.

Сущность средней величины определяет её особую значимость в условиях рыночной экономики. Средняя величина через единичное и случайное позволяет выявить общее и необходимое, выявить тенденцию закономерности экономического развития.

Степенные средние :

ü средняя арифметическая;

ü средняя геометрическая;

ü средняя гармоническая;

ü средняя квадратическая;

ü средняя хронологическая.

Структурные средние: мода и медиана.

Выбор того или иного вида средней производится в зависимости от цели исследования, экономической сущности усредняемого показателя и характера имеющихся исходных данных. Только тогда, когда средняя применима правильно, получают величины, имеющие реальный экономический смысл.

Средняя арифметическая – наиболее распространённый вид средней.

Под средней арифметической понимается такое значение признака, которое имела бы каждая единица совокупности, если бы общий итог всех значений признака был распределён равномерно между всеми единицами совокупности.

Она исчисляется в тех случаях, когда объём осредняемого признака образуется как сумма его значений у отдельных единиц изучаемой статистической совокупности. В зависимости от характера исходных данных средняя арифметическая определяется следующим образом:

Простая арифметическая средняя исчисляется путем деления суммы значений на их количество.

Пример : Заработная плата за январь у 3-х рабочих одного цеха составила: 6500, 4955, 5323 рубля. Средняя з/плата за месяц составляет:
руб.

Пример: Вычислить средний стаж десяти работников торгового предприятия. Одиночное значение признака (лет): 6,5,4,3,3,4,5,4,5,4.

= (6+5+4+3+3+4+5+4+5+4) : 10 = 43: 10 = 4,3 года.

Как видим, средняя арифметическая может оказаться дробным числом, если даже индивидуальные значения признака заданы только целыми числами. Это вытекает из сущности средней арифметической, которая есть величина абстрактная (теоретическая), т.е. она может принимать такое числовое значение, которое не встречается в представленной совокупности индивидуальных значений признака.

Средняя арифметическая взвешенная

Часто приходится рассчитывать среднее значение признака по ряду распределения, когда одно и то же значение признака встречается несколько раз. Объединив данные по величине признака (т.е. сгруппировав) и подсчитав число случаев повторения каждого из них, мы получим следующий вариационный ряд.

Следовательно, для исчисления взвешенной средней выполняются следующие последовательные операции: умножение каждого варианта на его частоту, суммирование полученных произведений, деление полученной суммы на сумму частот.

Средняя арифметическая взвешенная учитывает различное значение отдельных вариантов в пределах совокупности. Поэтому она должна употребляться во всех тех случаях, когда варианты имеют различную численность. Употребление простой средней в этих случаях недопустимо, так как оно неизбежно приводит к искажению статистических показателей.

Арифметическая средняя как бы распределяет поровну между отдельными объектами общую величину признака, в действительности варьирующую у каждого из них.

Иногда вычисление средних величин приходится производить и по данным, сгруппированным в виде интервальных рядов распределения, когда варианты признака, из которых исчисляется средняя, представлены в виде интервалов (от – до). Для вычисления средней величины надо в каждом варианте определить серединное значение х, после чего произвести взвешивание обычным порядком х у

В закрытом интервале серединное значение определяется как полусумма значений нижней и верхней границ.

Задача исчисления средней по величинам интервального ряда осложняется тем, что неизвестны крайние границы начального и конечного интервалов. В этом случае предполагается, что расстояние между границами данного интервала такое же, как и в соседнем интервале.

Необходимо отметить, что, хотя мы и используем для расчета средней из интервального ряда формулу средней арифметической взвешенной, исчисленная средняя не является точной величиной, так как в результате умножения средних значений групп на их численность, мы не получим действительного значения. Степень расхождения зависит от ряда причин: 1 – число вариант. Чем больше число вариант, тем вероятнее, что середина интервала будет мало отличаться от групповой средней. Если же на каждую группу приходится малое число единиц, групповые средние могут находиться не только в середине, но и в близи верхней, либо нижней границы интервала.

Пример, требуется вычислить средний стаж работы 12 работников рекламного агентства. При этом известны индивидуальные значения признака (стажа) в годах: 6,5,4,3,3,5,5,6,3,7,4,5.

Объединив данные по величине признака и подсчитав число случаев повторения каждого из них, проведём расчет среднего стажа по сгруппированным данным с помощью формулы средней взвешенной арифметической.

X = (3*3+4*2+5*4+6*2+7*1) : 12 = 56 : 12 = 4,7 года.

В практике статистической обработки материала возникают различные задачи, имеющие особенности в изучении явлений и требующие применения различных средних в их решении. Учитывая, что статистические средние всегда выражают качественные свойства изучаемых общественных процессов и явлений, важно правильно выбрать форму средней, исходя из взаимосвязи явлений и их признаков.

Свойства средней арифметической:

Средняя арифметическая обладает рядом свойств, знание которых необходимо для понимания сущности средних, а также для упрощения их вычисления.

1. Средняя арифметическая суммы варьирующих величин равна сумме средних арифметических величин:

Если x i = y i + z i то

Это правило показывает, в каких случаях можно суммировать средние величины. Если, например, выпускаемые изделия состоят из двух деталей y и z и на изготовление каждой из них расходуется в среднем у = 3 ч, z = 5 ч, то средние затраты времени на изготовление одного изделия (х ), будут равны: 3+5 = 8 ч, т.е. х = у + z..

2. Алгебраическая сумма отклонений индивидуальных значений варьирующего признака от средней равна нулю, так как сумма отклонений в одну сторону погашается суммой отклонений в другую сторону, т.е.

, потому что

Это правило показывает, что средняя является равнодействующей.

3. Если все варианты ряда уменьшить или увеличить на одно и то же число а, то средняя уменьшится или увеличится на это же число а:

4. Если все варианты ряда уменьшить или увеличить в А раз, то средняя также соответственно уменьшится или соответственно увеличится в А раз:

5. Если все частоты ряда разделить или умножить на одно и то же число d, то средняя не изменится:

Это свойство показывает, что средняя зависит не от размеров весов, а от соотношения между ними. Следовательно, в качестве весов могут выступать не только абсолютные, но и относительные величины.

Средняя хронологическая

Иногда, при анализе социально-экономических показателей, необходимо определить среднюю величину, если имеются данные равностоящего моментного ряда динамики. Например, среднемесячный запас товаров; среднесписочную численность продавцов за квартал, за полугодие, если известна численность продавцов на начало месяца; или определить среднегодовую численность населения территории, то используют среднюю хронологическую.

Х=( х 1 + х 2 +х 3 +…+х n -1 + х n) : (n-1)

Х – индивидуальное значение признака каждой единицы совокупности;

n – число единиц совокупности.

Средняя гармоническая

Средняя гармоническая – это величина обратная средней арифметической. Когда статистическая информация не содержит частот по отдельным вариантам совокупности, а представлена как их произведение, применяется формула средней гармонической взвешенной.

Средняя в такой форме называется средней гармонической взвешенной и обозначается х гар м.взв . Следовательно, средняя гармоническая тождественна средней арифметической. Она применяется тогда, когда неизвестны действительные веса, а известно произведение f x = z

В тех случаях, когда произведения f х одинаковы или равны единице (m=1), применяется средняя гармоническая простая, вычисляемая по формуле

где х - отдельные варианты; п - их число.

Средняя геометрическая

Этой средней удобно пользоваться, когда уделяется внимание не абсолютным разностям, а отношениям двух чисел. Поэтому средняя геометрическая используется в расчетах среднегодовых темпов роста

или

Это формула средней геометрической, которую можно сформулировать следующим образом:

Средняя геометрическаяравна корню степени п из произведения коэффициентов роста, характеризующих отношение величины каждого последующего периода к величине предыдущего.

Геометрическая средняя величина дает наиболее правильный ответ по содержанию результат осреднения, если задача состоит в нахождении такого значения признака, который качественно был бы равноудалён как от максимального, так и от минимального значения признака.

Пример, В результате инфляции за первый год цена товара возросла в два раза к предыдущему; за второй год – ещё в три раза к уровню предыдущего года. Ясно, что за два года цена выросла в 6 раз. Рассчитать средний темп роста цены за год?

В расчете среднего темпа роста арифметическая средняя – непригодна. Геометрическая средняя даёт правильный ответ.

Х = х 1 *х 2 = 2*3 = 6 = 2,45 раза.

Средняя квадратическая

Похожая информация.

Средние величины относятся к обобщающим статистическим показателям, которые дают сводную (итоговую) характеристику массовых общественных явлений, так как строятся на основе большого количества индивидуальных значений варьирующего признака. Для выяснения сущности средней величины необходимо рассмотреть особенности формирования значений признаков тех явлений, по данным которых исчисляют среднюю величину.

Известно, что единицы каждого массового явления обладают многочисленными признаками. Какой бы из этих признаков мы ни взяли, его значения у отдельных единиц будут различными, они изменяются, или, как говорят в статистике , варьируют от одной единицы к другой. Так, например, заработная плата работника определяется его квалификацией, характером труда, стажем работы и целым рядом других факторов, поэтому изменяется в весьма широких пределах. Совокупное влияние всех факторов определяет размер заработка каждого работника, тем не менее можно говорить о среднемесячной заработной плате работников разных отраслей экономики . Здесь мы оперируем типичным, характерным значением варьирующего признака, отнесенным к единице многочисленной совокупности.

Средняя величина отражает то общее, что характерно для всех единиц изучаемой совокупности. В то же время она уравновешивает влияние всех факторов, действующих на величину признака отдельных единиц совокупности, как бы взаимно погашая их. Уровень (или размер) любого общественного явления обусловлен действием двух групп факторов. Одни из них являются общими и главными, постоянно действующими, тесно связанными с природой изучаемого явления или процесса, и формируют то типичное для всех единиц изучаемой совокупности, которое и отражается в средней величине. Другие являются индивидуальными, их действие выражено слабее и носит эпизодический, случайный характер. Они действуют в обратном направлении, обусловливают различия между количественными признаками отдельных единиц совокупности, стремясь изменить постоянную величину изучаемых признаков. Действие индивидуальных признаков погашается в средней величине. В совокупном влиянии типичных и индивидуальных факторов, которое уравновешивается и взаимно погашается в обобщающих характеристиках, проявляется в общем виде известный из математической статистики фундаментальный закон больших чисел.

В совокупности индивидуальные значения признаков сливаются в общую массу и как бы растворяются. Отсюда и средняя величина выступает как «обезличенная», которая может отклоняться от индивидуальных значений признаков, не совпадая количественно ни с одним из них. Средняя величина отражает общее, характерное и типичное для всей совокупности благодаря взаимопогашению в ней случайных, нетипичных различий между признаками отдельных ее единиц, так как ее величина определяется как бы общей равнодействующей из всех причин.

Однако для того, чтобы средняя величина отражала наиболее типичное значение признака, она должна определяться не для любых совокупностей, а только для совокупностей, состоящих из качественно однородных единиц. Это требование является основным условием научно обоснованного применения средних величин и предполагает тесную связь метода средних величин и метода группировок в анализе социально-экономических явлений. Следовательно, средняя величина - это обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень варьирующего признака в расчете на единицу однородной совокупности в конкретных условиях места и времени.

Определяя, таким образом, сущность средних величин, необходимо подчеркнуть, что правильное исчисление любой средней величины предполагает выполнение следующих требований:

• качественная однородность совокупности, по которой вычислена средняя величина. Это означает, что исчисление средних величин должно основываться на методе группировок, обеспечивающем выделение однородных, однотипных явлений;
• исключение влияния на вычисление средней величины случайных, сугубо индивидуальных причин и факторов. Это достигается в том случае, когда вычисление средней основывается на достаточно массовом материале, в котором проявляется действие закона больших чисел, и все случайности взаимно погашаются;
• при вычислении средней величины важно установить цель ее расчета и так называемый определяющий показа-телъ (свойство), на который она должна быть ориентирована.

Определяющий показатель может выступать в виде суммы значений осредняемого признака, суммы его обратных значений, произведения его значений и т. п. Связь между определяющим показателем и средней величиной выражается в следующем: если все значения осредняемого признака заменить средним значением, то их сумма или произведение в этом случае не изменит определяющего показателя. На основе этой связи определяющего показателя со средней величиной строят исходное количественное отношение для непосредственного расчета средней величины. Способность средних величин сохранять свойства статистических совокупностей называют определяющим свойством.

Средняя величина, рассчитанная в целом по совокупности, называется общей средней; средние величины, рассчитанные для каждой группы, - групповыми средними. Общая средняя отражает общие черты изучаемого явления, групповая средняя дает характеристику явления, складывающуюся в конкретных условиях данной группы.

Способы расчета могут быть разные, поэтому в статистике различают несколько видов средней величины, основными из которых являются средняя арифметическая, средняя гармоническая и средняя геометрическая.

В экономическом анализе использование средних величин является основным инструментом для оценки результатов научно-технического прогресса, социальных мероприятий, поиска резервов развития экономики. В то же время следует помнить о том, что чрезмерное увлечение средними показателями может привести к необъективным выводам при проведении экономико-статистического анализа. Это связано с тем, что средние величины, будучи обобщающими показателями, погашают, игнорируют те различия в количественных признаках отдельных единиц совокупности, которые реально существуют и могут представлять самостоятельный интерес.

Виды средних величин

В статистике используют различные виды средних величин, которые делятся на два больших класса:

• степенные средние (средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя арифметическая, средняя квадра-тическая, средняя кубическая);
• структурные средние (мода, медиана).

Для вычисления степенных средних необходимо использовать все имеющиеся значения признака. Мода и медиана определяются лишь структурой распределения, поэтому их называют структурными, позиционными средними. Медиану и моду часто используют как среднюю характеристику в тех совокупностях, где расчет средней степенной невозможен или нецелесообразен.

Самый распространенный вид средней величины - средняя арифметическая. Под средней арифметической понимается такое значение признака, которое имела бы каждая единица совокупности, если бы общий итог всех значений признака был распределен равномерно между всеми единицами совокупности. Вычисление данной величины сводится к суммированию всех значений варьирующего признака и делению полученной суммы на общее количество единиц совокупности. Например, пять рабочих выполняли заказ на изготовление деталей, при этом первый изготовил 5 деталей, второй - 7, третий - 4, четвертый - 10, пятый- 12. Поскольку в исходных данных значение каждого варианта встречалось только один раз, для определения средней выработки одного рабочего следует применить формулу простой средней арифметической:

т. е. в нашем примере средняя выработка одного рабочего равна

Наряду с простой средней арифметической изучают среднюю арифметическую взвешенную. Например, рассчитаем средний возраст студентов в группе из 20 человек , возраст которых варьируется от 18 до 22 лет, где xi - варианты осредняемого признака, fi - частота, которая показывает, сколько раз встречается i-е значение в совокупности (табл. 5.1).

Таблица 5.1

Средний возраст студентов

Применяя формулу средней арифметической взвешенной, получаем:

Для выбора средней арифметической взвешенной существует определенное правило: если имеется ряд данных по двум показателям, для одного из которых надо вычислить

среднюю величину, и при этом известны численные значения знаменателя ее логической формулы, а значения числителя неизвестны, но могут быть найдены как произведение этих показателей, то средняя величина должна высчитывать-ся по формуле средней арифметической взвешенной.

В некоторых случаях характер исходных статистических данных таков, что расчет средней арифметической теряет смысл и единственным обобщающим показателем может служить только другой вид средней величины - средняя гармоническая. В настоящее время вычислительные свойства средней арифметической потеряли свою актуальность при расчете обобщающих статистических показателей в связи с повсеместным внедрением электронно-вычислительной техники. Большое практическое значение приобрела средняя гармоническая величина, которая тоже бывает простой и взвешенной. Если известны численные значения числителя логической формулы, а значения знаменателя неизвестны, но могут быть найдены как частное деление одного показателя на другой, то средняя величина вычисляется по формуле средней гармонической взвешенной.

Например, пусть известно, что автомобиль прошел первые 210 км со скоростью 70 км/ч, а оставшиеся 150 км со скоростью 75 км/ч. Определить среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути в 360 км, используя формулу средней арифметической, нельзя. Так как вариантами являются скорости на отдельных участках xj = 70 км/ч и Х2 = 75 км/ч, а весами (fi) считаются соответствующие отрезки пути, то произведения вариантов на веса не будут иметь ни физического, ни экономического смысла. В данном случае смысл приобретают частные от деления отрезков пути на соответствующие скорости (варианты xi), т. е. затраты времени на прохождение отдельных участков пути (fi/ xi). Если отрезки пути обозначить через fi, то весь путь выразиться как Σfi, а время, затраченное на весь путь, - как Σ fi/ xi , Тогда средняя скорость может быть найдена как частное от деления всего пути на общие затраты времени:

В нашем примере получим:

Если при использовании средней гармонической веса всех вариантов (f) равны, то вместо взвешенной можно использовать простую (невзвешенную) среднюю гармоническую:

где xi - отдельные варианты; n - число вариантов осредняемого признака. В примере со скоростью простую среднюю гармоническую можно было бы применить, если бы были равны отрезки пути, пройденные с разной скоростью.

Любая средняя величина должна вычисляться так, чтобы при замене ею каждого варианта осредняемого признака не изменялась величина некоторого итогового, обобщающего показателя, который связан с осредняемым показателем. Так, при замене фактических скоростей на отдельных отрезках пути их средней величиной (средней скоростью) не должно измениться общее расстояние.

Форма (формула) средней величины определяется характером (механизмом) взаимосвязи этого итогового показателя с осредняемым, поэтому итоговый показатель, величина которого не должна изменяться при замене вариантов их средней величиной, называется определяющим показателем. Для вывода формулы средней нужно составить и решить уравнение, используя взаимосвязь осредняемого показателя с определяющим. Это уравнение строится путем замены вариантов осредняемого признака (показателя) их средней величиной.

Кроме средней арифметической и средней гармонической в статистике используются и другие виды (формы) средней величины. Все они являются частными случаями степенной средней. Если рассчитывать все виды степенных средних величин для одних и тех же данных, то значения

их окажутся одинаковыми, здесь действует правило мажо-рантности средних. С увеличением показателя степени средних увеличивается и сама средняя величина. Наиболее часто применяемые в практических исследованиях формулы вычисления различных видов степенных средних величин представлены в табл. 5.2.

Таблица 5.2

Средняя геометрическая применяется, когда имеется n коэффициентов роста, при этом индивидуальные значения признака представляют собой, как правило, относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин, как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики. Средняя характеризует, таким образом, средний коэффициент роста. Средняя геометрическая простая рассчитывается по формуле

Формула средней геометрической взвешенной имеет следующий вид:

Приведенные формулы идентичны, но одна применяется при текущих коэффициентах или темпах роста, а вторая - при абсолютных значениях уровней ряда.

Средняя квадратическая применяется при расчете с величинами квадратных функций, используется для измерения степени колеблемости индивидуальных значений признака вокруг средней арифметической в рядах распределения и вычисляется по формуле

Средняя квадратическая взвешенная рассчитывается по другой формуле:

Средняя кубическая применяется при расчете с величинами кубических функций и вычисляется по формуле

средняя кубическая взвешенная:

Все рассмотренные выше средние величины могут быть представлены в виде общей формулы:

где - средняя величина; - индивидуальное значение; n - число единиц изучаемой совокупности; k - показатель степени, определяющий вид средней.

При использовании одних и тех же исходных данных, чем больше k в общей формуле степенной средней, тем больше средняя величина. Из этого следует, что между величинами степенных средних существует закономерное соотношение:

Средние величины, описанные выше, дают обобщенное представление об изучаемой совокупности и с этой точки зрения их теоретическое, прикладное и познавательное значение бесспорно. Но бывает, что величина средней не совпадает ни с одним из реально существующих вариантов, поэтому кроме рассмотренных средних в статистическом анализе целесообразно использовать величины конкретных вариантов, занимающие в упорядоченном (ранжированном) ряду значений признака вполне определенное положение. Среди таких величин наиболее употребительными являются структурные, или описательные, средние - мода (Мо) и медиана (Ме).

Мода - величина признака, которая чаще всего встречается в данной совокупности. Применительно к вариационному ряду модой является наиболее часто встречающееся значение ранжированного ряда, т. е. вариант, обладающий наибольшей частотой. Мода может применяться при определении магазинов, которые чаще посещаются, наиболее распространенной цены на какой-либо товар. Она показывает размер признака, свойственный значительной части совокупности, и определяется по формуле

где х0 - нижняя граница интервала; h - величина интервала; fm - частота интервала; fm_ 1 - частота предшествующего интервала; fm+ 1 - частота следующего интервала.

Медианой называется вариант, расположенный в центре ранжированного ряда. Медиана делит ряд на две равные части таким образом, что по обе стороны от нее находится одинаковое количество единиц совокупности. При этом у одной половины единиц совокупности значение варьирующего признака меньше медианы, у другой - больше ее. Медиана используется при изучении элемента, значение которого больше или равно или одновременно меньше или равно половине элементов ряда распределения. Медиана дает общее представление о том, где сосредоточены значения признака, иными словами, где находится их центр.

Описательный характер медианы проявляется в том, что она характеризует количественную границу значений варьирующего признака, которыми обладает половина единиц совокупности. Задача нахождения медианы для дискретного вариационного ряда решается просто. Если всем единицам ряда придать порядковые номера, то порядковый номер медианного варианта определяется как (п +1) / 2 с нечетным числом членов п. Если же количество членов ряда является четным числом, то медианой будет являться среднее значение двух вариантов, имеющих порядковые номера n / 2 и n / 2 + 1.

При определении медианы в интервальных вариационных рядах сначала определяется интервал, в котором она находится (медианный интервал). Этот интервал характерен тем, что его накопленная сумма частот равна или превышает полусумму всех частот ряда. Расчет медианы интервального вариационного ряда производится по формуле

где X0 - нижняя граница интервала; h - величина интервала; fm - частота интервала; f - число членов ряда;

∫m-1 - сумма накопленных членов ряда, предшествующих данному.

Наряду с медианой для более полной характеристики структуры изучаемой совокупности применяют и другие значения вариантов, занимающих в ранжированном ряду вполне определенное положение. К ним относятся квартили и децили. Квартили делят ряд по сумме частот на 4 равные части, а децили - на 10 равных частей. Квартилей насчитывается три, а децилей - девять.

Медиана и мода в отличие от средней арифметической не погашают индивидуальных различий в значениях варьирующего признака и поэтому являются дополнительными и очень важными характеристиками статистической совокупности. На практике они часто используются вместо средней либо наряду с ней. Особенно целесообразно вычислять медиану и моду в тех случаях, когда изучаемая совокупность содержит некоторое количество единиц с очень большим или очень малым значением варьирующего признака. Эти, не очень характерные для совокупности значения вариантов, влияя на величину средней арифметической, не влияют на значения медианы и моды, что делает последние очень ценными для экономико-статистического анализа показателями.

Показатели вариации

Целью статистического исследования является выявление основных свойств и закономерностей изучаемой статистической совокупности. В процессе сводной обработки данных статистического наблюдения строят ряды распределения. Различают два типа рядов распределения - атрибутивные и вариационные, в зависимости от того, является ли признак, взятый за основу группировки, качественным или количественным.

Вариационными называют ряды распределения, построенные по количественному признаку. Значения количественных признаков у отдельных единиц совокупности не постоянны, более или менее различаются между собой. Такое различие в величине признака носит название вариации. Отдельные числовые значения признака, встречающиеся в изучаемой совокупности, называют вариантами значений. Наличие вариации у отдельных единиц совокупности обусловлено влиянием большого числа факторов на формирование уровня признака. Изучение характера и степени вариации признаков у отдельных единиц совокупности является важнейшим вопросом всякого статистического исследования. Для описания меры изменчивости признаков используют показатели вариации.

Другой важной задачей статистического исследования является определение роли отдельных факторов или их групп в вариации тех или иных признаков совокупности. Для решения такой задачи в статистике применяются специальные методы исследования вариации, основанные на использовании системы показателей, с помощью которых измеряется вариация. В практике исследователь сталкивается с достаточно большим количеством вариантов значений признака, что не дает представления о распределении единиц по величине признака в совокупности. Для этого проводят расположение всех вариантов значений признака в возрастающем или убывающем порядке. Этот процесс называют ранжированием ряда. Ранжированный ряд сразу дает общее представление о значениях, которые принимает признак в совокупности.

Недостаточность средней величины для исчерпывающей характеристики совокупности заставляет дополнять средние величины показателями, позволяющими оценить типичность этих средних путем измерения колеблемости (вариации) изучаемого признака. Использование этих показателей вариации дает возможность сделать статистический анализ более полным и содержательным и тем самым глубже понять сущность изучаемых общественных явлений.

Самыми простыми признаками вариации являются минимум и максимум - это наименьшее и наибольшее значение признака в совокупности. Число повторений отдельных вариантов значений признаков называют частотой повторения. Обозначим частоту повторения значения признака fi, сумма частот, равная объему изучаемой совокупности будет:

где k - число вариантов значений признака. Частоты удобно заменять частостями - wi. Частость - относительный показатель частоты - может быть выражен в долях единицы или процентах и позволяет сопоставлять вариационные ряды с различным числом наблюдений. Формально имеем:

Для измерения вариации признака применяются различные абсолютные и относительные показатели. К абсолютным показателям вариации относятся среднее линейное отклонение, размах вариации, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.

Размах вариации (R) представляет собой разность между максимальным и минимальным значениями признака в изучаемой совокупности: R = Xmax - Xmin. Этот показатель дает лишь самое общее представление о колеблемости изучаемого признака, так как показывает разницу только между предельными значениями вариантов. Он совершенно не связан с частотами в вариационном ряду, т. е. с характером распределения, а его зависимость может придавать ему неустойчивый, случайный характер только от крайних значений признака. Размах вариации не дает никакой информации об особенностях исследуемых совокупностей и не позволяет оценить степень типичности полученных средних величин. Область применения этого показателя ограничена достаточно однородными совокупностями, точнее, характеризует вариацию признака показатель, основанный на учете изменчивости всех значений признака.

Для характеристики вариации признака нужно обобщить отклонения всех значений от какой-либо типичной для изучаемой совокупности величины. Такие показатели

вариации, как среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение, основаны на рассмотрении отклонений значений признака отдельных единиц совокупности от средней арифметической.

Среднее линейное отклонение представляет собой среднюю арифметическую из абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их средней арифметической:

Абсолютное значение (модуль) отклонения варианта от средней арифметической; f- частота.

Первая формула применяется, если каждый из вариантов встречается в совокупности только один раз, а вторая - в рядах с неравными частотами.

Существует и другой способ усреднения отклонений вариантов от средней арифметической. Этот очень распространенный в статистике способ сводится к расчету квадратов отклонений вариантов от средней величины с их последующим усреднением. При этом мы получаем новый показатель вариации - дисперсию.

Дисперсия (σ 2) - средняя из квадратов отклонений вариантов значений признака от их средней величины:

Вторая формула применяется при наличии у вариантов своих весов (или частот вариационного ряда).

В экономико-статистическом анализе вариацию признака принято оценивать чаще всего с помощью среднего квадратического отклонения. Среднее квадратическое отклонение (σ) представляет собой корень квадратный из дисперсии:

Среднее линейное и среднее квадратическое отклонения показывают, на сколько в среднем колеблется величина признака у единиц исследуемой совокупности, и выражаются в тех же единицах измерения, что и варианты.

В статистической практике часто возникает необходимость сравнения вариации различных признаков. Например, большой интерес представляет сравнение вариаций возраста персонала и его квалификации, стажа работы и размера заработной платы и т. д. Для подобных сопоставлений показатели абсолютной колеблемости признаков - среднее линейное и среднее квадртическое отклонение - не пригодны. Нельзя, в самом деле, сравнивать колеблемость стажа работы, выражаемую в годах, с колеблемостью заработной платы, выражаемой в рублях и копейках.

При сравнении изменчивости различных признаков в совокупности удобно применять относительные показатели вариации. Эти показатели вычисляются как отношение абсолютных показателей к средней арифметической (или медиане). Используя в качестве абсолютного показателя вариации размах вариации, среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение, получают относительные показатели колеблемости:

Наиболее часто применяемый показатель относительной колеблемости, характеризующий однородность совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33 % для распределений, близких к нормальному.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

хорошую работу на сайт">

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

В ведение

В данной курсовой работе рассмотрена тема изучения метода средних величин. В них отображаются основные показатели, которые характеризуют общественные явления, к примеру, товарооборот, заработанная плата, товарные запасы, цены, рождаемость. Характеризуются средними величинами и качественные показатели коммерческой деятельности: прибыль, издержки обращения, рентабельность и т.п. Верное понимания сути средней посредством единичного и случайного позволяет выявить необходимое и общее, а также извлечь тенденцию закономерностей социального и экономического развития. Метод средних величин свое применение находит при статистических исследованиях в любой сфере.

В теоретическом разделе изучим виды средних величин, а именно: средняя арифметическая, гармоническая, геометрическая, квадратическая, кубическая, а также структурные средние величины - в экономическом анализе и условия их использования.

В практической части представлены задания на нахождение средних величин, на примере данных задач будут показаны разные способы расчета средних величин, а также их использование в экономическом анализе.

1 . Средние величины в экономическом анализе

Как известно статистика исследует массовые социально-экономические явления. Любое из данных явлений может иметь разное количественное выражение одного какого-либо признака. К примеру, зарплата одной какой-либо профессии сотрудников или цены на рынке на какую-либо продукцию и т.д. Средние величины отражают качественные показатели коммерческой деятельности: прибыль, издержки обращения, рентабельность и т.п.

С целью изучения определенной совокупности по варьирующим (изменяющимся количественно) признакам использует статистика средние величины.

Средней величиной называют обобщающий показатель, который характеризует типичный уровень явления в определенных условиях места и времени, который отражает величину варьирующего признака в ходе расчета на 1 ед. качественно однородной совокупности. Число показателей, вычисленных в виде средних величин, и используемых на практике достаточно велико.

Основное свойство средней величины состоит в том, что средняя величина представляет значение конкретного признака во всей совокупности 1-им числом, независимо от количественных различий его у отдельных единиц совокупности, а также выражает то общее, что всем единицам анализируемой совокупности присуще. Итак, через характеристику единицы совокупности средняя величина характеризует всю совокупность в общем.

Они связаны с законом больших чисел. Сущность данной связи заключается в том, что случайные отклонения индивидуальных величин при осреднении по закону больших чисел взаимопогашаются и в средней выявляется главная тенденция развития.

Средние величины могут сравнивать показатели, которые относятся к совокупностям с разной численностью единиц. Основным условием научного использования средних величин в оценке общественных явлений является однородная совокупность, для которой рассчитывается средняя величина. Одинаковая по технике вычисления и форме средняя величина при условии неоднородной совокупности является фиктивной, а для однородной совокупности она соответствует действительности.

Определяется качественная однородность совокупности за счет всестороннего теоретического анализа сущности какого-либо явления. К примеру, в расчете средней урожайности необходимо, чтобы исходные данные относились к однородной культуре (то есть средняя урожайность пшеницы) или группе культур (к примеру, средняя урожайность зерновых). Невозможно рассчитывать среднюю величину для разнородных культур.

Итак, главными свойствами средней являются:

Наличие устойчивости - это позволяет извлекать закономерности развития явлений.

Помогает охарактеризовать развитие уровня явления относительно времени.

Помогает извлекать и охарактеризовать связь между двумя и несколькими явлениями.

Фактор, по которому проводится осреднение, называют усредняемым признаком. А его величина у каждой единицы совокупности называют ее индивидуальным значением.

То значение признака, которое встречается у отдельных единиц или групп единиц и не повторяется, называется его вариантом.

Средняя может принимать значения такие, которые не присущи ни одному из составляющей совокупности. Также на практике очень часто средняя величина выражается для дискретного признака как для непрерывного. К примеру, среднее число родившихся на каждую 1000 населения в регионе: имеются в регионе населенные пункты, где в каждом складывается свой уровень рождаемости. Для расчета средней рождаемости по региону надо численность родившихся всех младенцев соотнести с численностью населения, а полученный результат умножить на 1000.

Итог расчета средней величины по этому показателю может выражаться и в дробях, даже несмотря на то, что число родившихся - это целое число.

Средняя является равнодействующей всех факторов, которые оказывают влияние на исследуемое явление. Другими словами, при их расчете взаимопогашаются влияние случайных факторов, а далее возможно определение закономерности, которая присуще изучаемому явлению.

Значение метода средних величин состоит в возможности перехода от единичного к общему, от случайного к закономерному, существование средних величин является категорией объективной действительности.

Таким образом, к расчету средней предъявляются следующие основные требования:

Их нужно рассчитывать таким образом, чтобы средняя величина погашала то, что мешает извлечению характерных черт и закономерностей в развитии явления, а не затушевывала развитие.

Она может быть рассчитана только для однородной совокупности. Средняя величина, которая была рассчитана для неоднородной совокупности, называется огульной.

Одинаковые по технике вычисления и форме средние величины в одних случаях могут быть огульными, а в иных - общими в зависимости от того, с какой целью их интерпретируют.

Не стоит забывать, что средняя величина дает всегда обобщенную характеристику только по одному признаку. Каждая же единица совокупности имеет много признаков. Поэтому необходимо рассчитывать систему средних, чтобы охарактеризовать явление со всех сторон.

Расчет средних величин производится по правилам, разработанные математической статистикой.

Приемы в математике, которые используются в разных разделах статистики, связаны непосредственно с расчетом средних величин.

В общественных явлениях средние величины относительно постоянны, другими словами, в течение обозначенного промежутка времени однотипные явления отражаются примерно одинаковыми средними.

Важным условием расчета средних величин для изучаемой совокупности является качественная ее однородность. Допустим, отдельные составляющие совокупности, в ходе подверженности влиянию какого-либо случайного фактора, имеют очень большие (малые) размеры изучаемого признака, которые существенно отличаются от остальных. Данные элементы повлияют на размер средней величины для этой совокупности, так что средняя величина не будет выражать наиболее характерную величину признака для совокупности.

Средняя величина является обобщающей статистической характеристикой, в которой получает количественное выражение типичный уровень признака, обладающей членами исследуемой совокупности. Однако одной средней нельзя охарактеризовать все черты распределения статистики. Существуют совпадения средних арифметических величин при разном распределении.

Показатели вариации используются с целью характеристики и упорядочения совокупностей статистики. Вариацией называют различие в величинах определенного признака у разных единиц совокупности в один и тот же период времени. Вариация помогает понять сущность рассматриваемого явления. Относятся к показателям вариации размах вариации, дисперсия, среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение, а также коэффициент вариации.

Если изучаемое явление не является однородным, тогда его разбивают на группы, которые содержат однородные элементы. Для данного явления рассчитываются в первую очередь средние по группам, они выражают более типичную величину явления в каждой группе. Далее для всех элементов рассчитывается общая средняя величина, которая характеризует явление в целом. Рассчитывается она как средняя из групповых средних, взвешенных по числу элементов совокупности, которые включены в каждую группу.

Однако на практике безусловное исполнение этого условия повлекло за собой бы ограничение возможностей статистического анализа. Так что средние величины часто рассчитываются по неоднородным явлениям.

Еще одним основным условием использования средних величин в статистическом анализе является достаточное число единиц в совокупности, по которой производят расчет средних значений признака. Достаточность изучаемых единиц обеспечивается корректным определением границ исследуемой совокупности. Такое условие становится решающим в случае использования выборочного наблюдения, когда важно обеспечить репрезентативность выборки.

Определение минимального и максимального значения признака в рассматриваемой совокупности является также условием использования средней величины в статистическом анализе. Если существуют большие отклонения между крайними значениями и средней, то важно проверить принадлежность экстремумов к изучаемой совокупности. Если сильная изменчивость признака вызвана кратковременными и случайными факторами, тогда возможно, что крайние значения не характерны для совокупности. А значит, их необходимо исключить из анализа, поскольку они оказывают влияние на среднюю.

2 . Виды средних величин

Средние величины делятся на два больших класса: степенные средние и структурные средние

Степенные средние:

Арифметическая

Гармоническая

Геометрическая

Квадратическая

Структурные средние:

Выбор формы средней величины зависит от исходной базы расчета средней и от имеющейся экономической информации для ее расчета.

Исходной базой расчета и ориентиром правильности выбора формы средней величины являются экономические соотношения, выражающие смысл средних величин и взаимосвязь между показателями.

Расчет некоторых средних величин:

Средняя заработная плата 1 работника = Фонд заработной платы / Число работников

Средняя цена 1 продукции = Стоимость производства / Количество единиц продукции

Средняя себестоимость 1 изделия = Стоимость производства / Количество единиц продукции

Средняя урожайность = Валовый сбор / посевная площадь

Средняя производительность труда = объем продукции, работ, услуг / Отработанное время

Средняя трудоемкость = отработанное время / объем продукции, работ, услуг

Средняя фондоемкость = Средняя стоимость основных фондов / объем продукции, работ и услуг

Средняя фондоотдача = объем продукции, работ и услуг / средняя стоимость основных фондов

Средняя фондовооруженность = средняя величина основных производственных фондов / среднесписочная численность производственного персонала

Средний процент брака = (стоимость бракованной продукции / Стоимость всей произведенной продукции) * 100%

Перечисленные виды средних величин можно объединить общей формулой (среднее значение исследуемого явления):

m - показатель степени средней величины;

х - текущее значение осредняемого признака;

n - число признаков.

В зависимости от значения показателя степени m различают следующие виды степенных средних величин, если:

m = -1 - средняя гармоническая;

m = 0 - средняя геометрическая;

m = 1 - средняя арифметическая;

m = 2 - средняя квадратичная.

В экономике используется большое количество показателей, вычисляемых в виде средних величин. К примеру, интегральным показателем доходов работающих акционерного общества (АО) служит средний доход одного рабочего, который определяется отношением суммарного фонда заработной платы и выплат социального характера за определенный период (год, квартал, месяц) к итоговой численности рабочих АО.

Для рабочих с одинаковым уровнем доходов, например, сотрудников бюджетной сферы и пенсионеров по старости можно определить доли расходов на покупку продуктов питания. Так можно расчитать среднюю продолжительность рабочего дня, средний тарифный разряд рабочих, средний уровень производительности труда и т.д.

Правило мажорантности средних: чем выше показатель степени m, тем больше величина средней.

Средняя арифметическая величина обладает следующими свойствами:

Сумма отклонений индивидуальных значений признака от его среднего значения равна нулю.

Если все значения признака (х) увеличить (уменьшить) в одно и то же число К раз, то средняя увеличится (уменьшится) в К раз.

Если все значения признака (x) увеличить (уменьшить) на одно и то же число A, то средняя увеличится (уменьшится) на это же число А.

Если все значения весов (f) увеличить или уменьшить в одно и то же число раз, то средняя не изменится.

Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше, чем от любого другого числа. Если при замене индивидуальных величин признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменную сумму квадратов исходных величин, то средняя будет являться квадратической средней величиной.

Одновременное использование некоторых свойств позволяют упростить расчет средней арифметической: можно из всех значений признака вычесть постоянную величину А, разности сократить на общий множитель K, а все веса f разделить на одно и то же число и, по измененным данным, рассчитать среднюю. Затем, если полученное значение средней умножить на K, а к произведению прибавить А, то получим искомое значение средней арифметической по формуле:

Полученная, таким образом, преобразованная средняя, называется моментом первого порядка, а вышеизложенный способ расчета средней - способом моментов, или отсчетом от условного нуля.

Если при группировке значения осредняемого признака заданы интервалами, то при расчете средней арифметической величины, в качестве значения признака в группах, принимают середины этих интервалов, то есть исходят из предположения о равномерном распределении единиц совокупности по интервалу значений признака. Для открытых интервалов в первой и последней группе, если таковые есть, значения признака необходимо определять экспертным путем, исходя из сущности свойств признака и совокупности.

При отсутствии возможности экспертной оценки, значения признака в открытых интервалах для нахождения недостающей границы открытого интервала, применяют размах (разность между значениями конца и начала интервала) соседнего интервала (принцип «соседа»). Иными словами - ширину (шаг) открытого интервала определяют по величине рядом стоящего интервала.

3. П рактическое применение средних величин

Средние величины используются для нахождения уравнения регрессии.

Исходные данные показателей x и y, а также промежуточные расчеты для нахождения коэффициентов уравнения линейной регрессии представлены в таблице 1.

Таблица 1 - Расчеты, необходимые для нахождения параметров регрессии

	Надой молока на 1 корову (Y)

Формула уравнения регрессии:

Найдем коэффициент регрессии a1

Линейное уравнение регрессии: у = 183,7241х + 2171,751

2) Прежде, чем построить эмпирическую и теоретическую линии зависимости у от х, построим таблицу значений.

Таблица 2 - Значения теоретической и эмпирической функций

	Продолжительность вегетативного периода(Х)	Надой молока на 1 корову (Y)

Точки линейной регрессии и эмпирические значения представлены на графике ниже (рис. 1).

Рисунок 1 - Эмпирические и теоретические значения

3) Линейный коэффициент корреляции:

Связь между признаками прямая, несущественная.

4) Коэффициент детерминации:

R2 = (0,28*0,28)*100% = 7,84%

Коэффициент алиенации: А= 0,96

5) Рассчитаем ошибку коэффициента корреляции и достоверность коэффициента.

Проверим значимость r с помощью критерия Стьюдента при уровне значимости а=0,05

6) Коэффициент Спирмэна будет невозможно правильно сравнить с табличным значением, поскольку объем выборки больше 40.

7) Коэффициент корреляции знаков Ферхена

Таблица 3 - Число С, Н

	Надой молока на 1 корову (Y)	Продолжительность вегетативного периода(Х)

С=24; Н=41-24 = 17

Кф = (24-17)/41 = 0,17<0,3 => связь несущественная

8) Коэффициент корреляции показывает, что связь между продолжительностью вегетативного периода и надоем молока на 1 корову прямая, но несущественная. Коэффициент детерминации намного меньше 50%, следовательно, зависимость между двумя признаками слабая. По всем способам проверки значимости коэффициента детерминации было выяснено, что коэффициент линейной корреляции незначим.

Модой называется значение признака (варианта), чаще всего встречающееся в изучаемой совокупности. В дискретном ряду распределения модой будет варианта с наибольшей частотой.

Например: Распределение проданной женской обуви по размерам характеризуется следующим образом:

Таблица 4 - Проданная женская обувь по размерам

В этом ряду распределения модой является 37 размер, т.е. Мо = 37.

Для интервального ряда распределения мода определяется по формуле:

где ХMo - нижняя граница модального интервала;

hMo - величина модального интервала;

fMo - частота модального интервала;

fMo-1 и fMo+1 - частота интервала соответственно

предшествующего модальному и следующего за ним.

Например: Распределение рабочих по стажу работы характеризуется следующими данными.

Таблица 5

Определить моду интервального ряда распределения.

Мода интервального ряда составляет:

Мо = 6+2х(35-20)/(35-20+35-11) = 6,77 года.

Мода всегда бывает несколько неопределённой, т.к. она зависит от величины групп и точного положения границ групп. Мода широко применяется в коммерческой практике при изучении покупательского спроса, при регистрации цен и т.п.

Медианой в статистике называется варианта, расположенная в середине упорядоченного ряда данных, и которая делит статистическую совокупность на две равные части так, что у одной половины значения меньше медианы, а у другой половины - больше её. Для определения медианы необходимо построить ранжированный ряд, т.е. ряд в порядке возрастания или убывания индивидуальных значений признака.

В дискретном упорядоченном ряду с нечётным числом членов медианой будет варианта, расположенная в центре ряда.

Например: Стаж пяти рабочих составил 2, 4, 7, 9 и 10 лет. В таком ряду медиана-7 лет, т.е. Ме=7 лет

Если дискретный упорядоченный ряд состоит из чётного числа членов, то медианой будет средняя арифметическая из двух смежных вариант, стоящих в центре ряда.

Например: Стаж работы шести рабочих составил 1, 3, 4, 5, 10 и 11лет. В этом ряду имеются две варианты, стоящие в центре ряда. Это варианты 4 и 5. Средняя арифметическая из этих значений и будет медианой ряда:

Ме = (4+5)/2 = 4,5 года

Чтобы определить медиану для сгруппированных данных, необходимо считать накопленные частоты.

Например: По имеющимся данным определим медиану размера обуви

Таблица 6

Размер обуви	Количество проданных пар	Сумма накопленных частот

средний величина медиана мода

Для определения медианы надо подсчитать сумму накопленных частот ряда. Наращивание итога продолжается до получения накопленной суммы частот, превышающей половину суммы частот ряда. В нашем примере сумма частот составила 300, её половина - 150. Накопленная сумма частот получилась равной 169. Варианта, соответствующая этой сумме, т.е. 37 и есть медиана ряда.

Если же сумма накопленных частот против одной из вариант равна точно половине суммы частот ряда, то медиана определяется как средняя арифметическая этой варианты и последующей.

Например: По имеющимся данным определим медиану заработной платы рабочих

Таблица 7

Медиана будет равна:

Ме = (16,0+16,8)/2 = 16,4 тыс. руб.

Медиана интервального вариационного ряда распределения определяется по формуле:

Где ХМе - нижняя граница медианного интервала;

hMe - величина медианного интервала;

F - сумма частот ряда;

fМе - частота медианного интервала;

Таблица 8

	Число предприятий	Сумма накопленных частот

Определим, прежде всего, медианный интервал. В данном примере сумма накопленных частот, превышающих половину суммы всех значений ряда, соответствует интервалу 400-500.Это и есть медианный интервал, т.е. интервал, в котором находится медиана ряда. Определим её значение:

Ме = 400+100х(80/2 -11)/30 = 400+96,66 = 496,66 чел.

Если же сумма накопленных частот против одного из интервалов равна точно половине суммы частот ряда, то медиана определяется по формуле:

где n - число единиц в совокупности.

Например: По имеющимся данным о распределении предприятий по численности промышленно - производственного персонала рассчитать медиану в интервальном вариационном ряду

Таблица 9

Группы предприятий по численности ППП, чел.	Число предприятий	Сумма накопленных частот

Медиана рассчитывается следующим образом:

Ме = 500+100((80+1)/2 - 40)/20 = 502,5 чел.

Моду и медиану в интервальном ряду можно определить графически:

Моду в дискретных рядах - по полигону распределения;

Моду в интервальных рядах - по гистограмме распределения;

Медиану - по кумуляте.

Мода интервального ряда распределения определяется по гистограмме распределения определяют следующим образом.

Для этого выбирается самый высокий прямоугольник, который является в данном случае модальным. Затем правую вершину модального прямоугольника соединяем с правым верхним углом предыдущего прямоугольника. А левую вершину модального прямоугольника - с левым верхним углом последующего прямоугольника. Далее из точки их пересечения опускают перпендикуляр на ось абсцисс. Абсцисса точки пересечения этих прямых и будет модой распределения.

Рисунок 2 - Графическое определение моды по гистограмме

Медиана рассчитывается по кумуляте. Для её определения из точки на шкале накопленных частот (частостей), соответствующей 50%, проводится прямая, параллельная оси абсцисс, до пересечения с кумулятой. Затем из точки пересечения указанной прямой с кумулятой опускается перпендикуляр на ось абсцисс. Абсцисса точки пересечения является медианой.

Рисунок 3 - Графическое определение медианы по кумуляте

Кроме моды и медианы в вариантных рядах могут быть определены и другие структурные характеристики - квантили.

Квантили предназначены для более глубокого изучения структуры ряда распределения.

Квантиль - это значение признака, занимающее определенное место в упорядоченной по данному признаку совокупности.

Предоставляют важную информацию о структуре вариационного ряда какого-либо признака. Вместе с медианой они делят вариационный ряд на 4 равные части. Квартилей две, их обозначают символами Q, верхняя и нижняя квартиль. 25% значений меньше, чем нижняя квартиль, 75% значений меньше, чем верхняя квартиль.

Для расчёта квартили надо поделить вариационный ряд медианой на две равные части, а затем в каждой из них найти медиану. К примеру, если выборка состоит из 6 элементов, тогда за начальную квартиль выборки принимается второй элемент, а за нижнюю квартиль пятый элемент.

Различают следующие виды квантилей:

Квартили - значения признака, делящие упорядоченную совокупность на четыре равные части;

Децили - значения признака, делящие упорядоченную совокупность на десять равных частей;

Перцентели - значения признака, делящие упорядоченную совокупность на сто равных частей.

Таким образом, для характеристики положения центра ряда распределения можно использовать 3 показателя: среднее значение признака, мода, медиана.

При выборе вида и формы конкретного показателя центра распределения необходимо исходить из следующих рекомендаций:

Для устойчивых социально-экономических процессов в качестве показателя центра используют среднюю арифметическую.

Такие процессы характеризуются симметричными распределениями, в которых

Для неустойчивых процессов положение центра распределения характеризуется с помощью Mo или Me.

Для асимметричных процессов предпочтительной характеристикой центра распределения является медиана, поскольку занимает положение между средней арифметической и модой.

З аключение

Подводя итог можно сказать, что область применения и использования средних величин в статистике довольно широка.

Средние величины - это обобщающие показатели, в которых находят выражения действие общих условий, закономерность изучаемого явления. Статистические средние рассчитываются на основе массовых данных правильно статистически организованного массового наблюдения (сплошного или выборочного). Однако статистическая средняя будет объективна и типична, если она рассчитывается по массовым данным для качественно однородной совокупности (массовых явлений). Применение средних должно исходить из диалектического понимания категорий общего и индивидуального, массового и единичного.

Средняя отражает то общее, что складывается в каждом отдельном, единичном объекте, именно по - этому средняя имеет большое значение для выявления закономерностей присущих массовым общественным явлениям и незаметных в единичных явлениях.

Отклонение индивидуального от общего - проявление процесса развития. В отдельных единичных случаях могут быть заложены элементы нового, передового. В этом случае именно конкретных фактор, взятые на фоне средних величин, характеризует процесс развития. Поэтому в средней и отражается характерный, типичный, реальный уровень изучаемых явлений. Характеристики этих уровней и их изменений во времени и в пространстве являются одной из главных задач средних величин. Так, через средние проявляется, например, изменение благосостояния населения находит свое отражение в средних показателях заработной платы, доходов семьи в целом и по отдельным социальным группам, уровня потребления продуктов, товаров и услуг.

Средний показатель - это значение типичное (обычное, нормальное, сложившееся в целом), но таковым оно является потому, что формируется в нормальных, естественных условиях существования конкретного массового явления, рассматриваемого в целом. Средняя отображает объективное свойство явления. В действительности часто существует только отклоняющиеся явления, и средняя как явления может и не существовать, хотя понятие типичности явления и заимствуется из действительности.

Средняя величина является отражением значения изучаемого признака и, следовательно, измеряется в той же размеренности что и этот признак. Однако существуют различные способы приближенного определения уровня распределения численности для сравнения сводных признаков, непосредственно не сравнимых между собой, например средняя численность населения по отношению к территории (средняя плотность населения). В зависимости от того, какой именно фактор нужно элиминировать, будет находиться и содержание средней.

Сочетание общих средних с групповыми средними дает возможность ограничить качественно однородные совокупности. Расчленяя массу объектов, составляющих то или иное сложное явления, на внутренне однородные, но качественно различные группы, характеризуя каждую из групп своей средней, можно вскрыть резервы процесс нарождающегося нового качества. Например, распределения населения по доходу позволяет выявить формирование новых социальных групп.

Литература

1. Батурина И., Непринцева Е. Производство и предложение. Издержки и прибыль. \\ Жур. «Российский экономический журнал». № 3., 2009, с. 119.

2. Беложецкий И.А. Прибыль предприятия. // Жур. «Финансы», № 3, 2009, с. 40.

3. Булатова А.С. Экономика: Учебник. - М.: Изд-во БЕК. - 2008. - с. 632.

4. Вероятность. Примеры и задачи: А. Шень - Москва, МЦНМО, 2009 г.- 64 с.

5. Долан Э. Дж., Линдсей Д. Микроэкономика. - 2009. - с. 448.

6. Елисеева И.И. Общая теория статистики: учебник для вузов / И.И. Елисеева, М.М. Юзбашев; под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2009. - 656 с.

7. Ефимова М.Р. Практикум по общей теории статистики: учебное пособие для вузов / М.Р. Ефимова и др. - М.: Финансы и статистика, 2007. - 368 с.

8. Зубко Н.М. Экономическая теория - Мн.: НТЦ АПИ. - 2008. - с. 311.

9. Емцов Р.Г., Лукин М.Ю. Микроэкономика: Учебник. - М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, Изд-во ДИС. - 2009. - с. 320.

10. Эдвин Дж. Долан, Дейвид Е. Линдсей. Рынок: микроэкономическая модель. Пер. с англ. СПб.: 2010. - с. 224.

11. Хайман Д.Н. Современная микроэкономика: анализ и применение. Пер. с англ. М.: Финансы и статистика, 2008 г., т. 1 с. 116.

12. Кодацкий В.П. Проблемы формирования прибыли. // Жур. «Экономист», № 3, 2010, с. 49-60.

13. Общая теория статистики: Статистическая методология в изучении коммерческой деятельности: учебник для вузов / О.Э. Башина и др.; под ред. О.Э. Башиной, А.А. Спирина. - М.: Финансы и статистика, 2008. - 440 с.

14. Салин В.Н. Курс теории статистики для подготовки специалистов финансово-экономического профиля: учебник / В.Н. Салин, Э.Ю. Чурилова. - М.: Финансы и статистика, 2008. - 480 с.

15. Социально-экономическая статистика: практикум: учебное пособие / В.Н. Салин и др.; под ред. В.Н. Салина, Е.П. Шпаковской. - М.: Финансы и статистика, 2009. - 192 с.

16. Статистика: учебное пособие / А.В. Багат и др.; под ред. В.М. Симчеры. - М.: Финансы и статистика, 2010. - 368 с.

17. Статистика: учебник / И.И. Елисеева и др.; под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Высшее образование, 2008. - 566 с.

18. Теория статистики: учебник для вузов / Р.А. Шмойлова и др.; под ред. Р.А. Шмойловой. - М.: Финансы и статистика, 2008. - 656 с.

19. Шмойлова Р.А. Практикум по теории статистики: учебное пособие для вузов / Р.А. Шмойлова и др.; под ред. Р.А. Шмойловой. - М.: Финансы и статистика, 2009. - 416 с.

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

Виды и применение абсолютных и относительных статистических величин. Сущность средней в статистике, виды и формы средних величин. Формулы и техника расчетов средней арифметической, средней гармонической, структурной средней. Расчет показателей вариации.

лекция , добавлен 13.02.2011


Группы средних величин: степенные, структурные. Особенности применения средних величин, виды. Рассмотрение основных свойств средней арифметической. Характеристика структурных средних величин. Анализ примеров на основе реальных статистических данных.

курсовая работа , добавлен 24.09.2012


Понятие абсолютной и относительной величины в статистике. Виды и взаимосвязи относительных величин. Средние величины и общие принципы их применения. Расчет средней через показатели структуры, по результатам группировки. Определение показателей вариации.

лекция , добавлен 25.09.2011


Применение приема балансовых сопоставлений для определения соотношения между источниками ресурсов. Сопоставление статей баланса на отчетный период. Средние величины в экономическом анализе: среднеарифметические, геометрические, простые, средневзвешенные.

контрольная работа , добавлен 06.08.2015


Расчет средних уровней производительности труда и показателей вариации. Понятие моды и медианы признака, построение полигона и оценка характера асимметрии. Методика выравнивания ряда динамики по прямой линии. Индивидуальные и агрегатные индексы объема.

контрольная работа , добавлен 24.09.2012


Изучение сущности, видов, сферы применения средних величин. Характеристика степенных средних величин: средняя арифметическая; средняя гармоническая; средняя геометрическая; средняя квадратическая. Анализ структурных величин: медиана, мода, их расчет.

курсовая работа , добавлен 16.01.2010


Технико-экономические показатели групп заводов; ряды распределения. Относительные величины интенсивности, цепные и базисные индексы товарооборота. Расчет средней величины, моды и медианы. Среднее квадратическое отклонение; дисперсия, коэффициент вариации.

контрольная работа , добавлен 06.10.2013


Средние статистические величины и аналитическая группировка данных предприятия. Результаты расчета коэффициента Фехнера по цехам. Измерение степени тесноты связи в статистике с помощью показателя корреляции. Поля корреляции и уравнения регрессии для цеха.

практическая работа , добавлен 26.11.2012


Определение фактического уровня безработицы. Макроэкономические показатели экономики России. Расчеты величины спроса после изменения цены. Определение величины бухгалтерской и экономической прибыли за год. Расчеты величины реального ВВП государства.

контрольная работа , добавлен 15.01.2011


Условия применения средних величин в анализе. Виды средних величин. Средняя арифметическая. Средняя гармоническая. Средняя геометрическая. Средняя квадратическая и средняя кубическая. Структурные средние.