Об аксиоматическом способе построения теории. Аксиоматические определения

Главная

Про природу

В качестве основного понятия при аксиоматическом построении арифметики натуральных чисел взято отношение , заданное на непустом множестве N. Известными также считаются понятие множества, элемента множества и другие теоретико-множественные понятия, а также правила логики.

Элемент, непосредственно следующий за элементом а, обозначают а".

Суть отношения «непосредственно следовать за» раскрывается в следующих аксиомах.

Аксиома 1 .В множестве N существует элемент, непосредственно не следующий ни за каким элементом этого множества. Будем называть его единицей, и обозначать символом 1.

Аксиома 2 .Для каждого элемента а из N существует единственный элемент а", непосредственно следующий за а.

Аксиома 3. Для каждого элемента а из N существует не более одного элемента, за которым непосредственно следует а.

Аксиома 4 .Всякое подмножество М множества N совпадает с N, если обладает свойствами: 1) 1 содержится в М; 2) из того, что а содержится в М, следует, что и а" содержится в М.

Сформулированные аксиомы часто называют аксиомами Пеано.

Используя отношение «непосредственно следовать за» и аксиомы 1-4, можно дать следующее определение натурального числа.

Определение. Множество N, для элементов которого установлено отношение «непосредственно следовать за», удовлетворяющее аксиомам 1-4, называется множеством натуральных чисел, а его элементы - натуральными числами.

В данном определении ничего не говорится о природе элементов множества N.Значит, она может быть какой угодно. Выбирая в качестве множества N некоторое конкретное множество, на котором задано конкретное отношение «непосредственно следовать за», удовлетворяющее аксиомам 1- 4, мы получим модель данной системы аксиом. В математике доказано, что между всеми такими моделями можно установить взаимно однозначное соответствие, сохраняющее отношение «непосредственно следовать за», и все такие модели будут отличаться только природой элементов, их названием и обозначением. Стандартной моделью системы аксиом Пеано является возникший в процессе исторического развития общества ряд чисел: 1, 2, 3, 4, ...

Каждое число этого ряда имеет свое обозначение и название, которое мы будем считать известными.

Рассматривая натуральный ряд чисел в качестве одной из моделей аксиом 1- 4, следует отметить, что они описывают процесс образования этого ряда, причем происходит это при раскрытии в аксиомах свойств отношения «непосредственно следовать за». Так, натуральный ряд начинается с числа 1 (аксиома 1); за каждым натуральным числом непосредственно следует единственное натуральное число (аксиома 2); каждое натуральное число непосредственно следует не более чем за одним натуральным числом (аксиома 3); начиная от числа 1 и переходя по порядку к непосредственно следующим друг за другом натуральным числам, получаем все множество этих чисел (аксиома 4). Заметим, что аксиома 4 в формализованном виде описывает бесконечность натурального ряда, и на ней основано доказательство утверждений о натуральных числах.

Вообще моделью системы аксиом Пеано может быть любое счетное множество, например:

I,II,III,IIII,...

один, два, три, четыре,...

То обстоятельство, что в аксиоматических теориях не говорят об «истинной» природе изучаемых понятий, делает на первый взгляд эти теории слишком абстрактными и формальными, - оказывается, что одним и тем же аксиомам удовлетворяют различные множества объектов и разные отношения между ними. Однако в этой кажущейся абстрактности и состоит сила аксиоматического метода: каждое утверждение, выведенное логическим путем из данных аксиом, применимо к любым множествам объектов, лишь бы в них были определены отношения, удовлетворяющие аксиомам.

Итак, мы начали аксиоматическое построение системы натуральных чисел с выбора основного отношения «непосредственно следовать за» и аксиом, в которых описаны его свойства. Дальнейшее построение теории предполагает рассмотрение известных свойств натуральных чисел и операций над ними. Они должны быть раскрыты в определениях и теоремах, т.е. выведены чисто логическим путем из отношения «непосредственно следовать за», и аксиом 1- 4.

Первое понятие, которое мы введем после определения натурального числа, - это отношение «непосредственно предшествует», которое часто используют при рассмотрении свойств натурального ряда.

Определение. Если натуральное число b непосредственно следует за натуральным числом а, то число а называется непосредственно предшествующим (или предшествующим) числу b.

Отношение «предшествует» обладает рядом свойств. Они формулируются в виде теорем и доказываются с помощью аксиом 1 - 4.

Теорема 1. Единица не имеет предшествующего натурального числа.

Истинность данного утверждения вытекает сразу из аксиомы 1.

Теорема 2. Каждое натуральное число а, отличное от 1, имеет предшествующее число b , такое, что b " = а.

Доказательство. Обозначим через М множество натуральных чисел, состоящее из числа 1 и из всех чисел, имеющих предшествующее. Если число а содержится в М, то и число а" также есть в М, поскольку предшествующим для а" является число а. Это значит, что множество М содержит 1, и из того, что число а принадлежит множеству М, следует, что и число а" принадлежит М. Тогда по аксиоме 4 множество М совпадает с множеством всех натуральных чисел. Значит, все натуральные числа, кроме 1, имеют предшествующее число.

Отметим, что в силу аксиомы 3 числа, отличные от 1, имеют единственное предшествующее число.

Аксиоматическое построение теории натуральных чисел не рассматривается ни в начальной, ни в средней школе. Однако те свойства отношения «непосредственно следовать за», которые нашли отражение в аксиомах Пеано, являются предметом изучения в начальном курсе математики. Уже в первом классе при рассмотрении чисел первого десятка выясняется, как может быть получено каждое число. При этом используются понятия «следует» и «предшествует». Каждое новое число выступает как продолжение изученного отрезка натурального ряда чисел. Учащиеся убеждаются в том, что за каждым числом идет следующее, и притом только одно, что натуральный ряд чисел бесконечен. И конечно, знание аксиоматической теории поможет учителю методически грамотно организовать усвоение детьми особенностей натурального ряда чисел.

Неявное определение понятия путем указания множества аксиом, в которые оно входит наряду с другими понятиями. Аксиома представляет собой утверждение, принимаемое без доказательства. Совокупность аксиом какой-то теории является одновременно и свернутой формулировкой этой теории, и тем контекстом, который определяет все входящие в нее понятия. Напр., аксиомы геометрии Евклида являются тем ограниченным по своему объекту текстом, в котором встречаются понятия точки, прямой, плоскости и т. д., определяющим значения данных понятий. Аксиомы классической механики Ньютона задают значения понятий "масса", "сила", "ускорение" и др. Положения "Сила равна массе, умноженной на ускорение", "Сила действия равна силе противодействия" не являются явными определениями. Но они раскрывают, что представляет собой сила, указывая связи этого понятия с другими понятиями механики.

О. а. является частным случаем определения контекстуального. Принципиальная особенность О. а. заключается в том, что аксиоматический контекст строго ограничен и фиксирован. Он содержит все, что необходимо для понимания входящих в него понятий. Он ограничен по своей длине, а также по своему составу. В нем есть все необходимое и нет ничего лишнего.

О. а. - одна из высших форм научного определения понятий. Не всякая научная теория способна определить свои исходные понятия аксиоматически. Для этого требуется относительно высокий уровень развития знаний об исследуемой области; изучаемые объекты и их отношения должны быть также сравнительно просты. Точку, линию и плоскость Евклиду удалось определить с помощью немногих аксиом еще две с лишним тысячи лет назад. Но попытка охарактеризовать с помощью нескольких утверждений такие сложные, многоуровневые объекты, как общество, история или разум, не может привести к успеху. Аксиоматический метод здесь неуместен, он только огрубил бы и исказил реальную картину.

Отличное определение

Неполное определение ↓

АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Определение термина через множество аксиом (постулатов), в которые он входит и которые последовательно ограничивают область его возможных истолкований.

Напр., можно попытаться дать прямое определение понятия "равенство". Но можно привести систему истинных утверждений, включающих это понятие и неявно задающих его значение: "Каждый объект равен самому себе"; "В случае любых объектов, если первый равен второму, то второй равен первому"; "Для всех объектов верно, что если первый равен второму, а второй третьему, то первый равен третьему".

Чтобы узнать, к примеру, что значат слова "масса", "сила", "ускорение" и т. п., можно обратиться к аксиомам классической механики Ньютона. "Сила равна массе, умноженной на ускорение", "Сила действия равна силе противодействия" и т. д. - эти положения, указывая связи понятия "сила" с другими понятиями механики, раскрывают его сущность.

1. Непротиворечивость аксиоматических теорий

3. Независимость системы аксиом

4. Полнота аксиоматических теорий

В данной лекции речь пойдет об изучении аксиоматической теории как таковой. Математическую теорию, изучающую данную аксиоматическую теорию как единое целое, устанавливающую свойства данной аксиоматической теории, называют метатеорией по отношению к изучаемой теории, и методы математической логики являются основными методами этой науки. Факты, устанавливаемые в ней относительно изучаемой аксиоматической теории, называют метатеоремами, чтобы отличить их от собственно теорем Рассматриваемой теории. Вопросы, связанные с моделями данной аксиоматической теории, с ее непротиворечивостью, категоричностью, полнотой, со свойством независимости ее системы аксиом, - это и есть важнейшие вопросы, на которые должна дать ответ метатеория изучаемой аксиоматической теории. Эти понятия вкратце были изложены ранее при построении формализованного исчисления высказываний, а также при построении формализованного исчисления предикатов. Теперь же рассмотрим их более обстоятельно применительно к произвольной аксиоматической теории.

Непротиворечивость аксиоматических теорий

Это важнейшее свойство аксиоматических теорий и важнейшее требование, предъявляемое к ним, поскольку, как увидим ниже, противоречивые теории никакой ценности не представляют.

Определение 27.1. Аксиоматическая теория называется непротиворечивой, если ни для какого утверждения A , сформулированного в терминах этой теории, само утверждение A и его отрицание \lnot A не могут быть одновременно теоремами этой теории. Если для некоторого утверждения A теории оба утверждения A и \lnot A являются ее теоремами, то аксиоматическая теория называется противоречивой.

Покажем, что если аксиоматическая теория противоречива, а используемая в ней логическая система включает исчисление высказываний с правилом вывода [i]modus ponens (MP), то любое предложение С этой теории является ее теоремой.

Доказательство. В самом деле, ввиду противоречивости теории существует предложение A теории, такое, что A и \lnot A - ее теоремы. Рассмотрим следующую последовательность высказываний данной теории:

\ldots,A,\ldots,\lnot A,~ B_1,B_2,\ldots,B_s,~ A\to (\lnot A\to C),\lnot A\to C,~ C.

Многоточия перед A и \lnot A обозначают их выводы. Следующее s+1 высказывание - вывод истинного высказывания (эта формула есть тавтология, что легко проверить, и потому доказуема). Наконец, предпоследняя формула получена из A и A\to (\lnot A\to C) по правилу МР, а последняя - по тому же правилу из \lnot A и \lnot A\to C . Таким образом, данная последовательность есть доказательство утверждения C в рассматриваемой аксиоматической теории.

Ясно, что обратное утверждение также справедливо: если любое предложение аксиоматической теории является ее теоремой, то теория противоречива.

Следовательно, определения противоречивой и непротиворечивой аксиоматической теорий можно сформулировать и следующим равносильным образом. Аксиоматическая теория называется противоречивой , если любое утверждение, сформулированное в терминах этой теории, является ее теоремой, и называется непротиворечивой , если существует утверждение, не являющееся ее теоремой. Значит, противоречивая теория никакой ценности не имеет, потому что в ней можно доказать что угодно.

В связи со сказанным приобретает первостепенную важность проблема установления непротиворечивости аксиоматической теории. Ясно, что эта проблема имеет две стороны: отсутствие заложенного как бы внутрь системы аксиом противоречия (которое проявится при развитии теории) и истинность логических умозаключений, которые мы используем при построении доказательств. Таким образом, желая установить непротиворечивость той или иной аксиоматической теории, мы должны подвергнуть исследованию как ее математическое содержание (т.е. систему аксиом, лежащую в ее основе), так и саму логику. Ко второму моменту мы еще вернемся в дальнейшем, а сейчас посмотрим, как же решается вопрос о непротиворечивости системы аксиом, положенной в основу аксиоматической теории, об отсутствии противоречия внутри нее.

Во многих случаях этот вопрос удается решить с помощью понятия модели. Развивая аксиоматическую теорию на базе той или иной системы аксиом \Sigma , мы не вкладываем в ее основные понятия и отношения между ними никакого содержания сверх того, что сказано о них в аксиомах; в них содержатся все сведения об этих понятиях, необходимые для построения теории путем чисто логических умозаключений. Изменим теперь нашу точку зрения на первоначальные понятия: будем понимать под ними некоторые вполне определенные объекты и соотношения между ними из какой-нибудь области математики (другой аксиоматической теории), которую мы считаем уже установленной и обоснованной (непротиворечивой). Это придание каждому первоначальному понятию и отношениям между ними конкретного содержания посредством каких-то конкретных предметов и конкретных отношений между ними, как мы говорили в предыдущем параграфе, называется интерпретированием данной системы аксиом \Sigma . Совокупность этих конкретных предметов и отношений между ними называется интерпретацией данной системы аксиом. В результате каждая аксиома из \Sigma превращается во вполне определенное предложение из той уже обоснованной области математики (непротиворечивой аксиоматической теории), которая используется для интерпретации. Каждое из этих предложений может быть как истинным (теоремой), так и ложным в непротиворечивой аксиоматической теории, использованной для интерпретации. Если все аксиомы из \Sigma превращаются в истинные утверждения, то построенная интерпретация называется моделью данной системы аксиом \Sigma . (Если же хотя бы одна аксиома превратилась в ложное утверждение, то можно считать, что интерпретирование не удалось: ведь цель интерпретирования - построить модель системы аксиом!)

Если модель системы аксиом \Sigma построена, то отсюда следует чрезвычайно важный вывод о непротиворечивости этой системы аксиом. В самом деле, все теоремы аксиоматической теории , построенной на базе системы аксиом \Sigma , суть чисто логические следствия аксиом из \Sigma . В результате интерпретирования все аксиомы из \Sigma превратились в истинные предложения; значит, логически следующие из них теоремы также превратятся в истинные предложения (в смысле той аксиоматической теории, которая использована для построения модели). Поэтому, если предположить, что в исследуемой аксиоматической теории (построенной на базе системы аксиом \Sigma ) могут быть выведены две теоремы A и \lnot A , противоречащие друг другу, то в модели им соответствовали бы Два истинных утверждения A^{\ast} и \lnot A^{\ast} , также друг другу противоречащих (утверждение и его отрицание не могут быть одновременно истинными). Но это невозможно, так как аксиоматическая теория, в которой мы рассматриваем модель нашей системы аксиом \Sigma , считается свободной от противоречий (непротиворечивой).

Итак, предъявляемая модель системы аксиом служит обоснованием непротиворечивости соответствующей аксиоматической теории. Но, поскольку модель исходной системы аксиом \Sigma построена в некоторой другой аксиоматической теории, такое обоснование имеет относительный характер: исходная теория непротиворечива, если непротиворечива аксиоматическая теория, в терминах которой построена ее модель. Таким образом, вопрос о непротиворечивости одной аксиоматической теории сводится к вопросу о непротиворечивости другой аксиоматической теории.

Именно такова ситуация с геометрией Н.И.Лобачевского. Хорошо известны различные модели геометрии Лобачевского, построенные в геометрии Евклида. Наличие такой модели доказывает относительную непротиворечивость геометрии Лобачевского: она непротиворечива, если непротиворечива геометрия Евклида. В свою очередь, непротиворечивость геометрии Евклида также требует обоснования. Далее в курсе геометрии строится модель евклидовой геометрии в теории действительных чисел, чем устанавливается непротиворечивость первой относительно второй. Наконец, вопрос о непротиворечивости теории действительных чисел может быть сведен путем построения соответствующих моделей к вопросу о непротиворечивости теории натуральных чисел, построенной на основе системы аксиом Пеано.

К непротиворечивости арифметики аналогичным образом сводится непротиворечивость обширных областей классической математики. Тем не менее "абсолютная" непротиворечивость ни геометрии Лобачевского, ни евклидовой геометрии, ни арифметики натуральных чисел не установлена. Уверенность в непротиворечивости этих теорий, в их истинности есть своего рода акт веры.

В заключение отметим, что если удается построить конечную модель аксиоматической теории, то этим устанавливается "абсолютная" непротиворечивость теории. Например, двухэлементное множество \{e,a\} вместе с определенной на нем по следующим правилам операцией:

E\cdot e=a\cdot a=e,\qquad e\cdot a=a\cdot e=a

является, как нетрудно убедиться, моделью теории групп. Поэтому с полной уверенностью можно утверждать, что аксиоматическая теория групп непротиворечива.

Категоричность аксиоматических теорий

Это свойство в значительной мере характеризует происхождение аксиоматической теории. В большинстве категоричные теории возникали на первом пути. По второму пути происходит формирование в основном некатегоричных теорий.

Проанализируем первый путь. Аксиоматика строится для одной конкретной содержательной теории, которая развита уже достаточно хорошо. Эта конкретная теория выступает в качестве модели аксиоматической теории. Никаких других моделей построенная аксиоматическая теория и не имеет, поскольку она строилась применительно к данной конкретной теории. Точнее, другие модели теории могут существовать, но они должны быть неотличимы (с точностью до терминологии и обозначений) от исходной модели. В этом случае можно сказать, что первоначальные понятия и аксиомы дают исчерпывающую совокупность главных принципов конкретной содержательной теории. Такая неотличимость двух моделей называется их изоморфизмом. (Из курса высшей алгебры известны понятия изоморфизма групп, колец, полей. Поэтому имеется представление о точном определении изоморфизма для конкретных моделей.) Аксиоматическая теория в этом случае и называется категоричной.

Определение 27.2. Аксиоматическая теория называется категоричной, если любые две ее модели изоморфны.

Примерами категоричных теорий служат аксиоматические теории евклидовой геометрии, различных систем чисел: натуральных, целых, рациональных, действительных, комплексных. Категоричность евклидовой геометрии доказывается в курсе геометрии. Категоричность теорий систем чисел устанавливается в курсе "Числовые системы".

Некатегоричная аксиоматическая теория имеет существенно различные (т.е. неизоморфные) модели. Такие теории возникают на втором пути, в процессе обобщения общих свойств нескольких различных конкретных теорий. Примером такой теории является теория групп. Многообразие моделей этой теории обусловливает многообразие ее приложений. Некатегоричны также теория колец, теория полей и теории некоторых других алгебраических систем.

Независимость системы аксиом

Мы уже имели дело с понятием независимости системы аксиом, когда устанавливалась независимость системы аксиом аксиоматической теории высказываний. Здесь обсудим его более подробно. Сформулируем сначала определения понятия независимости аксиомы от остальных аксиом данной системы в двух формах и докажем их равносильность.

Определение 27.3. Аксиома A из системы аксиом \Sigma называется независящей от остальных аксиом этой системы, если ее нельзя вывести (доказать) из множества всех остальных аксиом системы \Sigma .

Определение 27.4. Аксиома A из системы аксиом \Sigma называется независящей от остальных аксиом этой системы, если ее исключение из системы \Sigma уменьшает запас теорем аксиоматической теории, т.е. , где \operatorname{Th}(\Sigma) - совокупность всех теорем, выводимых из системы аксиом \Sigma , т. е. аксиоматическая теория, построенная на базе системы аксиом \Sigma .

Определения 27.3, 27.4 равносильны.

Доказательство. В самом деле, из первого определения вытекает второе, так как если утверждение A нельзя вывести из множества \Sigma\setminus\{A\} , то его не будет среди теорем теории \operatorname{Th}\bigl(\Sigma\setminus\{A\}\bigr) и оно будет среди теорем теории \operatorname{Th}(\Sigma) , то есть \operatorname{Th}\bigl(\Sigma\setminus\{A\}\bigr)\subset \operatorname{Th}(\Sigma) . Обратно, если \operatorname{Th} \bigl(\Sigma\setminus\{A\}\bigr)\subset \operatorname{Th}(\Sigma) , то A нельзя вывести из , ибо в противном случае, каждая теорема, выводимая из \Sigma , могла бы быть выведена и из \Sigma \setminus \{A\} , т.е. каждая теорема из \operatorname{Th}(\Sigma) принадлежала бы теории \operatorname{Th} \bigl(\Sigma\setminus\{A\}\bigr) , т.е. \operatorname{Th}(\Sigma) \subset\operatorname{Th} \bigl(\Sigma\setminus\{A\}\bigr) , что противоречило бы условию. Равносильность двух определений установлена.

Таким образом, требование независимости непротиворечивой системы аксиом состоит в том, чтобы в эту систему не включалось такое утверждение, которое может быть доказано на основе остальных аксиом системы и, следовательно, являясь излишним в этой системе, должно быть отнесено к разряду теорем. Другими словами, система аксиом должна содержать минимальное число утверждений, необходимых для логического вывода всех остальных утверждений данной теории. Это важное требование, которому должна удовлетворять система аксиом, но вовсе не обязательное, в отличие, например, от рассмотренного ранее требования непротиворечивости. Свойство независимости системы аксиом характеризует некое изящество и лаконичность этой системы. Но не всегда для той или иной аксиоматической теории целесообразно выбирать независимую систему аксиом: изящество системы аксиом может привести к громоздкости доказательств теорем данной теории. Поэтому отступление от выполнения требования независимости вполне допустимо из методических или иных практических соображений. Именно так и делается в большинстве школьных курсов геометрии, где приходится учитывать психологические и возрастные особенности учащихся. Без доказательства допускается большое количество утверждений. Их истинность считается само собой разумеющейся, а некоторые из них даже не формулируются явно. Такой подход сильно упрощает изложение геометрии и облегчает ее усвоение учащимися, ибо доказательство самых простых и очевидных утверждений геометрии требует очень тонких и кропотливых рассмотрений, цель которых будет непонятна, а усвоение недоступно для детей школьного возраста.

Интересно отметить, что проблема независимости систем аксиом является, по существу, самой первой проблемой в основаниях математики. Уже ближайшим последователям Евклида было известно, что если воспользоваться понятием движения, то его IV постулат, утверждающий, что все прямые углы равны между собой, может быть доказан как логическое следствие остальных аксиом и постулатов. Также было известно, что аксиомы "Если удвоим равные, то получим равные" и "Половины равных равны между собой" являются логическими следствиями остальных. С размышления над проблемой независимости менее тривиального V постулата Евклида, собственно, и началась наука об обосновании геометрии. Проблема непротиворечивости тогда не возникала, да и не могла возникнуть вплоть до XIX в., пока Лобачевский не указал метод доказательства независимости аксиом - метод построения моделей.

В чем же состоит метод доказательства независимости аксиомы A от остальных аксиом непротиворечивой системы аксиом \Sigma ? Рассмотрим систему аксиом , получающуюся из \Sigma заменой аксиомы A ее отрицанием \lnot A . Если окажется, что полученная система аксиом, так же как и \Sigma , непротиворечива, то отсюда будет следовать независимость аксиомы A от аксиом из \Sigma\setminus\{A\} . В самом деле, если бы A можно было доказать исходя из системы \Sigma\setminus \{A\} , то A можно было бы доказать и исходя из системы (\Sigma\setminus\{A\})\cup\{\lnot A\} . Но это означало бы противоречивость системы аксиом (\Sigma\setminus\{A\})\cup\{\lnot A\} , так как из нее выводимы противоречащие одно другому утверждения A и \lnot A , что не так.

В то же время известно, что непротиворечивость системы аксиом устанавливается путем построения модели этой системы аксиом в некоторой заведомо непротиворечивой теории. Таким образом, приходят к следующему методу доказательства независимости аксиом . Для доказательства независимости аксиомы A от остальных аксиом системы \Sigma нужно сконструировать (построить) модель, в которой выполнялись бы все аксиомы данной системы \Sigma , кроме аксиомы A , т. е. сконструировать такую интерпретацию, которая была бы моделью системы аксиом \Sigma\setminus\{A\} , но не была бы моделью системы аксиом \Sigma .

Именно на этой идее, принадлежащей Лобачевскому, и основывается доказательство независимости аксиомы о параллельных Евклида (аксиома \mathsf{V.1} ) от аксиом \mathsf{I-IV} групп абсолютной геометрии: строится модель системы аксиом \{\mathsf{I-IV},\lnot (\mathsf{VI})\} , полученной из системы аксиом евклидовой геометрии заменой в ней аксиомы о параллельных Евклида ее отрицанием, которая и определяет геометрию Лобачевского. Наличие такой модели служит доказательством независимости аксиомы о параллельных от остальных аксиом евклидовой геометрии.

Система аксиом \Sigma называется независимой, если каждая ее аксиома не зависит от остальных. Отсюда ясно, насколько кропотливо исследование системы аксиом на независимость. Если для доказательства непротиворечивости данной системы аксиом достаточно построить одну ее модель, то для доказательства ее независимости придется построить столько моделей, сколько аксиом содержит система, причем каждая модель должна реализовывать все аксиомы, кроме одной - исследуемой на независимость.

Полнота аксиоматических теорий

Обобщенно можно сказать, что аксиоматическая теория называется полной, если она содержит достаточное для какой-нибудь цели количество теорем. В зависимости от целей выделяют различные виды полноты. Так, в теореме 16.6 была установлена полнота аксиоматической теории высказываний относительно алгебры высказываний: теория охватывала все тавтологии этой алгебры. Доказательство соответствующей теоремы для аксиоматической теории предикатов будет дано в следующей лекции. Это понятие полноты - относительное, или внешнее, понятие полноты (полнота относительно внешнего фактора).

Выделяют понятие внутренней полноты. Здесь различают две его модификации: абсолютная полнота и полнота в узком смысле.

Определение 27.5. Аксиоматическая теория называется абсолютно полной, если для любого утверждения A , сформулированного в терминах этой теории, точно одно из утверждений A и \lnot A является ее теоремой (или, как говорят, средств аксиоматической теории достаточно для того, чтобы доказать или опровергнуть любое утверждение, сформулированное в терминах данной теории).

Определение 27.6. Аксиоматическая теория называется полной в узком смысле (или в смысле Поста), если добавление к ее аксиомам любого недоказуемого в ней утверждения с сохранением всех правил вывода приводит к противоречивой теории.

Всякая абсолютно полная теория будет полна и в узком смысле.

Доказательство. В самом деле, допустим, что некоторая абсолютно полная теория не полна в узком смысле. Значит, найдется такое утверждение A этой теории, недоказуемое в ней, что новая теория, построенная на основе прежних аксиом и утверждения A в качестве новой аксиомы, непротиворечива. Ясно, что A принадлежит новой теории. Кроме того, ввиду абсолютной полноты исходной теории и недоказуемости в ней утверждения A заключаем, что в ней доказуемо \lnot A . Но все аксиомы, из которых выведено \lnot A , вошли в состав системы аксиом новой теории. Поэтому \lnot A принадлежит и новой теории. Получаем противоречие с тем, что новая теория непротиворечива.

Смысл требования (абсолютной) полноты непротиворечивой системы аксиом заключается в том, чтобы она давала возможность без всяких добавочных предпосылок, без какого бы то ни было обращения к наглядным представлениям и опыту исключительно логическим путем доказать всякое предложение, сформулированное в терминах данной теории, либо его опровергнуть.

Классическим примером неполной системы аксиом является система аксиом и постулатов "Начал" Евклида. Уже при доказательстве первых теорем Евклид вынужден молчаливо прибегать к наглядности и очевидности. Так, для обоснования наличия точки пересечения у двух прямых, у двух окружностей, у прямой и окружности требуется аксиома непрерывности, что было осознано математиками лишь в XIX в. Понятие равенства фигур Евклид определяет через движение: "И совмещающиеся равны между собой". Но свойства движения, которые Евклид, несомненно, почерпнул из эмпирических представлений о механическом движении твердых тел и которыми он широко пользуется при доказательстве теорем, никак не выражены в его аксиомах. Нет среди евклидовых аксиом и аксиом порядка или расположения (поэтому тот факт, что прямая делит плоскость на две части, очевиден для Евклида), как и аксиом, связанных с измерением длин, площадей и объемов. (Последнюю задачу блестяще решил великий геометр, механик и инженер древности Архимед, живший непосредственно после Евклида (287–212 гг. до н.э.), который в своем сочинении "О сфере и цилиндре" развил теорию измерения площадей и объемов, получив, в частности, формулы площади поверхности и объема шара, ввел аксиому, носящую и поныне его имя).

Другим примером неполной системы аксиом может служить система аксиом абсолютной геометрии (аксиомы I–IV групп системы аксиом Гильберта). В этой системе не может быть ни доказано, ни опровергнуто ни одно предложение, опирающееся на аксиому параллельности Евклида (V.1) или аксиому параллельности Лобачевского \lnot (\mathsf{V.1}) (а также, конечно, и сами эти аксиомы).

Вернемся к анализу понятия полноты. Сопоставим его с понятием непротиворечивости. Если непротиворечивость гарантирует, что из данной системы аксиом \Sigma не могут быть выведены два противоречащих друг другу утверждения A и \lnot A , то полнота гарантирует доказуемость одного из них. Так что оба требования вместе дают гарантию разрешимости всякого вопроса теории и притом только в одном смысле.

Обсуждая выше проблему независимости системы аксиом, мы доказали, что утверждение A (не входящее в \Sigma ) не зависит от системы аксиом \Sigma , если существует модель системы аксиом (в некоторой непротиворечивой аксиоматической теории). В то же время, как известно, утверждение A не противоречит системе аксиом \Sigma , т.е. система аксиом \Sigma\cup\{A\} непротиворечива, если существует модель этой системы аксиом в непротиворечивой аксиоматической теории. Нетрудно понять, что как модель системы аксиом \Sigma\cup\{\lnot A\} , так и модель системы аксиом \Sigma\cup\{A\} являются моделями системы аксиом \Sigma . Причем эти модели конечно же неизоморфны, так как в одной из них выполняется утверждение A , а в другой выполняется его отрицание \lnot A (т. е. A не выполняется). Итак, соединим вместе эти два направления настоящего абзаца. (Мы имели два утверждения P\to R и Q\to R ; их конъюнкция равносильна утверждению (P\land Q)\to R ) Непротиворечащее системе аксиом \Sigma утверждение A не будет зависеть от этой системы аксиом, если существуют две такие неизоморфные модели системы аксиом \Sigma , в одной из которых A выполняется, а в другой - нет.

Снова вернемся к анализу понятия полноты системы аксиом и попытаемся связать его с понятием модели данной системы аксиом. Снова, как и в случае с требованием непротиворечивости, мы пытаемся уйти от выражения этого понятия на языке выводимости к выражению его на языке моделей, т.е. пытаемся уйти от синтаксиса к семантике, от формализма к содержанию. Но здесь эта попытка не окажется столь успешной, как в случае с непротиворечивостью. (Хотя и там ее успех был относителен.) Все это свидетельствует о том, что к этим проблемам предстоит вернуться и именно на языке синтаксиса, на языке формализма, что и будет выполнено в следующей лекции, и результаты окажутся поразительными.

Нетрудно уяснить тот факт, что чем меньшее количество аксиом содержит система аксиом \Sigma , т. е. чем меньше требований предъявляет система аксиом к первоначальным понятиям, тем большее количество объектов ей удовлетворяет, т. е. тем большее количество моделей имеет эта система аксиом. И наоборот, чем больше аксиом содержит система \Sigma , т.е. чем больше требований предъявляет она к первоначальным понятиям, тем меньше объектов ей удовлетворяют, т. е. тем меньше моделей имеет эта система аксиом. (Чем больше аксиом содержит система, тем богаче содержанием основанная на ней теория, но и тем уже область ее применения, т. е. тем меньшей общностью отличаются ее теоремы.) Но что же требует от системы аксиом \Sigma условие ее полноты? Относительно каждого утверждения A можно решить, выводимо A из \Sigma или нет, т.е. нет утверждений, сформулированных в терминах данной теории, которые не зависели бы от системы аксиом \Sigma . Но независимость некоторого утверждения от системы аксиом \Sigma , как было установлено ранее, вытекает из наличия у \Sigma двух неизоморфных моделей. Поэтому, если у системы \Sigma нет не зависящих от нее предложений, т. е. если \Sigma полна, у нее не существует двух неизоморфных моделей. Учитывая, что \Sigma конечно же непротиворечива, т.е. имеет хотя бы одну модель, в итоге заключаем, что все модели системы \Sigma изоморфны, т.е. \Sigma имеет единственную с точностью до изоморфизма модель. Такая система аксиом (и построенная на ее базе аксиоматическая теория) называется категоричной. Таким образом, мы установили, что всякая полная и непротиворечивая аксиоматическая теория категорична .

Руководствуясь этим соображением, в ряде учебников по основаниям геометрии понятие полноты аксиоматической теории отождествлено с ее категоричностью. Тем не менее это не так: не всякая категоричная аксиоматическая теория полна . Таковой является, например, аксиоматическая теория натуральных чисел, построенная на базе системы аксиом Пеано.

Тем не менее всестороннее решение проблем, связанных с полнотой аксиоматических теорий, удается получить только в рамках формальных аксиоматических теорий, когда будут уточнены понятия выводимости, доказуемости, правил вывода, когда сама аксиоматическая теория станет точно определяемым математическим понятием (до сих пор она рассматривалась лишь в описательном плане), подвергаемым изучению методами математической логики. Здесь ограничимся замечанием, что для многих важных математических теорий задача сочетания обоих рассмотренных качеств - непротиворечивости и полноты - оказывается невыполнимой.

В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!

Аксиоматическое определение

определение термина через множество аксиом (постулатов), в которые он входит и которые последовательно ограничивают область его возможных истолкований.

А. о. является частным случаем определения контекстуального. Всякий отрывок текста, всякий контекст, в котором встречается интересующее нас понятие, является в некотором смысле неявным определением последнего. Контекст ставит понятие в связь с другими понятиями и тем самым косвенно раскрывает его содержание. Встретив в тексте на иностранном языке одно-два неизвестных слова, мы, понимая текст в целом, можем составить примерное представление и о значениях неизвестных слов. Аналогично дело обстоит и с А. о. Совокупность аксиом к.-л. теории является одновременно и свернутой формулировкой этой теории, и тем контекстом, который неявно определяет все входящие в аксиомы понятия. Чтобы узнать, к примеру, что значат слова "масса", "сила", "ускорение" и т. п., можно обратиться к аксиомам классической механики Ньютона. "Сила равна массе, умноженной на ускорение", "Сила действия равна силе противодействия" и т. д. - эти положения, указывая связи понятия "сила" с другими понятиями механики, раскрывают его сущность.

Принципиальное отличие А. о. от иных контекстуальных определений в том, что аксиоматический контекст строго ограничен и фиксирован. Он содержит все, что необходимо для понимания входящих в него понятий. Он ограничен по размеру и по составу.

А. о. - одна из высших форм научного определения. Не всякая теория способна определить свои исходные термины аксиоматически, для этого требуется относительно высокий уровень развития знаний об исследуемой области. Изучаемые объекты и их отношения должны быть также сравнительно просты.

Словарь по логике. - М.: Туманит, изд. центр ВЛАДОС . А.А.Ивин, А.Л.Никифоров . 1997 .

Смотреть что такое "аксиоматическое определение" в других словарях:

Эта статья или раздел нуждается в переработке. Пожалуйста, улучшите статью в соответствии с правилами написания статей … Википедия

Определение, не имеющее формы равенства двух понятий. К О. н. относятся определение контекстуальное, определение остенсивное, определение аксиоматическое и др. О. н. противопоставляется определению явному, приравнивающему, или отождествляющему,… … Словарь терминов логики

- (лат. definitio) логическая операция, раскрывающая содержание понятия. Напр., обычное О. термометра указывает, что это, во первых, прибор и, во вторых, именно тот, с помощью которого измеряется температура. О. понятия термин говорит, что это… … Словарь терминов логики

Матроид классификация подмножеств некоторого множества, представляющая собой обобщение идеи независимости элементов, аналогично независимости элементов линейного пространства, на произвольное множество. Содержание 1 Аксиоматическое… … Википедия

- (греч. arithmetika, от arithmys число) наука о числах, в первую очередь о натуральных (целых положительных) числах и (рациональных) дробях, и действиях над ними. Владение достаточно развитым понятием натурального числа и умение… … Большая советская энциклопедия

- (Peano), Джузеппе (27 авг. 1858 – 20 апр. 1932) – итал. математик и логик. Проф. математики в Туринском ун те (1890–1932). Известен важными результатами в матем. анализе, теории дифференц. уравнений (где ему принадлежит классич. формулировка осн … Философская энциклопедия

Книги

Аксиоматическое определение множества вещественных чисел. Учебное пособие , А. В. Орехов. Учебное пособие посвящено решению двух задач: во-первых, дать логически обоснованное аксиоматическое определение множества вещественных чисел и, во-вторых, изучить уникальные свойства этого…

Разделы