Приближенное значение. Приближенные вычисления с помощью дифференциала

Главная

Чехов

1. Числа точные и приближенные. Числа, с которыми мы встречаемся на практике, бывают двух родов. Одни дают истинное значение величины, другие - только приблизительное. Первые называют точными, вторые - приближенными. Чаще всего удобно пользоваться приближенным числом вместо точного, тем более, что во многих случаях точное число вообще найти невозможно.

Результаты действий с числами дают: с приближенными числами приближенные числа. Например. Во время эпидемии 60% жителей Санкт-Петербурга болеют гриппом. Это приблизительно 3млн человек. с точными числами точное числа Например. В аудитории на лекции по математике 65 человек. приближенные числа Например. Средняя температура тела пациента в течение дня 37,3: утро: 37,2 ; день:36,8 ; вечер38.

Теория приближенных вычислений позволяет: 1) зная степень точности данных, оценить степень точности результатов; 2) брать данные с надлежащей степенью точности, достаточной для обеспечения требуемой точности результата; 3) рационализировать процесс вычисления, освободив его от тех выкладок, которые не окажут влияния на точность результата.

1) если первая (слева) из отбрасываемых цифр менее 5, то последнюю оставленную цифру не изменяют (округление с недостатком); 2) если первая отбрасываемая цифра больше 5 или равна 5, то последнюю оставленную цифру увеличивают на единицу (округление с избытком). Округление: а) до десятых 12,34 12,3; б) до сотых 3,2465 3,25; 1038,79. в) до тысячных 3,4335 3,434. г) до тысяч; При этом учитывают следующее:

Величины, наиболее часто измеряемые в медицине: масса m, длина l, скорость процесса v, время t, температура t, объём V и т.д. Измерить физическую величину – это значит сравнить её с однородной величиной, принятой за единицу. 9 Единицы измерения физических величин: О с н о в н ы е Длина - 1 м - (метр) Время - 1 с - (секунда) Масса - 1 кг - (килограмм) П р о и з в о д н ы е Объем - 1 м³ - (метр кубический) Скорость - 1 м/с - (метр в секунду)

Приставки к названиям единиц: Кратные приставки - увеличивают в 10, 100, 1000 и т.д. раз г - гекто (×100) к – кило (× 1000) М – мега (×) 1 км (километр) 1 кг (килограмм) 1 км = 1000 м = 10³ м 1 кг = 1000 г = 10³ г Дольные приставки – уменьшают в 10, 100, 1000 и т.д. раз д – деци (×0, 1) с – санти (× 0, 01) м – милли (× 0, 001) 1 дм (дециметр) 1дм = 0,1 м 1 см (сантиметр) 1см = 0,01 м 1 мм (миллиметр) 1мм = 0,001 м Кратные приставки используют при измерении больших расстояний, масс, объемов, скоростей и т. п. Дольные приставки используют при измерении малых расстояний, скоростей, масс, объёмов и т.п.

Для диагностики, лечения, профилактики заболеваний в медицине используется различная измерительная медицинская аппаратура.

Термометр. Во-первых, нужно учесть верхний и нижний пределы измерений. Нижний предел – это минимальное, а верхний – максимальное измеряемое значение. Если неизвестно предполагаемое значение измеряемой величины, лучше взять прибор с «запасом». Например, измерение температуры горячей воды не стоит проводить уличным или комнатным термометром. Лучше найти прибор с верхним пределом 100 °С. Во-вторых, нужно понять, насколько точно должна быть измерена величина. Так как погрешность измерений зависит от цены деления, для более точных измерений выбирается прибор с меньшей ценой деления.

Погрешности измерений. Для измерения разных диагностических параметров величин нужен свой прибор. Например, длину измеряют линейкой, а температуру – термометром. Но линейки, термометры, тонометры и другие приборы бывают разными, поэтому чтобы измерить какую- либо физическую величину, нужно выбрать подходящий именно для этого измерения прибор.

Цена деления прибора. Температуру тела человека нужно определять точно, лекарства вводить строго определенное количество,поэтому Цена делений шкалы измерительного прибора – важная характеристика каждого прибора. Правило для вычисления цены деления прибора.. Чтобы подсчитать цену делений шкалы, нужно: а) выбрать на шкале два ближайших оцифрованных штриха; б) сосчитать количество делений между ними; в) разность значений около выбранных штрихов разделить на количество делений.

Цена деления прибора. Цена деления (50-30)/4=5 (мл) Цена деления: (40-20)/10=2 км/ч, (20-10)/10= 1грм, (39-19)/10=2 LITR, (8-4)/10=0,4 psi, (90-50)/10= 4 темп, (4-2)/10=0,2 с

Определите цену деления приборов: 16

Абсолютная погрешность измерения. При проведении любых измерений неизбежно возникают ошибки. Эти ошибки обусловлены различными факторами. Все факторы можно разделить на три части: ошибки, вызванные несовершенством приборов; ошибки, вызванные несовершенством методов проведения измерений; ошибки обусловленные влиянием случайных факторов, от которых невозможно избавиться. Измеряя какую-либо величину, хочется знать не только её значение, но и то, насколько этому значению можно доверять, насколько оно точно. Для этого необходимо знать, насколько истинное значение величины может отличаться от измеренного. Для этих целей вводится понятие абсолютной и относительной погрешностей.

Абсолютная и относительная погрешности. Абсолютная погрешность показывает, на сколько реальное значение физической величины отличается от измеренного. Она зависит от самого прибора (инструментальная погрешность) и от процесса измерений (погрешность отсчёта по шкале). Инструментальная погрешность должна быть указана в паспорте прибора (как правило, она равна цене деления прибора). Погрешность отсчёта обычно принимают равной половине цены деления. Абсолютной погрешностью приближенной величины называется разность Δ x = |x – x 0 |, где х 0 - приближенное значение, а х – точное значение измеряемой величины или иногда вместо х употребляют А ΔА = |А – А 0 |.

Абсолютная и относительная погрешности. Пример. Известно, что -0,333 приближенное значение для -1/3. Тогда по определению абсолютной погрешности Δ x= |x – x 0 |= | -1/3+0,333 | = | -1/3+33/1000 | = | -1/300 | = 1/300. Во многих практически важных случаях нельзя найти абсолютную погрешность приближения из-за того, что неизвестно точное значение величины. Однако можно указать положительное число, больше которого эта абсолютная погрешность не может быть. Это любое число h,удовлетворяющее неравенству | Δ x | h Оно называется границей абсолютной погрешности.

В этом случае говорят, что величина х приближенно с точностью до h равна x 0. х=х 0 ± h или х 0 - h х х 0 + h

Абсолютные инструментальные погрешности средств измерений

Оценка приборных погрешностей измеряемых величин. Для большинства измерительных приборов, погрешность прибора равна цене его деления. Исключение составляют цифровые приборы и стрелочные измерительные приборы. Для цифровых приборов погрешность указывается в их паспорте и обычно в раз превышает цену деления прибора. Для стрелочных измерительных приборов погрешность определяется их классом точности, который указывается на шкале прибора, и пределом измерений. Класс точности указывается на шкале прибора как число, которое не обведено никакими рамками. Например, на приведенном рисунке класс точности манометра равен 1,5. Класс точности показывает, сколько процентов составляет погрешность прибора от предела его измерений. Для стрелочного манометра предел измерений составляет 3 атм, соответственно погрешность измерения давления равна 1,5% от 3 атм, то есть 0,045 атм. Следует отметить, что для большинства стрелочных приборов их погрешность оказывается равной цене деления прибора. Как и в нашем примере, где цена деления барометра равна 0,05 атм.

Абсолютная и относительная погрешности. Абсолютная погрешность нужна для определения диапазона, в который может попасть истинное значение, но для оценки точности результата в целом она не очень показательна. Ведь измерение длины в 10 м с погрешностью в 1 мм безусловно является весьма точным, в то же время измерение длины в 2 мм с погрешностью в 1 мм очевидно является крайне неточным. Абсолютную погрешность измерения обычно округляют до одной значащей цифры ΔА 0,17 0,2. Численное значение результата измерений округляют так, чтобы его последняя цифра оказалась в том же разряде, что и цифра погрешности А=10,332 10,3

Абсолютная и относительная погрешности. Наряду с абсолютной погрешностью принято рассматривать и относительную погрешность, которая равна отношению абсолютной погрешности к значению самой величины. Относительной погрешностью приближённого числа называется отношение абсолютной погрешности приближённого числа к самому этому числу: Е = Δx. 100% х 0 Относительная погрешность показывает на сколько процентов от самой величины могла произойти ошибка и является показательной при оценки качества результатов эксперимента.

Пример. При измерении длины и диаметра капилляра получили l =(10,0 ±0,1)см, d=(2,5 ±0,1)мм. Какое из этих измерений точнее? При измерении длины капилляра допускается абсолютная погрешность 10мм на 100мм следовательно абсолютная погрешность10/100=0,1=10%. При измерении диаметра капилляра допустимая абсолютная погрешность 0,1/2,5=0,04=4% Следовательно измерение диаметра капилляра выполнено точнее.

Во многих случаях нельзя найти абсолютную погрешность. Следовательно и относительную погрешность. Но можно найти границу относительной погрешности. Любое число δ,удовлетворяющее неравенству | Δ x | / | x о | δ,является границей относительной погрешности. В частности, если h–граница абсолютной погрешности, то число δ= h/| x о |, является границей относительной погрешности приближения x о. Отсюда. Зная границу отн.п-и. δ можно найти границу абсолютной погрешности h. h= δ | x о |

Пример. Известно, что 2=1,41… Найти относительную точность приближенного равенства или границу отн.погрешности приближенного равенства 2 1,41. Здесь х = 2, x о = 1,41, Δ x = 2-1,41. Очевидно 0 Δ x 1,42-1,41=0,01 Δ x/ x о 0,01/1,41=1/141, Граница абс.погрешности равна 0,01, аграница относительной погрешности равна 1/141

Пример. При считывании показаний со шкалы важно, чтобы ваш взгляд падал перпендикулярно шкале прибора, при этом ошибка будет меньше. Для определения показания термометра: 1.определяем количество делений, 2. умножаем их на цену деления 3. учитываем погрешность 4.записываем окончательный результат. t = 20 °С ± 1,5 °С Это означает, что температура лежит в пределах от 18,5° до 21,5°. То есть она может быть, например, и 19, и 20 и 21 градусов Цельсия. Чтобы увеличить точность измерений, принято повторить их не менее трёх раз и вычислить среднее значение измеряемой величины

Н А Х О Ж Д Е Н И Е С Р Е Д Н Е Г О З Н А Ч Е Н И Я Результаты измерений С 1 = 34,5 С 2 = 33,8 С 3 = 33,9 С 4 = 33,5 С 5 = 54,2 а)Найдем среднее значение четырех величин с ср = (с 1 + с 2 + с 3 + с 4):4 с ср = (34,5 + 33,8 + 33,9 + 33,5):4 = 33,925 33,9 б)Найдем отклонение величины от среднего значения Δс = | c – c cp | Δc 1 = | c 1 – c cp | = | 34,5 – 33,9 | = 0,6 Δc 2 = | c 2 – c cp | = | 33,8 – 33,9 | = 0,1 Δc 3 = | c 3 – c cp | = | 33,9 – 33,9 | = 0 Δc 4 = | c 4 – c cp | = | 33,5 – 33,9 | = 0,4

В)Найдем абсолютную погрешность Δc = (c 1 + c 2 + c 3 + c 4):4 Δc = (0,6 + 0,4) :4 = 0,275 0,3 г)Найдем относительную погрешность δ = Δс: с СР δ = (0,3: 33,9) 100% = 0,9 % д) Запишем окончательный ответ с = 33,9 ± 0,3 δ = 0,9%

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ Подготовиться к к практическому занятию по материалам лекции. Выполнить задание. Найти среднее значение и погрешность: а 1 = 3,685 а 2 = 3,247 а 3 = 3,410 а 4 = 3,309 а 5 = 3,392. Создать презентации по темам: «Округление величин в медицине», «Погрешности измерений», «Медицинская измерительная аппаратура»

ПРИБЛИЖЕННЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

Приближенное значение величины. Абсолютная и относительная погрешности

Решение практических задач, как правило, связано с числовыми значениями величин. Эти значения получаются либо в результате измерения, либо в результате вычислений. В большинстве случаев значения величин, которыми приходится оперировать, являются приближенными.

Пусть X - точное значение некоторой величины, а х - наилучшее из известных ее приближенных значений. В этом случае погрешность (или ошибка) приближения х определяется разностью Х-х. Обычно знак этой ошибки не имеет решающего значения, поэтому рассматривают ее абсолютную величину:

Число в этом случае называется предельной абсолютной погрешностью, или границей абсолютной погрешности приближения х.

Таким образом, предельная абсолютная погрешность приближенного числа х - это всякое число, не меньшее абсолютной погрешности е х этого числа.

Пример: Возьмем число. Если же вызвать на индикатор 8-разрядного МК, получим приближение этого числа: Попытаемся выразить абсолютную погрешность значения. Получили бесконечную дробь, не пригодную для практических расчетов. Очевидно, однако, что следовательно, число 0,00000006 = 0,6 * 10 -7 можно считать предельной абсолютной погрешностью приближения, используемого МК вместо числа

Неравенство (2) позволяет установить приближения к точному значению X по недостатку и избытку:

Во многих случаях значения границы абсолютной ошибки так же как и наилучшие значения приближения х , получаются на практике в результате измерений. Пусть, например, в результате повторных измерений одной и той же величины х получены значения: 5,2; 5,3; 5,4; 5,3. В этом случае естественно принять за наилучшее приближение измеряемой величины среднее значение х = 5,3. Очевидно также, что граничными значениями величины х в данном случае будут НГ Х = 5,2, ВГ Х = 5,4, а граница абсолютной погрешности х может быть определена как половина длины интервала, образуемого граничными значениями НГ Х и ВГ Х ,

т.е.

По абсолютной погрешности нельзя в полной мере судить о точности измерений или вычислений. Качество приближения характеризуется величиной относительной погрешности, которая определяется как отношение ошибки е х к модулю значения X (когда оно неизвестно, то к модулю приближения х ).

Предельной относительной погрешностью (или границей относительной погрешности) приближенного числа называется отношение предельной абсолютной погрешности к абсолютному значению приближения х :

Относительную погрешность выражают обычно в процентах.

Пример Определим предельные погрешности числа х=3,14 как приближенного значения π. Так как π=3,1415926…., то |π-3,14|

Верные и значащие цифры. Запись приближенных значений

Цифра числа называется верной (в широком смысле), если ее абсолютная погрешность не превосходит единицы разряда, в котором стоит эта цифра.

Пример. Х=6,328 Х=0,0007 X

Пример: А). Пусть 0 = 2,91385, В числе а верны в широком смысле цифры 2, 9, 1.

Б) Возьмем в качестве приближения к числу = 3,141592... число = 3,142. Тогда (рис.) откуда следует, что в приближенном значении = 3,142 все цифры являются верными.

В) Вычислим на 8-разрядном МК частное точных чисел 3,2 и 2,3, получим ответ: 1,3913043. Ответ содержит ошибку, поскольку

Рис. Приближение числа π

разрядная сетка МК не вместила всех цифр результата и все разряды начиная с восьмого были опущены. (В том, что ответ неточен, легко убедиться, проверив деление умножением: 1,3913043 2,3 = 3,9999998.) Не зная истинного значения допущенной ошибки, вычислитель в подобной ситуации всегда может быть уверен, что ее величина не превышает единицы самого младшего из изображенных на индикаторе разряда результата. Следовательно, в полученном результате все цифры верны.

Первая отброшенная (неверная) цифра часто называется сомнительной.

Говорят, что приближенное данное записано правильно, если в его записи все цифры верные. Если число записано правильно, то по одной только его записи в виде десятичной дроби можно судить о точности этого числа. Пусть, например, записано приближенное число а = 16,784, в котором все цифры верны. Из того, что верна последняя цифра 4, которая стоит в разряде тысячных, следует, что абсолютная погрешность значения а не превышает 0,001. Это значит, что можно принять т.е. а = 16,784±0,001.

Очевидно, что правильная запись приближенных данных не только допускает, но и обязывает выписывать нули в последних разрядах, если эти нули являются выражением верных цифр. Например, в записи = 109,070 нуль в конце означает, что цифра в разряде тысячных верна и она равна нулю. Предельной абсолютной погрешностью значения , как следует из записи, можно считать Для сравнения можно заметить, что значение с = 109,07 является менее точным, так как из его записи приходится принять, что

Значащими цифрами в записи числа называются все цифры в его десятичном изображении, отличные от нуля, и нули, если они расположены между значащими цифрами или стоят в конце для выражения верных знаков.

Пример а) 0,2409 - четыре значащие цифры; б) 24,09 - четыре значащие цифры; в) 100,700 - шесть значащих цифр.

Выдача числовых значений в ЭВМ, как правило, устроена таким образом, что нули в конце записи числа, даже если они верные, не сообщаются. Это означает, что если, например, ЭВМ показывает результат 247,064 и в то же время известно, что в этом результате верными должны быть восемь значащих цифр, то полученный ответ следует дополнить нулями: 247,06400.

В процессе вычислений часто происходит округление чисел, т.е. замена чисел их значениями с меньшим количеством значащих цифр. При округлении возникает погрешность, называемая погрешностью округления. Пусть х - данное число, а х 1 - результат округления. Погрешность округления определяется как модуль разности прежнего и нового значений числа:

В отдельных случаях вместо ∆ окр приходится использовать его верхнюю оценку.

Пример Выполним на 8-разрядном МК действие 1/6. На индикаторе высветится число 0,1666666. Произошло автоматическое округление бесконечной десятичной дроби 0,1(6) до числа разрядов, вмещающихся в регистре МК. При этом можно принять

Цифра числа называется верной в строгом смысле, если абсолютная погрешность этого числа не превосходит половины единицы разряда, в котором стоит эта цифра.

Правила записи приближенных чисел.

Приближенные числа записываются в форме х ±  х. Запись X = х ±  x означает, что неизвестная величина X удовлетворяет следующим неравенствам: x-  x  x

При этом погрешность  х рекомендуется подбирать так, чтобы

а) в записи  х было не более 1-2 значащих цифр;

б) младшие разряды в записи чисел х и  х соответствовали друг другу.

Примеры: 23,4±0,2 ; 2,730±0,017 ; -6,97  0,10.

Приближенное число может быть записано без явного указания его предельной абсолютной погрешности. В этом случае в его записи (мантиссе) должны присутствовать только верные цифры (в широком смысле, если не сказано обратное). Тогда по самой записи числа можно судить о его точности.

Примеры. Если в числе А=5,83 все цифры верны в строгом смысле, то  А=0,005. Запись В=3,2 подразумевает, что  В=0,1. А по записи С=3,200 мы можем заключить, что  С=0,001. Таким образом, записи 3,2 и 3,200 в теории приближенных вычислений означают не одно и то же.

Цифры в записи приближенного числа, о которых нам неизвестно, верны они или нет, называются сомнительными. Сомнительные цифры (одну-две) оставляют в записи чисел промежуточных результатов для сохранения точности вычислений. В окончательном результате сомнительные цифры отбрасываются.

Округление чисел.

Правило округления. Если в старшем из отбрасываемых разрядов стоит цифра меньше пяти, то содержимое сохраняемых разрядов числа не изменяется. В противном случае в младший сохраняемый разряд добавляется единица с тем же знаком, что и у самого числа.
При округлении числа, записанного в форме х±  х, его предельная абсолютная погрешность увеличивается с учетом погрешности округления.

Пример: Округлим до сотых число 4,5371±0,0482. Неправильно было бы записать 4,54±0,05 , так как погрешность округленного числа складывается из погрешности исходного числа и погрешности округления. В данном случае она равна 0,0482 + 0,0029 = 0,0511 . Округлять погрешности всегда следует с избытком, поэтому окончательный ответ: 4,54±0,06.

Пример Пусть в приближенном значении а = 16,395 все цифры верны в широком смысле. Округлим а до сотых: a 1 = 16,40. Погрешность округления Для нахождения полной погрешности, нужно сложить c погрешностью исходного значения а 1 которая в данном случае может быть найдена из условия, что все цифры в записи а верны: = 0,001. Таким образом, . Отсюда следует, что в значении a 1 = 16,40 цифра 0 не верна в строгом смысле.

Вычисление погрешностей арифметических действий

1. Сложение и вычитание . Предельной абсолютной погрешностью алгебраической суммы является сумма соответствующих погрешностей слагаемых:

Ф.1  (X+Y) =  Х +  Y ,  (X-Y) =  Х +  Y .

Пример. Даны приближенные числа Х = 34,38 и Y = 15,23 , все цифры верны в строгом смысле. Найти  (X-Y) и  (X-Y). По формуле Ф.1 получаем:

 (X-Y) = 0,005 + 0,005 = 0,01.

Относительную погрешность получим по формуле связи:

2. Умножение и деление. Если  Х  Y

Ф.2  (X · Y) =  (X/Y) =  X +  Y.

Пример . Найти  (X·Y) и  (X·Y) для чисел из предыдущего примера. Сначала с помощью формулы Ф.2 найдем  (X·Y):

 (X·Y)=  X +  Y=0,00015+0,00033=0,00048

Теперь  (X·Y) найдем с помощью формулы связи:

 (X·Y) = |X·Y|·  (X·Y) = |34,38 -15,23|·0,00048  0,26 .

3. Возведение в степень и извлечение корня . Если  Х

Ф.З

4. Функция одной переменной.

Пусть даны аналитическая функция f(x) и приближенное число с ±  с. Тогда, обозначая через  малое приращение аргумента, можно написать

Если f "(с)  0, то приращение функции f(с+  ) - f(c) можно оценить ее дифференциалом:

f(c+  ) - f(c)  f "(c) ·  .

Если погрешность  с достаточно мала, получаем окончательно следующую формулу:

Ф.4  f(c) = |f "(с)|·  с.

Пример. Даны f(x) = arcsin x , с = 0,5 ,  с = 0,05 . Вычислить  f(с).

Применим формулу Ф.4:

И т. д.

5. Функция нескольких переменных.

Для функции нескольких переменных f(x1, ... , хn) при xk= ck ±  ck справедлива формула, аналогичная Ф.4:

Ф.5  f(c1, ... ,сn)  l df(c1, ... ,сn) | = |f "x1 (с1)|·  с1+... + |f "xn (сn)|·  сn.

Пример Пусть х = 1,5, причем т.е. все цифры в числе х верны в строгом смысле. Вычислим значение tg x . С помощью МК получаем: tgl,5= 14,10141994. Для определения верных цифр в результате оценим его абсолютную погрешность: отсюда следует, что в полученном значении tgl,5 ни одну цифру нельзя считать верной.

Методы оценки погрешности приближенных вычислений

Существуют строгие и нестрогие методы оценки точности результатов вычислений.

1. Строгий метод итоговой оценки . Если приближенные вычисления выполняются по сравнительно простой формуле, то с помощью формул Ф.1-Ф.5 и формул связи погрешностей можно вывести формулу итоговой погрешности вычислений. Вывод формулы и оценка погрешности вычислений с ее помощью составляют суть данного метода.

Пример Значения a = 23,1 и b = 5,24 даны цифрами, верными в строгом смысле. Вычислить значение выражения

С помощью МК получаем В = 0,2921247. Используя формулы относительных погрешностей частного и произведения, запишем:

Т.е.

Пользуясь МК, получим 5, что дает. Это означает, что в результате две цифры после запятой верны в строгом смысле: В=0,29±0,001.

2. Метод строгого пооперационного учета погрешностей . Иногда попытка применения метода итоговой оценки приводит к слишком громоздкой формуле. В этом случае более целесообразным может оказаться применение данного метода. Он заключается в том, что оценивается точность каждой операции вычислений отдельно с помощью тех же формул Ф.1-Ф.5 и формул связи.

3. Метод подсчета верных цифр . Данный метод относится к нестрогим. Оценка точности вычислений, которую он дает, в принципе не гарантирована (в отличие от строгих методов), но на практике является довольно надежной. Суть метода заключается в том, что после каждой операции вычислений в полученном числе определяется количество верных цифр с помощью нижеследующие правил.

П.1 . При сложении и вычитании приближенных чисел в результате верными следует считать, те цифры, десятичным разрядам которых соответствуют верные цифры во всех слагаемых. Цифры всех других разрядов кроме самого старшего из них перед выполнением сложения или вычитания должны быть округлены во всех слагаемых.

П.2. При умножении и делении приближенных чисел в результате верными следует считать столько значащих цифр, сколько их имеет приближенное данное с наименьшим количеством верных значащих цифр. Перед выполнением этих действий среди приближенных данных нужно выбрать число с наименьшим количеством значащих цифр и округлить остальные числа так, чтобы они имели лишь на одну значащую цифру больше него.

П.З. При возведении в квадрат или в куб, а также при извлечении квадратного или кубического корня в результате следует считать верными столько значащих цифр, сколько имелось верных значащих цифр в исходном числе.

П.4. Количество верных цифр в результате вычисления функции зависит от величины модуля производной и от количества верных цифр в аргументе. Если модуль производной близок к числу 10k (k - целое), то в результате количество верных цифр относительно запятой на k меньше (если k отрицательно, то - больше), чем их было в аргументе. В данной лабораторной работе для определенности примем соглашение считать модуль, производной близким к 10k , если имеет место неравенство:

0,2·10K  2·10k .

П.5. В промежуточных результатах помимо верных цифр следует оставлять одну сомнительную цифру (остальные сомнительные цифры можно округлять) для сохранения точности вычислений. В окончательном результате оставляют только верные цифры.

Вычисления по методу границ

Если нужно иметь абсолютно гарантированные границы возможных значений вычисляемой величины, используют специальный метод вычислений - метод границ.

Пусть f(x, у) - функция, непрерывная и монотонная в некоторой области допустимых значений аргументов х и у. Нужно получить ее значение f(a, b), где а и b - приближенные значения аргументов, причем достоверно известно, что

НГ a a a ; НГ b ВГ b .

Здесь НГ, ВГ - обозначения соответственно нижней и верхней границ значений параметров. Итак, вопрос состоит в том, чтобы найти строгие границы значения f(a, b), при известных границах значений а и b.

Допустим, что функция f(x, у) возрастает по каждому из аргументов x и y . Тогда

f (НГ а , НГ b f (a , b )f (ВГ a ВГ b ).

Пусть f(x, у) возрастает по аргументу х и убывает по аргументу у . Тогда будет строго гарантировано неравенство

Сахалинской области

«Профессиональное училище № 13»

Методические указания к самостоятельной работе обучающихся

Александровск-Сахалинский

Приближенные значения величин и погрешности приближений: Метод указ. / Сост.

ГБОУ НПО «Профессиональное училище №13», - Александровск-Сахалинский, 2012

Методические указания предназначены для обучающихся всех профессий, изучающих курс математики

Председатель МК

Приближенное значение величины и погрешности приближений.

На практике мы почти никогда не знаем точных значений величин. Никакие весы, как бы точны они ни были, не показывают вес абсолютно точно; любой термометр показывает температуру с той или иной ошибкой; никакой амперметр не может дать точных показаний тока и т. д. К тому же наш глаз не в состоянии абсолютно правильно прочитать показания измерительных приборов. Поэтому, вместо того чтобы иметь дело с истинными значениями величин, мы вынуждены оперировать с их приближенными значениями.

Тот факт, что а" есть приближенное значение числа а , записывается следующим образом:

а ≈ а" .

Если а" есть приближенное значение величины а , то разность Δ = а - а" называется погрешностью приближения *.

* Δ - греческая буква; читается: дельта. Далее встречается еще одна греческая буква ε (читается: эпсилон).

Например, если число 3,756 заменить его приближенным значением 3,7, то погрешность будет равна: Δ = 3,756 - 3,7 = 0,056. Если в качестве приближенного значения взять 3,8, то погрешность будет равна: Δ = 3,756 - 3,8 = -0,044.

На практике чаще всего пользуются не погрешностью приближения Δ , а абсолютной величиной этой погрешности |Δ |. В дальнейшем эту абсолютную величину погрешности мы будем называть просто абсолютной погрешностью . Считают, что одно приближение лучше другого, если абсолютная погрешность первого приближения меньше абсолютной погрешности второго приближения. Например, приближение 3,8 для числа 3,756 лучше, чем приближение 3,7, поскольку для первого приближения
|Δ | = | - 0,044| =0,044, а для второго |Δ | = |0,056| = 0,056.

Число а" а с точностью до ε , если абсолютная погрешность этого приближения меньше чем ε :

|а - а" | < ε .

Например, 3,6 есть приближенное значение числа 3,671 с точностью до 0,1, поскольку |3,671 - 3,6| = | 0,071| = 0,071< 0,1.

Аналогично, - 3/2 можно рассматривать как приближенное значение числа - 8/5 с точностью до 1/5 , поскольку

< а , то а" называется приближенным значением числа а с недостатком .

Если же а" > а , то а" называется приближенным значением числа а с избытком.

Например, 3,6 есть приближенное значение числа 3,671 с недостатком, поскольку 3,6 < 3,671, а - 3/2 есть приближенное значение числа - 8/5 c избытком, так как - 3/2 > - 8/5 .

Если мы вместо чисел а и b сложим их приближенные значения а" и b" , то результат а" + b" будет приближенным значением суммы а + b . Возникает вопрос: как оценить точность этого результата, если известна точность приближения каждого слагаемого? Решение этой и подобных ей задач основано на следующем свойстве абсолютной величины:

|а + b | < |a | + |b |.

Абсолютная величина суммы любых двух чисел не превышает суммы их абсолютных величин.

Погрешности

Разница между точным числом x и его приближенным значением a называется погрешностью данного приближенного числа. Если известно, что | x - a | < a, то величина a называется предельной абсолютной погрешностью приближенной величины a.

Отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного значения называется относительной погрешностью приближенного значения. Относительную погрешность обычно выражают в процентах.

Пример. | 1 - 20 | < | 1 | + | -20|.

Действительно,

|1 - 20| = |-19| = 19,

|1| + | - 20| = 1 + 20 = 21,

Упражнения для самостоятельной работы.

1. С какой точностью можно измерять длины с помощью обыкновенной линейки?

2. С какой точностью показывают время часы?

3. Знаете ли вы, с какой точностью можно измерять веc тела на современных электрических весах?

4. а) В каких пределах заключено число а , если его приближенное значение с точностью до 0,01 равно 0,99?

б) В каких пределах заключено число а , если его приближенное значение с недостатком с точностью до 0,01 равно 0,99?

в) В каких пределах заключено число а , если его приближенное значение с избытком с точностью до 0,01 равно 0,99?

5 . Какое приближение числа π ≈ 3,1415 лучше: 3,1 или 3,2?

6. Можно ли приближенное значение некоторого числа с точностью до 0,01 считать приближенным значением того же числа с точностью до 0,1? А наоборот?

7 . На числовой прямой задано положение точки, соответствующей числу а . Указать на этой прямой:

а) положение всех точек, которые соответствуют приближенным значениям числа а с недостатком с точностью до 0,1;

б) положение всех точек, которые соответствуют приближенным значениям числа а с избытком с точностью до 0,1;

в) положение всех точек, которые соответствуют приближенным значениям числа а с точностью до 0,1.

8. В каком случае абсолютная величина суммы двух чисел:

а) меньше суммы абсолютных величин этих чисел;

б) равна сумме абсолютных величин этих чисел?

9. Доказать неравенства:

a) |a - b | < |a | + |b |; б)* |а - b | > ||а | - | b ||.

Когда в этих формулах имеет место знак равенства?

Литература:

1. Башмаков (базовый уровень) 10-11 кл. – М.,2012

2. Башмаков, 10 кл. Сборник задач. - М: Издательский центр «Академия», 2008

3. , Мордкович:Справочные материалы: Книга для учашихся.-2-е изд.-М.: Просвещение, 1990

4. Энциклопедический словарь юного математика/Сост. .-М.: Педагогика,1989

Cтраница 2

Математические действия над приближенными значениями величин называются приближенными, вычислениями. К настоящему времени создана целая наука о приближенных вычислениях, с рядом положений которой мы познакомимся в дальнейшем.

Результат измерения всегда дает приближенное значение величины. Это связано с неточностью самих измерений, неидеальной точностью измерительных приборов.

Что называется относительной погрешностью приближенного значения величины.

В табл. 25 приведены приближенное значения величин / Си / - д при различных амплитудах Um0 для [ диода 6X6, нагруженного сопротивлением R 0 5 мгом. Эта таблица составлена проф.

В математических таблицах обычно даются приближенные значения величин. При этом считают, что абсолютная погрешность не превосходит половины единицы последнего разряда.

При этом возникает необходимость находить приближенные значения величин при условии, что граница относительной погрешности не должна превышать наперед заданного значения. На данном занятии будут рассмотрены задачи такого типа.

Если в данном точном или приближенном значении величины число цифр больше, чем это необходимо по практическим соображениям, то это число округляют. Операция округления чисел состоит в отбрасывании нескольких цифр младших разрядов и замене их нулями; при этом последнюю удерживаемую цифру оставляют без изменения, если первая отбрасываемая цифра меньше 5; если она равна или больше 5, то цифру последнего удерживаемого разряда увеличивают на единицу.

Условимся считать, что в приближенном значении величины все цифры верные, если его абсолютная погрешность не превышает половины единицы последнего разряда.

При таком округлении число, характеризующее приближенное значение величины, состоит из верных цифр, а цифра низшего разряда этого числа (последняя в записи) имеет точность 1 того же разряда. Например, запись т 3 68 кг означает т 3 68 0 01 кг, а запись т3 680 кг означает т3 680 0 001 кг.

Из уравнения видно, что сумма приближенных значений величин А и сумма их погрешностей являются приближенным значением сумм величин X и их абсолютной ошибкой.

N) в (1) обозначено приближенное значение величины y (xi, x0, г / о), получаемое рассматриваемым методом.

Расчеты, как правило, производятся с приближенными значениями величин - приближенными числами. Разумная оценка погрешности при вычислениях позволяет указать оптимальное количество знаков, которые следует сохранять при расчетах, а также в окончательном результате.

В результате счета можно получить или точное или приближенное значение величины. При этом достаточным признаком приг ближенности результата счета является наличие разных ответов при повторных подсчетах.

В действительности, средняя арифметическая X даст ему лишь приближенное значение величины а xf, и если сама схема его опыта была неудовлетворительна или приборы плохо проверены (например, измерительная линейка вместо 1 м равна 0 999 мм), то, как бы точно наш наблюдатель ни нашел значение а, у него нет оснований считать, что X или а соответствуют истинному значению скорости звука, которая может быть наблюдаема в других самых разнообразных опытах. Основное допущение, которое должно было бы оправдать применение способа средней арифметической к физическим измерениям такого рода, состоит в предположении, что неизвестная величина а xf или, другими словами, что измерение (или вычисление) производится без систематической ошибки.

На практике, измеряя площади, мы чаще всего пользуемся приближенными значениями величин.

Тот факт, что а" есть приближенное значение числа а , записывается следующим образом:

а ≈ а" .

* Δ - греческая буква; читается: дельта. Далее встречается еще одна греческая буква ε (читается: эпсилон).

Число а" а с точностью до ε , если абсолютная погрешность этого приближения меньше чем ε :

|а - а" | < ε .

Например, 3,6 есть приближенное значение числа 3,671 с точностью до 0,1, поскольку |3,671 - 3,6| = | 0,071| = 0,071< 0,1.

Аналогично, - 3 / 2 можно рассматривать как приближенное значение числа - 8 / 5 с точностью до 1 / 5 , поскольку

Если а" < а , то а" называется приближенным значением числа а с недостатком .

Если же а" > а , то а" называется приближенным значением числа а с избытком.

Например, 3,6 есть приближенное значение числа 3,671 с недостатком, поскольку 3,6 < 3,671, а - 3 / 2 есть приближенное значение числа - 8 / 5 c избытком, так как - 3 / 2 > - 8 / 5 .

|а + b | < |a | + |b |.

Конец работы -

Эта тема принадлежит разделу:

Методическое пособие для выполнения практических работ по дисциплине математика часть 1

Методическое пособие для выполнения практических работ по дисциплине.. для профессий начального профессионального образования и специальностей среднего профессионального образования..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Пояснительная записка
Методическое пособие составлено в соответствии с рабочей программой по дисциплине «Математика», разработанной на основе Федерального государственного образовательного стандарта третьего поколения п

Пропорции. Проценты.
Цели урока: 1) Обобщить теоретические знания по теме «Проценты и пропорции». 2) Рассмотреть виды и алгоритмы решений задач на проценты, составление пропорций решить

Пропорция.
Пропорция (от лат. proportio - соотношение, соразмерность), 1) в математике - равенство между двумя отношениями четырёх величин а, в, с,

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 2
«Уравнения и неравенства» Цели урока: 1) Обобщить теоретические знания по теме: «Уравнения и неравенства». 2) Рассмотреть алгоритмы решений заданий теме «Ур

Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля.
Модуль числа а определяется следующим образом: П р и м е р: Решить уравнение. Р е ш е н и е. Если, то и данное уравнение примет вид. Можно записать так:

Уравнения с переменной в знаменателе.
Рассмотрим уравнения вида. (1) Решение уравнения вида (1) основано на следующем утверждении: дробь равна 0 тогда и только тогда, когда ее числитель равен 0, а знаменатель отличен от нуля.

Рациональные уравнения.
Уравнение f(x) = g(x) называется рациональным, если f(x) и g(x) -рациональные выражения. При этом если f(x) и g(x) - целые выражения, то уравнение называют целым;

Решение уравнений методом введения новой переменной.
Суть метода поясним на примере. П р и м е р: Решить уравнение. Р е ш е н и е. Положим, получим уравнение, откуда находим. Задача сводится к решению совокупности уравнений

Иррациональные уравнения.
Иррациональным называется уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня или под знаком возведения в дробную степень. Одним из методов решения таких уравнений является метод воз

Метод интервалов
Пример:Решить неравенство. Решение. ОДЗ: откуда имеем x [-1; 5) (5; +) Решим уравнение Числитель дроби равен 0 при x = -1, это и есть корень уравнения.

Упражнения для самостоятельной работы.
3х + (20 – х) = 35,2, (х – 3) - х = 7 – 5х. (х + 2) - 11(х + 2) = 12. х = х, 3у = 96, х + х + х + 1 = 0, – 5,5n(n – 1)(n + 2,5)(n -

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 4
«Функции, их свойства и графики» Цели урока: 1) Обобщить теоретические знания по теме: «Функции, свойства и графики». 2) Рассмотреть алгори

Будет грубой ошибкой, если при оформлении чертежа по небрежности допустить пересечение графика с асимптотой.
Пример 3 Построить правую ветвь гиперболы Используем поточечный метод построения, при этом, значения выгодно подбирать так, чтобы делилось нацело:

Графики обратных тригонометрических функций
Построим график арксинуса Построим график арккосинуса Построим график арктангенса Всего лишь перевернутая ветка тангенса. Перечислим основн

Математические портреты пословиц
Современная математика знает множество функций, и у каждой свой неповторимый облик, как неповторим облик каждого из миллиардов людей, живущих на Земле. Однако при всей непохожести одного человека н

Построить графики функций а)у=х2 ,у=х2+1 ,у=(х-2)2 б)у=1/х, у=1/(x-2),y=1/x -2 на одной координатной плоскости. Построить графики функций c

Натуральные числа

Свойства сложения и умножения натуральных чисел
a + b = b + a - переместительное свойство сложения (a + b) + c = a + (b +c) - сочетательное свойство сложения ab = ba

Признаки делимости натуральных чисел
Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число. Если в произведении хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делитс

Шкалы и координаты
Длины отрезков измеряют линейкой. На линейке (рис. 19) нанесены штрихи. Они разбивают линейку на равные части. Эти части называют делениями. На рисунке 19 длина ка

Рациональные числа
Цели урока: 1) Обобщить теоретические знания по теме «Натуральные числа». 2) Рассмотреть виды и алгоритмы решений задач связанных с понятием натурального числа.

Десятичные дроби. Перевод десятичной дроби в обыкновенную дробь.
Десятичная дробь - это другая форма записи дроби со знаменателем Например, . Если в разложении знаменателя дроби на простые множители содержатся только 2 и 5, то эту дробь можно записать в виде дес

Корень из 2
Допустим противное: рационален, то есть представляется в виде несократимой дроби, где - целое число, а - натуральное число. Возведём предполагаемое равенство в квадрат: . Отсюда

Абсолютная величина суммы любых двух чисел не превышает суммы их абсолютных величин.
ПОГРЕШНОСТИ Разница между точным числом x и его приближенным значением a называется погрешностью данного приближенного числа. Если известно, что | x - a | < a, то величина a называется

Базовый уровень
Пример.Вычислить. Решение: . Ответ: 2,5. Пример. Вычислить. Решение: Ответ: 15.

Существуют различные типы упражнений на тождественные преобразования выражений. Первый тип: явно указано то преобразование, которое необходимо выполнить. Например. 1

Задачи для самостоятельного решения
Отметьте номер правильного ответа: Результат упрощения выражения имеет вид 1. ; 4. ; 2. ; 5. . 3. ; Значение выражения равно 1) 4; 2) ; 3)

Задачи для самостоятельного решения
Найдите значение выражения 1. .2. . 2. . 3. . 4. . 5. .7. . 6.. при. 7.. при. 8.. при. 9. при. 1

Задачи для самостоятельного решения
Вопрос 1. Найдите логарифм 25 по основанию 5. Вопрос 2. Найдите логарифм по основанию 5. Вопрос 3.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 17
«Аксиомы стереометрии и следствия из них» Цель урока: 1) Обобщить теоретические знания

Разделы