Таблица квадратов натуральных чисел от 1.

*квадраты до сотни

Для того, чтобы бездумно не возводить в квадрат по формуле все числа, нужно максимально упростить себе задачу следующими правилами.

Правило 1 (отсекает 10 чисел)

Для чисел, оканчивающихся на 0.
Если число заканчивается на 0, умножить его не сложнее, чем однозначное число. Стоит лишь дописать пару нулей.
70 * 70 = 4900.
В таблице отмечены красным.

Правило 2 (отсекает 10 чисел)

Для чисел, оканчивающихся на 5.
Чтобы возвести в квадрат двузначное число, оканчивающееся на 5, нужно умножить первую цифру (x) на (x+1) и дописать к результату “25”.
75 * 75 = 7 * 8 = 56 … 25 = 5625.
В таблице отмечены зеленым.

Правило 3 (отсекает 8 чисел)

Для чисел от 40 до 50.
XX * XX = 1500 + 100 * вторую цифру + (10 - вторая цифра)^2
Достаточно трудно, верно? Давайте разберем пример:
43 * 43 = 1500 + 100 * 3 + (10 - 3)^2 = 1500 + 300 + 49 = 1849.
В таблице отмечены светло-оранжевым.

Правило 4 (отсекает 8 чисел)

Для чисел от 50 до 60.
XX * XX = 2500 + 100 * вторую цифру + (вторая цифра)^2
Тоже достаточно трудно для восприятия. Давайте разберем пример:
53 * 53 = 2500 + 100 * 3 + 3^2 = 2500 + 300 + 9 = 2809.
В таблице отмечены темно-оранжевым.

Правило 5 (отсекает 8 чисел)

Для чисел от 90 до 100.
XX * XX = 8000+ 200 * вторую цифру + (10 - вторая цифра)^2
Похоже на правило 3, но с другими коэффициентами. Давайте разберем пример:
93 * 93 = 8000 + 200 * 3 + (10 - 3)^2 = 8000 + 600 + 49 = 8649.
В таблице отмечены темно-темно-оранжевым.

Правило №6 (отсекает 32 числа)

Необходимо запомнить квадраты чисел до 40. Звучит дико и трудно, но на самом деле до 20 большинство людей знают квадраты. 25, 30, 35 и 40 поддаются формулам. И остается лишь 16 пар чисел. Их уже можно запомнить при помощи мнемоники (о которой я также хочу рассказать позднее) или любыми другими способами. Как таблицу умножения:)
В таблице отмечены синим.

Вы можете запомнить все правила, а можете запомнить выборочно, в любом случае все числа от 1 до 100 подчиняются двум формулам. Правила же помогут, не используя эти формулы, быстрее посчитать больше 70% вариантов. Вот эти две формулы:

Формулы (осталось 24 цифры)

Для цифр от 25 до 50
XX * XX = 100(XX - 25) + (50 - XX)^2
Например:
37 * 37 = 100(37 - 25) + (50 - 37)^2 = 1200 + 169 = 1369

Для цифр от 50 до 100

XX * XX = 200(XX - 25) + (100 - XX)^2

Например:
67 * 67 = 200(67 - 50) + (100 - 67)^2 = 3400 + 1089 = 4489

Конечно не стоит забывать про обычную формулу разложения квадрата суммы (частный случай бинома Ньютона):
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.
56^2 = 50^2 + 2*50*6 + 6*2 = 2500 + 600 + 36 = 3136.

Возведение в квадрат, возможно, не самая полезная в хозяйстве вещь. Не сразу вспомнишь случай, когда может понадобиться квадрат числа. Но умение быстро оперировать числами, применять подходящие правила под каждое из чисел отлично развивает память и «вычислительные способности» вашего мозга .

Кстати, думаю, все читатели хабры знают, что 64^2 = 4096, а 32^2 = 1024.
Многие квадраты чисел запоминаются на ассоциативном уровне. Например, я легко запомнил 88^2 = 7744, из-за одинаковых чисел. У каждого наверняка найдутся свои особенности.

Две уникальные формулы я впервые нашел в книге «13 steps to mentalism», которая мало связана с математикой. Дело в том, что раньше (возможно, и сейчас) уникальные вычислительные способности были одним из номеров в сценической магии: фокусник рассказывал байку о том, как он получил сверхспособности и в доказательство этого моментально возводит числа до сотни в квадрат. В книге так же указаны способы возведения в куб, способы вычитания корней и кубических корней.

Если тема быстрого счета интересна - буду писать еще.
Замечания об ошибках и правки прошу писать в лс, заранее спасибо.

Абсолютно все числа из определенного количества единиц. Все они увеличиваются до бесконечности. Среди этих чисел находится квадрат числа, который получают методом умножения числа на самого себя. Это же число может называться числом квадрата (а затем и куба).

Квадратом числа называют п роизведение двоих одинаковых чисел.

Например, квадрат числа n это произведение n на число n. Квадрат числа n читают как n в квадрате (n 2 = n*n). Разберем на примере число, которое заканчиваются на 5 как можно найти квадрат числа. Для этого возведем данное число в квадрат, другими словами умножим его само на себя. 25*25=625. Во-первых: нужно выделить цифры, которые стоят перед числом, которое мы рассматриваем. В данном случае это 2. Это число умножаем на число большее от него на единицу, то есть на 3 (2*3=6). До полученного числа добавляем квадрат числа 5 (6 и 25).

Возведение в степень числа - это операция, которая происходит от многократного умножения числа на самого себя.

Основанием степени может быть любое число (a n , где а — основание степени, n — степень этого числа). Вторая степень называется ее квадратом.

Свойства квадрата:

• Три квадрата могут образовать арифметическую прогрессию (арифметической прогрессии из четырех квадратов не существует).
• Как сумма четырех квадратов может быть представлено любое из чисел.
• Одновременно пирамидальным и квадратным числом, которое больше единицы может быть только 4900.
• Последнее число квадрата (десятичного) 0,1,4,5,6,9.

Квадраты чисел содержит таблица квадратов:

В списке арифметических действий на первом месте стоят умножение, деление, вычитание и сложение чисел, поэтому возведение чисел в квадраты возникло как самостоятельная операция не сразу. Но еще в Древнем Египте встречаются такие задачи на вычисление степеней. Средневековые математики (в частности немецкие ученые) пытались сократить количество чисел и ввести единое их обозначение. Никола Шюке ввел в символику помимо нулевой, еще и отрицательную степень. Он начал писать эти числа сверху справа маленьким шрифтом. Раффаэле Бомбелли называл неизвестное — 1, а его степени символами 2 и 3. Более похожее на современное обозначение степеней можно найти в работе Рене Декарта «Геометрия». Такой известный математик как Лейбниц считал, что нужно обратить внимание на символики во всех записях произведений одинаковых множителей.