Тангенс 0.25 чему равен угол. График функции тангенс, y = tg x
Аммиак является газообразным веществом с резким неприятным запахом. Какими свойствами он обладает, и с какими веществами вступает в реакции?
Строение молекулы
Электронная формула аммиака выглядит следующим образом:
Рис. 1. Электронная формула аммиака.
Из четырех электронных пар при атоме азота – три общие и одна неподеленная. В образовании молекулы NH 3 участвуют три неспаренных p-электрона атома азота, электронные орбитали которых взаимно перпендикулярны, и 1s-электроны трех атомов водорода. Молекула имеет форму правильной пирамиды: в углах треугольника находятся атомы водорода, а в вершине пирамиды – атом азота. Угол между связями H-N-H равен 107,78 градусов.
Физические свойства
Аммиак – газ не имеющий цвета с характерным резким запахом. Температура кипения аммиака – -33,4 градуса по Цельсию, плавления – -77,8 градусов.
Аммиак хорошо растворяется в воде (при 20 градусах в 1 объеме воды растворяется до 700 объемов аммиака). Концентрированный раствор имеет плотность аммиака 0,91 г/см3.
Раствор аммиака в воде называется аммиачной водой или нашатырным спиртом. При кипячении растворенный аммиак улетучивается из раствора.
Рис. 2. Нашатырный спирт.
Несколько хуже аммиак растворим в органических растворителях (спирт, ацетон, хлороформ, бензол). Аммиак хорошо растворяет многие азотосодержащие вещества.
Жидкий аммиак имеет большую теплоту испарения (при -50 градусах 145 кДж/кг, при 0 градусах 1260 кДж/кг, при 50 градусах 1056 кДж/кг).
Молярная масса и молекулярная масса аммиака равна 17
Химические свойства
В химическом отношении аммиак довольно активен. реакции, в которых участвует аммиак, сопровождаются либо изменением степени окисления азота, либо образованием особого вида ковалентной связи. Большая растворимость химического вещества в воде обусловлена образованием водородных связей между их молекулами.
Аммиак способен реагировать со следующими веществами:
- при взаимодействии с кислотами аммиак нейтрализует их, образуя при этом соли аммония:
NH 3 +HCl=NH 4 Cl
- при взаимодействии с галогенами аммиак обычно окисляется до свободного азота:
8NH 3 +3Br 2 =N 2 +6NH 4 Br
- в смеси с кислородом аммиак горит зеленовато-желтым пламенем:
4NH 3 +3O 2 =6H 2 O+2N 2
- при нагревании аммиак восстанавливает оксид меди (II), а сам окисляется до свободного азота:
3CuO+2NH 3 =3Cu+N 2 +3H 2 O
– с помощью данной реакции можно получить кислород в лабораторных условиях.
Получение и применение
В лаборатории аммиак получают, нагревая хлоридом амония NH 4 Cl с гашеной известью Ca(OH) 2:
2NH 4 Cl+Ca(OH) 2 =CaCl+2NH 3 +2H 2 O
– выделяющийся аммиак содержит пары воды.
В промышленности аммиак получают из азота и водорода. Реакция синтеза аммиака протекает с выделением тепла и уменьшением объема:
N 2 +3H 2 =2NH 3
Температура, необходимая для проведения синтеза аммиака, достигается путем предварительного подогрева азото-водородной смеси и за счет выделения реакционного тепла. Катализатором синтеза аммиака является губчатое железо, активированное некоторыми металлами. Сероводород, кислород, оксид и диоксид углерода, пары и другие смеси, содержащиеся в азото-водородной смеси, резко понижают активность катализатора. Синтез ведут при при температуре 500-550 градусов и давлении от 15 до 100 МПа.
Схема установки синтеза аммиака выглядит так:
Рис. 3. Схема производства аммиака.
Большая часть синтезируемого в промышленности аммиака используется для получения азотной кислоты и других азотосодержащих веществ. На легком сжижении и последующем испарении с поглощением теплоты основано его применение в холодильных установках.
Водные растворы аммиака применяются в химических лабораториях и производствах в качестве слабого легколетучего основания. Также водные растворы используют в медицине и быту.
Что мы узнали?
Изучение аммиака входит в обязательный школьный курс химии. Аммиак – химическое соединение, в состав которого входит азот и водород. Газ является бесцветным веществом с ярко выраженным запахом и вступает в реакции с кислотами, водой, галогенами, кислородом и другими сложными и простыми веществами.
Тест по теме
Оценка доклада
Средняя оценка: 4.7 . Всего получено оценок: 121.
В быту часто используют нашатырный спирт, но называют его и аммиаком и нашатырем, оставаясь в полной уверенности, что это одно и тоже.
На самом деле это разные вещества, которые отличаются друг от друга своим происхождением, агрегатным состоянием и химическими формулами. Роднит эти три разных вещества только резкий аммиачный запах.
Для того чтобы раз и навсегда разубедиться в том, что нашатырный спирт и аммиак - это одно и тоже, достаточно обратиться к истории их происхождения и посмотреть на их химические формулы.
Аммиак - нитрид водорода, газ с молярной массой 17 г/моль, химическая формула - NH3.
Нашатырный или аммиачный спирт - жидкость с химической формулой NH4OH.
Нашатырь - соль с химической формулой - NH4Cl.
Происхождение аммиака
История открытия натурального газа аммиака имеет две легенды. По первой легенде, около храма египетского бога Амона, где совершались религиозные обряды, люди нюхали пары верблюжьих экскрементов, от чего впадали в транс. Эти пары назвали «аммиак».
По второй легенде, в северной Африке в районе оазиса Аммона находилось пересечение караванных путей. Там проходило огромное количество животных, дорога была усеяна их калом и обильно полита мочой, которые испарялись и выделяли газ, который называли «аммиак».
Что касается научного открытия газа с названием «аммиак», то оно датируется 1785 годом. Химическую формулу газа, NH3, определил французский ученый К. Л. Бертолле и назвал его «аммиак».
Но еще в 1774 году английский ученый Д. Пристли получил идентичный газ, которому дал название «щелочной воздух», но химического состава вывести не смог.
Аммиак (ammonia на латыни) - бесцветный газ со специфическим запахом, легче воздуха, химически активный, сжижается при температуре -33 С; хорошо растворяется в воде, имеет щелочную реакцию; взаимодействует с соляной кислотой и образует соль аммония: NH3 + HCl = NH4Cl, которая при нагревании разлагается: NH4Cl = NH3 + HCl.
Получают аммиак двумя способами - промышленным и лабораторным. При лабораторном способе аммиак получается при нагревании щелочей и соли аммония:
- NH4Cl + KOH = NH3 + KCl + H2O;
- NH4 + + OH - = NH 3 + H2O.
В промышленных условиях аммиак сначала производится в газообразном виде, а затем его сжижают и доводят до 25%-го водного раствора, который называется аммиачная вода.
Синтез аммиака - это очень важное химическое производство, так как аммиак является основополагающим элементом для многих других химических технологий и производств. Так, аммиак используется в промышленных холодильных установках в качестве хладагента; является отбеливателем при обработке и крашении тканей; незаменим в процессе производства азотной кислоты, азотных удобрений, солей аммония, синтетических волокон - нейлона и капрона.
Промышленный способ синтеза аммиака был изобретен в 1909 году немецким химиком Фрицем Габером. В 1918 году за свое открытие в химии он получил Нобелевскую премию. Первый завод по производству аммиака был запущен в 1913 году в Германии, а в 1928 году производство аммиака было уже налажено в России.
Происхождение нашатыря
Нашатырь (Hammoniaci P. Sal) - это соль, химическая формула NH4Cl (хлорид аммония).
Нашатырь имеет вулканическое происхождение; встречается в горячих источниках, испарениях грунтовых вод, в залежах гуано и самородной серы; образуется при горении угольных пластов или скоплений мусора. Имеет вид натёков, землистых налётов, корочек или массивных скелетных кристаллических скоплений, гроздей и дендритов.
Чистый нашатырь бесцветный или белый, со стеклянным блеском. В зависимости от имеющихся в нем примесей, цвет может быть всех оттенков жёлтого, бурый, серый, разных оттенков красного, коричневый.
При нагревании из нашатыря выделяется аммиак, он хорошо растворяется в воде. Раствор на вкус жгучий едко - солёный, запах резкий аммиачный.
Нашатырь был известен людям с очень давних времен и использовался в ритуальных обрядах, при производстве и окраске тканей, а также алхимиками для пайки металлов и сплавления золота.
В Средние века научились получать искусственный нашатырь из рогов и копыт крупного рогатого скота, который называли «духом оленьего рога».
Происхождение нашатырного спирта
Liquor ammonia caustici - его латинское название.
Это 10-процентный раствор аммиачной воды с химической формулой NH4OH; бесцветная прозрачная однородная смесь, способная испаряться; со специфическим запахом аммиака, который при замерзании сохраняется.
Упоминание о его использовании восточными алхимиками датируется еще VIII веком, а европейскими алхимиками 13 веком. До наших дней дошли их записи об используемых ими рецептурах.
В наши дни получают промышленным и простым бытовым способом:
- промышленным способом синтез проводят из газообразного состояния водорода, азота и воздуха с использованием определенных катализаторов, а затем получают водно-спиртовой раствор, который имеет резкий аммиачный запах;
- простой бытовой способ основан на разведении 25%-ой аммиачной воды до 10%-ого раствора.
Области применения
Область применения аммиака и аммиачного спирта широка, он используется практически во всех сферах жизнедеятельности человека, начиная от технологических процессов и заканчивая медициной и бытовыми нуждами.
Применение аммиака
Аммиак широко применяется в качестве хладагента в различном бытовом и промышленном оборудовании.
Он является одним из важнейших продуктов, используемых в химической промышленности. В частности, его используют в производстве:
- нашатырного спирта;
- добавок в строительные материалы для использования в морозных условиях;
- полимеров, соды и азотной кислоты;
- удобрений;
- взрывчатых веществ.
Использование аммиачного спирта
Аммиачный спирт применяется в медицине и в быту.
Применение в медицине показано в следующих случаях:
Применение в быту заключается в обезжиривании и чистки различной домашней утвари.
Раствором спирта из расчета 2 ч. л. на 2 стакана воды и 1 ст. л. любого средства для мытья посуды можно отлично почистить столовое серебро, серебряные и золотые ювелирные украшения (изделия с жемчугом нашатырным спиртом чистить нельзя, он станет серым и мутным). Для этого надо поместить в раствор столовое серебро или ювелирные изделия, подержать от 1 до 2 часов, затем прополоскать в воде и насухо вытереть.
Он хорошо выводит пятна крови, мочи и пота с шерсти, шелка и лайкры. В качестве пятновыводителя используется 50% раствор. В концентрированном виде может удалить следы от карандаша на одежде.
С ковров, мебельной обивки и автомобильных чехлов можно удалить пятка раствором из 1 ст. л. чистого аммиака и 2 л горячей воды. Для этого надо прочистить загрязнение и дать просохнуть. Если будет необходимость, то можно повторно прочистить.
Оконные стекла, зеркала и фаянс тоже можно почистить раствором из 1 ст. л. чистого аммиака и 3 ст. воды. Поверхность будет чистая и хорошо блестеть.
Аммиачной водой 1 ст. л. в смеси с 4 л воды можно отчистить каменные налеты в ванне и умывальнике. Для этого надо их прочистить раствором, а потом промыть горячей водой.
Спирт может использоваться в садоводстве для борьбы с луковой мухой и тлей, а также в качестве удобрения, для огородных и комнатных растений в условиях кислой почвы.
Влияние на человека
При использовании аммиака и нашатырного спирта надо помнить, что это сильно ядовитые вещества и при их использовании следует строго соблюдать дозировку и придерживаться правил пользования.
При намерении использовать аммиак приобретать его надо исключительно в аптеках и внимательно знакомиться с прилагаемыми правилами пользования «Раствор аммиака. Инструкция по применению».
Превышение дозировок может вызвать отравление и серьезные проблемы со здоровьем, а также химические ожоги. Помещения, где он применяется, должны хорошо проветриваться.
Кроме ядовитости, пары аммиака взрывоопасные. Это происходит при смешении их с воздухом в определенной пропорции, поэтому при работе необходимо соблюдать особые правила техники безопасности при работе со взрывчатыми веществами.
Первыми симптомами отравления могут быть:
- появление красных пятен на лице и теле;
- учащенное дыхание;
- общая возбужденность.
Дальнейшими признаками развития отравления являются:
- появление острой боли за грудиной;
- судороги;
- отек гортани;
- спазм голосовых связок;
- мышечная слабость;
- нарушение кровообращения;
- полуобморочное состояние, вплоть до потери сознания.
При приеме внутрь аммиачной воды в превышающих дозах может возникнуть:
- понос с ложными болезненными позывами;ожог пищевода, желудка и начальных отделов кишечника;
- кашель, слезотечение, слюнотечение и чих;
- остановка дыхания рефлекторного характера;
- рвота с запахом аммиака;
- прием аммиачного спирта в количестве от 10 до 15 гр. грозит летальным исходом.
Если у человека имеется индивидуальная непереносимость к запаху аммиака, то даже незначительное его попадание через дыхательные пути или вовнутрь может сразу привести к самым неблагоприятным последствиям.
Если у человека на теле имеется нарушение кожных покровов в виде мокнущих язв, экзем или дерматитов, то применение примочек может привести к еще более обширной аллергической реакции и ожогам кожных покровов.
Первая помощь при отравлении
В случаях возникновения первых признаков отравления этими веществами необходимо срочно начать оказывать пострадавшему первую помощь.
К первой помощи можно отнести следующие меры:
В случае более тяжелых форм отравления необходимо срочно вызывать скорую помощь.
Аммиачный спирт обязателен в наборах медикаментов для первой помощи в аптечках и в нужный момент должен быть под рукой.
Сколько может стоить в аптеках? Ответ - совсем недорого. Приобретайте, пользуйтесь, но будьте предельно осторожны.
Внимание, только СЕГОДНЯ!
Справочные данные по тангенсу (tg x) и котангенсу (ctg x). Геометрическое определение, свойства, графики, формулы. Таблица тангенсов и котангенсов, производные, интегралы, разложения в ряды. Выражения через комплексные переменные. Связь с гиперболическими функциями.
Геометрическое определение
|BD|
- длина дуги окружности с центром в точке A
.
α
- угол, выраженный в радианах.
Тангенс (tg α ) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |BC| к длине прилежащего катета |AB| .
Котангенс (ctg α ) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |AB| к длине противолежащего катета |BC| .
Тангенс
Где n - целое.
В западной литературе тангенс обозначается так:
.
;
;
.
График функции тангенс, y = tg x
Котангенс
Где n - целое.
В западной литературе котангенс обозначается так:
.
Также приняты следующие обозначения:
;
;
.
График функции котангенс, y = ctg x
Свойства тангенса и котангенса
Периодичность
Функции y = tg x и y = ctg x периодичны с периодом π .
Четность
Функции тангенс и котангенс - нечетные.
Области определения и значений, возрастание, убывание
Функции тангенс и котангенс непрерывны на своей области определения (см. доказательство непрерывности). Основные свойства тангенса и котангенса представлены в таблице (n - целое).
y = tg x | y = ctg x | |
Область определения и непрерывность | ||
Область значений | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
Возрастание | - | |
Убывание | - | |
Экстремумы | - | - |
Нули, y = 0 | ||
Точки пересечения с осью ординат, x = 0 | y = 0 | - |
Формулы
Выражения через синус и косинус
;
;
;
;
;
Формулы тангенса и котангенс от суммы и разности
Остальные формулы легко получить, например
Произведение тангенсов
Формула суммы и разности тангенсов
В данной таблице представлены значения тангенсов и котангенсов при некоторых значениях аргумента.
Выражения через комплексные числа
Выражения через гиперболические функции
;
;
Производные
; .
.
Производная n-го порядка по переменной x
от функции :
.
Вывод формул для тангенса > > > ; для котангенса > > >
Интегралы
Разложения в ряды
Чтобы получить разложение тангенса по степеням x , нужно взять несколько членов разложения в степенной ряд для функций sin x и cos x и разделить эти многочлены друг на друга , . При этом получаются следующие формулы.
При .
при .
где B n
- числа Бернулли. Они определяются либо из рекуррентного соотношения:
;
;
где .
Либо по формуле Лапласа:
Обратные функции
Обратными функциями к тангенсу и котангенсу являются арктангенс и арккотангенс , соответственно.
Арктангенс, arctg
,
где n
- целое.
Арккотангенс, arcctg
,
где n
- целое.
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Г. Корн, Справочник по математике для научных работников и инженеров, 2012.
Таблица тангенсов углов углов от 0° — 360°. Углы с шагом в 1°. Таблица значений тангенса, tg
Подробная таблица тангенсов. Шаг — 1 градус.
Таблица тангенсов углов углов от 0° — 360°. Углы с шагом в 1°.
Углы |
Углы |
Углы |
Углы |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
таблица тангенсов, таблица тангенсов и синусов, таблица тангенсов косинусов, таблица синусов косинусов тангенсов котангенсов
Оценка статьи:
В таблице значения тангенсов от 0° до 360°.
Таблица тангенсов нужна, когда у вас под рукой нет калькулятора. Чтобы узнать, чему равен тангенс угла, просто найдите его в таблице. Для начала короткая версия таблицы:
https://uchim.org/matematika/tablica-tangensov — uchim.org
Таблица тангенсов для 0°-180°
|
|
|
Таблица тангенсов для 180° — 360°
|
|
|
Существуют также следующие таблицы тригонометрических функций по геометрии: таблица синусов, таблица косинусов и таблица котангенсов.
Всё для учебы » Математика в школе » Таблица тангенсов углов (углы, значения)
Чтобы добавить страницу в закладки, нажмите Ctrl+D.
Группа с кучей полезной информации (подпишитесь, если предстоит ЕГЭ или ОГЭ):
Знаки тригонометрических функций
Знак тригонометрической функции зависит исключительно от координатной четверти, в которой располагается числовой аргумент.
В прошлый раз мы учились переводить аргументы из радианной меры в градусную (см. урок «Радианная и градусная мера угла»), а затем определять эту самую координатную четверть. Теперь займемся, собственно, определением знака синуса, косинуса и тангенса.
угла α - это ордината (координата y) точки на тригонометрической окружности, которая возникает при повороте радиуса на угол α.
угла α - это абсцисса (координата x) точки на тригонометрической окружности, которая возникает при повороте радиуса на угол α.
угла α - это отношение синуса к косинусу.
Или, что то же самое, отношение координаты y к координате x .
Обозначение: sin α = y ; cos α = x ; tg α = y: x .
Все эти определения знакомы вам из курса алгебры старших классов. Однако нас интересуют не сами определения, а следствия, которые возникают на тригонометрической окружности. Взгляните:
Синим цветом обозначено положительное направление оси OY (ось ординат), красным - положительное направление оси OX (ось абсцисс).
На этом «радаре» знаки тригонометрических функций становятся очевидными. В частности:
- sin α > 0, если угол α лежит в I или II координатной четверти. Это происходит из-за того, что по определению синус - это ордината(координата y).
А координата y будет положительной именно в I и II координатных четвертях;
- cos α > 0, если угол α лежит в I или IV координатной четверти. Потому что только там координата x (она же - абсцисса) будет больше нуля;
- tg α > 0, если угол α лежит в I или III координатной четверти. Это следует из определения: ведь tg α = y: x , поэтому он положителен лишь там, где знаки x и y совпадают.
Это происходит в I координатной четверти (здесь x > 0, y > 0) и III координатной четверти (x < 0, y < 0).
Для наглядности отметим знаки каждой тригонометрической функции - синуса, косинуса и тангенса - на отдельных «радарах». Получим следующую картинку:
Заметьте: в своих рассуждениях я ни разу не говорил о четвертой тригонометрической функции - котангенсе.
Дело в том, что знаки котангенса совпадают со знаками тангенса - никаких специальных правил там нет.
Теперь предлагаю рассмотреть примеры, похожие на задачи B11 из пробного ЕГЭ по математике, который проходил 27 сентября 2011. Ведь лучший способ понять теорию - это практика. Желательно - много практики. Разумеется, условия задач были немного изменены.
Задача. Определите знаки тригонометрических функций и выражений (значения самих функций считать не надо):
- sin (3π/4);
- cos (7π/6);
- tg (5π/3);
- sin (3π/4) · cos (5π/6);
- cos (2π/3) · tg (π/4);
- sin (5π/6) · cos (7π/4);
- tg (3π/4) · cos (5π/3);
- ctg (4π/3) · tg (π/6).
План действий такой: сначала переводим все углы из радианной меры в градусную (π → 180°), а затем смотрим в какой координатной четверти лежит полученное число.
Зная четверти, мы легко найдем знаки - по только что описанным правилам. Имеем:
- sin (3π/4) = sin (3 · 180°/4) = sin 135°. Поскольку 135° ∈ , это угол из II координатной четверти. Но синус во II четверти положителен, поэтому sin (3π/4) > 0;
- cos (7π/6) = cos (7 · 180°/6) = cos 210°. Т.к. 210° ∈ , это угол из III координатной четверти, в которой все косинусы отрицательны.
Следовательно, cos (7π/6) < 0;
- tg (5π/3) = tg (5 · 180°/3) = tg 300°. Поскольку 300° ∈ , мы находимся в IV четверти, где тангенс принимает отрицательные значения. Поэтому tg (5π/3) < 0;
- sin (3π/4) · cos (5π/6) = sin (3 · 180°/4) · cos (5 · 180°/6) = sin 135° · cos 150°. Разберемся с синусом: т.к. 135° ∈ , это II четверть, в которой синусы положительны, т.е.
sin (3π/4) > 0. Теперь работаем с косинусом: 150° ∈ - снова II четверть, косинусы там отрицательны. Поэтому cos (5π/6) < 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
- cos (2π/3) · tg (π/4) = cos (2 · 180°/3) · tg (180°/4) = cos 120° · tg 45°. Смотрим на косинус: 120° ∈ - это II координатная четверть, поэтому cos (2π/3) < 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ - это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии).
Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) > 0. Опять получили произведение, в котором множители разных знаков. Поскольку «минус на плюс дает минус», имеем: cos (2π/3) · tg (π/4) < 0;
- sin (5π/6) · cos (7π/4) = sin (5 · 180°/6) · cos (7 · 180°/4) = sin 150° · cos 315°. Работаем с синусом: поскольку 150° ∈ , речь идет о II координатной четверти, где синусы положительны.
Следовательно, sin (5π/6) > 0. Аналогично, 315° ∈ - это IV координатная четверть, косинусы там положительны.
Поэтому cos (7π/4) > 0. Получили произведение двух положительных чисел - такое выражение всегда положительно. Заключаем: sin (5π/6) · cos (7π/4) > 0;
- tg (3π/4) · cos (5π/3) = tg (3 · 180°/4) · cos (5 · 180°/3) = tg 135° · cos 300°.
Но угол 135° ∈ - это II четверть, т.е. tg (3π/4) < 0. Аналогично, угол 300° ∈ - это IV четверть, т.е. cos (5π/3) > 0.
Поскольку «минус на плюс дает знак минус», имеем: tg (3π/4) · cos (5π/3) < 0;
- ctg (4π/3) · tg (π/6) = ctg (4 · 180°/3) · tg (180°/6) = ctg 240° · tg 30°. Смотрим на аргумент котангенса: 240° ∈ - это III координатная четверть, поэтому ctg (4π/3) > 0. Аналогично, для тангенса имеем: 30° ∈ - это I координатная четверть, т.е. самый простой угол. Поэтому tg (π/6) > 0. Снова получили два положительных выражения - их произведение тоже будет положительным.
Поэтому ctg (4π/3) · tg (π/6) > 0.
В заключение рассмотрим несколько более сложных задач. Помимо выяснения знака тригонометрической функции, здесь придется немного посчитать - именно так, как это делается в настоящих задачах B11. В принципе, это почти настоящие задачи, которые действительно встречается в ЕГЭ по математике.
Найдите sin α, если sin2 α = 0,64 и α ∈ [π/2; π].
Поскольку sin2 α = 0,64, имеем: sin α = ±0,8.
Осталось решить: плюс или минус? По условию, угол α ∈ [π/2; π] - это II координатная четверть, где все синусы положительны. Следовательно, sin α = 0,8 - неопределенность со знаками устранена.
Задача. Найдите cos α, если cos2 α = 0,04 и α ∈ [π; 3π/2].
Действуем аналогично, т.е.
извлекаем квадратный корень: cos2 α = 0,04 ⇒ cos α = ±0,2. По условию, угол α ∈ [π; 3π/2], т.е. речь идет о III координатной четверти. Там все косинусы отрицательны, поэтому cos α = −0,2.
Задача. Найдите sin α, если sin2 α = 0,25 и α ∈ .
Имеем: sin2 α = 0,25 ⇒ sin α = ±0,5.
Тригонометрические функции любого угла
Снова смотрим на угол: α ∈ - это IV координатная четверть, в которой, как известно, синус будет отрицательным. Таким образом, заключаем: sin α = −0,5.
Задача. Найдите tg α, если tg2 α = 9 и α ∈ .
Все то же самое, только для тангенса.
Извлекаем квадратный корень: tg2 α = 9 ⇒ tg α = ±3. Но по условию угол α ∈ - это I координатная четверть. Все тригонометрические функции, в т.ч. тангенс, там положительны, поэтому tg α = 3. Все!