Умножение и деление целых чисел. На ноль делить нельзя
На этом уроке мы выясним, как связаны между собой умножение и деление. Так же мы научимся вычислять периметр квадрата.
Мы уже знаем, что действия сложения и вычитания связанны между собой. Если из суммы вычесть первое слагаемое, то мы получим второе слагаемое. И наоборот, если из суммы вычесть второе слагаемое, то мы получим первое слагаемое. (Рис. 1).
Рис. 1. Связь сложения и вычитания
Теперь давайте попробуем выяснить, связаны ли между собой действия умножения и деления. Давайте составим выражение на умножение и попробуем вычислить его результат. Поможет нам в этом иллюстрация.
Давайте представим это в виде рисунка. (Рис. 2).
Рис. 2. 4 умножить на 2
4 умножить на 2. Это значит, что 4 круга нужно повторить 2 раза. Сколько получится?
Теперь давайте составим выражение на деление, используя при этом иллюстрацию.
Посмотрите на равенство. С его помощью составьте выражение на деление. Равенство:
Нам нужно выяснить, связано ли между собой умножение и деление.
Давайте попробуем произведение разделить на первый множитель.
Это значит, что число 8 нужно разделить на 4 группы. Сколько кругов будет в каждой группе?
Ответ: 2 круга. (Рис. 3).
Рис. 3. Деление числа 8 на 4 группы
Это значит, что 8: 4 = 2.
Продолжим наше наблюдение. Составим из равенства 4 ∙ 2 = 8 еще одно выражение на деление.
Это значит, что теперь число 8 нужно разделить на две одинаковые части. (Рис. 4).
Рис. 4. Деление числа 8 на две одинаковые части
В каждой части у нас по 4 круга. Это значит, что:
Посмотрите на выражения:
Если произведение разделить на первый множитель, то мы получим второй множитель. И наоборот, если произведение разделить на второй множитель, то мы получим первый множитель. Это значит, что умножение и деление связаны между собой.
Теперь давайте используем знания о связи между умножением и делением для решения задачи.
Посмотрите внимательно на рисунок. (Рис. 5).
Рис. 5. Квадрат
На нем изображена геометрическая фигура - квадрат. Давайте найдем периметр квадрата.
Что такое квадрат?
Квадрат - это прямоугольник, у которого все стороны равны. А если квадрат - это тоже прямоугольник, подходит ли формула для нахождения периметра прямоугольника
(a + b ) ∙ 2 для нахождения периметра квадрата?
Давайте это выясним. Сначала найдем сумму длин сторон квадрата методом сложения.
Длина стороны квадрата ABCD - 5 см. (Рис. 6).
Рис. 6. Длина стороны квадрата ABCD
Для того чтобы узнать периметр, нужно узнать сумму всех сторон. С помощью сложения это выглядит так:
Вы заметили, что мы находили сумму одинаковых слагаемых. Это значит, что мы можем сложение заменить умножением. Давайте это сделаем.
Каждое слагаемое было равно 5, и этих слагаемых было 4.
Поэтому выражение на нахождение суммы мы можем заменить выражением на нахождение произведения.
5 + 5 + 5 + 5 = 5 ∙ 4
Это значит, что для нахождения суммы длин сторон квадрата нужно длину его стороны умножить на количество сторон.
Теперь давайте выведем формулу для нахождения периметра квадрата.
Для того чтобы найти периметр квадрата, нужно длину его стороны, какой бы она ни была, умножить на 4. (Рис. 7).
Рис. 7. Формула для нахождения периметра квадрата
А если известен периметр квадрата, как поступать в этом случае?
Теперь мы знаем формулу, с помощью которой мы можем найти периметр квадрата. Зная эту формулу, мы можем найти и периметр квадрата, и его сторону.
Действуя по формуле а ∙ 4, мы можем найти периметр квадрата. Значение длины стороны квадрата 5 см мы умножаем на 4 - количество сторон квадрата.
5 ∙ 4 = 20 (см)
А как поступать в случаях, если известен периметр квадрата, а нужно найти его сторону?
Периметр квадрата - это сумма длин сторон квадрата. Количество сторон квадрата - четыре. Поэтому для того, чтобы узнать значение стороны, нужно периметр разделить на известный множитель. Известный множитель - 4, количество сторон у фигуры. Периметр - 20.
20: 4 = 5 (см)
Мы уже знаем, как находить периметр другой геометрической фигуры. Давайте вспомним формулу для нахождения периметра прямоугольника.
Периметр прямоугольника
Вычислить периметр фигуры - значит, узнать сумму длин его сторон. Прямоугольник - это четырехугольник, у которого стороны попарно равны. У прямоугольника ABCD равны противоположные стороны.
Для того чтобы узнать периметр прямоугольника ABCD, нам нужно сначала узнать полупериметр. Полупериметр - это сумма двух сторон прямоугольника (AB + BC). Так как у нас таких сторон по 2. Поэтому полупериметр нужно умножить на 2. Это значит, что формула для нахождения периметра прямоугольника ABCD (Рис. 8):
Рис. 8. Формула для нахождения периметра прямоугольника
Для того чтобы найти периметр или сумму всех сторон, нужно сначала найти полупериметр. Полупериметр - это сумма одной длины и одной ширины фигуры. Затем умножаем полупериметр на 2, потому что стороны прямоугольника попарно равны. (Рис. 9).
Страница 2
Понимание связи между умножением и делением дает возможность каждый случай умножения связать с соответствующими случаями деления, что делает ненужным составление и запоминание табличных случаев деления.
Изучение двух новых действий разделено на два больших этапа:
Общее знакомство с умножением и делением как новыми арифметическими действиями;
Табличное умножение и деление.
Первый этап включает выделение сумм с одинаковыми слагаемыми в отдельную группу; введение действия умножения и знака, его обозначающего; знакомство с математическим смыслом каждого из двух множителей; знакомство с терминологией связанной с умножением; деление и его связь с вычитанием и умножением; знак деления, терминология, относящаяся к делению.
Умножение вводится как действие, заменяющее особый случай сложения – сложение одинаковых чисел. Начало работы необходимо связать с заданиями, в которых используются группы реальных предметов или изображений таких групп.
Сравнение сумм, соответствующих предложенным ситуациям, помогает сделать первый шаг к выделению особых сумм – сумм с одинаковыми слагаемыми.
Умение дифференцировать такие суммы можно считать основанием для перехода к введению понятия об умножении. Установить этот момент помогут задания на классификацию сумм.
В случае, когда учитель считает необходимым, количество вводных заданий может быть несколько увеличено за счет практической работы с группами реальных предметов. Особенно важны такие задания для детей, которым с трудом дается овладение изучаемыми вопросами.
Вместе с тем увлекаться нагромождением большого количества однотипных заданий ни в коем случае не следует, т.к. процесс выделения сумм с одинаковыми слагаемыми продолжается и после введения понятия об умножении.
Знакомство с умножением и с его знаком происходит через задание, где новое действие заменяет сложение одинаковых слагаемых. В этом же задании при сравнении сумм и соответствующих им произведений происходит первоначальное осознание математического смысла каждого из двух множителей.
При полном согласии с трактовкой роли множителей, принятой в основной школе, где первый множитель обозначает количество равных слагаемых, а второй – величину этих слагаемых, мы придерживаемся трактовки их роли принятой в начальной школе, чтобы не создавать дискомфорта ученикам при выполнении общих для всех классов проверочных работ.
В этой системе само изучение таблицы умножения отведено на второе место, после изучения основных законов. Это помогает значительно сократить объем материала, который необходимо выучить детям.
В данной системе обучения изучение таблицы умножения в первую очередь способствует осознанию причинно-следственных связей и установление аналогий, то есть познавательных метапредметных результатов.
Рассмотрим принцип изучения таблицы умножения в системе Н.Ф. Виноградовой.
В курсе математики 2 класса эта тема является центральной. Большую её часть занимает арифметический материал: таблица умножения однозначных чисел (в полном объеме) и соответствующие табличные случаи деления. Важным вопросом, рассматриваемым одновременно с таблицей умножения, является введение понятия о доле числа и обучение учащихся умению находить половину, треть, четверть, пятую … части данного числа, используя деление. При этом никаких обозначений долей в форме ½ не вводится. Заканчивается арифметическая часть темы ознакомлением учащихся с новыми видами отношений – «больше в» и «меньше в».
Изучение таблицы умножения относится к традиционным вопросам начальной школы. От того, насколько прочно дети освоили ее в начальных классах, во многом зависят их дальнейшие успехи при обучении в основной школе. Поэтому уже к концу 2 класса каждый ученик должен знать наизусть результаты табличного умножения и деления. Чтобы этого добиться, учителю нужно приложить немалые усилия.
В ходе изучения каждой части таблицы умножения (умножение на 2, на 3 и т.д.) учащимся предлагают арифметические задачи.
Методика изучения этого вопроса строится следующим образом. Сначала на конкретных примерах учащимся разъясняется, что значит одних предметов в несколько раз больше или меньше, чем других (например, в 2, в 3, в 4 и т.д. раз). Это значит, что одно число содержится в другом 2, 3, 4 ит.д. раз.
Актуально о образовании:
Роль педагога - дефектолога
Работа педагога – дефектолога и логопеда занимает исключительно важное место в лечебно - коррекционной работе по реабилитации и реабилитации детей с поражениями нервной системы. Тот и другой специалисты развивают интеллект, речь и другие психические процессы ребенка. Эта работа сочетается с другими...
Понятие, этапы и критерии исправления
В теории отмечается, что в сфере исправительного воздействия осужденных существуют различные проблемы, в частности криминологические, социально-экономические, психологические, педагогические, нравственные и т.д. Их первопричина усматривается в отсутствии целостного подхода к разрешению проблем и об...
Суть и цели Болонского процесса
Суть Болонского процесса заключается в формировании единого европейского образовательного пространства и общеевропейской системы образования, которая будет достигнута за счет использования основных положений этой системы. Принципы Болонской декларации: Введение общепонятных, сравнимых квалификаций...
Конкурс методических разработок
Проект урока математики по УМК «Перспективная начальная школа»
«Умножение и деление». 3 класс
Учитель: Киселёва Ольга Владимировна
БОУ «Вохтожская средняя
Грязовецкого муниципального района
Вологда 2014
Проект урока математики
Предмет: математика, 3 класс, УМК «Перспективная начальная школа».
Тема урока: «Умножение и деление».
Место урока в теме: 1.
Тип урока: открытие новых знаний.
Цель и ожидаемый результат урока: выявить взаимосвязь между арифметическими действиями: умножением и делением, научить выполнять действие деления.
Задачи урока (деятельность учителя):
1. Актуализировать знания обучающихся о терминах, связанных с действиями умножения и деления (произведение, множители, значение произведения, частное, делимое, делитель, значение частного).
2. Создать условия для выявления взаимосвязей между арифметическими действиями: умножением и делением.
3. Обеспечить выявление взаимосвязей между арифметическими действиями: умножением и делением, используя моделирование (составление по рисунку математических записей).
4. Помочь доказать правило, которое связывает умножение с делением и обосновать правило, которое связывает деление с умножением.
5. Научить по данным случаям умножения составлять и записывать соответствующие случаи деления; вычислять значение частного, опираясь на соответствующий случай умножения.
6. Организовать самоконтроль обучающимися работы на уроке.
Оборудование к уроку: учебник «Математика» 3 класс (А.Л.Чекин), рабочая тетрадь «Математика в вопросах и заданиях» 3 класс №1 (О.А.Захарова, Е.П. Юдина)
задачи деятельности обучающихся
Деятельность учителя
Деятельность обучающихся
1.Актуализация знаний обучающихся
Вспомнить термины связанные с действиями умножения и деления.
2. Целеполагание
Определить тему урока, поставить цель, учебные задачи
3. Открытие новых знаний
Выявить взаимосвязь между арифметическими действиями: умножением и делением.
4. Практикум по самостоятельному применению и использованию полученных знаний
Формировать первичные умения
по данным случаям умножения составлять и записывать соответствующие случаи деления; вычислять значение частного, опираясь на соответствующий случай умножения
на основе взаимоконтроля и самоконтроля.
5. Рефлексия
Формировать умения оценивать себя
6. Выбор домашнего задания
Начинаем урок математики.
Прочитайте на слайде
равенства, используя названия компонентов и результатов действия умножения (деления).
Что общего вы заметили, читая эти равенства?
Чем отличаются записи?
Как связаны действия в этих равенствах?
Определите тему сегодняшнего урока.
Что бы вы хотели узнать по теме урока?
Какую цель обозначим на сегодняшнем уроке?
Зачем нужно выявлять взаимосвязь между умножением и делением? Где нам это знание может пригодиться?
Какую последовательность действий определим для достижения данной цели?
На слайде план действий, по которому будем работать.
Какую первую учебную задачу надо решить?
Прочитайте задание
№ 22 стр. 12.
Что изображено на рисунке?
По сколько роз в каждом букете?
Сколько таких букетов составили?
Работа в парах.
Обсудите в парах, какие записи можно составить по рисунку.
Какие записи у вас получились?
Вместе с нами записи составляли Миша и Маша. Давайте выясним и проверим, что получилось у ребят.
Какую запись составил Миша?
Как он рассуждал?
Какие записи составила Маша?
Как рассуждала Маша?
Чем является число 20 для произведения чисел 5 и 4?
Что получится, если значение произведения разделить на первый множитель?
А если значение произведения разделить на второй множитель?
Мы установили правило, которое связывает умножение с делением.
Кто может сформулировать это правило?
Прочитайте и запомните правило в синей рамке на стр. 12.
Мы решили первую учебную задачу?
Какую учебную задачу будем решать сейчас?
Прочитайте задание
Рассмотрите запись, составленную Машей.
Назовите делимое.
Назовите делитель.
Чему равно значение частного?
Сделайте вывод: что получится, если значение частного умножить на делитель.
Мы вывели правило, которое связывает деление с умножением.
Прочитайте и запомните правило в синей рамке на стр. 13.
Какую учебную задачу мы решили?
Какую учебную задачу будем выполнять?
Прочитайте в учебнике задание № 24.
Задание будем выполнять в парах.
Распределите задание в паре по вариантам.
Третий столбик можно решить тем, кто быстрее справиться с заданием. Также можно составить свой пример на умножение и записать соответствующие случаи деления (повышенный уровень).
После выполнения задания, расскажите друг другу, какие записи у вас получились.
Я хорошо могу …..
Я умею ….
Я знаю …..………….
Мне еще надо поработать над умением ………
Мне еще надо поучиться ……..
Мне трудно …..
Поработаем в тетради
для самостоятельной работы №1. Откройте стр. 5 задание № 9.
Прочитайте задание.
Каким правилом мы будем пользоваться при выполнении этого задания?
Выполните это задание самостоятельно.
Проверьте себя по записям на доске.
Сделайте вывод о выполненной работе:
каким правилом пользовались?
Сейчас мы упражнялись в использовании правил, связывающих умножение и деление при решении примеров.
Где ещё нам могут пригодиться правила, связывающее умножение и деление?
Прочитайте задание в учебнике № 26.
Что нужно сделать в этом задании?
Выберем, что будет обозначать число 5 и число 6.
Сформулируем условие задачи и требование.
Рассмотрите значок слева от задания.
Что он обозначает?
Прочитайте задание.
Что нужно выполнить в этом задании?
Как вы понимаете термин «обратная задача»?
Сколько обратных задач можно составить
к записи 5 ∙ 6? Почему?
Сформулируйте обратную задачу.
Какое правило нужно вспомнить, чтобы решить обратную задачу?
Запишите решение задачи и проверьте работу в парах.
Обратимся к поставленным задачам в начале урока.
Все ли учебные задачи решены?
Решения каких задач у вас вызвали затруднения?
Над чем предстоит работать на уроках?
Умею хорошо, (не очень хорошо) устанавливать связь между арифметическими действиями: умножением и делением.
Знаю правила, связывающие умножение и деление мне (не) требуется помощь учебника.
У меня (не) получается, применять правило, связывающее
умножение и деление и могу научить друга, одноклассника.
Ребята, сейчас вы себя оценили: выяснили, в чём испытываете затруднения, объяснили над какими умениями надо поработать.
Дома я предлагаю вам задания на выбор:
1. Тетрадь для самостоятельной работы № 1 стр.5 № 8, стр.6 №11.
2. Тетрадь для самостоятельной работы № 1 стр.5 № 10, стр.6 №12.
4 · 2 = 8; 8: 4 =2; 8: 2 = 4
4- это первый множитель, 2- второй множитель, 8- значение произведения.
8 – это делимое, 4 – делитель,
2- значение частного.
8 – это делимое, 2- делитель,
4- значение частного.
Во всех равенствах используются одинаковые числа.
Записи отличаются знаками и значениями.
Предположения учеников.
Тема урока «Умножение и деление».
Ответы детей.
Выяснить взаимосвязь между умножением и делением.
При решении примеров, составлении задач.
1. Установить связь умножения с делением, сформулировать правило.
2. Установить связь деления с умножением, обосновать правило.
3. Упражняться в использовании правил, связывающих умножение и деление.
4. Оценить свою работу на уроке.
Установить связь умножения с делением, сформулировать правило.
Ученики работают с учебником, читают задание.
По 5 роз.
Составили 4 букета.
Дети обсуждают и составляют записи в тетради.
Ученики читают записи.
Дети находят задание
«Выскажи предположение».
Миша составил запись:
5 ∙ 4 = 20
Ответы детей.
- 20: 4 = 5 и 20: 5 = 4
Ответы детей.
Значением произведения.
Получится второй множитель.
Получится первый множитель.
Ответы детей.
Дети читают правило самостоятельно, рассказывают правило.
Да. Мы установили связь умножения с делением и сформулировали правило.
Установить связь деления с умножением, обосновать правило.
Дети читают задание.
Если значение частного
умножить на делитель, то получится делимое
Дети читают правило самостоятельно, рассказывают правило.
Установили связь деления с умножением, обосновали правило.
Упражняться в использовании правил, связывающих умножение и деление.
Ученики самостоятельно читают задание.
Ответы детей.
Обучающиеся распределяют задание:
первый столбик решает первый вариант, второй столбик – второй вариант.
Ученики работают в рабочей тетради, затем рассказывают в паре, какие записи у них получились.
Высказывания детей.
Открывают тетрадь, читают задание
Ответы детей.
Записывают решение в тетрадь.
Дети сличают результат с заданным эталоном и оценивают свою работу.
Высказывания детей.
При решении и составлении обратных задач.
Дети читают задание.
Составить задачу по произведению 5 ∙ 6 .
Предложения детей.
Пусть 5 обозначает количество карандашей в 1 коробке, а 6 – это число коробок.
Формулируют условие и требование задачи.
- «Не торопись с ответом, подумай».
Составить обратную задачу, записать решение и вычислить ответ.
Ответы детей.
Ответы детей.
Дети составляют обратную задачу.
Повторяют правило.
Работают в тетради.
Ответы детей
Ответы детей.
Ответы детей.
Ответы детей.
Высказывания детей.
Дети выбирают и записывают домашнее задание.
Познавательные
(общеучебные)
Коммуникативные (высказывания обучающихся)
Познавательные
(информационные:
поиск и извлечение информации)
Регулятивные
(принятие цели и постановка задач урока)
Личностные
(мотивация)
Регулятивные (планирование действий)
Регулятивные
(удержание цели урока)
Познавательные
(знаково-символические:
моделирование)
Коммуникативные
(сотрудничество)
Познавательные
(общеучебные)
Регулятивные
(контроль)
Коммуникативные
(монологические высказывания)
Познавательные
Регулятивные (удержание цели)
Познавательные
(общеучебные)
Коммуникативные
(монологические высказывания)
Познавательные
(логические: построение рассуждений, вывод)
Регулятивные (удержание цели)
Регулятивные (удержание цели)
Познавательные
(общеучебные)
Регулятивные
(прогнозирование:
выбор способа и результата действий)
Коммуникативные
(сотрудничество)
Познавательные
(общеучебные)
Регулятивные
(контроль, оценка)
Коммуникативные
(монологические высказывания)
Познавательные
(общеучебные)
Регулятивные
(прогнозирование:
выбор способа и результата действий, саморегуляция)
Регулятивные (самоконтроль: сличение способа действия и его результата с заданным эталоном).
Коммуникативные
(монологические высказывания)
Познавательные
(постановка и решение проблемы)
Познавательные
(моделирование)
Познавательные
(общеучебные)
Познавательные (логические)
Регулятивные
(осуществление учебных действий)
Регулятивные
(контроль)
Регулятивные (удержание цели)
Регулятивные (внесение коррективов)
Личностные (способность к самооценке на основе критерия успешности учебной деятельности)
Регулятивные
(саморегуляция)
ПРИЛОЖЕНИЕ
Для получения результата ребенок может воспользоваться любой из упомянутых выше моделей.
При больших значениях делимого и делителя этот прием неудобен. Например: 72 горшка с цветами расставили на 8 окон. Сколько горшков на каждом окне?
Находить результат, используя предметную модель в этом случае неудобно.
2. Прием, связанный с правилом взаимосвязи компонентов умножения и деления
В этом случае ребенок ориентируется на запоминание взаимосвязанной тройки случаев, например:
7-9 = 63 63:7 = 9 63:9 = 7
Если ребенку удается хорошо запомнить один из этих случаев (обычно опорный - это случай умножения) или он может получить его с помощью любого из приемов запоминания таблицы умножения, то используя правило «если произведение разделить на один из множителей, то получится второй множитель», легко получить второй и третий табличные случаи.
Особые случаи умножения и деления
1. Умножение и деление с 0 и 1.
2. Внетабличное умножение и деление в пределах 100.
3. Деление с остатком.
4. Приемы устных вычислений умножения и деления трехзначных и многозначных чисел.
1. Умножение и деление с О и 1
Случаи умножения и деления с 0 и 1 считаются особыми и рассматриваются отдельно от табличных случаев умножения и деления, поскольку они не могут быть объяснены с общих позиций смысла действий умножения и деления. Для обоснования математического смысла этих случаев в определении действия умножения оговорены два дополнения, определяющие способ получения результата в этих случаях.
По определению умножение целых неотрицательных (натуральных) чисел - это действие, выполняющееся по следующим правилам:
а 1 = а, при Ь = 1 а-0 = 0,приЪ = 0
Поскольку фраза: «повторяем слагаемые 1 раз» или «повторяем слагаемые 0 раз» не имеет смысла, на общее определение в этом случае не ссылаются, а просто вводят эти случаи по соглашению т. е. сообщают детям, что умножая любое число на 1 получаем в произведении это же число; а умножая любое число на 0, получаем в произведении 0.
В общем виде эти правила оформляются в буквенном выражении:
| ах1 = а | | ах0 = 0 |
Соответствующие правила предлагаются детям для запоминания:
При умножении любого числа на 1 получается то число, которое умножали.
При умножении любого числа на нуль получается нуль.
Аналогичным образом вводится правило: На нуль делить нельзя!
В отличие от этих правил, способы деления числа на само себя с получением числа 1 в результате, а также способы умножения числа 1 на любое число и способы умножения числа 0 на любое число возможно объяснить ученику начальной школы, используя имеющиеся у него знания.
Например, для объяснения случая 1 7 обратимся к смыслу действия умножения как суммирования одинаковых слагаемых. В данной записи первый множитель показывает, какое число суммируем, а второй множитель сколько раз, таким образом:
1-7 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 7
Для объяснения случая 0 5 воспользуемся тем же приемом:
Для объяснения случаев вида а: а = 1 (если а Ф 0), а: 1 = а, О: а = 0 следует обратиться к правилу взаимосвязи компонентов умножения и деления.
Например, рассмотрим случай 13: 13 = ...
Для получения значения частного воспользуемся правилом: «если значение частного умножить на делитель, то получим делимое». Делитель - число 13, найдем частное методом подбора с последующей проверкой по обозначенному правилу.
Единственное число, подбираемое к данному значению частного - это 1, поскольку 1 13 = 13. Значит, 13: 13 = 1.
Рассмотрим случай 27: 1 =*...
Для получения значения частного воспользуемся правилом: «если значение частного умножить на делитель, то получим делимое». Делитель - число 1, найдем частное методом подбора с последующей проверкой по обозначенному правилу.
Единственное число, подбираемое к данному значению частного - это 27, поскольку 27 1 = 27. Значит, 27: 1 = 27.
Рассмотрим случай 0:8 = ...
Для получения значения частного воспользуемся правилом: «если значение частного умножить на делитель, то получим делимое». Делитель - число 8, найдем частное методом подбора с последующей проверкой по обозначенному правилу.
Единственное число, подбираемое к данному значению частного - это 0, поскольку 0-8 = 0. Значит, 0:8 = 0.
В общем виде эти закономерности оформляются в буквенном виде:
а:а = 1 а:1=а 0:а = 0
и в виде словесного правила:
При делении числа на то же самое число получается 1.
При делении числа на 1 получается то же самое число.
При делении нуля на любое другое число получается 0.
2. Внетабличное умножение и деление в пределах 100
К внетабличным случаям умножения и деления в пределах 100 относят случаи умножения двузначного числа на однозначное (20 3, 18 3), а также случаи деления двузначного числа на однозначное, не входящие в число табличных (80: 4, 96: 6) и случаи деления двузначного числа на двузначное в пределах 100 (80: 40, 96: 16). Эти случаи рассматриваются как случаи устных вычислений, и предполагается, что ребенок выполняет их без обращения к письменным алгоритмам вычислений, а лишь используя известные ему правила и законы арифметических действий и знание табличного умножения и деления.
Используемые математические законы и правила
Для подготовки к изучению внетабличного умножения и деления необходимо рассмотреть следующие правила арифметических действий:
1) правило умножения суммы на число и правило умножения числа на сумму;
2) правило деления суммы на число;
3) правило группировки множителей (сочетательное свойство умножения).
Рассмотрим каждое из этих правил и обоснуем их использование при устных внетабличных вычислениях.
Правило умножения суммы на число и правило умножения числа на сумму
Эти два правила являются двумя вариантами раскрытия смысла распределительного свойства умножения относительно сложения. В буквенном виде эти варианты могут быть записаны следующим образом:
Реально знакомство детей с этими двумя вариантами одного и того же правила разведено во времени почти на целый год: первое правило лежит в основе обучения детей умножению двузначных чисел на однозначные в теме «Внетабличное умножение и деление» в 3 классе, а второе правило лежит в основе способа действия при умножении двузначного числа на двузначное при умножении в столбик в 4 классе.
В основе разъяснения правила умножения суммы на число лежит опора на знание конкретного смысла действия умножения.
Рассматривая два способа вычисления результатов с опорой на анализ рисунка, дети убеждаются в том, что результат при обоих способах вычислений одинаков.
Следует отметить, что первый способ вычислений не требует специальных объяснений и введения нового правила, поскольку он подчиняется общим требованиям к порядку выполнения действий в выражениях со скобками: действия в скобках выполняются первыми.
Особо следует оговорить второй способ, поскольку при таких вычислениях фактически нарушается установка на выполнение действия в скобках первым. Именно поэтому при знакомстве детей с этим правилом в 3 классе снова возвращаются к предметным картинкам, позволяющим получить результаты действий пересчетом. В данном случае пересчет фигурок является тем единственным аргументом, который учитель может привести в подкрепление правомочности такого нарушения устоявшегося правила (действие в скобках выполняется первым).
Введение правила таким образом является нестрогим, эмпирическим (т. е. опирающимся на непосредственный практический опыт). Более общие способы доказательства этого закона требуют привлечения сложного математического аппарата и нецелесообразны в начальной школе.
При умножении и делении целых чисел применяется несколько правил. В данном уроке мы рассмотрим каждое из них.
При умножении и делении целых чисел следует обращать внимание на знаки чисел. От них будет зависеть какое правило применять. Также, необходимо изучить несколько законов умножения и деления. Изучение этих правил позволяет избежать некоторые досадные ошибки в будущем.
Содержание урокаЗаконы умножения
Некоторые из законов математики мы рассматривали в уроке . Но мы рассмотрели не все законы. В математике немало законов, и разумнее будет изучать их последовательно по мере необходимости.
Для начала вспомним из чего состоит умножение. Умножение состоит из трёх параметров: множимого , множителя и произведения . Например, в выражении 3 × 2 = 6 , число 3 — это множимое, число 2 — множитель, число 6 — произведение.
Множимое показывает, что именно мы увеличиваем. В нашем примере мы увеличиваем число 3.
Множитель показывает во сколько раз нужно увеличить множимое. В нашем примере множитель это число 2. Этот множитель показывает во сколько раз нужно увеличить множимое 3. То есть, в ходе операции умножения число 3 будет увеличено в два раза.
Произведение это собственно результат операции умножения. В нашем примере произведение это число 6. Это произведение является результатом умножения 3 на 2.
Выражение 3 × 2 также можно понимать, как сумму двух троек. Множитель 2 в таком случае будет показывать сколько раз нужно повторить число 3:
Таким образом, если число 3 повторить два раза подряд, получится число 6.
Переместительный закон умножения
Множимое и множитель называют одним общим словом – сомножители . Переместительный закон умножения выглядит следующим образом:
От перестановки мест сомножителей произведение не меняется.
Проверим так ли это. Умножим к примеру 3 на 5. Здесь 3 и 5 это сомножители.
3 × 5 = 15
Теперь поменяем местами сомножители:
5 × 3 = 15
В обоих случаях, мы получаем ответ 15, значит между выражениями 3 × 5 и 5 × 3 можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному тому же значению:
3 × 5 = 5 × 3
15 = 15
А с помощью переменных переместительный закон умножения можно записать так:
a × b = b × a
где a и b — сомножители
Сочетательный закон умножения
Этот закон говорит о том, что если выражение состоит из нескольких сомножителей, то произведение не будет зависеть от порядка действий.
К примеру выражение 3 × 2 × 4 состоит из нескольких сомножителей. Чтобы его вычислить, можно перемножить 3 и 2, затем полученное произведение умножить на оставшееся число 4. Выглядеть это будет так:
3 × 2 × 4 = (3 × 2) × 4 = 6 × 4 = 24
Это был первый вариант решения. Второй вариант состоит в том, чтобы перемножить 2 и 4, затем полученное произведение умножить на оставшееся число 3. Выглядеть это будет так:
3 × 2 × 4 = 3 × (2 × 4) = 3 × 8 = 24
В обоих случаях мы получаем ответ 24. Поэтому между выражениями (3 × 2) × 4 и 3 × (2 × 4) можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:
(3 × 2) × 4 = 3 × (2 × 4)
а с помощью переменных сочетательный закон умножения можно записать так:
a × b × c = (a × b) × c = a × (b × c)
где вместо a, b, c могут стоять любые числа.
Распределительный закон умножения
Распределительный закон умножения позволяет умножить сумму на число. Для этого каждое слагаемое этой суммы умножается на это число, затем полученные результаты складывают.
Например, найдём значение выражения (2 + 3) × 5
Выражение находящееся в скобках является суммой. Эту сумму нужно умножить на число 5. Для этого каждое слагаемое этой суммы, то есть числа 2 и 3 нужно умножить на число 5, затем полученные результаты сложить:
(2 + 3) × 5 = 2 × 5 + 3 × 5 = 10 + 15 = 25
Значит значение выражения (2 + 3) × 5 равно 25 .
С помощью переменных распределительный закон умножения записывается так:
(a + b) × c = a × c + b × c
где вместо a, b, c могут стоять любые числа.
Закон умножения на ноль
Этот закон говорит о том, что если в любом умножении имеется хотя бы один ноль, то в ответе получится ноль.
Произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю.
Например, выражение 0 × 2 равно нулю
В данном случае число 2 является множителем и показывает во сколько раз нужно увеличить множимое. То есть, во сколько раз увеличить ноль. Буквально это выражение читается так: «увеличить ноль в два раза» . Но как можно увеличить ноль в два раза, если это ноль? Ответ — никак.
Иными словами, если «ничего» увеличить в два раза или даже в миллион раз, всё равно получится «ничего».
И если в выражении 0 × 2 поменять местами сомножители, опять же получится ноль. Это мы знаем из предыдущего переместительного закона:
Примеры применения закона умножения на ноль:
5 × 5 × 5 × 0 = 0
2 × 5 × 0 × 9 × 1 = 0
В последних двух примерах имеется несколько сомножителей. Увидев в них ноль, мы сразу в ответе поставили ноль, применив закон умножения на ноль.
Мы рассмотрели основные законы умножения. Далее рассмотрим умножение целых чисел.
Умножение целых чисел
Пример 1. Найти значение выражения −5 × 2
Это умножение чисел с разными знаками. −5 является отрицательным числом, а 2 – положительным. Для таких случаев нужно применять следующее правило:
Чтобы перемножить числа с разными знаками, нужно перемножить их модули, и перед полученным ответом поставить минус.
−5 × 2 = − (|−5| × |2|) = − (5 × 2) = − (10) = −10
Обычно записывают короче: −5 × 2 = −10
Любое умножение может быть представлено в виде суммы чисел. Например, рассмотрим выражение 2 × 3. Оно равно 6.
Множителем в данном выражение является число 3. Этот множитель показывает во сколько раз нужно увеличить двойку. Но выражение 2 × 3 также можно понимать как сумму трёх двоек:
То же самое происходит и с выражением −5 × 2. Это выражение может быть представлено в виде суммы
А выражение (−5) + (−5) равно −10. Мы это знаем из . Это сложение отрицательных чисел. Напомним, что результат сложения отрицательных чисел есть отрицательное число.
Пример 2. Найти значение выражения 12 × (−5)
Это умножение чисел с разными знаками. 12 – положительное число, (−5) – отрицательное. Опять же применяем предыдущее правило. Перемножаем модули чисел и перед полученным ответом ставим минус:
12 × (−5) = − (|12| × |−5|) = − (12 × 5) = − (60) = −60
Обычно решение записывают покороче:
12 × (−5) = −60
Пример 3. Найти значение выражения 10 × (−4) × 2
Это выражение состоит из нескольких сомножителей. Сначала перемножим 10 и (−4), затем полученное число умножим на 2. Попутно применим ранее изученные правила:
Первое действие:
10 × (−4) = −(|10| × |−4|) = −(10 × 4) = (−40) = −40
Второе действие:
−40 × 2 = −(|−40 | × | 2|) = −(40 × 2) = −(80) = −80
Значит значение выражения 10 × (−4) × 2 равно −80
Запишем решение покороче:
10 × (−4) × 2 = −40 × 2 = −80
Пример 4. Найти значение выражения (−4) × (−2)
Это умножение отрицательных чисел. В таких случаях нужно применять следующее правило:
Чтобы перемножить отрицательные числа, нужно перемножить их модули и перед полученным ответом поставить плюс
(−4) × (−2) = |−4| × |−2| = 4 × 2 = 8
Плюс по традиции не записываем, поэтому просто записываем ответ 8.
Запишем решение покороче (−4) × (−2) = 8
Возникает вопрос почему при умножении отрицательных чисел вдруг получается положительное число. Давайте попробуем доказать, что (−4) × (−2) равно 8 и ни чему другому.
Сначала запишем следующее выражение:
Заключим его в скобки:
(4 × (−2) )
Прибавим к этому выражению наше выражение (−4) × (−2). Его тоже заключим в скобки:
(4 × (−2) ) + ((−4) × (−2) )
Всё это приравняем к нулю:
(4 × (−2)) + ((−4) × (−2)) = 0
Теперь начинается самое интересное. Суть в том, что мы должны вычислить левую часть этого выражения, и в результате получить 0.
Итак, первое произведение (4 × (−2)) равно −8. Запишем в нашем выражении число −8 вместо произведения (4 × (−2))
−8 + ((−4) × (−2)) = 0
Теперь вместо второго произведения временно поставим многоточие
Теперь внимательно посмотрим на выражение −8 + … = 0. Какое число должно стоять вместо многоточия, чтобы соблюдалось равенство? Ответ напрашивается сам. Вместо многоточия должно стоять положительное число 8 и никакое другое. Только так будет соблюдаться равенство. Ведь −8 + 8 равно 0.
Возвращаемся к выражению −8 + ((−4) × (−2)) = 0 и вместо произведения ((−4) × (−2)) записываем число 8
Пример 5. Найти значение выражения −2 × (6 + 4)
Применим распределительный закон умножения, то есть умножим число −2 на каждое слагаемое суммы (6 + 4)
−2 × (6 + 4) = −2 × 6 + (−2) × 4
Теперь выполним умножение, и сложим полученные результаты. Попутно применим ранее изученные правила. Запись с модулями можно пропустить, чтобы не загромождать выражение
Первое действие:
−2 × 6 = −12
Второе действие:
−2 × 4 = −8
Третье действие:
−12 + (−8) = −20
Значит значение выражения −2 × (6 + 4) равно −20
Запишем решение покороче:
−2 × (6 + 4) = (−12) + (−8) = −20
Пример 6. Найти значение выражения (−2) × (−3) × (−4)
Выражение состоит из нескольких сомножителей. Сначала перемножим числа −2 и −3, и полученное произведение умножим на оставшееся число −4. Запись с модулями пропустим, чтобы не загромождать выражение
Первое действие:
(−2) × (−3) = 6
Второе действие:
6 × (−4) = −(6 × 4) = −24
Значит значение выражения (−2) × (−3) × (−4) равно −24
Запишем решение покороче:
(−2) × (−3) × (−4) = 6 × (−4) = −24
Законы деления
Прежде чем делить целые числа, необходимо изучить два закона деления.
В первую очередь, вспомним из чего состоит деление. Деление состоит из трёх параметров: делимого , делителя и частного . Например, в выражении 8: 2 = 4, 8 – это делимое, 2 – делитель, 4 – частное.
Делимое показывает, что именно мы делим. В нашем примере мы делим число 8.
Делитель показывает на сколько частей нужно разделить делимое. В нашем примере делитель это число 2. Этот делитель показывает на сколько частей нужно разделить делимое 8. То есть, в ходе операции деления, число 8 будет разделено на две части.
Частное – это собственно результат операции деления. В нашем примере частное это число 4. Это частное является результатом деления 8 на 2.
На ноль делить нельзя
Любое число запрещено делить на ноль.
Дело в том, что деление это действие, обратное умножению. Данную фразу можно понимать в прямом смысле. Например, если 2 × 5 = 10, то 10: 5 = 2.
Видно, что второе выражение записано в обратном порядке. Если к примеру, у нас имеется два яблока и мы захотим увеличить их в пять раз, то мы запишем 2 × 5 = 10. Получится десять яблок. Затем, если мы захотим обратно уменьшить эти десять яблок до двух, то мы запишем 10: 5 = 2
Точно так же можно поступать и с другими выражениями. Если к примеру, 2 × 6 = 12, то мы можем обратно вернуться к изначальному числу 2. Для этого достаточно записать выражение 2 × 6 = 12 в обратном порядке, разделяя 12 на 6
Теперь рассмотрим выражение 5 × 0. Мы знаем из законов умножения, что произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю. Значит и выражение 5 × 0 равно нулю
Если записать это выражение в обратном порядке, то получим:
Сразу в глаза бросается ответ 5, который получается в результате деления ноль на ноль. Это невозможно.
В обратном порядке можно записать и другое похожее выражение, например 2 × 0 = 0
В первом случае, разделив ноль на ноль мы получили 5, а во втором случае 2. То есть, каждый раз деля ноль на ноль, мы можем получить разные значения, а это недопустимо.
Второе объяснение заключается в том, что разделить делимое на делитель означает найти такое число, которое при умножении на делитель даст делимое.
Например выражение 8: 2 означает найти такое число, которое при умножении на 2 даст 8
Здесь вместо многоточия должно стоять число, которое при умножении на 2 даст ответ 8. Чтобы найти это число, достаточно записать это выражение в обратном порядке:
Получили число 4. Запишем его вместо многоточия:
Теперь представим, что нужно найти значение выражения 5: 0. В данном случае 5 – это делимое, 0 – делитель. Разделить 5 на 0 означает найти такое число, которое при умножении на 0 даст 5
Здесь вместо многоточия должно стоять число, которое при умножении на 0 даст ответ 5. Но не существует числа, которое при умножении на ноль даёт 5.
Выражение … × 0 = 5 противоречит закону умножения на ноль, который утверждает, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю.
А значит записывать выражение … × 0 = 5 в обратном порядке, деля 5 на 0 нет никакого смысла. Поэтому и говорят, что на ноль делить нельзя.
С помощью переменных данный закон записывается следующим образом:
При b ≠ 0
Число a можно разделить на число b , при условии, что b не равно нулю.
Свойство частного
Этот закон говорит о том, что если делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же число, то частное не изменится.
Например, рассмотрим выражение 12: 4. Значение этого выражения равно 3
Попробуем умножить делимое и делитель на одно и то же число, например на число 4. Если верить свойству частного, мы опять должны получить в ответе число 3
(12 × 4 ) : (4 × 4 )
(12 × 4 ) : (4 × 4 ) = 48: 16 = 3
Получили ответ 3.
Теперь попробуем не умножить, а разделить делимое и делитель на число 4
(12: 4 ) : (4: 4 )
(12: 4 ) : (4: 4 ) = 3: 1 = 3
Получили ответ 3.
Видим, что если делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же число, то частное не меняется.
Деление целых чисел
Пример 1. Найти значение выражения 12: (−2)
Это деление чисел с разными знаками. 12 — положительное число, (−2) – отрицательное. Чтобы решить этот пример, нужно модуль делимого разделить на модуль делителя, и перед полученным ответом поставить минус.
12: (−2) = −(|12| : |−2|) = −(12: 2) = −(6) = −6
Обычно записывают покороче:
12: (−2) = −6
Пример 2. Найти значение выражения −24: 6
Это деление чисел с разными знаками. −24 – это отрицательное число, 6 – положительное. Опять же модуль делимого делим на модуль делителя, и перед полученным ответом ставим минус.
−24: 6 = −(|−24| : |6|) = −(24: 6) = −(4) = −4
Запишем решение покороче:
Пример 3. Найти значение выражения −45: (−5)
Это деление отрицательных чисел. Чтобы решить этот пример, нужно модуль делимого разделить на модуль делителя, и перед полученным ответом поставить знак плюс.
−45: (−5) = |−45| : |−5| = 45: 5 = 9
Запишем решение покороче:
−45: (−5) = 9
Пример 4. Найти значение выражения −36: (−4) : (−3)
Согласно , если в выражении присутствует только умножение или деление, то все действия нужно выполнять слева направо в порядке их следования.
Разделим −36 на (−4), и полученное число разделим на −3
Первое действие:
−36: (−4) = |−36| : |−4| = 36: 4 = 9
Второе действие:
9: (−3) = −(|9| : |−3|) = −(9: 3) = −(3) = −3
Запишем решение покороче:
−36: (−4) : (−3) = 9: (−3) = −3
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках