Понятие о прямой пропорциональности

Представьте, что вы задумали купить своих любимых конфет (или чего угодно, что вам очень нравится). У конфет в магазине своя цена. Предположим, 300 рублей за килограмм. Чем больше конфет вы купите, тем больше денег заплатите. То есть если захотите 2 килограмма – заплатите 600 р., а захотите 3 кило – отдадите 900 рублей. С этим вроде бы все ясно, верно?

Если да, то тогда вам сейчас ясно и что такоепрямая пропорциональность– это понятие, которое описывает отношение двух зависящих друг от друга величин. И отношение этих величин остается неизменным и постоянным: на сколько частей увеличивается или уменьшается одна из них, на столько же частей пропорционально увеличивается или уменьшается вторая.

Описать прямую пропорциональность можно такой вот формулой:f(x) = a*x, и a в этой формуле – постоянная величина (a = const). В нашем примере про конфеты цена – это постоянная величина, константа. Она не возрастает и не уменьшается, сколько бы конфет вы не задумали купить. Независимая переменная (аргумент)x– это то, сколько килограммов конфет купить вы собираетесь. А зависимая переменнаяf(x) (функция) – то, сколько денег вы в итоге заплатите за свою покупку. Так что можем подставить в формулу цифры и получить: 600 р. = 300 р. * 2 кг.

Промежуточный вывод такой: если возрастает аргумент, возрастает и функция, если аргумент убывает, функция тоже убывает

Функция и ее свойства

Функцией прямой пропорциональности является частный случай линейной функции. Если линейная функция это y = k*x + b, то для прямой пропорциональности это выглядит так: y = k*x, гдеk называется коэффициентом пропорциональности, и это всегда не равно нулю число. Вычислитьk легко – он находится как частное функции и аргумента: k = у/х.

Чтобы было нагляднее, возьмем еще один пример. Представьте, что из пункта А в пункт Б движется автомобиль. Его скорость – 60 км/ч. Если предположить, что скорость движения остается постоянной, то ее можно принять за константу. И тогда запишем условия в виде: S = 60*t , и эта формула аналогична функции прямой пропорциональности y = k *x . Проведем параллель дальше: если k = у/х, то и скорость автомобиля можно вычислить, зная расстояние между А и Б и затраченное на дорогу время: V = S /t .

А теперь от прикладного применения знаний о прямой пропорциональности вернемся обратно к ее функции. К свойствам которой относится:

областью ее определения является множество всех действительных чисел (а также его подмножества);

функция нечетная;

изменение переменных прямо пропорционально осуществляется по всей длине числовой прямой.

Прямая пропорциональность и ее график

График функции прямой пропорциональности – это прямая, которая пересекает точку начала координат. Чтобы его построить, достаточно отметить только еще одну точку. И соединить ее и начало координат прямой.

В случае с графикомk– это угловой коэффициент. Если угловой коэффициент меньше нуля (k < 0), то угол между графиком функции прямой пропорциональности и осью абсцисс тупой, а функция убывающая. Если угловой коэффициент больше нуля (k > 0), график и ось абсцисс образуют острый угол, а функция – возрастающая.

И еще одно свойство графика функции прямой пропорциональности напрямую связано с угловым коэффициентомk. Предположим, у нас две не идентичных функции и, соответственно, два графика. Так вот, если коэффициентыkэтих функций равны, их графики расположены на оси координат параллельно. А если коэффициентыkне равны друг другу, графики пересекаются.

Примеры задач

А теперь решим пару задач на прямую пропорциональность

Начнем с простого.

Задача 1: Представьте, что 5 куриц за 5 дней снесли 5 яиц. А если будет 20 куриц, сколько яиц они снесут за 20 дней?

Решение: Обозначим неизвестное какх. И рассуждать будем следующим образом: во сколько раз больше куриц стало? Разделим 20 на 5 и узнаем, что в 4 раза. А во сколько раз больше яиц снесут 20 куриц за те же 5 дней? Тоже в 4 раза больше. Значит, находим нашх так: 5*4*4 = 80 яиц снесут 20 куриц за 20 дней.

Теперь пример чуть сложнее, перефразируем задачу из «Всеобщей арифметики» Ньютона. Задача 2: Писатель за 8 дней может сочинить 14 страниц новой книги. Если бы у него были помощники, сколько бы человек понадобилось, чтобы написать 420 страниц за 12 дней?

Решение: Рассуждаем, что количество человек (писатель + помощники) увеличивается с увеличением объема работы, если бы ее пришлось сделать за то же количество времени. Но во сколько раз? Разделив 420 на 14, узнаем, что увеличивается в 30 раз. Но так как по условию задачи на работу дается больше времени, то количество помощников увеличивается не в 30 раз, а таким образом: х = 1 (писатель) * 30 (раз) : 12/8 (дней). Преобразуем и выясним, что х = 20 человек напишут 420 страниц за 12 дней.

Решим еще задачу, похожую на те, что были у нас в примерах.

Задача 3: В одно и то же путешествие отправилось два автомобиля. Один двигался со скоростью 70 км/ч и за 2 часа проделал тот же путь, что другой за 7 часов. Найдите скорость второго автомобиля.

Решение: Как вы помните, путь определяется через скорость и время – S = V *t . Поскольку путь оба автомобиля проделали одинаковый, мы можем приравнять два выражения: 70*2 = V*7. Откуда найдем, что скорость второго автомобиля, это V = 70*2/7 = 20 км/ч.

И еще пару примеров заданий с функциями прямой пропорциональности. Иногда в задачах требуется найти коэффициент k.

Задача 4 : Даны функции у = - х/16 и у = 5х/2, определите их коэффициенты пропорциональности.

Решение: Как вы помните, k = у/х. Значит, для первой функции коэффициент равен -1/16, а для второй k = 5/2.

А еще вам может встретиться задание, как Задача 5 : Запишите формулой прямую пропорциональность. Ее график и график функции у = -5х + 3 расположены параллельно.

Решение: Функция, которая дана нам в условии, – линейная. Нам известно, что прямая пропорциональность – частный случай линейной функции. А также мы знаем, что если коэффициенты k функций равны, их графики параллельны. Значит, все, что требуется – это вычислить коэффициент известной функции и задать прямую пропорциональность по знакомой нам формуле: y = k *x . Коэффициент k = -5, прямая пропорциональность: у = -5*х.

Вывод

Теперь вы узнали (или вспомнили, если уже проходили эту тему раньше), что называется прямой пропорциональностью , и рассмотрели ее примеры . Мы также поговорили о функции прямой пропорциональности и ее графике, решили несколько задач для примера.

Если эта статья оказалась полезной и помогла разобраться в теме, расскажите нам об этом в комментариях. Чтобы мы знали, смогли ли принести вам пользу.

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Две величины называются прямо пропорциональными , если при увеличении одной из них в несколько раз другая увеличивается во столько же раз. Соответственно, при уменьшении одной из них в несколько раз, другая уменьшается во столько же раз.

Зависимость между такими величинами — прямая пропорциональная зависимость. Примеры прямой пропорциональной зависимости:

1) при постоянной скорости пройденный путь прямо пропорционально зависит от времени;

2) периметр квадрата и его сторона — прямо пропорциональные величины;

3) стоимость товара, купленного по одной цене, прямо пропорционально зависит от его количества.

Чтобы отличить прямую пропорциональную зависимость от обратной можно использовать пословицу: «Чем дальше в лес, тем больше дров».

Задачи на прямо пропорциональные величины удобно решать с помощью пропорции.

1) Для изготовления 10 деталей нужно 3,5 кг металла. Сколько металла пойдет на изготовление 12 таких деталей?

(Рассуждаем так:

1. В заполненном столбце стрелку ставим в направлении от большего числа к меньшему.

2. Чем больше деталей, тем больше металла нужно для их изготовления. Значит, это прямо пропорциональная зависимость.

Пусть х кг металла нужно для изготовления 12 деталей. Составляем пропорцию (в направлении от начала стрелки к ее концу):

12:10=х:3,5

Чтобы найти , надо произведение крайних членов разделить на известный средний член:

Значит, потребуется 4,2 кг металла.

Ответ: 4,2 кг.

2) За 15 метров ткани заплатили 1680 рублей. Сколько стоят 12 метров такой ткани?

(1. В заполненном столбце стрелку ставим в направлении от большего числа к меньшему.

2. Чем меньше ткани покупают, тем меньше за нее надо заплатить. Значит, это прямо пропорциональная зависимость.

3. Поэтому вторая стрелка одинаково направлена с первой).

Пусть х рублей стоят 12 метров ткани. Составляем пропорцию (от начала стрелки к ее концу):

15:12=1680:х

Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, произведение средних членов делим на известный крайний член пропорции:

Значит, 12 метров стоят 1344 рубля.

Ответ: 1344 рубля.

Выполнил: Чепкасов Родион

учащийся 6 «Б» класса

МБОУ «СОШ № 53»

г. Барнаул

Руководитель: Булыкина О.Г.

учитель математики

МБОУ «СОШ № 53»

г. Барнаул

Введение. 1

Отношения и пропорции. 3

Прямая и обратная пропорциональные зависимости. 4

Применение прямой и обратной пропорциональной 6

зависимости при решении различных задач.

Заключение. 11

Литература. 12

Введение .

Слово пропорция происходит от латинского слова proportion, означающее вообще соразмерность, выровненность частей (определенное соотношение частей между собой). В древности учение о пропорциях было в большом почёте у пифагорейцев. С пропорциями они связывали мысли о порядке и красоте в природе, о созвучных аккордах в музыке и гармонии во вселенной. Некоторые виды пропорций они называли музыкальными или гармоническими.

Еще в глубокой древности человеком было обнаружено, что все явления в природе связаны друг с другом, что все пребывает в непрерывном движении, изменении, и, будучи выражено числом, обнаруживает удивительные закономерности.

Пифагорейцы и их последователи всему сущему в мире искали числовое выражение. Ими было обнаружено; что математические пропорции лежат в основе музыки (отношение длины струны к высоте тона, отношения между интервалами, соотношение звуков в аккордах, дающих гармоническое звучание). Пифагорейцы пытались математически обосновать идею единства мира, утверждали, что а основе мироздания лежат симметричные геометрические формы. Пифагорейцы искали математическое обоснование красоте.

Вслед за пифагорейцами средневековый ученый Августин назвал красоту "числовым равенством". Философ-схоласт Бонавентура писал: "Красоты и наслаждения нет без пропорциональности, пропорциональность же прежде всего существует в числах. Необходимо, чтобы все поддавалось счислению". Об использовании пропорции в искусстве Леонардо да Винчи писал в своем трактате о живописи: "Живописец воплощает в форме пропорции те же таящиеся в природе закономерности, которые в форме числового закона по знает ученый".

Пропорциями пользовались при решении разных задач и в древности и в средние века. Определенные типы задач и теперь легко и быстро решаются при помощи пропорций. Пропорции и пропорциональность применялись и применяются не только в математике, но и в архитектуре, искусстве. Пропорциональность в архитектуре и искусстве означает соблюдение определенных соотношений между размерами разных частей здания, фигуры, скульптуры или другого произведения искусств. Пропорциональность в таких случаях является условием правильного и красивого построения и изображения

В своей работе я пытался рассмотреть применение прямой и обратной пропорциональной зависимостей в различных областях окружающей жизни, проследить связь с учебными предметами через задачи.

Отношения и пропорции .

Частное двух чисел называется отношением этих чисел .

Отношение показывает , во сколько раз первое число больше второго или какую часть первое число составляет от второго.

Задача.

В магазин привезли 2,4 т груш и 3,6 т яблок. Какую часть привезённых фруктов составляют груши?

Решение . Найдём сколько всего привезли фруктов: 2,4+3,6=6(т). Чтобы найти какую часть привезённых фруктов составляют груши, составим отношение 2,4:6=. Ответ можно также записать в виде десятичной дроби или в процентах: = 0,4 = 40 %.

Взаимно обратными называют числа , произведения которых равно 1. Поэтому отношения называют обратным отношению .

Рассмотрим два равных отношения: 4,5:3 и 6:4. Поставим между ними знак равенства и получим пропорцию: 4,5:3=6:4.

Пропорция – это равенство двух отношений: a : b =c :d или = , где a и d – крайние члены пропорции , c и b – средние члены (все члены пропорции отличны от нуля).

Основное свойство пропорции :

в верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов.

Применив переместительное свойство умножения, получим, что в верной пропорции можно менять местами крайние члены или средние члены. Получившиеся пропорции также будут верными.

Используя основное свойство пропорции, можно находить её неизвестный член, если все остальные члены известны.

Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, надо перемножить средние члены и разделить на известный крайний член. x : b = c : d , x =

Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, надо перемножить крайние члены и разделить на известный средний член. a : b =x : d , x =.

Прямая и обратные пропорциональные зависимости.

Значения двух различных величин могут взаимно зависеть друг от друга. Так, площадь квадрата зависит от длины его стороны, и обратно - длина стороны квадратазависит от его площади.

Две величины называют пропорциональными, если при увеличении

(уменьшении) одной из них в несколько раз, другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

Если две величины прямо пропорциональны, то отношения соответствующих значений этих величин равны.

Пример прямой пропорциональной зависимости .

На заправочной станции 2 л бензина весят 1,6 кг. Сколько будут весить 5 л бензина?

Решение:

Вес керосина пропорционален его объему.

2л - 1,6 кг

5л - х кг

2:5=1,6:х,

х= 5*1,6 х =4

Ответ: 4 кг.

Здесь отношение веса к объему остается неизменным.

Две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз, другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз.

Если величины обратно пропорциональны, то отношение значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.

П ример обратной пропорциональной зависимости.

Два прямоугольника имеют одинаковую площадь. Длина первого прямоугольника 3,6 м, а ширина 2,4 м. Длина второго прямоугольника 4,8 м. Найдём ширину второго прямоугольника.

Решение:

1 прямоугольник 3,6 м 2,4 м

2 прямоугольник 4,8 м х м

3,6 м х м

4,8 м 2,4 м

х = 3,6*2,4 = 1,8 м

Ответ: 1,8 м.

Как видим, задачи на пропорциональные величины можно решать с помощью пропорций.

Не всякие две величины являются прямо пропорциональными или обратно пропорциональными. Например, рост ребёнка увеличивается при увеличении его возраста, но эти величины не являются пропорциональными, так как при удвоении возраста рост ребёнка не удваивается.

Практическое применение прямой и обратной пропорциональной зависимости.

Задача № 1

В школьной библиотеке 210 учебников математики, что составляет 15% всего библиотечного фонда. Сколько всего книг в библиотечном фонде?

Решение:

Всего учебников - ? - 100%

Математики - 210 -15%

15 % 210 уч.

Х = 100* 210 = 1400 учебников

100% х уч. 15

Ответ: 1400 учебников.

Задача № 2

Велосипедист за 3 часа проезжает 75 км. За какое время велосипедист проедит 125 км с той же скоростью?

Решение:

3 ч – 75 км

Ч – 125 км

Время и расстояние являются прямо пропорциональными величинами, поэтому

3: х = 75: 125,

х=
,

х=5.

Ответ: за 5 ч.

Задача № 3

8 одинаковых труб заполняют бассейн за 25 минут. За сколько минут заполнят бассейн 10 таких труб?

Решение:

8 труб – 25 минут

10 труб - ? минут

Количество труб обратно пропорционально времени, поэтому

8: 10 = х: 25,

х =

х = 20

Ответ: за 20 минут.

Задача № 4

Бригада из 8 рабочих выполняет задание за 15 дней. Сколько рабочих сможет выполнить задание за 10 дней, работая с той же производительностью?

Решение:

8 рабочих – 15 дней

Рабочих - 10 дней

Количество рабочих обратно пропорционально количеству дней, поэтому

х: 8 = 15: 10,

х=
,

х= 12.

Ответ: 12 рабочих.

Задача № 5

Из 5,6 кг помидоров получают 2 л соуса. Сколько литров соуса можно получить из 54 кг помидоров?

Решение:

5,6 кг – 2 л

54 кг - ? л

Количество килограммов помидоров прямо пропорционально количеству получаемого соуса, поэтому

5,6: 54 = 2: х,

х =
,

х = 19 .

Ответ: 19 л.

Задача № 6

Для отопления здания школы заготовлено угля на 180 дней при норме расхода

0,6 т угля в день. На сколько дней хватит этого запаса, если его расходовать ежедневно по 0,5 т?

Решение:

Кол-во дней

Норма расхода

Количество дней обратно пропорционально норме расхода угля, поэтому

180: х = 0,5: 0,6,

х = 180*0,6:0,5,

х = 216.

Ответ: на 216 дней.

Задача № 7

В железной руде на 7 частей железа приходится 3 части примесей. Сколько тонн примесей в руде, которая содержит 73,5 т железа?

Решение:

Кол-во частей

Масса

Железо

73,5

Примеси

Количество частей прямо пропорционально массе, поэтому

7: 73,5 = 3: х.

х = 73,5 * 3: 7,

х = 31,5.

Ответ: 31,5 т

Задача № 8

Автомобиль проехал 500 км, истратив 35 л бензина. Сколько литров бензина потребуется, чтобы проехать 420 км?

Решение:

Расстояние, км

Бензин, л

Расстояние прямо пропорционально расходованию бензина, поэтому

500: 35 = 420: х,

х = 35*420:500,

х = 29,4.

Ответ: 29,4 л

Задача № 9

За 2 часа поймали 12 карасей. Сколько карасей поймают за 3 часа?

Решение:

Количество карасей не зависит от времени. Эти величины не являются ни прямо пропорциональными, ни обратно пропорциональными.

Ответ: ответа не существует.

Задача № 10

Горнорудному предприятию требуется закупить на определённую сумму денег 5 новых машин по цене 12 тыс.рублей за одну. Сколько таких машин сможет купить предприятие, если цена за одну машину станет 15 тыс.рублей?

Решение:

Кол-во машин, шт.

Цена, тыс.руб.

Количество машин обратно пропорционально стоимости, поэтому

5: х = 15: 12,

х= 5*12:15,

х=4.

Ответ: 4 машины.

Задача № 11

В городе N на площади P находится магазин, хозяин которого настолько строг, что за опоздание вычитает из заработной платы 70 рублей за 1 опоздание в день. В одном отделе работают две девушки Юля и Наташа. Их заработная плата зависит от числа рабочих дней. Юля за 20 дней получила 4100 рублей, а Наташа за 21 день получить должна бы больше, но она опаздывала 3 дня подряд. Сколько рублей получит Наташа?

Решение:

Рабочие дни

Зарплата, руб.

Юля

4100

Наташа

Зарплата прямо пропорционально количеству рабочих дней, поэтому

20: 21 = 4100: х,

х= 4305.

4305 руб. должна была получить Наташа.

4305 – 3 * 70 = 4095 (руб.)

Ответ: Наташа получит 4095 руб.

Задача № 12

Расстояние между двумя городами на карте равно 6 см. Найдите расстояние между этими городами на местности, если масштаб карты 1: 250000.

Решение:

Обозначим расстояние между городами на местности через х (в сантиметрах) и найдём отношение длины отрезка на карте к расстоянию на местности, которое будет равно масштабу карты: 6: х = 1: 250000,

х = 6*250000,

х = 1500000.

1500000 см = 15 км

Ответ: 15 км.

Задача № 13

В 4000 г раствора содержится 80 г соли. Какова концентрация соли в данном растворе?

Решение:

Масса, г

Концентрация, %

Раствор

4000

Соль

4000: 80 = 100: х,

х =
,

х = 2.

Ответ: концентрация соли составляет 2 %.

Задача № 14

Банк даёт кредит под 10% годовых. Вы получили кредит 50 000 рублей. Какую сумму Вы должны вернуть банку через год?

Решение:

50 000 руб.

100%

х руб.

50000: х = 100: 10,

х= 50000*10:100,

х=5000.

5000 руб. составляет 10%.

50 000 + 5000=55 000 (руб.)

Ответ: через год банку вернут 55 000 руб.

Заключение.

Как видим из приведённых примеров, прямая и обратная пропорциональные зависимости применимы в различных областях жизни:

Экономике,

Торговле,

На производстве и промышленности,

Школьной жизни,

Кулинарии,

Строительстве и архитектуре.

Спорте,

Животноводстве,

Топографии,

Физики,

Химии и т.д.

В русском языке также встречаются пословицы и поговорки, устанавливающие прямую и обратную зависимости:

Как аукнется, так и откликнется.

Чем выше пень, тем выше тень.

Чем больше народа, тем меньше кислорода.

И готово, да бестолково.

Математика – одна из древнейших наук, возникла она на основе потребностей и нужд человечества. Пройдя историю становления еще с Древней Греции, она до сих пор остается актуальной и необходимой в повседневной жизни любого человека. Понятие о прямой и обратной пропорциональной зависимости известны еще с древних времен, поскольку именно законы пропорции двигали архитекторами при какой-либо постройке или создании какой-либо скульптуры.

Знания о пропорциях широко используются во всех сферах жизни и деятельности человека – без них не обойтись при написании картин (пейзажей, натюрмортов, портретов и прочее), также имеют широкое распространение среди архитекторов и инженеров, – , в общем, тяжело себе представить создание хоть чего-нибудь без использования знаний о пропорциях и их соотношении.

Литература.

Математика-6, Н.Я. Виленкин и др.

Алгебра -7, Г.В. Дорофеев и др.

Математика-9, ГИА-9, под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова

Математика-6, дидактические материалы, П.В. Чулков, А.Б. Уединов

Задачи по математике для 4-5 классов, И.В.Баранова и др., М. «Просвещение»1988

Сборник задач и примеров по математике 5-6 класс, Н.А. Терешин,

Т.Н. Терешина, М. «Аквариум» 1997

Прямая и обратная пропорциональности

Если t - время движение пешехода (в часах), s - пройденный путь (в километрах), и он движется равномерно со скоростью 4 км/ч, то зависимость между этими величинами можно выразить формулой s = 4t. Так как каждому значению t соответствует единственное значение s, то можно говорить о том, что с помощью формулы s = 4t задана функция. Ее называют прямой пропорциональностью и определяют следующим образом.

Определение. Прямой пропорциональностью называется функция, которая может быть задана при помощи формулы у=kх, где k - неравное нулю действительное число.

Название функции у = k х связано с тем, что в формуле у = kх есть переменные х и у, которые могут быть значениями величин. А если отношение двух величин равно некоторому числу, отличному от нуля, их называют прямо пропорциональными . В нашем случае = k (k≠0). Это число называют коэффициентом пропорциональности.

Функция у = k х является математической моделью многих реальных ситуаций, рассматриваемых уже в начальном курсе математики. Одна из них описана выше. Другой пример: если в одном пакете муки 2 кг, а куплено х таких пакетов, то всю массу купленной муки (обозначим ее через у) можно представить в виде формулы у = 2х, т.е. зависимость между количеством пакетов и всей массой купленной муки является прямой пропорциональностью с коэффициентом k=2.

Напомним некоторые свойства прямой пропорциональности, которые изучаются в школьном курсе математики.

1. Областью определения функции у = k х и областью ее значений является множество действительных чисел.

2. Графиком прямой пропорциональности является прямая, проходящая через начало координат. Поэтому для построения графика прямой пропорциональности достаточно найти лишь одну точку, принадлежащую ему и не совпадающую с началом координат, а затем через эту точку и начало координат провести прямую.

Например, чтобы построить график функции у = 2х, достаточно иметь точку с координатами (1, 2), а затем через нее и начало координат провести прямую (рис. 7).

3. При k > 0 функция у = kх возрастает на всей области определения; при k < 0 - убывает на всей области определения.

4. Если функция f - прямая пропорциональность и (х 1 , у 1), (х 2 , у 2) - пары соответственных значений переменных х и у, причем х 2 ≠0 то .

Действительно, если функция f - прямая пропорциональность, то она может быть задана формулой у=kх, и тогда у 1 = kх 1 , у 2 = kх 2 . Так как при х 2 ≠0 и k≠0, то у 2 ≠0. Поэтому и значит .

Если значениями переменных х и у служат положительные действительные числа, то доказанное свойство прямой пропорциональности можно сформулировать так: с увеличением (уменьшением) значения переменной х в несколько раз соответствующее значение переменной у увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

Это свойство присуще только прямой пропорциональности, и им можно пользоваться при решении текстовых задач, в которых рассматриваются прямо пропорциональные величины.

Задача 1. За 8 ч токарь изготовил 16 деталей. Сколько часов потребуется токарю на изготовление 48 деталей, если он будет работать с той же производительностью?

Решение. В задаче рассматриваются величины - время работы токаря, количество сделанных им деталей и производительность (т.е. количество деталей, изготавливаемых токарем за 1 ч), причем последняя величина постоянна, а две другие принимают различные значения. Кроме того количество сделанных деталей и время работы- величины прямо пропорциональные, так как их отношение равно некоторому числу, не равному нулю, а именно - числу деталей, изготавливаемых токарем за 1 ч. Если количество сделанных деталей обозначить буквой у, время работы х, а производительность - k, то получим, что = k или у = kх, т.е. математической моделью ситуации, представленной в задаче, является прямая пропорциональность.

Решить задачу можно двумя арифметическими способами:

1 способ: 2 способ:

1) 16:8 = 2 (дет.) 1) 48:16 = 3 (раза)

2) 48:2 = 24(ч) 2) 8-3 = 24 (ч)

Решая задачу первым способом, мы сначала нашли коэффициент пропорциональности к, он равен 2, а затем, зная, что у = 2х, нашли значение х при условии, что у = 48.

При решении задачи вторым способом мы воспользовались свойством прямой пропорциональности: во сколько раз увеличивается количество деталей, сделанных токарем, во столько же раз увеличивается и количество времени на их изготовление.

Перейдем теперь к рассмотрению функции, называемой обратной пропорциональностью.

Если t - время движения пешехода (в часах), v - его скорость (в км/ч) и он прошел 12 км, то зависимость между этими величинами можно выразить формулой v∙t = 20 или v = .

Так как каждому значению t (t ≠ 0) соответствует единственное значение скорости v, то можно говорить о том, что с помощью формулы v = задана функция. Ее называют обратной пропорциональностью и определяют следующим образом.

Определение. Обратной пропорциональностью называется функция, которая может быть задана при помощи формулы у = , где k - неравное нулю действительное число.

Название данной функции связано с тем, что в у = есть переменные х и у, которые могут быть значениями величин. А если произведение двух величин равно некоторому числу, отличному от нуля, то их называют обратно пропорциональными. В нашем случае ху = k(к ≠0). Это число k называют коэффициентом пропорциональности.

Функция у = является математической моделью многих реальных ситуаций, рассматриваемых уже в начальном курсе математики. Одна из них описана перед определением обратной пропорциональности. Другой пример: если купили 12 кг муки и разложили ее в л: банок по у кг в каждую, то зависимость между данными величинами можно представить в виде х-у = 12, т.е. она является обратной пропорциональностью с коэффициентом k=12.

Напомним некоторые свойства обратной пропорциональности, известные из школьного курса математики.

1.Областью определения функции у = и областью ее значений х является множество действительных чисел, отличных от нуля.

2. Графиком обратной пропорциональности является гипербола.

3. При k > 0 ветви гиперболы расположены в 1 -й и 3-й четвертях и функция у = является убывающей на всей области определения х (рис. 8).

Рис. 8 Рис.9

При к < 0 ветви гиперболы расположены во 2-й и 4-й четвертях и функция у = является возрастающей на всей области определения х (рис. 9).

4. Если функция f - обратная пропорциональность и (х 1 , у 1), (х 2 , у 2) - пары соответственных значений переменных х и у, то .

Действительно, если функция f - обратная пропорциональность, то она может быть задана формулой у = ,и тогда . Так как х 1 ≠0, х 2 ≠0, х 3 ≠0, то

Если значениями переменных х и у служат положительные действительные числа, то это свойство обратной пропорциональности можно сформулировать так: с увеличением (уменьшением) значения переменной х в несколько раз соответствующее значение переменной у уменьшается (увеличивается) во столько же раз.

Это свойство присуще только обратной пропорциональности, и им можно пользоваться при решении текстовых задач, в которых рассматриваются обратно пропорциональные величины.

Задача 2. Велосипедист, двигаясь со скоростью 10 км/ч, проехал расстояние от А до В за 6 ч. Сколько времени потратит велосипедист на обратный путь, если будет ехать со скоростью 20 км/ч?

Решение. В задаче рассматриваются величины: скорость движения велосипедиста, время движения и расстояние от А до В, причем последняя величина постоянна, а две другие принимают различные значения. Кроме того, скорость и время движения - величины обратно пропорциональные, так как их произведение равно некоторому числу, а именно пройденному расстоянию. Если время движения велосипедиста обозначить буквой у, скорость - х, а расстояние АВ - k, то получим, что ху = k или у = , т.е. математической моделью ситуации, представленной в задаче, является обратная пропорциональность.

Решить задачу можно двумя способами:

1 способ: 2 способ:

1) 10-6 = 60 (км) 1) 20:10 = 2 (раза)

2) 60:20 = 3(4) 2) 6:2 = 3(ч)

Решая задачу первым способом, мы сначала нашли коэффициент пропорциональности к, он равен 60, а затем, зная, что у = , нашли значение у при условии, что х = 20.

При решении задачи вторым способом мы воспользовались свойством обратной пропорциональности: во сколько раз увеличивается скорость движения, во столько же раз уменьшается время на прохождение одного и того же расстояния.

Заметим, что при решении конкретных задач с обратно пропорциональными или прямо пропорциональными величинами накладываются некоторые ограничения на х и у, в частности, они могут рассматриваться не на всем множестве действительных чисел, а на его подмножествах.

Задача 3. Лена купила х карандашей, а Катя в 2 раза больше. Обозначьте число карандашей, купленных Катей через у, выразите у через х и постройте график установленного соответствия при условии, что х≤5. Является ли это соответствие функцией? Какова ее область определения и область значений?

Решение. Катя купила у = 2х карандашей. При построении графика функции у=2х необходимо учесть, что переменная х обозначает количество карандашей и х≤5, значит, она может принимать только значения 0, 1, 2, 3, 4, 5. Это и будет область определения данной функции. Чтобы получить область значений данной функции, надо каждое значение х из области определения умножить на 2, т.е. это будет множество {0, 2, 4, 6, 8, 10}. Следовательно, графиком функции у = 2х с областью определения {0, 1, 2, 3, 4, 5} будет множество точек, изображенных на рисунке 10. Все эти точки принадлежат прямой у = 2х.