Математический маятник динамика колебательного движения. Гармонические колебания
Для того чтобы описать количественно колебания тела под действием силы упругости пружины или колебания шарика, подвешенного на нити, воспользуемся законами механики Ньютона. Уравнение движения тела, колеблющегося под действием сил упругости. Согласно второму закону Ньютона произведение массы тела т на ускорение а равно равнодействующей F всех сил, приложенных к телу: Запишем уравнение движения шарика, движущегося прямолинейно вдоль горизонтали под действием силы упругости F пружины (см. рис. 56). Направим ось Ох вправо. Пусть начало отсчета координат соответствует положению равновесия (см. рис. 56, а). В проекциях на ось Ох уравнение (3.1) запишется так: max=Fxynp, где ах и Fxyn соответственно проекции ускорения и силы упругости. Согласно закону Гука проекция Fx прямо пропорциональна смещению шарика из положения равновесия. Смещение равно координате х шарика, причем проекция силы и координата имеют противоположные знаки (см. рис. 56, б, в). Следовательно, Fx m=~kx, (3.2) где k - жесткость пружины. Уравнение движения шарика тогда примет вид: max=~kx. (3.3) Разделив левую и правую части уравнения (3.3) на т, получим а=- - х. + (3.4) х т v " Так как масса т и жесткость k - постоянные величины, то их от-" k ношение - также постоянная величина. т Мы получили уравнение движения тела, колеблющегося под действием силы упругости. Оно очень простое: проекция ах ускорения тела прямо пропорциональна его координате х, взятой с противоположным знаком. Уравнение движения математического маятника. При колебании шарика на нерастяжимой нити он все время движется по дуге окружности, радиус которой равен длине нити /. Поэтому положение шарика в любой момент времени определяется одной величиной - углом а отклонения нити от вертикали. Будем считать угол а положительным, если маятник отклонен вправо от положения равновесия, и отрицательным, если он отклонен влево (см. рис. 58). Касательную к траектории будем считать направленной в сторону положительного отсчета углов. Обозначим проекцию силы тяжести на касательную к траектории маятника через Fz. Эта проекция в момент, когда нить маятника отклонена от положения равновесия на угол а, выражается так: Fl=-Fs\na=-mgs"ma. (3.5) Здесь знак « - » стоит потому, что Fx и а имеют противоположные знаки. При отклонении маятника вправо (а>0) составляющая Fx силы тяжести направлена влево и ее проекция отрицательна: Fx 0. Обозначим проекцию ускорения маятника на касательную к его траектории через аТ Эта проекция характеризует быстроту изменения модуля скорости маятника. Согласно второму закону Ньютона Разделив левую и правую части этого уравнения на т, получим jf. ax~-g sin а. (3.7) До сих пор предполагалось, что углы отклонения нити маятника от вертикали могут быть любыми. В дальнейшем будем считать их малыми. При малых углах, если угол измерен в радианах, sin а~а. Следовательно, можно принять a=~ga. (3.8) Обозначив длину дуги OA через s (см. рис. 58), можно записать s=al, откуда а=у. (3.9) Подставив это выражение в равенство (3.8) вместо угла а, получим ax= - js. (3.10) Это уравнение имеет такой же вид, что и уравнение (3.4) движения шарика, прикрепленного к пружине. Здесь только вместо проекции ах ускорения стоит проекция аТ ускорения и вместо координаты х - величина s. Да и коэффициент пропорциональности зависит уже не от жесткости пружины и массы шарика, а от ускорения свободного падения и длины нити. Но по-прежнему ускорение прямо пропорционально смещению (определяемому дугой) шарика от положения равновесия. Мы пришли к замечательному выводу: уравнения движения, описывающие колебания таких различных систем, как шарик на пружине и маятник, одинаковы. Это означает, что движение шарика и колебания маятника происходят одинаковым образом. Смещения шарика на пружине и шарика маятника от положений равновесия изменяются со временем по одному и тому же закону, несмотря на то что силы, вызывающие колебания, имеют различную физическую природу. В первом случае это сила упругости пружины, а во втором - составляющая силы тяжести. Уравнение движения (3.4), как и уравнение (3.10), на вид очень простое: ускорение прямо пропорционально координате. Но решить его, т. е. определить, как меняется положение колеблющегося тела в пространстве с течением времени, далеко не просто.
легкие
сердце
Тема урока: «Свободные и вынужденные колебания. Динамика колебательного движения».
- Механические колебания – это движения, которые точно или приблизительно повторяются через определенные интервалы времени.
Основные виды колебаний
вынужденные
свободные
называют колебания тел под действием внешних периодически изменяющихся сил.
называют колебания в системе под действием внутренних сил, после того, как система была выведена из положения равновесия и предоставлена затем самой себе.
Маятник – подвешенное на нити или закреплённое на оси тело, которое может совершать колебания под действием силы тяжести
Виды маятников
Пружинный - тело, подвешенное на пружине и совершающее колебания под действием силы упругости пружины.
Математический (нитяной) - это материальная точка, подвешенная на невесомой и нерастяжимой нити.
Условия возникновения колебаний
- При выведении тела из положения равновесия в системе возникать сила, направленная к положению равновесия и, следовательно, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия.
- Трение в системе должно быть достаточно мало.
- Амплитуда – модуль наибольшего смещения тела от положения равновесия.
х max или А
Измеряется в метрах
- Период Т – время одного полного колебания.
Измеряется в секундах
Период колебаний
Для математического
маятника
Для пружинного
маятника
(Формула Гюйгенса)
Частота - число полных колебаний за единицу времени.
Измеряется в Герцах
- Циклическая (круговая) частота колебаний – частота, равная числу колебаний, совершаемых материальной точкой за
Измеряется в радианах в секунду
Мир колебаний
- Колебания – один из самых распространенных процессов в природе и технике.
- крылья насекомых и птиц в полете,
- высотные здания и высоковольтные провода под действием ветра,
- маятник заведенных часов и автомобиль на рессорах во время движения
- уровень реки в течение года и температура человеческого тела при болезни.
Немного истории…
Галилео Галилей (1564-1642)
Великий итальянский ученый – один из создателей точного естествознания.
Однажды в церкви он наблюдал, как качалась огромная люстра, и засекал время по своему пульсу. Позже он открыл, что время, за которое происходит один взмах, зависит от длины маятника - время наполовину уменьшается, если укоротить маятник на три четверти.
Немного истории…
Наиболее известным практическим использованием маятника является применение его в часах для измерения времени. Впервые это сделал голландский физик Х. Гюйгенс. Задачей о создании и совершенствовании часов, прежде всего маятниковых, учёный занимался почти сорок лет: с 1656 по 1693 г. Гюйгенс вывел формулу для определения периода колебаний математического маятника. До этого, время измеряли по истечению воды, горению факела или свечи.
Маятник Фуко
В 1850 г. Ж. Фуко подвесил маятник под куполом высокого здания так, что остриё маятника при качании оставляло след на песке, насыпанном на полу. Оказалось, что при каждом качении острие оставляет на песке новый след.
Таким образом, опыт Фуко показал, что Земля вращается вокруг своей оси.
В начале опыт был выполнен в узком кругу, но так заинтересовал Наполеона III , французского императора, что он предложил Фуко повторить его публично в грандиозном масштабе под куполом Пантеона в Париже. Эту публичную демонстрацию и принято называть опытом Фуко.
В геологии маятник применяют для опытного определения числового значения g в разных точках земной поверхности. Для этого по достаточно большому числу колебаний маятника в том месте, где измеряют g , находят период его колебаний Т, а g считают по формуле:
Заметное отклонение величины g от нормы для какой-либо местности называют гравитационной аномалией. Определение аномалий помогает находить залежи полезных ископаемых.
Лабораторная работа "Определение ускорения свободного падения при помощи маятника"
Цель работы: на опыте научиться измерять ускорение свободного падения с помощью математического маятника.
Оборудование: штатив, шарик на нити, часы, линейка.
Из трех предложенных стихов выбери одно, характеризующее твоё состояние на конец урока .
1.Искрятся глаза, Смеется душа, И ум мой поет: «К знаниям вперед»!
2. Не весел я сегодня, В тишине взгрустнулось мне, Все о колебаниях Промчалось вдалеке.
3. Вспоминая все познания свои, И физики мир постигая, Я благодарен матушке судьбе, Что колебания в мире есть
и нам их всех не счесть!
ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ
Государственное бюджетное профессиональное
образовательное учреждение города Москвы
«Политехнический техникум № 47 имени В.Г. Федорова»
(ГБПОУ ПТ № 47)
урока физики для студентов 1 курса
по теме: «Математический маятник.
Динамика колебательного движения»
преподаватель физики ВКК
Москва, 2016г.
Методическая разработка урока составлена в соответствии с требованиями ФГОС СОО и СПО. В сценарии урока реализованы элементы информационно-коммуникативной технологии и проблемно-деятельностного метода формирования и систематизации знаний в процессе предметного обучения.
Тип урока : комбинированный.
Цель урока : формирование универсальных учебных действий на уроке открытия новых знаний в технологии деятельностного метода.
Задачи урока:
1. О бразовательная: способствовать получению знаний о физических основах механических колебаний, сформировать такие понятия, как математический маятник, период, частота колебаний; экспериментальным путем установить законы колебаний математического и пружинного маятников; рассмотреть причины и особенности колебаний маятника.
2. В оспитывающая: создать условия для положительной мотивации к учебной деятельности, с целью выявления качества и уровня овладения знаниями и умениями обучающимися; сформировать коммуникативные навыки публично выступать по теме, вести диалог; поддерживать интерес к научным знаниям и к предмету «Физика».
3. Развивающая: продолжить формирование умения анализировать, систематизировать, обобщать теоретические учебные знания и данные, полученные экспериментальным путём; способствовать приобретению навыка самостоятельной работы с большим объёмом информации, умению сформулировать гипотезу и наметить пути её решения в процессе групповой проектной деятельности.
Оборудование и материалы : компьютер, мультимедийный проектор, экран, презентация к уроку, видеоурок, лабораторное оборудование для обучающихся: штатив, нитяной маятник, пружинный маятник, грузы разной массы, пружины разной жёсткости, линейки, секундомер, раздаточный материал, учебник (базовый и профильный уровни) по физике_11 класс (авторы: Г.Я. Мякишев, Б.Б. Буховцев, В.М. Чаругин, под редакцией Н.А. Парфентьевой, М. Просвещение, 2015).
Время проведения урока: 90 минут (пара).
Структура урока
Личностные:планирование учебного сотрудничества
Звучит песня «Крылатые качели». Вступительное слово преподавателя. Девиз урока: «Способности как мускулы, растут при тренировке» (сов. геолог и географ Обручев В.А.)
Обучающиеся приветствуют преподавателя, садятся и слушают педагога.
2. Мотивация к учебной деятельности
1) Организовать актуализацию требований учебной деятельности к обучающемуся («надо »).
2) Организовать деятельность учащихся по установке тематических рамок («могу »).
3) Создать условия для возникновения у обучающегося ситуации успеха и внутренней потребности включения в учебную деятельность («хочу »).
Регулятивные: волевая саморегуляция.
Личностные: действие смыслообразования.
1) Педагог предлагает найти связь песни с темой урока.
2) На доске кроссворд для отгадывания понятия, определяющего тему урока.
3) Педагог записывает дату и тему урока на доске.
4) Педагог озвучивает цель и задачи урока.
1) Обучающиеся находят ассоциацию движения качелей с маятником.
2) отгадывают ключевое слово кроссворда «колебание».
3) Записывают в тетрадях дату и тему урока.
3. Актуализация опорных знаний и фиксация затруднения в проблемном учебном действии
1) Организовать актуализацию изученных способов действий, достаточных для построения нового знания.
2) Зафиксировать актуализированные способы действий в речи.
3) Зафиксировать актуализированные способы действий в знаках (эталоны).
4) Организовать обобщение актуализированных способов действий.
5) Организовать актуализацию мыслительных операций, достаточных для построения нового знания.
6) Мотивировать к проблемному учебному действию («надо-могу-хочу» ).
7) Организовать самостоятельное (групповое) выполнение проблемного учебного действия.
8) Организовать фиксацию индивидуальных затруднений в выполнении обучающимися пробного учебного действия или в его обосновании.
Познавательные:
общеучебные: умение структурировать знания, контроль и оценка процесса и результатов деятельности;
логические: анализ, синтез, выбор оснований для сравнения.
Регулятивные:
прогнозирование (при анализе пробного действия перед его выполнением); контроль, коррекция (при проверке самостоятельного задания)
1) В таблице на доске «ЗНАЛ -УЗНАЛ-ХОЧУ УЗНАТЬ» преподаватель заполняет первую колонку
2) Демонстрация видеоурока (9:20) « Свободные и вынужденные колебания».
3) В таблице на доске «ЗНАЛ- УЗНАЛ - ХОЧУ УЗНАТЬ» преподаватель заполняет вторую колонку таблицы по ответам обучающихся.
1. Что такое механическое колебание.
2. Колебательные системы и маятник.
3. Свободные и вынужденные колебания.
4. Условия существования колебаний.
4) В таблице на доске «ЗНАЛ- УЗНАЛ- ХОЧУ УЗНАТЬ » преподаватель заполняет третью колонку таблицы по ответам обучающихся с помощью:
слайда «Применение маятника» из презентации к уроку;
демонстрация видеоролика «Термокомпенсационные маятники» avi . (2 мин)
1) Обучающиеся предлагают для записи знания по теме, полученные ранее.
2) Просмотр обучающимися видеоурока.
3) Обучающиеся обсуждают в парах и предлагают для записи полученные знания по теме.
4) Обучающиеся предлагают для записи полученные знания по теме.
4. Выявление места и причины затруднения
1) Организовать восстановление выполненных операций.
2) Организовать фиксацию места (шага, операции), где возникло затруднение.
3) Организовать соотнесение своих действий с используемыми эталонами (алгоритмом, понятием).
4) Организовать выявление и фиксацию во внешней речи причины затруднения – тех конкретных знаний, умений, навыков, которых недостает для решения исходной задачи такого типа.
Познавательные: постановка и формулирование учебной проблемы.
1) Преподаватель предлагает открыть учебник Физика11 класс, стр.58 п.20 «Математический маятник».
слайда «Математический маятник».
Педагог задаёт вопросы:
1. Что называется математическим маятником?
2. Какие силы действуют на маятник в движении?
3. Чему равна работа этих сил?
4. Куда направлено
центростремительное ускорение маятника?
5. Как меняется по модулю и направлению скорость груза на нити?
6. При каких условиях маятник свободно колеблется?
2) На экране демонстрация из презентации слайда «Динамика колебательного движения» . Объяснение педагога.
1. Уравнение движения тела, колеблющегося на пружине.
ma x = - kx;
a x = - (k/m) x X (1)
2. Уравнение движения тела, колеблющегося на нити.
ma t = - mg x sina; a t = - g x sina;
a t = - ( g / L ) Х Х (2)
3. Сделайте вывод, если умножить (1) и (2) на m , то равнодействующая сила в двух случаях…..(продолжите ответ)
4. Запишите формулы для вычисления (Физика 11 кл, стр.64-65)
периода, частоты, циклической частоты.
Формула Гюйгенса (справедлива только для малых углов отклонения).
1) Обучающиеся самостоятельно работают с учебным материалом, читают, обсуждают в парах ответы на вопросы и отвечают вслух.
2) Обучающиеся слушают и записывают в тетрадь уравнения.
3. Ответ: будет прямо пропорциональна смещению колеблющегося тела от положения равновесия и направлена в сторону, противоположную этому смещению.
4. Обучающиеся записывают в тетрадь (работа с учебником).
5. Построения проекта выхода из затруднения
Организовать построение проекта выхода из затруднения:
1) Обучающиеся ставят цель проекта (целью всегда является устранение причины возникшего затруднения).
2) Обучающиеся уточняют и согласовывают тему и цель проекта.
3) Обучающиеся определяют средства (алгоритмы, модели, справочники и т.п.).
4) Обучающиеся формулируют шаги , которые необходимо сделать для реализации проекта.
Регулятивные:
целеполагание как постановка учебной задачи, планирование, прогнозирование
Познавательные:
общеучебные: знаково-символические-моделирование; выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий.
1. Преподаватель делит группу студентов на 6 подгрупп для выполнения мини-проектов, с целью исследования зависимости величин колебательной системы.
2. Техника безопасности:
К работе с установкой допускаются лица, ознакомленные с её устройством и принципом действия.
Для предотвращения опрокидывания установки необходимо располагать её только на горизонтальной поверхности.
3 . На экране в презентации показать слайды с заданиями для подгрупп.
Группа №1 «Исследование зависимости периода колебаний математического маятника от амплитуды». Начертите график этой зависимости.
Группа №2 «Исследование зависимости периода колебаний математического маятника от массы груза». Начертите график этой зависимости.
Группа №3 «Исследование зависимости периода колебаний математического маятника от длины нити». Начертите график этой зависимости.
Группа №4 «Исследование зависимости периода колебаний пружинного маятника от амплитуды». Начертите график этой зависимости.
Группа №5 «Исследование зависимости периода колебаний пружинного маятника от массы груза». Начертите график этой зависимости.
Группа №6 «Исследование зависимости периода колебаний пружинного маятника от жёсткости пружины». Начертите график этой зависимости.
Выполняют задания в группах по плану :
- выдвинуть гипотезу;
- провести эксперимент;
- записать полученные данные;
- проанализировать результат;
- построить график зависимости параметров колебательной системы;
- сделать вывод.
6. Реализация построенного проекта
1) Организовать фиксацию нового способа действия в соответствии с планом.
2) Организовать фиксацию нового способа действия в речи.
3) Организовать фиксацию нового способа действия в знаках (с помощью эталона).
4) Организовать фиксацию преодоления затруднения.
5) Организовать уточнение общего характера нового знания (возможность применения нового способа действий для решения всех заданий данного типа).
Коммуникативные:
планирование учебного сотрудничества со сверстниками, инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации; управление поведением партнеров; умение выражать свои мысли.
Познавательные:
общеучебные:
применение методов информационного поиска, смысловое чтение научного текста, умение осознанно и произвольно строить речевое высказывание.
логические:
построение логической цепи рассуждений, анализ, синтез. выдвижение гипотез и их обоснование.
УУД постановки и решения проблем:
самостоятельное создание способов решения проблем поискового характера.
1) Преподаватель контролирует и корректирует ход исследований в группах.
2) Преподаватель, подходя к каждой группе, задаёт вопросы :
Какие физические величины вы будете оставлять постоянными?
Какие физические величины вы будете изменять?
Какие – измерять?
Какие – вычислять?
T
м.м
. = 2
;
T
пр.м
.= 2
.
Ответы:
Группа №1: Период м.м. не зависит от амплитуды.
Группа №2: Период м.м. не зависит от массы груза.
Группа №3:
Период м.м. зависит прямо пропорционально от кв. корня длины нити.
Т
~
Группа №4: Период пр.м. не зависит от амплитуды.
Группа №5:
Период пр.м. зависит прямо пропорционально от кв. корня массы груза.
Т ~
Группа №6:
Период пр.м. зависит обратно пропорционально от кв. корня жёсткости пружины.
T ~
7. Первичное закрепление во внешней речи
Организовать усвоение обучающимися способа действий при решении данного типа задач с их проговариванием во внешней речи :
Фронтально;
- в парах или группах .
Коммуникативные:
Управление поведением партнера (ов);
Умение выражать свои мысли.
1) На экране в презентации на слайдах проверка полученных экспериментальных данных с эталонным ответом.
2) Изменится ли период и частота колебаний математического маятника при переносе его на Луну, где ускорение свободного падения меньше в 6 раз, чем на Земле? Если изменится, то как? Объясните.
1) Обучающиеся в тетрадях корректируют записи и графики.
2) Период м.м. увеличиться , т.к.период обратно пропорционаленg , а частота уменьшится, т.к. частота прямо пропорциональна g .
8.Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону
1) Организовать самостоятельное выполнение обучающимися типовых заданий на новый способ действия.
2) Организовать соотнесение работы с эталоном для самопроверки .
3) Организовать вербальное сопоставление работы с эталоном для самопроверки (организация пошаговой проверки).
4) По результатам выполнения самостоятельной работы организовать рефлексию деятельности по применению нового способа действия.
Регулятивные:
контроль в форме сравнения способа действия и его результата с заданным эталоном; оценивание качества и уровня усвоения; коррекция.
1) Качественные вопросы по теме (см. слайды презентации).
2) Решение расчётных задач (см. слайды презентации) - самостоятельно :
Начальный уровень -ознакомительный (узнавание ранее изученного);
Достаточный уровень - репродуктивный (выполнение по образцу);
Высокий уровень -продуктивный (самостоятельное решение проблемного задания).
3) На экране слайды презентации для проверки заданий вслух.
1) Устно отвечают вслух.
2) Обучающиеся сами выбирают для себя уровень задания и выполняют его самостоятельно.
9. Включение в систему знаний и повторение
1) Организовать выявление типов заданий, где используется способ действия.
2) Организовать повторение учебного содержания, необходимого для обеспечения содержательной непрерывности.
Регулятивные:
прогнозирование
На экране слайды презентации с опорным конспектом урока. Преподаватель повторяет изученный материал. Корректирует ошибки в ответах обучающихся. Нацеливает обучающихся на разрешение возникших затруднений в учебной деятельности на следующих уроках.
Слайд «Проверь себя»
Обучающиеся слушают и кратко отвечают на вопросы по ходу повторения. Обобщая полученные результаты, обучающиеся самостоятельно формулируют выводы:
- для м.м. период зависит от длины нити и ускорения свободного падения и не зависит от амплитуды колебаний массы груза;
- для пр.м. период зависит от массы груза и жёсткости пружины и не зависит от амплитуды колебаний.
10. Рефлексия учебной деятельности
1) Организовать фиксацию нового содержания , изученного на уроке.
2) Организовать рефлексивный анализ учебной деятельности с точки зрения выполнения требований, известных обучающимся.
3) Организовать оценивание обучающимися собственной деятельности на уроке.
4) Организовать фиксацию неразрешённых затруднений на уроке как направлений будущей учебной деятельности.
5) Организовать запись и обсуждение домашнего задания.
Познавательные:
общеучебные: умение структурировать знания, оценка процесса и результатов деятельности.
Коммуникативные:
умение выражать свои мысли.
Регулятивные:
волевая саморегуляция, оценка – выделение и осознание того, что уже усвоено и что ещё подлежит усвоению, прогнозирование.
1) Анализ и практическое использование полученных знаний.
Где же используется данная зависимость?
(см. Слайд «Это интересно»)
Рефлексия организуется в конце урока при помощи модели «Циферблат» - обучающимся предлагается подрисовать стрелку в том секторе (4 сектора циферблата – «Понял хорошо, могу объяснить другим», «Понял, но решение задач вызывает трудности», «Понятно не все, решение задач вызывает трудности», «Практически ничего не понял») , который, по их мнению, более всего соответствует их уровню познания нового материала. (Данный метод может быть осуществлен на листе тетради).
3) Преподаватель резюмирует большой процент заполнения 1-2 сектора циферблата!
4) Оценки за урок.
5) Запись и обсуждение домашнего задания.
Д/З: Физика 11 кл., стр.53-66, п.18-22, вопросы.
Задание 1: Измерьте свой пульс за 30 секунд. Определите период и частоту вашего сердцебиения.
Задание 2 : Изготовьте из подручных средств математический маятник и определите его период и частоту колебаний.
Ответ: Устройство первых часов было основано на действии математического маятника. Ход этих часов регулировался длиной нити подвеса. С помощью математического маятника очень просто измерить ускорение свободного падения. Значение величины g меняется в зависимости от строения земной коры, от присутствия в ней тех или иных полезных ископаемых, поэтому геологи для разведки залежей до сих пор используют прибор, основанный на зависимости периода колебаний математического маятника от значения g . Маятник использовался для доказательства суточного вращения Земли.
Обучающиеся записывают Д/З.
11. Подведение итога урока
Зафиксировать положительную тенденцию к получению новых знаний .
Ребята, учите физику и старайтесь применять свои знания в жизни на практике. Успехов вам!
www . hrono . info / biograf / imena . html - биографии ученых;В.Ф. Дмитриева ФИЗИКА для профессий и специальностей технического профиля, М., «Академия», 2010;
Глазунов А.Т., Кабардин О.Ф., Малинин А.Н, под редакцией А.А. Пинского ФИЗИКА_учебник для 11 класса с углубленным изучением физики, М., «Просвещение», 2008;
Л.Э. Генденштейн, Ю.И.Дик ФИЗИКА_учебник для 11 класса базового уровня, М., «Илекса»,2008;
Г.Я. Мякишев, Б.Б.Буховцев, В.М.Чаругин _ФИЗИКА_учебник для 11 класса базового и профильного уровня, М., «Просвещение», 2015.
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Колебательные и волновые процессы изучают в одном разделе. Этим подчеркивается большое значение учения о колебаниях в современной науке и технике и то общее, что присуще этим движениям независимо от их природы.
Нужно сказать, что при решении задач этой темы учащимися и абитуриентами делается много ошибок, которые происходят из-за неверного толкования некоторых основных понятий.
В процессе решения задач можно научиться пользоваться соответствующими формулами, осознать те специфические отличия, которые имеет колебательное движение по сравнению с равномерным и равнопеременным.
В этих целях сначала решают задачи по кинематике колебательного движения материальной точки. Как частный, но важный случай этого движения рассматривают движение математического маятника.
Вопросы динамики колебательного движения и превращения энергии углубляют с помощью задач об упругих колебаниях и задач о математическом маятнике.
1. Колебательным движением называют движение, при котором происходит частичная или полная повторяемость состояния системы по времени.
Если значения физических величин, характеризующих данное колебательное движение, повторяются через равные промежутки времени, колебания называют периодическими.
Самым простым колебательным движением является гармоническое колебание материальной точки. Гармоническим называют колебание, в процессе которого величины, характеризующие движение (смещение, скорость, ускорение, сила и т.д.), изменяются с течением времени по закону синуса или косинуса (гармоническому закону).
Гармонические колебания являются простейшими, так что различные периодические процессы могут быть представлены как результат наложения нескольких гармонических колебаний.
рис. 1 (а, б, в)
колебание гармонический электромагнитный маятник
Основные законы гармонических колебаний материальной точки можно установить из сопоставления равномерного кругового движения точки и движения ее проекции на диаметр окружности.
Если точка В , обладающая массой m, равномерно перемещается по окружности радиусом R с угловой скоростью щ (рис. 1а), то ее проекция на горизонтальный диаметр -- точка С совершает гармонические колебания вдоль оси ОХ .
Смещение точки С от начала отсчета О движения -- ее координата х в каждый момент, времени определяется уравнением
где t -- время, прошедшее с начала колебаний; (ц+ц0) -- фаза колебаний, характеризующая положение точки С в момент начала отсчета движения (на чертеже начальная фаза ц0 = 0), xm= R -- амплитуда колебания (иногда ее обозначают буквой А).
Раскладывая вектор линейной скорости и вектор нормального ускорения по осям ОХ и OY рис. 1(б, в), для модулей составляющих и (скорости и ускорения точки С ) получим:
Поскольку
уравнения скорости и ускорения точки, совершающей гармонические колебания, можно представить в виде:
Знак «минус» в последней формуле указывает на то, что ускорение при гармоническом колебании направлено в сторону, противоположную смещению.
Из полученных соотношений следует, что:
а) максимальные значения скорости и ускорения колеблющейся точки равны:
б) скорость и ускорение сдвинуты друг относительно друга на угол.
Там, где скорость наибольшая, ускорение равно нулю, и наоборот.
в) Во всех точках траектории ускорение направлено к центру колебаний -- точке О.
2. Учитывая формулу для ускорения, уравнение второго закона Ньютона для материальной точки, совершающей гармонические колебания, можно представить в виде
где F есть величина равнодействующей всех сил, приложенных к точке, -- величина
возвращающей силы.
Величина возвращающей силы также изменяется по гармоническому закону.
Произведение mщ 2 стоящее в правой части этого уравнения, -- величина постоянная, поэтому материальная точка может совершать гармонические колебания лишь при условии, что в процессе движения возвращающая сила изменяется пропорционально смещению и направлена к положению равновесия, т. е. F = ? k·m .
Здесь k -- постоянный для данной системы коэффициент, который в каждом конкретном случае может быть выражен дополнительной формулой через величины, характеризующие колебательную систему, и в то же время всегда равный mщ 2.
3. Кинетическая энергия гармонически колеблющейся точки равна:
В процессе гармонического колебания сила изменяется пропорционально смещению, поэтому в каждый момент времени потенциальная энергия точки равна:
Полная механическая энергия колеблющейся точки
При гармоническому закону происходит превращение энергии из одного вида в другой.
4. Другой пример получения уравнений гармонических колебаний. Тот факт, что движение вращающейся по окружности материальной точки происходит по синусоидальному закону, наглядно демонстрирует рис. 2. Здесь по оси абсцисс откладывается время колебания, а по оси ординат -- значения проекции радиуса-вектора движущейся точки в соответсвующий момент времени.
В случае движения проекции точки по оси OY уравнение колебательного движения запишется так:
Отсчет времени и измерение y и ведется с момента прохождения тела через положение равновесия (при t = 0 х = 0).
При движения проекции точки по оси OX уравнение запишется в виде
отсчет времени ведется с момента наибольшего отклонения тела от положения равновесия, которое также принимают за начало отсчета (при t = 0 х = х m). Так, например, поступают, когда подсчитывают время и число колебаний маятника, поскольку трудно зафиксировать его положение в средней точке, где он имеет максимальную скорость.
Теперь, применив понятие производной функции, можно найти скорость тела.
Дифференцируя уравнение (1) по времени t (первая производная), получим выражение для скорости тела (материальной точки):
Дифференцируя полученное выражение еще раз по времени t (вторая производная), определим ускорение колеблющейся точки:
Как показывает практика, учащиеся трудно усваивают понятие о круговой частоте.
Из этого выражения следует, что круговая частота равна числу колебаний, совершаемых материальной точкой за секунд.
Нужно обратить внимание на то, что под знаком тригонометрической функции всегда стоит фаза колебаний.
Фаза колебаний определяет величину смещения в момент времени t, начальная фаза определяет величину смещения в момент начала отсчета времени (t = 0).
Иногда абитуриенты, рассматривая колебания математического маятника, называют фазой угол отклонения нити от вертикали и тем самым делают ошибку. В самом деле, если представлять себе фазу как угол, то как, например, можно увидеть этот угол в случае гармонических колебаний груза на пружине?
Фаза колебаний -- это угловая мера времени, прошедшего от начала колебаний. Любому значению времени, выраженному в долях периода, соответствует значение фазы, выраженное в угловых единицах. Ниже в таблице указано соответствие значения фазы ц значению времени t (считаем, что ц0 = 0).
Смещение х, скорость и ускорение а могут иметь одно и то же значение при разных углах или времени t, так как они выражаются циклическими функциями.
При решении задач, если это специально не оговаривается, за угол можно принимать его наименьшее значение.
5. Уравнения колебательного движения остаются одинаковыми для колебаний любой природы, и для электромагнитных колебаний в том числе.
В этом случае можно рассматривать, например, колебания величины заряда (q i), э.д.с. (e i), силы тока (i ), напряжения (u ), магнитного потока (Ф i) и др. При этом в левой части уравнений стоят мгновенные значения указанных величин.
Частота и период электромагнитных колебаний колебаний (формула Томсона):
Волновым движением называется процесс распространения колебаний в среде. Частицы среды, в которой распространяется волна, не переносятся вместе с волной, а лишь совершают колебания около своего положения равновесия.
В поперечной волне они колеблются в направлениях, перпендикулярных к направлению распространения волны, в продольной -- вдоль направления распространения волны.
Распространяясь в среде, волна переносит с собой энергию от источника колебаний.
Механические поперечные волны могут возникать только в твердой среде.
Возникновение продольных волн возможно в твердой, жидкой и газообразной средах.
Параметрами волн являются: энергия, длина волны л (лямбда), частота н (ню), период колебаний T , скорость х.
1. Волнам присущи одинаковые свойства и явления: отражение от границы раздела двух сред, в которых распространяется волна, преломление -- изменение направления волны при после ее прохождения границы раздела двух сред, интерференция -- явление наложение волн, в результате которого происходит усиление или ослабление колебаний, дифракция -- явление огибания волнами препятствий или отверстий.
Условием возникновения интерференции является когерентность волн -- они должны иметь одинаковую частоту колебаний и постоянную разность фаз этих колебаний.
Условие максимумов (усиления волн):
Максимумы колебаний при интерференции возникает в тех точках среды, для которых в разности хода волн укладывается четное число полуволн.
Условие минимумов (ослабление волн):
Минимумы колебаний при интерференции возникает в тех точках среды, для которых в разности хода волн укладывается нечетное число полуволн.
Гармонические колебания
1. Напишите уравнение гармонических колебаний, если частота равна 0,5 Гц, амплитуда 80 см. Начальная фаза колебаний равна нулю.
2. Период гармонических колебаний материальной точки равен 2,4 с, амплитуда 5 см, начальная фаза равна нулю. Определите смещение колеблющейся точки через 0,6 с после начала колебаний.
З. Напишите уравнение гармонических колебаний, если амплитуда равна 7 см и за 2 мин совершается 240 колебаний. Начальная фаза колебаний равна р /2 рад.
4. Вычислите амплитуду гармонических колебаний, если для фазы р /4 рад смещение равно 6 см.
5. Напишите уравнение гармонических колебаний, если за 1 мин совершается 60 колебаний; амплитуда равна 8 см, а начальная фаза 3·р /2 рад.
6. Амплитуда колебаний равна 12 см, частота 50 Гц. Вычислите смещение колеблющейся точки через 0,4 с. Начальная фаза колебаний равна нулю.
7. Уравнение гармонических колебаний тела x = 0,2·cos(рt) в (СИ). Найдите амплитуду, период, частоту и циклическую частоту. Определите смещение тела через 4 с; 2 с.
Колебания математического маятника и груза на пружине
1. Математический маятник (см. рис.) совершает колебания с амплитудой 3 см. Определите смещение маятника за время, равное Т/2 и Т. Начальная фаза колебаний равна р рад.
Какие превращения энергии совершаются при движении математического маятника из крайнего левого положения к положению равновесия?
Ответ: Кинетическая энергия маятника увеличивается, потенциальная уменьшается. В положении равновесия маятник обладает максимальной кинетической энергией
2. Груз на пружине (см. рис.) совершает колебания с амплитудой 4 см. Определите смещение груза за время, равное Т/2 и Т. Начальная фаза колебаний равна нулю.
Как направлены ускорение и скорость математического маятника при его движении из крайнего правого положения к положению равновесия?
3. На вращающемся диске укреплен шарик. Какое движение совершает тень шарика на вертикальном экране?
Определите смещение тени шарика за время, равное Т/2 и Т, если расстояние от центра шарика до оси вращения равно 10 см. Начальная фаза колебания тени шарика равна р рад.
4. Математический маятник за Т/2 смещается на 20 см. С какой амплитудой колеблется маятник? Начальная фаза колебаний равна р.
5. Груз на пружине за Т/2 смещается на 6 см. С какой амплитудой колеблется груз? Начальная фаза колебаний равна р рад.
Какой из двух маятников, изображенных на рисунке, колеблется с большей частотой?
6. По какой траектории будет двигаться шарик, если пережечь нить в момент прохождения маятником положения равновесия?
Что можно сказать о периоде колебаний маятников, изображенных на рисунке (m2 > m1)?
7. Первый маятник Фуко (1891, Париж) имел период колебаний 16 с Определите длину маятника. Примите g = 9,8 м/с2.
8. Два маятника, длины которых отличаются на 22 см, совершают в одном и том же месте Земли за некоторое время один 30 колебаний, другой 36 колебаний. Найдите длины маятников.
9. Груз массой 200 г совершает колебания на пружине с жесткостью 500 Н/м. Найдите частоту колебаний и наибольшую скорость движения груза, если амплитуда колебаний 8 см.
10. Определите ускорение свободного падения на Луне, если маятниковые часы идут на ее поверхности в 2,46 раза медленнее, чем на Земле.
11. Пружина под действием груза удлинилась на 1 см. Определите, с каким периодом начнет совершать колебания этот груз на пружине, если его вывести из положения равновесия.
12. Под действием подвешенного тела пружина удлинилась на.
Докажите, что период вертикальных колебаний этого груза равен
13. Груз висит на пружине и колеблется с периодом 0,5 с. На сколько укоротится пружина, если снять с нее груз?
14. Пружина под действием прикрепленного к ней груза массой 5 кг, совершает 45 колебаний в минуту. Найдите коэффициент жесткости пружины.
15. На сколько уйдут часы за сутки, если их перенести с экватора на полюс?
(gэ= 978 см/с2, gп= 983 см/с2.)
16. Часы с маятником длиной 1 м за сутки отстают па 1 ч. Что надо сделать с длиной маятника, чтобы часы не отставали?
17. Для определения на опыте ускорения свободного падения заставили колебаться груз на нити, при этом он совершил 125 колебаний за 5 мин. Длина маятника равна 150 см. Чему равно g?
Электромагнитные колебания
Период, частота, напряжение, ЭДС, сила переменного электрического тока
1. По графику, изображенному на рисунке, определите амплитуду ЭДС, период тока и частоту. Напишите уравнение ЭДС.
2. По графику, изображенному на рисунке, определите амплитуду напряжения, период и значение напряжения для фазы рад.
3. По графику, изображенному на рисунке, определите амплитуду силы тока, период и частоту. Напишите уравнение мгновенного значения силы переменного тока.
4. Значение напряжения, измеренное в вольтах, задано уравнением, где t выражено в секундах. Чему равна амплитуда напряжения, период и частота?
5. Мгновенное значение силы переменного тока частотой 50 Гц равно 2 А для фазы р/4 рад. Какова амплитуда силы тока? Найдите мгновенное значение силы тока через 0,015 с, считая от начала периода.
6. Мгновенное значение ЭДС переменного тока для фазы 60° равно 120 В. Какова амплитуда ЭДС? Чему равно мгновенное значение ЭДС через 0,25 с, считая от начала периода? Частота тока 50 Гц.
Механические и электромагнитные волны
1. Почему морские волны увеличивают свою высоту, приближаясь к берегу?
2. Определите длину волны по следующим данным: a) х = 40 м/с, Т = 4 с; б) х = 340 м/с, н = 1 кГц.
3. Определите скорость распространения волны, если ее длина 150 м, а период 12 с. На каком расстоянии находятся ближайшие точки волны, колеблющиеся в противоположных фазах?
4. Какой частоте камертона соответствует звуковая волна в воздухе длиной 34 м? Скорость звука в воздухе равна 340 м/с.
5. На земле услышан гром через 6 с после наблюдения молнии. На каком расстоянии от наблюдателя возникла молния?
6. Радиопередатчик искусственного спутника Земли работает на частоте 20 МГц. Какова длина волны передатчика?
7. На какой частоте должен работать радиопередатчик корабля, передающий сигнал бедствия «SOS», если по международному соглашению этот сигнал передается на волне длиной 600 м?
Источники
1. Балаш В.А. "Задачи по физике и методы их решения". Пособие для учителей. М., "Просвещение", 1974.
2. Мартынов И.М., Хозяинова Э.М., В.А. Буров "Дидактический материал по физике 10 кл." М., "Просвещение", 1980.
3. Марон А.Е., Мякишев Г.Я. "Физика". Учебное пособие для 11 кл. вечерней (заоч.) средн. шк. и самообразования. М., "Просвещение", 1992.
4. Савченко Н.Е. "Ошибки на вступительных экзаменах по физике" Минск, "Вышейшая школа" , 1975.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Свободные, вынужденные, параметрические и затухающие колебания, автоколебания. Понятие математического и пружинного маятника. Вывод формулы для расчета периода пружинного маятника. Механические колебания и волны. Циклическая частота и фаза колебания.
презентация , добавлен 12.09.2014
Единый подход к изучению колебаний различной физической природы. Характеристика гармонических колебаний. Понятие периода колебаний, за который фаза колебания получает приращение. Механические гармонические колебания. Физический и математический маятники.
презентация , добавлен 28.06.2013
Понятие и физическая характеристика значений колебаний, определение их периодического значения. Параметры частоты, фазы и амплитуды свободных и вынужденных колебаний. Гармонический осциллятор и состав дифференциального уравнения гармонических колебаний.
презентация , добавлен 29.09.2013
Анализ уравнения движения математического маятника. Постановка прямого вычислительного эксперимента. Применение теории размерностей для поиска аналитического вида функции. Разработка программы с целью нахождения периода колебаний математического маятника.
реферат , добавлен 24.08.2015
Колебания - один из самых распространенных процессов в природе и технике. Процесс распространения колебаний среди множества взаимосвязанных колебательных систем называют волновым движением. Свойства свободных колебаний. Понятие волнового движения.
презентация , добавлен 13.05.2010
Определения и классификация колебаний. Способы описания гармонических колебаний. Кинематические и динамические характеристики. Определение параметров гармонических колебаний по начальным условиям сопротивления. Энергия и сложение гармонических колебаний.
презентация , добавлен 09.02.2017
Законы изменения параметров свободных затухающих колебаний. Описание линейных систем дифференциальными уравнениями. Уравнение движения пружинного маятника. Графическое представление вынужденных колебаний. Резонанс и уравнение резонансной частоты.
презентация , добавлен 18.04.2013
Свободные, гармонические, упругие, крутильные и вынужденные колебания, их основные свойства. Энергия колебательного движения. Определение координаты в любой момент времени. Явления резонанса, примеры резонансных явлений. Механизмы колебаний маятника.
реферат , добавлен 20.01.2012
Классификация колебаний по физической природе и по характеру взаимодействия с окружающей средой. Амплитуда, период, частота, смещение и фаза колебаний. Открытие Фурье в 1822 году природы гармонических колебаний, происходящих по закону синуса и косинуса.
презентация , добавлен 28.07.2015
Исследование понятия колебательных процессов. Классификация колебаний по физической природе и по характеру взаимодействия с окружающей средой. Определение амплитуды и начальной фазы результирующего колебания. Сложение одинаково направленных колебаний.
Математический маятник – это модель обычного маятника. Под математическим маятником – понимается материальная точка, которая подвешена на длинной невесомой и нерастяжимой нити.
Выведем шарик из положения равновесия и отпустим. На шарик будут действовать две силы: сила тяжести и сила натяжения нити. При движении маятника, на него еще будет действовать сила трения воздуха. Но мы будем считать её очень маленькой.
Разложим силу тяжести на две составляющих: силу, направленную вдоль нити, и силу направленную перпендикулярно касательной к траектории движения шарика.
Эти две силы составят в сумме силу тяжести. Силы упругости нити и составляющая силы тяжести Fn сообщают шарику центростремительное ускорение. Работа этих сил будет равняться нулю, и следовательно они будут лишь менять направление вектора скорости. В любой момент времени, он будет направлен по касательной к дуге окружности.
Под действием составляющей силы тяжести Fτ шарик будет двигаться по дуге окружности с нарастающей по модулю скоростью. Значение этой сила всегда изменяется по модулю, при прохождении положения равновесия она равняется нулю.
Динамика колебательного движения
Уравнение движения тела, колеблющегося под действием силы упругости.
Общее уравнение движения:
Колебания в системе происходят под действием силы упругости, которая согласно закону Гука прямо пропорциональна смещению груза
Тогда уравнение движения шарика примет следующий вид:
Разделим это уравнение на m, получим следующую формулу:
И так как масса и коэффициент упругости величины постоянные, то и отношение (-k/m) тоже будет постоянное. Мы получили уравнение, которые описывают колебания тела под действием силы упругости.
Проекция ускорения тела будет прямо пропорциональна его координате, взятой с противоположным знаком.
Уравнение движения математического маятника
Уравнение движения математического маятника описывается следующей формулой:
Это уравнение имеет такой же вид, что и уравнение движения груза на пружине. Следовательно, колебания маятника и движения шарика на пружине происходят одинаковым образом.
Смещение шарика на пружине и смещение тела маятника от положения равновесия изменяются со временем по одинаковым законам.