Главная
По картинам
Гипотеза Римана. Распределение простых чисел

Гипотеза Римана. Распределение простых чисел

Отрывок из книги «Величайшие математические задачи» заслуженного профессора математики Уорикского университета, известного популяризатора науки Иэна Стюарта о важнейших нерешенных математических задачах и их месте в общем контексте математики и естественных наук.


В 1859 году немецкий математик Бернхард Риман взял давнюю идею Эйлера и развил ее совершенно по-новому, определив так называемую дзета-функцию. Одним из результатов этой работы стала точная формула для количества простых чисел до заданного предела. Формула представляла собой бесконечную сумму, но специалистам по анализу к этому не привыкать. И это не было бесполезной игрой ума: благодаря этой формуле удалось получить новые подлинные знания о мире простых чисел. Мешала только одна маленькая неувязка. Хотя Риман мог доказать, что его формула точна, самые важные потенциальные следствия из нее полностью зависели от одного простого утверждения, касающегося дзета-функции, и вот это то простое утверждение Риман никак не мог доказать. И сегодня, полтора столетия спустя, мы все еще не сумели сделать это. Сегодня это утверждение называется гипотезой Римана и представляет собой, по сути, священный Грааль чистой математики.

Теорема о распределении простых чисел была ответом на евклидову теорему о том, что простые числа уходят в бесконечность и могут быть сколь угодно большими. Другая фундаментальная евклидова теорема говорит о единственности разложения на простые множители: каждое положительное целое число есть произведение простых чисел, причем только одного их набора. В 1737 году Эйлер понял, что первую теорему можно переформулировать в виде поразительной формулы из действительного анализа, и тогда второе утверждение становится простым следствием этой формулы. Для начала я представлю формулу, а затем попытаюсь разобраться в ней. Вот она:


Здесь принимает все простые значения, а - константа. Эйлера интересовал в основном случай, при котором - целое число, но его формула работает и для действительных чисел, в случае если больше единицы. Это условие необходимо для того, чтобы ряд в правой части сошелся, т. е., будучи продолжен до бесконечности, принял бы осмысленное значение.

Это необыкновенная формула. В левой части мы перемножаем бесконечно много выражений, которые зависят только от простых чисел. В правой - складываем бесконечное число выражений, которые зависят от всех положительных целых чисел. Эта формула выражает, на языке анализа, некоторое отношение между целыми и простыми числами. Главное отношение такого рода - это единственность разложения на простые множители, именно она оправдывает существование формулы.

Вот теперь сцена была готова к появлению Римана. Он тоже понял, что дзета-функция - это ключ к теореме о распределении простых чисел, но для реализации этого подхода ему пришлось предложить смелое расширение: определить дзета-функцию не только действительной, но и комплексной переменной. А начать можно с ряда Эйлера. Он сходится для любых действительных больше единицы, и если использовать для комплексного в точности ту же формулу, то ряд будет сходиться при любых , у которых действительная часть больше . Однако Риман обнаружил, что можно сделать и лучше. Применив процедуру так называемого аналитического продолжения, он расширил определение на все комплексные числа, за исключением . Это значение s исключено потому, что при значение дзета-функции становится бесконечным.

В 1859 году Риман собрал все свои мысли о дзета-функции в одну статью, заголовок которой можно перевести как «О количестве простых чисел, не превышающих заданной величины». В ней он привел полную и точную формулу . Я опишу более простую формулу, эквивалентную римановой, чтобы показать, как появляются нули дзета-функции. Идея заключается в том, чтобы подсчитать, сколько простых чисел, или степеней простых чисел, укладывается до любого заданного предела. Однако вместо того чтобы сосчитать каждое число по одному разу, как функция делает с простыми числами, мы придаем большим простым числам дополнительный вес. Более того, любая степень простого числа учитывается в соответствии с логарифмом этого простого числа. Так, для предела мы имеем следующие степени простых чисел:

Поэтому взвешенный подсчет дает

Что составляет примерно .

Воспользовавшись методами анализа, информацию об этом более хитроумном способе подсчета простых чисел можно превратить в информацию об обычном способе. Однако этот метод приводит к более простым формулам, и присутствие логарифма - не слишком дорогая цена за это. В этих терминах точная формула Римана говорит о том, что взвешенный подсчет до предела эквивалентен


где обозначает сумму по всем числам , для которых равна нулю, исключая отрицательные четные целые числа. Эти значения называются нетривиальными нулями дзета-функции. Тривиальные нули - это отрицательные четные целые числа Во всех этих точках дзета-функция равняется нулю из за формулы, которая используется в определении аналитического продолжения, но, как выяснилось, для римановой формулы эти нули несущественны (как и почти везде в других местах).

На случай, если формула вас немного пугает, я укажу главное: хитрый способ подсчета простых чисел до заданного предела , который при помощи кое каких аналитических фокусов можно превратить в обычный способ, в точности эквивалентен сумме по всем нетривиальным нулям дзета-функции простого выражения плюс некая несложная функция от . Если вы специалист по комплексному анализу, вы сразу увидите, что доказательство теоремы о распределении простых чисел эквивалентно доказательству того, что взвешенный подсчет до предела асимптотически сходится к . Воспользовавшись комплексным анализом, получим: это утверждение верно, если у всех нетривиальных нулей дзета-функции действительная часть лежит между и . Чебышев не смог этого доказать, но подошел достаточно близко, чтобы извлечь полезную информацию.

Почему нули дзета-функции так важны? Одна из базовых теорем комплексного анализа утверждает, что при некоторых формальных условиях функция комплексной переменной полностью определяется значениями переменной, при которых функция равна нулю или бесконечности, плюс некоторая дополнительная информация о поведении функции в этих точках. Эти особые точки известны как нули и полюсы функции. В действительном анализе эта теорема не работает - и это одна из причин, по которым комплексный анализ завое­вал такую популярность, несмотря на необходимость извлекать корень квадратный из . У дзета-функции один полюс (при ), так что все ее характеристики определяются нулями (если, конечно, не забывать о существовании этого единственного полюса).

Для удобства Риман работал в основном с зависимой кси-функцией , которая тесно связана с дзета-функцией и получается из метода аналитического продолжения. Он заметил:

«Весьма вероятно, что все [нули кси-функции] действительны. Хотелось бы, конечно, иметь строгое доказательство этого факта, но после нескольких бесплодных попыток я отложил поиск такого доказательства, поскольку этого не требуется для непосредственных целей моего исследования».


Это заявление о кси-функции эквивалентно аналогичному заявлению о зависимой от нее дзета-функции. А именно: все нетривиальные нули дзета-функции представляют собой комплексные числа вида: они лежат на критической линии «действительная часть равна » (см. рис.). Эта версия замечания и есть знаменитая гипотеза Римана.

Замечание Римана звучит достаточно небрежно, как будто высказано между делом и эта гипотеза не имеет особого значения. И это действительно так, если говорить только о программе Римана по доказательству теоремы о распределении простых чисел. Но во многих других вопросах верно обратное. Многие считают гипотезу Римана важнейшим из остающихся на сегодняшний день открытыми математических вопросов.

Чтобы понять, почему это так, мы должны последовать за рассуждениями Римана чуть дальше. В тот момент ученый был нацелен на теорему о распределении простых чисел. Его точная формула предлагала верный путь к этому достижению: нужно было разобраться в нулях дзета-функции или эквивалентной ей кси-функции. Полная риманова гипотеза для этого не нужна, достаточно доказать, что у всех нетривиальных нулей дзета-функции действительная часть лежит в промежутке от до , т. е. что сами комплексные корни лежат на расстоянии не более от римановой критической линии - в так называемой критической полосе. Это свойство нулей подразумевает, что сумма по всем нулям дзета-функции, фигурирующая в приведенной выше точной формуле, представляет собой конечную константу. Асимптотически для больших она вообще может потеряться. Единственный член формулы, который сохранит свое значение при очень больших , это сам . Все остальные сложные слагаемые асимптотически пропадают в сравнении с . Следовательно, взвешенная сумма асимптотически стремится к , и это доказывает теорему о распределении простых чисел. Так что, по иронии судьбы, роль нулей дзета-функции заключается в том, чтобы доказать, что они не вносят существенного вклада в точную формулу.

Риман так и не довел свою программу до логического конца. Более того, он никогда больше ничего не писал по этому вопросу.

Но два других математика, приняв у него эстафету, показали, что догадка Римана верна. В 1896 году Жак Адамар и Шарль-Жан де ла Валле Пуссен независимо друг от друга вывели теорему о распределении простых чисел, доказав, что все нетривиальные нули дзета-функции лежат в пределах критической полосы. Доказательства у обоих получились очень сложными и техничными, но тем не менее свою задачу они выполнили. Возникла новая мощная область математики - аналитическая теория чисел. Применение ей нашлось в самых разных уголках теории чисел: с ее помощью решали давние задачи и выявляли новые закономерности. Другие математики позже нашли несколько более простых доказательств теоремы о числе простых, а Атле Сельберг и Пал Эрдеш открыли даже очень сложное доказательство, вовсе не требовавшее применения комплексного анализа. Но к тому моменту при помощи идеи Римана было доказано бесчисленное множество важных теорем, включая аппроксимации многих функций теории чисел. Так что это новое доказательство хоть и добавило в эту историю каплю иронии, но ни на что, в сущности, не повлияло. В 1980 году Дональд Ньюман нашел гораздо более простое доказательство, для которого достаточно оказалось всего лишь одной из самых базовых теорем комплексного анализа - теоремы Коши.

Хотя Риман объявил свою гипотезу ненужной для достижения ближайших целей, оказалось, что она жизненно необходима для разрешения многих других вопросов теории чисел. Прежде чем обсуждать гипотезу Римана, нам стоит взглянуть на некоторые теоремы, которые - если бы гипотеза была доказана - из нее следуют.

Одно из важнейших следствий - это величина погрешности в теореме о распределении простых чисел. Теорема, как вы помните, утверждает, что для большого отношение к приближается к , причем чем дальше, тем сильнее. Иными словами, разница между двумя функциями снижается до нуля относительно величины x. Однако реальная разница при этом может расти (и растет). Просто она делает это медленнее, чем растет сам . Компьютерные расчеты позволяют предположить, что величина погрешности примерно пропорциональна . Если гипотеза Римана верна, это утверждение можно доказать. В 1901 году Хельге фон Кох доказал, что гипотеза Римана логически эквивалентна оценке


для всех . Здесь вертикальными линиями обозначена абсолютная величина: разность, умноженная на , чтобы сделать ее положительной. Эта формула дает наилучшие возможные ограничения для разницы между и .

Из гипотезы Римана можно получить немало других оценок для функций теории чисел. К примеру, из нее прямо следует, что сумма делителей меньше


для всех , где - постоянная Эйлера (). Эти утверждения могут показаться случайными и странными фактами, но хорошая оценка для важной функции жизненно важна во многих приложениях, и большинство специалистов по теории чисел отдали бы свою правую руку ради того, чтобы доказать любую из них.

Кроме того, гипотеза Римана говорит нам, насколько велико может быть расстояние между последовательными простыми числами. Типичный размер промежутка между ними можно вывести на основании теоремы о распределении простых чисел: в среднем промежуток между простым числом и следующим простым числом сравним с . Некоторые промежутки могут быть меньше, некоторые больше, но математикам жилось бы легче, если бы можно было сказать наверняка, насколько велики могут быть самые большие из них. Харальд Крамер доказал в 1936 г., что если гипотеза Римана верна, то промежуток при простом числе не может превышать величины , домноженной на некую константу.

Но подлинное значение гипотезы Римана куда глубже. Существуют далеко идущие обобщения и сильное подозрение, что тот, кто сумеет доказать гипотезу Римана, сможет, вероятно, доказать и связанную с ней обобщенную гипотезу Римана. А это, в свою очередь, даст математикам власть над обширными областями теории чисел.

Обобщенная гипотеза Римана вырастает из более подробного описания простых чисел. Все простые числа, кроме двойки, нечетные, и в главе 2 мы видели, что все нечетные простые можно разделить на два типа: те, что на больше числа, кратного , и те, что на больше числа, кратного . Говорят, что это числа вида или , где - число, на которое вы умножаете , чтобы получить данное простое число. Приведем короткий список первых нескольких простых чисел того и другого типа, вместе с соответствующими числами, кратными :


Прочерки указывают на то, что соответствующее число не простое.

Сколько существует простых чисел того и другого типа? Как они распределены среди всех простых чисел или среди всех целых чисел? Евклидово доказательство того факта, что простых чисел существует бесконечно много, можно без больших усилий модифицировать, доказав при этом, что существует бесконечно много простых чисел вида .

Доказать, что простых чисел вида тоже бесконечно много, гораздо сложнее, - это можно сделать, но лишь при помощи некоторых достаточно сложных теорем. Разница в подходах обусловлена тем, что любое число вида имеет делитель того же вида, а в отношении чисел вида это не всегда верно.

В числах этих двух видов нет ничего чудесного или священного. Все простые числа, кроме и , имеют вид или , и мы можем задать в отношении них аналогичные вопросы. Если уж на то пошло, все простые числа, кроме , имеют вид , , , . Мы оставляем в стороне числа вида , поскольку они кратны и, соответственно, все, кроме , не являются простыми.

Кстати говоря, на любой из подобных вопросов нетрудно выдвинуть разумное предположение - простые числа в арифметической последовательности. Случай с достаточно типичен. Эксперимент быстро показывает, что числа приведенных выше четырех видов имеют примерно равные шансы оказаться простыми. Вот похожая таблица:


Так что должно существовать бесконечное количество простых чисел каждого вида, и в среднем к каждому виду должна относиться четверть всех простых чисел до заданного предела.

Для некоторых видов доказать, что простых чисел такого вида существует бесконечно много, совсем несложно. Для других видов требуются более изощренные рассуждения. Но до середины XIX века никому не удавалось доказать, что существует бесконечно много простых чисел каждого возможного вида, не говоря уже о том, чтобы доказать их более или менее равномерное распределение. Лагранж в 1785 году в работе, посвященной закону квадратичной взаимности - глубокому свойству квадратов простых модулей, - принимал этот факт без доказательства. Результаты дали очевидно полезные следствия, и пора было кому-нибудь это доказать. В 1837 году Дирихле выяснил, как применить идеи Эйлера, связанные с теоремой о распределении простых чисел, для доказательства обоих этих утверждений. Первым делом следовало определить аналоги дзета-функции для этих типов простых чисел. То, что получилось, называется -функциями Дирихле. К примеру, в случае возникает следующая функция:

Где коэффициенты равны для чисел вида , для чисел вида и 0 для остальных. Греческую букву называют характером Дирихле, и это напоминает нам о том, какие именно знаки следует использовать.

Для римановой дзета-функции важен не только ряд, но и его аналитическое продолжение, придающее функции значения во всех комплексных точках.

То же относится и к -функции, и Дирихле определил подходящее аналитическое продолжение. Приспособив к случаю идеи, которые использовались для доказательства теоремы о распределении простых чисел, он сумел доказать аналогичную теорему о простых числах особых видов. К примеру, число простых чисел вида , меньших или равных , асимптотически приближается к ; то же относится и к остальным трем случаям , , . Это означает, что простых чисел каждого вида бесконечно много.

Риманова дзета-функция - это особый случай -функции Дирихле для простых чисел вида , т. е. для всех простых чисел. Обобщенная гипотеза Римана представляет собой очевидное обобщение оригинальной гипотезы: нули любой -функции Дирихле либо имеют действительную часть, равную , либо являются тривиальными нулями, действительная часть которых отрицательна или больше единицы.

Если обобщенная гипотеза Римана верна, то верна и обычная его гипотеза. Многие следствия обобщенной гипотезы Римана аналогичны следствиям обычной. К примеру, схожие границы ошибки можно доказать для аналогичных версий теоремы о распределении простых чисел в применении к простым числам любого конкретного вида. Однако обобщенная гипотеза Римана подразумевает много такого, что совершенно отличается от всего, что мы можем вывести из обычной гипотезы Римана. Так, в 1917 году Годфри Харди и Джон Литтлвуд доказали, что из обобщенной гипотезы Римана следует гипотеза Чебышева, в том смысле, что (буквально) простые числа вида встречаются чаще, чем числа вида . Согласно теореме Дирихле, оба вида равновероятны в конечном итоге, но это не мешает простым числам вида выигрывать у чисел , конечно, в правильной игре.

Имеется множество косвенных свидетельств того, что гипотеза Римана - как оригинальная, так и обобщенная - справедлива. Много хорошего следовало бы из истинности этих гипотез. Ни одно из этих следствий за все время не удалось опровергнуть, а ведь сделать это - то же самое, что опровергнуть гипотезу Римана. Но ни доказательства, ни опровержения пока нет. Широко распространено мнение, что доказательство оригинальной гипотезы Римана открыло бы дорогу и к доказательству обобщенного ее варианта. Но на самом деле, возможно, лучше было бы атаковать сразу обобщенную гипотезу Римана во всей ее грозной красе - воспользоваться всем арсеналом доступных на сегодняшний день методов, доказать, а затем вывести оригинальную гипотезу Римана как ее частный случай.

Сегодня у исследователей появился новый стимул к борьбе за доказательство гипотезы Римана: крупный приз.

В математике не существует Нобелевской премии. Самой престижной наградой в этой области является Филдсовская премия за выдающиеся открытия, вместе с которой вручается медаль. Эта премия названа в честь канадского математика Джона Филдса, который и завещал на нее средства. Раз в четыре года на Международном конгрессе математиков двум, трем или четырем молодым ученым не старше 40 лет вручают золотую медаль и денежную премию (в настоящее время это $15 000).

Многие представители математической науки считают правильным, что в их области не присуждается Нобелевская премия. В настоящее время она составляет чуть больше миллиона долларов, а такая сумма легко может исказить цели исследователей и породить споры о приоритетах. Однако отсутствие крупной математической премии также может исказить представления общества о значимости и полезности этой науки. Можно подумать, что открытия, за которые никто не хочет платить, не так уж важны. Возможно, поэтому не так давно появились две очень престижные новые математические премии. Одна из них - Абелевская - присуждается ежегодно Норвежской академией науки и словесности и названа в честь великого норвежского математика Нильса Хенрика Абеля. Вторая награда - это премии за решение семи «проблем тысячелетия», объявленные Математическим институтом Клэя. Этот институт основали в 1998 году в Кембридже (штат Массачусетс) американский бизнесмен Лэндон Клэй и его жена Лавиния. Лэндон Клэй активно занимается паевыми инвестиционными фондами и при этом любит и уважает математику. Его организация проводит встречи, выделяет гранты на исследования, организует публичные лекции и присуждает ежегодную премию за математические исследования.

В 2000 году сэр Майкл Атья и Джон Тейт, ведущие математики Великобритании и США, объявили, что Математический институт Клэя учредил новую премию, которая должна будет стимулировать работу над семью важнейшими нерешенными задачами математики. Эти задачи будут известны как «проблемы тысячелетия», а надлежащим образом опубликованное и отреферированное решение любой из них будет вознаграждено денежной суммой в $1 млн. Все вместе эти задачи призваны привлечь внимание к некоторым центральным для математики вопросам, до сих пор не имеющим ответов. Вопросы эти были тщательно отобраны лучшими математиками мира. Немалый приз должен ясно показать обществу: математика имеет огромную ценность. Всякий, кто имеет отношение к науке, прекрасно знает, что интеллектуальная ценность вполне может быть выше любых денег, но все же деньги помогают сосредоточиться. Самой известной и давней из задач тысячелетия является гипотеза Римана. Это единственный вопрос, который вошел одновременно и в список Гильберта (1900), и в список задач тысячелетия. Остальные шесть проблем тысячелетия обсуждаются далее в главах 10–15. Тем не менее математики не особенно гонятся за призами, и работа над гипотезой Римана продолжалась бы и без обещанной премии. Все, что для этого нужно, - новая перспективная идея.

Стоит также помнить о том, что гипотезы, даже освященные временем, иногда оказываются ошибочными. Сегодня большинство математиков, судя по всему, считает, что когда-нибудь гипотеза Римана будет доказана. Некоторые, однако, думают, что она, возможно, все-таки неверна, и где-то в дебрях очень больших чисел может скрываться нуль дзета-функции, который не лежит на критической линии. Если такой «контрпример» существует, то он, скорее всего, окажется очень-очень большим.

Однако на переднем крае математики просто мнение стоит немного. Интуиция зачастую очень помогает ученым, но известно немало случаев, когда это замечательное чувство ошибалось. Житейский здравый смысл может лгать, оставаясь при этом и общепризнанным, и здравым. Литтлвуд, один из лучших знатоков комплексного анализа, выразился вполне однозначно: в 1962 году он сказал, что уверен в ошибочности гипотезы Римана, и добавил, что нет никаких мыслимых причин, по которым она была бы верна. Кто прав? Поживем, увидим.

Иэн Стюарт
Emeritus Professor of Mathematics at the University of Warwick, England

Решение на 15 строк представил известный ученый из Великобритании сэр Майкл Фрэнсис Атья (Michael Francis Atiyah ), лауреат престижных математических премий. В основном он работает в области математической физики. Science сообщает , что о своем открытии Атья рассказал на конференции Heidelberg Laureate Forum в Гейдельбергском университете в понедельник.

Гипотезу Римана сформулировал, как можно догадаться, Бернхард Риман в 1859 году. Математик ввел понятие дзета-функции - функции для комплексного переменного - и описал с ее помощью распределения простых чисел. Первоначально проблема с простыми числами заключалась в том, что они просто распределены по ряду натуральных чисел без какой-либо видимой закономерности. Риман предложил свою функцию распределения простых чисел, не превосходящих x, но объяснить, почему возникает зависимость, не смог. Над решением этой проблемы ученые бьются уже почти 150 лет.

Гипотеза Римана входит в список « » (Millennium Prize Problems), за решение каждой из которых полагается награда в миллион долларов. Из этих задач решена только одна - гипотеза Пуанкаре. Ее решение предложил российский математик еще в 2002 году в серии своих работ. В 2010-м ученому присудили премию, но он от нее отказался.

Майкл Атья утверждает, что объяснил выявленную Риманом закономерность. В своем доказательстве математик опирается на фундаментальную физическую постоянную - постоянную тонкой структуры, которая описывает силу и природу электромагнитных взаимодействий между заряженными частицами. Описывая эту постоянную с использованием относительно малоизвестной функции Тодда, Атья нашел решение гипотезы Римана от противного.

Научное сообщество не спешит принимать предложенное доказательство. Так, например, экономист из Норвежского университета естественных и технических наук Йорген Висдал (Jørgen Veisdal ), ранее изучавший гипотезу Римана, заявил, что решение Атьи «слишком туманное и неопределенное». Ученому необходимо более тщательно изучить письменное доказательство, чтобы прийти к выводам. Коллеги Атьи, с которыми связался Science , также отметили, что не считают представленное решение успешным, так как оно основано на шатких ассоциациях. Физик-математик из Калифорнийского университета в Риверсайде Джон Баэс (John Baez ) и вовсе заявил, что доказательство Атьи «просто накладывает одно внушительное требование на другое без каких-либо доводов в пользу этого или реальных обоснований».

Сам Майкл Атья считает, что его работа закладывает основу для доказательства не только гипотезы Римана, но и других неразрешенных проблем в математике. Насчет критики он говорит: «Люди будут жаловаться и ворчать, но это потому, что они не согласны с идеей о том, что старик мог придумать совершенно новый метод».

Интересно, что в прошлом ученый уже делал похожие громкие заявления и сталкивался с критикой. В 2017 году Атья рассказал лондонскому изданию The Times о том, что сократил 255-страничную теорему Фейта - Томпсона, или теорему о нечетном порядке, доказанную в 1963 году, до 12 страниц. Математик отправлял свое доказательство 15 экспертам, однако они так и не дали положительных оценок работе, и в итоге она не была опубликована ни в одном научном журнале. Еще годом ранее Атья заявил о решении одной известной проблемы дифференциальной геометрии. Препринт статьи с этим решением ученый опубликовал на ArXiv.org. В скором времени коллеги указали на ряд неточностей в работе, и в полнотекстовом варианте статья так и не вышла.

Эти ошибки сейчас во многом поддерживают скептицизм научного сообщества в отношении доказательства гипотезы Римана. Атье остается ждать оценки Института Клэя, выдающего награды за решения «задач тысячелетия». Пока ознакомиться с доказательством математика можно по ссылке на Google Drive, которую он сам разместил в открытом доступе.

Энциклопедичный YouTube

    1 / 5

    ✪ #170. ГИПОТЕЗА РИМАНА - ПРОБЛЕМА ТЫСЯЧЕЛЕТИЯ!

    ✪ Science show. Выпуск 30. Гипотеза Римана

    ✪ Гипотеза Римана. Решена проблема тысячелетия (но это не точно) | трушин ответит #031 +

    ✪ Гипотеза Римана. Решена проблема тысячелетия (но это не точно). Часть II | трушин ответит #032 +

    ✪ Что доказал Григорий Перельман?

    Субтитры

    Если натуральное число имеет только два делителя - само себя и единицу, то его называют простым. Наименьшее простое число - это два, тройка тоже делится лишь на саму себя и на единичку, а вот дважды-два - четыре, и это число составное, из пяти квадратиков можно лишь составить прямоугольник со сторонами 5 и 1, а вот шесть квадратиков можно выстроить не только в один ряд, но еще и прямоугольником 2х3. Интерес к простым числам появился еще в древности: первые записи по теме, известные нам, относятся ко второму тысячелетию до нашей эры - древние египтяне знали толк в математике. В Античные времена Евклид доказал, что простых чисел - бесконечно много, а, кроме того, у него было представление об основной теореме арифметики. Эратосфен в свою очередь придумал (или по крайней мере зафиксировал) алгоритм поиска простых чисел. Это очень крутая штука, называемая решетом Эратосфена, смотрите: сейчас мы быстро с его помощью определим в первой сотне натуральных чисел все простые. Единичка не является простым по определению, двойка - первое простое: вычеркиваем все числа кратные ей, ведь они обязательно составные. Ну вот, кандидатов уже вдвое меньше! Берем следующее простое число - три, вычеркиваем все числа, кратные трем. Заметьте, пятерка выбивает не так уж и много чисел, ведь многие уже оказались кратны двум или трем. Но что самое удивительное - наш алгоритм можно закончить на числе семь! Подумайте, почему это так! И если догадались, напишите в комментариях, на каком числе можно закончить процедуру при работе с первом десятком тысяч натуральных чисел! Итак, всего в первой сотне у нас оказалось двадцать пять простых чисел. Хм… а сколько простых чисел в первой тысяче или, скажем, миллионе? Этот вопрос потревожил самые светлые умы человечества не на шутку, никому тогда даром не нужны была практическая польза криптографии: математика - это скорее разговор с Богом или, во всяком случае, один из способов его услышать. Ну а простые числа - это как в химии атомы и как в литературе алфавит. Ладно, ближе к теме! Эстафету древнегреческих ученых спустя века принимает вся Европа: разрабатывает теорию чисел Пьер Ферма, огромный вклад вносит Леонард Эйлер, ну и, конечно, кем только не составляются огромные таблицы простых чисел. Однако закономерность появления наших особых нумеров среди составных обнаружить не удается. И только лишь в конце 18-го века Гауссом и Лежандром выдвигается предположение, что замечательнейшая функция π(x), которая подсчитывала бы количество простых чисел, меньших либо равных действительному числу x, устроена следующим образом π(x)=x/lnx. Кстати, у нас в первой сотне сколько чисел оказалось простых? Двадцать пять, правильно? Даже для таких малых значений функция выдает на выходе адекватный к истине результат. Хотя речь, скорее о пределе отношения π(x) и x/lnx: на бесконечности он равен единице. Вот это утверждение и есть теорема о распределении простых чисел. Существенный вклад в ее доказательство внес наш соотечественник Пафнутий Львович Чебышёв, а покончить с темой целиком можно было бы, сообщив вам напоследок, что эта теорема была доказана независимо Жаком Адамаром и Валле-Пуссеном еще в 1896 году. Ага…если бы не одно «но»! В своих рассуждениях они опирались на тезис одного коллеги-предшественника. И этим ученым с учетом того, что Эйнштейн еще не родился, был Бернхард Риман. Вот вам кадр с оригиналом рукописи Римана. Знаете, почему именно с этой темой он выступил: причина стара как наша образовательная система: простыми числами занимался научный руководитель Римана - Карл Фридрих Гаусс, король математики, между прочим! Вот здесь старая печатная версия доклада на немецком. Мне посчастливилось найти русский перевод, но даже стряхнув с него пыль, некоторые формулы трудно разглядеть, поэтому мы воспользуемся английским вариантом. Смотрим! Бернхард отталкивается от результатов Эйлера: справа с помощью заглавной греческой буквы сигма записана сумма всех натуральных чисел, а слева посредством заглавной и не менее греческой буквы Пи обозначено произведение, притом малая буква p пробегает все простые числа. Это очень красивое соотношение - призадумайтесь! Далее вводится дзета-функция и развиваются идеи, связанные с ней. А затем повествование посредством тернистой дороги математического анализа идет к заявленной теореме о распределении простых чисел, хотя и несколько с другого ракурса. А теперь взглянем сюда: уравнение, в котором слева - кси-функция, тесно связанная с дзетой, а справа -нолик. Риман пишет: «Вероятно все нули кси-функции действительные, во всяком случае было бы желательно найти строгое доказательство этого предложения». Затем добавляет, что после нескольких напрасных, не очень настойчивых попыток разыскать таковое, он временно от них отказался, так как для дальнейшей цели в этом надобности нет. Ну вот, так и родилась гипотеза Римана! На современный лад и со всеми уточнениями она звучит следующим образом: все нетривиальные нули дзета-функции имеют действительную часть, равную ½. Есть, конечно, и другие эквивалентные формулировки. В 1900-ом году Давид Гильберт включил гипотезу Римана в знаменитый список 23 нерешенных проблем. Кстати, вам не кажется странным, что Гильберт работал на той же кафедре Гёттингенского университета, что и Риман в свое время. Если это было проявление землячества, то с чистой совестью еще раз добавляю сюда последовательно кадры березки и Чебышёва. Отлично! Можем двигаться дальше. В 2000-ом году институт Клэя включил гипотезу Римана в список семи открытых проблем тысячелетия, и теперь за ее решение полагается 10⁶ ($). Да-а, понимаю, что вас, как настоящих математиков, деньги не сильно манят, но все-таки это хороший повод осознать суть гипотезы Римана. Поехали! Все очень легко и понятно! Во всяком случае было таковым для Римана. Вот дзета-функция в явном виде. Как и всегда, мы бы смогли увидеть нули функции, если бы нарисовали ее график. Хм… Ладно, попробуем это сделать! Если взять вместо аргумента s двоечку, получим знаменитую базельскую проблему - нужно будет вычислить сумму ряда обратных квадратов. Но это не беда, с задачай давным-давно справился Эйлер: ему сразу стало очевидно, что эта сумма равна π²/6. Хорошо, тогда возьмем s=4 - а, впрочем, Эйлер посчитал и это! Очевидно, π⁴/90. В общем, вы уже поняли, кто вычислил значения дзета-функции, в точках 6, 8, 10 и так далее. Так, а это что такое? Дзета-функция Римана от единички? Давайте посмотрим! А-а-а, так это же гармонический ряд! Итак, как вы думаете, чему равна сумма вот такого вот ряда? Слагаемые маленькие-маленькие, но все-таки побольше, чем в ряде обратных квадратов, правда? Кликните паузу, подумайте немного и дайте ваше оценочное значение. Ну сколько здесь? Два? Или, может быть, три? Барабанная дробь… гармонический ряд расходится! В бесконечность улетает эта сумма, понимаете, нет?! Вот смотрите, берем ряд, у которого каждое из слагаемых не превосходит соответствующих членов гармонического ряда. И видим: ½, затем еще ½, снова ½ и так далее до бесконечности! Это я к чему клоню? Дзета-функция от единички не определена! Ну что ж, теперь, кажется, понятно, как выглядит график дзеты. Одно только непонятно, где же нули дзета-функции? Ну покажите мне, где нетривиальные нули дзета-функции, а еще действительная часть, равная одной второй! Ведь если мы возьмем аргументом дзета-функции ½, то все члены полученного ряда будут не меньше гармонического, а значит, грусть, расходимость, бесконечность. То есть вообще при любом действительном s меньшем или равном единице, ряд расходится. И уж, конечно, при s=-1 дзета предстанет суммой всех натуральных чисел и не поравняется ни с каким конкретным числом. Ага… есть только одно «но»! Если моего смекалистого дружка попросить вычислить дзета-функцию в точке -1, то он, будучи бездушной железякой, выдаст значение -1/12. Да и вообще, дзета у него определена для любых аргументов, кроме единички, притом и нули достигаются - в четных отрицательных значениях! Да-а-а, приехали, с чем же это может быть связано? О, хорошо, что под рукой есть учебник по теории функции комплексного переменного: тут наверняка найдется ответ. Так и есть, так и есть! Оказывается, у некоторых функций есть аналитическое продолжение! Речь идет о функциях, которые дифференцируются сколь угодно много раз, в ряд Тейлора раскладываются, помните такие? Они имеют продолжение в виде некоторой другой функции, кстати говоря, единственной. И в частности нашу родную дзета-функцию для действительного аргумента, коль скоро под все условия она подходит, можно расширить на всю комплексную плоскость по принципу аналитического продолжения. И Риман с этим справился на ура! Сразу скажу, что всевозможные значения комплексного аргумента можно было бы изобразить только на плоскости. Но если аргумент пробегает точки плоскости, то как изобразить значения функции? На плоскости можно ограничиться нулями функции, а можно взять на вооружение третье измерение, хотя по-хорошему для дзеты их нужно четыре. Ну а еще можно попробовать использовать цвет. Сами смотрите! По оси абсцисс откладывается действительная часть аргумента, по оси ординат -мнимая. Ну что ж, теперь держите ухо востро: все нетривиальные нули дзета-функции имеют действительную часть, равную ½. Тут уж и сказке конец, а кто слушал - молодец! Домашнее задание - доказать или опровергнуть гипотезу Римана, и не вздумайте списывать у Атьи! Мыслите критически, занимайтесь математикой, счастливо! [Играет музыка]

Формулировка

Эквивалентные формулировки

Соображения об истинности гипотезы

Среди данных, позволяющих предполагать истинность гипотезы, можно выделить успешное доказательство сходных гипотез (в частности, гипотезы Римана о многообразиях над конечными полями ). Это наиболее сильный теоретический довод, позволяющий предположить, что условие Римана выполняется для всех дзета-функций , связанных с автоморфными отображениями (англ.) русск. , что включает классическую гипотезу Римана. Истинность аналогичной гипотезы уже доказана для дзета-функции Сельберга (англ.) русск. , в некоторых отношениях сходной с функцией Римана, и для дзета-функции Госса (англ.) русск. (аналог дзета-функции Римана для функциональных полей).

С другой стороны, некоторые из дзета-функций Эпштейна (англ.) русск. не удовлетворяют условию Римана, хотя они имеют бесконечное число нулей на критической линии. Однако эти функции не выражаются через ряды Эйлера и не связаны напрямую с автоморфными отображениями.

К «практическим» доводам в пользу истинности Римановской гипотезы относится вычислительная проверка большого числа нетривиальных нулей дзета-функции в рамках проекта ZetaGrid .

Связанные проблемы

Две гипотезы Харди-Литтлвуда

  1. Для любого ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} существует T 0 = T 0 (ε) > 0 {\displaystyle T_{0}=T_{0}(\varepsilon)>0} , такое что при и H = T 0 , 25 + ε {\displaystyle H=T^{0{,}25+\varepsilon }} интервал содержит нуль нечётного порядка функции .
  2. Для любого ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} существуют такие T 0 = T 0 (ε) > 0 {\displaystyle T_{0}=T_{0}(\varepsilon)>0} и c = c (ε) > 0 {\displaystyle c=c(\varepsilon)>0} , что при T ⩾ T 0 {\displaystyle T\geqslant T_{0}} и справедливо неравенство N 0 (T + H) − N 0 (T) ⩾ c H {\displaystyle N_{0}(T+H)-N_{0}(T)\geqslant cH} .

Гипотеза А. Сельберга

В 1942 году Атле Сельберг исследовал проблему Харди-Литтлвуда 2 и доказал, что для любого ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} существуют T 0 = T 0 (ε) > 0 {\displaystyle T_{0}=T_{0}(\varepsilon)>0} и c = c (ε) > 0 {\displaystyle c=c(\varepsilon)>0} , такие что для T ⩾ T 0 {\displaystyle T\geqslant T_{0}} и H = T 0 , 5 + ε {\displaystyle H=T^{0{,}5+\varepsilon }} справедливо неравенство N (T + H) − N (T) ⩾ c H log ⁡ T {\displaystyle N(T+H)-N(T)\geqslant cH\log T} .

В свою очередь, Атле Сельберг высказал гипотезу, что можно уменьшить показатель степени a = 0 , 5 {\displaystyle a=0{,}5} для величины H = T 0 , 5 + ε {\displaystyle H=T^{0{,}5+\varepsilon }} .

В 1984 году А. А. Карацуба доказал , что при фиксированном с условием 0 < ε < 0,001 {\displaystyle 0<\varepsilon <0{,}001} , достаточно большом T {\displaystyle T} и H = T a + ε {\displaystyle H=T^{a+\varepsilon }} , a = 27 82 = 1 3 − 1 246 {\displaystyle a={\tfrac {27}{82}}={\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{246}}} промежуток (T , T + H) {\displaystyle (T,T+H)} содержит не менее c H ln ⁡ T {\displaystyle cH\ln T} вещественных нулей дзета-функции Римана ζ (1 2 + i t) {\displaystyle \zeta {\Bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\Bigr)}} . Тем самым он подтвердил гипотезу Сельберга.

Оценки А. Сельберга и А. А. Карацубы являются неулучшаемыми по порядку роста при T → + ∞ {\displaystyle T\to +\infty } .

В 1992 году А. А. Карацуба доказал, что аналог гипотезы Сельберга справедлив для «почти всех» промежутков (T , T + H ] {\displaystyle (T,T+H]} , H = T ε {\displaystyle H=T^{\varepsilon }} , где ε {\displaystyle \varepsilon } - сколь угодно малое фиксированное положительное число. Метод, разработанный Карацубой, позволяет исследовать нули дзета-функции Римана на «сверхкоротких» промежутках критической прямой, то есть на промежутках (T , T + H ] {\displaystyle (T,T+H]} , длина H {\displaystyle H} которых растёт медленнее любой, даже сколь угодно малой, степени T {\displaystyle T} . В частности, он доказал, что для любых заданных чисел ε {\displaystyle \varepsilon } , ε 1 {\displaystyle \varepsilon _{1}} с условием 0 < ε , ε 1 < 1 {\displaystyle 0<\varepsilon ,\varepsilon _{1}<1} почти все промежутки (T , T + H ] {\displaystyle (T,T+H]} при H ⩾ exp ⁡ { (ln ⁡ T) ε } {\displaystyle H\geqslant \exp {\{(\ln T)^{\varepsilon }\}}} содержат не менее H (ln ⁡ T) 1 − ε 1 {\displaystyle H(\ln T)^{1-\varepsilon _{1}}} нулей функции ζ (1 2 + i t) {\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr)}} . Эта оценка весьма близка к той, что следует из гипотезы Римана.

См. также

Примечания

  1. Weisstein, Eric W. Riemann Hypothesis (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
  2. Rules for the Millennium Prizes
  3. Что несколько необычно, так как lim sup n → ∞ σ (n) n log ⁡ log ⁡ n = e γ . {\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {\sigma (n)}{n\ \log \log n}}=e^{\gamma }.}
    Неравенство нарушается при n = 5040 и некоторых меньших значениях, но Гай Робин в 1984 году показал, что оно соблюдается для всех бóльших целых, тогда и только тогда, когда гипотеза Римана верна.
Ответ редакции

Профессор Оксфордского, Кембриджского и Эдинбургского университетов, а также лауреат почти десятка престижных премий в области математики Майкл Фрэнсис Атья представил доказательство гипотезы Римана , одной из семи «проблем тысячелетия», которая описывает, как расположены на числовой прямой простые числа.

Доказательство Атьи небольшое, вместе с введением и списком литературы оно занимает пять страниц. Ученый утверждает, что нашел решение гипотезы, анализируя проблемы, связанные с постоянной тонкой структуры, а в качестве инструмента использовал функцию Тодда. Если научное сообщество сочтет доказательство корректным, то за него британец получит $1 млн от Института математики Клея (Clay Mathematics Institute, Кембридж, Массачусетс).

На приз претендуют также другие ученые. В 2015 году о решении гипотезы Римана заявлял профессор математики Опиеми Энох (Opeyemi Enoch) из Нигерии, а в 2016 году свое доказательство гипотезы представил российский математик Игорь Турканов . По словам представителей Института математики, для того чтобы достижение было зафиксировано, его необходимо опубликовать в авторитетном международном журнале с последующим подтверждением доказательства научным сообществом.

В чем суть гипотезы?

Гипотезу еще в 1859 году сформулировал немецкий математик Бернхард Риман . Он определил формулу, так называемую дзета-функцию, для количества простых чисел до заданного предела. Ученый выяснил, что нет никакой закономерности, которая бы описывала, как часто в числовом ряду появляются простые числа, при этом он обнаружил, что количество простых чисел, не превосходящих x , выражается через распределение так называемых «нетривиальных нулей» дзета-функции.

Риман был уверен в правильности выведенной формулы, однако он не мог установить, от какого простого утверждения полностью зависит это распределение. В результате он выдвинул гипотезу, которая заключается в том, что все нетривиальные нули дзета-функции имеют действительную часть, равную ½, и лежат на вертикальной линии Re=0,5 комплексной плоскости.

Доказательство или опровержение гипотезы Римана очень важно для теории распределения простых чисел, говорит аспирант факультета математики Высшей школы экономики Александр Калмынин . «Гипотеза Римана — это утверждение, которое эквивалентно некоторой формуле для количества простых чисел, не превосходящих данное число x . Гипотеза, например, позволяет достаточно быстро и с большой точностью посчитать количество простых чисел, не превосходящих, к примеру, 10 млрд. Это не единственная ценность гипотезы, потому что у нее есть еще целый ряд довольно далеко идущих обобщений, которые известны как обобщенная гипотеза Римана, расширенная гипотеза Римана и большая гипотеза Римана. Они имеют еще большее значение для разных разделов математики, но в первую очередь важность гипотезы определяется теорией простых чисел», — говорит Калмынин.

По словам эксперта, при помощи гипотезы можно решать ряд классических задач теории чисел: задачи Гаусса о квадратичных полях (проблема десятого дискриминанта), задачи Эйлера об удобных числах, гипотезу Виноградова о квадратичных невычетах и т. д. В современной математике данной гипотезой пользуются для доказательства утверждений о простых числах. «Мы сразу предполагаем, что верна какая-то сильная гипотеза типа гипотезы Римана, и смотрим, что получается. Когда у нас это получается, то мы задаемся вопросом: можем ли мы это доказать без предположения гипотезы? И, хотя такое утверждение пока за пределами того, чего мы можем достигнуть, оно работает как маяк. За счет того, что есть такая гипотеза, мы можем смотреть, куда нам двигаться», — говорит Калмынин.

Доказательство гипотезы также может повлиять на совершенствование информационных технологий, поскольку процессы шифрования и кодирования сегодня зависят от эффективности разных алгоритмов. «Если мы возьмем два простых больших числа по сорок знаков и перемножим, то у нас получится большое восьмидесятизначное число. Если поставить задачу разложить это число на множители, то это будет очень сложная вычислительная задача, на основе которой как раз построены многие вопросы информационной безопасности. Все они заключаются в создании разных алгоритмов, которые завязаны на сложностях подобного рода», — говорит Калмынин.

Я хотел более подробно рассказать о вроде бы доказанной недавно гипотезе Анри Пуанкаре, но потом решил «расширить задачу» и в сжатом виде рассказать «обо всём» . Итак, математический институт Клея в Бостоне в 2000 году определил «семь задач тысячелетия» и назначил премии в миллион долларов за решение каждой из них. Вот они:

1. Гипотеза Пуанкаре
2. Гипотеза Римана
3. Уравнение Навье-Стокса
4. Гипотеза Кука
5. Гипотеза Ходжа
6. Теория Янга-Миллиса
7. Гипотеза Берча-Свиннертона-Дайера

Про гипотезу Пуанкаре мы поговорим в следующий раз, сейчас в общих чертах расскажем о других проблемах

Гипотеза Римана (1859 г.)

Все знают что такое простые числа — это числа делящиеся на 1 и на самих себя. Т.е. 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 и т.д. Но что интересно, обозначить какую-либо закономерность в их размещении пока что оказывалось невозможным.
Так, считается, что в окрестности целого числа х среднее расстояние между последовательными простыми числами пропорционально логарифму х. Тем не менее, уже давно известны так называемые парные простые числа (простые числа-близнецы, разность между которыми равна 2, например 11 и 13, 29 и 31, 59 и 61. Иногда они образуют целые скопления, например 101, 103, 107, 109 и 113. Если такие скопления будут найдены и в области очень больших простых чисел, то стойкость криптографических ключей, используемых в настоящее время, может в одночасье оказаться под очень большим вопросом.
Риман предложил свой вариант, удобный для выявления больших простых чисел. Согласно ему, характер распределения простых чисел может существенно отличаться от предполагаемого в настоящее время. Риман обнаружил, что число P(x) простых чисел, не превосходящих x, выражается через распределение нетривиальных нулей дзета-функции Римана Z(s). Риман высказал гипотезу, не доказанную и не опровергнутую до сих пор, что все нетривиальные нули дзета-функции лежат на прямой линии R(z) = (1/2). (Извините, но я не знаю как изменить кодировку чтоб показывались греческие буквы).
В общем, доказав гипотезу Римана (если это вообще возможно) и подобрав соответствующий алгоритм, можно будет поломать многие пароли и секретные коды.

Уравнение Навье-Стокса. (1830 г.)

Нелинейный дифур описывающий тепловую конвекцию жидкостей и воздушных потоков. Является одним из ключевых уравнений в метеорологии.

p — давление
F – внешняя сила
r (ро) — плотность
n (ню)- вязкость
v — комплексная скорость

Наверное, его точное аналитическое решение интересно с чисто математической точки зрения, но приближенные методы решения давно существуют. Как обычно в таких случаях, нелинейный дифур разбивают на несколько линейных, другое дело что решения системы линейных дифуров оказалось необычайно чувствительным к начальным условиям. Это стало очевидно когда с введением компьютеров стало возможно обрабатывать большие массивы данных. Так в 1963 году американский метеоролог из Массачусетского технологического института Эдвард Лоренц задался вопросом: почему стремительное совершенствование компьютеров не привело к воплощению в жизнь мечты метеорологов – достоверному среднесрочному (на 2-3 недели вперед) прогнозу погоды? Эдвард Лоренц предложил простейшую модель, состоящую из трех обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающую конвекцию воздуха, просчитал ее на компьютере и получил поразительный результат. Этот результат – динамический хаос – есть сложное непериодическое движение, имеющее конечный горизонт прогноза, в детерминированных системах (то есть в таких, где будущее однозначно определяется прошлым). Так был открыт странный аттрактор. Пpичина непpедсказуемости поведения этой и дpугих подобных систем заключается в не в том, что не веpна математическая теоpема о существовании и единственности pешения пpи заданных начальных условиях, а именно в необычайной чувствительности pешения к этим начальным условиям. Близкие начальные условия со вpеменем пpиводят к совеpшенно pазличному конечному состоянию системы. Пpичем часто pазличие наpастает со вpеменем экспоненциально, то есть чpезвычайно быстpо.

Гипотеза Кука (1971 г.)

Насколько быстро можно проверить конкретный ответ – вот нерешенная проблемой логики и компьютерных вычислений! Она была сформулирована Стивеном Куком следующим образом: «может ли проверка правильности решения задачи быть более длительной, чем само получение решения, независимо от алгоритма проверки?». Ршение этой проблемы могло бы революционным образом изменить основы криптографии, используемой при передаче и хранении данных и продвинуть разработку алгоритма т.н. «квантовых компьютеров» что опять-таки поможет в ускорении алгоритма решения задач связанных с перебором кодов (например, тот же взлом паролей).
Пусть задана функция от 10000 переменных: f (х 1 …х 10000 ), для простоты примем что переменные могут принимать значения 0 или 1, результат функции тоже 0 или 1. Существует алгоритм, вычисляющий эту функцию для любого заданного набора аргументов за достаточно малое время (допустим, за t=0,1 сек).
Требуется узнать, существует ли набор аргументов, на котором значение функции равно 1. При этом сам набор аргументов, на котором функция равна 1, нас не интересует. Нам просто надо знать есть он или нет. Что мы можем сделать? Самое простое – взять и тупо перебрать всю последовательность от 1 до 10000 во всех комбинациях вычисляя значение функции на разных наборах. В самом неблагоприятном случае мы на это потратим 2 tN или 2 1000 секунд что во много раз больше возраста Вселенной.
Но если мы знаем природу функции f, то
можно сократить перебор, отбросив наборы аргументов, на которых функция заведомо равна 0. Для многих реальных задач это позволят решить их за приемлемое время. В то же время есть задачи (так называемые NP-полные задачи), для которых даже после сокращения перебора, общее время решения остается неприемлемым.

Теперь, что касается физической стороны. Известно, что квант
может находиться в состоянии 0 или 1 с какой-то вероятностью. И что интересно, можно узнать, в каком из состояний она находится:

A: 0 с вероятностью 1
В: 1 с вероятностью 1
С: 0 с вероятностью р, 1 с вероятностью 1-р

Суть вычислений на квантовом компьютере состоит в том, чтобы взять 1000 квантов в состоянии С и подать их на вход функции f. Если на выходе будет получен квант в состоянии А, это значит, что на всех возможных наборах f=0. Ну а если на выходе будет получен квант в состоянии
B или С, это значит, что существует набор, на котором f=1.
Очевидно. что «квантовый компьютер» значительно ускорит задачи связанные с перебором данных, но будет малоэффективен в плане ускорения записи или считывания данных.

Теория Янга-Миллса

Вот это, наверное, единственный из обозначенных семи вопросов имеющих по-настоящему фундаментальное значение. Решение его существенно продвинет создание «единой теории поля», т.е. выявлению детерминированной связи между четырьмя известными типами взаимодействий

1. Гравитационным
2. Электромагнитным
3. Сильным
4. Слабым

В 1954 году Янг Чжэньнин (представитель желтой корневой расы) и Роберт Миллс предложили теорию, в соответствии с которой были объединены электромагнитное и слабое взаимодействие (Глэшоу, Вайнберг, Салам — Ноб. Премия 1979). Более того, она до сих пор служит основой квантовой теории поля. Но здесь уже начал давать сбой математический аппарат. Дело в том, что «квантовые частицы» ведут себя совсем не так как «большие тела» в ньютоновской физике. И хотя есть общие моменты, например, заряженная частица создает электромагнитное поле, а частица с ненулевой массой — гравитационное; или, например, частица эквивалентна совокупности полей, которые она создает, ведь любое взаимодействие с другими частицами производится посредством этих полей; с точки зрения физики, рассматривать поля, порожденные частицей, — то же, что рассматривать саму частицу.
Но это так сказать «в первом приближении».
При квантовом подходе одну и ту же частицу можно описывать двумя разными способами: как частицу с некоторой массой и как волну с некоторой длиной. Единая частица-волна описывается не своим положением в пространстве, а волновой функцией (обычно обозначаемой как Y), и ее местонахождение имеет вероятностную природу — вероятность обнаружить частицу в данной точке x в данное время t равна Y = P(x,t)^2. Казалось бы ничего необычного, но на уровне микрочастиц возникает следующий «неприятный» эффект — если на частицу действуют несколько полей сразу, их совокупный эффект уже нельзя разложить на действие каждого из них поодиночке, классический принцип суперпозиции не работает. Так получается потому, что в этой теории друг к другу притягиваются не только частицы материи, но и сами силовые линии поля. Из-за этого уравнения становятся нелинейными и весь арсенал математических приёмов для решения линейных уравнений к ним применить нельзя. Поиск решений и даже доказательство их существования становятся несравнимо более сложной задачей.
Вот почему решить ее «в лоб», наверное, невозможно, во всяком случае, теоретики выбрали другой путь. Так, опираясь на выводы Янга и Миллза Мюррей Гелл-Манн построил теорию сильного взаимодействия (Ноб. премия).
Главная «фишка» теории – введение частиц с дробным электрическим зарядом – кварков.

Но чтобы математически «привязать» к друг другу электромагнитное, сильное и слабое взаимодействие, нужно чтобы выполнились три условия:

1. Наличие «щели» в спектре масс, по английский — mass gap
2. Кварковый конфайнмент: кварки заперты внутри адронов и принципиально не могут быть получены в свободном виде
3. Нарушения симметрии

Эксперименты показали, что эти условия в реале выполняются, но строгого математического доказательства – нет. Т.е. по сути, нужно теорию Я-М адаптировать к 4-мерному пространству обладающими тремя означенными свойствами. По мне, так это задача тянет куда больше чем на миллион. И хотя в существовании кварков ни один приличный физик не сомневается, эксперементально их обнаружть не удалось. Предполагается что на на масштабе 10 -30 между электромагнитным, сильным и слабым взаимодействием утрачивается какое-либо различие (т.н. «Великое Объединение»), другое дело что нужная для таких экспериментов энергия (более 10 16 ГэВ) не может быть получена на ускорителях. Но вы не волнуйтесь — проверка Великого Объединения — дело ближайших лет, если, конечно, на человечество не свалятся какие-нибудь избыточные проблемы. Физики уже разработали проверочный эксперимент связанный с нестабильностью протона (следствие теории Я-М). Но эта тема выходит за рамки нашего сообщения.

Ну и будем помнить, что это еще не всё. Остается последний бастион – гравитация. О ней мы реально ничего не знаем, кроме того, что «все притягивается» и «искривляется пространство-время». Понятно, что все силы в мире сводятся к одной суперсиле или, как говорят, «Суперобъединению». Но какой принцип суперобъединения? Алик Эйнштейн считал что этот принцип геометрический, как и принцип ОТО. Вполне может быть. Т.е. физика на самом начальном уровне — всего лишь геометрия.

Гипотеза Берча и Свиннертон-Дайера

Помните Большую Теорему Ферма, вроде бы доказанную каким-то инглизом в 1994 году? 350 лет на это потребовалось! Так вот теперь проблема получила продолжение — нужно описать все решения в целых числах
x, y, z алгебраических уравнений, то есть уравнений от нескольких переменных
с целыми коэффициентами. Примером алгебраического уравнения является уравнение
x 2 + y 2 = z 2 . Евклид дал полное описание
решений этого уравнения, но для более сложных уравнений получение решения
становится чрезвычайно трудным (например, доказательство отсутствия целых
решений уравнения x n + y n = z n).
Берч и Свиннертон-Дайер предположили, что число решений определяется значением связанной с уравнением дзета-функци ζ(s) в точке 1: если значение дзета-функции ζ(s) в точке 1 равно 0, то имеется бесконечное число решений, и наоборот, если не равно 0, то имеется только конечное число таких решений. Здесь задача, кстати, перекликается с гипотезой Римана, только там исследовалось распределение нетривиальных нулей дзета-функции ζ(s)

Гипотеза Ходжа
Наверное самая абстрактная тема.
Как известно, для описания свойств сложных геометрических объектов их свойства аппроксимируются. Ну например шар (хотя он совсем несложный) можно представить как поверхность состоящую из маленьких квадратиков. Но если имеются поверхности более сложные, то возникает вопрос, до какой степени мы можем аппроксимировать форму данного объекта, склеивая вместе простые тела возрастающей размерности? Этот метод оказался эффективным при описании разнообразных объектов встречающихся в математике, но в некоторых случаях было необходимо прибавлять части, которые не имели никакого геометрического истолкования.
Я просмотрел на эту тему заумную книжку Гельфанда-Манина, там описывается теория Ходжа для гладких некомпактных образований, но честно говоря мало что понял, я вообще аналитическую геометрию как то не очень понимаю. Там смысл в том, что интегралы по некоторым циклам можно вычислить через вычеты, а это современные компы хорошо умеют.
Сама гипотеза Ходжа состоит в том, что для некоторых типов пространств, называемых проективными алгебраическими многообразиями, т.н. циклы Ходжа являются комбинациями объектов, имеющих геометрическую интерпретацию, — алгебраических циклов.

Разделы